Espacio de Hilbert

Conceptos - Espacio producto interno - Desigualdad de Schwartz - Norma - Ángulo y ortogonalidad

Espacio producto interno

Espacio producto interno

Es un espacio vectorial con producto internoV

Producto internoEs una regla que, dados especifica un número , con

x, y ∈ V(x, y)

- con , y

-

-

-

(x, x) ∈ ℛ+ x ≠ 0 (0,0) = 0

(x, y) = (y, x)

(ax, y) = a(x, y)

(x, y + z) = (x, y) + (x, z)

Espacio producto internoEs un espacio vectorial con producto internoV

Producto interno

Es una regla que, dados especifica un número , con

x, y ∈ V(x, y)

- con , y

-

-

-

(x, x) ∈ ℛ+ x ≠ 0 (0,0) = 0

(x, y) = (y, x)

(ax, y) = a(x, y)

(x, y + z) = (x, y) + (x, z)

Ejemplos

- , con

-

-

𝒞n (x, y) =n

∑i=1

xiyi

Espacio producto interno

Espacio producto internoEs un espacio vectorial con producto internoV

Producto interno

Es una regla que, dados especifica un número , con

x, y ∈ V(x, y)

- con , y

-

-

-

(x, x) ∈ ℛ+ x ≠ 0 (0,0) = 0

(x, y) = (y, x)

(ax, y) = a(x, y)

(x, y + z) = (x, y) + (x, z)

Ejemplos

- , con

- sucesiones tal que converge,

con

-

𝒞n (x, y) =n

∑i=1

xiyi

l2, (xi)n

∑i=1

|xi |2

(x, y) =∞

∑i=1

xiyi

Espacio producto interno

Espacio producto internoEs un espacio vectorial con producto internoV

Producto interno

Es una regla que, dados especifica un número , con

x, y ∈ V(x, y)

- con , y

-

-

-

(x, x) ∈ ℛ+ x ≠ 0 (0,0) = 0

(x, y) = (y, x)

(ax, y) = a(x, y)

(x, y + z) = (x, y) + (x, z)

Ejemplos

- , con

- sucesiones tal que converge,

con

- , con

𝒞n (x, y) =n

∑i=1

xiyi

l2, (xi)n

∑i=1

|xi |2

(x, y) =∞

∑i=1

xiyi

L2[a, b] ( f, g) = ∫b

af(x)g(x)dx

Espacio producto interno

Espacio producto interno

Desigualdad de Schwartz

-

- sin son linealmente dependientes

con del espacio producto interno

| (x, y) |2 ≤ (x, x)(y, y)

| (x, y) |2 = (x, x)(y, y)

x, y

Corolario de Schwartz

(x + y, x + y) ≤ (x, x) + (y, y)

Espacio producto interno

Norma

| |x | | = (x, x)

Desigualdad de Schwartz, otra vez

| (x, y) | ≤ | |x | | | |y | |

Luego…

−1 ≤(x, y)

| |x | | | |y | |≤ 1

| (x, y) |2 ≤ (x, x)(y, y)Recordemos…

Espacio producto interno

Norma

| |x | | = (x, x)

Desigualdad de Schwartz, otra vez

| (x, y) | ≤ | |x | | | |y | |

Ángulo

θ = cos−1 (x, y)| |x | | | |y | |

Espacio producto interno

Ortogonalidad x ⊥ y(x, y) = 0

EjemploEn con las funciones

y son ortogonales para

C[0,π], ( f, g) = ∫π

0f(x)g(x)dx

sin mx sin nx m ≠ n

Pitágoras: si x ⊥ y

| |x + y | |2 = | |x | |2 + | |y | |2| |x | | = (x, x)Recordar…

Actividad: verificar

Conceptos - Conjunto ortogonal - Base ortogonal - Espacio de Hilbert - Ortogonalización

Espacio de Hilbert

Conjunto ortogonalUn conjunto de vectores en un espacio producto interno es llamado un conjunto ortogonal si,

- siempre que

- Para cada

{xi}

(xi, xj) = 0 i ≠ j

i, xi ≠ 0

Veamos su importancia…

Espacio de HilbertConjunto ortogonal

- siempre que

- Para cada

(xi, xj) = 0 i ≠ j

i, xi ≠ 0

Dimensión finita: ⇒ l . i .

Sea un conjunto

ortogonal, y sea ,

luego, para cada

{x1, ⋯, xn} n

∑i=1

cixi = 0

j

(n

∑i=1

cixi, xj) = 0

n

∑i=1

ci(xi, xj) = 0

n

∑i=1

ciδi,j(xj, xj) = 0

cj(xj, xj) = 0 ⇒ cj | |xj | |2 = 0

⇒ cj = 0 ⇒ l . i .

Porque… xj ≠ 0

Espacio de Hilbert

Conjunto ortogonalUn conjunto de vectores en un espacio producto interno es llamado un conjunto ortogonal si,

- siempre que

- Para cada

{xi}

(xi, xj) = 0 i ≠ j

i, xi ≠ 0

Base ortogonalUna base ortogonal para un espacio producto interno es un conjunto ortogonal tal que para cualquier

existen escalares , tal que

S(en)

x ∈ S cnx =

∞

∑n=1

cnen

Espacio de Hilbert

Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una

base

Espacio de Hilbert

Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una

base

Espacio completoUn espacio normado es completo si cada sucesión de Cauchy es convergente

Sucesión de CauchyUna sucesión en un espacio normado es de Cauchy si

cuando

(xn)

| |xn − xm | | → 0 n, m → ∞

| |x | | = (x, x)

Recordar…

Espacio de HilbertConjunto ortogonal

- siempre que

- Para cada

(xi, xj) = 0 i ≠ j

i, xi ≠ 0

Base ortogonal

x =∞

∑n=1

cnen

Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una

base

Espacio producto interno

Espacio vectorial con producto interno

V

Espacio completoUn espacio normado es completo si cada sucesión de Cauchy es convergente

Sucesión de CauchyUna sucesión en un espacio normado es de Cauchy si

cuando

(xn)

| |xn − xm | | → 0 n, m → ∞

Espacio de Hilbert

Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una base

Ejemplos

- con y base , no es un

espacio de Hilbert

-

C[0,π] ( f, g) = ∫π

0f(x)g(x)dx sin nx

Espacio de Hilbert

Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una base

Ejemplos

- con y base , no es un

espacio de Hilbert

- con es completo.

forman una base. Luego, es un espacio de Hilbert

C[0,π] ( f, g) = ∫π

0f(x)g(x)dx sin nx

L2[a, b] ( f, g) = ∫π

0f(x)g(x)dx sin

nπ(x − a)(b − a)

L2[a, b]

Espacio de Hilbert

Ortonormalización de Gram-SchmidtDada cualquier sucesión de elementos de un espacio producto interno, existe una sucesión ortogonal , tal que cada combinación lineal finita de es una combinación lineal de , y viceversa

( fn)(gn)

fn gn

Espacio de Hilbert

Construcción

- Construimos l.i.: eliminando (i) vector nulo, (ii) combinaciones lineales de elementos precedentes

-

- , con tal que

(Fn) ( fn) → (Fn)

g1 = F1

g2 = F2 + cg1 c (g2, g1) = 0 ⇒

0 = (g2, g1) = (F2, g1) + (cg1, g1) ⇒ c = −(F2, g1)(g1, g1)

Espacio de Hilbert

Construcción- Construimos l.i.: eliminando (i) vector nulo, (ii) combinaciones

lineales de elementos precedentes

-

-

- con determinados a partir de

(Fn) ( fn) → (Fn)

g1 = F1

g2 = F2 −(F2, g1)(g1, g1)

g1

g3 = F3 + dg2 + eg1 d, e (g3, g2) = (g3, g1) = 0

0 = (g3, g2) = (F3, g2) + d(g2, g2) + e(g1, g2) ⇒ d = −(F3, g2)(g2, g2)

0 = (g3, g1) = (F3, g1) + d(g2, g1) + e(g1, g1) ⇒ e = −(F3, g1)(g1, g1)

Espacio de Hilbert

Construcción- Construimos l.i.: eliminando (i) vector nulo, (ii) combinaciones

lineales de elementos precedentes

-

-

-

-

(Fn) ( fn) → (Fn)

g1 = F1

g2 = F2 −(F2, g1)(g1, g1)

g1

g3 = F3 −(F3, g2)(g2, g2)

g2 −(F3, g1)(g1, g1)

g1

⋯

⋮

Conceptos - Expansión ortogonal - Descomposición ortogonal

Espacio de Hilbert

TeoremaSea una base ortogonal para un espacio producto interno. Para cualquier en el espacio, vale

(en)x

x =∞

∑n

cnen

(x, em) = (∑n

cnen, em) = ∑n

cn(en, em)

= ∑n

cnδn,m(em, em) = cm(em, em)

con…

⇒ cm =(x, em)(em, em)

Espacio de Hilbert

TeoremaSea una base ortogonal para un espacio producto interno. Para cualquier en el espacio, vale

(en)x

x =∞

∑n

cnen

cn =(x, en)(en, en)

=(x, en)

| |en | |2

Coeficientes generalizados de Fourier

Espacio de Hilbert

Teorema sobre la mejor aproximación

Sea un conjunto ortonormal en un espacio producto interno. Para cualquier , los coeficientes que minimizan

, son lo coeficiente generalizados de Fourier

{e1, ⋯, eN}x

| |x −N

∑n=1

cnen | |

cn = (x, en)Coeficientes generalizados de Fourier

con | |en | |2 = 1

Espacio de Hilbert

Teorema: desigualdad de BesselSi es un conjunto ortonormal, esto es , en un espacio producto interno, entonces para cualquier en el espacio se verifica

(en) | |en | |2 = 1x

con cn = (x, en)∞

∑n

|cn |2 ≤ | |x | |2

Espacio de Hilbert

Teorema: desigualdad de BesselSi es un conjunto ortonormal, esto es , en un espacio producto interno, entonces para cualquier en el espacio se verifica

(en) | |en | |2 = 1x

con cn = (x, en)∞

∑n

|cn |2 ≤ | |x | |2

Teorema: relación de ParsevalSea un conjunto ortonormal en un espacio producto interno,

es una base sí y sólo sí para cada en el espacio se verifica,(en)

(en) x∞

∑n

|cn |2 = | |x | |2

Espacio de Hilbert

Teorema: Riesz-FischerSea una base ortonormal para un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Si es una sucesión de números tal que

converge, entonces existe tal que

(en) H(en)∞

∑n

|cn |2 x ∈ H

con cn = (x, en)

x =∞

∑n

cnen

Espacio de Hilbert

Teorema: Riesz-FischerSea una base ortonormal para un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Si es una sucesión de números tal que

converge, entonces existe tal que

(en) H(en)∞

∑n

|cn |2 x ∈ H

con cn = (x, en) x =∞

∑n

cnen

Isomorfo con l2sucesiones tal que converge, con (xi)

n

∑i=1

|xi |2

(x, y) =∞

∑i=1

xiyi Actividad: porqué y porqué no es cierto para espacios finitos?

Espacio de Hilbert

Complemento ortogonalSea cualquier sub conjunto de un espacio de Hilbert . El complemento ortogonal de es el conjunto

XH X

X⊥ = {x ∈ H : x ⊥ X}

Con espacio de HilbertX⊥

Espacio de Hilbert

Proyección ortogonalSi es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito

E Hx ∈ H

x = y + z con , y y ∈ E z ∈ E⊥

Con…

Espacio de Hilbert

Proyección ortogonalSi es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito

E Hx ∈ H

x = y + z con , y y ∈ E z ∈ E⊥

- siendo la proyección de sobre

- suma directa

y x E

H = E ⊕ E⊥

Con…

Espacio de Hilbert

Proyección ortogonalSi es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito

E Hx ∈ H

x = y + z con , y y ∈ E z ∈ E⊥

- siendo la proyección de sobre

- suma directa

y x E

H = E ⊕ E⊥

Sobre las basesSi es base de , y es base de , entonces

es base para (en) E ( fn) E⊥

(en) ∪ ( fn) H

Con…

Fin final