ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

“MODELADO, SIMULACIÓN Y CONTROL DE UN SISTEMA DINÁMICO MEDIANTE EL USO DE

COMPONENETES ANÁLOGOS”

AutorRoberth Tinoco

DirectorIng. Eduardo Orces

Contenidos

1. Introducción2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema3. Método del LGR para el análisis del Sistema

de Control.4. Método de Ubicación de Polos para el

análisis del Sistema de Control.5. LQR en el Diseño Final del Sistema de

Control.6. Conclusiones y Recomendaciones.

Problema interesante desde el punto de vista de control.

Ilustra muchas de las dificultades asociadas con problemas de control del mundo real.

Introducción

Control mediante el empleo de componentes simples análogos

Introducción Aplicaciones análogas:

• Robótica.• Posicionamiento satelital con respecto a la

tierra.• Plataforma para el lanzamiento de cohetes• Estabilidad de Grúas y edificios, etc.

Introducción

Definición: Consiste en un péndulo que gira libremente por uno de sus extremos mediante una articulación situada sobre un carro que se mueve sobre una guía rectilínea bajo la acción de una Fuerza de Control.

Objetivo

Construir el prototipo utilizando un bajo presupuesto

• Diseñar estructuralmente el sistema

• Elegir sensores y actuador.

• Uso de componentes análogos

Controlar el sistema

• Simular distintos controladores lineales usando MATLAB y SIMULINK

• Implementar controlador mediante LQR

Contenidos

1. Introducción 2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema 3. Método del LGR para el análisis del

Sistema de Control. 4. Método de Ubicación de Polos para el

análisis del Sistema de Control. 5.LQR en el Diseño Final del Sistema de

Control. 6. Conclusiones y Recomendaciones.

Modelado Dinámico del Sistema

0

1x

mg0

00x

Bo

0bx

0mI

mmM2

Modelado Dinámico del SistemaModelado en SIMULINK

Modelado Dinámico del Sistema

qbmg

Sq

mgmMBbS

qmIbmMB

S

Sq

m

sUs

22

3

Donde: 22 mmImMq

Modelado Dinámico del Sistema

Determinación de los Parámetros Físicos:

mM4mMg32

n

Parámetro Descripción Valor

M Masa del Carro 0.425 Kg.

m Masa del Péndulo 0.270 Kg.

l Longitud del Péndulo 0.33 m.

b Constante de amortiguamiento debido al Carro

0.1 N/m/s.

B Constante de amortiguamiento debida al Péndulo

0.05N.m/rad/s.

Modelado Dinámico del Sistema

9.229 s-----------------------------------------------s^3 + 7.402 s^2 - 61.83 s – 9.045

Sistema a Lazo Abierto:

Modelado Dinámico del SistemaModelado en el Espacio de Estados:

X

X

4

3

2

1

3

1

2

1

Xy

yy

qmI0q

m0

qmIb

0q

Bmg

qm

1000qbm

0q

mMBg

qmmM

0010

2

4

3

2

1

22

4

3

2

1

.

0

0.

0100

0001

y

y

4

3

2

1

2

1

Modelado Dinámico del SistemaSistema a Lazo Abierto:

Modelado Dinámico del SistemaModelado en SIMULINK

Modelado Dinámico del SistemaEstrategia de Control

Conjunto Carro-Péndulo

Sensor

Amplificador mas Amplificador mas ActuadorActuador

Potencia Potencia ExternaExterna

Señal Proporcional a Señal Proporcional a las Variables de las Variables de SalidaSalida

Contenidos 1. Introducción 2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema. 3. Método del LGR para el análisis del

Sistema de Control. 4. Método de Ubicación de Polos para el

análisis del Sistema de Control. 5. LQR en el Diseño Final del Sistema de

Control. 6. Conclusiones y Recomendaciones.

Diagrama de Bloques:

CONTROLADORK(S)

PLANTAG(S)

r(S) = 0

+

+

+-

(S)U(S)e(S)

Fd(S)

Diagrama de Bloques Simplificado:

PLANTA

G(S)+-

(S)U(S)Fd(S)

CONTROLADORK(S)

sFsGsK1

sGs d

Controlador Método del LGR

Trazo del LGR:

Cero = 0

Polos = -12.2973 5.0828 -0.1418

Controlador Método del LGR

Especificaciones de Desempeño:

224

t4

2% del criterio 44

t

s

ns

Tiempo de asentamiento:

⇒ 1/ 2

e=05.0 7.0≈

Sobrepaso Máximo:

Polos Dominantes:-2 2i

Controlador Método del LGR

Ley de Control PID:

Compensador PD:

Sistema no compensado hasta el polo dominante compensado deseado es -173.12º.

100ssGPD

s

5.0ssGPI

Compensador PI:

Cualquier compensador integral ideal cero funcionará, mientras el cero se coloque cerca del origen

Controlador Método del LGR

Ley de Control PID:

k = 0.0951ceros = 0 , 0polos = 0 , -4.2118, -2.0024 +/- 2.0244i

Controlador Método del LGR

Ley de Control PID:

Controlador Método del LGR

Ley de Control PID:

RESPUESTA A LAZO

CERRADO

SOBRESALTO TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO

ERROR EN

ESTADO ESTABLE

Kp Incrementa No altera Disminuye

Ki Incrementa Incrementa Incrementa

Kd Disminuye Disminuye No altera

Controlador Método del LGR

Ley de Control PID:

9.046 s^2---------------------------------------------------s^4 + 188.3 s^3 + 843.1 s^2 + 443.4 s

Kp= 100; Kd= 20; Ki=50

Controlador Método del LGR

Diagrama de Bloques:

CONTROLADORK(S)

PLANTA 1G1(S)

r(S) = 0

+

+

+-

(S)

U(S)

e(S)

Fd(S)

Diagrama de Bloques Simplificado:

+

-

X (S)

U(S)Fd(S)

CONTROLADORK(S)

Análisis de la Variable no Controlada

PLANTA 2G2(S)

X(S)

PLANTA1G1(S)

PLANTA2G2(S)

sGsK1

sGsFsx

1

2

d

Controlador Método del LGR

Controlador Método del LGRAnálisis de la Variable no Controlada

Controlador Método del LGRAnálisis de la Variable no Controlada en SIMULINK

Contenidos 1. Introducción 2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema. 3. Método del LGR para el análisis del

Sistema de Control.. 4. Método de Ubicación de Polos para el

análisis del Sistema de Control. 5. LQR en el Diseño Final del Sistema de

Control. 6. Conclusiones y Recomendaciones.

Controlador por Ubicación de PolosControlabilidad y Observabilidad:

DCxy

BAxx

Controlabilidad: Un sistema es controlable en el tiempo to, si se puede llevar de cualquier estado inicial X(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.

BAABB 1n

Condición de Controlabilidad:

Matriz de Controlabilidad no singular

Controlador por Ubicación de PolosControlabilidad y Observabilidad:

DCxy

BAxx

Observabilidad: Un sistema es observable en el tiempo to si, con el sistema en el estado X(to), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.

Condición de Observabilidad:

Matriz de Observabilidad no singular

CACAC

1n

Controlador por Ubicación de PolosDiseño por Ubicación de Polos:

DCxy

BAxx

Kx xBKAx 0xetx BKA

Los valores característicos de la matriz A-BK se denominan Polos Reguladores

ABAABB1000K11n

IAAAA n1n1n

1n

Fórmula de Ackermann:

Donde

Controlador por Ubicación de PolosMatriz de Realimentación de Estados:

Kx

Polos: -2+2*sqrt(3)*i, -2-2*sqrt(3)*i, -20, -20

K = [135.31 12.64 -72.20 -38.85]

x8.38x2.726.123.135

Controlador por Ubicación de PolosMatriz de Realimentación de Estados:

Controlador por Ubicación de PolosObservadores de Estados de Orden Completo:

Cxy

BAxx

El estado x se aproximará mediante el estado

x̂CyLBx̂Ax̂

x̂CCxLx̂AAxx̂x

x̂xLCAx̂x

Definiendo el error x -

0eLCAe

b

a

b

a

bbba

abaa

b

a

B

B

x

x

AA

AA

x

x

b

a

x

x

01y

ababaaaa BxAxAx

bbbbabab BxAxAx

Controlador por Ubicación de PolosObservadores de Estados de Orden Mínimo:

Ecuación de salida

Ecuación de Estado

abaabaabbbabbb LBByLAALLAA~LAA~

Lyx~~b

Ecuación del Observador de orden mínimo:

Controlador por Ubicación de PolosObservadores de Estados de Orden Mínimo:

L = 15.0940 -1.2452 78.9617 -16.6433 -1.7567 23.9477 -18.3909 145.4249

Contenidos 1. Introducción 2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema. 3. Método del LGR para el análisis del

Sistema de Control. 4. Método de Ubicación de Polos para el

análisis del Sistema de Control. 5. LQR en el Diseño Final del Sistema de

Control. 6. Conclusiones y Recomendaciones.

Implementación Final LQRSelección del Actuador:

Implementación Final LQRSelección del Actuador:

t1Sene

1

Xtx 2t

2o

1cos

2

2

dt

xdmM

dtdx

btF

)t(v)t(F)t(Pot

Potencia del Motor

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Tiempo (seg)

Po

ten

cia

(H

P)

MASA

AMORTIGUAMIENTO

POTENCIA

Potencia Promedio 0.00836 HP [6.23 watts]

Potencia Máxima 0,12573 HP [93.8 watts]

Implementación Final LQRModelo dinámico del Motor DC:

aa

12

a

212

0

a

2a1m erR.2

Kx

rR.2

KKx

r.2

JR

Ker.2

Kr.2

JF

1a

ba

2

2

2c

m KR

dtd

Ke

dt

d

n

JJ

erqR2mIK

qBm

qgm

xq

rR2

KKbmI

xa

21

22a

212

erqR2Km

xq

mrR2

KKb

gq

r2

JmMm

qr2

JmMB

a

12

a

212o

2o

22

2o mmIr2

JmMq

Donde:

Implementación Final LQRConexión dinámica Péndulo - Motor DC:

Implementación Final LQRDeterminación de los Parámetros del Motor:

a

bb

a1 i

gLM2/1iT

K

Implementación Final LQRDeterminación de los Parámetros del Motor:

1Ke [voltios] ia [A] T [N.m] K1=T/ia

[N.m/A]

1,812 0,22 0,05978 0,27173 O,27173

3,230 0,44 0,11856 0,27173

2Ke [voltios] ia [A] [rpm] K2=e/

[V/rad/s]

6,3 0,18 370 0,16262 O,15584

12,0 0,19 700 0,16367

15,4 0,44 1080 0,14057

aRe [voltios] ia [A] [rpm] Ra=(e-K2)/ia []

8,04 0,40 400 3,78 3,69

8,15 0,45 400 3,60

Implementación Final LQRCaja Reductora:

c

mopt J

Jn

Inercia del Motor DC:

RLmmMR3/Lm4

2/gLmJ ppm

22p2

p2o

m

Implementación Final LQRRazón de Reducción Óptima:

Inercia de Carga:

2pc r)mM(J 34.1

JJ

nc

mopt

SqrR2

KNKmgS

qr2

JmM

mgSq

rR2

KNKmI

S

SrqR2

NKm

SES

2a

2122o

32

a

212

4

2

a

1

Implementación Final LQRRazón de Reducción Óptima:

Implementación Final LQRParámetros Físicos del Sistema:

PARÁMETRO DESCRIPCIÓN VALOR

M Masa del Carro 0,435 Kg.

m Masa del Péndulo 0,270 Kg.

l Longitud media del Péndulo 0,165 m.

b Coeficiente de Fricción Viscosa del Carro 0,1 N.s/m

B Coeficiente de Fricción Viscosa del Péndulo 0,05 N.m/rad/s

K1 Constante del Par Motriz 0,27173 N.m/A

K2 Constante de la Fuerza Contra electromotriz 0,15584 V/rad/s

Ra Resistencia de Armadura del Motor 3,69

K Ganancia del Potenciómetro del Péndulo 1,637 V/rad

Kx Ganancia del Potenciómetro del Carro 4,244 V/m

d Diámetro de la Polea 0,075 m

n Reducción de la caja Reductora 1.5, 3, 7 , 10

Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :

control óptimo implica una equidad entre el desempeño y el costo de control y busca minimizar el valor del índice de desempeño J.

dtR'Qx'x21

J0

El problema de minimizar J con respecto a la entrada de control u(t), es conocido como el problema Regulador Cuadrático Lineal (LQR)

Teorema del Regulador Óptimo

P'BRK Kx -1opt

Ecuación de Riccati 0P'BPBRQP'APA 1

Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :

Driver del Motor DC

Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :

Matriz de Ganancias de Realimentación de Estados:

K = [87.7593 -31.6228 8.1430 -31.3855];

Matriz de Ganancias del Observador:

L = 7.8260 -0.5693 -0.5693 0.1786

Aplicando la igualdad de la ley de control y del estimador:

21 39.3114.8x91.4141.169

10.17x46.1482.1439.12462.13 211

96.3x18.535.2067.2742.0 212

Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :

Diagrama de Flujo de Señales del Compensador:

Implementación Final LQRCompensador Electrónico

Zona Muerta del Motor

0V Si V2.1V

0V Si V8.1VV

in

inout

Conclusiones y Recomendaciones

Dispositivos físicos actúan en estado de saturación..

Limitación de ganancias que inciden en el estado de saturación.

Reemplazo del driver analizado por un OPA-548.

Uso de aisladores y flitros para disminuir el rizado en las señales provenientes de los sensores.

Uso de frenado dinámico por parte del motor.

Se delimita la region del actuador por inestabilizar el sistema

La realimentación reduce el efecto de las perturbaciones y modera los errores de modelado, no obstante ante la presencia de perturbaciones y ruido en el sensor se debe incluir:

• Desempeño de seguimiento.

•Reducir la sensibilidad a ruido en el sensor, ganancia significativa en la región de baja frecuencia y mínima en la región de alta frecuencia.

• Se debe delimitar la señal de control para futuras mejoras.

• Reducir la sensibilidad ante errores en el modelado.

• Establecer una estabilidad robusta.

Conclusiones y Recomendaciones

1. Potenciómetro Lineal.

2. Cilindro Lineal sin Vástago.

3. Péndulo Invertido.

4. Servopotenciómetro rotacional.

5. Tarjeta de Referencia electrónica.

6. Trasductor de Presión.

7. Válvula proporcional 5/3.

8. Unidad FLR.

9. Válvula de Suministro.

10. Interfase electrónica.

11. PC del Ordenador.