Geometría de las cáscaras - Facultad de Ingeniería - UNLP

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Geometría de las cáscaras

Geometría de las cáscaras

S

R

Q

P

dSy

dSx

2

1

1 + d 1

2 + d 2

n1

t1

t2

Las curvaturas correspondientes a

los arcos diferenciales dSx y dSy :

1'

1

2'

1

22

11

Kr

xcte

Kr

xcte

x

y

El factor K= K1.K2 es el denominado

Indice de curvatura de Gauss.

r’x

r’y

Este índice , que en general es una fun-

ción de 1 y 2 , determina las caracte-

rísticas geométricas de la superficie.

Geometría de las cáscaras

a) Casos en que K=0

b) Casos en que K es distinto de cero.

Lamina cilindrica

EsferaParaboloide hiperbólico

Geometría de las cáscarasEl indice de Gauss clasifica las superficies de las láminas en tres clases:

En 1) se agrupan las láminas esféricas , parabólicas y elípticas.

En la 2) el paraboloide hiperbólico y el hiperboloide de revolución.

En la 3) las láminas desarrollables , cilíndricas y cónicas.

Hiperboloide de revolución

Geometría de las cáscaras

La geometría de láminas de curvatura negativa hace que éstas estén

sujetas a grandes desplazamientos, puesto que pequeñas deformac.

en el plano medio puede dar lugar a grandes flechas transversales.

K (-)

Placa en ménsula

(paraboloide hiperbólico)

Deformaciones inextensibles

K (+)

Lámina con curvatura positiva

No hay deformaciones inextensibles

Geometría de las cáscaras• Consideraciones para el diseño:

a) Curvatura

b) Condiciones de contorno

Lámina en paraboloide hiperbólico

con vigas de borde rígidas.Lámina esférica con

gran lucernario.

Geometría de las cáscaras

z = z (r)

(depende solamente de r )

r

r

Son engendradas por el giro o rotación de

una curva plana alrededor de un eje.

esta curva se llama meridiana y el plano

que la contiene plano meridiano.

Superficies de revolución

Una superficie de revolución tiene en

Coordenadas cilíndricas la ecuación:

Geometría de las cáscaras

En forma paramétrica:

x = r cos

y = r sen

z = z ( r )

r = r ( 1, 2)

1

2

Superficies de revolución

x

y

z

O3

O2

O1

n

t2

t1

P

r1

r2

dd

Q

SR

Si cortamos un elemento de superficie entre dos meridianos adyascentes

Y dos planos próximos paralelos, obtendremos el elemento de la figura:

r

Geometría de las cáscarasSuperficies de revolución

22

11

2

1

dASd

dAdS

Siendo A1 y A2 parámetros.

A1 es la long del arco del meridiano para dz = 1

A2 es la long.del arco del paralelo para d = 1

Geometría de las cáscarasSuperficies de revolución

Se puede demostrar que la superficie PQP’Q’ es desarrollable (no plana)

y a lo largo de un paralelo nos describe un tronco de cono.

Si de los extremos del paralelogramo curvilíneo PQRS ,trazamos las

direcciones normales desde cada punto de su contorno:

Geometría de las cáscarasSuperficies de traslación

La curva C designada directriz se traslada paralelamente a su

plano vertical, apoyándose al recorrer su trayectoria sobre la cur-

va C designada generatriz, originando en su movimiento la su –

perficie de traslación indicada en la figura.

Geometría de las cáscaras

Superficies regladas

Paraboloide hiperbólico reglado

Geometría de las cáscarasClasificación

PROPIAS Hiperbólicas

PROPIAS Hiperbólicas

Geometría de las cáscarasSuperficies de traslación

La expresión analítica de las superficies de traslación de planta

rectangular , en coordenadas cartesianas ,está dado por:

Paraboloide hiperbólico

PROPIAS Elípticas

PROPIAS Elípticas

Geometría de las cáscaras

• Superficies de traslación

Paraboloide elíptico

IMPROPIAS

IMPROPIAS

Geometría de las cáscaras

• Superficies de traslación

Cilindro Parabólico

ESTRUCTURAS LAMINARES

• Estructuras portantes bidimensionales

Superficie plana:

Placa

Superficie curva:

Cáscara

Teoría de las Cáscaras Delgadas

• El material se supone continuo , isótropo y homogéneo.

Hipotesis fundamentales:

• De comportamiento elástico y lineal.

• Las deformaciones elásticas son pequeñas en relación al espesor de la cáscara.

• La normal a la superficie media se mantiene tras la deformación.

• Se podrán despreciar las tensiones normales perpendiculares a la sup. media.

Teoría Membranal de las

cáscaras de revolución

Las cáscaras de revolución son la

clase más importante de cáscaras

para la construcción de cúpulas y

depósitos.

Además de esto, son más fácil de

describir matemáticamente, y así,

de analizarlas.

Teoría Membranal de las cáscaras

de revolución

Eje de la cáscara

Meridiano

a

O2

O1

n

t1

P

La superficie media se genera por la rotación de una curva alrededor

de un eje de la cáscara.

O1P : Radio de curvatura del meridiano

O2P : Long normal de P hasta el eje

paralelo

Características de las cáscaras

de revolución

• Fuerzas normales y fuerzas

tangenciales repartidas

• Fuerzas de corte repartidas

• Momentos flectores y momentos

torsores uniformemente repartidos

La teoría membranal solo es

aplicable con condiciones de borde

convenientes

• Dependencia del equilibrio de las

fuerzas membranales con las

condiciones de apoyo de una cáscara

• Equilibrio de las fuerzas membranales

con cargas concentradas

Normales N y Tangenciales T

Meridiano

N

T

N

T

Esfuerzos

Corte Q

Meridiano

Paralelo

Q

Q

Esfuerzos

Momentos flectores M y torsores Mt

MM

Mt

Mt

Meridiano

Paralelo

Esfuerzos

Si cortamos un elemento de la cáscara

podremos escribir las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y las de

momentos.

Total de ecuaciones: 6

Total de incógnitas: 10

Esfuerzos

Hipótesis del estado de

tensiones membranales

Hay 10 incognitas (2 Torsores, 2 Flectores , 2

Tensiones Normales, 2 Tensiones Cortantes, 2

Tensiones Tangenciales)

y solo 6 ecuaciones (3 sumatorias de fuerzas y 3 de

momentos)

El problema es indeterminado interiormente , por

tanto, es necesario considerar las deformaciones para

resolverlo.

Es posible evitar el cálculo mediante una teoría

aproximada , que en muchos casos, da resultados

útiles, esta es la llamada “Teoría Membranal”

Teoría Membranal

Suponiendo que una cáscara tiene el

comportamiento de barras biarticuladas , pero

en dos direcciones, podemos suponer:

En el elemento solo aparecen fuerzas

normales, y no momentos flectores ni

fuerzas de corte.

Si calculamos la cáscara considerando los

momentos flectores y fuerzas de corte, las

tensiones generadas por éstas son pequeñas

respecto a las tensiones generadas por las

fuerzas normales

Existe limitación de esta suposición, en la

medida de que en realidad las membranas no

tienen un comportamiento exacto al de las

barras en dos direcciones.

Teoría Membranal

Limitaciones de la Teoría

Membranal:

• Es aplicable en condiciones de bordes

convenientes.

• No es compatible con la teoría membranal las

cargas concentradas que actúen

perpendicularmente a la superficie media.

• El espesor de la membrana es delgado, esto es,

no es gruesa y tampoco de espesor despreciable.

Teoría Membranal

•El material se supone

continuo isótropo y

homogéneo.

•De comportamiento

elástico y lineal.

•Las deformaciones

elásticas son pequeñas

en relación al espesor de

la cáscara.

Hipótesis fundamentales:

• La normal a la

superficie media

se mantiene tras

la deformación.

• Se podrán

despreciar las

tensiones

normales

perpendiculares

a la sup. media.

Teoría Membranal Hipótesis fundamentales:

Teoría Membranal de las

cáscaras de revoluciónEje de la cáscara

Meridiano

a

O2

O1

n

t1

P

Paralelo

Hipótesis

• Actúan solo

tensiones

normales (Nx , Ny)

y tangenciales

( Nxy , Nyx )

alojadas en el

plano tangente a

la superficie de la

membrana.

P

t2

t1

n Plano tangente

Hipótesis Generales

• Las tensiones normales y tangenciales son uniformes en el espesor de la membrana.

• No existen momentos flectores , ni torsores , ni esfuerzos de corte.

• Las deformaciones son muy pequeñas , por lo que se consideran inexistentes.

• Las deformaciones no tienen influencia sobre los esfuerzos.

• Interesa el cálculo de deformaciones , cuando interesa hallar esfuerzos complementarios de borde.

Condiciones necesarias para la

existencia del estado membranal

1. Condiciones de deformación.

Arco

La linea de presiones no coincide

con el meridiano .

Hay flexión

Eje

La linea de presiones coincide con

el meridiano .

No hay flexión

Superficie

membranal

Acción de

frenado de

los paralelos

Eje

Condiciones necesarias para la

existencia del estado membranal

2. Condiciones de apoyo.

Apoyo sin

equilibrio

N1 N1

Apoyo en

equilibrio

Condiciones necesarias para la

existencia del estado membranal

3- Condiciones de

carga exterior.

No son compatibles

las cargas

concentradas que

actúen

perpendicularmente

a la superficie

media

P

Sin equilibrio

N1 N1

Membrana de revolución con

simetría radial

Q

n n

N1 N1

N1 = Q

2 r sen

r

Membrana de revolución con

simetría radial

Membrana de revolución con

simetría radial

N2 = R2 ( Z - )N1

R1