Introducción: El cono de Luz

Espacio Tiempo

– La teoría de la relatividad es realmente una teoría física acerca del espacio y tiempo.

– El Espacio-Tiempo es toda la historia del Universo por completo.

• Es decir, son todos los eventos que han sucedido, suceden y sucederán en todo el Universo.

Modelos del Espacio-Tiempo

– Cada modelo del espacio tiempo nos representa “cómo entendemos el espacio-tiempo” en diferentes etapas de la historia de la humanidad

– Modelos que revisaremos• Visión Aristotélica• Visión de Galileo• Visión de Einstein.

Naturaleza del Espacio-Tiempo

– ¿Cómo son visualizadas la naturaleza (propiedades) del Espacio-Tiempo?

– Absolutas. (Universales)• Son propiedades que “todos” pueden visualizar sin importar

el lugar del universo dónde se encuentren

– Relativas. (Locales o personales)• Son propiedades que solo “algunos” pueden visualizar y que

dependen del lugar del Universo en que esten.

Estructura causal y el Cono de Luz

– Estructura Causal: Permite diferenciar en el Espacio-Tiempo los sucesos o eventos del pasado, presente y futuro

– Cono de luz: Es un modelo matemático que determina la estructura causal del Espacio-Tiempo de Einstein

Espacios-Tiempo planos y curvos

– Si el arreglo de conos de luz en un espacio-tiempo es uniforme, el espacio tiempo es plano

• La relatividad especial es un espacio-tiempo plano

– Si el arreglo de los conos de luz es no uniforme en el espacio-tiempo el es curvo

• La relatividad general es un espacio-tiempo curvo

Referencias

– Geroch. General Relativity from A to B.– Geroch, Ellis/Williams. Flat an Curved Space-Times– R. Penrose. La mente nueva del emperador.– I. Stewart. Concepts of Modern Mathematics– R. Wald. Espacio,Tiempo y Gravitación– R. Wald. General Relativity

Eventos y Espacio Tiempo

• “suprimir los dibujos es suprimir una poderosa fuente de sugestión...La representación gráfica es esencial para el descubrimiento y el rápido entendimiento....” J.L. Synge

Representaciones gráficas

• Ejercicio: Elabora un diagrama que represente el movimiento de una bola que sube al ser lanzada con la mano y luego baja.

Eventos y líneas de Universo

– Evento: • Gráficamente es un punto del espacio• Físicamente, es “un suceso que tiene lugar en un pequeño

lugar del Universo en un instante del tiempo”– Esto es, algo que sucede en algún lugar del Universo en un momento

del tiempo dado.

– Un diagrama ayuda a resumir la relación entre eventos del espacio tiempo

El diagrama de espacio tiempo

– Diagrama de espacio-tiempo es un dibujo que representa la historia de un objeto en el Espacio-tiempo.

• En el dibujo el tiempo corre hacia arriba y la posición se describe horizontal

– La historia de una bola que se mueve es una gráfica de posición y tiempo.

– Línea mundial o de universo es una curva en diagrama que representa al conjunto de eventos que experimenta un objeto

Diagrama de espacio tiempo

• Ejemplo: Bola que se mueve verticalmente hacia arriba y luego baja.

Espacio-Tiempo

– Un espacio-tiempo es “el conjunto de todos los posibles eventos en el Universo.

– Es un espacio matemático de 4 dimensiones– No tiene una forma en general– Suponemos que no tiene bordes, por lo que puede ser

infinito o finito.

Ejemplos

● Una regla en reposo

● Un objeto en reposo

● Un objeto moviendose más rápido

● Un objeto en movimiento uniforme recto

Ejemplos

● Una carrera ida i vuelta entre dos corredores

● Una regla en movimiento

● Una masa oscilando en un resorte (oscilador armónico

● Dos corredores

Ejemplos

● Un pulso de luz

● Una persona moviéndose con un oscilador armónico ● Un planeta orbitando alrededor del Sol

Tarea I● Considera en ésta tarea que la velocidad de la Luz es de

c=2.998x108 m/s● A las 9:00 pm tiempo del pacífico del 24 de agosto de

1989, la sonda Voyager II pasó por el planeta Neptuno. Las imágenes del planeta fueron codificadas y enviadas a la Tierra vía microondas. Después de 4hr y 6min las señales llegaron a la Tierra. Las microondas viajan a la velocidad de la Luz.

● Calcula la distancia entre la Tierra y Neptuno.● Haz un diagrama de espacio Tiempo de ésta

situación● En el siglo XXIII una nave estelar deja la Tierra (Evento 1)

y viaja a 95 por ciento la velocidad de la luz, llegando a Próxima Centauri (Evento 2) que está a 4.3 años Luz de la Tierra. Haz un diagrama de espacio tiempo de esta situación

El espacio tiempo aristotélico

EL COSMOS GRECOLATINO

– Escuelas de Pensamiento• Los Jónicos (pre-socráticos): Predominio de la geometría y la medición

física• Los Filósofos (Sócrates, Platón y Aristóteles): predomino de la razón

– Las ideas filosóficas superan a las ideas físicas.

El espacio y tiempo de Aristóteles

– Espacio• Todo cuerpo sensible está su naturaleza en algún sitio del Universo.

(Física. Libro 3, 205a:10)

– Tiempo• Tiempo es la numeración del movimiento continuo. (Física, libro 4,

223b:1)

¿Geocentrismo o Heliocentrismo?

– Geocentrismo, escuela Filosófica– Heliocentrismo, escuela Jónica.

Universo de Ptolomeo

– Vencedor por unos siglos (I a.C. Al XVII d.C.)– El Sol, los planetas y las estrellas giran alrededor de la Tierra,

pero NO siguen círculos perfectos • Epiciclos y deferentes

– Universo supralunar: Perfecto• Sujeto a leyes celestes

– Universo infralunar: imperfecto• Sujeto a leyes Terrestres

Propiedades del espacio tiempo de Aristóteles

– Es un “cubo 4-Dimensional”– Se compone de “planos 3-dimensionales horizontales” que

representan el espacio en un mismo instante de tiempo– Líneas “verticales” representan una posición fija en cualquier

instante del tiempo.

El espacio y el tiempo para un evento

– Eventos simultáneos: • son eventos en el mismo

plano horizontal que coinciden en el tiempo (mismo valor de t)

• Al mismo tiempo

– La posición x de un evento

• se determina por la sombra del evento sobre el plano horizontal con t=0

• En el mismo lugar

Intervalos de tiempo– Separación entre los dos planos de simultaneidad de los

eventos• Intervalo temporal • Lapso de tiempo• Distancia temporal

Distancia entre eventos

• Separación entre la proyección de dos eventos sobre el mismo plano horizontal

Ejercicios

● Determina la posición y el tiempo para los cada uno de los siguientes eventos

● Ubica en el diagrama de espacio tiempo los siguientes eventos G(30,40), H(25,10), I(10,10)

● Agrupa los eventos de los ejercicios 1 y 2 en aquellos que sean simultáneos.

● Agrupa los eventos de los ejercicios 1 y 2 en aquellos que coincidan en espacio.

● Calcula el lapso de tiempo entre los eventos ● AB, AC y AE

● Calcula el intervalo espacial entre los eventos ● AB, AC y AE

El reposo absoluto

– El reposo es el estado natural de movimiento de los objetos terrestres.

• Si algo se mueve es porque “algo” lo hizo moverse

• Si quien lo hace moverse desaparece entonces el objeto se detiene.

El “motor primigenio”

– Hay un motor primario que nadie mas lo mueve pero que es el origen último de cualquier movimiento

• Debe estar en reposo absoluto• En el espacio tiempo su línea mundial es siempre una línea

vertical• Esta línea mundial es la referencia desde la cual se describe

cualquier tiempo, posición y movimiento.

Leyes de Aristóteles

– Ley de inercia– El estado natural de movimiento es el reposo– Segmentos de línea mundial vertical

– Ley de movimiento– La fuerza es proporcional a la velocidad F=mv– Segmentos de línea recta inclinada

– Ley de gravitación– Los objetos más pesados caen más rápido que los objetos más ligeros– De dos líneas mundiales rectas, el objeto que tiene mayor masa es el

más cercano al eje x.

Cosmos Aristotélico

– Versión espació tiempo• Tierra: Linea mundial vertical que para por el centro del cubo 4D,• Cuerpos celestes (luna y planetas): Líneas mundiales en espiral que

suben en la misma dirección con inclinaciones diferentes y separadas de la tierra según la distancia a la Tierra

• En la “orilla” del cubo suben las espirales por las que se mueven las estrellas.

El espacio tiempo de Galileo

Problemas de la teoría de Aristóteles

● ¿Quién mueve a una flecha cuando es lanzada?● La velocidad de caída de los objetos no es constante

Galileo Galilei

● Observaciones● 1572-74 aparición de una Nova.

● Entonces los astros no son estables ni eternos● Las montañas y valles en la Luna, las manchas del Sol.

● Entonces los astros no son esferas perfectas● Las lunas de Júpiter.

● Entonces hay muchos centros en el Universo.● Nuevas estrellas vistas con el telescopio.

● Entonces es mucho mas grande el Universo que a simple vista. ● Dialogos Concernientes a dos grandes sistemas del mundo

● Plantea la idea de inercia y pone en duda las leyes de movimiento de Aristóteles● Plantea principio de relatividad.

Inercia● Considerando que

● Si un objeto al caer por una rampa incrementa su velocidad constantemente, es por que una fuerza lo empuja

● Si un objeto al subir una rampa decrementa su velocidad es porque una fuerza lo detiene.

● Entonces concluimos● Un objeto que se mueve con cierta velocidad sobre una superficie

plana y lisa, no debe de sufrir cambios de velocidad, pues no hay causa alguna para retardar o acelerar su movimiento y menos para detenerlo.

Principio de relatividad

● Las leyes de la física son las misma para sistemas en movimiento a velocidad constante.● Entonces cualquier experimento mecánico que se realice en

reposo debe comportarse del mismo modo si se repite en un sistema en movimiento uniforme rectilíneo

¿Qué significa esto?

● Existe una clase de movimientos calificados como “no acelerados” o “inerciales” y que son equivalentes entre sí.● Estos movimientos son “absolutos” o “universales”● La posición en el espacio es “relativa” o “local”, depende del

observador

Ejercicio

● Supongamos que viajas en un avión. A las 12:00, te levantas de tu asiento y vas a platicar con un amigo unas cuantas filas frente a tí. A las 12:15, regresas a tu asiento.

● 1. Construye el diagrama de espacio tiempo desde tu punto de vista en el avión.

● 2. Entre el evento A (cuando te levantas de tu asiento) y en evento B (cuando regresas a tu asiento) ¿qué distancia hay?

● 3. El avión viaja a 10 km/min, y una persona que se encuentra sobre la tierra te observa. Construye el diagrama de espacio tiempo desde el punto de vista de la persona en la tierra. Ubica los eventos A y B.

● 4.¿Qué distancia dice el observador en tierra que hay entre los eventos A y B?

El espacio tiempo según Galileo

● Pila de planos.● Las mediciones de distancia dependen del movimiento del

observador.● No existe reposo absoluto. No existe línea vertical absoluta.

● El observador A dice que es su línea vertical pero B dice que la suya es vertical.

Transformación de Galileo

● Un evento A es el mismo para dos observadores inerciales O y O' pero no coinciden en el lugar del espacio en que ocurre, la transformación de Galileo permite establecer la equivalencia entre estos valores.

● t=t'; x=x'+vt'● Se puede visualizar como un deslizamiento de los planos que

cambia la alineación de los eventos.

Lapso de tiempo

● Sigue siendo la separación entre los dos planos en que descansan los eventos

● Los eventos simultáneos son absolutos● Al ser la transformación de Galileo un deslizamiento de los planos

horizontales, si dos eventos están sobre el mismo plano, con la transformación seguirán estando en el mismo plano.

Distancia

● La proyección de los eventos sobre un plano horizontal se sigue mediante una paralela a la línea de universo del observador.

● La distancia entre dos eventos es relativa al observador ● La distancia entre dos eventos simultáneos es absoluta

Implicaciones

● No hay límite en la rapidez con que puede moverse un observador u otro objeto material● Cualquiera dos eventos no simultáneos pueden ser alcanzados

por un observador inercial.● Las superficies de simultaneidad son absolutas.

● El presente es una superficie de simultaneidad● El Pasado es cualquier evento “abajo” de la superficie presente● El Futuro es cualquier evento “arriba de la superficie presente

Newton

● Leyes mecánicas de movimiento● Ley de inercia: Observador inercial, libre de fuerzas y con MUR● Ley de movimiento: a=F/m

● Ley de Gravitación Universal● F=G(Mm)/r2

Newton (Geométrico)

● Ley de inercia: Las líneas rectas no horizontales son objetos moviéndose a velocidad constante libres de fuerza

● Ley de movimiento: Lineas curvadas son objetos sujetos a fuerzas● Objetos bajo fuerzas constante son parábolas congruentes para

todo observador inercial. (Ana Alin González. Problema Eje 2007)● La curvatura de una línea es una cantidad conservada en una

trasformación de Galileo (Propuesta para problema eje)

Espacio Tiempo Pre-relativista

● Supuestos clave:● Principio de relatividad Galileo

● Existen observadores inerciales con carácter Universal, todos en movimiento relativo y ninguno en reposo absoluto

● Mismas leyes para todos los observadores inerciales● No hay límite de velocidad.

● Cualquiera dos eventos A y B no simultáneos, hay un observador inercial que pasa por A y B

● Geometría Euclidiana● Describe las relaciones espaciales entre eventos

● La velocidad entre dos observadores inerciales es uniforme

En conclusión

● La distancia entre dos eventos simultáneos es Universal.● El lapso de tiempo entre dos eventos es Universal● Las superficies de simultaneidad son Universales● Los observadores inerciales definen líneas rectas

Electrodinámica de Maxwell

Actividad

● Lee el artículo ● “El annus mirabilis de Einstein(III)- ¿Por qué se mueve la aguja de una brújula?” de Octavio

López Coronado en www.caosyciencia.com de 09-06-2006● Responde a las preguntas

● En el tercer párrafo se describe un ejemplo que ilustra la incompatibilidad del Electromagnetismo con el principio de relatividad de Galileo. Explica ¿por qué es así?

● ¿Que trabajo publica Einstein en septiembre de 1905?● ¿Cuáles son los postulados básicos de ese trabajo?● ¿Con esos postulados que resultados obtuvo?● Cuando aplica las ecuaciones de transformación a la electrodinámica, ¿qué resultados obtiene?

Newton vs. Maxwell

● Newton:● Acción a distancia

● Partículas que interaccionan gracias a fuerzas que actúan a distancia● Faraday (1820)

● Campo● Los campos son “sustancia” física real que llenan el espacio, incluso el

vacio, capaz de trasportar energía

Campo

● Visión clásica● Un campo llena todo el espacio de vectores de campo los cuales pueden

cambiar con el tiempo● Visión Espacio-Tiempo

● Los vectores de campo descansan (son tangentes) sobre superficies de simultaneidad

● El arreglo de los vectores cambia entre diferentes planos de simultaneidad

Ecuaciones de Maxwell

● Ley de Ampere● Las variaciones del campo eléctrico producen campos magnéticos

y corriente eléctrica● Ley de Faraday

● Las variaciones del campo magnético producen campo eléctrico● Ley de Gauss (Coulomb)

● Los campos eléctricos se producen de distribuciones de carga eléctrica.

● Ley de no monopolo magnético● No existen cargas magnéticas.

Consecuencias

● Los campos eléctrico y magnético se “empujan” a través del espacio vació (onda)

● Se propaga a Velocidad de la luz● Explican la naturaleza de la luz● Explican interferencia y polarización de la luz● Predicen la existencia de luz en otras longitudes de onda

● Hertz las encuentra en 1888

Problemas en el Espacio-tiempo

Actividad

● Ejercicio● Elabora en un solo diagrama de espacio tiempo de la siguiente

situación● Un observador O1, en reposo emite un pulso de luz cuando se cruza

(evento A) con otro observador inercial O2 . Dibuja las líneas de universo de O1, O2 y del cono de luz

● Dibuja la misma situación pero desde el punto de vista en que O2 está en reposo

Relatividad especial

● Espacio Tiempo de Einstein-Minkowsky

Contexto Histórico

● Hertz. Muestra la existencia de ondas electromagnéticas● Michelson y Morley no encuentran cambios en la velocidad

de la luz● Einstein 1905

● Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento

Caída de la simultaneidad

● Caso El tren de Einstein

Conclusión:

● Dos eventos simultáneos para un observador inercial no lo son para otro.

Implicaciones

● La simultaneidad no es absoluta● Eliminar las superficies (planos) de simultaneidad absoluta

de nuestra imagen del espacio tiempo● Cambiar estructura causal del espacio tiempo● Construir formas de medir tiempo y distancia que permitan

● Constancia de la velocidad de la luz y velocidad máxima la de la luz

Cambios

● Supuesto ii) por ● Ii') La velocidad de la luz es la misma para todos los

observadores inerciales, independientemente del estado de movimiento de la fuente de luz

Introducción al Cono de Luz

● Cada evento del espacio tiempo tiene un cono doble como en la figura.● Los conos determinan una estructura causal para cada evento

● Futuro: Eventos en el interior del cono “superior”● Presente:Solo el evento● Futuro: Los eventos dentro del cono “inferior”● Los eventos “sobre” el cono de luz están relacionados lumínicamente

Ejercicios

● Determina si los eventos están en el futuro o en el pasado

Medidas

● Caso 1. Eventos relacionados lumínicamente.

Medidas

● Caso 2. Evento dentro del cono de luz futuro● Caso 3. Evento Fuera del cono de luz

Medidas

● La construcción hecha no depende del observador inercial.

Ejercicio

● Elabora el caso de que el eventos esté en el pasado

Ejes de coordenadas

● para un observador O

Ejes de coordenadas

● para un observador O' en movimiento rectilíneo respecto a O

El intervalo espacio temporal

● También llamado métrica● Es una cantidad universal