Post on 10-Jan-2015
Euler - Matemáticas ITema:
13 1Tendencia y continuidad de funciones
Final
Límite finito en el infinito
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
-1000 2000 5000 8000 11000 14000
X
Y
Se considera la función f(x) = 5000x / (x + 1000), x 0. Su comportamiento cuando x toma valores cada vez mayores es el siguiente:
x 102 103 104 105 106 107 108 109
f(x) 454,5454 2500,0000 4545,5455 4950,4959 4995,0050 4999,5001 4999,9500 4999,9950
El límite de una función cuando x tiende a infinito es L si los valores de la función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente grande.
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13 2Tendencia y continuidad de funciones
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
-1 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
X
Y
Final
Límite infinito en el infinito
Se considera la función f(x) = x2. Su comportamiento cuando x toma valores cada vez mayores es el siguiente:
x 102 103 104 105 106 107 108 109
f(x) 104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018
El límite de una función cuando x tiende a infinito es infinito si los valores de la función se hacen tan grandes como se quiera al hacer x suficientemente grande.
Dado un número L, por grande que sea, siempre
podemos conseguir que la función se coloque por
encima de la recta horizontal y = L
y = L
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13 3Tendencia y continuidad de funciones
FinalAlgunas definiciones de límite de una función en el infinito
El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es L si para todo número > 0 se tiene |f(x) - L| < si x > K, donde K debe ser elegido en función de .
x lim f(x) = L
El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número L se tiene f(x) > L si x > K, donde K debe ser elegido en función de e.
El límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es L si para todo número > 0 se tiene |f(x) - L| < e si x < K, donde K debe ser elegido en función de e.
El límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es menos infinito si para todo número L se tiene f(x) < L si x < K, donde K debe ser elegido en función de e.
x -lim f(x) = -
x lim f(x) =
x lim f(x) = L
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13 4Tendencia y continuidad de funciones
Final
Aproximación a un punto. Concepto de límiteSe considera la función f(x) = (x2 – 1)/(x – 1). Su comportamiento cuando x toma valores cada vez más próximos a 1, pero mayores que 1 es el siguiente:
El límite de una función cuando x tiende a p por la derecha es L si los valores de la función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente próximo a p, con valores mayores que p.
x 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 1,0000001x – 1x2–1
2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,0000001
El comportamiento de la función anterior cuando x toma valores cada vez más próximos a 1, pero menores que 1 es el siguiente:
x 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 0,999999x – 1x2–1
1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999
El límite de una función cuando x tiende a p por la izquierda es L si los valores de la función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente próximo a p, con valores menores que p.
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13 5Tendencia y continuidad de funciones
Final
Definición de límite de una función en un punto
El límite de f(x) cuando x tiende a p por la izquierda es L si para todo número > 0 se tiene |f(x) – L| < si p – < x < p , donde debe ser elegido en función de .Es importante observar que no es necesario que la función esté definida en p
x p–lim f(x) = L
El límite de f(x) cuando x tiende a p por la derecha es L si para todo > 0 se tiene |f(x) – L| < si p < x < p + , donde debe ser elegido en función de .Es importante observar que no es necesario que la función esté definida en p
El límite de f(x) cuando x tiende a p es L si para todo número > 0 se tiene |f(x) – L| < si |x - p| < , donde debe ser elegido en función de .Es importante observar que una función tiene límite en un punto p si tiene límites por la izquierda y por la derecha en p y ambos coinciden.
x plim f(x) = L
x p+lim f(x) = L
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13 6Tendencia y continuidad de funciones
Final
Ejemplos de límites laterales en un punto de una función
1 2 3 4 5 6
Y
X
3
2
1
0
-1
-2
a) x 0
+lim f(x) = 0; f(0) = 2 b)
x 6–
lim f(x) = 2; f(6) = 0
c) x 3
+lim f(x) = 1; f(3) = 1 d)
x 3–
lim f(x) = 2; f(3) = 1
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13 7Tendencia y continuidad de funciones
Final
Límite infinito en un puntoSe considera la función A(x) = -3/(x - 3). Su comportamiento cuando x toma valores cada vez más próximos a 3 por la derecha y por izquierda es :
x 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999–3x–3
6 30 300 3000 30000 300000
x 3,5 3,1 3,01 3,001 3,0001 3,00001–3x–3
-6 -30 -300 -3000 -30000 -300000
El límite de una función cuando x tiende a p por la (izquierda) derecha es infinito si los valores de la función se hacen tan grandes como se quiera al hacer x suficientemente próximo a p, pero menor (mayor) que p.
X
Y
x –lim f(x) =
x +lim f(x) = –
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13 8Tendencia y continuidad de funciones
Final
Técnicas para el cálculo de límites de funciones
Sean f y g dos funciones tales que x plim f(x) = L y
x plim g(x) = M existen y son finitos:
x plim [f(x)+g(x)] =
x plim f(x) +
x plim g(x) = L + M
x plim [f(x)–g(x)] =
x plim f(x) –
x plim g(x) = L – M
x plim [f(x) . g(x)] = [
x plim f(x) ] . [
x plim g(x) ] = L . M
x plim [cf(x)] = c .
x plim f(x) = c . L, siendo c una constante.
x plim |f(x)| = |L|
x p
lim f(x)g(x) =
x plim f(x)
x plim g(x) =
LM si
x plim g(x) = M 0
x plim [f(x)]b/n = [
x plim f(x) ]
b/n = L b/n si
x plim f(x) = L > 0 y n par y L 0 si b < 0
Estos resultados valen también cuando p es o – , y para límites laterales
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13 9Tendencia y continuidad de funciones
Final
Expresiones determinadas e indeterminadas
Cuando se manejan límites cuyo valor es infinito es necesario tener en cuenta que:
L + = L – = – L . = si L > 0 L . = – si L < 0 L / = 0 + = . = L
= si L > 1 L
= 0 si 0 < L < 1
• Los teoremas anteriores nos permiten el cálculo del límite de la operación de dos funciones, aun sin conocerlas: en este caso se dice que el límite es determinado.
• Cuando no podemos determinar el límite de la operación de dos funciones a priori, siendo necesario conocer las funciones para poder calcularlo, decimos que el límite es indeterminado. Entonces no es posible aplicar ninguno de los teoremas anteriores.
Algunos casos de indeterminación: ,
00 , – , 0 . , 1
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13 10Tendencia y continuidad de funciones
x lim
3 + 3x –
1x3
2 + 8x3
=
Final
Algunos límites indeterminados
x – lim
x2 – 9x + 3 =
x – lim
(x + 3)(x – 3)x + 3 =
x – lim (x – 3) = - 6
x lim
3x3 + 2x2 – 12x3 + 8 =
x lim
3x3 + 2x2 – 1x3
2x3 + 8x3
= 32
x 3lim
x + 6 – 3x – 3 =
x 3lim
( x + 6 – 3)( x + 6 + 3)(x – 3)( x + 6 + 3)
=
= x 3lim
x – 3(x – 3)( x + 6 + 3)
= 16
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13 11Tendencia y continuidad de funciones
Final
Continuidad. Puntos de discontinuidad
Una función f es continua en un punto p de su dominio si se cumple que x plim f(x) = f(p)
Si no existe el límite o es diferente de f(p) se dice que f es discontinua
• (p, f(p))
p
f(p)
p p
Discontinua en p:
x plim f(x) f(p)
Continua en p:
x plim f(x) = f(p)
Discontinua en p:
No existe x plim f(x)
Una función es continua en un intervalo I = (a, b) si I está en el dominio de f y f es continua en todos los puntos del intervalo I
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13 12Tendencia y continuidad de funciones
Final
Asíntotas verticales
La recta x = p es una asíntota vertical de la función f(x) si el límite de la función cuando x tiende a p, por la derecha o por la izquierda, es infinito o menos infinito
La recta x = 1 es asíntota vertical de la función y = x + 1x – 1
x = 1
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13 13Tendencia y continuidad de funciones
Final
Comportamiento en torno a la asíntota vertical
x p–lim f(x) = – 1
x p+lim f(x) = –
x p–lim f(x) = +
x p+lim f(x) = –
x p–lim f(x) = +
x p+lim f(x) = 3
p
x p–lim f(x) = –
x p+lim f(x) = +
p
x p–lim f(x) = +
x p+lim f(x) = +
p
x p–lim f(x) = –
x p+lim f(x) = –
p p p
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13 14Tendencia y continuidad de funciones
FinalAsíntotas horizontales
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
x – lim
1x = 0
x + lim
1x = 0
x – lim
1x2 = 0
x + lim
1x2 = 0
x – lim
1x3 = 0
x + lim
1x3 = 0
x – lim
1x4 = 0
x + lim
1x4 = 0
f(x) tiene como asíntota horizontal la recta y = c cuando x si xlim f(x) = c
f(x) tiene como asíntota horizontal la recta y = c cuando x – si xlim f(x) = c
Las siguientes funciones tienen como asíntota horizontal el eje y (x = 0)
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13 15Tendencia y continuidad de funciones
Final
Asíntotas oblicuas
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua si: a = x lim
f(x)x 0; b =
x lim ( f(x) – ax)
De igual manera es para x –
f(x) = tiene como asíntota oblicua
y = x + 1 para x y para x –
x2 + x – 1x g(x) = no tiene asíntotas oblicuas
x3 + 2 x
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13 16Tendencia y continuidad de funciones
Final
El número e
x 1 10 102 103 104 105
1 + 1x
x2 2,593742460 2,704813829 2,716923932 2,718145927 2,718268237
1 + 1x
xf(x) = tiene una asíntota horizontal
El número e es el límite xlim
1 + 1x
x.
Su valor es:2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762724076630353547594571382178525166427
...
X
Y
y = e
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13 17Tendencia y continuidad de funciones
Final
Límites en los que aparece el número e
Se cumple que: f(x)lim
1 + 1
f(x)f(x)
= e
Se tienen entonces los siguientes resultados:
I. xlim
1 + ax
x =
xlim
1 + 1
ax
x/a a = ea siendo a R y no nulo.
II. xlim
1 + -1x
x =
xlim
1 – 1x
x = e–1 =
1e
III. xlim
1 + 1 x
bx=
xlim
1 + 1
xx b
= eb siendo b R cualquiera.
IV. xlim
1 + ax
bx= eab siendo a R y no nulo, b R cualquiera.