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ESTADÍSTICA
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA2da. Parte
EXPOSITOR:Ing. CARMEN BAZAN A.
MEDIDAS ESTADISTICASLas medidas estadísticas son valores calculados a partir de un conjunto de datos; se dividen en tres categorías.
∗Las que ayudan a encontrar el centro de la distribución de frecuencia relativa.
∗Las que miden la dispersión.
∗Las medidas de posición relativa.
∗MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALLas medida de tendencia central más comunes son:
La Media Aritmética, La Moda y La Mediana.
La media aritmética (MEDIA O PROMEDIO).- de un conjunto de n observaciones X1,X2,. . . . Xn; es el promedio de las mediciones
NX
n
iiX∑
== 1
∗ Para datos agrupados:
∗ La Moda de un conjunto de n determinaciones es el valor X que ocurre con mayor frecuencia.
∗ La moda es especialmente útil, cuando interesa la frecuencia de ocurrencia relativa de X
NX
k
iii Xf∑
== 1
∗ La moda para datos agrupados:
∗ Donde: Li: límite inferior de la clase modal.∗ ∆1: diferencia entre fi de la clase modal y la anterior.∗ ∆2: diferencia entre fi de la clase modal y la posterior.∗ C: amplitud de la clase modal (clase de mayor frecuencia).
La Mediana de un número de observaciones, es el valor medio o el promedio de los valores medios.∗ 17,19,23,24,29,31,33,33,36 Mediana= 29∗ 12,14,14,18,23,25,29,33 Mediana=(18+24)/2=21 ∗ La mediana para datos agrupados:
cModa Li*
21
1
++=
∆∆∆
∗ �� � �� � �
�� ��
� �� ��� � �
∗ Para varios fenómenos o experimentos, resulta insuficiente contar con descripciones gráficas y numéricas de tendencia central.
∗ Las medidas de dispersión mide la variabilidad de las observaciones respecto a una medida de valor central.
RELACION ENTRE MEDIDAS
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Amplitud Total o Rango de la muestra.- Es la diferencia entre los valores mayor y menor.
Desviación Media Absoluta.- Es la media de las desviaciones de las observaciones respecto a la media aritmética.
N
XDM
n
iiX∑
=
−= 1
∑
∑
=
=
−= k
ii
k
ii
f
X XfDM
1
1
∗ Varianza poblacional es la media de los cuadrados de las diferencias de las observaciones respecto a la su media aritmética.
∗ Para datos agrupados:
( )N
i
n
iXX∑ −
== 1
2
2σ
( )N
i
k
ii XXf∑ −
== 1
2
2σ
∗ Varianza muestral es la media de los cuadrados de las diferencias de las observaciones respecto a la su media aritmética.
∗ Para datos agrupados:
( )1
1
2
2
−=∑ −
=
n
i
n
iXX
s
( )1
1
2
2
−=∑ −
=
n
i
k
ii
XXfs
DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TIPICA poblacional
Para datos agrupados:
Para muestras se ajustaran las expresiones dividiendo por (n-1) en lugar de (n).
( )N
i
n
IXX∑ −
== 1
2
σ
( )N
i
k
ii
XXf∑ −== 1
2
σ
DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TIPICA muestral
∗ Para datos agrupados:
∗ Para muestras se ajustaran las expresiones dividiendo por (n-1) en lugar de (n).
( )1
1
2
−=
∑ −=
n
is
n
IXX
( )1
1
2
−=∑ −
=
n
is
k
ii
XXf
∗ Para realizar comparaciones entre diversos conjuntos de datos, se puede usar el coefiente de variación (CV)
CV=�
�̅x100
Un CV<50% Indica baja dispersión, por tanto la media es un buen representante de los datos.
Un CV>50% Indica alta dispersión, por tanto la media NO es un buen representante de los datos.
Coeficiente de variación
Medidas de Forma
∗ Son medidas numéricas que permiten determinar la forma que tiene la curva de los datos, por lo tanto, sirven para corroborar lo que los gráficos muestran.
Medidasde forma
-Sesgo
-Kurtosis
1er. Coef. de Pearson2do. Coef. de PersonCoef. De Fisher
Medidas de Forma: Asimetría∗ Permiten estudiar la forma de la curva,
dependiendo de cómo se agrupan los datos.
Medidas de Forma: AsimetríaCoeficiente de Asimetría de Pearson:
∗ Fácil de calcular e interpretar.
∗ Cálculo: ( )s
MoXCas
−= 3
o Interpretación:
CAS
= 0, X=Mo Simétrica
> 0, X>Mo Asimétrica Positiva
< 0, X<Mo Asimétrica Negativa
Medidas de Forma: Asimetría2do Coeficiente de Asimetría de Pearson:
Cálculo:
Interpretación.- Igual que Cas.
( )s
MeXCas
−= 3´
Medidas de Forma: Asimetría
Coeficiente de Asimetría de Fisher:
No es de fácil cálculo, pero si su interpretación.
( )
( )3
1
3
31
3
ns
fxMCASF
ns
XxCASF
k
iii
n
ii
∑
∑
=
=
×−=
−= Datos NO agrupados
Datos Agrupados
Medidas de Forma: Asimetría
o Interpretación:
CASF
= 0, Simétrica
> 0, Asimétrica Positiva
< 0, Asimétrica Negativa
Medidas de Forma: Kurtosis
∗ Miden si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra (zona central de la distribución).
∗ Se definen tres tipos de distribución según su grado de Kurtosis:
Medidas de Forma: Kurtosis∗ Mesocúrtica: grado de concentración medio
alrededor de los valores centrales de la variable. (normal)
∗ Leptocúrtica: grado de concentración elevado. (delgada)
∗ Platicúrtica: grado de concentración reducido. (achatada)
Medidas de Forma: Kurtosis
( )
( )3
3
41
4
41
4
−×−
=
−−
=
∑
∑
=
=
ns
fXxCK
ns
XxCK
k
iii
n
ii
Datos No Agrupados
Datos Agrupados
Interpretación:
CK
=0 Mesocúrtica
>0 Leptocúrtica
<0 Platicúrtica