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HISTÉRESIS Y OSCILADOR DE VAN DER POL
CRISTIAN MAURICIO ÁVILA PATARROYO
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA
BOGOTÁ D.C.
2012
HISTÉRESIS Y OSCILADOR DE VAN DER POL
CRISTIAN MAURCIO ÁVILA PATARROYO
Trabajo de grado para optar al título de
Ingeneiría Electrónica
Director
Carlos Eduardo Cotrino Badillo
Ingeniero Electrónico, M. Sc.
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA
BOGOTÁ D.C.
2012
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
RECTOR MAGNÍFICO: R.P. JOAQUÍN EMILIO SÁNCHEZ GARCÍA, S.J.
DECANO ACADÉMICO: Ing. FRANCISCO JAVIER REBOLLEDO MUÑOZ
DECANO DEL MEDIO UNVERSITARIO: R.P. SERGIO BERNAL RESPETREPO
DIRECTOR DE CARRERA: Ing. JAIRO HURTADO LONDOÑO, PhD.
DIRECTOR DEL PROYECTO Ing. CARLOS COTRINO BADILLO, M. Sc.
NOTA DE ADVERTENCIA
“La universidad no se hace responsable de los conceptos emitidos por sus alumnos en sus
proyectos de grado, solo velará porque no se publique nada contrario al dogma y la moral
católica y porque los trabajos no contengan ataques o polémicas puramente personales.
Antes bien, que se vea en ellos el anhelo de buscar la verdad y justicia”
Artículo 23 de la Resolución No 13, del 6
de julio de 1946, por el cual se reglamenta
lo concerniente a Tesis y Exámenes de Grado
en la Pontificia Universidad Javeriana.
I
TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 1
1.1 OBJETIVO GENERAL .......................................................................................................... 1
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................................................. 1
2. MARCO TEÓRICO .................................................................................................................... 2
2.1 OSCILADOR DE VAN DER POL......................................................................................... 2
2.2 CICLO LÍMITE ...................................................................................................................... 5
2.3 BIFURCACIÓN ...................................................................................................................... 9
2.4 HISTÉRESIS ......................................................................................................................... 11
2.4.1 Modelo de Jiles-Atherton .................................................................................................. 12
3. ESPECIFICACIONES. ............................................................................................................. 14
3.1 DESCRIPCIÓN ..................................................................................................................... 14
3.2 CARÁCTERÍSTICAS ELÉCTRICAS DEL CIRCUITO ..................................................... 14
3.3 CONFIGURACIÓN RESISTENCIA NO LINEAL Y COMPONENTES ADICIONALES 15
3.3.1 Resistencia No lineal ......................................................................................................... 15
3.3.2 Componentes ..................................................................................................................... 15
3.3.2.1 Núcleos .............................................................................................................................. 15
3.3.2.2 Circuitos Integrados .......................................................................................................... 16
3.3.2.3 Consideraciones especiales Condensador e Inductancia. .................................................. 17
3.4 TARJETA DE ADQUISICÓN DE DATOS PCI – 6024E ................................................... 18
4 DESARROLLOS ...................................................................................................................... 19
4.1 DEDUCCIÓN DEL MODELO CIRCUITAL DEL OSCILADOR DE VAN DER POL .... 19
4.1.1 Desarrollo del modelo eléctrico para la resistencia no lineal. ........................................... 20
4.1.2 Ecuación diferencial no lineal del oscilador de Van der Pol ............................................. 23
4.2 IMPLEMENTACIÓN DEL CIRCUITO ELÉCTRICO DEL OSCILADOR DE VAN DER
POL …………………………… ................................................................................................... 23
4.2.1 Valores de los componentes utilizados en la implementación. ......................................... 24
4.2.2 Consideraciones resistencia de pérdidas, ................................................................... 24
4.2.3 Ecuación de Van de Pol para el circuito eléctrico a implementar. .................................... 25
4.2.4 Circuito esquemático. ........................................................................................................ 25
4.3 BIFURCACIÓN .................................................................................................................... 26
4.4 ALGORITMO PARA CALCULAR LOS PARÁMETROS DEL MODELO DE JILES-
ATHERTON EMPLEADO EN PSPICE ORCAD. .......................................................................... 27
4.5 INTERFAZ EN LABVIEW QUE PERMITE VER LOS RESULTADOS EN TIEMPO
REAL ............................................................................................................................................... 30
5 RESULTADOS ......................................................................................................................... 32
II
5.1 RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL MODELO Y EL CIRCUITO CUYA
INDUCATANCIA NO PRESENTA SATURACIÓN ..................................................................... 32
5.1.1 Gráficas obtenidas cuando .......................................................................... 32
5.1.2 Gráficas obtenidas cuando .......................................................................... 35
5.1.3 Gráficas obtenidas en el caso que . ............................................................... 37
5.1.4 Resultados obtenidos cerca al punto de bifurcación .................................. 40
5.2 RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL MODELO Y EL CIRCUITO CUYA
INDUCTANCIA PRESENTA SATURACIÓN ............................................................................... 42
5.2.1 Gráficas obtenidas cuando ......................................................................... 43
5.2.2 Gráficas obtenidas cuando ......................................................................... 44
5.2.3 Gráficas obtenidas cuando ., Cerca al punto de bifurcación ........................ 45
5.2.4 Gráficas obtenidas cuando . ......................................................................... 47
5.3 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL OSCILADOR DE VAN
DER POL, PARA INDUCTANCIA QUE NO PRESENTA SATURACIÓN ................................. 47
5.4 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL OSCILADOR DE VAN
DER POL, PARA INDUCTANCIA QUE PRESENTA SATURACIÓN ....................................... 49
5.5 GRÁFICO COMPARATIVO ENTRE EL %THD PARA CADA OSCILADOR EN
FUNCIÓN DE ............................................................................................................................ 50
6. CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 51
7. BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 52
ANEXO A – COMPARACIÓN ENTRE LA ECUACIÓN GENERAL DE VAN DER POL Y LA
ECUACIÓN OBTENIDA DEL MODELO ELÉCTRICO DEL OSCILADOR DE VAN DER POL
............................................................................................................................................................ A
ANEXO B - ENTREGABLE .............................................................................................................. E
ANEXO C – TOPOLOGÍA FUENTE IMPLEMENTADA ............................................................... F
ANEXO D- IMPRESO ...................................................................................................................... G
III
TABLA FIGURAS
Figura 1: Plano de Fases (izquierda) – Respuesta en tiempo (derecha). Tomada de [6]. ................... 3
Figura 2: Plano de Fases (izquierda) – Respuesta en tiempo (derecha). Tomada de [6]. .................. 3
Figura 3: Plano de fases, μ=0. Tomada de [7] .................................................................................... 5
Figura 4: Ciclo Límite. Tomada de [12] ............................................................................................. 6
Figura 5. Ciclo límite (izquierda) – Respuesta en tiempo (Derecha). Tomada de [6] ........ 8
Figura 6. Ciclo límite (izquierda) – Respuesta en tiempo (Derecha). Tomada de [6] ........... 8
Figura 7. Ciclo límite (izquierda) – Respuesta en tiempo (Derecha). Tomada de [6] ........... 8
Figura 8. Desplazamiento de los valores propios en el plano complejo respecto a μ. Tomda de [9] 10
Figura 9. Trayectorias alrededor del punto de bifurcación. Tomada de [9] ...................................... 10
Figura 10. Representación gráfica de bifurcación de Andronov-Hopf. Tomda de [12] .................. 11
Figura 11. Curva de Histéresis Magnética. Tomada de [1] .............................................................. 11
Figura 12. Lazo de histéresis M[A/m] – H[Oersted], curva anhisterética ......................................... 13
Figura 13. Esquema básico oscilador de Van der Pol. Tomada de [3]. ............................................ 14
Figura 14. Modelo Resistencia No Lineal. R es una resistencia negativa. Tomada de [3] ............... 15
Figura 15. Oscilador de Van der Pol. Tomada y editada de [3]. ...................................................... 19
Figura 16. Implementación de la resistencia no lineal, circuito de Chua. Tomado de [2]. ............... 22
Figura 17. Circuito esquemático. OrCAD ......................................................................................... 25
Figura 18. Diagrama en Bloques, Labview. ...................................................................................... 31
Figura 19. Respuesta en Tiempo, circuito. Labview ......................................................................... 33
Figura 20. Respuesta en tiempo, modelo. Matlab ............................................................................. 33
Figura 21. Plano de Fases, circuito. Labview. ................................................................................... 34
Figura 22. Plano de Fases, modelo. Matlab ...................................................................................... 34
Figura 23. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice ........................................................... 35
Figura 24. Repuesta en Tiempo, circuito. Labview ........................................................................... 35
Figura 25. Repuesta en tiempo, modelo. Matlab. ............................................................................. 36
Figura 26. Plano de Fases, circuito. Labview. ................................................................................... 36
Figura 27. Plano de Fases, modelo. Matlab. ..................................................................................... 37
Figura 28. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice ........................................................... 37
Figura 29. Respuesta en tiempo, circuito. Labview ........................................................................... 38
Figura 30. Respuesta en tiempo, modelo. Matlab. ............................................................................ 38
Figura 31. Plano de Fases, Circuito. Labview. .................................................................................. 39
Figura 32. Plano de Fases, modelo. Matlab ...................................................................................... 39
Figura 33. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice ........................................................... 40
Figura 34. Respuesta en tiempo, Circuito. Labview .......................................................................... 40
Figura 35. Respuesta en tiempo, Modelo. Matlab ............................................................................ 41
Figura 36. Plano de fases, circuito. Labview ..................................................................................... 41
Figura 37. Plano de Fases, Modelo. Matlab ...................................................................................... 42
Figura 38. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice ........................................................... 42
Figura 39. Respuesta en tiempo, circuito. Labview ........................................................................... 43
Figura 40. Respuesta en Tiempo, modelo. Pspice ............................................................................ 43
Figura 41. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice ........................................................... 44
Figura 42. Respuesta en tiempo, circuito. Labview ........................................................................... 44
Figura 43. Respuesta en tiempo, modelo. Pspice. ............................................................................. 45
Figura 44. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice ........................................................... 45
Figura 45. Respuesta en tiempo, circuito. Labview. .......................................................................... 46
Figura 46. Respuesta en tiempo, modelo. Pspice .............................................................................. 46
Figura 47. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice .......................................................... 47
IV
Figura 48. Cuadro Comparativo entre % THD vs , para ambos osciladores respecto a cada
núcleo. ............................................................................................................................................... 50
Figura 48. Circuito en caja, con salidas de prueba .............................................................................. E
Figura 49. Circuito en caja, con salidas de prueba .............................................................................. E
Figura 50. Topología Fuente Regulada ............................................................................................... F
Figura 51. Circuito Impreso ............................................................................................................... G
1
1. INTRODUCCIÓN
La teoría concerniente a las ecuaciones diferenciales lineales ha sido elaborada durante los últimos
200 años, es un campo bien conocido y desarrollado el cual ha abarcado con profundidad distintas
áreas del conocimiento, como lo son: ingeniería, economía, biología, química entre otras; por otra
parte, el conocimiento acerca de las ecuaciones diferenciales no lineales es bastante reducido, y la
necesidad de comprender el comportamiento de fenómenos de carácter no lineal, hoy por hoy es un
requisito casi indispensable, esto se hace evidente en casos prácticos de ingeniería como la ecuación
de Van der Pol, en donde la naturaleza propia del sistema obliga que el estudio del mismo sea
cubierto por un análisis no lineal; es por esto que, el interés de este trabajo de grado consiste en
abarcar conceptos y métodos generales de ecuaciones diferenciales no lineales de manera
cualitativa, en donde se hace evidente la aparición de fenómenos nuevos e interesantes que no
tienen cabida dentro de la teoría lineal, y que se harán evidentes a través de la implementación del
oscilador de Van der Pol.
Adicionalmente, este trabajo de grado incluye el tratamiento de un tema, también interesante, como
es el de la Histéresis, en donde se presenta un enfoque muy atractivo acerca del comportamiento del
oscilador de Van der Pol como un sistema dinámico no lineal, para el cual se propone un modelo de
histéresis que influye en la dinámica del sistema. Básicamente el modelo de histéresis evalúa el
desplazamiento de un punto sobre una trayectoria cerrada descrita por una función que relaciona
densidad de campo magnético y la intensidad de corriente en una inductancia con núcleo, los
detalles se especificarán más adelante.
Así pues, el presente informe incluye el análisis de la histéresis y el comportamiento del oscilador
de Van der Pol con el fin de demostrar la no linealidad del oscilador, desarrollar distintos
escenarios de oscilación y finalmente demostrar cómo afecta el ciclo de histéresis la oscilación.
De manera concreta, los objetivos que encaminaron el progreso de este trabajo de grado y que se
desarrollan durante el presente documento, son los siguientes:
1.1 OBJETIVO GENERAL
Analizar, modelar y construir un oscilador de Van der Pol para verificar no linealidad,
oscilación e histéresis.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Desarrollar el análisis teórico del oscilador de Van der Pol.
Desarrollar el modelo de histéresis.
Desarrollar curvas de histéresis.
Diseñar y construir el circuito en físico con interfaz a LabView.
2
2. MARCO TEÓRICO
Las ecuaciones diferenciales no lineales en su mayoría no admiten un procedimiento analítico que
describa su solución, por tal motivo se hace necesario recurrir a métodos numéricos como Runge
Kutta, Newton, Euler etc., generalmente desarrollados en herramientas de software para
aplicaciones en matemáticas e ingeniería; dichos métodos son una herramienta de solución
bastante práctica que permite abordar de manera aproximada la solución de ecuaciones diferenciales
no lineales; otro recurso contemplado a la hora de describir la solución de este tipo de ecuaciones
hace referencia a la información cualitativa del comportamiento general de las soluciones que se
obtiene en realidad sin resolver dichas ecuaciones, básicamente a través de métodos y análisis
geométricos. El interés de estudiar las ecuaciones diferenciales no lineales radica principalmente en
que la mayoría de los sistemas físicos, ya sean, eléctricos, magnéticos, biológicos, químicos,
geológicos, económicos etc., presentan un comportamiento por naturaleza no lineal; el
procedimiento de linealizar las ecuaciones segmenta el conocimiento acerca del comportamiento de
los sistemas alrededor de un punto de equilibrio, mientras que el estudio de los sistemas por medio
de la teoría no lineal permite tener conciencia del comportamiento del sistema en todos los puntos
dentro de los cuales está definido; otro motivo para estudiar los sistemas no lineales y las
ecuaciones diferenciales que los describen radica en la existencia de fenómenos naturales y
representaciones matemáticas sorprendentes que no tienen cabida dentro de la teoría lineal.
El oscilador de Van der Pol es un sistema dinámico que incluye realimentación positiva y un
elemento resistivo no lineal. Es el resultado de investigaciones realizadas por el físico holandés
Balthasar Van der Pol durante las décadas de 1920 y 1930, cuyo trabajo principal se enfocó en la
implementación de circuitos electrónicos que empleaban tubos al vacío, allí observó que se
presentaban oscilaciones estables, también llamadas ciclos límite.
2.1 OSCILADOR DE VAN DER POL
De manera básica y general el oscilador de Van der Pol se describe por la siguiente ecuación
diferencial autónoma no lineal de segundo orden:
( )
Ecuación 1.
, es un coeficiente variable entre . Al definir , se puede escribir el modelo
como un sistema de ecuaciones representado por variables de estado así:
( )
Ecuación 2. a) y b)
Donde el único punto de equilibrio del sistema es y , así que el sistema linealizado
alrededor del origen se puede escribir como se muestra a continuación,
[
]
Ecuación 3.
3
Cuyos eigenvalores son ( √ ) . Por tanto, a la luz de la teoría de estabilidad para
sistemas lineales el origen es un punto espiral inestable cuando y es un nodo impropio
inestable, para , cuando el sistema es asintóticamente estable, así que bajo estas
condiciones cerca al origen, lo único que se puede decir con certeza es que todas las soluciones del
sistema tienden al infinito o a cero.
Gráficamente, a través del plano de fases se puede observar el comportamiento de los estados de
acuerdo con la trayectoria que describe la solución del sistema, a continuación se muestran algunos
ejemplos de gráficas que ilustran las soluciones de los escenarios previamente mencionados, de
acuerdo con los respectivos valores propios:
Punto espiral estable: Eigenvalores complejos conjugados con parte real negativa
Figura 1: Plano de Fases (izquierda) – Respuesta en tiempo (derecha). Tomada de [6].
Punto espiral inestable: Eigenvalores complejos conjugados con parte real positiva
Figura 2: Plano de Fases (izquierda) – Respuesta en tiempo (derecha). Tomada de [6].
Cuando μ es igual a cero, el sistema queda descrito por la ecuación diferencial lineal autónoma de
segundo orden que se muestra a continuación:
Ecuación 4.
Al definir , se puede escribir el modelo como un sistema de ecuaciones representado por
variables de estado así:
4
Ecuación 5. a) y b)
Y de nuevo el único punto de equilibrio es y . De forma análoga
[
]
Ecuación 6.
Los valores propios del sistema son y así que el punto de equilibrio (0,0) es un
centro críticamente estable que incorpora una única solución periódica lineal que de manera
general se encuentra descrita por:
( ) ( )
( ) ( )
Ecuación 7. a) y b)
La solución que satisface las condiciones ( ) y ( ) es claramente
( )
( )
Ecuación 8. a) y b)
Y la solución determinada por ( ) y ( ) es
( ) (
)
( ) (
)
Ecuación 9. a) y b)
Estas dos soluciones definen la misma trayectoria C en el plano de fases, a saber el círculo
De esta manera se corrobora la existencia de una trayectoria que recorre el sentido
contrario a las manecillas del reloj.
5
Figura 3: Plano de fases, μ=0. Tomada de [7]
Hasta ahora sólo se ha realizado una aproximación al comportamiento dinámico del oscilador de
Van der Pol visto desde una perspectiva de la teoría lineal, con lo cual se ha verificado que las
trayectorias de las soluciones que describen el espacio de estados en el plano de fases muy cerca al
origen (0,0), tienden a cero ó tienden a infinito y para un caso particular tienden a una respuesta
sinusoidal pura, pero en realidad dichas trayectorias no describen de manera general la respuesta
dinámica del sistema.
2.2 CICLO LÍMITE
En cuanto a las soluciones periódicas y específicamente los ciclos límite, el estudio es más
complejo y se debe recurrir a los teoremas de Poincaré-Bendixon y de Liénard con el fin de tener un
soporte matemático que demuestre la existencia de ciclos límite sin encontrar en sí la solución en
tiempo del sistema.
En esta sección se abordará el tema de la existencia de soluciones periódicas de sistemas autónomos
de segundo orden
( )
Ecuación 10.
cuyas soluciones satisfacen la relación
( ) ( )
Ecuación 11.
para toda y para alguna constante T no negativa denominada periodo. Las trayectorias
correspondientes son curvas cerradas en el plano de fases. En distintas situaciones una solución
periódica representa un “estado final” hacia el que tienden todas las soluciones “vecinas”, como los
transitorios en función de las condiciones iniciales.
Un ciclo límite estable es un fenómeno que solo tiene cabida dentro de los sistemas no lineales y
básicamente se define como la existencia de una única trayectoria cerrada en el plano de fases que
describe la solución de un sistema, en donde otras trayectorias no cerradas tienden en espiral hacia
ella, desde el interior o exterior cuando . En la figura 4 se muestra un ejemplo de un ciclo
límite.
6
Figura 4: Ciclo Límite. Tomada de [12]
Si todas las trayectorias que inician cerca de una trayectoria cerrada (tanto por dentro como por
fuera) tienden en espiral hacia dicha trayectoria cerrada cuando , entonces se dice que el
ciclo límite es estable. Dado que la trayectoria del ciclo límite es por sí misma una órbita periódica,
en lugar de un punto de equilibrio, a este tipo de estabilidad suele dársele el nombre de estabilidad
orbital. Ahora, si las trayectorias en uno de los lados se aproximan en espiral hacia la trayectoria
cerrada, mientras que del otro lado se alejan en espiral de ella cuando , entonces se dice que
el ciclo límite es semi-estable. Si las trayectorias de ambos lados de la trayectoria cerrada se alejan
en espiral cuando , entonces la trayectoria cerrada es inestable, y no se conoce como ciclo
límite.
De acuerdo con la referencia [7], para verificar la existencia de ciclos límite ha sido desarrollado un
criterio práctico que garantiza la existencia de trayectorias cerradas para toda ecuación de la forma
( )
( )
Ecuación 12.
conocida como la ecuación de Lienard, como se mostrará a continuación una sobresaliente
aplicación del teorema de Lienard ocurre en la ecuación de Van der Pol. Al hablar de una
trayectoria cerrada para tal ecuación, se hace referencia a una trayectoria del sistema de la forma
( ) ( )
Ecuación 13. a) y b)
una trayectoria cerrada de la ecuación 13 corresponde a una solución periódica de la ecuación 12.
El hecho fundamental acerca de las trayectorias cerradas en la ecuación 13 está contenido en el
siguiente teorema.
Teorema de Lienard: Sean dos funciones ( ) y ( ) que satisfacen las siguientes condiciones:
7
1. Ambas son continuas, al igual que sus derivadas en todo .
2. ( ) es impar y tal que ( ) para , y ( ) es par.
3. La función impar
( ) ∫ ( )
Ecuación 14.
tiene exactamente un cero positivo en , es negativa para , es positiva y no
decreciente para , y ( ) cuando . Entonces la Ecuación 13 tiene una única
trayectoria cerrada que rodea al origen en el plano de fases, y a ella tienden en forma de espirales
todas las demás trayectorias cuando .
La demostración de este teorema se encuentra en [7].
La principal aplicación del teorema de Lienard ocurre en la ecuación de Van der Pol
( )
Ecuación 15.
donde μ, es una constante positiva. De la ecuación de Van der Pol y de la ecuación de Lienard se
puede extraer que
( ) ( )
( )
Ecuación 16. a) y b)
De acuerdo con el ecuación 16 y el Teorema de Lienard, se observa que la condición 1 es
satisfecha.
Ahora si,
( ) (
)
Ecuación 17.
del teorema de Lienard se observa que ( ), tiene un único cero positivo en √ , es negativa
en , positiva para √ , y ( ) , cuando . Finalmente, ( ) ( ) es positiva para , de manera que ( ) es no decreciente (de hecho, es creciente)
para √ . Por tanto se cumplen todas las condiciones del teorema y se concluye que la ecuación
de Van der Pol tiene una única trayectoria cerrada (solución periódica) a la que tienden en forma
espiral (asintóticamente) todas las demás trayectorias (soluciones no triviales). Después de verificar
la existencia de ciclos límite para la ecuación Van der Pol, en las figuras 5 a 7 se muestran la
soluciones en tiempo y el plano de fases para distintos valores de μ, cabe destacar que dichas
soluciones se encuentran usando métodos numéricos a través de un computador.
8
Figura 5. Ciclo límite (izquierda) – Respuesta en tiempo (Derecha). Tomada de [6]
Figura 6. Ciclo límite (izquierda) – Respuesta en tiempo (Derecha). Tomada de [6]
Figura 7. Ciclo límite (izquierda) – Respuesta en tiempo (Derecha). Tomada de [6]
9
2.3 BIFURCACIÓN
En esta sección es de interés observar el comportamiento de los sistemas dados por
( )
Ecuación 18.
Con el fin de responder ¿Cómo el comportamiento cualitativo de la ecuación 18, cambia en la
medida en que la función ó el vector cambia respecto a µ?. Si el comportamiento cualitativo del
sistema permanece similar para todos los vectores de campo cercanos, en el sistema descrito
previamente y el vector de campo , entonces se dice que el sistema es estructuralmente estable. Si
el vector de campo no es estructuralmente estable, entonces pertenece al conjunto de bifurcación.
La estructura cualitativa del conjunto de soluciones o del plano de fases general de la ecuación 18
cambia en la medida en que el vector de campo pasa a través de un punto contenido en el
conjunto de bifurcación. Ciclos y puntos de equilibrio son aspectos distintivos de los planos de fase
en sistemas autónomos. Si las funciones que describen el sistema se modifican ligeramente, cabría
esperar que la nueva gráfica tuviera semejanza con la anterior, un ciclo límite podría reducirse un
poco, un punto de equilibrio desplazarse un poco, una espiral podría tensarse o aflojarse; no
obstante perdurarían aspectos predominantes en la gráfica. En realidad, pequeños cambios en el
coeficiente de una ecuación pueden significar la desaparición de un aspecto y la repentina aparición
de otro diferente por completo, cuando un parámetro cambia, podría aparecer un nuevo punto de
equilibrio, o bien un punto de equilibrio estable puede desestabilizar y expulsar un ciclo límite
atrayente. Básicamente una bifurcación desde un punto de vista cualitativo, significa un cambio en
la estructura de las trayectorias en el plano de fases cuando un parámetro del sistema ha cambiado.
Para este informe final es de interés las bifurcaciones en puntos de equilibrio no-hiperbólicos
(eigenvalores imaginarios puros) incluyendo órbitas periódicas, este tipo de bifurcación es conocido
como bifurcación local porque hace énfasis en cambios que tienen lugar cerca del punto de
equilibrio. Para el oscilador de Van der Pol el tipo de bifurcación a verificar se conoce como
bifurcación supercrítica de Andronov-Hopf.
De acuerdo con [13], el teorema de Bifurcación Supercrítica de Andronov-Hopf establece lo
siguiente: Para un sistema de la forma ( ) con un único punto de equilibrio dado por
para todo , se definen los eigenvalores complejos conjugados de la forma ( ) ( ) de la
matriz ( ), y que cruzan el eje imaginario cuando , adicionalmente satisfacen que
( ) ( ) y ( ) . Claramente, el sistema ( ) es asintóticamente estable
en el origen cuando , entonces conforme aumenta y pasa por 0, el origen se desestabiliza y
expele un ciclo límite atrayente de amplitud ( ). En otras palabras, en el origen órbitas periódicas
de ( ) se bifurcan desde ( ) ( ). El periodo del ciclo es aproximadamente
conforme las órbitas se aproximan a ( ) ( ).
Retomando el sistema de Van der Pol linealizado previamente alrededor del punto de equilibrio
(0,0)
[
]
10
se observa que los valores propios del sistema cerca al origen están dados por ( √ ) y
se restringirá el caso de estudio para valores comprendidos , bajo esta condición acerca
del oscilador de Van de Pol se puede observar lo siguiente:
Para valores negativos de los valores propios toman la forma de , con lo cual se puede
verificar que sobre el plano de fases se describen trayectorias en forma de espiral estable que
convergen a cero. A medida que , dichas espirales convergen más lentamente y justo cuando
el sistema presenta una trayectoria de oscilación sinusoidal pura. Cuando los valores
propios son complejos conjugados con parte real positiva, y las trayectorias observadas cerca al
origen corresponden a espirales inestables que convergen a un ciclo límite.
Resumiendo lo anterior, el oscilador de Van der Pol presenta bifurcación supercrítica de Hopf,
porque: ocurre una transición en el plano de fases de una espiral estable ( ) a un centro
( ) y luego a un espiral inestable ( ) rodeado de un ciclo límite, todo esto alrededor del
punto de equilibrio (0,0), en la figura 8 ,9 y 10, se muestra cualitativamente este fenómeno.
Figura 8. Desplazamiento de los valores propios en el plano complejo respecto a μ. Tomda de [9]
Figura 9. Trayectorias alrededor del punto de bifurcación. Tomada de [9]
11
Figura 10. Representación gráfica de bifurcación de Andronov-Hopf. Tomda de [12]
2.4 HISTÉRESIS
La histéresis es un fenómeno no lineal que se presenta en distintas disciplinas que van desde la
física a la biología, de la ciencia de los materiales a la mecánica, y de la electrónica a la economía.
El ejemplo más común del fenómeno de la histéresis se encuentra presente en una inductancia con
núcleo magnético en un circuito eléctrico.
Figura 11. Curva de Histéresis Magnética. Tomada de [1]
Básicamente, la curva de histéresis presenta una relación entrada-salida no lineal que gráficamente
se manifiesta a través de un camino recorrido en un solo sentido sobre una trayectoria cerrada, para
el caso magnético, las variables relacionadas con la histéresis son la intensidad de campo magnético
y la densidad de campo magnético . Quizás el aspecto más importante que presenta el
fenómeno de la histéresis tiene que ver con el concepto de memoria. El concepto de memoria
abarca dos clasificaciones: histéresis con memoria local e histéresis con memorial no local. El
concepto de memoria local en un sistema con histéresis implica que la salida futura depende del
valor en el instante actual de salida, por su parte, el concepto de memoria no local implica que los
valores futuros de salida no sólo dependen de valores actuales de salida, sino que también dependen
de los valores de entrada anteriores, siendo así, la histéresis con memoria local presenta las
siguientes cualidades:
Cada punto de la curva entrada-salida corresponde a un estado único.
Este estado determina el comportamiento de la histéresis, es decir, el sentido de la
trayectoria.
La histéresis con memoria está modelada con curvas definidas que siempre representan la
misma trayectoria cerrada, no como en el caso de la histéresis con memoria no local en
donde pueden existir infinitas curvas representando la misma relación de entrada-salida.
12
Para el caso del oscilador de Van der Pol el fenómeno de histéresis a tratar se considera de carácter
estático y con memoria local, corresponde a un comportamiento presente en el núcleo
implementado para elaborar la inductancia cuando se construya el circuito eléctrico.
2.4.1 Modelo de Jiles-Atherton
De acuerdo con la referencia [11], el modelo propuesto para abordar el comportamiento magnético
del núcleo corresponde al modelo de Jiles-Atherton, dicho modelo establece que la magnetización
se representa como la suma de dos componentes, un componente irreversible debido al
desplazamiento de las paredes de los dominios magnéticos, y otra reversible.
Para el caso reversible, se define una curva anhisterética (sin histéresis) ( ) la cual relaciona
la magnetización del material con un campo magnético externo aplicado a través de la
siguiente relación:
(
)
( ) ( )
Ecuación 19. a) y b)
donde es la saturación de magnetización, se conoce como el parámetro de campo y es al
parámetro de forma.
La histéresis magnética es causada por imperfecciones en la estructura de los dominios del material.
Dislocaciones, impurezas y anisotropía magneto-cristalina conllevan a pérdidas de energía al
interior del núcleo durante la magnetización. Todos estos efectos son descritos por el segundo
elemento del modelo a través de una ecuación diferencial que relaciona cambios en la
magnetización en función de los cambios del campo magnético aplicado .
( )
( )
Ecuación 20.
donde es un parámetro de movimiento reversible de las paredes, y corresponde a un parámetro
de movimiento irreversible de las paredes. Información más completa y detallada del modelo se
encuentra en la referencia [14].
En el caso de materiales magnéticos blandos es común ignorar el término ( ) en el
denominador de la ecuación 20, como sucede en el simulador PSpice. Como resultado la siguiente
ecuación diferencial es usada:
(
)
( )
( )
Ecuación 21.
13
A continuación se muestra un ejemplo de las gráficas obtenidas del modelo previamente definido
Figura 12. Lazo de histéresis M[A/m] – H[Oersted], curva anhisterética
El principal inconveniente del modelo de Jiles-Atherton radica en la complejidad de encontrar los
parámetros del modelo en las hojas de especificaciones de los núcleos, razón por la cual en [11] se
propone un algoritmo que permite encontrar dichos parámetros, adicionalmente en el simulador
PSpice de OrCAD se incluye en la librería de los núcleos magnéticos el modelo completo que
describe cada material y que fue utilizada en este trabajo para abordar el tema de la histéresis.
Hasta el momento se ha definido la fundamentación teórica que permite tener una noción física del
fenómeno de la histéresis para un núcleo magnético, en las secciones 4 y 5 se relacionará el
comportamiento dinámico del oscilador de Van der Pol teniendo en cuenta el fenómeno de la
histéresis a través de la simulación del circuito en orCAD pSpice para una inductancia con núcleo
que alcanza la saturación y para una inductancia con núcleo que no la alcanza el nivel de
saturación; el objetivo principal está encaminado a comparar ambos resultados.
14
3. ESPECIFICACIONES.
3.1 DESCRIPCIÓN
La implementación del oscilador de Van der Pol consta de una inductancia con núcleo magnético,
un condensador, una resistencia no lineal. En la figura 13 se muestra una representación básica del
circuito.
Figura 13. Esquema básico oscilador de Van der Pol. Tomada de [3].
El funcionamiento del circuito se basa en el flujo de energía entre el condensador y la inductancia
en donde la resistencia no lineal participa para mantener y propiciar la oscilación. De la Figura 13
se puede observar que la inductancia , el condensador y la resistencia no lineal están en
configuración paralelo. Según la teoría lineal para un oscilador ideal, en donde únicamente
participan una inductancia y un condensador, las condiciones iniciales generan una oscilación
armónica pura. La implementación de un oscilador ideal es imposible debido a que en la práctica el
condensador y la inductancia están descritos por un modelo que incluye elementos parásitos como
capacitancias, inductancias y resistencias que disipan energía. En este trabajo se consideró la
presencia de resistencias parásitas asociadas a pérdidas únicamente para los componentes y , ya
sea en serie o paralelo según sea el caso.
3.2 CARÁCTERÍSTICAS ELÉCTRICAS DEL CIRCUITO
A continuación se enuncian características generales acerca del funcionamiento eléctrico del
circuito:
Fuente de Alimentación: 15V.
Valor de voltaje pico máximo a la salida: 8V.
Valor de corriente pico máximo a la salida: 20mA.
Rango frecuencia de operación: 0 – 5kHz.
Resistencia Variable: 2 – 20kΩ.
15
3.3 CONFIGURACIÓN RESISTENCIA NO LINEAL Y COMPONENTES
ADICIONALES
El elemento que impone el comportamiento no lineal dentro del oscilador es la resistencia no
lineal, el modelo que se implementó fue tomado de una investigación previa realizada para el
circuito de Chua [2], el cual tiene un comportamiento caótico y por tanto no lineal. En las
secciones siguientes se desarrolla la justificación teórica que relaciona el modelo matemático con el
modelo eléctrico respectivo. Adicionalmente, en los siguientes numerales se expone de manera
muy general las características eléctricas fundamentales de los componentes empleados para la
implementación.
3.3.1 Resistencia No lineal
El modelo eléctrico y la implementación de la resistencia no lineal fueron tomados de la referencia
[2].
De la Figura 14 se observa que entre los terminales de la resistencia no lineal se define una
resistencia y una fuente de voltaje a la tercera potencia.
Figura 14. Modelo Resistencia No Lineal. R es una resistencia negativa. Tomada de [3]
En las secciones posteriores se demostrará porque la resistencia , debe ser negativa, y se dará una
argumentación teórica explicando por qué se debe implementar una fuente cúbica de voltaje .
3.3.2 Componentes
3.3.2.1 Núcleos
Para verificar el fenómeno de la histéresis se requiere de la implementación de dos inductancias, la
primera de ellas se realizó con un núcleo que no se alcanza la saturación mientras que la segunda
fue elaborada de forma tal que logre fácilmente un valor de saturación. La idea es comparar la
respuesta dinámica del circuito de manera cualitativa para ambas inductancias con el fin de
observar, verificar y comparar los resultados de cada situación.
16
Núcleo Toroide Philips 3E25 TX 36/23/15
Características magnéticas del material:
Permeabilidad inicial - 5500 20%.
Densidad de Campo Magnético máxima (Saturación): 390mT @ 25°C, 10kHz.
Características del núcleo:
Área efectiva : .
Longitud efectiva :
Factor de Inductancia : 7390 25%
Núcleo Toroide Philips TX 3E5 10/6/4
Características magnéticas del material:
Permeabilidad inicial : 10000 20%.
Densidad de Campo Magnético máxima (Saturación): 380mT @ 25°C, 10kHz.
Características del núcleo:
Área efectiva : .
Longitud efectiva :
Factor de Inductancia : 3470 30%
3.3.2.2 Circuitos Integrados
Amplificador de Video AD 811
Características:
Slew Rate – 2500V/µs.
Ancho de banda máximo 140MHz.
Baja distorsión.
Multiplicador AD 633 JN
Características:
Circuito multiplicador de bajo costo.
Entradas diferenciales X y Y de alta impedancia.
Entrada sumadora Z de alta impedancia.
Función de operación básica dada por la ecuación:
17
( )( )
Ecuación 22. Relación entrada-salida para el circuito integrado AD633JN
3.3.2.3 Consideraciones especiales Condensador e Inductancia.
A continuación se muestran valores nominales y experimentales para el condensador y la
inductancia, también se enuncian los valores experimentales para las resistencias de pérdidas
asociadas a cada componente y que serán incluidas en la simulación.
Condensador
Características:
Valor nominal: 100nF
Valor experimental medido a 3kHz: 67nF
Valor de resistencia de pérdidas en serie asociada, medida experimentalmente a 3kHz:
21Ω.
Valor de resistencia de pérdidas en paralelo asociada, medida experimentalmente a 3kHz:
40.3kΩ.
Inductancia Núcleo Toroide Philips TX 36/23/15
Características:
Valor experimental: 48.9mH
Valor de resistencia de pérdidas en serie asociada, medida experimentalmente a 3kHz:
19.4Ω.
Valor de resistencia de pérdidas en paralelo asociada, medida experimentalmente a 3kHz:
43.9k Ω.
Inductancia Núcleo Toroide Philips TX 3E5 10/6/4
Características:
Valor experimental: 48.2mH
Valor de resistencia de pérdidas en serie asociada, medida experimentalmente a 3kHz:
153.7Ω.
Valor de resistencia de pérdidas en paralelo asociada, medida experimentalmente a 3kHz:
5.2kΩ
18
3.4 TARJETA DE ADQUISICÓN DE DATOS PCI – 6024E
Se decidió implementar la Tarjeta de Adquisición de Datos PCI – 6024E de National Instruments.
Adicionalmente se utilizó la herramienta Labview para la implementación a nivel de software de
la interfaz que permite observar la señal de oscilación en tiempo y el plano de fases, en tiempo
real.
Características de la tarjeta de adquisición:
Sample Rate: 200kS/s.
Tipo de Entrada Análoga – RSE (Referenced Single Ended).
Entradas analógicas usadas para la implementación:
o ACH1, AIGND.
19
4 DESARROLLOS
En esta sección se realizará la deducción del modelo eléctrico que presenta el comportamiento
dinámico dado por la ecuación de Van der Pol, es importante tener en cuenta que para el desarrollo
del mismo se tuvieron ciertas restricciones y consideraciones que se abordarán más adelante
dependiendo de cada situación.
4.1 DEDUCCIÓN DEL MODELO CIRCUITAL DEL OSCILADOR DE VAN DER POL
De acuerdo con la topología propuesta en la Figura 15, y bajo la restricción que y tienen un
comportamiento lineal, es una resistencia asociada a las pérdidas tanto para la inductancia y el
condensador, e es la corriente que pasa a través de la resistencia no lineal, se procede a plantear
la siguiente ecuación:
Ecuación 23
Figura 15. Oscilador de Van der Pol. Tomada y editada de [3].
expresando en términos de la ecuación lineal que relaciona voltaje y corriente en el condensador,
se obtiene
Ecuación 24.
Al tomar la derivada respecto al tiempo a ambos lados de la Ecuación 24,
Ecuación 25.
y relacionando en términos de la ecuación lineal que relaciona voltaje y corriente en la
inductancia, se obtiene
20
Ecuación 26.
Aplicando la regla de la cadena en la Ecuación 26 y observando que ,
Ecuación 27.
Reorganizando los términos
(
)
Ecuación 28.
observando la ecuación 28 y comparando con la ecuación 1 , intuitivamente se puede inferir que la
relación entre corriente y voltaje de la resistencia no lineal, está dada por
( )
Ecuación 29.
esto en razón que el término
en la ecuación 28, permite a partir de la ecuación 29 obtener una
expresión de la forma
Ecuación 30.
de forma tal que al sustituir la ecuación 30 en la ecuación 28, se puede obtener una nueva ecuación
que tenga la estructura de la ecuación 1 de Van der Pol.
4.1.1 Desarrollo del modelo eléctrico para la resistencia no lineal.
De acuerdo con la implementación de la resistencia no lineal en el circuito de Chua de la figura 16,
a continuación se muestra la deducción del modelo eléctrico para la resistencia no lineal.
En primera instancia se supone el circuito integrado AD811 operando en región lineal, de forma tal
se puede establecer la siguiente relación:
Ecuación 31. , entrada inversora - entrada no inversora. Para el circuito integrado AD811.
21
Al plantear la LVK en el nodo en la salida del circuito integrado AD811, se obtiene:
Ecuación 32.
Despejando en términos de
Ecuación 33.
y planteando la ecuación LVK sobre el nodo de la entrada no inversora del integrado AD811, se
define
Ecuación 34.
sustituyendo la ecuación 33 en la ecuación 34, se obtiene
Ecuación 35.
De acuerdo con la hoja de especificaciones para el circuito multiplicador AD633JN, en la cual se
establece la relación entrada-salida dada por la ecuación
( )( )
Ecuación 36. Relación entrada-salida para el circuito integrado AD633JN
y la configuración del circuito de la Figura 16, se procede a definir una relación matemática
apropiada para la variable .
Ecuación 37.
y también ,
Ecuación 38.
Al sustituir la ecuación 38 en la ecuación 37, se obtiene que
Ecuación 39.
22
reorganizando los términos de la ecuación 39 respecto a ,
Ecuación 40.
Sustituyendo la ecuación 40 en la ecuación 35 se obtiene finalmente la expresión que relaciona
en función de de acuerdo con la topología de la figura 15,
( )
(
)
Ecuación 41.
Figura 16. Implementación de la resistencia no lineal, circuito de Chua. Tomado de [2].
Al imponer la restricción que , la Ecuación 41 se rescribe así
( )
(
)
Ecuación 42.
Así pues, se obtiene una relación matemática apropiada para el modelo eléctrico que describe la
resistencia no lineal, en donde se propone implementar una resistencia negativa y una fuente cúbica
de voltaje.
23
4.1.2 Ecuación diferencial no lineal del oscilador de Van der Pol
En esta sección se deduce la ecuación diferencial no lineal que describe el comportamiento del
oscilador de Van der Pol.
De acuerdo con la Ecuación 28, se debe tomar la derivada de la función de corriente respecto a
dada por la ecuación 42, de forma tal que
Ecuación 43.
y sustituyendo la ecuación 43 en la ecuación 28, resulta
(
)
Ecuación 44.
Reorganizando términos de la ecuación anterior, el modelo eléctrico para la ecuación de Van der
Pol queda descrito por la siguiente ecuación:
[
]
Ecuación 45. Ecuación Oscilador de Van der Pol
Si se define una variable auxiliar , de forma tal que , y adicionalmente , el sistema
descrito por la ecuación 45 se rescribe
[
]
Ecuación 46.
que tiene la forma general de la ecuación 2.
4.2 IMPLEMENTACIÓN DEL CIRCUITO ELÉCTRICO DEL OSCILADOR DE VAN
DER POL
Luego del desarrollo teórico del modelo eléctrico para el oscilador de Van der Pol, en esta sección
se realizará un listado de los valores de todos los componentes involucrados en la construcción del
circuito, con el fin de tener el desarrollo completo del modelo y con el propósito de continuar con el
análisis respectivo del sistema dentro de los alcances de este trabajo.
24
4.2.1 Valores de los componentes utilizados en la implementación.
Componente Valor
Inductancia 49mH
Condensador 67nF
Resistencia 2kΩ
Resistencia 2kΩ
Resistencia (Variable) 7Ω – 50kΩ
Resistencia 5.6kΩ
Resistencia 8.6kΩ
Tabla 1.
Los criterios de selección de los componentes, obedecen a pruebas y resultados de simulación e
implementación para distintos valores, partiendo de los valores propuestos en [2].
4.2.2 Consideraciones resistencia de pérdidas,
Como se mencionó previamente la resistencia que se incluyó en el desarrollo del modelo
eléctrico del oscilador de Van der Pol, esta asociada a cada resistencia de pérdidas debido a la
construcción física de los componentes y , para la implementación y desarrollo del modelo la
ecuación que relaciona la resistencia con las resistencias en paralelo asociadas a y , está
dada por:
Ecuación 47. –Resistencia de pérdidas asociada a la inductancia, – Resistencia de pérdidas asociada al
condensador.
De acuerdo con los valores experimentales obtenidos a la hora de realizar la medición de las
respectivas resistencias de pérdidas asociadas a y se obtuvo
Resistencia asociada de pérdidas, (paralelo) VALOR
43.5kΩ
30.3kΩ Tabla 2.
y los valores experimentales de resistencias en serie asociadas a y son:
Resistencia asociada de pérdidas, (serie) VALOR
19.2Ω
21.7 Ω Tabla 3.
Al observar la tabla 3 y la ecuación 47, se puede concluir que
25
4.2.3 Ecuación de Van de Pol para el circuito eléctrico a implementar.
De acuerdo con los valores listados en las secciones 4.2.1 y 4.2.2, la ecuación 45 de Van der Pol
para el oscilador eléctrico implementado, está dada por:
[
( )
]
Ecuación 48. es un coeficiente variable.
4.2.4 Circuito esquemático.
Figura 17. Circuito esquemático. OrCAD
VCC -VCC
VCC
X11
X22
Y13
Y24
Z6
W7
V+
8V
-5
U1
AD633J/AD
-VCC
R1R2
VCC
-VCC
R3
00
R4
R5
+5
-6
V+4
V-11O
UT
7
U6
AD8011AN/AD
X11
X22
Y13
Y24
Z6
W7
V+
8V
-5
U3
AD633J/AD
0
0
0
1
2
L
C
0
26
4.3 BIFURCACIÓN
De acuerdo con el teorema de Andronov-Hopf, el fenómeno de bifurcación ocurre en puntos de
equilibrio no hiperbólicos cuando un coeficiente variable del sistema cambia dentro de un rango de
valores determinado. Para el caso del oscilador de Van der Pol del presente informe, el elemento
variable es .
Al linealizar la ecuación 46 alrededor del punto de equilibrio (0,0) se obtiene:
[ ] [
] [ ]
Ecuación 49.
Y los valores propios están dados por la siguiente ecuación
( )
√
Ecuación 50.
Al observar la Ecuación 50, se pueden inferir las siguientes conclusiones:
De acuerdo con los valores definidos para la implementación en las secciones 4.2.1 y 4.2.2,
los eigenvalores del sistema descrito por ecuación 49 expresados en la ecuación 50 siempre
van a ser números complejos conjugados.
El término que establece el valor de la parte real para los eigenvalores del sistema es ( )
, y se puede inferir que cuando los valores propios del sistema son
números complejos imaginarios puros, cuando los eigenvalores del sistema son
complejos conjugados con parte real negativa y cuando los valores propios del
sistema son números complejos conjugados con parte real positiva.
De acuerdo con el teorema de Andronov-Hopf. Cuando los valores propios del sistema
toman la forma de , con lo cual se puede verificar que sobre el plano de fases se describen
trayectorias en forma de espiral estable que convergen a cero. A medida que disminuye y se
aproxima a , dichas espirales convergen más lentamente y justo cuando los valores
propios toman la forma y el sistema presenta en el plano de fases una trayectoria circular, es
decir, una oscilación sinusoidal pura. Cuando los valores propios son complejos
conjugados con parte real positiva, y las trayectorias observadas cerca al origen en el plano de fases
corresponden a espirales inestables que convergen a un ciclo límite.
De acuerdo con lo anterior el punto de bifurcación para el sistema de Van der Pol, se presenta justo
cuando y el sistema descrito por la ecuación 49 satisface el teorema de Andronov-
Hopf.
27
4.4 ALGORITMO PARA CALCULAR LOS PARÁMETROS DEL MODELO DE
JILES-ATHERTON EMPLEADO EN PSPICE ORCAD.
En el presente informe se incluye el análisis y obtención de parámetros relacionados con el
comportamiento de la histéresis para el circuito del oscilador de Van der Pol. El procedimiento
consistió en observar el comportamiento dinámico real del circuito para dos tipos de inductancias,
la primera inductancia fue construida con el objetivo de no alcanzar el valor de saturación, de forma
tal que el respectivo análisis e inclusión en el modelo del sistema y la implementación del circuito
se pueda abordar desde una perspectiva lineal, mientras que la segunda inductancia fue elaborada
con el propósito de alcanzar el nivel de saturación y se pueda apreciar la presencia del fenómeno no
lineal de la histéresis en el comportamiento dinámico del sistema. Es por esto, que en esta sección
se explicará la metodología utilizada para la obtención de los parámetros necesarios en la
simulación del circuito teniendo en cuenta el fenómeno de la histéresis para las dos inductancias, de
esta forma se podrá obtener a nivel de simulación las curvas de histéresis para cada inductancia, y
así poder tener un soporte más completo para los resultados obtenidos en la sección 5.
El análisis para el estudio de la histéresis en la implementación del oscilador de Van der Pol se
realizó a través de la simulación del circuito en Pspice ORCAD. El modelo matemático de la
histéresis se definió previamente en la sección 2 del presente documento.
La interfaz de usuario del Model Editor en Pspice ORCAD tiene como parámetros de entrada los
parámetros relacionados en las ecuaciones 19 y 20, y son los siguientes:
Parámetro
Valor de magnetización de saturación.
Parámetro de movimiento reversible de las
paredes
Parámetro de movimiento irreversible de las
paredes.
Parámetro de forma.
Parámetro de Campo
Tabla 4. Coeficientes necesarios para la simulación en Pspice orCAD.
De acuerdo con [11], se deben seguir los siguientes pasos para calcular dichos parámetros, en la
tabla 5, se listan parámetros adicionales extraídos de las hojas de especificaiones del fabricante y
que son necesarios para emplear el algoritmo propuesto.
Parámetros Obtenidos de las hojas de especifaciones del material
Valor de Densidad de Campo Magnético de
Remanencia.
Coercitividad.
Permeabilidad Inicial.
( ) ( ) Par de puntos extráidos de la curva de
demagnetización.
Permeabilidad en el espacio libre
Tabla 5.
28
1. Se debe calcular el valor de permeabilidad en la región de de-magnetización, dada por:
Ecuación 51.
2. Luego se debe calcular el valor inicial del parámetro , que para este caso se llamará
Ecuación 52.
3. Se procede a calcular la Magnetización para dos puntos (inicial y final) de la curva de
magnetización inicial.
Ecuación 53.
4. Luego se debe hallar el parámetro dado por:
Ecuación 54.
5. Se define la siguiente ecuación para calcular el parámetro
(
)
(
)
Ecuación 55.
6. Con la siguiente expresión se calcula el valor de la magnetización de saturación
Ecuación 56.
7. Se procede a hallar el parámetro , a través de la siguiente expresión
( ) [ ( ) (
)]
( )( )
Ecuación 57.
29
8. Se repite el procedimiento desde los pasos 5-7 con el fin de obtener un valor definido para
. Cuando el valor de tiende a un valor fijo, se continúa con el último paso.
9. Se procede a calcular el parámetro , por medio de la siguiente ecuación
( )
Ecuación 58.
Después de enunciar brevemente el algoritmo utilizado, a continuación de muestran los parámetros
obtenidos para realizar la simulación del circuito eléctrico usando la herramienta Model Editor de
Pspice orCAD para incluir el fenómeno de la histéresis, cabe anotar que el resultado de la
simulación del circuito así como las curvas de histéresis obtenidas para cada núcleo se mostrarán
en la siguiente sección.
Parámetros para la simulación de la bobina que no alcanza la saturación.
Los parámetros obtenidos de las hojas de especificaciones del fabricante Ferroxcube - Phillips para
el núcleo TX 36/23/15 empleado en la bobina que no alcanza la saturación son los siguientes:
Núcleo TX 36/23/15
Área Efectiva 0.975 [ ]
Longitud Efectiva 8.97 [cm]
Tabla 6.
Los parámetros obtenidos al observar las características magnéticas del material 3E25, de acuerdo
con el fabricante Ferroxcube -Phillips son:
Parámetro
100 [mT]
9 [A/m]
7500
( ) ( ) (8 A/m, 50mT), (50 A/m, 310mT)
Tabla 7.
Y los coeficientes obtenidos después de emplear el algoritmo se enuncian a continuación:
Coeficiente
310540 [A/m]
0.423
9.342
13.567 [A/m]
Tabla 8.
30
Parámetros para la simulación de la bobina que alcanza la saturación Los parámetros obtenidos de las hojas de especificaciones del fabricante Ferroxcube - Phillips para
el núcleo TX 3E5 10/6/4 empleado en la bobina que alcanza la saturación son los siguientes:
Núcleo TX 3E5 10/6/4
Área Efectiva 0.078 [ ]
Longitud Efectiva 2.41 [cm]
Tabla 9.
Los parámetros obtenidos al observar las características magnéticas del material 3E5, de acuerdo
con el fabricante Ferroxcube -Phillips son:
Parámetro
90 [mT]
4 [A/m]
5500
( ) ( ) (9 A/m, 50mT), (25 A/m, 240mT)
Tabla 10.
Y los coeficientes obtenidos después de emplear el algoritmo se enuncian a continuación:
Coeficiente
327329 [A/m]
0.8765
7.873
15.342 [A/m]
Tabla 11.
4.5 INTERFAZ EN LABVIEW QUE PERMITE VER LOS RESULTADOS EN
TIEMPO REAL
Por requerimiento del proyecto los resultados del comportamiento dinámico del oscilador de Van
der Pol, deben ser mostrados en tiempo real. La implementación en Labview permite observar en
principio dos tipos de gráficas:
Señal en tiempo de la respuesta dinámica del oscilador de Van der Pol.
Plano de Fases, donde se observan las trayectorias de las variables de estado que describen
el comportamiento del sistema.
En la figura 18 se muestra el diagrama de bloques implementado en Labview con el fin de observar
en tiempo real los datos de interés.
31
Figura 18. Diagrama en Bloques, Labview.
La implementación a nivel de software consta de los siguientes bloques:
DAQ Assistant: Bloque que permite tomar los datos provenientes de la tarjeta de adquisición
almacenarlos para que puedan ser usados por las funciones y aplicaciones de Labview.
Derivative (dX/dt): Bloque que se encarga de tomar la derivada de los datos de entrada, sin agregar
retardos ó desfases en tiempo.
Build XY Graph: Bloque cuya utilidad radica en realizar un gráfico XY respecto a los valores que
tenga en las entradas X y Y.
Distortion –THD%: El bloque de distorsión permite calcular la distorsión armónica total, de la señal
que tenga en la entrada, el bloque THD% permite observar el valor de dicha distorsión
Data, XY Graph: Bloques que permiten visualizar los datos que tengan a la entrada, Data permite
observar las señales respecto al tiempo, mientras que XY Graph muestra una gráfica en donde
relaciona uno a uno los valores de entrada X y Y.
32
5 RESULTADOS
En esta sección se presentan los resultados obtenidos en simulación y la implementación del
sistema en físico, con el fin verificar el comportamiento dinámico del mismo. El objetivo es
experimentar con distintos escenarios de oscilación cambiando el parámetro , y apreciar el
fenómeno de la histéresis cuando la inductancia presenta saturación y contrastar dicho
comportamiento cuando no presenta saturación.
De manera general se listan los resultados que se mostrarán más adelante:
Comportamiento dinámico del sistema en físico, usando tarjeta de adquisición de datos y la
herramienta de software Labview
o Incluye gráficas de respuesta en tiempo.
o Incluye planos de fase
Simulación del modelo eléctrico sin incluir el fenómeno de la histéresis, en MATLAB.
o Incluye gráficas de respuesta en tiempo.
o Incluye Planos de Fase
Simulación de la histéresis usando la herramienta de simulación Pspice orCAD.
o Incluye gráficas de respuesta del circuito, en tiempo.
o Incluye curva de histéresis para cada núcleo.
5.1 RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL MODELO Y EL CIRCUITO CUYA
INDUCATANCIA NO PRESENTA SATURACIÓN
A continuación se muestran los resultados obtenidos para 3 valores del parámetro
5.1.1 Gráficas obtenidas cuando .
Valor de [kΩ] Valores Propios Frecuencia [kHz] THD %
0.6 1.0e+004 *(
1.1999 + 1.2674i
1.1999 - 1.2674i)
2.35 19.5
Tabla 12.
33
Figura 19. Respuesta en Tiempo, circuito. Labview
Figura 20. Respuesta en tiempo, modelo. Matlab
34
Figura 21. Plano de Fases, circuito. Labview.
Figura 22. Plano de Fases, modelo. Matlab
35
Figura 23. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice
5.1.2 Gráficas obtenidas cuando
Valor de [kΩ] Valores Propios Frecuencia [kHz] THD %
1.5 1.0e+004 * (
0.4536 + 1.6853i
0.4536 - 1.6853i)
2.67 9
Tabla 13.
Figura 24. Repuesta en Tiempo, circuito. Labview
H(K1)*1000/(4*pi)
-7.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
B(K1)/10000
-40m
0
40m
-60m
60m
36
Figura 25. Repuesta en tiempo, modelo. Matlab.
Figura 26. Plano de Fases, circuito. Labview.
37
Figura 27. Plano de Fases, modelo. Matlab.
Figura 28. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice
5.1.3 Gráficas obtenidas en el caso que .
Valor de [kΩ] Valores Propios Frecuencia [kHz] THD %
11 1.0e+004 *(
0.0239 + 1.7451i
0.0239 - 1.7451i)
2.8 1.76
Tabla 14.
H(K1)*1000/(4*pi)
-5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
B(K1)/10000
-40m
-20m
0
20m
40m
38
Figura 29. Respuesta en tiempo, circuito. Labview
Figura 30. Respuesta en tiempo, modelo. Matlab.
39
Figura 31. Plano de Fases, Circuito. Labview.
Figura 32. Plano de Fases, modelo. Matlab
40
Figura 33. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice
5.1.4 Resultados obtenidos cerca al punto de bifurcación
Valor de [kΩ] Valores Propios Frecuencia [kHz] THD %
17 1.0e+004 *(
0 + 1.7453i
0 - 1.7453i)
2.86 0.287
Tabla 15.
Figura 34. Respuesta en tiempo, Circuito. Labview
H(K1)*1000/(4*pi)
-240m -200m -160m -120m -80m -40m -0m 40m 80m 120m 160m 200m 240m
B(K1)/10000
-2.0m
-1.0m
0
1.0m
2.0m
41
Figura 35. Respuesta en tiempo, Modelo. Matlab
Figura 36. Plano de fases, circuito. Labview
42
Figura 37. Plano de Fases, Modelo. Matlab
Figura 38. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice
5.2 RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL MODELO Y EL CIRCUITO CUYA
INDUCTANCIA PRESENTA SATURACIÓN
En esta sección se mostrarán los resultados obtenidos del comportamiento dinámico del sistema,
cuando la inductancia presenta saturación.
H(K1)*1000/(4*pi)
-300m -250m -200m -150m -100m -50m 0m 50m 100m 150m 200m 250m 300m
B(K1)/10000
-4.0m
-2.0m
0
2.0m
4.0m
43
5.2.1 Gráficas obtenidas cuando
Valor de [kΩ] Valores Propios Frecuencia [kHz] THD %
0.6 N/A 4.81 23.28
Tabla 16.
Figura 39. Respuesta en tiempo, circuito. Labview
Figura 40. Respuesta en Tiempo, modelo. Pspice
Time
2.000ms 2.100ms 2.200ms 2.300ms 2.400ms 2.500ms 2.600ms 2.700ms 2.800ms 2.900ms 2.992ms
V(R1:1)
-8.0V
-4.0V
0V
4.0V
7.9V
44
Figura 41. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice
5.2.2 Gráficas obtenidas cuando
Valor de [kΩ] Valores Propios Frecuencia [kHz] THD %
1.5 N/A 4.32 14.43
Tabla 17.
Figura 42. Respuesta en tiempo, circuito. Labview
H(K1)*1000/(4*pi)
-120 -100 -80 -60 -40 -20 -0 20 40 60 80 100
B(K1)/10000
-400m
-200m
0
200m
400m
45
Time
2.0ms 2.1ms 2.2ms 2.3ms 2.4ms 2.5ms 2.6ms 2.7ms 2.8ms 2.9ms 3.0ms
V(R1:1)
-2.5V
0V
2.5V
-5.0V
4.9V
Figura 43. Respuesta en tiempo, modelo. Pspice.
Figura 44. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice
5.2.3 Gráficas obtenidas cuando ., Cerca al punto de bifurcación
Valor de [kΩ] Valores Propios Frecuencia [kHz] THD %
11 N/A 3.1 0.095
Tabla 18.
H(K1)*1000/(4*pi)
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
B(K1)/10000
-400m
-200m
0
200m
400m
46
Time
2.100ms 2.200ms 2.300ms 2.400ms 2.500ms 2.600ms 2.700ms 2.800ms 2.900ms 3.000ms2.008ms
V(R1:1)
-500mV
0V
500mV
-741mV
926mV
Figura 45. Respuesta en tiempo, circuito. Labview.
Figura 46. Respuesta en tiempo, modelo. Pspice
47
Figura 47. Curva de Histéresis, B [Tesla] – H [A/m]. Pspice
5.2.4 Gráficas obtenidas cuando .
Para este valor de resistencia, el sistema presenta una solución estable que tiende a cero.
Valor de [kΩ] Valores Propios Frecuencia [kHz] THD %
17 N/A N/A N/A
5.3 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL OSCILADOR DE
VAN DER POL, PARA INDUCTANCIA QUE NO PRESENTA SATURACIÓN
De acuerdo con los resultados y las gráficas obtenidas para cada escenario de oscilación, en esta
sección se presentan observaciones generales que describen en general el comportamiento del
oscilador.
De las Figuras 19-38 se observan los siguientes resultados
Valor de [kΩ] Valores Propios Frecuencia [kHz] THD %
0.6 1.0e+004 *(
1.1999 + 1.2674i
1.1999 - 1.2674i)
2.35 19.5
1.5 1.0e+004 * (
0.4536 + 1.6853i
0.4536 - 1.6853i)
2.67 9
11 1.0e+004 *(
0.0239 + 1.7451i
0.0239 - 1.7451i)
2.8 1.76
17 1.0e+004 *(
0 + 1.7453i
0 - 1.7453i)
2.86 0.287
Tabla 19.
H(K1)*1000/(4*pi)
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
B(K1)/10000
-20m
-10m
0
10m
48
Se observa que la frecuencia del oscilador cambia, a medida que lo hace.
También se observa que las curvas en tiempo y en el plano de fases presentan mayor no
linealidad, cuando la parte real de los valores propios del sistema están más lejos del origen
(sobre el semi-eje real positivo). Esto se hace evidente al observar el indicador THD en la
tabla 19. De igual forma, la ubicación de los valores propios cerca al origen (sobre el semi-
eje real positivo) refleja un comportamiento casi lineal.
De acuerdo con las curvas de histéresis desarrolladas a través de Pspice orCAD y teniendo en
cuenta que para el núcleo 3E25 de la inductancia que no presenta saturación, el valor , y los valores de , se observa lo siguiente:
Se observan curvas de histéresis, que describen una trayectoria cerrada y presentan un
comportamiento no lineal, a pesar de presentar valores de inferiores a . Esto indica
que la no linealidad del oscilador repercute en el comportamiento del lazo de histéresis, en
la medida que obliga al núcleo seguir el comportamiento no lineal impuesto por la dinámica
del sistema. Esto se hace evidente al observar la ubicación de los valores propios del
sistema, en donde la parte real positiva de los valores propios está más lejos del origen
respecto a la parte real de los valores propios que reflejan un comportamiento casi lineal.
En la siguiente tabla se ilustran los resultados obtenidos,
Valor de [kΩ] Valores Propios [mT] THD %
Figura 23. 0.6 1.0e+004 *(
1.1999 + 1.2674i
1.1999 - 1.2674i)
50 19.5
Figura 28. 1.5 1.0e+004 * (
0.4536 + 1.6853i
0.4536 - 1.6853i)
40 9
Tabla 20.
Cuando la parte real positiva de los valores propios están muy próximos al origen, se
observa un comportamiento casi lineal.
Valor de [kΩ] Valores Propios [mT] THD %
Figura 33. 11 1.0e+004 *(
0.0239 + 1.7451i
0.0239 - 1.7451i)
1.2 1.76
Figura 38. 17 1.0e+004 *(
0 + 1.7453i
0 - 1.7453i)
1.6 0.287
Tabla 21.
También se observa que el parámetro de bifurcación está próximo a .
49
5.4 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS PARA EL OSCILADOR DE
VAN DER POL, PARA INDUCTANCIA QUE PRESENTA SATURACIÓN
De acuerdo con los resultados y las gráficas obtenidas para cada escenario de oscilación, en esta
sección se presentan observaciones generales que describen en general el comportamiento del
oscilador cuando la inductancia presenta saturación.
De las Figuras 39-47 se observan los siguientes resultados
Valor de [kΩ] Valores Propios Frecuencia [kHz] THD %
0.6 N/A 4.81 23.28
1.5 N/A 4.32 14.43
11 N/A 3.1 0.095
17 N/A 0 0
Tabla 22.
En cuanto a las curvas de histéresis, recordando para este núcleo 3E5 , se observa
un comportamiento que evidentemente ha alcanzado la saturación.
A pesar de que el valor de inductancia es el mismo para ambos núcleos, la frecuencia de
oscilación para el circuito que presenta saturación, aumentó. Esto evidentemente se
traduce en una disminución del valor nominal de inductancia, debido a la saturación del
núcleo. La distorsión de las señales de oscilación presenta un aumento en el indicador THD, en
comparación al caso que no presenta saturación. Esto evidencia la presencia de un efecto no
lineal más fuerte sobre el comportamiento dinámico del sistema, causado por la saturación
del núcleo. El parámetro de bifurcación también cambió, ocurre próximo a .
50
5.5 GRÁFICO COMPARATIVO ENTRE EL %THD PARA CADA OSCILADOR EN
FUNCIÓN DE
Figura 48. Cuadro Comparativo entre % THD vs , para ambos osciladores respecto a cada núcleo.
En la figura 48 se observa que el indicador %THD para el oscilador cuyo núcleo que no presenta
saturación siempre es menor en magnitud al indicador %THD para el oscilador cuyo núcleo
presenta saturación, esto tomando como referencia siempre el mismo valor de referencia . De
esta manera se corrobora y verifica que la presencia de la histéresis acentúa el comportamiento no
lineal dado por el comportamiento natural del oscilador cuya inductancia no presenta saturación.
0
5
10
15
20
25
0,6 1,5 11 17
%THD - Sin Saturación
%THD - Con Saturación
R3 [kΩ]
51
6. CONCLUSIONES
Como resultado de este trabajo se puede decir que el oscilador de Van der Pol es un ejemplo muy
práctico para la introducción al comportamiento y la teoría de los sistemas no lineales, ya que
presenta la existencia de ciclos límite, bifurcación y además un comportamiento no lineal en el lazo
de histéresis, dentro del núcleo magnético de cada inductancia que se implementó. Adicionalmente,
se corroboró que los criterios de estabilidad y análisis de las soluciones del sistema desde una
perspectiva lineal ya no tienen validez para describir completamente el comportamiento del sistema
y por tanto se hizo evidente abordar el análisis del oscilador a través de herramientas de software
que implementan métodos numéricos.
En el presente documento se hace evidente que el estudio y comprensión de los sistemas no lineales
no requiere de un estudio matemático riguroso, en cambio a través de herramientas de simulación y
de la implementación de un circuito se pueden apreciar y verificar la existencia de fenómenos de
carácter no lineal. En el aula de clases, este tipo de metodología podrá favorecer el entorno de
aprendizaje de los estudiantes ya que experimentalmente se podrá abordar la solución de la
ecuación de Van der Pol, se mostrarán las trayectorias de las variables de estado en el plano de fases
y se podrán contrastar los resultados con soluciones que generalmente presentan los sistemas
lineales.
Por otra parte, la ecuación de Van der Pol puede ser una herramienta muy práctica a la hora de
modelar un sin número de eventos naturales que presentan oscilaciones periódicas, ya sean físicos,
mecánicos eléctricos, biológicos etc., como por ejemplo: el arpa eólica, el rechinido de un cuchillo
en un plato, el ondear de una bandera, el latido de un corazón entre otros. En el caso del presente
trabajo, los coeficientes de la ecuación de Van der Pol estaban relacionados con variables eléctricas,
ya que el caso de estudio trataba de un oscilador eléctrico, para otro tipo de eventos periódicos el
procedimiento consiste en encontrar el modelo matemático que involucra las variables del
fenómeno en cuestión y verificar la validez del modelo.
Como trabajo futuro se propone desarrollar el modelo e implementar el circuito eléctrico para un
Oscilador de Van der Pol Forzado, es un sistema no lineal más complejo a través del cual se pueden
profundizar conceptos y consideraciones acerca del estudio de los sistemas no lineales.
52
7. BIBLIOGRAFÍA
[1]. Mayergoys, Isaak. Mathematical Models of Hysteresis and Their Applications. IEEE Academic
Press .New York 2003.
[2] Zhong, G. Implementation of Chua’s circuit with a cubic nonlinearity. IEEE Transactions on
Circuits and Systems, 41(12), pp. 934-941, 1994.
[3]. Muthuswamy, Bharathwaj. Introduction to Nonlinear Dynamics and Chaos Course. Web site:
http://myweb.msoe.edu/~muthuswamy/msoe-nonlineardynamics/
[4]. Banerjee. S. The Chua’s Circuit. Chaos Fractals and Dynamical Systems Course. NPTEL. Web
Site: http://nptel.iitm.ac.in/courses.php
[5]. Khalil, H. Nonlinear Systems. Prentice-Hall, New Jersey, 1996.
[6]. Boyce.E; DiPrima. R. Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera. 4 Ed.
Limusa-Willey. México D.F 2000.
[7]. Simmons. G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas. 2 Ed. Mc Graw
Hill.Madrid 1999.
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[9] Perko. L. “Differential Equations and Dynamical Systems”. 3Ed. Springer. New York 2001.
[10]. Banerjee. S. “Limit Cycles”. Chaos Fractals and Dynamical Systems Course. NPTEL. Web
Site: http://nptel.iitm.ac.in/courses.php
[11]. Jacek Izydorczyk.Extraction of Jiles and Atherton parameters of ferrite froms initial
magnetization curves. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. November of 2003.
[12] . Hirsch Morris, Smale Stephen, Devaney. Differential Equation, Dynamical Systems, an
Introduction to Chaos. 2 Ed. Academic Press, United States, 2004.
[13]. Borelli Robert, Coleman Courtney. Ecuaciones diferenciales Una perspectiva de modelación.
1 Ed. Oxford University Press, México, 2002
[14]. D.C. Jiles. Introduction to Magnetism and Magnetic Materials. Chapman & Hall. London,
1991
A
ANEXO A – COMPARACIÓN ENTRE LA ECUACIÓN GENERAL DE VAN DER POL Y
LA ECUACIÓN OBTENIDA DEL MODELO ELÉCTRICO DEL OSCILADOR DE VAN
DER POL
Recordando la ecuación general de Van der Pol dada por
( )
Ecuación 59.
es un parámetro variable definido entre , y las características principales son las
siguientes:
Cuando en el plano de fases el sistema describe una solución de espiral
estable que tiende a 0.
En el instante en que el sistema describe un comportamiento críticamente estable y la
respuesta en tiempo se traduce en una respuesta sinusoidal pura cuyo periodo se encuentra
definido en el orden de los segundos.
Cuando el sistema en el tiempo describe una oscilación periódica de carácter no
lineal, que se hace más fuerte a medida que se aproxima al infinito. En el plano de fases
se observa la existencia de un ciclo límite atrayente.
Al definir , se puede escribir el modelo como un sistema de ecuaciones representado por
variables de estado así:
( )
Ecuación 60. a) y b)
y el sistema linealizado alrededor del punto de equilibrio (0,0) se encuentra dado por:
[
]
Ecuación 61.
Cuyos valores propios están dados por:
( √ )
Ecuación 62.
B
y los resultados obtenidos para algunos valores de son los siguientes:
Valores propios Periodo [s] Frecuencia de
Oscilación [Hz]
0 5 0.2
0.2 6.12 0.16
1 6.63 0.15
5
11.56 0.086
10
19.13 0.052
Tabla 23. Resultados Ecuación General de Van der Pol
de acuerdo con la tabla 23 se observa que a medida que aumenta y tiende a infinito el periodo de
la solución del sistema en tiempo también aumenta y se aproxima a infinito. Al observar en las
figuras 5, 6 y 7 la solución en tiempo y la solución de las trayectorias en el plano de fases para los
valores de previamente definidos, se evidencia la existencia de un fenómeno no lineal en función
del parámetro distorsión en la respuesta en tiempo y la presencia de un ciclo límite estable
atrayente, respectivamente.
Al retomar la ecuación obtenida para la implementación eléctrica del oscilador de Van der Pol, se
obtiene:
[
]
Ecuación 63. Ecuación Oscilador de Van der Pol
Si se define una variable auxiliar , de forma tal que , y adicionalmente , el sistema
descrito por la ecuación 63 se rescribe
[
]
Ecuación 64.
C
y el sistema linealizado alrededor del punto de equilibrio (0,0) se encuentra dado por:
[ ] [
] [ ]
Ecuación 65.
Cuyos eigenvalores están dados por:
( )
√
Ecuación 66.
Al comparar la ecuación 59 con la ecuación 63, se puede rescribir la ecuación 63 de la siguiente
manera:
(
)
Ecuación 67.
donde,
Para la implementación, se definió α, β, γ, ξ como coeficientes constantes dentro de la ecuación 67,
y el único parámetro variable, es el parámetro .
La aparición de coeficientes nuevos dentro de la ecuación 67 en comparación con la ecuación 59,
indudablemente se traduce un cambio en la dinámica del sistema. Esto se refleja en un aumento en
la frecuencia en la respuesta del mismo, aunque la forma de onda de la respuesta y la estructura de
las trayectorias que describen la solución del sistema en el plano de fases, se comportan de manera
similar.
Para la implementación es una resistencia variable definida entre , y las
características principales son las siguientes:
Cuando en el plano de fases el sistema describe una solución de
espiral estable que tiende a 0.
Cuando no se puede afirmar nada acerca de la estabilidad del sistema,
aunque la respuesta en tiempo se traduce en una respuesta sinusoidal pura cuyo periodo se
encuentra definido en el orden de los milisegundos
Cuando el sistema en el tiempo describe una oscilación periódica de
carácter no lineal, que se hace más fuerte a medida que se aproxima a cero. En el plano
de fases se observa la existencia de un ciclo límite atrayente.
D
y los resultados obtenidos para algunos valores de son los siguientes:
[kΩ] Valores propios Periodo [ms] Frecuencia de
Oscilación [kHz]
0.6 1.0e+004 *(
1.1999 + 1.2674i
1.1999 - 1.2674i)
0.425 2.35
1.5 1.0e+004 * (
0.4536 + 1.6853i
0.4536 - 1.6853i)
0.37 2.67
11 1.0e+004 *(
0.0239 + 1.7451i
0.0239 - 1.7451i)
0.356 2.8
17 1.0e+004 *(
0 + 1.7453i
0 - 1.7453i)
0.349 2.86
Tabla 24. Resultados Ecuación General de Van der Pol
de acuerdo con la tabla 24 se observa que a medida que disminuye y tiende a cero el periodo de
la solución del sistema en tiempo aumenta. Al observar en las figuras 12 a 37 la solución en
tiempo y la solución de las trayectorias en el plano de fases para los valores de previamente
definidos, se evidencia la existencia de un fenómeno no lineal en función del parámetro distorsión en la respuesta en tiempo y la presencia de un ciclo límite estable atrayente,
respectivamente.
E
ANEXO B - ENTREGABLE
A continuación se muestran fotografías del entregable final del presente trabajo. El entregable
incluye
Caja resistente.
Fuente de voltaje lineal regulada y aislada de 15V.
Dos osciladores de Van der Pol. El primero incluye una inductancia que no alcanza el nivel
de saturación, el segundo incluye una inductancia que alcanza el nivel de saturación.
Una salida análoga de señal, una salida de tierra, ambas tipo banana hembra. Para cada
oscilador.
Una perilla que permite variar el valor de resistencia de un potenciómetro. Para cada
oscilador.
Figura 49. Circuito en caja, con salidas de prueba
Figura 50. Circuito en caja, con salidas de prueba
F
ANEXO C – TOPOLOGÍA FUENTE IMPLEMENTADA
A continuación se muestra la topología implementada para la fuente, de acuerdo con las hojas de
especificaciones de los reguladores LM317 y LM337 de National Semiconductor.
Figura 51. Topología Fuente Regulada
Información general:
Fuente lineal, aislada y regulada.
Voltaje a la salida: 15 Voltios.
Corriente máxima: 25mA pico, por cada salida.
Rizado con carga: 15mA pico, por cada salida.
G
ANEXO D- IMPRESO
Figura 52. Circuito Impreso