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7/21/2019 Gua N 3 de Fundamentos Matemticos Pensamiento Variacional
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GuaDel estudiante
Modulo
Primero del Bachillerato
I SEMESTRE
BIENVENIDA
1
DATOS DE IDENTIFIAION
T!TOR Omar Est"#e$
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BIENVENIDA
EL curso de Fundamentos Matemticos permite indicar un proceso de
formacin de administradores tursticos y hoteleros que apropien
competencias interpretativas, argumentativas y propositivas y
competencias ciudadanas como lderes integrales en sus desempeos el
curso pretende fortalecer procesos
Fundamentos del !ensamiento "umano# $ue le permiten apropiarse del
lengua%e matemtico en lo referente al pensamiento variacional y las
estructuras alge&raicas para la conte'tuali(acin de su entorno
pensamiento variacional y sistemas alge&raicos# )olucin de pro&lemas ygenerali(acin, investiguen en la seleccin de herramientas matemticas
que le permitan ver las situaciones del mundo como una regla &ien general
Autoformacin# * partir del estudio auto programado del dialogo de
sa&eres como resultado del tra&a%o en equipo para la construccin y
sociali(acin del conocimiento de la investigacin y accin de las prcticas
Trabajo Cooperativo# El curso propende por el tra&a%o en equipo con todala comunidad para el desarrollo del proyecto de investigacin
El propsito de formacin de este curso es facilitar al estudiante de
administracin *gropecuaria es vivenciar por conte'to y las dems reas
del programa el desarrollo de las competencias que le permitan utili(ar el
lengua%e y herramientas necesarias en las acciones propias del tra&a%o en
equipo
El curso esta propuesto acorde a los principios e'puestos por la universidad
del +olima, el -E*- y el programa de *dministracin *gropecuaria, los
cules dan preeminencia a los procesos de auto formacin del ser humano y
el administrador ya que la implementacin de herramientas didcticas y
m.todos mentales de la modalidad a distancia, que de&en esfor(arse a
muchas horas de estudio individual y grupal sin la presencia fsica del tutor
/
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0+2-34450
El pensamiento variacional y los sistemas alge&raicos han contri&uido al
desarrollo de las diferentes reas de desempeo de los ciudadanos en el
actual siglo nadie pone en duda la aplica&ilidad de la matemtica y en
especi6co los sistemas alge&raicos para resolver situaciones que se le
presentan al individuo en el proceso de formacin como administrador
turstico y hotelero, las e'presiones alge&raicas se aplican por e%emplo para
resolver situaciones pro&lema en las que deseamos plantear por e%emplo la
proporcin entre ella a7uencia de turismo a una determinada regin y lacapacidad hotelera instalada estas situaciones planteadas de manera
matemtica han permitido desarrollar la industria turstica y hotelera en
diferentes (onas del pas como por e%emplo el e%e cafetero que paso de ser
una regin eminentemente de vocacin agrcola a ofrecer turismo
3n estudio de&e contener anlisis cuantitativo y cualitativo, en el se
utili(an ecuaciones matemticas que aportan soluciones de situaciones
pro&lema +anto los sistemas lineales de ecuaciones como las ecuaciones desegundo grado aportan resultados que nos dan indicadores para me%orar la
oferta de un determinado producto ofrecido en el mercado en este caso por
e%emplo un portafolio de servicios de hotelera y turismo
$ueda para los estudiantes la construccin con%unta de un con%unto de
pro&lemas relacionados con la carrera para que le veamos una real
aplicacin y le encontremos sentido al estudio del pensamiento variacional y
los sistemas alge&raicos
Este componente del currculo tiene en cuenta una de las aplicaciones msimportantes de la matemtica# la formulacin de modelos matemticos paradiversos fenmenos !or ello, de&e permitir que los estudiantes adquieranprogresivamente una comprensin de patrones, relaciones y funciones, ascomo desarrollar su capacidad de representar y anali(ar situaciones yestructuras matemticas mediante sm&olos alge&raicos y gr6casapropiadas *s mismo, de&e desarrollar en ellos la capacidad de anali(ar elcam&io en varios conte'tos y de utili(ar modelos matemticos paraentender y representar relaciones cuantitativas
8
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!NIDAD DE TRABA%O No&'
OB%ETIVOS
1. Continuar el estudio de los polinomios y fracciones algebraicas.2. Se pretende que el alumno conozca la regla de Runi y su aplicacin
al clculo de races de polinomios y la simplicacin de fracciones.
8 )e pretende que el alumno aprenda a tra&a%ar de una manerasistemtica y como o&%etivo complementario potenciar suimaginacin, iniciativa y 7e'i&ilidad de mente
9 !ara ello" se dan estrategias para la resolucin de problemas dedi#ersos conte$tos y se utilizan los m%todos estudiados de
resolucin de ecuaciones ysistemas
INDIADORES
1 econoce las e'presiones alge&raicas, las clasi6ca y las ordena/ reali(a las cuatro operaciones &sicas con e'presiones alge&raicas
:polinomios;8 *plica la regla de u formula y resuelve pro&lemas en los que involucra ecuaciones de
segundo grado y &icuadradas
9
Cmo aplicar el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos la
administracin Turstica y hotelera?
A travs las expresiones algebraicas y los sistemas lineales se puede
establecer un modelo que estructure el sistema turstico y hotelero?
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PENSAMIENTO VARIAIONA( ) SISTEMAS A(GEBRAIOS )ANA(*TIOS
ONTENIDOS
1. E'presiones alge&raicas monomios polinomios
2. 2peraciones con polinomios Suma
Resta
&ultiplicacin
'i#isin(. egla de u
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E+PRESIONES A(GEBRAIAS
A,+raduce a lengua%e alge&raico0- El triple de un n@mero. La mitad del resultado de sumarles al triple de un n@mero 9 unidades' La diferencia de los cuadrados de dos n@meros de dos n@merosconsecutivos/ 4inco veces el resultado de restarle al do&le de un n@mero = unidades)olucin# =:/'A=;0& E'presa alge&raicamente el rea y el permetro de un cuadrado de lado'
1B, *socia cada una de los enunciados con la e'presin alge&raica que lecorresponde#
-; La suma de los cuadrados de dos n@meros
.; El espacio recorrido por un mvil es igual a suvelocidad por el tiempo que est en movimiento
'; El rea del circulo de radio '
:' By;/C '/B y/B /'y
/; Los lados de un tringulo son proporcionales a/, 8 y =
E C v t
0; El cuadrado de la suma de dos n@meros esigual a la suma de sus cuadrados ms el do&le desu producto
'/B y/ 2-,
3; Media aritm.tica de tres n@meros
'/
, 4alcula el #alor num"ricode las siguientes e'presiones para los valoresque se indican#
>
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-&/' B1 para ' CD. '/B y/ para ' C1 , y C8'& :1A/';:1B /'; para ' C /
/ para ' C8, y C/, ( C9
)olucin C C80 '/B y/B /'y para ' C1, y C/3& 4/'/y8 para ' C/, y C /D, Identidades nota5les&
4uadrado de una suma
4uadrado de una diferencia
-iferencia de cuadrados
-, -esarrolla las siguientes e'presiones#
a; :' B/;/
&; :' A1;/
c; :/' B8;/
d; :' B/;:' /;
e; :/' 1;:/' B1;
f; :8' y;/
g; :/' 8y;:/' B8y; C 9'/y/
h; :' A1;8
i; :' B=;/A:'A8;/
., Factori(a las siguientes e'presiones alge&raicas#
a; 8'9 A/'/
&; '/1
c; '/B>' B
)olucin 0o tiene ning@n factor com@n , es una identidad nota&le# :' B8;/C'/B>' B
d; '/B 9 B9'
e; 9'/Ay/
f; >' B'/
g; /' 9'/y
h; '/B' y B' ( By (
)olucin# ':' By; B(:' By; C:' B(; :' B y;
i; a ' ay & ' B&y
'; 4ompleta las siguientes e'presiones para que sean cuadrados perfectos
a; '/B /'B
G
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&; 9'/B H'B
)olucin# 9'/B H' B/C :/' B/;/
c; '/AB 1>
E, 4alcula el grado de los siguientes polinomios#
- 4/'/
y8
.& '/
B y/
B /'y
'& )olucin# /B9B/ CH
/& :' B=;/A:'A8;/
0& G'=A8'/A>'9B/B'
F, Efect@a las operaciones indicadas y simpli6ca la e'presin resultante
1; 8:'8=' BG; :/'8B>'/ B11'B9;
/;
8; /':9'/>' B/; B8 :='/8'A9;A 19 '/
9; :8'8' B =; :/'8B1;
=; :'8y8B /; :'8y8A /;
>; :G'8='B8; :/'/B'A1;
G;
)olucin# C 9'A1/ B/1'AA/9 C /=' A9=
H;
;
G; 2peraciones con e'presiones alge&raicas#1; Multiplica la siguiente e'presin por 1/ y simpli6ca el resultado#
/; Multiplica por /D y simpli6ca el resultado#
6,-ivide los siguientes polinomios#
1; 1= a8&/c # > a/c C C
H
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/; = '8y/(9# 8 '/(/
8; :/'8B>'/ B11'B9;#:' B1;
9; :/'8B>'/ B11'B9; # :'A8;
=; :'9A>'8 B='/A9'B1;# :'/' B=;
>; :'8B>'/ B='B9;# :'/8' B1;
)olucin
'8B >'/ B=' B9 '/8' B1
A'8
B8'/
A' ' BI '/B 9' B9
A'/ B /G'A
I 81' =
G; :'9A='8 B8'/A/'B=;# :'/B' A8;
0ota 4uando el divisor es un &inomio de la forma :'Aa; se puede aplicar laregla de u
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0os queda que el cociente es '/B/' 1D y el resto A88
/; :/'8B>'/ B11'B9;#:' B1;
8; :8'9B>'/ B11'B9; # :'A/;
9; :'8B 1; # :' B1;
=; :'9B/'8B=' A8;#:'B8;
Ampliacin
Teorema del resto.
El resto de la divisin de un polinomio !:'; entre el &inomio 217a,es el valornum.rico del polinomio en ' Ca, es decir el resto es el valor de ! al sustituirla ' por a,R 8P2a,&E%emplo# El resto de la divisin : '8A/'/B8' A9;#:'A1; es#18A/1/B81A9C1A/B8A9C A/ :compro&arlo;
-& 4alcula el resto de la divisin :'8'/A1>' A8;# :' A8; sin efectuarla.4alcula el valor de J para que la divisin de !:'; entre $:'; d. e'acta#a; !:'; C '8A'/BJ' A9, $:'; C :'A/;
&; !:'; C '9A/'8B8'/J ' A=K $:'; C :' B1;
.& 4alcula el valor de J, para que el resto de la divisin del polinomio '9J'8B8'/ ' B9 entre el &inomio ' B/ nos d.1=
Factorizacin
Factori(ar un polinomio es ponerle como producto de sus factores :se llamatam&i.n descomposicin en factores del polinomio;
!ara factori(ar hay que tener en cuenta las identidades nota&les, el sacarfactor com@n, la regla de u
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' C por tanto los factores son :'A9; y :'A1;
El polinomio factori(ado es# ':'A9;:'A1;
0ota# +am&i.n podra ha&erse usado u
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:' B/;:'/A9'B9; C '8A9'/B9'B /'/AH' BH C '8A/'/A9' BH
)on equivalentes
; )impli6ca las siguientes fracciones alge&raicas, en los casos posi&les#
1;
/;
8;
9;
=;
)olucin
)e tiene CC
>;D; eali(a las operaciones indicadas y simpli6ca el resultado en los casosque se pueda
1;
/;
8;
9;)olucin !rimero reducimos a com@n denominador y despu.s sumamos losnumeradores#m c m :', ' B1; C ':' B1; C'/B '
C
1/
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=;
>;
G;
H;
)i necesitas mas e%ercicios del tema de polinomios visita estos enlaces
Polinomios = ;racciones al>e5raicas
Parte? Ecuaciones = sistemas
gualdades" identidades" ecuaciones
3na igualdad" 34" es una relacin de equivalencia1Nentre dos e'presiones,num.ricas o literales, que se cumple para alg@n, alguno o todos los valores4ada una de las e'presiones reci&e el nom&re demiem5ro&
)i la igualdad secumple entre n@meros se
denomina identidad num"rica
E9em:lo -# / B9 B= C 1 B1D
3na identidad literales una igualdad que se cumple para todos losvalores
E9em:lo .# Las dentidades 0ota&les
4uadrado de una suma
4uadrado de una diferencia
18
IG!A(DAD
una e1:resi
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-iferencia de cuadrados
4uando la igualdad se convierte en identidad num.rica slo para
determinados valores se la llama ecuaci
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5cuaciones de primer gradoLa forma general de esta ecuacin es a ' B& CD con a @
+rasponiendo y dividiendo por ase llega a
)olucin que siempre e'iste y es @nica
E9em:lo a; 8' B/ CD
&; G' B / C /' A8 , si trasponemos t.rminos, nos queda G' /' C A/ 8
Luego =' C A= de donde ' C A1
5cuaciones de segundo grado
La ;orma >eneral de una ecuacin de / grado es# ,donde a
La solucin de esta ecuacin general viene dada por la frmula#
E9em:lo
C
Observacin.* D 8 se llama discriminantede la ecuacin de /y se veri6ca#
)i -OD la ecuacin tiene dos soluciones con%ugadas
)i - CD la ecuacin tiene una @nica solucin :do)i - PD la ecuacin no tiene ninguna solucin real
Ecuaciones incom:letas
Si c 8@la ecuacin se reduce a y sacando factor com@n 'se tiene#
':a' B&; CD
1=
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Este tipo de ecuacin siempre tiene dos soluciones
E9em:lo C 8'/A='CD ':8'A=;CD
Si 5 8@la ecuacin queda de donde
!uede tener dos soluciones opuestas o ninguna solucin,dependiendo de que
El radicando sea o no positivo
E9em:lo -@ / '/A CDK / '/C :dossoluciones;
E%emplo 11 8'/B1 CD :no tiene ninguna solucin;
Resolucin 6prctica7 de una ecuacinLo estudiamos con un e%emplo
E9em:lo -.
!ara resol#erla ecuacin seguiremos el siguiente orden
-uitar denominadores
*l multiplicar los dos miem&ros de una ecuacin por el mnimo com@nm@ltiplo de sus denominadores, se o&tiene otra ecuacin equivalente a laprimera, pero sin denominadores
Multiplicamos los dos miem&ros de la igualdad por >, que es el mcm delos denominadores
0os queda 8:/'A8; A/:='A1; C>
.uitar :ar"ntesis
)e efectuarn las operaciones indicadas, utili(ando la propiedad distri&utiva
$uitando par.ntesis >'A 1D'B/C>
'Tras:osici
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)e disponen todos los t.rminos que llevan 1en un miem&ro y los dems enel otro
+rasponiendo t.rminos >' 1D' C A / B >
/Reducci
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Soluci' B1> C 9D B 9'/B9'
9'/1>' B1> C9D B9'/B9'
educiendo t.rminos seme%antes#
1>'A9'C 9DA 1> A/D' C/9 8 7-.
1D;
Ecuaciones de se>undo >radoesuelve las siguiente ecuaciones indicando si son completas o no#
1; 8'/B /'CD
/; ='/A8CD
8; '/A9'B/CD
9; /'/B 'A1CD
=; 8 '/A CD 8' /C ' /C ' C
>; '/ B 9 CD
H; 9'/9' B1 CD
; '/ B>'A=CD
1H
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1D; >'/B='A1CD
11; :='A9;:/'B8; C=
1/; 8D B ' 8'/CD
18;
Soluci;
8plicaciones de las ecuaciones de 29 grado
Descom:osici
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Entonces se puede descomponer en producto de :'A8; por :'A/; Es decir#
'/=' B> C :'A8;:'A/;
E9ercicios-etermina los factores de los siguientes trinomios de / grado
1; '/A1>
/; '/A18'B8>
8; 9A'/
9; /'/B1GB/1
=; /'/A='BG
>; 8'/A D,G=
G; '/ B='A>
9; Soluci
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/; )e elevan al cuadrado am&os miem&ros de la igualdad#
9:'A1;C:9A';/ 9'A9 C 1>AH' B' /
8; )e resuelve a ecuacin de / grado que resulta
'/A1/' B/D CD ' C1D y ' C/ :compro&arlo;
9; )e comprue&an las soluciones
)i ' C1D
1> A 9C D Falso, no es solucin
)i 1 8.
9 A 9CD 4ierto, si es soluci;
/1
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Soluci/'B>1
/HH' A199 C '/ B>/' B>1
Es decir#
'///>' B11D= CD
4ompro&amos las soluciones#
' C//1 no es soluci
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1.8 =
con lo cual '9C y/
)ustituyendo en la ecuacin# y/A=yB>CD que s es de / grado y
podemos aplicar la frmula#
)ustituyendo los valores en la e'presin 1.8 = 1 8 o&tenemos#
y
En este caso la ecuacin tiene 9 solucionesE9erciciosesuelve#
1; '98'/B/
/; '9A18'/B8>
8; '9A1
9; '9B 9'/CD
Soluci
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H;
El tema completo se repasa y amplia en Rlge&ra
Sistemas de ecuaciones lineales3n sistema de ecuaciones lineales es un con%unto de ecuaciones lineales
E9em:lo -3# es un sistema de ecuaciones con dosincgnitasResol#er un sistema es encontrar la soluci
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esulta#
)umando o&tenemos 18 ' C/
)ustituyendo el valor encontrado de 1en la segunda ecuacin#
y C8I18O5ser#aci;
G;Soluci
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!ara encontrar el valor de ', eliminamos la y, para ello multiplicando la 1Spor A/
sumando 8'C A1/ 1 8/
H;
!roblemas de aplicacin1; 4alcula dos n@mero cuya suma sea H y su producto 1//; La suma de dos n@mero es >= y su diferencia /8 "alla los n@meros8; La diferencia de dos n@meros es 1I> El triple del mayor menos el do&ledel menor es 1 "alla dichos n@meros
Sistemas de ecuaciones de . >rado)on aquellos en que al menos una de las ecuaciones es de / gradoQeremos con un e%emplo como proceder para o&tener las soluciones
E9em:lo .@& )ea el sistemaEn la /S ecuacin despe%amos la =y la sustituimos en la 1Sy C /'A9 /'/B:/' 9;/C///'/B9'/1>' B1>C//K >'/A1>'A>CD,)impli6cando por / o&tenemos#8'/AH'A8CD, que es una ecuacin de /grado completa#
CE%erciciosesuelve los siguientes sistemas#
1;
/;
8;
!ara resolver un pro&lema es con#eniente reali(ar cuatro fases1N#1Som:renderel pro&lema"ay que leer el pro&lema hasta familiari(arse con .l y que podamoscontestar, sin dudar, a las siguientes preguntas#:Cules son los datos; :cul es la incgnita o incgnitas; :son las
condiciones sucientes para determinar a las incgnitas; :soninsucientes;.. .
/>
http://carmesimatematic.webcindario.com/sistemas.htm#_ftn1http://carmesimatematic.webcindario.com/sistemas.htm#_ftn17/21/2019 Gua N 3 de Fundamentos Matemticos Pensamiento Variacional
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. once5ir un :lan&'eterminar la relacin entre los datos y la incgnitas.-e no encontrarse una relacin inmediata puedes considerar pro&lemasau'iliares:Conoces problemas relacionados con %ste;:!odras plantear el problema de forma diferente;:!uedes cambiar la incgnita o los datos o ambos si fuera necesario" de talforma que la nue#a incgnita y datos est%n en una relacin ms sencilla;...:
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-& La edad de una madre es siete veces la de su hi%a La diferencia entre susedades es de /9 aos Tqu. edad tienenU)olucinLlamamos ' a la edad de la hi%a, luego G' ser la edad de la madreG' ' C/9 >' C/9 1 8/Luego edad de la hi%a /aLosy edad de la madre . aLos.& "alla un n@mero tal que su mitad ms su cuarta parte ms 1, sea igual aln@mero pedido)olucinLlamamos 1 al n@mero que &uscamos, la mitad del n@mero es 'I/ y sucuarta parte 'I9
Entonces#Multiplicamos por el mcm que es 9 0os queda#/' B' B 9 C 9'1 8/' )e atri&uye a !itgoras la siguiente respuesta so&re el n@mero de susdiscpulos#A 3na mitad estudia matemticas, una cuarta parte fsica, una quinta parteguarda silencio, y adems hay tres mu%eresT4untos discpulos tenaU)olucinLlamamos 1al n@mero de sus discpulos
+raduciendo a lengua%e alge&raico las condiciones, se tiene#
Multiplicando por /D, que es el mcm , quitamos todos los denominadores
1D' B=' B9' B>D C/D'Es decir, 1 8 3@ disc:ulos/& -os po&laciones * y ? distan /=Jm 3n peatn sale de * hacia ? a unavelocidad de 9JmIh )imultneamente sale de ? hacia * otro peatn a>JmIh 4alcula el tiempo que tardan en encontrarse)olucin
* ?/=JmEl espacio que recorre el peatn que sale de * es# E C v * t C9t
El espacio que recorre el peatn que sale de ? es# E C v ? t C >t4uando se encuentran ha&rn recorrido entre am&os los /=Jm!or lo tanto# 9t B>t C/=1D t C /= t C /,= horasTardan en encontrarse . horas = media0 En una %aula hay cone%os y palomas, pueden contarse 8= ca&e(as y 9patas T4untos animales hay de cada claseU)olucinLlamamos 1al n@mero de cone%os, = al n@mero de palomas ha&r entonces1 = 8'0Lo cone%os tienen 9 patas, hay 9' patas de cone%os
Las palomas / patas, luego tendremos /y patas de palomasEl n@mero de patas en total es 9 /1 .=8 C/
/H
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Es decir lo resolvemos por sustitucin C y C 8= A'9' B/:8= '; C 99' B GD /' C9/' C/9 1 8-. = C8= 1/ C.'6a= -.cone%os y .'palomas3& "a&a do&le de leche en un envase que en otro 4uando se e'tra%eron 1=litros de leche de am&os envases, entonces ha&a tres veces mas leche enel primer envase que en el segundo T4unta leche ha&a originariamenteen cada envase)olucinLlamamos 1al n de litros de un envaseEn el otro envase ha&r /' litros*l e'traer /D litros de cada envase nos quedan' A1= /' 1=
/' 1=C8:' 1=; C8' 9=' C8DEn un envase ha&a '@litros y en el otro 3@litros& El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 9 aos msque el segundo y .ste 8 ms que el menor )i entre todos tienen la edad delpadre que tiene 9D aos Tqu. edad tiene cada hermano U)olucinLlamamos 1 8edad del hermano menor Entonces seg@n las condiciones delpro&lema#' B 8 es la edad del hermano mediano' B8 B 9 C ' B G es la edad del hermano mayor4omo la suma de las edades de los hermanos es 9D#
' B ' B8 B ' BG C 9D 8' C9D 1D C8D1 8-@Por lo tanto? edades de los tres hermanos? -@ -' = - aLos&& T * qu. hora forman por primera ve( un ngulo rcto las agu%as de unrelo%, a partir del medioda)olucinEs un caso particular de pro&lemas de mvilesLa velocidad del minutero es doce veces mayor que la del horario !odemospues representar por 1/ y 1 las velocidades respectivas de las dos saetas)i 1es el n de divisiones que ha recorrido la agu%a horaria, la minutaraformar con ella ngulo recto cuando haya recorrido 1 -0 divisiones
*l igualar los tiempos empleados poram&as, se o&tiene#
1/' C' B1= ' C1=I11C 1minuto/1segundos
)e encuentran a las -. horas -3 minutos .-se>undos
/
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C& La edad de un padre es el cuadrado de la de su hi%o -entro de /9 aos laedad del padre ser el do&le de la del hi%o T4untos aos tiene ahora cadaunoU)olucinLlamamos 1a la edad del hi%o La del padre ser '/
-entro de /9 aos el hi%o tendr ' B/9-entro de /9 aos el padre tendr '/B/9!or lo tanto '/B/9 C /:' B/9; C /' B9HLa ecuacin que resulta es de / grado'/A /' /9CD!or ser completa aplicamos la frmula general#
*unque da dos soluciones, slo la primera ' C> es vlida, ' CA9 no nos valepues las edades no pueden ser negativas!or tanto el hi%o tiene 3aLosy el padre '3 aLos-@& !ara vallar una 6nca rectangular de G=Dm/se han utili(ado 11Dm decerca 4alcular las dimensiones de la cerca)olucinLlamamos 1 a la &ase del rectngulo, e = la altura4omo la super6cie es el producto de la &ase por la altura, entonces 1 &=80@El permetro es la suma de los 9 lados#.1 .= 8--@
Es decir tenemos el sistema -e la primera ecuacin setiene y CG=DI')ustituyendo en la segunda#
/'/B1=DD C11D ' /'/A11D' B1=DDCD
-e donde0os da dos soluciones#)i la &ase es ' C'D la altura es = 8 G=DI8D C.0)i la &ase es ' C ..0 la altura es = 8G=DI//,=C1DDI8C '''''*m&as vlidas!ro&lemas propuestos-& 3n gaviln se cru(a en vuelo con lo que parece un centenar de palomas!ero una de ellas lo saca de su error#A 0o somos cien Ale diceA )i sumamos las que somos, ms tantas como lasque somos, ms la mitad de las que somos, y la mitad de la mitad de lasque somos, en es caso, contigo, gaviln, seramos cienT4untas palomas ha&a en la &andadaU
8D
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.& El permetro de un %ardn rectangular es de >H m )i el lado mayor mide1D m ms que el lado menor T4unto miden los lados del %ardnU'& "alla dos n@meros positivos cuya suma es /D y la suma de sus cuadrados/=D/& 3n ciclista sale por una carretera a 1=Jm I h Media hora despu.s saleotro en su persecucin a una velocidad de /DJmIh T4unto tardarn enalcan(arseU0& "alla un n@mero tal que su mitad ms su cuarta parte ms 1, sea igual aln@mero pedido3& En la primera prue&a de una oposicin queda eliminado el GDV de losparticipantes En la segunda queda eliminado el 9DV de los restantes )i eln@mero de personas que apro&aron los dos e'menes fue 8> Tcuntaspersonas se presentaron a la oposicinU& 4alcula tres n@meros sa&iendo que son consecutivos y que su suma esigual al cudruplo del menor& La &ase de un rectngulo es 1Dcm ms larga que la altura )u rea mide>DDm/ 4alcular las dimensiones del rectngulo
C& 3n ciclista sale por una carretera a 1=Jm I h Media hora despu.s saleotro en su persecucin a una velocidad de /DJmIh T4unto tardarn enalcan(arseU-@& El rea de una lmina de plata es 9Hcm/, y su longitud es 9I8 de suanchura "alla su longitud y su anchura--& "alla dos n@meros cuya suma sea /9 y su producto 18=-. "allar tres n@meros impares consecutivos, tales que si al cuadrado delmayor se le restan los cuadrados de los otros dos se o&tiene como resultadoG-'&-os n@meros son tales que el mayor menos la ra( cuadrada del menores // y la suma de los n@meros es 89 T4ules son los n@meros
-/ 3na ca%a mide =cm de altura y de ancho, cinco cm ms que de largo)u volumen es 1=DDcm8 4alcular la longitud y la anchura-0& La diagonal de un rectngulo mide />cm y el permetro >Hcm "allar loslados del rectngulo
Los lados de un tringulo *W?W4W miden el do&le que los de *?4 )i lasuper6cie del primero es 1H dm/, Tcul ser la super6cie del segundoU/ La ra(n de las reas de dos polgonos seme%antes es /=I9 T4ul es lara(n de sus ladosU)olucinLa ra(n de las reas es el cuadrado de la ra(n de seme%an(a de los lados,
por tanto, le de los lados e =IG8 -os ciudades que en la realidad estn a DDJm, aparecen en el mapaseparadas >cm T* qu. escala se ha di&u%ado el mapaU9 4alcula la distancia a que se encuentran / ciudades si en el plano estna 18 cm-atos# escala 1# 1HDDDDD= 4alcula la altura de la pirmide sa&iendo que la som&ra que proyecta esde 1H m y que la som&ra que proyecta +ales es de D,=m 0ota +ales mide1,GD m
81
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!or la seme%an(a de los tringulos
h C >1,/m
> La som&ra de un lpi( de1Dcm en un determinado momento es de /=cmT4ul ser en ese momento la som&ra de una torre de 9DmU
G 4alcula la profundidad de un po(o de dimetro / metros, sa&iendo queale%ndose D,Gm del &orde, desde una altura de 1,GDm vemos que la visualune el &orde del po(o con la lnea del fondoH 4lculo de la altura del r&ol de las 6guras -atos# a; longitud de laestaca :a&; 1,8 metros &; *ltura del hom&re 1,HDm
a;1m 8m
&;= 1 -i&u%a un ngulo de 9D y calcula sus ra(ones trigonom.tricas
8/
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1D 4alcula las ra(ones trigonom.tricas del ngulo de >D)olucin-i&u%amos un tringulo equiltero, de lado 1,
La altura, h, por el teorema de !itgoras, vale
!or lo tanto# , K
11 4alcula, de dos formas diferentes, el seno de
?
1/ )a&iendo que sen 8D C1I/ calcula, ra(onadamente, lo que vale el cos>D
18 )a&iendo que tg >D C calcula tg 8D
19 )a&iendo que , y agudo calcula las restantes ra(onestrigonom.tricas)olucin)ustituyendo el valor del coseno en la frmula fundamental de la
+rigonometra#
, de donde CD,1
1= 4alcula las ra(ones trigonom.tricas del ngulo agudo conociendo#
a; K &; K c; K
88
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1> 4alcula la altura, el lado desconocido y elrea )olucin)e tiene 1D
CD,GDG h 8@ y
C1 ' 1=A'G,DGC 1=A' ' C G,8 , !or + !itgoras# 1=
y/ C'/B h/C >/,HHB9,HC11/,H> = 8 -@3. A82-0&@,H.80'.0 u&s&1G "allar el rea y los ngulos del tringulo de lados =, G y 1D1H1N4alcula la altura del r&ol sa&iendo que el ngulo *-4 es de 8D , el*4? 9= y la distancia 4- C/m :pro&lema de las tangentes;
Llamamos *? Ch
CD,=G h C D,=G?-
C1 h C ?4 4omo ?- C ?4 B/ se tiene D,=G:?4 B/; C ?4 y despe%ando
?4 C /,>= m
1 Epi y ?las ven pasar un avin con ngulos respectivos de 8D y 9=S )i ladistancia que les separa es de /Jm, calcula la altura a que vuela el avin entodos los casos posi&les
/D 4alcula la altura de un semforo, sa&iendo que desde un cierto punto *,se ve &a%o un ngulo de >D y si nos ale%amos 9D metros se ve &a%o unngulo de 8D
89
http://carmesimatematic.webcindario.com/geometria4.htm#_ftn1http://carmesimatematic.webcindario.com/geometria4.htm#_ftn17/21/2019 Gua N 3 de Fundamentos Matemticos Pensamiento Variacional
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/1 3na antena de radio est su%etaal suelo con dos ca&les de acero tirantes, como se indica en la 6gura4alcula#a; La altura de la torre&; La longitud de los ca&les
// La distancia de un &arco a un faro es de 18G m , y a la orilla /11m Elngulo &a%o el cual se ve desde el &arco el segmento cuyos e'tremos son elfaro y la orilla es de 98 T$u. distancia hay entre el faro y la orillaU
18G m
sen 98 ChI18G 98
h C 18Gsen 98C8,98 m h ' cos 98 C 'I18G y /11 m
' C 18Gcos 98 C1DD,/D
8=
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/11A1DD,/DC11D,HDm
*plicando el + !itgoras
y/C 8,98/B11D,HD/ C /1DD=,1H
= 8 -//C'm
.'& -os &arcos salen de un puerto con rum&os distintos formando unngulo de =9, y con velocidades de /1 y /9 millasIh, respectivamente T*qu. distancia se encontrarn al ca&o de una horaU
De nici
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)rado
El >rado de un monomio e s l a suma de todos l os
e'ponentes de las letras o varia&les
El grado de /' / y8 ( es# / B 8 B 1 C >
Monomios seme9antes
-os monomios son seme9antes cuando t ienen la
misma :arte literal
/'/ y8 ( es seme%ante a =' / y8 (
O:eraciones con monomios
Suma de monomios
)lo podemos sumar monomios seme9antes
(a suma de los monomios es otro monomio ue
tiene la misma :arte l iteral = cu=o coeciente es la
suma de los coe cientes&
a1n 51n 8 2a 5,1 n
/'/ y8 ( B 8'/y8 ( C ='/y8 (
)i l os monomios no son seme9antes se o&t iene un
:olinomio
/'/ y8 B 8'/ y8 (
8G
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Producto de un nmero :or un monomio
El :roducto de un nmero :or un monomio es otro
monomio seme9ante cuyo coeciente es el :roductodel coeciente de monomio :or el nmero
= X :/'/y8 (; C 1D'/ y8 (
Multi:licaciual que e l >rado de la var ia&le correspondiente de l
di#isor
La di#isia la misma 5ase&
a1n? 51m8 2a ? 5,1 n Q m
8H
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)i e l >rado del di# isor es ma=or , o&tenemos una
;raccie5raica
Potencia de un monomio
!ara rea l i(ar la :otencia de un monomio se e leva,
cada elemento de .ste, al e'ponente de la potencia
2a1n,m8 am 1n m
:/'8;8 C /8:'8;8C H'
:A8'/ ;8 C :A8; 8 :'/ ;8 C Y/G'>
E9ercicios resueltos de monomios
- nd ica cua les de las s iguientes e'presiones son
monomios En caso a6 rmativo, indica su >rado y
coeciente
-8'8
Grado del monomio # ' , coe;eciente# '
.='Y 8
No es un monomio, porque e l e'ponente no es un
n@mero natural
'8' B 1
No es un monomio, porque hay una suma
8
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/
Grado del monomio # - , coefeciente#
0
Grado del monomio # / , coefeciente#
3
No es un monomio, porque no ti ene e'ponente
natural
No es un monomio, porque la parte literal est dentro
de una ra(
. eali(a las sumas y restas de monomios
-/'/ y8 ( B 8'/ y8 ( C 01.=' $
./'8 Y ='8 C Q'1'
'8'9 Y /'9 B G'9 C 1/
// a/ & c8 Y =a/ & c8 B 8a/ & c 8Y / a/ & c 8C Q. a. 5
c'
' Efect@a los :roductos de monomios
9D
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-:/'8 ; X :='8; C -@13
.:1/'8; X :9'; C /1/
'= X :/'/ y8 (; C -@1. =' $
/:='/ y8 (; X :/ y/(/; C -@ 1.=0 $'
0:1H'8 y/(= ; X :>'8 y ( / ; C -@13='$
3:Y/'8 ; X :Y=' ; X :Y8' / ; C Q'@13
/ eali(a las di#isiones de monomios
-:1/'8; # :9'; C '1.
.:1H'> y/(=; # :>'8 y (/ ; C '1' = $'
':8> '8
yG
(9 ;
# :1/'/
y/
; C '1=0
$/
/
0 /1'= '1 .=.Q 1
3
0 4alcula las :otencias de los monomios
-:/'8 ;8 C /8:'8;8 C 1C
.:A8'/;8 C :A8;8 :'8;/ C Q.13
91
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'
De nici
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(olinomio de tercer grado
!:'; C '8 Y /'/B 8' B /
(olinomio de cuarto grado
!:'; C '9 B '8 Y /'/B 8' B /
lases de :olinomios
Polinomio nulo
El :olinomio nulo t iene todos sus coecientes
nulos
Polinomio homo>"neo
El :olinomio homo>"neo t iene todos sus t"rminosomonomioscon el mismo >rado
!:'; C /'/ B 8'y
Polinomio hetero>"neo
Los t"rminos d e un :olinomio hetero>"neo son de
distinto >rado
!:'; C /'8 B 8'/ Y 8
Polinomio com:leto
3n :olinomio com:leto t i en e todos los t"rminos
desde el t.rmino independiente hasta el t.rmino de mayor
grado
98
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!:'; C /'8 B 8'/ B =' Y 8
Polinomio ordenado
3n :olinomio est ordenado s i los monomios que lo
forman estn escritos de ma=or a menor >rado
!:'; C /'8 B =' Y 8
Polinomios i>uales
-os polinomios son iguales si veri6 can#
-Los dos polinomios t ienen el mismo >rado
.Los coecientes de los t.rminos de l mismo grado
son i>uales
!:'; C /'8 B =' Y 8
$:'; C =' Y 8 B /'8
Polinomios seme9antes
-os polinomios son seme%antes si veri6can que t ienen
la misma :arte literal&
!:'; C /'8 B =' Y 8
$:'; C ='8 Y /' Y G
99
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Ti:os de :olinomios se>n el nmero de t"rminos
Monomio
Es un :olinomioque consta de un slo monomio
!:'; C /'/
Binomio
Es un :olinomioque consta de dos monomios
!:'; C /'/ B 8'
Trinomio
Es un :olinomioque consta de tres monomios
!:'; C /'/ B 8' B =
Valor num"rico de un :olinomio
Es el resultado que o&tenemos al sustituir la varia&le
' por un n@mero cualquiera
!:'; C /'8 B =' Y 8 K ' C 1
!:1; C / X 1 8 B = X 1 Y 8 C / B = Y 8 C 9
9=
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E9ercicios resueltos de :olinomios
- - i s i las s igu ientes e'pres iones a lge&raicas son
pol inomios o no En caso a6rmativo , seala cu l es sugrado y t.rmino independiente
-'9 Y 8'= B /'/ B =
Zrado# =, t.rmino independiente# =
. B G[/ B /
0 o, p orq ue l a p art e l ite ral de l p ri mer
monomio est dentro de una ra(
'1 Y '9
Zrado# 9, t.rmino independiente# 1
/
0o, porque e l e'ponente del p rimer
monomio no es un n@mero natural
0'8 B '= B '/
Zrado# =, t.rmino independiente# D
3' Y / 'Y 8 B H
0o, porque e l e'ponente del /
monomio no es un n@mero natural
9>
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Zrado# 8, t.rmino
independiente# AGI/
. Escri&e#
-3n pol inomio ordenado s in t.rmino
independiente
8'9 Y /'
.3n polinomio no ordenado y
completo
8' Y '/ B = Y /' 8
'3n pol inomio completo sin
t.rmino independiente
mposi&le
/3n polinomio de grado 9,
completo y con coe6 cientes impares
'9Y '8 Y ' /B 8' B =
Suma de :olinomios
Para sumar dos :olinomios se suman los
coe cientes de los t"rminos del mismo >rado&
!:'; C /'8 B =' A 8 $:'; C 9' A 8'/ B /'8
-Ordenamos los :olinomios, s i no lo estn
$:'; C /' 8 A 8'/ B 9'
9G
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!:'; B $:'; C :/' 8 B =' A 8; B :/' 8 A 8'/ B 9';
.A>ru:amos los monomiosdel mismo >rado
!:'; B $:'; C /' 8 B /'8 A 8 '/ B =' B 9' A 8
'Sumamos los monomios seme9antes
!:'; B $:'; C 9' 8A 8'/ B ' A 8
Resta de :olinomios
(a resta de :ol inomios consiste e n sumar e l
o:uesto del sustraendo
!:'; Y $:'; C :/' 8B =' A 8; Y :/'8 A 8'/B 9';
!:'; Y $:'; C /' 8 B =' A 8 Y /'8B 8'/ Y 9'
!:'; Y $:'; C /' 8 Y /'8 B 8'/ B ='Y 9' A 8
!:'; Y $:'; C 8' / B ' A 8
Multi:licaci
9H
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Multi:licaci'= A '9B 1/'8 A >'/
Multi:licaciundo :olinomio&
!:'; X $:'; C :/' /A 8; X :/'8 A 8'/ B 9'; C
C 9'= Y >'9 B H'8 Y >'8 B '/ Y 1/' C
Se suman los monomios del mismo >rado&
C 9'= Y >'9 B /'8 B '/ Y 1/'
Se o5tiene otro :olinomio cu=o >rado es la suma
de los >rados de los :olinomios ue se multi:lican&
+am&i.n podemos multi:l icar :olinomios de
siguiente modo#
9
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Di#isi
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!rocedemos igual que antes
='8 # '/ C = '
Qolvemos a hacer las mismas operaciones
H'/ # '/ C H
-@1 Q 3 es e l resto , porque su >rado es menor ue
el de l di #i so r y por tanto no se puede continuar
dividiendo
1'.1. 01 es el cociente
=1
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Di#isi
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Re:etimos el :roceso anterior&
Qolvemos a repetir e l proceso
Qolvemos a repeti r
El ltimo nmero o5tenido , 03 , es el resto
CEl cociente es un :olinomio de >rado in;erior en
una unidad al di#idendo = cu=os coe cientes son los
ue hemos o5tenido&
1' ' 1. 31 -
E9ercicios = :ro5lemas resueltos de :olinomios
--ados los polinomios#
!:'; C 9'/ Y 1
$:'; C ' 8Y 8'/B >' Y /
=8
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:'; C >' / B ' B 1
):'; C 1I/'/ B 9
+:'; C 8I/'/ B=
3:'; C ' / B /
4alcular#
-!:'; B $ :'; C
C :9'/
Y 1; B : '8
Y 8'/
B >' Y /; C
C '8 Y 8'/ B 9'/B >' Y / Y 1 C
C1' 1. 31 Q '
.!:'; Y 3 :'; C
C :9'/ Y 1; Y :'/ B /; C
C 9'/ Y 1 Y ' / Y / C
C '1.Q '
'!:'; B :'; C
C :9'/ Y 1; B :>' /B ' B 1; C
C 9'/ B >'/ B ' Y 1 B 1 C
C -@1. 1
//!:'; Y :'; C
C /:9'/ Y 1; A :>'/ B ' B 1; C
C H'/ Y / Y >' / Y ' Y 1 C
=9
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C .1.Q 1 Q '
0):'; B :'; B 3:'; C
C :1I/ '/ B 9 ; B :8I/ '/ B= ; B :' / B /; C
C 1I/ '/ B 8I/ '/ B '/ B 9 B =B / C
C '1. --
3):'; Y :'; B 3:'; C
C :1I/ '/
B 9 ; Y :8I/ '/
B= ; B :'/
B /; C
C 1I/ '/ B 9 Y 8I/ '/ Y = B ' / B / C
C -
.-ados los polinomios#
!:'; C '9 Y/'/ Y >' Y 1
$:'; C ' 8Y >'/B 9
:'; C /' 9 Y/ ' Y /
4alcular#
!:'; B $:'; Y :'; C
C :'9 Y/'/Y >' Y 1; B :' 8 Y >'/B 9; Y : /' 9 Y/ ' Y
/; C
C '9 Y/'/ Y >' Y 1 B ' 8 Y >'/ B 9 Y /'9 B / ' B / C
C '9 Y /'9 B '8 Y/'/ Y >'/ Y >' B / ' Y 1 B 9 B / C
==
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C Q1/ 1'Q 1.Q /1 0
!:'; B / $:'; Y :'; C
C:'9 Y/'/ Y >' Y 1; B /:'8Y >'/ B 9; Y : /' 9Y/ ' Y
/; C
C '9 Y/'/ Y >' Y 1 B/' 8 Y 1/'/ B H Y /' 9 B / ' B / C
C ' 9 Y /'9 B /'8 Y/'/ Y 1/'/ Y >' B / ' Y 1 B H B /
C
C Q1/ .1'Q -/1. Q /1 C
$:';B :'; Y !:';C
C :'8 Y >'/ B 9; B : /' 9 Y/ ' Y /; Y :' 9 Y/'/ Y >' Y
1; C
C '8 Y >'/ B 9 B /'9 Y/ ' Y / Y ' 9 B/'/ B >' B 1C
C /'9 Y '9 B '8 Y >'/ B/'/ Y/ ' B >' B 9Y / B 1C
C 1/ 1'Q /1. /1 '
-:'9 Y/'/ B/ ; X :'/Y/' B8; C
C ' > Y/'= B 8'9Y /'9B 9'8Y >'/ B /'/Y 9' B>C
C ' > Y/'= Y /'9 B 8'9 B 9'8 B /'/ Y >'/ Y 9' B> C
C1 3 Q.10 1/ /1' Q /1.Q /1 3
. :8'/ Y =' ; X :/'8 B 9'/Y ' B/; C
C >'= B 1/'9 Y 8'8 B >'/ Y 1D'9 Y /D'8 B ='/ Y 1D' C
=>
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C >'= B 1/'9 Y 1D'9 Y 8'8 Y /D'8 B >'/ B ='/ Y 1D' C
C 310 .1/Q .'1' --1.Q -@1
' :/'/ Y =' B >; X :8' 9Y = '8 Y > '/ B 9' Y 8; C
C >'> Y 1D'= Y 1/ '9 B H'8 Y > '/ Y
Y 1='=B /='9B 8D'8Y /D'/B 1=' B
B1H'9 Y 8D'8 Y 8>'/ B /9' Y 1H C
C >'>
Y 1D'=
Y 1='=
Y 1/ '9
B /='9
B 1H'9
B
BH'8 Y 8D'8B 8D'8Y > '/Y /D'/ Y 8>'/ B 1=' B /9' Y
1H C
C313 Q .010 '-1/ 1'Q 3.1. 'C1 Q -
'Di#idir los :olinomios #
-:'9 Y /'8 Y11'/B 8D' Y/D; # :'/ B 8' Y/;
.:' >B ='9 B 8'/ Y /'; # :' / Y ' B 8;
=G
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' !:'; C /'= B /'8 Y' A H $:'; C 8'/Y/ ' B 1
/ Di#idir :or Ru ni #
- :'8B /' BGD; # :'B9;
.:'= Y 8/; # :' Y /;
=H
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21, 8 1/ .1' /1. 1 -3 R8 @
' :'9Y8'/ B/ ; # :' Y8;
21, 8 1'
' 1.
31 - R8 03
Binomio al cuadrado
2a U 5,. 8 a. U . a 5 5.
:' B 8;/C ' /B / X ' X8 B 8 /C ' /B > ' B
:/' Y 8;/
C :/';/
Y / X /' X 8 B 8/
C 9'/
Y 1/ ' B
Suma :or di;erencia
2a 5, 2a Q 5, 8 a .Q 5.
:/' B =; X :/' A =; C :/ ';/Y = / C 9'/Y /=
Binomio al cu5o
2a U 5,' 8 a' U ' a. 5 ' a 5 .U 5'
:' B 8;8C ' 8B 8 X '/ X 8 B 8 X 'X 8 / B 8 8 C
C ' 8 B '/ B /G ' B /G
:/' A 8;8 C :/';8A 8 X :/';/ X8 B 8 X /'X 8/ A 8 8C
=
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C H' 8 A 8> '/ B =9 ' A /G
Trinomio a l cuadrado
2a 5 c, .8 a. 5. c. . a 5 . a c
. 5 c
:'/Y ' B 1;/ C
C :'/;/ B :A';/ B 1 / B/ '/ :A'; B / '/ 1 B / :A';
1C
C '9 B '/ B 1 A /'8B /'/ A /'C
C '9 A /'8 B 8'/ A /' B 1
Suma de cu5os
a' 5'8 2a 5, 2a .Q a5 5 .,
H'8 B /G C :/' B 8; :9'/A >' B ;
Di;erencia de cu5os
a'Q 5'8 2a Q 5, 2a . a5 5 .,
H'
8
Y /G C :/' Y 8; :9'
/
B >' B ;
Producto de dos 5inomios ue tienen un t"rmino comn
21 a, 21 5, 8 1 . 2 a 5, 1 a5
:' B /; :' B 8; C
C '/
B :/ B 8;' B / 8 C
>D
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C '/ B =' B >
E9ercicios resueltos de :roductos nota5les
- Desarrolla los 5inomios al cuadrado&
-:' B =;/ C
C '/ B / X ' X = B =/ C
C 1 . -@ 1 .0
.:/' A =;/C
C :/';/A / X /' X= B =/ C
C /1.7 .@ 1 .0
.:/' A =;/C
C :/';/
A / X /' X= B =/
C
C /1.7 .@ 1 .0
/
.Desarrolla los 5inomios al cu5o&
- :/' A 8;8
C :/';8
A 8 X :/';/
X8 B 8 X /'X 8/
A 88
C
>1
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C H' 8 A 8> '/ B =9 ' A /G
.:' B /;8 C ' 8 B 8 X ' / X/ B 8 X 'X / / B /8 C
C '8 B > '/ B 1/ ' B H
':8' A /;8C :8 ';8 Y 8 X :8';/ X/ B 8 X 8'X / / Y /8 C
C/G' 8 Y =9 '/ B 8> ' Y H
/:/' B =;8 C :/ '; 8 B 8 X:/';/ X= B 8 X /'X = / B = 8C
C H'8
B >D '/
B 1=D ' B 1/=
'Desarrolla las sumas :or di;erencias
-:8' A /; X :8' B /; C
C :8';/
Y //
C
C C1.Q /
.:' B =; X :' Y =; C
C 1.Q .0
':8' A /; X :8' B /; C
C :8';/Y / / C
C C1/Q /
/:8' A =; X :8' A =; C
C :8'; /Y =/ C
C C1 . Q .0
>/
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Teorema del resto
El resto de la di#isi
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Races de un :olinomio
-Los ceros o races de un :olinomio son di#isores
del t"rmino inde:endiente del polinomio
.* cada ra$ del tipo 1 8 a l e corresponde un
5inomiodel t ipo 21 a,
'!odemos e'presa r un :ol inomio en ;actores al
escri&ir lo como :roducto de todos los 5inomios del t ipo
21 a, , que se correspondan a las ra ces, ' C a, que se
o&tengan
'/Y =' B > C :' Y /; X :' Y 8;
/La suma de los e1:onentes de los 5inomios ha de
ser igual al >rado del :olinomio
0+odo :olinomio que no tenga t"rmino
inde:endiente admite como ra( 1 8 @ , l o q u e e s l o
mismo, admite como ;actor 1
'/B ' C ' X :' B 1;
aces# ' C D y ' C Y 1
33n :olinomio se l lama irreduci5le o :rimo cuando
no puede descom:onerse en ;actores
!:'; C '/ B ' B 1
Ejercicio
6al lar las races = descom:oner en ;actores el
:olinomio#
>9
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$:'; C ' /Y ' Y >
Los div isores del t.rmino independiente son ]1, ]/,
]8
$:1; C 1 / Y 1 Y > ^ D
$:Y1; C :Y1;/ Y :Y1; Y > ^ D
$:/; C / / Y / Y > ^ D
$:Y/; C :Y/;/ Y :Y/; Y > C 9 B/ A > C D
$:8; C 8 / Y 8 Y > C Y 8 Y > CD
Las races son# 18 7. = 1 8 '&
21, 8 21 . , 21 Q ' ,
1Factor comn de un :olinomio
E1traer ;actor comn a un :olinomio consiste en
aplicar la :ro:iedad distri5uti#a
a 1 5 1 c 1 8 1 2a 5 c,
3na ra$ del :olinomio ser siempre 1 8 @
,escomponer en factores sacando factor com-n y
&allar las races de*
-1' 1.8 1. 21 -,
La races son# ' C D y ' C Y 1
. .1/ /1.8 .1. 21. .,
>=
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)lo t iene una ra$[ C DK ya que el polinomio, ' / B /,
no t iene ning@n valor que lo anuleK de&ido a que a l estar
la ' a l cuadrado s iempre dar un n@mero pos it ivo, por
tanto es irreduci&le
' 1.Q a1 Q 51 a5 8 1 21 Q a, Q 5 21 Q a, 8 21 Q
a, 21 Q 5,
La races son 'C a y ' C &
/I>ualdad nota5le
1Di;erencia de cuadrados
!na di;erencia de cuadrados es i>ual a suma :or
di;erencia&
a.Q 5.8 2a 5, 2a Q 5,
,escomponer en factores y &allar las races
-1.Q / 8 2+ ., 2+ Q .,
(as races son + 8 Q . = + 8 .
.1/ Q -3 8 21. /, 21. Q /, 8 2+ ., 2+ Q .,
21. /,
(as races son + 8 Q . = + 8 .
>>
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/Trinomio cuadrado :er;ecto
!n t rinomio cuadrado :er ;ecto es i>ual a un
5inomio al cuadrado&
a.U . a 5 5. 8 2a U 5, .
,escomponer en factores los tr inomio cuadrados
perfectos y &allar sus races
(a ra$ es 1 8 Q '&
(a ra$ es 1 8 .&
8Trinomio de se>undo >rado
!ara descom:oner en ;actores e l t rinomio de
se>undo >rado !:'; C a ' /B &' Bc , se i>uala a cero =
se resuel#e la ecuacirado )i las soluciones a
la ecuacin son ' 1 y '/ , el polinomio descompuesto ser#
a 1.
51 c 8 a 21 71- , 21 71. ,
>G
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,escomponer en factores los trinomios de segundo
grado y &allar sus races
(as races son 1 8 ' = 1 8 .&
(as races son 1 8 ' = 1 8 Q .&
,escomponer en factores los trinomios de cuarto
grado de e/ponentes pares y &allar sus races
'9Y 1D'/B
'/C t
>H
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'9Y 1D'/B C D
t/ Y 1Dt B C D
1/ Q -@1. C 8 21 -, 21 Q -, 21 ', 21 Q ',
'9Y /'/B 8
'/C t
t/ Y /t B 8 C D
'9Y /'/B 8 C :'/ B 1; X :' B ; X :' Y ;
>
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9 Factori$acirado su:erior a dos
!ti li $amos e l teorema del resto = la re> la de
Ru ni&
,escomposicin de un polinomio de grado superior
a dos y c0lculo de sus races
!:'; C /'9 B '8 Y H'/ Y ' B >
-Tomamos los di#isores del t"rmino
inde:endiente?]1, ]/, ]8
.*plicando el teorema del resto sa&remos para que
valores la divisin es e'acta
!:1; C / X 19 B 1 8 Y H X 1 /Y 1 B > C / B 1Y H Y 1 B >
C D
'Di#idimos :or Ru ni
/Por ser la di#isi ;
3na ra( es ' C 1
4ont inuamos rea li(ando las mismas operac iones a l
segundo factor
Qo lvemos a p ro&a r por 1 porque e l p rimer f ac to r
podra estar elevado al cuadrado
GD
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!:1; C / X 1 8 B 8 X 1 /Y = 1 Y >^ D
!:Y1; C / X :Y 1; 8 B 8 X:Y 1;/Y = X :Y 1; Y >C Y/ B 8
B = Y > C D
:' Y1; X :' B1; X :/'/ B' Y>;
2tra ra( es ' C A1
E l tercer factor lo podemos encontrar aplicando la
ecuac in de / grado o tal como ven imos hac i.ndolo ,
a unque t iene e l i nconvenien te de que slo podemos
encontrar races enteras
El 1 lo descartamos y seguimos pro&ando por Y 1
!:Y1; C / X :Y1; / B :Y1; Y > ^ D
!:/; C / X / / B / Y > ^ D
!:Y/; C / X :Y/; / B :Y/; Y > C / X 9 Y / Y > C D
:' Y1; X :' B1; X :' B/; X :/' Y8 ;
)acamos ;actor comn / en @lt imo &inomio
/' Y8 C / :' Y 8I/;
La ;actori$aci
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P21, 8 .1 / 1' Q 1. Q 1 3 8 . 21 Q-, 21 -,
21 ., 21 Q 'H.,
(as races son ? 1 8 - 1 8 Q - 1 8 Q. = 1 8 'H.
E9ercicios resueltos de ;actori$aci '/B ; C
8 '1 21 . Q ',.
//'8 Y =D' C
C/' X :'/ Y /= ; C
.1 21 0, 21 7 0,
0/'= Y 8/' C
G/
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C /' X :'9 Y 1> ; C
/' X :'/B 9; X :'/ Y 9; C
8 .1 21 . /, 21 ., 21 Q .,
3/'/ B ' Y /H
/'/ B ' Y /H C D
/'/ B ' Y /H C . 21 /, 21 Q H.,
,escomponer en factores los polinomios
-
.'y Y /' Y 8y B> C
C ' X :y Y /; Y 8 X :y Y /; C
C 21 Q ', 2= Q .,
'/='/ Y 1C
C 201 -, 201 Q -,
/8>'> Y 9 C
G8
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C 231' , 231'Q ,
0'/ Y /' B1 C
C 21 Q -,.
3'/ Y >' B C
C 21 Q ',.
'/ Y /D' B1DD C
C 21 Q -@,.
'/ B 1D' B/= C
C 21 0,.
C'/ B 19' B9 C
C 21 ,.
-@'8 Y 9'/B 9' C
C ' X :' / Y 9' B9; C
C1 21 Q .,.
--8'G Y /G' C
C 8' X :'> Y ; C
C '1 21' ', 21 'Q ',
-.'/ Y 11' B 8D
'/Y 11' B 8D C D
G9
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'/Y 11' B 8D C 21 Q3, 21 Q0,
-'8'/ B 1D' B8
8'/ B 1D' B8 C D
8'/ B 1D' B8 C ' 21 Q ', 21 Q -H',
-//'/ Y ' Y1
/'/ Y ' Y1 C D
/'/ Y ' Y1 C . 21 Q -, 21 -H.,
Factorizar y &allar las races de los polinomios
- .1'Q 1. 1 Q '
!:1; C / X 1 8 Y G X 1 /B H X 1 Y 8 C D
G=
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:' Y1 ; X :/' /Y =' B 8 ;
!:1; C / X 1 / Y= X 1 B 8 C D
:' Y1 ;/X :/' Y8 ; C . 21 Q 'H. , 21 Q- ,.
(as races son? 1 8 'H. = 1 8 -
.1' Q 1.Q /
_]1, ]/, ]9 `
!:1; C 1 8 Y 1 / Y 9 ^ D
!:Y1; C :Y1; 8 Y :Y1; / Y 9 ^ D
!:/; C / 8 Y / / Y 9 C H Y 9 Y 9 C D
:' Y /; X :' /B ' B / ;
'/B ' B / C D
G>
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:' Y /; X :' /B ' B / ;
a(# 1 8 .&
'1' '1. Q/ 1 Q -.
_]1, ]/, ]8, ]9, ]>, ]1/ `
!:1; C 18 B 8 X 1 /Y 9 X 1 Y 1/ ^ D
!:Y1; C :Y1;8 B 8 X :Y1;/ Y 9 X :Y1; Y 1/ ^ D
!:/; C /8 B 8 X / /Y 9 X / Y 1/ C H B 1/ Y H Y 1/ C D
:' Y /; X :' / B =' B>;
'/B =' B> C D
:' Y /; X:' B /; X:' B8;
Las races son # 1 8 . 1 8 Q . 1 8 Q '&
/31' 1. Q C1 .
_]1, ]/`
GG
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!:1; C > X 1 8 B G X 1 / Y X 1 B / ^ D
!:Y1; C > X :Y1; 8 B G X :Y1; / Y X :Y1; B / ^ D
!:/; C > X / 8 B G X / / Y X / B / ^ D
!:Y/; C > X :Y/; 8 B G X :Y/;/ Y X :Y/; B / C Y 9H B
/H B 1H B / C D
:'B/; X :>'/ Y=' B1;
>'/ Y=' B1 C D
3 21 ., 21 Q -H., 21 Q -H',
Races? 1 8 Q . 1 8 -H. = 18 -H'
!na ;raccie5ra ica es e l coc iente de dos
:olinomios y se representa por#
Fracciones al>e5raicas eui#alentes
Dos ;racciones al>e5raicas
GH
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son eui#alentes , y lo representamos por#
si se veri6 ca que P21, S21, 8 21, R21,
son ;racciones al>e5raicas eui#alentes porque#
:' B /; X :' Y /; C ' / Y 9
-ada una ;raccie5raica , si multi:licamos el
numerador y el denominadorde d icha f racc in por un
mismo :olinomiodist into de cero, la ;raccie5raica
resultante es eui#alentea la dada
Sim:li cacie5raicas
!ara sim:licar u n a ;raccie5raica se di#ide
el numerador y el denominador de la f racc in por un
:olinomioque sea factor com@n de am&os
G
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Am:li cacie5raicas
!ara am:licar una ;raccie5ra ica se
multi:lica el numerador y el denominador de l afraccin por un :olinomio
Reduccie5raicas a comn
denominador
-)e descom:onen l o s denominadores en ;actores
para ha l la rles e l mnimo comn mlti:lo, que se r e l
com@n denominador
'/Y 1 C :'B1; X :' Y 1;
'/B 8' B / C :'B1; X :' B /;
mcm:' / Y 1, ' / B 8' B /; C :'B 1; X :' Y 1; X :' B /;
.Di#idimos el comn denominador en tre l os
denominadores de las f racciones dadas y e l resultado lo
multi:licamospor el numerador correspondiente
HD
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O:eraciones con ;racciones al>e5raicas
Suma de ;racciones al>e5raicas
Con el mismo denomiminador
Con distinto denomiminador
En primer lugar se ponen las ;racciones al>e5raicas
a comn denominador, pos te ri ormente se suman los
numeradores
H1
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Multi:licacie5raicas
H/
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Di#isie5raicas
E9ercicios resueltos de ;racciones al>e5raicas
-Sim:li car las ;racciones al>e5raicas
-
H8
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.
'
/
0
H9
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.Suma las ;racciones al>e5raicas
'Resta las ;racciones al>e5raicas
H=
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/Multi:lica las ;racciones al>e5raicas
-
.
H>
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O:era
0E;ecta las o:eraciones
HG
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3Reali$a las o:eraciones
3na ecuaciualdad que se cumple para
algunos valores de las letras
' B 1 C / ' C 1
Elementos de una ecuaci
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"ncgnitas
La incnita de una ecuacirado de una ecuaciradosde los monomiosque forman sus miem5ros
Ecuaciones eui#alentes
Dos ecuac iones son eui#alentes s i t ienen la
misma soluci
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/' Y 8 C 8' B / ' C Y=
' B 8 C Y/ ' C Y=
riterios de eui#alencia de ecuaciones
-& Si a los dos miem5ros de una ecuaci
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lases de ecuaciones
-& Ecuaciones :olin
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-&-&' Ecuaciones de tercer >rado
)on ecuaciones del t ipo a1' 51. c1 d 8 @ , con
a ^ D
-&-&/ Ecuaciones de cuarto >rado
)on ecuaciones del t ipo a1/ 51' c1. d1 e 8
@ , con a ^ D
Ecuaciones bicuadradas
)on ecuaciones de cuarto grado que no t iene t.rminos
de grado impar
a1/ 51. c 8 @ , con a ^ D
-&-&0 Ecuaciones de >rado n
En general, las ecuaciones de grado n son de la forma#
a-1n a.1n 7 - a'1n 7. &&& a @8 @
-&.& Ecuaciones :olin
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-&'& Ecuaciones :olin
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.&' Ecuaciones tri>onom"tricas
) on l as e cu aci on es en l as q ue l a in c gn it a es t
afectada por una funcin tr igonom.tr ica 4omo .stas son
peridicas, ha&r por lo general in6 nitas soluciones
Las ecuaciones lineales o de :rimer >rado son del
t ipo a1 5 8 @ , con a ^ D, cualquier otra ecuacin en
la que a l operar , t rasponer t.rminos y s impl i6 car adopten
esa e'presin
Resoluci
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E9em:los de ecuaciones lineales
-espe%amos la incgnita#
*grupamos los t.rminos seme%antes y los
independientes, y sumamos#
$uitamos par.ntesis#
*grupamos t.rminos y sumamos#
-espe%amos la incgnita#
$uitamos denominadores , para e l lo en primer lugar
hallamos el mnimo com@n m@ltiplo
=
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$ui ta mos par.ntes is , a gr upamos y sumamos l os
t.rminos seme%antes#
-espe%amos la incgnita#
$uitamos par.ntesis y simpli6 camos#
$uitamos denominadores, agrupamos y sumamos los
t.rminos seme%antes#
$uitamos corchete#
$uitamos par.ntesis#
>
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$uitamos denominadores#
$uitamos par.ntesis#
*grupamos t.rminos#
)umamos#
-ividimos los dos miem&ros por# Y
E9ercicios de ecuaciones lineales
-&
.&
G
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'&
/&
H
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0&
3&
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&
&
C&
1DD
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!ara reali(ar un :ro5lemas de ecuaciones en primer
lugar lo tenemos que e'presar en len>ua9e al>e5rico y
posteriormente resolver la ecuacin resultante
E1:resiones al>e5raicas comunes
El do5le o du:lo de un n@mero# .1
El tri:le de un n@mero# '1
El cudru:lode un n@mero# /1
La mitadde un n@mero# 1H.&
3n tercio de un n@mero# 1H'&
3n cuartode un n@mero# 1H/&
3n n @mero es :ro:orcional a / , 8, 9 , # .1 '1
/1&&
3n n@mero al cuadrado # 1.
3n n@mero al cu5o # 1'
-os n@meros consecuti#os # 1 y 1 -&
-os n@meros consecuti#os :ares # .1 y .1 .&
-os n@meros consecuti#os im:ares # .1 - y .1
'
1D1
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Descom:oner /9 en dos :artes # 1 y ./ Q 1&
La suma de dos n@meros es /9# 1 y ./ Q 1&
La di;erenciade dos n@meros es /9# 1 y ./ 1&
El :roducto de dos n@meros es /9# 1 y ./H1&
El cociente de dos n@meros es /9K 1 y ./ 1&
Pro5lemas de m
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-El t iempo que tardarn en encontrarse
Dt B >Dt C 8DD 1=Dt C 8DD t 8 . horas
.La hora del encuentro
)e encontraran a las -- de la maLana
'La distancia recorr ida por cada uno
e * ? C D X / C -@ Wm
e ?4 C >D X / C -.@ Wm
.o caso
(os mD JmIh )e pide#
- El t iempo que tardarn en encontrarse
Dt Y >Dt C 1HD 8Dt C 1HD t 8 3 horas
. La hora del encuentro
)e encontraran a las ' de la tarde
1D8
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' La distancia recorrida por cada uno
e * ? C D X > C 0/@ Wm
e ?4 C >D X > C '3@ Wm
'e r caso
(os mD Y8Dt C Y8>D t 8 -. horas
. La distancia a la que se produce el encuentro
e 1 C D X 1/ C -@@ Wm
Pro5lemas de >ri;os
En una hora el pr imer gr ifo l lena -Ht-del depsito
En una hora el segundo grifo l lena -Ht. del depsito
1D9
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)i e'iste un desage
En una hora el desage vacia -Ht'del depsito
En una hora los dos grifos %untos ha&rn l lenado#
)in desage
4on desage
3n gr i fo tarda en l lenar un depsito tres horas y otro
g ri fo t arda en l lena rl o cua tro hor as T4unto t iempo
tardarn en l lenar los dos grifos %untos el depsitoU
En una hora el pr imer gr ifo l lena 1I8 del depsito
En una hora el segundo grifo l lena 1I9 del depsito
En una hora los dos grifos %untos ha&rn l lenado#
G' C 1/ 1 8 -.H horas
1D=
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Pro5lemas de me$clas
- 1S cantidad - 8 1
. /S cantidad . 8 m 7 1
m 4antidad de la me(clam8 - .
P- !recio de la 1S cantidad
P. !recio de la /S cantidad
Pm !recio de la me(cla
- P- . P.8 m Pm
+am&i.n podemos poner los datos en una ta&la
antida
d Precio oste
-
sustancia- P- - P-
.
sustancia. P. . P.
Me$cla - . P- P- .
P.
- P- . P.8 2- ., Pm
1D>
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3n comerciante t iene dos clases de caf., la pr imera a
9D b el Jg y la segunda a >D b el Jg
T4uantos J i logramos hay que poner de cada clase de
caf. para o&tener >D Ji los de me(cla a =D b el JgU
- clase . clase Total
N de W> 1 3@ Q 1 3@
Valor /@ 1 3@ 23@ Q 1, 3@ 0@
9D' B >D X :>D Y '; C >D X =D
9D' B 8>DD Y >D' C 8DDDK Y >D' B 9D' C 8DDD Y
8>DDK /D' C >DD
' C 8DK >D Y 8D C 8D
Tenemos ue me$clar '@ W> de la - clase = otros
'@ de la . clase&
Pro5lemas de aleaciones
La le= de la aleaci
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)e resue lven de l mismo modo que los pro&lemas de
me(clas, teniendo en cuenta que la le= de la a leaci 1 -@@ Q 1 -@@
Plata
@&0@
1 @ &C0@ 2-@@Q1, @ &C@@ -@@
DG=D X ' B D=D X :1 HDDY'; C D X 1HDD
DG=D ' B 1 G1D Y D=D' C 1 >/D
DG=D' Y D=D' C 1 >/D Y 1 G1D
YD/' C Y D ' C 9=D
1S ley /0@ >
/S ley -'0@ >
Las ecuaciones cuadrticas o de se>undo >radoson las e'presiones de la forma#
1DH
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a1. 51 c 8 @ con a X @ &
!ara resol#er ecuaciones de se>undo > rado
uti l i(amos la siguiente frmula#
Si es aY@ multi:l icamos los dos miem5ros :or
2Q-,&
1D
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Ecuaciones cuadrticas incom:letas
3na ecuaciundo >rado es
incom:leta si alguno de l os coe6 c ientes, & o c, oam&os, son iguales a cero
a1.8 @
(a soluci
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a1. c 8 @
-espe%amos#
Soluciones de la ecuaci
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5.Q /ac Z @
(a ecuac i
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Pro:iedades de las soluciones de la ecuaciones
cuadrticas
(a suma de las soluciones de una ecuac in de
segundo grado es igual a#
El :roducto de las solucionesde una ecuacin de
segundo grado es igual a#
Ecuaci
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Factori$aci
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om:ro5amos la soluci
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!ara resol#er ecuaciones 5icuadradas , efectuamos
el cam&io 1.8 t 1 / 8 t.[ con lo que genera una ecuacin
de segundo grado con la incgnita t#
at. 5t c 8 @
Por cada #alor :ositi#o de t ha5r dos #alores de
1?
El mi smo p ro ce di mi en to p od emos u til i( ar p ara
resolver las ecuaciones del t ipo#
a'> B &'8B c C D
a'H B &'9B c C D
a'1 DB &'= B c C D
11>
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E9ercicios de ecuaciones 5icuadradas
-'9 Y >1'/ B DD C D
11G
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.'9 Y /='/ B 199 C D
''9 Y 1>'/ Y //= C D
E#aluaci
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%esuelva y sustente por C&'AS! los e#ercicios de estos captulos! de acuerdo a la
orientacin del tutor del texto( )atem*ticas +niversitarias de Allendoer,er y los
e#ercicios integrales del material de apoyo aportado por el tutor$
dentro de la gua se encontraran e%ercicios y pro&lemas resueltos que el
estudiante resolver y presentara en un portafolio para ser revisados porel tutor, se har una sociali(acin y correccin de algunos pro&lemaspropuestos al a(ar, se tendr en cuenta una autoevaluacin que cadaestudiante har, una cooevaluacin que le harn los estudiantes delgrupo y una heteroAevaluacin que ser reali(ada por el tutor teniendoen cuenta los aspectos cognitivos, actitudinales y comportaAmentales delestudiante, al igual que las competencias interpretativa, argumentativa yproposicional
Acreditacin del Ncleo Problemico
-a acreditacin de la unidad amerita un traba#o secuencial! individual y por C&'AS
que le permitan al estudiante un desarrollo adecuado de los procesos de
,actoriacin y la solucin de e#ercicios de aplicacin a las ecuaciones lineales y
cuadr*ticas mediante la interpretacin analtica y gr*,ica de sus soluciones$
.uien acredite un nivel mnimo en el mane#o conceptual! operativo y gr*,ico de
estos componentes! avanar* positivamente en el proceso evaluativo tutorial$
A(ENDARIO DE( MOD!(O
2Se de5e denir en semanas de ;orma ue a9uste con el modelo:eda>ico uniminuto 4 en l modalidad de distancia,
30-*- -E*!E0-*E
*4+Q-*-E) -E *!E0-*E )EM*0*
AcuerdoPeda>ico
Presentacia del PI = asi>naci
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des:ara el. de
;e5reroPensamiento =SistemaNum"rico
De manera indi#idual en la distancia elestudiante reali$ar una sntesis de loscontenidos consultados en la 5i5lio>ra;asu>erida resol#er los e9ercicios =:ro5lemas :ro:uestos = en el encuentro:resencial se aclararan las dudas secorre>irn al>unos e9ercicios =:ro5lemas = se e#aluar el :orta;olio
'Del .
de;e5reroal 3 deMar$o
PensamientoVariacional =sistemasal>e5raicos
De manera indi#idual en la distancia elestudiante reali$ar una sntesis de loscontenidos consultados en la 5i5lio>ra;asu>erida resol#er los e9ercicios =:ro5lemas :ro:uestos = en el encuentro
:resencial se aclararan las dudas secorre>irn al>unos e9ercicios =:ro5lemas = se e#aluar el :orta;olio
/del 3 demar$o
al -' demar$o
03
METODO(OGIA
En la educacin a distancia es importante que el estudiante asuma unaestricta responsa&ilidad con sus procesos, condicin que lo lleva a adquirirauto e'igencia con su aprendi(a%e -e&ido a que ese proceso es&sicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constantedel tutor, el estudiante de&e considerar la capacidad para organi(ar eltiempo de su estudio por si mismo :autodisciplina;, teniendo en cuenta queesta modalidad presenta 7e'i&ilidad en los horarios
La pala&ra m.todo signi6ca camino :odos;, para llegar a un 6n :meta;, en
este sentido el concepto de metodologa integra los m.todos y las t.cnicaspara desarrollar ha&ilidades conducentes a adquirir una competencia
3sted cuenta con Qarios recursos a su disposicin los cuales le ayudaran aalcan(ar la competencia al 6nal de este modulo Ellos son#
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y
re,erente a aplicaciones! los siguientes(
- Se recomienda leer los captulos / y 0 sobre ecuaciones e inecuaciones lineales
del texto! )atem*ticas +niversitarias de Allendoer,er$
1/D
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- -ectura analtica de los captulo 1 y 2 sobre ecuaciones lineales de las
)atem*ticas Aplicadas a la 3conoma y a la Administracin! de 4agdish C$ Arya5
%obin 6$ -ardner$ 3ditorial 'rentice 7all$ 899/$
- Se recomienda leer los captulos : y / del texto! )atem*ticas Aplicadas a la
Administracin y a la 3conoma 4agdish C$ Arya5 %obin 6$ -ardner$ 3ditorial
'rentice ; 7all$ Tercera edicin$ )xico 8909$
Se recomienda visitar y consultar las direcciones aba#o citadas
http#IIcarmesimatematice&cindariocomIcuadernoactividadescuartohtm
http#IIvitutornetI1I8Hhtml Los con tenidos y t it ul ar idad deldominio corresponden a uan 4ar los Fernnde( Zordi l lo, params informacin so&re #itutor&net puedes consultar la pgina#
http#IIhoisnetIhoisnecgiUdCvitutornettldCcom http#IIeduteJaorgI)oftMath=php )inisterio de 3ducacin
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Zuiar, facilitar, asesorar y orientar al estudiante en su proceso deaprendi(a%e)uscitar la re7e'in e indagar a los estudiantes so&re su proceso deaprendi(a%eEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacin
sociali(ados al estudiante al plantearse la actividadetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia enlas fechas acordadas con el tutorLas dudas acad.micas sern atendidas por tel.fono, fa', eAmail ymedios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
*sumamos que los estudiantes son participantes, honestos ycomprometidos que 4omo tales, son los principales responsa&les de iniciar,dirigir y sostener sus propios procesos de aprendi(a%e 4ada estudiante se
compromete a propiciar las condiciones que est.n a su alcance parama'imi(ar las oportunidades de aprendi(a%e de acuerdo a su conte'to yposi&ilidades -e igual forma se asume que nuestros estudiantes noincurrirn en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en lasdiversas formas de interaccin, actividades terminales e intermedias )eespera que los estudiantes participen activamente en cada una de lasactividades descritas en la gua de estudio, para ello es necesario tener encuenta que#
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendi(a%e, que lolleva a ser mas activo y propositivo, por consiguiente a desarrollar elauto estudio-e&e estar preparado para participar activamente de las actividadesde aprendi(a%e, ha&iendo ledo los contenidos de su te'to de estudioy materiales adicionales relacionados en la gua de estudio-e&e reali(ar las actividades planteadas en la gua de estudio,entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en loscriterios de evaluacin, dentro de los tiempos esta&lecidos en lecalendario y &a%o las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas, de&er sa&er citar las fuentes, es decirusar de&idamente la &i&liografa a 6n de evitar el plagio
Bi5lio>ra;a
http#IIcarmesimatematice&cindariocomIcuadernoactividadescuartohtm
http#IIvitutornetI1I8Hhtml Los con tenidos y t it ul ar idad deldominio corresponden a uan 4ar los Fernnde( Zordi l lo, params informacin so&re #itutor&net puedes consultar la pgina#http#IIhoisnetIhoisnecgiUdCvitutornettldCcom
http#IIeduteJaorgI)oftMath=php )inisterio de 3ducacin
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*llendoerfer, 4 y 2aJley, 4letus 2 Matemticas 3niversitarias 4uarta edicinrevisada Editorial Mc ZraA "ill )antaf. de ?ogot -4 19 4p 9, =, >, G, H,1D y 11
*rya, y Lardner, Matemticas aplicadas a la administracin y a la economa+ercera edicin Editorial !rentice "all 1H captulos 1 al >
)ateriales de apoyo elaborados por el tutor sobre *lgebra b*sica y ecuaciones y sus
aplicaciones$
Sydsaeter ; 7ammond! nut ; )eter 4$( )atem*ticas para el an*lisis econmicoB
'rentice ; 7all! 899/$