Post on 01-Oct-2015
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GEOMETRA
1. Rectas paralelas cortadas por una secante.
A
B
M
D
C
E
F
M
I
J
P
P
p-b p-c p-a
p
A
BCA'
B'C'
A''
B''
C''
Ib
rrb
I
1 2
3 4
5 6
7 8
Se forman ocho ngulos, que reciben los nombres siguientes:
alternos internos: 3 y 6, 4 y 5. Son iguales
alternos externos: 1 y 8, 2 y 7. Son iguales
correspondientes: 1 y 5, 3 y 7, 2 y 6, 4 y 8. Son iguales
colaterales internos: 3 y 5, 4 y 6. Son suplementarios
colaterales externos: 1 y 7, 2 y 8. Son suplementarios
2. ngulos de lados paralelos.
A
B
M
D
C
E
F
M
I
J
P
P
1 2
3 4
5 6
7 8
Son iguales si los dos son agudos o
los dos obtusos.
Son suplementarios si uno es agudo
y otro obtuso.
3. ngulos de lados perpendiculares.
A
B
M
D
C
E
F
M
I
J
P
P
1 2
3 4
5 6
7 8
Son iguales si los dos son agudos
o los dos obtusos.
Son suplementarios si uno es
agudo y otro obtuso.
4. Puntos notables en el tringulo.
O
Circuncentro. Es el punto de interseccin de las mediatrices de los lados,
siendo las mediatrices las perpendiculares en el punto medio.
El circuncentro O equidista de los vrtices, por lo que es el centro de la
circunferencia circunscrita al tringulo.
El circuncentro es interior al tringulo si ste es acutngulo, exterior si es
obtusngulo, y es el punto medio de la hipotenusa si es rectngulo.
OH
Ortocentro
Es el punto de interseccin de las alturas.
En el tringulo acutngulo el ortocentro H es interior al tringulo, en el
obtusngulo es exterior y en el rectngulo es el vrtice del ngulo recto.
OH
I
Incentro
Es el punto de interseccin de las bisectrices de los ngulos interiores.
El incentro I equidista de los tres lados, por lo que es el centro de la
circunferencia inscrita en el tringulo.
A
B
CA'
B'
C'A'B'C' es el tringulo rtico del tringulo ABC.
Las alturs de un tringulo son las bisectrices de su tringulo rtco.
I
El incentro I equidista de los tres lados, por lo que es el
cetro de la circunferencia inscrita en el tringulo.
A
C
A'
B'C' G
Ia
Ib
Ic
I
Exincentros
Las bisectrices de dos ngulos exteriores y la bisectriz
interior del tercer ngulo se cortan en los puntos
Ia, Ib, Ic ,
centros de las circunferencias tangentes a cada lado y a las
prolongaciones de los dos contiguos; son los exincentros.
HI
A
B CA'
B'C' G
Baricentro. Es el punto de interseccin de las medianas del
tringulo, siendo las medianas los segmentos que unen cada vrtice
con el punto medio del lado opuesto.
El baricentro G divide a cada mediana AA, BB, CC en dos
segmentos tales que
GA
GA
GB
GB
GC
GC
1
2
Frmula de EULER
La distancia d entre el incentro y el circuncentro de un tringulo viene dada por la expresin
d2 R2 2Rr
siendo R el radio del crculo circunscrito y R el del inscrito.
Recta de EULER
A
B CA'
B'C' G
H
OG
En todo tringulo no equiltero el circuncentro O, el baricentro G y
el ortocentro H estn en lnea recta (recta de EULER) y se verifica
HG2 GO
5. ngulos en la circunferencia.
OH
I
A
BC
A
O
B
A
B
C
A
B
C
O
A
BC
D
E
D
E
AB
C
23
4
5
D E
B
3
C
M
P
O
H
n
h
ngulo central. Es el que tiene su vrtice en el centro de la
circunferencia y los lados son radios de sta.
Como hay proporcionalidad entre la medida del ngulo central y la del
arco que subtiende, y 360 corresponden a la longitud de la
circunferencia, la medida de un ngulo central es igual a la del arco que
abracan sus lados:
AOB arc AB
OH
I
A
BC
A
O
B
A
B
C
A
B
C
O
A
BC
D
E
D
E
AB
C
3
4
5
D E
B
3
C
M
P
O
H
n
h
ngulo inscrito. Es el que tiene su vrtice en la circunferencia y sus
lados son secantes.
Al ngulo inscrito ABC le asociamos el ngulo central AOC.
La medida de un ngulo inscrito es la mitad del ngulo central asociado,
es decir, la mitad del arco que abracan sus lados:
ABC 1
2 AOC
1
2arc AC .
OH
I
A
BC
A
O
B
A
B
C
A
B
C
O
A
BC
D
E
D
E
AB
C
3
4
5
D E
B
3
C
M
P
O
H
n
h
ngulo semiinscrito. Es el que tiene el vrtice en la circunferencia y sus
lados son una tangente y una secante.
Su medida es la mitad del arco que abarca:
ABC 1
2arc BC .
OH
I
A
BC
A
O
B
A
B
C
A
B
C
O
A
BC
D
E
D
E
A
B
C
3 4
5
D E
B
3
C
M
P
O
H
n
h
ngulo exterior. Es el que tiene su vrtice en un punto exterior a la
circunferencia y sus lados son secantes.
Su medida es la semidiferencia de los arcos que interceptan los lados en
la circunferencia:
APB 1
2(arc ABarc CD)
Los lados pueden ser tambin una secante y una tangente o dos
tangentes, y la medida se obtiene igual.
OH
I
A
BC
A
O
B
A
B
C
A
B
C
O
A
BC
D
E
D
E
A
B
C
3 4
5
D E
B
3
C
M
P
O
H
n
h
ngulo interior. Es el que tiene su vrtice en un punto interior y sus
lados son secantes.
Su medida es la semisuma de los arcos que abracan los lados del ngulo
y los del opuesto por el vrtice:
APB 1
2(arc ABarc CD)
Arco capaz de un ngulo sobre un segmento dado es el lugar geomtrico de los puntos desde los cuales se
ve ese segmento bajo el ngulo dado.
aa
B C
PP'
El arco BC es el arco capaz del ngulo a sobre el segmento BC.
Desde los puntos P, P, se ve el segmento BC bajo el mismo ngulo a.
Hay otro arco capaz, el simtrico del anterior respecto de BC.
El arco capaz de 90 sobre un segmento es la circunferencia de
dimetro ese segmento.
Cuadriltero inscriptible.
1 2
3 4
5 6
7 8
A B
C
Da
bch
m n
A
CD
H
h
ab
c M
Mm
D
En todo cuadriltero inscriptible los ngulos opuestos son suplementarios.
AC 180
BD 180
6. Igualdad de tringulos.
Dos tringulos son iguales si tienen respectivamente iguales:
1. Dos lados y el ngulo comprendido.
2. Un lado y dos ngulos.
3. Los tres lados.
Dos tringulos rectngulos son iguales si tienen respectivamente iguales:
1. La hipotenusa y un ngulo agudo.
2. Un cateto y un ngulo agudo.
3. La hipotenusa y un cateto.
4. Los dos catetos.
7. Semejanza de tringulos.
56,2
1 2
3 4
5 6
7 8
a
bch
m n
A
CD
h
Ma
bc ma
P
A
B
M
O
0,7
C
A'
B' C'
Dos tringulos son semejantes si sus ngulos son
respectivamente iguales y sus lados homlogos
proporcionales.
A A, B B, C C
AB
AB
BC
BC
AC
AC
Criterios de semejanza. Dos tringulos son semejantes si tienen:
a) dos ngulos iguales: A = A, B = B
b) los lados proporcionales:
AB
AB
BC
BC
AC
AC
c) dos lados proporcionales e igual el ngulo comprendido:
AB
AB
BC
BC, B B
La razn de las reas de dos tringulos semejantes es igual al cuadrado de la razn de semejanza (razn
de dos elementos homlogos), o tambin: las reas de dos tringulos semejantes son proporcionales a los
cuadrados de los lados homlogos.
8. Teoremas del cateto y de la altura en tringulos rectngulos.
HI
A
BC
A'
B'
C'
G
A
C
A
BC
D
E
4
5
D E
A
B CD a
bch
m n
Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su
proyeccin sobre sta:
b2 an, c2 am
La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre
los dos segmentos en que divide a sta:
h2 mn
9. Potencia de un punto respecto de una circunferencia.
G
J
O
O1 Resultado:
B
C5
A B
C
K
P
AA'
B
B'
PA
A'B
B'
Potencia del punto P (exterior o interior) respecto de
la circunferencia es el producto de las distancias de P
a los puntos de interseccin de las secantes con la
circunferencia:
k PAPA PB PB
G
J
O
O1 Resultado:
B
C5
A B
C
K
P
AA'
B
B'
PA
A'B
B'T
AA'
Or
Si una de las rectas es tangente y la otra asa por el centro de la
circunferencia:
PT2 PA PA (PO d)(PO d) d2 r2
PT2 PA PA (PO d)(PO d) d2 r2
siendo d la distancia del punto al centro y r el radio.
La potencia es positiva o negativa, segn que el punto sea exterior o interior a la circunferencia.
Eje radical de dos circunferencias es el lugar geomtrico de los puntos que tienen igual potencia respecto
de ambas circunferencias. Es una recta perpendicular a la recta de los centros.
Centro radical de tres circunferencias es el punto que tiene igual potencia respecto de las tres
circunferencias. Es el punto de interseccin de los ejes radicales de las tres circunferencias, tomadas dos a
dos.
10. Teorema de la bisectriz.
HI
A
BC
A'
B'
C'
G
A
C
A
BC
D
E
4
5
D E
La bisectriz de un ngulo interior de un tringulo divide al lado
opuesto en dos segmentos aditivos proporcionales a los lados del
ngulo:
BD
AB
DC
AC
La bisectriz del ngulo exterior de un tringulo divide al lado
opuesto en dos segmentos sustractivos proporcionales a los
lados del ngulo:
BE
AB
CE
AC
11. Teoremas del seno y del coseno.
Teorema del seno:
a
senA
b
senB
c
senC Teorema del coseno:
a2 b2 c2 2bccos A
b2 a2 c2 2accos B
c2 a2 b2 2abcos C
12. Diversas expresiones del rea del tringulo.
a)
S 1
2aha
1
2bhb
1
2chc, siendo a, b, c los lados y
ha, hb, hc las alturas correspondientes.
b)
S pr , siendo p el semipermetro y r el radio del crculo inscrito.
c)
S ( p a)ra ( p b)rb ( p c)rc , siendo
ra,rb,rc los radios de los crculos exinscritos.
d)
S p( p a)( p b)( p c) frmula de HERON.
e) En funcin de los radios de los crculos exinscritos:
S ( p a)ra ( p b)rb ( p c)rb
f)
S abc
4R, siendo R el radio del crculo circunscrito.
g)
S 1
2absenC
1
2bcsenA
1
2acsenB
13. Tringulo rtico de un tringulo es el que tiene como vrtices los pies de las alturas de aquel. A
B
M
D
C
E
F
M
I
J
P
P
1 2
3 4
5 6
7 8
A
B CA'
B'
C'
ABC es el tringulo rtico del tringulo ABC.
Las alturas de un tringulo son las bisectrices de su tringulo rtico.
Como consecuencia, el ortocentro de un tringulo es el incentro de su
tringulo rtico.
14. Tringulos con un ngulo comn.
OH
I
A
BC
A
O
B
A
B
C
A
B
C
O
A
BC
D
E
D
E
A
B
C
3 4
5
D E
B
3
C
M
P
O
A B
C
H
ab
c
n
h
E
M
L
K
45
N AB
C
D
TT'
2
A
B
C
D
E
La razn de las reas de dos tringulos con un ngulo comn es
igual a la razn de los productos de los lados que forman ese
ngulo en cada tringulo.
rea ( ABC)
rea ( ADE)
1
2AB AC senA
1
2AD AE senA
AB AC
AD AE
15. Teorema de Ptolomeo.
A
B
C
a
bch
m n
D
M
a
bc ma
NX
En todo cuadriltero inscriptible en una circunferencia, la suma de los
productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus
diagonales:
ABCD AD BC AC BD
16. Teorema de Ceva.
G
J
O
MP' Q'T'
Resultado:
B
C5
A
B
C F
E
D
A
B C
M
K
L
Se llaman cevianas las rectas que unen los vrtices de un tringulo
con los lados opuestos. AK, BL, CM son tres cevianas concurrentes.
El teorema dice: la condicin necesaria y suficiente para que tres
cevianas sean concurrentes es que se verifique
AM
MBBK
KCCL
LA1
17. Teorema de Menelao.
G
J
O
MP' Q'T'
Resultado:
B
C5
A
B
C F
E
D
AB
C
M
K
L
X
Y
Z
Sean X, Y, Z puntos sobre los lados BC, AC, AB (o
sus prolongaciones).
El teorema dice: la condicin necesaria y suficiente
para que los puntos X, Y, Z estn alineados es que
se verifique
BX
CXCY
AY
AZ
BZ1
18. Clculo de las medianas de un tringulo en funcin de los lados.
1 2
3 4
5 6
7 8
A
B C
Da
bch
m n
A
CD
h
D
Ma
bc ma
Aplica el teorema del coseno a los tringulos ABM y AMC; suma las
dos igualdades obtenidas y simplifica teniendo en cuenta que los
ngulos en M son suplementarios, y que BM = MC = a/2.
Obtendrs:
ma2
2c2 2b2 a2
4.
Anlogamente para las otras dos medianas.
19. Segmentos determinados en los lados de un tringulo por los puntos de contacto de las
circunferencias inscrita y exinscritas.
AB
M
I
D
C
E
F
M
I
J
P
P
p-b p-c p-a
p
A
BCA'
B'C'
A''
B''
C''
Ib
rrb
I
20. Lugares geomtricos.
Lugar geomtrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geomtricas.
Lugares geomtricos elementales:
Mediatriz de un segmento: lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.
Bisectriz de un ngulo: lugar geomtrico de los puntos que equidistan de sus lados.
Circunferencia: lugar geomtrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo es constante.
Elipse: lugar geomtrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante.
Hiprbola: lugar geomtrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante.
Parbola: lugar geomtrico de los puntos que equidistan de un punto fijo y de una recta dada.
21. Mximos y mnimos sin derivadas.
Hay problemas de optimizacin (distancias, permetros, reas, etc.) que pueden resolverse sin necesidad
de hacer uso de derivadas.
22. Construcciones geomtricas.
Se trata de construir una figura geomtrica que cumpla determinadas condiciones.
En numerosas ocasiones conviene suponer el problema resuelto, es decir, admitir la existencia de la
solucin, y reducir las condiciones del enunciado a otras que conduzcan a un problema conocido; despus
se pasa de esta figura a la pedida.
23. Transformaciones geomtricas.
Traslacin de vector v: a todo punto A del plano le asocia el punto A tal que AA = v-
El producto de dos traslaciones es otra traslacin de vector suma de los vectores de aquellas.
Giro o rotacin de centro O y amplitud a: a todo punto A asocia el punto A tal que OA = OA y ng AOA
= a.
El producto de dos giros del mismo centro es otro giro del mismo centro y amplitud suma de las
amplitudes de aquellos.
Simetra central de centro O: a todo punto A asocia el punto A tal que O es el punto medio de AA.
El producto de dos simetras centrales es una traslacin.
Simetra axial de eje r: a todo punto A asocia el punto A tal que r es la mediatriz del segmento AA.
El producto de dos simetras de ejes paralelos es una traslacin.
El producto de dos simetras de ejes concurrentes es un giro.
Las traslaciones, los giros y las simetras centrales son igualdades directas (conservan las distancias, los
ngulos y el sentido de estos); las simetras axiales son igualdades inversas (invierten el sentido de los
ngulos).
Homotecia de centro O y razn h: a cada punto A asocia otro punto A, alineado con A, tal que
OA
OA h.
El producto de dos homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro y razn el producto
de las razones de aquellas.
24. Algunas ideas tiles en la resolucin de problemas.
1. Cada mediana de un tringulo divide a ste en dos tringulos equivalentes.
2. Si se trazan las tres medianas de un tringulo, ste queda dividido en seis tringulos equivalentes.
3. Si un tringulo rectngulo tiene un ngulo de 30, el cateto opuesto a este ngulo vale la mitad de la
hipotenusa.
4. La mediana correspondiente a la hipotenusa de un tringulo rectngulo es la mitad de sta.
5. El radio del crculo inscrito en un tringulo rectngulo vale
r b c a
2, siendo a la hipotenusa, b y c
los catetos.
6. En un tringulo rectngulo issceles, la longitud de un cateto es igual a la suma de los radios de las
circunferencias inscrita y circunscrita.
7. Las rea de dos tringulos de igual base son proporcionales a las alturas.
8. Las reas de dos tringulos de igual altura son proporcionales a las bases.
9. En todo tringulo el lado mayor es menor que el semipermetro.
10. Un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
11. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un tringulo es paralelo al tercer lado e igual a
su mitad.
12. Las bisectrices de dos ngulos adyacentes son perpendiculares.
13. Los puntos medios de los lados de un cuadriltero cualquiera son vrtices de un
paralelogramo.
PROBLEMAS DE GEOMETRA
1. Dado un tringulo rectngulo ABC, construir un punto interior P tal que los ngulos PAB, PBC y PCA
sean iguales.
Indicacin
Halla el ngulo bajo el cual se ve desde P el segmento AC, y el ngulo bajo el que se ve el segmento AB
desde P.
Entonces el punto P
2. Hallar el lugar geomtrico de los incentros de los tringulos con un lado fijo y el
ngulo opuesto constante.
Indicacin
Si BC es el lado fijo del tringulo ABC, halla el ngulo BIC, siendo I el incentro del tringulo. Entonces
desde I se ve .
3. Construir un cuadrado cuyos lados o sus prolongaciones pasen por cuatro puntos dados sobre una recta.
Indicacin
A B C D
A'
B'C'
D'a
b c
dM
N
P
Q
E
F
Supongamos el problema resuelto, siendo MNPQ el
cuadrado pedido y A, B, C, D los cuatro puntos alineados.
La figura te ayudar a ver la construccin del cuadrado.
4. En un cuadriltero arbitrario ABCD se trazan las bisectrices de los cuatro ngulos. Demostrar que los
cuatro puntos de interseccin forman un cuadriltero inscriptible.
Indicacin
A
B C
DA'
B'C'
D'a
b c
d
Sean a, b, c, d las mitades de los ngulos A, B, C, D del
cuadriltero.
Utilizando los tringulos AAB y CCD, se llega a que los ngulos
A y C son suplementarios.
5. En una circunferencia se dan dos puntos fijos A y B y otro variable M. Sobre la recta AM y fuera de la
circunferencia, se toma un punto N tal que MN = MB. Hallar el lugar de N.
Indicacin
A B C D
A'
B'C'
b c
d
N
P
Q
E
F
A
B
C
OO'
AB
C D
EM
N
P
Q
R
A
B
C
A'
B'
C'
1
2
MN
m
n
Encuentra la relacin entre los ngulos m y n.
Fjate en que el ngulo m es constante y los puntos A y B son fijos.
Entonces desde N se ve
Considera tambin el caso de que M est en el otro arco AB.
6. Qu condicin han de cumplir las longitudes de los lados de un tringulo ABC para que la recta que
une el baricentro G y el incentro I sea paralela a uno de los lados?
Indicacin
B C
A'
O
H
D E
OE
rM
N
ra
ra
ra Ia
D
O
ab
c
h
E
A
BCA'
B'
C'
A''
B''
C''
p-b p-c p-a
p
I
Ib
A
B C
G I
M HD
r
h
Ten en cuenta la propiedad del baricentro de un tringulo.
Obtn una relacin entre r y h por semejanza de tringulos.
Expresa de dos formas el rea del tringulo y obtendrs otra
relacin entre r y h.
7. En un tringulo ABC rectngulo A, AH es la altura relativa a la hipotenusa. Si
r, r1, r2 son los radios de
las circunferencias inscritas en los tringulos ABC, AHC y AHB, respectivamente, demostrar que
r2 r13 r2
2.
Indicacin
Establece que los tres tringulos son semejantes.
Expresa que sus reas son proporcionales a los cuadrados de los lados homlogos. Cules son los lados
homlogos?
Finalmente, ten en cuenta el teorema de Pitgoras en el tringulo ABC.
8. En un pentgono regular se trazan las diagonales, que forman en su interior otro pentgono regular.
Hallar la razn de sus reas.
Indicacin A B C D
A'
B'C'
D'a
b c
dM
N
P
Q
E
F
A
B
C
OO' A
B
C D
EM
N
P
Q
R
Haciendo uso de los ngulos en la circunferencia, demuestra que el
tringulo ABM es issceles y que los tringulos AMR y ABR son
semejantes.
Obtn la razn
MR
AB de dos lados homlogos, que es la razn de
semejanza de los dos pentgonos.
A partir de sta se obtiene la razn de las reas de los dos pentgonos.
9. Construir la media geomtrica de dos segmentos dados.
Indicacin
Haz uso del teorema de la altura o del teorema del cateto en tringulos rectngulos.
10. Un tringulo tiene sus vrtices en cada uno de los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas en el
espacio; ninguno est en el origen, ni dos de ellos coinciden en el mismo eje. Demostrad que el tringulo
es acutngulo.
Indicacin
Vamos a demostrar que cualquier ngulo, por ejemplo el A, es
agudo.
Aplicamos el teorema del coseno al tringulo ABC:
a2 b2 c2 2bccos A . Si A es agudo . Por otra parte:
a2 y2 z2
b2 x2 z2
c2 x2 y2
b2 c2 2x2 y2 z2 y2 z2 a2
11. Halla los ngulos del tringulo rtico del tringulo ABC en funcin de los ngulos de ste.
Indicacin
B C
A'
O
H
D E
OE
r
A
B CA'
B'
C'
H
12
Sea ABC el tringulo rtico del tringulo ABC y H el ortocentro.
Partiendo de que el cuadriltero BAHC es inscriptible, relaciona los ngulos 1
y 2, y ste con el A.
Despus ten en cuenta que AA es bisectriz del ngulo CAB.
Lo mismo para los otros dos ngulos.
12. Construir un tringulo conociendo los pies de las tres alturas.
Indicacin
Teniendo en cuenta la propiedad anterior, empieza dibujando las bisectrices del tringulo rtico.
13. En el lado AB de un tringulo ABC se toma el punto M y en lado AC el punto N, tales que
AM 3MB
y
2AN NC . Hallar el rea del cuadriltero MBCN, si la del tringulo ABC es igual a S.
Indicacin
Los tringulos ABC y AMN tienen un ngulo comn, luego la razn de sus reas
14. Dado un tringulo equiltero ABC inscrito en una circunferencia, se toma un punto P en el arco BC y
se une con los vrtices del tringulo. Demostrar que
PAPBPC .
Indicacin
Aplica el teorema de PTOLOMEO al cuadriltero ABPC.
15. Siendo M el punto medio del segmento de extremos A y B, estudia el lugar geomtrico del los puntos
P del plano tales que PM sea media proporcional entre PA y PB.
Indicacin
Parte del tringulo PAB, en el que PM es una mediana e impn la condicin del enunciado, utilizando la
frmula de la mediana en funcin de los lados.
Tambin puede resolverse eligiendo un sistema de coordenadas adecuado.
16. Construir un tringulo rectngulo conociendo un cateto y la suma de la hipotenusa y el otro cateto.
Indicacin
1 2
3 4
5 6
7 8
AB
C
D
a
bch
m n
A
CD
h
D
Ma
bc ma
Supn el problema resuelto, siendo ABC el tringulo
pedido.
Prolonga AB una longitud BD = BC; puedes
construir el tringulo CAD? Cmo pasas de ste al
pedido?
17. Dada una circunferencia y un punto exterior, trazar por l una secante que intercepte en la
circunferencia una cuerda de longitud dada.
Indicacin
56,2
1 2
3 4
5 6
7 8
AB
C
D
a
bch
m n
A
CD
h
Ma
bc ma
P
A
B
M
O
Sea AB una de las cuerdas de longitud dada.
En toda circunferencia, cuerdas iguales equidistan del centro y,
recprocamente, cuerdas equidistantes del centro son iguales;
entonces la distancia OM del centro de la circunferencia al punto
medio de la cuerda es Por tanto ..
18. Dado un tringulo ABC, se construyen: el simtrico de A respecto de B, el simtrico de B respecto de
C y el simtrico de C respecto de A. Si el rea de ABC vale s, hallar el rea de s.
Indicacin
A B C D
A'
B'C'
D'a
b c
dM
N
P
Q
E
F
A
B
C
OO' A
B
C D
EM
N
P
Q
R
A
B
C
A'
B'
C'
1
2
Sean A, B, C los simtricos de A, B, C.
Compara las reas de los tringulos 1 y ABC; las de los
tringulos 1 y 2. Deduce la relacin de las reas de ACA y
ABC.
Anlogamente para los tringulos BAB y CBC.
Entonces se deduce la relacin entre las reas de ABC y
ABC.
19. Sea ABC un tringulo rectngulo en A. H es el pie de la altura desde A. Demostrar que la suma de los
radios de los crculos inscritos en los tringulos ABC, ABH y ACH es AH.
Indicacin
Expresa los radios de los crculos inscritos en los tres tringulos en funcin de los lados y smalos.
20. Dada una recta r y dos puntos A y B a distinto lado de r, hallar el camino mnimo para ir de A a B.
Indicacin
Traza el simtrico A de A respecto de r; une A con B,
21. Un punto X, tomado en la hipotenusa de un tringulo rectngulo, se proyecta ortogonalmente sobre los
catetos en M y N. Determinar la posicin del punto X y la longitud del segmento MN cuando sta sea
mnima.
Indicacin
La figura AMXN es un rectngulo, cuyas diagonales son iguales.
22. En el cuadriltero ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en O. OB = 4, OD = 6, OA = 8, OC = 3 y
AB = 6. Hallar AD.
Indicacin
Dibuja el cuadriltero y observa que
OA OC OB OD24 , luego los puntos son concclicos.
Hay dos pares de tringulos semejantes, lo que permite obtener la longitud del lado CD y el BC en
funcin del AD. Aplica despus el teorema de PTOLOMEO.
23. Sea ABCD un cuadriltero cuyas diagonales se cortan en O. Los tringulos AOB, BOC y COD tienen
reas 1, 2 y 3, respectivamente. Hallar el rea del tringulo AOD y probar que el cuadriltero ABCD es
un trapecio.
Indicacin
Las reas de dos tringulos con la misma altura son proporcionales a las bases.
24. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, tal que el ngulo BAD es recto. Dos circunferencias de
dimetros AB y CD se cortan en los puntos P y Q. La recta PQ corta al lado AD en M. Demostrar que M
es el punto medio de AD.
Indicacin
Halla la potencia de M respecto de una y otra circunferencia.
25. Un trapecio issceles tiene sus diagonales perpendiculares. Hallar el rea del trapecio en funcin de
las bases.
Indicacin
Si las diagonales son perpendiculares y el trapecio es issceles, hay dos tringulos rectngulos issceles.
26. Las tres mediatrices de un tringulo lo dividen en seis tringulos equivalentes.
Indicacin
Ten cuenta que cada mediatriz divide a un tringulo en dos equivalentes,
27. Aplica el teorema de CEVA para demostrar la concurrencia de las medianas, de las bisectrices y de
las alturas de un tringulo.
28. Demostrar que en un tringulo se verifica: si r es una recta que pasa por su baricentro y no pasa por
ningn vrtice, la suma de las distancias a dicha recta de los vrtices que quedan en un mismo semiplano
es igual a la distancia del tercer vrtice a dicha recta.
Indicacin
O
A
C
E
F
D
BGH
I
P Q
M
B'A'
C'M'
G
r
Debes tener en cuenta que BCCB es un trapecio,
aplicar una semejanza de tringulos y considerar la
propiedad del baricentro de un tringulo.
29. Si dos de las alturas de un tringulo miden 6 y 12, demostrar que la longitud de la tercera altura es
mayor que 4.
(Calendario Editorial S.M. 30-9-2.010)
Indicacin
Si las alturas 6,12 y h se corresponden con los lados a,b y c respectivamente, 22
12
2
6 hcba despeja a
y b y ten en cuenta que un lado de un tringulo es menor que la suma de los otros dos.