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Funcionesracionales
El estudiante:
• Resolveráproblemassobrefunciones racionales, teó-ricos o prácticos, median-te el análisis del dominio,el rango y la determina-ción de posibles asíntotasverticales, horizontales yoblicuas, en un ambienteescolarquefavorezcalare-flexióndeanálisisyrazona-miento práctico, así comoel desarrollo de actitudesderesponsabilidad,coope-ración, iniciativa y colabo-raciónhaciaelentornoenelquesedesenvuelve.
INTRODUCCIÓN
En las unidades anteriores aprendiste cómo identificar los diferentes tiposdefunciones,susclasificaciones,sudominio,etc.Enestaunidadconoceráslasprin-cipalescaracterísticasdelafunciónracionaltalescomosudominio,susasínto-tasylavariacióninversa,queessuformamássencillaytienevariasaplicacionesenproblemascotidianos;tambiénconocerássusaplicacionesenlacienciayenlatecnología.
Competencia genérica a desarrollar:Escucha,interpretayemitemensajespertinentesendistintoscontextosatravésdelautilizacióndemedios,códigosyherramientasapropiados.
Competencias disciplinares a desarrollar:• Propone,formula,defineyresuelvediferen-
testiposdeproblemasmatemáticosbuscan-dodiferentesenfoques.
• Proponeexplicacionesdelosresultadosob-tenidosmedianteprocedimientosmatemáti-cosyloscontrastaconmodelosestablecidososituacionesreales.
• Argumenta la soluciónobtenidadeunpro-blemaconmétodosnuméricos,gráficos,ana-líticos y variacionales, mediante el lenguajeverbalymatemático.
• Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.
117FUNCIONES RACIONALES
NOMBREDELALUMNO:
GRUPO: NÚMERODELISTA: ACIERTOS:
Contestaloquesetepide.
1. Dividelassiguientescantidades:
a)82 b)
183
c) 05 d) 7
0
2. Explicabrevementeelresultadodelincisoddelreactivoanterior.
3. Siunapersonahaceunpardezapatosen1día,¿cuántotiempotardaránenhacerelmis-mopardezapatosdospersonas?
4. Sitedigoqueelpesodeunapersonavaríaenproporcióndirectaconsumasa,¿quésig-nificaesteenunciado?
5. Sitedigolapresiónvaríaenproporcióninversaaláreaenqueseaplicalafuerza,¿quénosindicaesteenunciado?
118 UNIDAD III
Leonhard Paul Euler
Consideradoelmásgrandede los matemáticos del si-gloxviii,nacióel15deabrilde1707enBasilea,Suizaymurió en SanPetersburgo,Rusia el 18 de septiembrede 1783. Como matemá-tico, realizó aportacionesconsusestudiossobrecál-culo,teoríadegráficas,aná-lisismatemático, la nociónde función matemática, ycomofísicoenelcampodelamecánica,ópticayastro-nomía.Alaedadde13añosingre-sóalauniversidaddeBasel,progresando rápidamen-teeneláreadefísicayma-temáticas. En parte, estosavancessedierongraciasalas lecciones privadas quetomóconeldestacadoma-temáticoJohannBernoulli.Eulerfueuncientíficotre-mendamente productivo:elíndicedesusobrascom-prendemásde800trabajosde investigación, publica-dos principalmente en lasrevistas de las más presti-giosasacademiascientíficasentodaEuropa.Una de sus aportacionesmás importantes fue la in-troduccióndelconceptodefunción.Realizó destacadas contri-buciones en la notaciónmatemática,talescomo:
LosalumnosdeajedrezdelaEscueladeBachilleresVespertina“Veracruz”deseanconstruiruntablerodeajedrezgigante,elcualocuparáunáreade256m2.Paraelloseformandosequi-posparapintarlo:eldelos“lentos”yeldelos“rápidos”.Elequipodelos“rápidos”,quevaapintarloscuadrosblancos,constadecuatrointegrantesyeldelos“lentos”quepintaráloscua-drosnegros,constade6integrantes.Enpromedio,cadaalumno“rápido”pintauncuadrocada2horasyenpromediocadaalumno“lento”pintauncuadrocada3horas.
Suponiendoquecadaequipotrabaja8horasdiarias:
¿Encuántotiempopintarácadaequipoloscuadrosquelecorresponden?¿Cuántoselementosmásnecesitaelequipodeloslentosparaqueterminenigualqueelequi-podelosrápidos?Siquisiéramosquecadaequipoterminaraenlamitaddeltiempo,¿cuántosintegrantesmásten-dremosqueagregaracadaequipo?¿Quépasaconelequipodelos“rápidos”sidecidendisminuirlacantidaddeelementosquepinten?
Comentatusrespuestascontuscompañeros.
Continua
119FUNCIONES RACIONALES
3.1 FUNCIONES RACIONALES
3.1.1 Concepto de función racional
Elestudioyconocimientodelasfuncionesracionalesesmuyimportanteparati,principalmen-teporqueexistenfenómenosatualrededorquesepuedenrepresentarmedianteestetipodefunciones.Además,encursossuperioresdecálculodiferencialointegralanalizarásestasfun-cionesypodrásdeterminarcaracterísticasdenaturalezamáscomplejaquetepermitanresolverotrotipodeproblemasdelavidareal.
SeentiendeporfunciónracionalAlcocientededosfuncionespolinomiales.
Demaneragenerallarepresentamos:
f xP xQ x
( ) ( )( )
= dondeQ(x)≠0
dondePyQsonpolinomios,xesunavariable.
Dominio
SudominiovaaestarlimitadoprecisamenteporlacondicionanteQ(x)≠0.¿Porqué?
Larazónesqueladivisiónentreceronoestádefinida;esloquellamamosunaindetermina-ción,lacualrepresentamosconelsímbolo∞.Sinembargo,estonoexplicaporquécuandosepresentaestadivisiónafectaaldominiodelafunciónracional;larazónradicasobretodoenladefinicióndedominio:“paraqueunvalordexpertenezcaaldominiodebecumplirconlacon-dicióndequecadaargumentodebearrojarunaimagenreal.Sinoesasí,entoncesestevalordexnopertenecealdominiodelafunción”.Y∞noesunnúmeroreal,sinosimplementeunsím-boloquerepresentalaindeterminación,porlotantoesunaimagennoreal.
Cuandoalgúnvalordexnopertenezcaaldominiodelafunción,estoseveráreflejadoenlagráficadelamisma,enunsaltooenuncorte.Enlatablaseveráreflejadocomounaindetermi-naciónounerrormatemático,yenlaexpresiónalgebraicasepresentaráladivisiónentrecero.
Paradeterminareldominiodeunafunciónracional,podemosseguirlossiguientespasos:
a) Igualarconcerolaexpresióndeldenominador,justamentebuscandoaquellosvaloresde“x”queanulanaldenominadorypropicianladivisiónentrecero.
b) Resolverlaecuaciónresultante. c) Losvaloresobtenidoslosexpresamoscomoaquellosquenopertenecenaldominiode
lafunciónracional.
a) f(x) para referirse a lafunciónf conrespectoa la variable indepen-diente“x”.
b) La notación modernadelasfuncionestrigo-nométricas.
c) Elusodeπ(letragrie-ga)parareferirsealco-cienteentrelalongitudde la circunferencia yla longitud de su diá-metro.
d) LaletragriegaΣcomosímbolodelassumato-rias.
e límn
nn
n
=+
≈→
( )8
12 718281828.
e) La letra e o númerode Euler como basedel logaritmo naturalo neperiano, númeroreal cuyo valor se ob-tienedelaforma:
f) La letra i (latina) parahacer referencia a launidadimaginaria.
Otros matemáticos dieronde Euler las siguientes re-ferencias:Johann Bernoulli: “Yo re-presentoelanálisissuperiorcomosiestuvieraensuin-fancia,pero tú loestás lle-vandoasuestadoadulto”.Pierre-Simon Laplace:“LeanaEuler,leanaEuler.Él es el maestro de todosnosotros”.AndréWeil:“Durantetodasuvida...parecehaberlle-vadoenlacabezalatotali-dad de lasmatemáticas delaépoca,tantopurascomoaplicadas”.El marqués de Condorcetdijo, en su discurso fúne-bre: “todos los matemáti-cossonsusdiscípulos”.
Continua
120 UNIDAD III
Determinareldominiodelasiguientefunciónracional:
y xx
= +−
2 34
a) Igualandoconcerolaexpresióndeldenominador: 4–x=0 b) Resolviendolaecuaciónresultante:x=4
c) Eldominiodelafunción y xx
= +−
2 34
,sontodoslosvaloresdex∈R,exceptox=4;en
intervalos,eldominioes:(–∞,4)∪(4,∞) Veamoslagráficadelafunción:
Comprobación:Podemossustituirelvalorde“x”encontradoenlafunciónyverificarquesepresentalainde-terminación:
f 42 4 3
4 4110
( ) = ( ) +−
= = ∞
Comprobamosquex=4.Efectivamente,nopertenecealdominio.
Determinareldominiodelasiguientefunción:
y xx x x
= −− −3 12 15
2
3 2
a) Igualandoconcerolaexpresióndeldenominador: x3–2x2–15x=0 b) Resolviendolaecuaciónresultante: x x x
x x x
x x xx
xx
3 2
2
2 15 0
2 15 0
5 3 03 0
05 0
− − =
− −( ) =
−( ) +( ) =+ =
=− =
x=–3 x=0 x=5
Suobraperduraenlaactua-lidady sediceque abarca-ría aproximadamente unos80tomos.En1766perdióelojodere-choalhacerobservacionesdirectasdelSol,tratandodedescubrir un buen sistemademedicióndeltiempo, locualnolodetuvoensusin-vestigaciones.Alaedadde60añosperdiólavistaporcompletoy,apesardeello,redactócasiunartículoporsemanadictándoloaalgunodesushijosoaalgúncola-borador.Uno de sus más recientesreconocimientos ―a casi300 años de su nacimien-to― fue el nombramientoen su honor del asteroide2002delaserieQQ1comoAsteroideEuler,elcualfuedescubiertoen1973.Tal vez todo esto no lla-me tu atención, pero fuehijodeunpastorysuma-dre también descendía de
pastores:Sinembargo,ade-más de toda la obra quehemos mencionado, tuvotiempo de dedicarse a lamecánica, astronomía, óp-tica, acústica, arquitectura,balística, navegación, car-tografía, construcción deinstrumentos de precisión,música y filosofía. Inclusoobtuvolalicenciaturaenfi-losofía. También prepara-bamapas y asesoraba a laArmada rusa, además dehaber probado diseños debombas contra incendios.Tuvo13hijos,aunquesólocincollegaronaedadadultaysólotreslesobrevivieron.Fueunapersonade carác-teramableysencillo.
121FUNCIONES RACIONALES
c) Eldominiodelafunción y xx x x
= −− −3 12 15
2
3 2 sontodoslosvaloresdex∈R,excepto
x=–3,x=0,x=5;enintervalos,eldominioes:(–∞,–3)∪(–3,0)∪(0,5)∪(5,∞). Veamoslagráficadelafunción:
Comprobación:
f
f
−( ) =−( ) −
−( ) − −( ) − −( )= −
− − += = ∞
( ) =
33 3 1
3 2 3 15 327 1
27 18 45260
0
2
3 2
33 0 10 2 0 15 0
0 10 0 0
10
33 5 1
5 2 5
2
3 2
2
3
( ) −( ) − ( ) − ( )
= −− −
= − = ∞
( ) = ( ) −( ) −
f(( ) − ( )
= −− −
= = ∞2 15 575 1
125 50 75740
Comprobamosquex=–3,0y5,efectivamentenopertenecenaldominiodelafunción.
y xx x
= ++ +3 3
5 42
a) Igualandoconcerolaexpresióndeldenominador: x2+5x+4=0 b) Resolviendolaecuaciónresultante: x x
xx
+( ) +( ) =+ =+ =
4 1 04 01 0
x=–4 x=–1 c) Eldominiodelafunción y x
x x= +
+ +3 3
5 42sontodoslosvaloresdex∈R,exceptox=–4,
x=–1;enintervalos,eldominioes:(–∞,–4)∪(–4,–1)∪(–1,∞)
122 UNIDAD III
Veamoslagráficadelafunción:
Lagráficaanteriormuestrauncorteyunsalto,pero,¿quéesunsaltoycómoloreconocemos?Comoyaseñalamos,cuandoalgúnvalordexnopertenezcaaldominiodelafunción,nosólopuedeprovocarenlagráficauncortesinotambiénunsalto.Ésteocurrecuandounodelosfac-toresdeldenominadoraparecetambiénenelnumerador;dichodeotramanera,selellamain-determinaciónnoevitablealcorteeindeterminaciónevitablealsalto.Analicemoslafunción:
y xx x
xx x
= ++ +
=+( )
+( ) +( )3 3
5 43 1
1 42
Alfactorizarlafunción,observamosquetantoenelnumeradorcomoeneldenominadorsere-piteelfactor(x+1)yestoesloquenosgeneraunsalto,elcual―comosepuedeobservarenlagráfica―esunpequeñohuecoquedejaelvalorde“y”quefaltaenlagráficadelafunción.
Comprobación:
f
f
−( ) =−( ) +
−( ) + −( ) += − +
− += = ∞
−( ) =−( ) +
−( )
13 1 3
1 5 1 43 3
1 5 400
43 4 3
4
2
22 5 4 412 3
16 20 49
0+ −( ) += − +
− += − = ∞
Comprobamosquex=–1y–4,efectivamentenopertenecenaldominiodelafunción.
I. Dadaslassiguientesfunciones,determinareldominiodelafunción.Ademásgraficacadafunciónyencierraencolorrojolosvaloresde“x”quenopertenecenaldominiodelafunción.Señalatambiénsidichosvaloresde“x”provocanuncorteounsalto.
1. yx
x=
+2
3 6 2. f x
x( ) =
25
3. yx
x=
−5
3 4. f x
xx x
( ) =+
−2 1
52
123FUNCIONES RACIONALES
5. yx
x x=
+− +2 3
8 122 6. f x
xx x
( ) =+
−
2
3
24
7. yx
x x x=
+ + −5
7 7 153 2 8. f x
xx
( ) =+
232
9. yx
x x=
++ +
39 182
10. f xx x
x x x( ) =
− −+ − −
2
3 2
24 17 60
11. yx x
x x x=
+ −+ + −
2
3 2
24 6
12. f xx
x x( ) =
−+ −
2 52 9 352
II. Dadaslassiguientesgráficas,determinasudominioyescríbeloenlaslíneasdebajodecadagráfica.Sesuponequemuestranuncomportamientoconstantedesdeel–∞yterminanhastael∞delosva-loresde“x”.
1.
2.
124 UNIDAD III
3.
4.
5.
125FUNCIONES RACIONALES
3.1.2 Gráficas de funciones racionales
Lasgráficasdelasfuncionesracionalespuedentomardiversasformas,yaunquepresentancier-tasregularidadesquenospermitenhacerinterpretaciones,suconstrucciónpuedeserlaborio-sa,ysinunconocimientopreviodesuscaracterísticas,fácilmentepodríamosequivocarnosaltrazarsugráfica,auncuandohagamosunabuenatabulación.Unadelascaracterísticasimpor-tantesessudominio,porloqueahoracontinuaremosconlasasíntotasylasinterseccionesconlosejes.
Observalassiguientesgráficasydespuéscontestalaspreguntas.
1. ¿Cuántoscortespresentacadafunción?
2. ¿Quépasaconlagráficanúmero4?
Una aplicación de lafunción racional esen la transformada zla cual convierte unaseñal que está defini-da en el dominio deltiempo discreto. Esdecir, nos permite elprocesamiento de al-gunasseñalesdigitali-zadas,elcualserealizamediantecircuitosdi-gitales,microprocesa-doresyordenadores.
126 UNIDAD III
3. ¿Porquélasrectaspunteadasparecendirigirlagráficadelafunción?
4. ¿Creesqueexistaunarelaciónentreelcomportamientodelagráficadelafunciónylaexpresiónalgebraica?Explicaturespuesta.
Asíntotas
Unaasíntotaesunarectarealoimaginariaalaqueparecequeseacercalagráficadelafunción,perosintocarla.
Existentrestiposdeasíntotaytodaspodemoscalcularlaseidentificarlascuandosepresenten:asíntotahorizontal,asíntotaverticalyasíntotaoblicua.
Unafunciónpuedetenervariasasíntotasverticales,perositieneasíntotahorizontal,notendráasíntotaoblicuaysitieneasíntotaoblicuaentoncesnotendráasíntotahorizontal.
Empecemosporobservarcómoeselcomportamientodelagráficaparaformarunaasíntota.
Analicemoslagráficadelafunción y xx
= ++
32
Estafuncióntieneunaasíntotaverticalenx=–2yunaasíntotahorizontaleny=1.Enamboscasoslasasíntotassonrectasimaginarias,porquenosevenamenosquelasgrafiquemosylashagamosreales,comoenlasiguientegráfica:
127FUNCIONES RACIONALES
Ahora,yapodemosverlasasíntotas.Siobservaslagráficadelafunción,entremásgrandeeselvalordexparecequesevaacercandoalarectay =1(asíntotahorizontal).Talvezdebidoalagráfica,tusojosseengañenypiensesqueenrealidadsílaestátocando;paraevitarestaconfu-sión,esmejorquetabulemosparaentenderladefinición.
x y–1000 0.9989–100 0.9897–70 0.9852–30 0.9642–20 0.9444–10 0.875–9 0.8571–8 0.8333–7 0.8–6 0.75–5 0.6666–4 0.5–3 0–2 ∞
x y–1 20 1.51 1.333332 1.253 1.2
Entremáspequeñoes el valor de “x”,más se acercan las“y”a1,peronuncalatocan.
Entre más grandees el valor de “x”,más se acercan las“y”a1,peronuncalatocan.
Continúa
128 UNIDAD III
x y4 1.16665 1.14286 1.1257 1.111120 1.045430 1.031270 1.0138100 1.00981000 1.0009
Observamosquealcompararunnúmeroconotro,entremáspequeñoeselvalordex,losva-loresseacercana1,yentremásgrandeeselvalordex,másseacercanlosvaloresde“y”alva-lorde1,peronuncasoniguala1;siquisierasgraficarestosvalores,tendríasquetrazarunarectamuyfinayveríascómoseacercanlospuntosa1,peronuncatocaríanlaasíntota.
Ahora,analicemosquéocurreconlaasíntotavertical.Primeroobservacómolaasíntotaselo-calizaenx=–2yquelagráficasecortaformandodos“brazos”:unoquebajahaciaelinfinitonegativodelas“y”yelotroquebajadelinfinitopositivodelas“y”,peroenamboscasospe-gándoselacurvaalarectax=–2
x y–4 0.5–3 0–2.5 –1–2.4 –1.5–2.3 –2.333–2.2 –4–2.1 –9–2.01 –99–2.001 –999–2.0001 –9999–2.00001 –99999–2 ∞
–1.9999 10001–1.999 1001–1.99 101–1.9 11–1.5 3–1.4 2.6666–1.3 2.4285–1.2 2.25–1.1 2.1111
Valores dex cerca-nosa–2,peroantesdeél.
Valores dex cerca-nosa–2,perodes-puésdeél.
Continúa
Continuación
129FUNCIONES RACIONALES
x y–1 –10 1.5
Puedescomprobarenlatabulacióncómoseacercanlosvaloresde“x”queestánmáscercanosalvalorde–2,yantesdeéstelosvaloressoncadavezmáspequeños,esdecir,vandecrecien-dohaciaelinfinitonegativo,mientrasquelosvaloresqueestándespuésdex=–2observa-mosqueregresandelinfinitopositivo,perosiempreenamboscasostomandocomoasíntotaalarectax=–2
Conlasasíntotasoblicuasocurrelomismo,peroenestecasolagráficatomacomoasíntotaaunarectacuyoángulodeinclinaciónesdiferentede0°,90°y180°.
Sinembargo,ladefiniciónnosólomencionarectasimaginarias,sinoquetambiénincluyerec-
tasreales.Analicemosahoralagráficadelafunción: yx
= 1
Estafuncióntomacomoasíntotaverticalalarectax =0ycomoasíntotahorizontalalarec-tay =0.Comopuedesobservar,tomacomoasíntotatantoaleje“x”comoaleje“y”,quesondosrectasreales.Conestocompletamoslaexplicacióndeladefinicióndeasíntota.
Continuación
130 UNIDAD III
Enlagráficavesresaltadaslasasíntotasypuedesobservarqueéstassonlosejes“x”y“y”.
Veamoselcomportamientoasintóticoahoradesdelaperspectivatabular.Empecemosconlaasíntotahorizontal:
x y–1000 –0.001–100 –0.01–70 –0.0142–30 –0.0333–20 –0.05–10 –0.1–7 –0.1428–6 –0.1666–5 –0.2–4 –0.25–3 –0.333–2 –0.5–1 –10 ∞
x y0 ∞1 0.12 0.53 0.3334 0.255 0.26 0.16667 0.142810 0.120 0.0530 0.033370 0.0142100 0.011000 0.001
Entremáspequeñoes el valor de “x”,más se acercan las“y”a0o,mejordi-cho,aleje“x”.
Entremásgrandeeselvalorde“x”,másseacercan las“y”a0o,mejordicho,aleje“x”.
131FUNCIONES RACIONALES
Conlatabulación,comprobamoslaasíntotahorizontal.Ahoraanalizamoslaasíntotavertical:
x y–2 –0.5–1 –1–0.5 –2–0.4 –2.5–0.3 –3.333–0.2 –5–0.1 –10–0.01 –100–0.001 –1000
–0.0001 –10000
–0.00001 –1000000 ∞
0.00001 1000000.0001 100000.001 10000.01 1000.1 100.2 50.3 3.3330.4 2.50.5 21 12 0.5
Seobservaquealrededordex=0losvaloresde“y”sonextremadamentegrandes,loquein-dicaunaindeterminación,peroantesdecerolaindeterminaciónesnegativaydespuésdeceroespositiva.Estecomportamientosecompruebaconlos“brazos”delagráfica,locualnosin-dicaquetomacomoasíntotaaleje“y”.
Matemáticamenteesposibledeterminarconexactitudlasdiferentesasíntotasdeunafunciónypuedencomprobarseconlagráficadelafunción,comoveremosacontinuación.
Asíntotas verticales
Porreglageneral,sepresentaráunaasíntotaverticalenaquellosvaloresde“x”dondesepre-sentauncorteenlagráficadelafunción,porloquesulocalizaciónimplicafactorizartantoelnumeradorcomoeldenominadordelafunciónyverificardóndeocurreun“salto”ydón-deocurreun“corte”.Dichodeotramanera,podemosusarladeterminacióndeldominiodelafunciónparalocalizarlasasíntotasverticales.
Valoresdex cerca-nos a 0 pero antesdeél
Valoresdex cerca-nos a 0 pero des-puésdeél
Los conocimientos sobrelasasíntotasdeunafunciónse aplican enniveles supe-riores,talescomoenlade-terminación de los límitesdeuna funciónyengene-ralencálculo.
132 UNIDAD III
Determinarlasasíntotasverticalesdelafunción yx
x x= +
+ −3 6
8 202 ;factorizamostantoelnume-
radorcomoeldenominador,buscandoverificarsiexisten“saltos”ono:
y xx x
xx x
= ++ −
=+( )
−( ) +( )3 6
8 203 2
2 102
Comopuedesver,tantoenelnumeradorcomoeneldenominadornoserepiteningúnfactor,porloquepodemosdecirqueestafuncióntienedos“cortes”y,porlotanto,dosasíntotasver-ticales.Ahoranosfaltasaberdóndeestán;paraello,igualamosconcerocadafactordeldeno-minadorparahallarlasecuacionesquelasforman:
x xxx
xx
−( ) +( ) =+ =− =
= −=
2 10 010 02 0
102
Así,podemosconcluir:lafunción y xx x
= ++ −3 6
8 202 tienedosasíntotasverticales,unaenx=–10
yotraenx=2ylasecuacionesdeambassonx=–10yx=2.Comprobemosconsugráfica:
Enlagráficadelaizquierdapodemosobservaralafunciónconsuscortes,yenladeladere-chagraficamoslasrectasqueconformanlasasíntotasx=–10yx=2ylashacemosvisibles,loquecompruebayconfirmanuestroprocedimientomatemático.
Ahoraveamosunejemplodondesepresentealmenosun“salto”.
Dadalafunción y xx x
= ++ +
4 86 82 ,determinarsusasíntotasverticales.
Factorizando,observamos:y x
x xx
x x= +
+ +=
+( )+( ) +( )
4 86 8
4 22 42
133FUNCIONES RACIONALES
Sepuedeobservarqueelfactor(x+2)serepitetantoenelnumeradorcomoeneldenomi-nador,porloquesabemosqueahíocurreunsaltoynohayunaasíntotavertical.Enelfactor(x+4)ocurreuncorte,yenconsecuencialagráficadelafunciónpresentaunaasíntotaver-tical.Igualamosconceroelfactor(x+4)ydeterminamoselvalorde“x”dondesepresen-talaasíntota:x
x+ =
= −4 0
4
Porloqueconcluimosquelafunción y xx x
= ++ +
4 86 82
presentaunaasíntotaverticalenx=–4;
comparandonuestroresultadoconsugráfica,verificamos:
Enlagráficadelaizquierdaobservamostantoelcortecomoelsalto,yenladeladerechasegraficalarectacuyaecuaciónesx=–4ypodemosobservarlaasíntotaytambiénvemoselsal-toenx=2
Dadaslassiguientesfunciones,determinarsusasíntotashorizontales,grafícalasymencionasisonrealesoimaginarias;trazalasasíntotasencolorverdesobrelagráficadelafunción:
1. yx
=+3
4 2. f x
xx
( ) =−
58 3
3. yx
x x=
+3
52 4. f x
xx
( ) =+5 30
5. yxx
=−+
2
2
74 6. f x
xx x
( ) =+
− −6 3
122
7. yx
x x=
++ −
5 403 2 212
8. f xx xx x
( ) =− −−
2
3
64
9. yx x
x x x=
+ ++ −
2
3 2
9 202 15
10. f xx
x x x( ) =
++ +
43 23 2
11. yx
x x x=
−− − +
45 2 243 2
12. f xx
x x x( ) =
−− − +
22 9 183 2
134 UNIDAD III
Asíntotas horizontales
Cuandounafunciónracionalpresentaunaasíntotahorizontal,lagráficaparecequeguiarásu“crecimiento”sobreella.Paralocalizarlaasíntotahorizontal,tenemosqueidentificarlavaria-bleconmayorexponentetantoenelnumeradorcomoeneldenominador,si:
a) elexponentemayorapareceeneldenominador(elgradodeldenominadoresmayorqueeldelnumerador)lafuncióntomacomoasíntotaalejedelas“x”,esdecir,seformaconlaecuacióny=0
b) elexponentemayorapareceenelnumeradoryeldenominador(elgradodeldenominador
esigualqueeldelnumerador),laasíntotahorizontaltomacomoecuación yab
= ,dondea
eselcoeficienteprincipaldelnumeradorybeselcoeficienteprincipaldeldenominador. c) elexponenteaparecesóloenelnumerador(elgradodelnumeradoresmayorqueeldel
denominador),lafunciónNOtieneasíntotahorizontal.
Determinarlaasíntotahorizontaldelasiguientefunción f x xx x
( ) = +− +3 1
8 32 ;comprobarconsugráfica.
Análisis:Elgradodelnumeradores1yelgradodeldenominadores2,porloqueelgradodeldenominadoresmayory lafuncióntomacomoasíntotaalejex;esdecir,laecuacióndelaasíntotaesy=0
Esclaramentevisiblecómolagráficadelafuncióntomacomoasíntotahorizontalalarectay=0
Enconclusión,lafunción f x xx x
( ) = +− +3 1
8 32tieneunaasíntotahorizontalenY=0
Determinarlaasíntotahorizontaldelafunción f x xx x
( ) = ++ +
4 82 8 6
2
2 ;comprobarconsugráfica.
Análisis:Podemosobservarqueelgradodelnumeradoreselmismoqueeldeldenominador,porloquesuasíntotaeselcocientedesuscoeficientesprincipales.Enestecaso,elcoeficientedelnume-radores4yeldeldenominadores2,entoncessuasíntotaestáformadaporlarectacuyaecua-ciónes:
135FUNCIONES RACIONALES
y = =42
2
Veamossugráfica:
Alaizquierdatenemoslagráficadelafunciónyaladerechatrazamoslarectay=2parapoderhacervisiblelaasíntotahorizontal.
Enconclusión,lafunción f x xx x
( ) = ++ +
4 82 8 6
2
2 tieneunaasíntotahorizontaleny=2
Determinarlaasíntotahorizontaldelafunción f x x xx
( ) = −−
3 41;comprobarconsugráfica.
Análisis:Elgradodelnumeradoresmayorqueeldeldenominador,porloquedecimosquelafunciónnotieneasíntotahorizontal.Veamossugráfica:
Podemosconcluirquelafunción f x x xx
( ) = −−
3 41notieneasíntotahorizontal.
Determinarlaasíntotahorizontalencadafunción,siesquelatiene,ycompruebagraficando.
1. f xxx
( ) =++
13 2. y
x=
13
136 UNIDAD III
3. f xxx
( ) =− 2
2 4. y
x xx x
=− −
− −5 17 12
2 1
2
2
5. f xx
x x( ) =
−7
1
3
3 6. y
xx
=+−
16 32 7
7. f xx
x x( ) =
−+
3
2
32 8. y
x xx
=−−
2
3
71
9. f xxx
( ) =−−
6 112 10. y
x x xx x x
=+ + +− + −
3 18 33 186 11 6
3 2
3 2
Asíntotas oblicuas
Unafuncióntendráunaasíntotaoblicuacuandoelgradodelnumeradorseaunaunidadmásgrandequeelgradodeldenominadorytomarácomoecuaciónalcocientedeambos.Tendrácomoecuaciónlaformaordinariadelarectay=mx+b,esdecir:
Laformageneraldelafunciónracionales f xp xq x
( ) = ( )( )
,entonceslaecuacióndelaasíntota
oblicuaseobtiene: p xq x
mx b( )( )
= +
Determinalaecuacióndelaasíntotaoblicuadelafunción f x x xx
( ) = − +−
2 2 43
,siesquelatie-ne,comprobarconsugráfica:
Análisis:Comoelgradodelnumeradoresunaunidadmásgrandequeelgradodeldenominador,enton-cessabemosquelafuncióntieneunaasíntotaoblicua;ahoradeterminamossuecuaciónutili-zandoladivisiónsintética.
Podemosresumirquelaecuacióndelaasíntotaes:
137FUNCIONES RACIONALES
Larectadelaasíntotadelafunciónesy=x+1
Vemosenlagráficadelaizquierdaquelafuncióntieneunaasíntotaoblicuayalgraficarlarec-tay=x+1seposicionacomosuasíntotaoblicua.
Enconclusiónlafunción f x x xx
( ) = − +−
2 2 43
,tienecomoasíntotaoblicuaalarectay=x+1
Determinarlaasíntotaoblicuadecadafunción,silatiene,ycompruebaconsugráfica.
1. f xx
x( ) =
+
2
1 2. y
x xx
=− +
−
2 2 14
3. f xxx
( ) =++
2 13 6
3
2 4. y
xx
=−+
2 83
5. f xxx
( ) =−−
2
2
93 12
6. yxx
=+−
722
7. f xx xx
( ) =−
−
3
2
164 8. y
x xx
=+−
3
2
711
9. f xx
x( ) =
−2 3 10. y
x xx
=−+
4 2
2
32
Esimportantedestacarquecuandoelexponentedelnumeradoresdosunidadesomásgrandequeeldeldenominador,lafunciónpareceráqueseacercaaotroelementoquenoesunarecta.Teretamosaverificarestoyadescubriraquéelementosnosreferimos.
Intersecciones con los ejes
Algunasfuncionesracionalespresentaninterseccionesconeleje“x”yconeleje“y”;paraco-noceréstassedebenseguirunassimplesreglas.
138 UNIDAD III
Intersecciones con el eje “x” o ceros de la función racional
Lasinterseccioneslasdeterminamosbuscandoenlosfactoresdelnumerador,ylaúnicarestric-ciónesqueaquellosfactoresqueaparecentantoenelnumeradorcomoeneldenominador,esdeciraquellosqueprovocanunsalto,nonosproporcionaráncerosdelafunción.
Determinarlasinterseccionesdelafunción f x xx x
( ) = +−
452 conelejex.
Primerofactorizamostantoelnumeradorcomoeldenominador:
f x xx x
xx x
( ) = +−
= +−( )
45
452
Observamosqueningunodelosfactoresdelnumeradorserepiteeneldenominador,porlotantolaintersecciónconeleje“x”estácontenidaenelfactorx+4.
Segundo,igualamosconceroelfactorolosfactoresdelnumeradorquenoserepitenenelde-nominador.
Enestecasosóloes:
xx
+ == −
4 04
Porloquepodemosconcluir,lagráficadelafunción f x xx x
( ) = +−
452 interceptaaleje“x”en
x=–4
Ahoratrazamossugráfica:
139FUNCIONES RACIONALES
Podemosconcluirquelafunción f x xx x
( ) = +−
452 interceptaaleje“x”enx=–4
Dadalafunción f x x x xx x
( ) = + −− +
3 2
2
66 8
,determinarlasintercepcionesconeleje“x”siesque
existen;compruebaconsugráfica.
Factorizamostantoelnumeradorcomoeldenominador:
f x x x xx x
x x xx x
( ) = + −− +
=−( ) +( )
−( ) −( )3 2
2
66 8
2 34 2
Alanalizarlosfactoresvemosqueserepiteelfactorx–2,yaqueenésteseproduceunsaltoyporlotanto,nosevaapropiciarunaintercepcióncon“x”,mientrasquelosfactoresx(x+3);siigualamosyresolvemostenemos:
xx
xx
=+ =
= −=
03 0
30
Asíqueconcluimos:lafuncióninterceptaaleje“x”enx=–3yx=0.Verificamosconsugráfica.
Intersecciones con el eje y
Parahallarlasintercepcionesconeleje“y”,simplementesesustituyeenlafunciónelvalordex=0yseobtieneelvalordelainterseccióncony.Cadafunciónpuedetenercomomáximosólounaintercepcióncon“y”.
Dadalafunción f x xx
( ) = +−93,hallarsuintercepciónconeleje”y”ycompruebaconsugráfica.
Hallamosf(0):f 0 0 9
0 393
3( ) = +−
=−
= −
140 UNIDAD III
Porlotanto,lafunción f x xx
( ) = +−93interceptaaleje“y”eny=–3
Veamossugráfica.
Dadaslassiguientesfunciones,determinalasintercepcionesconeleje“y”ycompruebaconsugráfica:
1. f xxx
( ) =+−
75 2. y
xx
=+ 4
3. f xx
x( ) =
−+
2 74 4. y
x=
1
5. f xx x
x( ) =
++
2 34 8
6. yx
x x=
−+ +
2
2
62 8
7. f xx x
x( ) =
− ++
3 16 34
8. yx x x
x=
− + −+
3 2 3 11
3 2
2
Todosestosconocimientos,comosonlaobtencióndeldominio,lalocalizacióndelasasíntotasylasin-tercepcionesconlosejes,tepermitiránconstruirconciertafacilidadlagráficadelafunciónracional,apartirdesuexpresiónalgebraica.TeinvitamosquedemuestresloaprendidoalolargodeestecursodeMatemáticasivyteaventuresatrazarlagráficadelafunción;desarrollaenequipounaestrategiaquetepermitaconstruirlagráficaconlainformaciónqueobtienesdelafunciónmisma.
Muestratuestrategiaalgrupoyconstruyanentretodosunaestrategiacomún;luegoredáctenlaypracti-quengraficardistintasfuncionesparaverificarsuefectividad.
3.1.3 Variación inversa
Lamayoríadelosproblemasdeaplicaciónenlavidadiariasonaquellosenquedosvariablessecomportanenformaproporcional;esdecir,siunaaumentalaotratambién.Sinembargo,exis-tenproblemascomoelplanteadoaliniciodelaunidadenlosqueestecomportamientonose
AActividad
141FUNCIONES RACIONALES
presentaentodomomento.Porejemplo,cuandopreguntamos:siquisiéramosquecadaequipoterminaraenlamitaddeltiempo,¿cuántosintegrantesmástendremosqueagregaracadaequi-po?Inmediatamente,observamosqueentremásintegrantestengacadaequipo,menostiempoutilizaránpararealizarsutarea;puesbien,aestecomportamientolellamamosvariacióninver-saysepresentadeformaproporcional,yaqueconcadaintegrantequeaumentemos,eltiempodetrabajodisminuiráenformaproporcionalaltrabajocontribuidoporél.
Estetipodecomportamientonosólosepresentaensituacionescomolaseñalada,sinotam-biénenlasdiversascienciasqueseapoyandelasmatemáticas;porejemplo,enlafísicaylaquímica.
La variación inversa como caso particular de la función racional
Lavariacióninversapuedeserrepresentadaporunafuncióncuyaformagenerales:
y kx
= ,dondex≠0
Estaecuaciónlapodemosreescribircomo:
xy=k,dondek≠0
Loanteriornosindicaqueelproductodeestasvariablesnosvaadarsiempreunaconstante.Sinembargo,estonosignificaolvidarquehablamosdeunafunción,detalmaneraquecadavezquexadopteunvalorytomaráotro,porloquecadavezquemultipliquemosestosvalores,elresultadosiempreseráelvalordek,alacualllamamosconstantedevariación.Ejemplosde
estafunciónson: yx
= 2 , yx
= 7 , yx
= 9
Podemoscomprobarloanteriorapartirdelatabulación;supongamoslafunción
yx
= 8
Alhacerlatabla,tenemos:
x y1 82 43 8/34 2
142 UNIDAD III
Ahorarealicemossuproductoycomprobemos:
xy =( )( ) =
( )( ) =
( )( ) =
( )( ) =
8
1 8 8
2 4 8
3 8 3 8
4 2 8
/
Comopodemosver,cadavezquemultiplicamoslosvaloresde“x”y“y”obtenemoselvalordek=8.Entoncespodemosconcluirquekesunacantidadnuméricaquenospermiterela-cionarambasvariables.
Elvalorksecomportacomoelcoeficienteprincipaldelafunción,detalmaneraquesiésteespositivo,lagráficaseráunahipérbolaubicadatantoenelcuadrante3comoenelcuadrante1;sikesnegativa,sugráficaestaráubicadaenloscuadrantes2y4.Observalassiguientesgráficas:
yx
= 3
yx
= −3
143FUNCIONES RACIONALES
Grafica las funciones yx
=−5, y
x=
−4, y
x=
−2, y
x=
−1 enunmismoplano, yenotroplanografica
yx
=1, y
x=
2, y
x=
4, y
x=
5.Mencionacuálessonlasdiferenciasentreéstas;esdecir,observalasregu-
laridadesquesepresentanyaquellasdiferenciasquelasidentificancomofuncionesúnicas.
Aplicaciones de la función inversa
UnaaplicacióndelavariacióninversalaencontramosenlaLeydelagravitaciónuniversaldeNewton.
Determinarlafuerzaejercidaentresípordosmasasde1kg,siestánseparadasporunadistan-ciade:
a) 0.10m b) 0.25m c) 0.5m d) 1m e) 2m
EntucursodeFísica,laecuaciónrepresentativadeestaleylaestudiastecomo:
F G m mr
= 1 22
donde:
G=constantedegravitaciónuniversalm1ym2=lasmasasdeamboscuerposrespectivamenter=separaciónentreloscuerposF=fuerzagravitacional
Perosegúnnuestroproblema,lasmasassonde1kgporloquenocambiay.Podemosdecirquek=Gm1m2=6.67x10
–11(1)(1)=6.67×10–11Nm2ynuestraecuaciónsevemodificadaparaesteproblemacomo:
F kr r
= = × −
2
11
2
6 67 10.
AActividad
144 UNIDAD III
r F0.1 6.67×10–9
0.25 1.0672×10–9
0.5 2.668×10–10
1 6.67×10–11
2 1.6675×10–11
Puedesobservarlosefectosdelavariacióninversa:entremáslejosestánunadelaotra,menorserálafuerzagravitacionalentreéstas.
Unautomovilistarecorre6,000mpara irasu trabajo.Siel lunes tarda900syelmartes1200s,determinaquérapideztendráenamboscasosycompruebaquesetratadeunava-riacióninversa.
Primeroutilizamoslaecuaciónv dt
= .Comotodoslosdíasrecorrelamismadistancia,éstase
vemodificadaa: vt
= 6000;entonces:
v m s
v m s
= =
= =
6000900
6 67
60001200
5
. /
/
Observamosquesieltiempoaumenta,larapidezdisminuye;porlotanto,setratadeunava-riacióninversa.OtrasaplicacionesdelavariacióninversalasencontramosenlaLeydeOhm,lasLeyesdelosGases,laSegundaLeydeNewton,lapresión,elgastodeunfluido,elflujo,etc.
1. Pararestaurarunacasa12hombressetardan18días.¿Cuántoshombresmássedebencontratarparaquedicharestauraciónestélistaenlas2/3partesdeesetiempo?
2. 15hombressetardan8horasenhacer5mesas.¿Cuántotiemposetardaráunsolohombreenhacerlas5mesas?
3. Laecuacióndelapresiónes:PFA
= ,dondelafuerzaestáenNewtons,eláreaenm2ylapresiónenPascales(Pa).
Siejercemossobreunáreade1m2unafuerzade20Nlapresiónesde20Pa.¿Quépasaráconlapresiónsiaplicamoslamismafuerza,peroahorasobreunáreade:
a) 0.5m2
b) 2m2
c) 0.3m2
145FUNCIONES RACIONALES
Contestalassiguientespreguntas:
1. Paraquelapresiónseamayor,¿cómodebeserelárea?
2. ¿Quépasasiaplicolafuerzasobreunpunto,esdecirquenohayaárea?
3. LaLeydeOhmseexpresaconlasiguienteecuación:IVR
= ,dondeI=intensidaddelacorrien-
teenamperes,VesladiferenciadepotencialenvoltsyReslaresistenciadelcircuitoenohms.SiV=120voltsydeseamosquelaintensidaddelacorrientesealomáspequeñaposible,¿cuálresistenciaconvieneutilizar,unade40ohmsounade240ohms?Fundamentaturespuesta.
146 UNIDAD III
NOMBREDELALUMNO: ACIERTOS
I. Instrucción:Encuentraenlasiguientesopadeletrasaquellaspalabrasreferentesalasca-racterísticasdelagráficadelasfuncionesracionales.Unavezquehayasencontradoto-das,enlístalasenlapartedeabajoyexplicacómopuedescalcularlas.
I N T E R C E P C I O N C O N Y U TN U A V B A S I R C O M E T T I A ZT P Z S H I J P Y F H R U D M S E XE S P I I R T F U S C A B T I E D OR C L O I N E B V E Ñ A M N G F D AC V R T A U T C M O P E T C H O L AE I O I N I M O D T S O O B N A W QP E T I R O W A T A T M O S W E S TC F P J R W C T Q A N B K H J L B NI L O L I P O P O E V E N T I H S UO E I V F W Q B N O I E B K J A B AN E D I C T L O S O H U R A L A N SC B A I E I O N L K J B V T T R C AO D T B C A R K H F J I O T I E G TN W V U K J I H G F E D C B A C O TX S A E A E I O U B A V E B I N A PA S I N T O T A H O R I Z O N T A L
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
147FUNCIONES RACIONALES
8. Dadalasiguientefunción,determinacadaunadelascaracterísticasencontradasenlasopadeletrasyrealizauntrazodesugráfica.
f x x xx x x
( ) = + ++ + +
2
3 2
5 67 14 8
II. Contestabrevementeloquesetepide
1. Eselnúmeromáximodeasíntotashorizontalesquepuedetenerunafunciónracional.
2. Eselnúmeromáximodeintercepcionesconeleje“y”quepuedetenerunafunciónra-cional.
3. Siunafunciónracionaltieneasíntotahorizontal,entoncessabemosquenotiene:
4. Eselnúmeromáximodeintercepcionesquepuedetenerunafunciónracionalconelejex.
III. Trazaconrojolaasíntotahorizontal,converdelaasíntotaverticalyconcafélaasíntotaoblicua,cuandolashaya.Encierraconazullasintercepcionesconelejex,conmoradolaintercepcióncony.