EJE

DE

SIM

ET

RÍA

FIGURA CONSTRUIDA CON ENLACES DE CIRCUNFERENCIAS Y RECTAS

Fíjate en cómo se han enlazado estas circunferencias y curvas. Recuerda que el signo significaque hay dos rectas que deben formar noventa grados entre sí (los ángulos donde no aparece estesímbolo no son rectos, aunque lo parezcan. Comenzaremos por hacer esta parte en una lámina, utilizando el compás para trasladar las medidas ampliadas.

EL DIBUJO ESTÁ REALIZADO A ESCALA 3:4. APLICAR A ESTAS MEDIDAS LA ESCALA4:3 PARA RESTITUIR LAS MEDIDAS ORIGINALES DEL OBJETO, COMENZANDO POR EL EJEY MANTENIÉNDOLO CENTRADO. PARA ENCONTRAR LOS PUNTOS DE TANGENCIA, HAY QUE TRASLADAR LOS ÁNGULOS QUE FORMAN LOS RADIOS ENTRE SÍ.

E=3:4

EJE

DE

SIM

ET

RÍA

E=3:4

COPIA INICIAL (IMPRIMIR)

3 c

m 4 c

m

V

P a r a p a s a r e l d i b u j o a e s c a l a 3 : 4 , c o n s t r u i m o s u n a e s c a l a g r á f i c a e n u n a

h o j a a p a r t e , d i b u j a n d o u n a r e c t a h o r i z o n t a l y p o r u n o d e s u s e x t r e m o s u n a

p e r p e n d i c u l a r . D e s d e l a h o r i z o n t a l , t r a z a m o s m á s o m e n o s a l a a l t u r a q u e

s e v e n d o s s e g m e n t o s v e r t i c a l e s , u n o q u e m i d a 3 c m y o t r o d e 4 c m , e s t e

ú l t i m o s o b r e l a v e r t i c a l p r i m e r a d i b u j a d a . E s t o s s e g m e n t o s t i e n e n q u e s e r

p a r a l e l o s e n t r e s í , y e s t a r l o s u f i c i e n t e m e n t e j u n t o s c o m o p a r a q u e a l u n i r

s u s e x t r e m o s A y B y p r o l o n g a r e s a r e c t a , e l p u n t o d o n d e c o r t a a l a

h o r i z o n t a l ( v é r t i c e V ) n o s e n o s s a l g a d e l a h o j a .

HOJA APARTE

ESCALA GRÁFICA E 4:3

A

B

3 c

m 4 c

m

V

HOJA APARTE

ES

CA

LA

GR

ÁF

ICA

E 4

:3Compás

Se une el vértice V con la marca hecha con el compás en la recta vertical que tiene la marca de

3 cm, y se prolonga hasta la recta de la derecha, donde nos sale la medida ampliada a 4:3, que

es la que tenemos que utilizar en nuestra lámina.

(ME

DID

AS

AM

PL

IAD

AS

)

1.

2.

CÓMO AMPLIAR LAS MEDIDAS QUE TOMEMOS EN NUESTRA HOJA DE

COPIA INICIAL PARA PASARLAS A NUESTRA LÁMINA DE DIBUJO.

S o b r e e s t a r e c ta ( l a d e la m a r c a d e 3 c m ), s e t o m a n c o n e l

c o m p á s la s m e d id a s d e l a c o p ia in ic ia l , d e s d e e l p ie d e la

p e r p e n d i c u l a r .

Pie de la perpendicular (donde dos perpendiculares se cortan)

ENLACES Y TANGENCIAS

DIBUJAMOS EL MARGEN Y EL CAJETÍN

ENLACES Y TANGENCIAS

ENLACES Y TANGENCIAS

ENLACES Y TANGENCIAS

ENLACES Y TANGENCIAS

ENLACES Y TANGENCIAS

EJE

DE

SIM

ET

RÍA

E :=3 4

COPIA INICIAL

E n la c o p i a in ic ia l , t o m a m o s c o n e l c o m p á s la d is t a n c ia e n t r e e l p i e d e la

p e r p e n d i c u l a r a l e je m á s b a jo y e l m á s a lt o (e s o n o s d a la a l t u r a d e la

p ie z a ).

3 c

m 4 c

m

V

HOJA APARTE

ES

CA

LA

GR

ÁF

ICA

E 4

:3(M

ED

IDA

S A

MP

LIA

DA

S)

Trasladamos esa medida sobre la esta recta

N UESTRA ES CA LA GRÁ FICA

3 c

m 4 c

m

V

HOJA APARTE

ES

CA

LA

GR

ÁF

ICA

E 4

:3(M

ED

IDA

S A

MP

LIA

DA

S)

Y la ampliamos

V

HOJA APARTE

Tomando más de la mitad de la medida, trazamos dos arcos a la izquierda

para dibujar la mediatriz de ese segmento.

V

HOJA APARTE

V

HOJA APARTE

V

HOJA APARTE

V

HOJA APARTE

V

HOJA APARTE

Tomamos una de las mitades resultantes

ENLACES Y TANGENCIAS

Y la llevamos desde el punto central del eje, arriba y abajo, sobre el

mismo.

ENLACES Y TANGENCIAS

ENLACES Y TANGENCIAS

ENLACES Y TANGENCIAS

ENLACES Y TANGENCIAS

EJE

DE

SIM

ET

RÍA

E=3:4

COPIA INICIAL

Tomamos con el compás la medida que va desde al eje hasta el primer

punto de tangencia, sobre la horizontal más alta del dibujo en la hoja de

copia.

ENLACES Y TANGENCIAS

Y una vez ampliada en nuestra escala gráfica la llevamos sobre la

correspondiente recta en nuestra lámina (siempre con el compás).

ENLACES Y TANGENCIAS

ALINEAR CON ESTA RECTA

ENLACES Y TANGENCIAS

Trazamos una recta perpendicular por el punto marcado.

ENLACES Y TANGENCIAS

So bre es a p erpen dicular llevam o s la m edida d el radio d e la pr im era

c ircu nferencia de nu es tra co pia , la m ás pequ eña, desp ués d e h ab er la

am pliado en nu estra esca la g rá fica (esa m ed ida aum entad a se lleva

pin ch an do co n el co m pás en el p unto de corte de las do s

perpendiculares). La p erpend icu lar vertica l deb e tam bién am pliarse hacia

arrib a.

ENLACES Y TANGENCIAS

Dibujamos la primera circunferencia, que debe ser tangente a la horizontal

de arriba.

E=3:4

COPIA INICIAL

P r o l o n g a m o s e n l a h o j a d e c o p i a e l r a d i o

v e r t i c a l d e l a c i r c u n f e r e n c i a p e q u e ñ a h a c i a

a r r i b a , p a r a p o d e r t r a b a j a r m e j o r , y a q u e

t e n e m o s q u e c o p i a r e n n u e s t r a l á m i n a e l

á n g u l o q u e f o r m a n l o s d o s r a d i o s e n a z u l .

E=3:4

COPIA INICIAL

1

2

P a r a c o p i a r e s t e á n g u l o , d i b u ja m o s p r i m e r o

u n a r c o q u e c o r t e a l a s d o s p r o l o n g a c i o n e s

d e l o s r a d i o s , c o n l a a b e r t u r a d e c o m p á s q u e

n o s r e s u l t e m á s c ó m o d a . N o s f i ja m o s e n l o s

p u n t o s d e c o r t e 1 y 2 . E s t e a r c o t i e n e c o m o

c e n t r o e l v é r t i c e d e l á n g u l o q u e v a m o s a

c o p i a r .

ENLACES Y TANGENCIAS

1’

Con la misma abertura de compás, dibujamos un arco igual en nuestra

lámina, haciendo centro en el vértice del que será nuestro ángulo copiado,

y señalamos el punto de corte con la prolongación del radio vertical (el

único que tenemos).

E=3:4

COPIA INICIAL

1

2

A h o r a , e n n u e s t r a h o j a d e c o p i a ,

t o m a m o s c o n e l c o m p á s l a d i s t a n c i a

q u e h a y e n t r e l o s p u n t o s 1 y 2 ( c u e r d a

e n e s t e a r c o ) .

ENLACES Y TANGENCIAS

1’

Y llevamos esa distancia (cuerda) desde el punto 1’ hasta que corte al arco

que teníamos dibujado, obteniendo el punto 2’.

2’

ENLACES Y TANGENCIAS

1’

2’

Trazando una recta que una el vértice del ángulo con el punto

2’, hemos copiado el ángulo.

E=3:4

En nuestra hoja de copia, tomamos con el

compás el radio de la siguiente circunferencia

ENLACES Y TANGENCIAS

T

Y después de ampliarlo en nuestra escala gráfica, lo llevamos sobre el lado

del ángulo copiado, desde el punto T, que será el de tangencia entre las

dos circunferencias.

ENLACES Y TANGENCIAS

T

Haciendo centro en la marca anterior y con el mismo radio, dibujamos la circunferencia, que

tocará a la anterior en el punto T.

E=3:4

A h o r a d e b e m o s c o p i a r e l á n g u l o

q u e f o r m a n l o s r a d i o s m a r c a d o s

e n a z u l , p a r a s e g u i r c o n n u e s t r o

d i b u j o .

E=3:4

1

2

R e c o r d a m o s c ó m o s e h a c e : c o n

c e n t r o e n e l v é r t i c e d e l á n g u l o

q u e v a m o s a c o p i a r , t r a z a m o s

u n a r c o y n o s f i j a m o s e n l o s

p u n t o s e n q u e c o r t a a l o s l a d o s

d e l á n g u l o , p u n t o s 1 y 2 . L a

a b e r t u r a d e l c o m p á s e s l a q u e

m á s c ó m o d a n o s r e s u l t e .

ENLACES Y TANGENCIAS

1’

Sin cambiar la abertura de compás elegida, hacemos un arco igual en

nuestra lámina, y nos fijamos en el punto de corte de este arco con el

único lado del ángulo que tenemos por el momento, 1’.

E=3:4

1

2

E n n u e s t r a c o p ia in ic ia l,

t o m a m o s c o n e l c o m p á s l a

d is ta n c ia e n t r e lo s p u n t o s 1 y 2 .

ENLACES Y TANGENCIAS

1’

Con esa abertura de compás, hacemos centro en el punto 1’ de nuestra

lámina, y trazamos un arco que corte al primero. Ese punto de corte es 2’.

2’

ENLACES Y TANGENCIAS

1’

Uniendo el centro del arco inicial con el punto 2’, hemos copiado el

ángulo. Prolongamos este segundo lado del ángulo que pasa por 2’ hasta

que corte a la circunferencia.

2’

ENLACES Y TANGENCIAS

RALINEA CON ESTE RADIO

A h o r a v a m o s a t r a z a r l a r e c t a t a n g e n t e a e s t a

c ir c u n f e r e n c ia p o r e l p u n t o d e c o r t e d e la

m is m a c o n e l r a d io d e a b a jo . C o m o s a b e m o s

q u e e s a r e c t a t a n g e n t e d e b e s e r

p e r p e n d i c u l a r a l r a d io , a l in e a m o s c o n é l c o n la

e s c u a d r a .

ENLACES Y TANGENCIAS

D esliza m os la escu ad ra sin de ja r qu e se m ueva el ca rtab ón h asta qu e

vea m os e l pun to d e co rte (p ie de la per pend icu lar ), sujeta m os la esc ua dra ,

y d ibu jam os co n e l otr o c ateto , co n e l qu e no a linea m os an tes, la r ecta

per pendicular a l ra dio, que es ta ng en te a la c irc unferenc ia en e l pu nto

e legid o (extr em o d el rad io) .

ENLACES Y TANGENCIAS

Sobre la tangente dibujada llevamos la distancia que hay entre los puntos de tangencia de esta

recta con las circunferencias (los pies de las perpendiculares que se ven en nuestra hoja de

copia, o sea, los extremos de los radios de las dos circunferencias), acordándonos de ampliar

primero esa distancia en nuestra escala gráfica.

ENLACES Y TANGENCIAS

Dibujamos una perpendicular a la recta anterior por la marca que

acabamos de hacer.

ENLACES Y TANGENCIAS

Sobre la perpendicular y con el compás llevamos la medida del radio de la siguiente

circunferencia, tomada en la copia inicial y ampliada en nuestra escala gráfica.

ENLACES Y TANGENCIAS

Con la misma abertura de compás hacemos centro en la marca recién hecha, y trazamos la

circunferencia, que será tangente a la recta.

ENLACES Y TANGENCIAS

Utilizando el mismo método que en los casos anteriores, copiamos el ángulo que forman los

radios que vemos en azul. Se toma de la hoja de copia inicial y se traslada a nuestra lámina. El

segundo lado del ángulo obtenido se prolonga bastante, fuera de la circunferencia.

ENLACES Y TANGENCIAS

Desde el nuevo punto T de tangencia, llevamos con el compás la medida del radio de la

siguiente circunferencia, tomada de la hoja de copia inicial y ampliada en nuestra escala

gráfica.

T

ENLACES Y TANGENCIAS

Haciendo centro en la última marca obtenida, y sin cambiar la abertura del compás, dibujamos

la circunferencia, que será tangente a la anterior en el punto T.

T

ENLACES Y TANGENCIAS

Dibujamos el siguiente radio, copiando el ángulo que éste forma con el que ya tenemos. Ya

sabemos cómo hacer esto.

ENLACES Y TANGENCIAS

P o r e l e x t r e m o d e l r a d i o , d i b u j a m o s u n a

p e r p e n d i c u l a r , q u e s e r á l a r e c t a t a n g e n t e a l a

c i r c u n f e r e n c i a , y s o b r e e l l a t r a s l a d a m o s , c o m o

h i c i m o s a n t e s ( p á g . 4 8 ) , l a m e d i d a e n t r e l o s p u n t o s

d e t a n g e n c i a t o m a d a d e n u e s t r a h o j a d e c o p i a

i n i c i a l y a m p l i a d a e n l a e s c a l a g r á f i c a .

ENLACES Y TANGENCIAS

P o r e l e x t r e m o d e l r a d i o , d i b u j a m o s u n a

p e r p e n d i c u l a r , q u e s e r á l a r e c t a t a n g e n t e a l a

c i r c u n f e r e n c i a , y s o b r e e l l a t r a s l a d a m o s , c o m o

h i c i m o s a n t e s ( p á g . 4 8 ) , l a m e d i d a e n t r e l o s p u n t o s

d e t a n g e n c i a t o m a d a d e n u e s t r a h o j a d e c o p i a

i n i c i a l y a m p l i a d a e n l a e s c a l a g r á f i c a .

ENLACES Y TANGENCIAS

Por la marca recién hecha, dibujamos otra

perpendicular hacia abajo, y desde el vértice del

ángulo recto (pie de la perpendicular), llevamos la

medida del radio de la última circunferencia, una

vez tomada de de tangencia tomada de nuestra

hoja de copia inicial y ampliada en la escala

gráfica.

ENLACES Y TANGENCIAS

Dibujamos la última circunferencia, y

trazamos un radio vertical hacia abajo

(paralelo al eje). Desde el extremo de

ese radio vertical, dibujamos una recta

tangente a la circunferencia, que será

horizontal, es decir, perpendicular al

eje, y la prolongamos hasta que corte a

este último.

E=3:4

A PARTIR DE ESTA PÁGINA, EL DIBUJO ESTÁ REPRESENTADO A UNA

ESCALA MENOR Y SIN MARGEN, PERO ESTO NO DEBE AFECTAR AL

EJERCICIO QUE HACEMOS EN LA LÁMINA, QUE SIGUE CON LAS MEDIDAS

AMPLIADAS. ES DECIR, ESTE DIBUJO REPRESENTA A PARTIR DE AHORA

NUESTRA LÁMINA.

Trazamos perpendiculares al eje de simetría desde todos los centros de las

circunferencias, y los prolongamos al otro lado del mismo.

E=3:4

A A’

B

B’

Hallamos los simétricos de los centros de las circunferencias, pinchandocon el compás en el punto de corte de la perpendicular al eje con el mismo,tomando la distancia desde este punto al punto original y trasladándoloal lado opuesto del eje, siempre sobre la perpendicular al eje dibujada.

E=3:4

A A’

B

B’

C C’

DD’

EE’

NO HACE FALTA DIBUJAR LOS ARCOS COMPLETOS

E=3:4

A A’

B

B’

C C’

DD’

EE’

Dibujamos las circunferencias simétricas de las de centros B y C, con el mismo radioque las originales.

E=3:4

A A’

B

B’

C C’

DD’

EE’

Radio de B’+ radio de C’

Va m os a tra za r una r ecta ta ng en te c om ún in ter ior a la s cir cun feren cia s d e

c en tros B ’ y C’ . Par a e llo d ibujam os u n r ad io en la ci rcu nfer enc ia de c entro

C’, y lo pro lo nga m os p ar a a ña dir so bre é l la m edida de l r adio de la

c ircu nferenc ia de cen tro B ’. Un a vez sum a dos lo s rad ios, tr aza m os la

c ircu nferenc ia d e centr o C ’ y ra dio la sum a de dich os ra dio s.

Así se s uman do s radio s

E=3:4

A A’

B

B’

C

C’

DD’

EE’

Un imo s B ’ y C ’ po r med io d e un seg mento .

E=3:4

A A’

B

B’

C

C’

DD’

EE’

Mediatriz de B’ C’M

Trazando la mediatriz del segmento B’ C’ podemos hallar su punto medio M.

E=3:4

A A’

B

B’

C

C’

DD’

EE’

M

Dibujar la circunferencia de centro M y diámetro B’ C’, y marcar el punto N, donde estacircunferencia corta a la anterior, de centro C’ y radio rB’ + rC’.

N

E=3:4

A A’

B

B’

C

C’

DD’

EE’

M

N

Trazamos la recta que une los puntos B’ y N, que es tangente a la circunferencia mayoren el punto N.

E=3:4

A A’

B

B’

C

C’

DD’

EE’

NP

Q

Por los puntos B’ y N trazamos dos perpendiculares a la recta que los une, perpendicularesque cortan a las circunferencias de centros B’ y C’ en los puntos P y Q.

E=3:4

A A’

B

B’

C

C’

DD’

EE’

NP

Q

Unimos los puntos P y Q, mediante una recta que debe ser paralela a la quedefinen los puntos B’ y N, y además será tangente a las circunferencias enlos referidos puntos P y Q.

A

B

B’

C C’

DD’

EE’

E=3:4

A A’

B

B’

C

DD’

EE’

T

Para completar la parte simétrica de la figura, dibujamos las circunferencias simétricasde las originales. Para la circunferencia marcada en azul, primero unimos los centrosC’ y D’ por medio de un segmento, que corta a la circunferencia de centro C’ en el punto Tde tangencia. Haciendo centro en D’ con el compás, lo abriremos hasta el punto T paradibujar la circunferencia en azul. Hacemos lo mismo para dibujar la circunferencia de centro A’. Desde A’ y desde E’ dibujamos radios verticales, que deben cortar a lasrectas horizontales más alta y más baja en los puntos de tangencia TA’ y TE’.

TE’

TA’

E=3:4

A

B

B’

C C’

DD’

E=3:4

A A’

B

B’

C

DD’

E E’

Repetimos el procedimiento de trazado de tangentes comunes interiores

con las circunferencias de centros D’ y E’.

E=3:4

A

B

B’

C C’

DD’

E=3:4

A A’

B

B’

C

DD’

E E’

Repetimos el procedimiento de trazado de tangentes comunes interiores

con las circunferencias de centros D’ y E’.

E=3:4

A

B

B’

C C’

DD’

E=3:4

A A’

B

B’

C

DD’

E E’

Repetimos el procedimiento de trazado de tangentes comunes interiores

con las circunferencias de centros D’ y E’.

E=3:4

A

B

B’

C C’

DD’

E=3:4

A A’

B

B’

C

DD’

E E’

Repetimos el procedimiento de trazado de tangentes comunes interiores

con las circunferencias de centros D’ y E’.

E=3:4

A

B

B’

C C’

DD’

E=3:4

A A’

B

B’

C

DD’

E E’

Repetimos el procedimiento de trazado de tangentes comunes interiores

con las circunferencias de centros D’ y E’.

E=3:4

A

B

B’

C C’

DD’

E=3:4

A A’

B

B’

C

DD’

E E’

Repetimos el procedimiento de trazado de tangentes comunes interiores

con las circunferencias de centros D’ y E’.

E=3:4

A

B

B’

C C’

DD’

E=3:4

A A’

B

B’

C

DD’

E E’

R e p e t i m o s e l p r o c e d i m i e n t o d e t r a z a d o d e t a n g e n t e s c o m u n e s i n t e r i o r e s

c o n l a s c i r c u n f e r e n c i a s d e c e n t r o s D ’ y E ’ . A u n q u e a q u í s e b o r r e n t r a z a d o s ,

e n n u e s t r a l á m i n a n o b o r r a r e m o s n a d a h a s t a h a b e r t e r m i n a d o e l d i b u j o y

h a b e r h e c h o u n a f o t o c o p i a .

E=3:4

Una vez completado el dibujo, hacemos una fotocopia del mismo para tener presentes todos los trazados auxiliares que hemos utilizado. En nuestra lámina de dibujo, repasamos con elrotulador calibrado, el compás y el adaptador las líneas enlazadas que componen el contor-no del objeto, borrando después todo lo demás. Por último, sombreamos o coloreamos el re-sultado.