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IntroduccionDigitalizacion de senales analogicas
Senales digitales de audioAnalisis espectral
Fundamentos de produccion y tratamiento de
audio mediante computador
Luis Rodrıguez RuizUCLM
April 8, 2008
LRR Fundamentos de produccion y tratamiento de audio mediante computado
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IntroduccionDigitalizacion de senales analogicas
Senales digitales de audioAnalisis espectral
1 Objetivos
2 Introduccion
3 Digitalizacion de senales analogicas
4 Senales digitales de audio
5 Analisis espectralIntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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IntroduccionDigitalizacion de senales analogicas
Senales digitales de audioAnalisis espectral
Indice
1 Objetivos
2 Introduccion
3 Digitalizacion de senales analogicas
4 Senales digitales de audio
5 Analisis espectralIntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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IntroduccionDigitalizacion de senales analogicas
Senales digitales de audioAnalisis espectral
Objetivos
1 Presentar los fundamentos del procesamiento digital de audiomediante computador
2 Estudiar las tecnicas basicas de analisis y generacion de audio
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IntroduccionDigitalizacion de senales analogicas
Senales digitales de audioAnalisis espectral
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2 Introduccion
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4 Senales digitales de audio
5 Analisis espectralIntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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¿Que es el sonido?
Sonido: Sensacion producida en el oıdo como consecuencia devariaciones de presion en el aire.
El sonido se genera al provocar una vibracion en las moleculasdel aire. Dicha vibracion es transportada en forma de ondas.
Para producir sonido es necesario:
Una fuente de vibracion mecanicaUn medio elastico que lo trasporte
Acustica: Ciencia que estudia el sonido
Psicoacustica: Disciplina que estudia la percepcion subjetivadel sonido en los humanos.
Risset Endless sound
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Caracterısticas o cualidades del sonido
Tradicionalmente, un sonido se caracteriza por:
Altura
Intensidad
Timbre
Duracion
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Procesamiento del sonido
Los primeros (y muy limitados) intentos de almacenar yprocesar el sonido se realizaron en el siglo XIX y de formatotalmente mecanica.
Alrededor de 1920 se comienza a trabajar con el sonido enforma de corriente electrica.
Los dispositivos encargados de convertir el sonido en corrienteelectrica y viceversa se denominan “transductores”:
Microfono: Posee una membrana que al vibrar con la presiondel aire es capaz de generar una corriente electrica.Altavoz: Una corriente electrica induce una vibracion en unasuperficie que se traduce en un aumento de la presion del aire.
PhonoAutograph Edouard-Leon Scott de Martinville Phonograph Thomas Edison
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El sonido como una corriente electrica
Codificar el sonido en forma de corriente electrica permiteprocesarlo y almacenarlo de forma adecuada.El sonido es normalmente codificado como una serie devariaciones de voltaje en funcion del tiempo (el voltajerepresenta la amplitud).
-10
-5
0
5
10
-100 -50 0 50 100
volta
je
tiempo
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Senales digitales de audioAnalisis espectral
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2 Introduccion
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4 Senales digitales de audio
5 Analisis espectralIntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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Senales digitales de audioAnalisis espectral
Senales analogicas y digitales
El sonido (y la corriente generada por un microfono) es unamagnitud analogicaMagnitud analogica: Magnitud representada por unavariable continuaMagnitud digital: Magnitud representada por una variablediscreta
Magnitud analogica
-4
-2
0
2
4
-10 -5 0 5 10
tiempo
Magnitud digital
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
tiempo
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
tiempo
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
tiempo
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Senales analogicas y digitales II
¿Por que trabajar con senales digitales?
Sistemas mas sencillos de construir y mas flexibles(software/hardware)
Mayor precision y tolerancia al ruido
Algoritmos de procesado de senal complejos difıciles deimplementar en sistemas analogicos
Almacenamiento de la informacion
Computador → Sistema digital de procesamiento de informacion
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Senales digitales y computadores
Un computador es un sistema digital basado en el sistema denumeracion en base 2 (binario)
Cualquier dato es representado mediante un numero enbinario.Ej: (10110)2 = (22)10Un computador no puede trabajar directamente conmagnitudes (senales) analogicas
Una senal analogica se transformara al dominio digital antesde ser procesada por un computador. De la misma manera,una senal digital ya procesada se transformara en una senalanalogica si es necesario.
Estas conversiones se llevan a cabo por dispositivos conocidoscomo Conversores Analogico-Digital (DAC) y ConversoresDigital-Analogico (ADC)
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Senales digitales de audioAnalisis espectral
Digitalizacion
El proceso por el cual una senal analogica se convierte adigital es conocido como digitalizacion.
Dicho proceso se lleva a cabo en dos etapas:
Muestreo: se toman muestras de la senal a periodos detiempo constantes.Cuantizacion: se aproximan los valores de las muestrasutilizando intervalos predefinidos
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Senales digitales de audioAnalisis espectral
Digitalizacion. Ejemplo
Senal analogica
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 1 2 3 4 5 6 7-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 1 2 3 4 5 6 7
Senal digitalizada
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 1 2 3 4 5 6 7
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Senales digitales de audioAnalisis espectral
Digitalizacion II
A la hora de muestrear una senal analogica deben tenerse encuenta fundamentalmente dos parametros:
1 La frecuencia de muestreo: Numero de muestras por intervalode tiempo que se toman de la senal analogica. Medida en Hz(muestras/segundo)
2 El numero de valores distintos que puede tomar cada muestra(resolucion)
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Frecuencia de muestreo
Intuitivamente, cuanto mayor sea la frecuencia de muestreo,con mayor fidelidad se puede representar la senal.
Teorema de Nyquist-Shannon: Para poder reconstruir deforma adecuada una senal analogica, esta debe muestrearseutilizando una frecuencia de muestreo de al menos el doble dela frecuencia maxima de la senal. A esta frecuencia se leconoce como frecuencia de Nyquist (fN)
Cuando la frecuencia de muestreo es inferior a la frecuencia deNyquist, se producen errores en la reconstruccion de la senal.(aliasing)
Problema. ¿Como se obtiene la frecuencia maxima de lasenal?
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Frecuencia de muestreo. Ejemplo de aliasing
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Resolucion
Al muestrear una senal, cada una de las muestras puedetomar un numero finito de valores distintos (discretizacion)
Cuanto mayor sea el numero de valores por muestra(resolucion), mejor se podra reconstruir la senal
La resolucion se mide en numero de bits (una resolucion de nbits implica que cada muestra puede tomar 2n valoresdistintos, p.e. una resolucion de 8 bits se traduce en 256valores distintos para cada muestra).
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Muestreo de senales de audio
44 Khz 8 Khz 4 Khz 2 Khz
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4 Senales digitales de audio
5 Analisis espectralIntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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Senales digitales de audioAnalisis espectral
Senales digitales de audio
Una senal digital de audio (como cualquier otro tipo de senal)es representada en un computador como una sucesion demuestras (0,12,-4,13,21,...)
Cada muestra representa la amplitud de la senal en uninstante dado
Procesar una senal de audio significa alterar el valor de lasmuestras
Generar una senal de audio significa generar un conjunto demuestras
Una senal digital de audio se convierte en sonido cuando seenvıa al conversor digital-analogico de la tarjeta de sonido yde ahı a un altavoz.
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Senales digitales de audio II
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
DAC
[ 1, 4, −2, −5, 1, −3, 2 ]
SEÑAL DIGITAL SEÑAL ANALOGICA
SONIDO
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Senales digitales de audioAnalisis espectral
Senales digitales de audio y percepcion humana
El oıdo humano es capaz de detectar frecuenciascomprendidas entre 20 Hz y 20Khz.
Segun el teorema de Nyquist, una senal de audio se deberıamuestrear (o generar en el caso de la generacion de audio)con una frecuencia de muestreo de al menos 40 Khz.
El estandar adoptado en la industria (Compact disc, ...) parala frecuencia de muestreo de las senales de audio es de 44100Khz.
No obstante, la frecuencia maxima de una senal puede serinferior a los 20 Khz, por lo que podrıa utilizarse unafrecuencia de muestreo menor.
En cuanto a la resolucion, lo mas usual es utilizar 16 bits pormuestra (65536 valores diferentes)
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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2 Introduccion
3 Digitalizacion de senales analogicas
4 Senales digitales de audio
5 Analisis espectralIntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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2 Introduccion
3 Digitalizacion de senales analogicas
4 Senales digitales de audio
5 Analisis espectralIntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Introduccion al analisis espectral
La descripcion que se ha presentado de las senales de audioconsiste en una sucesion temporal de muestras.
En audio, la informacion no se encuentra codificada en eldominio temporal (sucesion temporal de muestras) sino en eldominio frecuencial
Por tanto, a la hora de analizar el contenido de una senal deaudio es necesario prestar atencion al contenido frecuencial deesta.
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Espectro
A la distribucion de las amplitudes de las frecuencias de una senalde audio se le denomina espectro.
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Analisis espectral de senales de audio
Para realizar el analisis espectral de audio utilizaremos laherramienta matematica conocida como Transformada de Fourier
Joseph Fourier
En su trabajo Theorie analytique de
la chaleur de 1822 sostenıa que unacualquier funcion puede expresarse comouna serie de funciones periodicas
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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2 Introduccion
3 Digitalizacion de senales analogicas
4 Senales digitales de audio
5 Analisis espectralIntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Series de Fourier
Una funcion periodica puede descomponerse en una series de senosy cosenos de la siguiente manera:
f (x) =a0
2+
∞∑n=1
[ancos(nx) + bnsin(nx)]
Siendo an y bn una serie de coeficientes reales denominadoscoeficientes de Fourier.
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Series de Fourier II
Los coeficientes de Fourier para una funcion periodica entre[−π, π] se obtienen a partir de la funcion f de partida de lasiguiente forma (puede extenderse a cualquier otro periodo):
an =1
π
∫π
−π
f (x)cos(nx)dx
bn =1
π
∫π
−π
f (x)sin(nx)dx
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Series de Fourier. Ejemplo
Onda en diente de sierra:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4 6 8 10
f (x) = x para −π < x < π,
f (x + 2π) = f (x) para −∞ < x < ∞.
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Series de Fourier. Ejemplo
Los coeficientes de Fourier vienen dados por:
an =1
π
∫π
−π
xcos(nx)dx = 0
bn =1
π
∫π
−π
xsin(nx)dx = 2 ·
(−1)(n+1)
n
y por tanto la funcion puede expresarse como:
f (x) =a0
2+
∞∑n=1
[ancos(nx) + bnsin(nx)] = 2∞∑
n=1
(−1)(n+1)
nsin(nx)
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Series de Fourier. Ejemplo
Aproximacion con 1 coeficiente:
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-4 -2 0 2 4 6 8 10
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Senales digitales de audioAnalisis espectral
IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Series de Fourier. Ejemplo
Aproximacion con 2 coeficientes:
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -2 0 2 4 6 8 10
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Senales digitales de audioAnalisis espectral
IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Series de Fourier. Ejemplo
Aproximacion con 4 coeficientes:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4 6 8 10
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Series de Fourier. Ejemplo
Aproximacion con 8 coeficientes:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4 6 8 10
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Senales digitales de audioAnalisis espectral
IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Representacion alternativa
A partir de la formula de Euler:
e inx = cos(nx) + i sen(nx)
La funcion periodica puede descomponerse como:
f (x) =∞∑
n=−∞
cneinx
donde los coeficientes de fourier cn vienen dados por:
cn =1
2π
∫π
−π
f (x)e−inxdx
Para una senal perıodica en [−π, π]
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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2 Introduccion
3 Digitalizacion de senales analogicas
4 Senales digitales de audio
5 Analisis espectralIntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier
Para transformar una una secuencia temporal de valoresdiscretos (senal digital) en su representacion frecuencial seutiliza la transformada discreta de fourier (DFT)
La DFT toma como entrada una secuencia numeros complejosen el dominio temporal y genera otra secuencia equivalente enel dominio frecuencial
En las senales de audio, cada muestra suele representarsemediante un numero real, por lo que en este caso la entrada ala DFT sera una sucesion de numeros reales x0, . . . , xN−1 delongitud N.
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Senales digitales de audioAnalisis espectral
IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier II
La salida de la transformada sera una sucesion de numeroscomplejos X0, . . . ,XN−1, donde cada elemento de la salida Xk
se calcula de la siguiente forma:
Xk =N−1∑n=0
xne−
2kπni
N
donde: Xk es el valor k-esimo de la senal resultado, N es lalongitud de la senal y xn es el valor i-esimo de la senal deentrada.
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Senales digitales de audioAnalisis espectral
IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier III
Algunas consideraciones acerca del analisis espectral y la DFT
Cada valor Xkde salida del DFT representa la amplitud (yfase) de la componente espectral k . El rango de dichascomponentes varıa entre 0 y la frecuencia de muestreo.
Desde el punto de vista del analisis, se tiene en cuentafundamentalmente al modulo (amplitud) de los numeroscomplejos que forman la secuencia de salida
La resolucion de la transformada viene dada por el numero depuntos de la senal de entrada.
A la hora de analizar una senal de audio, esta se divide enfragmentos de duracion limitada (donde se asume que la senales cuasi-estacionaria). La DFT se aplica a cada fragmento porseparado
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier IV
Si la entrada a la DFT es una secuencia de numeros reales, lasalida sera simetrica respecto al eje definido por el valor de lamitad de la frecuencia de muestreo. Por tanto solo la primeramitad de la DFT es realmente considerada en el analisis.
Por diversos motivos, entre otros la resolucion, la salida de laDFT no siempre se corresponde de forma precisa con elespectro real de la senal. Este problema puede atenuarsemultiplicando la senal de entrada por una funcion ventana(Hamming, Hanning,Blackman,etc).
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IntroduccionSeries de FourierTransformada discreta de Fourier
Ejemplo de Aliasing
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