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Física 3 – ECyT – UNSAM2015
Introducción al electromagnetismoDocentes:Diego RubíSalvador Gil
www.fisicarecreativa.com/unsam_f3
Clases 4
Potencial Eléctrico
2
Trabajo para mover una carga
∫∫ −==
2
1
2
1
2,1.. ldEqldFWrrrr
∫−=≡
2
1
2,1
12. ldE
q
WV
rr
Diferencia de Potencial= Trabajo por unidad de carga
Eqr
.Eqr
.Eqr
.
F F F1 2
3
Trabajo para mover una carga
Eqr
.Eqr
.Eqr
.
F F F
lEqWrr
∆=∆ ..
Potencial= Trabajo por unidad de carga
lEq
WV
rr∆−=
∆=∆ .
xEVx
∆−=∆ . x
VE
x ∂
∂−=
y
VE
y ∂
∂−=
z
VE
z ∂
∂−=
max
∂
∂−=
l
VE VE ∇−=
rr
2
4
Trabajo para mover una carga
Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinito
y
VE
y ∂
∂−=
z
VE
z ∂
∂−=
VE ∇−=rr
x
VE
x ∂
∂−=
∫−=≡
2
1
2,1
12. ldE
q
WV
rr
Si conocemos el potencial, podemos calcular el campo y si sabemos el campo, podemos calcular el potencial
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Carga Puntual
Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=
rr
∫−=≡
2
1
2,1
12. ldE
q
WV
rr
2
04
1
r
QE
πε=
=∆12
V
=−=−=−=∆ ∫∫∫2
1
2
1
2
0
2
1
124
r
r
r
rr
drQdrErdEV
πε
rr
−=−=∆
210
1212
11
4
1
rrVVV
πε
∞−=−=
11
4 20
122r
QVVV
πε
6
Potencial
� En general:
� El trabajo para mover una carga de 1 a 2 no depende del camino.
� La fuerza eléctrica (el potencial electrico) es conservativo
0.1,1
=−=∆ ∫C ldEWrr
3
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Carga Puntual
Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=
rr
∫−=≡
2
1
2,1
12. ldE
q
WV
rr
2
0
1
4
1
rE
πε=
No se puede mostrar la imagen en este momento.
r
QrV
04
1)(
πε=
∫∫∫=v r
dqrV
04
1)(
πεPor el teorema de superposición
rr
rdqkr
r
qkE
eii
i
i
e
rr
r∫∑ ⋅==
→
3
)(3 SUMA
VECTORIAL
SUMA Escalar
8
Trabajo y Energía Campo eléctrico no uniforme y
trayectoria no rectilínea
Debemos dividir la trayectoria
en pequeños desplazamientosinfinitesimales, de forma que
∫∫ ⋅−=⋅=B
Ao
B
A ext
ext
ABrdEqrdFWrrrr
∫ ⋅−==−B
Ao
ext
AB
ABrdE
q
WVV
rrEl potencial en este caso
será
B
AEr
Fr
rdr
Eqor
qo
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Dipolo en campo Uniforme
-
+d
q
F=q.E θθτ senEdqsendF ..... == Eprrr
×=τ
θθθθ dsenEdqdsendFdW ⋅=⋅= .....
EpUrr
.)( =θ)(cos.. θdEpdW −=
EErF
r
Fr θ
θ
U
0 180º
Er
4
10
DÍPOLO ELÉCTRICOEs un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario que se encuentran a pequeña distancia
Momento dipolar
Energía de un dipolo eléctrico
Trabajo necesario para girarlo en
contra de un campo eléctrico
Dipolo en un campo eléctrico uniforme
Eprrr
×=τ
EpUrr
⋅−=
11
Polarización Eléctrica
� Cuando se coloca una carga positiva, los átomos se polarizan o alinean con el campo
� Se rompe la simetría original, y los átomos se polarizarán, quedando la nube electrónica con carga negativa orientada hacia la localización de la carga positiva introducida. Ep
rr⋅= α α= Polarizabilidad
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Dipolos
� Esta orientación se conoce como polarización en donde un polo de los átomos está más positivamente cargado y el otro más negativamente cargado.
� Cada átomo polarizado de esta forma se convierte en un dipolo.
� Los dipolos de los átomos tienden a contrarrestar el efecto del campo eléctrico producido por la carga positiva introducida.
� Por lo tanto, el campo eléctrico en cualquier punto del material será distinto al campo eléctrico que mediríamos cuando colocamos la misma carga eléctrica positiva en el espacio libre, sin la presencia del material y sus átomos formando dipolos.
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POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES
�Para una distribución discreta de cargas
∑ ∑==n n n
n
n r
qVV
04
1
πε
�Para una distribución continua de cargas
⇔
�Ley de Gauss
∫ ∫==r
dqdVV
oπε4
1
netaS
QSdE =⋅∫rr
0εEn un dado problema, ¿qué ley uso o qué calculo primero, el campo E o el potencial V(r)?
VE ∇−=rr
∫∞
−=r
ldErVrr
.)(
14
Cascarón Esférico hueco
=
0
)(2
r
Qk
rE eR
Q
r ≥ R
r ≤ R
E(r)
Hay simetría ���� Ley de Gauss
Primero el campo E
15
Potencial eléctrico
en el interior y el exterior de un cascarón esférica de carga.
Cascarón Esférico hueco
=
R
Qk
r
Qk
rV
e
e
)(
r ≥ R
∫∞−=r
drrErV ').'()(
=
0
)(2
r
Qk
rE e
r ≤ R
Después el potencial
6
16
Recordando la definición de
momento dipolar eléctricoqap ⋅= 2
22
ˆ.
4
1 cos
4
1
r
rp
r
pV
oo
r
πε
θ
πε=
⋅=
�V = 0 para α = 90º
No se requiere trabajo para llevaruna carga de prueba desde elinfinito hasta el dipolo a lo largode la línea perpendicular al puntomedio entre las dos cargas.
Dipolo - +
2a
P=2a.q-q q
- +
rθ
r1r1
rarrvr
+=1 θcos2
222
1⋅⋅−+= rarar
)cos)/(1(1
θ⋅−≈ rarr
)cos)/(1(2
θ⋅+≈ rarr
No hay simetría – Primero V(r)
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Campo creado por un dipolo
� Dipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q) situadas a una distancia muy pequeña ( d = 2a ).
� Aproximación r>> l
- +-a a
rr-a
r+a
)()(33
arar
qkar
ar
qkE
rrrr
rrrr
r+
+
−+−
−=
dqprr
= Momento dipolar - +
−
⋅=
⋅∇−=∇−= p
r
r
r
rp
r
k
r
pkVE
rrrr
rrr )(3
cos32
θ
X
Z
Y
dr
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CONDUCTOR EN EQULIBRIO ELECTROSTÁTICO
Conductor: Material que se caracteriza por tener cargas
libres que pueden moverse en su interior.
Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su cargalibre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En
estas condiciones se dice que el conductor está en EquilibrioElectrostático (E’ = Eo).
+++++++++++++ oE
r
'Er
Cualquier exceso de carga se colocará enla superficie del conductor, ya que el campoeléctrico externo no es lo suficientementeintenso como para vencer las fuerzas deligadura.
7
19
Condiciones que se deben cumplir en todo conductor
I
Toda la carga libre de un conductor se coloca en su
superficie.
Dado un conductor, supongamos unasuperficie gaussiana justo en el interior dela superficie del conductor. Como E =0dentro del conductor, también será nuloen todos los puntos de la superficiegaussiana. Por lo tanto el flujo a través dela superficie del conductor es cero.
Por el Teorema de Gauss
o
q
ε=Φ int
Como 0=Φ 0int =q
Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del conductor
Conductor
20
El campo eléctrico en la superficie del conductor es
perpendicular a dicha superficie y valeoε
σ
Para hallar el campo eléctrico en lasuperficie del conductor consideremosun elemento infinitesimal plano, con
densidad superficial de carga σ. Comosuperficie gaussiana tomamos uncilindro con una cara en el exterior yotra en el interior del conductor
Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficiedebe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través dela cara superior.
o
intqs
ε==⋅=Φ ∫ EsdE
rr
s q σ=into
Eε
σ=
Er
21
Distribución esférica, r ≥R
Distribución uniforme, r ≤R
2
04
1
r
QE
πε=
3
04
1
R
rQE
⋅=
πε
Esfera cargada
R
E(r)
8
22
Distribución esférica, r ≥R
Carga uniforme, campo r ≤R
2
04
1
r
QE
πε=
3
04
1
R
rQE
⋅=
πε
Esfera cargada
r
QrV
04
1)(
πε=
)(2
1
4
1)(
3
2
0
RVR
rQrV +
⋅−=
πε
−=
2
2
0 22
3
4
1)(
R
r
R
QrV
πεR
23
Ejercicio: Ley de Gauss:
Cascarón Esférico
Calcular Campo y Potencial en todo el espacio
R1 R2
r
24
2
04
1
r
qE
πε=
Cascaron esféricaUsando la ley de Gauss y las propiedades de simetría:
Para r < R2
0=EEntre a r < R2
Para r >R1
rrr
E0
3
2
033
4
4
1
ε
ρπρ
πε==
)(433
2
3
1RRq −= πρ
9
25
Electrostática
Campo electrostático y potencial
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SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un
campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. Eltrabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo,una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneasserá
En términos de incrementos
rEVrr
∆⋅−=∆E alar perpendicu rr
r∆ 0=∆V V constante
E a paralelo rr
r∆ Variación máxima de
potencial
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Superficies equipotenciales
Es el lugar geométrico de todos los puntos que se
encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición deencontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico
El trabajo desarrollado para mover una partícula de un
punto A a otro punto B a lo largo de una superficieequipotencial es nulo, ya que
o
ABAB
q
WVV =−
A lo largo de una
superficie equipotencial
BA VV = 0=ABW
10
28
Ejemplos de superficies equipotenciales
29
Conductor en un campo eléctrico
� El campo interior siempre es nulo.
� Deforma las líneas de campo exterior.
� Se produce una redistribución de carga en la superficie debido a la fuerza eléctrica.
� Sobre la superficie del conductor el campo es siempre perpendicular a al superficie
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Potencial eléctrico
� La fuerza eléctrica se puede expresar en función del campo eléctrico.
� Por ser conservativa
� Potencial eléctrico
� Campo eléctrico = gradiente del potencial eléctrico
� Unidades : el Voltio
)()( rEqrFrr
= )(rUFrrr
∇−=
q
UV =
Energía potencial
Carga
)(rVErrr
∇−=
[ ] [ ]CJVV /==
Se puede elegir el origen de potencial
11
31
Superficies equipotenciales
�El potencial es constante en todos sus puntos.
�El vector gradiente�es ortogonal a S.
�El gradiente va de �menores a mayores �valores de V.
1U
ctezyxV =),,(
V0
V1
V2
VN
0|||| =−=∆⋅∇−=∆⋅ ii VVrVrErrrr
ij
ij
VV
VVrVrE
>
<−−=∆⋅∇−=∆⋅ ⊥⊥ 0)(rrrr
Vectores campo eléctrico
32
Superficies equipotenciales
Campo producido por un dipolo
Campo producido por una carga puntual
Campo uniforme
Superficie equipotencial Campo eléctrico
33
Referencias� Física para estudiantes de ciencias e ingeniería - R. Halliday, D.
Resnick y M. Krane, 4ª ed., vol. II (México, 1992).� Física II - SERWAY R. FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Ed.
CENGAGE LEARNING- Mexico 2003 � Física Universitaria: Volumen II Sears, F. et al., (Addison Wesley
Longman, México D.F., 1999). � G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. � Física: Principios y aplicaciones, D. Giancoli, Prentice Hall, México,
1997.� Física Clásica y Moderna Gettys, Keller, Skove -Mc Graw-Hill
México, 1996� http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html
� http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/
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Problema 1� Calcular Campo y Potencial para:� Ley de Gauss (Calculamos E, por la simetría del
problema)
+Q
a
b
ra b
r
E
V(r)a b
Dentro del conductor E=0
+
+
+
+
+
++
+
+
+-
-
-
-
-
-
-
-
-
35
Problema 2
[ ]
−≈+=
−
2
22/122
42
11
1)2/(
1
x
d
xdx
r
-2Q
+Q
+Q
d/2
d/2
r
x
E
−=+
−=
xrkQ
r
Qk
x
QkxV
1122
2)(
222 )2/(dxr +=
2
2
2
2
8
1
42
11
111
x
d
xx
d
xxr−=−
−=≈−
3
2
82)(
x
QdkxV −=
4
2
43)(
x
QdkxE −=
36
Problema 3
13
37
38
Agradecimiento
Algunas figuras y dispositivas fueron tomadas de:
� Clases de E. y M.de V.H. Ríos – UNT Argentina
� Clases E. y M. del Colegio Dunalastair Ltda. Las Condes, Santiago, Chile
� Ángel López
FIN