EQUIPO 1

DEFINICIÓN DE INTEGRAL

TEOREMA DE EXISTENCIA

DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida se representa por.

Donde:

∫ es el signo de integración.a límite inferior de la integración.b límite superior de la integración.f(x) es el integrando o función a integrar .dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la

función que se integra.

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.

La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada sub- intervalo). Enunciamos entonces una definición más general.

Teorema Existencia

Integrales DefinidasSea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica:

El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [ a, b].

Quizá sea interesante hacer varias observaciones:

1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.

2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.

3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración sencilla.

REGLA DE BARROW

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

REGLA DE LOS TRAPECIOS

Únanse las ordenadas consecutivas por líneas rectas (cuerdas); de esta manera se formarán trapecios. Puesto que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura, tenemos:

½(Yo + Y1)∆x= área del primer trapecio,

½ (Y1 + Y2) ∆x= área del segundo trapecio, … ,

½ (Yn-1 + Yn) ∆x= área del enésimo trapecio.

Sumando, se obtiene la fórmula del área de todos los trapecios:

At= ( ½ Yo + Y1 + Y2 + Y3, … , + ½ Yn) ∆x

Es necesario tomar en cuenta que cuando mayor sea el número de intervalos (cuanto más pequeño sea ∆x) tanto más se aproximará el total de los trapecios al área bajo la curva.

FORMULA SIMPSON O PARABOLICA

Sumando el área de cada una de las tiras parabólicas, obtenemos de la fórmula de Simpson, donde n es par; es decir:

At= (∆x /3)(Yo + 4Y1 + 2Y2 + 4Y3 + 2Y4 + … + Yn)

http://www.vitutor.com/integrales/definidas/regla_barrow.html

http://www.ithua.edu.mx/paginas/matematicas/unidad3.pdf

Garza Olvera, Benjamín, Cálculo Integral, Matemáticas V

DGETI, 1ra Edición, págs. 279-87.