Pablo Medina Cofré

20-04-2010

EL57A EL57A –– SISTEMAS ELSISTEMAS ELÉÉCTRICOSCTRICOSDE POTENCIA IDE POTENCIA I

Líneas de transmisión

• Permiten la propagación del campo electromagnético.

• En SEP, diremos que permiten la “transmisión de energía”.

• Operan en diversas tensiones.• Caso Chileno:

– Hasta 500 kV en transmisión, y mayoritariamente en 220 [kV].

– En distribución se tiene 13.2, 13.8 y 20 [kV] como tensiones representativas.

– En Santiago, existe un “anillo”en 110 kV.

– En el sur, existen líneas en 154 [kV]. No se desarrollan más proyectos de nuevas líneas en dicha tensión.

Proyecto de líneas

• Caso alta tensión (típicamente ≥ 110 [kv]).

• Diseño civil.- Especialidad de estructuras.- “Cargas” determinadas por especialidad eléctrica.

• Diseño eléctrico:– Verificación reglamento de corrientes fuertes.

– Distancias mínimas f-t y f-f.– Determinación de aislación y cable de guardia.

– Determinación de conductores de fase.

Cruceta

Patas

Cuerpo

CanastilloC.G.

Aisladores

Proyecto de líneas.

• Caso cables aislados. (típicamente en media y baja tensión, i.e, V≤25 [kV].

• Diseño civil:– Requerido en caso de banco

de ductos en hormigón armado y canaletas.

– En casos especiales, apoyo geotécnico y geológico.

• Diseño eléctrico.– Determinación de conductor

y estudio de corrientes inducidas.

– Diseño del tendido:• Banco de ductos.• Canaleta.• Directamente enterrados.

Nerd-o-meter

• ¿Cuál es la potencia de un rayo?

• Hint: es la potencia necesaria para que funcione el “Capacitor de flujo”.

a) 1,11 GWb) 1,21 GWc) 1,31 GW

Electromagnéticamente hablando…

Modelo equivalente monofásico por unidad de longitud.

Modelo equivalente por unidad de longitud.

1

2

3

N

R1’L11’

G1’ C11’

G2’C22’

G3’ C33’

R2’L22’

R3’L33’

C13’ C23’

C12’

L12’

L23’L13’

Nos gustaría llegar a …

Modelo de línea de transmisión

• Supongamos que conocemos los parámetros y que tenemos un equivalente monofásico.

• La línea se modela a través de ecuaciones diferenciales y parámetros distribuidos.

• Ecs. Diferenciales se obtienen a partir de las leyes de voltaje y corriente aplicadas a la figura.

G’dxC’dx

R’dxL’dxI(x,t)

I(x,t)+dI(x,t)V(x,t)+dV(x,t)V(x,t)

x dx

( )'

' ' 0

Z

VR j L I

xω

∂+ + =

∂&

&&

14243

( )'

' ' 0

Y

IG j C V

xω

∂+ + =

∂&

&&

14243

F{}( ) ( ) ( ), ,

' , ' 0V x t I x t

R I x t Lx t

∂ ∂+ + =

∂ ∂

( ) ( ) ( ), ,' , ' 0

I x t V x tG V x t C

x t

∂ ∂+ + =

∂ ∂

Ecuación del telégrafo

Modelo de línea de transmisión

• Tomando derivada respecto de x en las ecuaciones anteriores, y combinando ambas expresiones, se llega a que los fasores voltaje y corriente deben resolver una ecuación de onda:

( ) ( )2

20

V xZY V x

x

∂− ⋅ =

∂

&& &

( ) ( )2

20

I xZY I x

x

∂− ⋅ =

∂

&& & &

( )( )

( )( )

2' ' ' '

' ' ' '

ZY R j L G j C

R j L G j C

j

γ ω ω

γ ω ω

γ α β

= = + +

= + +

= +

& &

Constante de

atenuación

Constante de

fase

( ) ( ) ( ) xxV x bV x a eV x eγγ−+ −= + = +⋅ ⋅& &&

( ) ( ) ( ) 1 1x

c

x

c

I x b eI x aZ

I eZ

x γγ−+ −⋅= + = + − ⋅&& &

( )( )

[ ]'

'c

V x ZZ Ohm

I x Y

+

+= =

&&

&

a y b se determinan a partir de C.B.

1c

c

YZ

= &&

Parámetros ABCD

• Las ecuaciones para V(x) e I(x) se puede escribir:

( )( )

1 1 0

0

x

xc c

aV x e

Y Y bI x e

γ

γ

− = −

&

&

• En particular:

( )( ) {

( )( ) {

0

1 1 1 10 0,

0 0

b bY Y E

c c c c

V V

a aV V e

Y Y Y Yb bI I e

γ

γ

− = = − −

l

l

l

& & l& & l

14243 142431424314243 14243

1

0 0

1

0

V Yb b Y V

V YEY V

−

−

= ⇒ =

=l

( )( )

( )( )0cosh sinh

0sinh cosh

c

c

V VZ

I IY

γ γγ γ

−=

−

& &&l l l& &&l l l

( )( )

( )( )

0 cosh sinh

0 sinh cosh

c

c

V VZ

I IY

γ γγ γ

=

& && ll l& && ll l

Parámetros

ABCD

ℓ s el largo de la línea

Relación matriz ABCD y modelo pi

• El caso general de un modelo pi:

Z

Y1 Y2V0

I0

Vℓ

Iℓ

A=1+Y2ZB=ZC=Y1+Y2+ZY1Y2D=1+Y1Z

• En el caso de la línea con la línea A=D, luego Y1=Y2=Y/2:

1 cosh 1 1tanh

2 sinh 2c c

Y

Z Z

γ γγ−

= =l l

l Z

Y/2 Y/2V0

I0

Vℓ

Iℓ

A=1+ZY/2B=ZC=Y(1+ZY/4)D=A

Aproximación de “línea corta”

• En este caso, las funciones hiperbólicas se aproximan al valor de su argumento:

( )'sinh ' ' ' ' '

'c

ZZ Z Z Y Z R j L

Yγ ω= ≈ ⋅ = = +& & l l l l

( )1 ' ' ' 'tanh ' '

2 2 ' 2 2c

Y Y Z Y YG j C

Z Z

γω= ≈ ⋅ = = +

& ll

&

• En el caso de líneas aéreas, la aproximación es válida para largos menores a 250 km.

• En el caso de líneas de cables aislados, la aproximación es válida para largos menores a 30 km.

Capacitancia

• Cada conductor de una línea de Tx se modela como una línea de carga [C/un. long.].

• Entre conductores y tierra existe una diferencia de potencial.

( ) ( )1 11 1 12 1 2 13 1 3' ' ' 'q C V C V V C V V= + − + −& & & & &&

1q1’ 2

q2’

3q3’

C11’V1

C22’V2

C33’V3

C13’V1-V3

C23’V2-V3C12’

V1-V2

V=0

( )1 11 12 13 1 12 2 13 3' ' ' ' ' 'q C C C V C V C V= + + − −& & &&

1 12 1

1

1 1

2 21 1 2 2

1

1 2 1

1

' ' '

'

' ' ' '

'

' ' '

n

k n

k

n

k n

k

n nn

n n k

k

C C C

q V

q C C C V

q V

C C C

=

=

=

− −

− − =

− −

∑

∑

∑

L&&

&& L

M MM M O M

&&

L [ ] [ ]' 'q C V = &&

Capacitancia

• Los elementos de C dependen de todo el conjunto de conductores, lo cual puede ser poco práctico.

• Analíticamente, lo que se calcula es la inversa de la matriz de capacitancia. Los elementos de esta matriz se llaman “coeficientes de potencial”

[ ][ ]' 'V K q = & &

• Para el cálculo de los coeficientes de potencial se utiliza el método de las imágenes, considerando que:

– Suelo es conductor perfecto.– El campo de cada conductor es radial, i.e., el resto de los conductores no alterna la uniformidad de la carga en los conductores.

• Se calcula el campo eléctrico en el espacio, generado por un conductor y su imagen. El campo en el espacio generado por toda la línea, es la suma de las contribuciones de cada par “conductor-imagen”.

Capacitancia

• Campo producido por el par j-ésimo en el punto P.

hj

P

rjp

rj*p

qj’

-qj’

V=0

* *

0 0 *

' '1 1ˆ ˆ

2 2

j jPar

j j j jp j p

jp j p

q qE E E r r

r rπε πε= + = −

& && & &

2rc

Capacitancia

• El potencial generado por el par j-ésimo:

*

0 0 0

P P P

Par Par

j j j jV E dr E dr E dr= − ⋅ = − ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫r r r& & & &

hj

P

rjp

rj*p

qj’

-qj’

V=0O

0

j j

P

j E ddr E rdrE ⋅− ⋅ = − − ⋅∫ ∫∫r&r& r&

0 0

0

'l

'l

2

n

ln

2

'n

2

j

j

j jp

E dr

j j

c

j

j

c

j

p

q h

r

E

q h

r

dr

q r

rε

ε

π

π

πε

⊥

⋅−

= −

=

∫r&

&

1424

&

3

r

& &

Se puede demostrar que:*

0

'ln

2

j j pPar

j

jp

q rV

rπε=

&&

Capacitancia

• El potencial del conductor k-ésimo respecto del suelo, debido a todas las cargas es:

*

1 10

1' ln ' '2

n nj k

k j j kj

j jjk

rV q q K

rπε= =

= =∑ ∑& & &

• rjk y rj*k corresponden a la distancia entre los centros del conductor k y el conductor j y su imagen.

• Si j=k, rjk=rc y rj*k=2hj.• En estas expresiones, se desprecia el radio de los conductores frente a las distancias entre conductores y sus respectivas imágenes.

Capacitancia

• Analicemos la fase 1 de una línea de simple circuito:

3*11 2*1

1 1 2 3

0 21 31

21ln ln ln

2c

rh rV q q q

r r rπε

= + +

& & & &

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2*1 2 3*1 3 1 21 2 31 3

0

1ln 2 ln ln ln ln ln

2cV h q r q r q r q r q r q

πε = + + − + +

& & & & & & &

( ) ( ) ( )1 1 1 2*1 2 3*1 3 1

0

1ln 2 ln ln ln

2 c

DV h q r q r q q

rπε

= + + +

& & & & &

• Si los conductores son los vértices de un triángulo equilátero de lado D y además se considera un sistema trifásico balanceado: 0321 =++ qqq &&&

11*31*2 2hrr ≈≈• Si también consideramos que los conductores están muy alejados del suelo,

es decir:

0

1 1 1

0

21ln '

2ln

c

c

DV q C

r D

r

πεπε

= ⇒ =

& &…Y por simetría se tiene lo mismo para las otras fases

Transposición de fases

• ¡La vida es triste Venancio!... existen pocas líneas en configuración triangular.

• Cada fase se tiene una capacitanciadiferente, por lo que la línea introduce un desbalance en el sistema.

• Adicionalmente, el sistema no tendrá un equivalente monofásico.

• Solución: realizar una transposición de la línea.

a

b

c

Posición 1

Posición 2

Posición 3Ver video

Transposición de fases

• Para caracterizar a una fase, se toma un promedio de la tensión por unidad de longitud:

1 2 3

1 1 1

13

Tramo Tramo TramoTranspuesto V V V

V+ +

=& & &

&

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 2 3 2*1 3*2 3*1

1 1 2

0

3*1 2*1 3*2 21 32 31

3 1 2

3*1 2*1 3*2

ln 2 ln 2 ln 2 ln ln ln1

2 3 3

ln ln ln ln ln lnln

3 3

ln ln ln

3

Transpuesto

c

h h h r r rV q q

r r r r r rq r q q

r r r

πε

+ + + += +

+ + + ++ − −

+ ++

& & &

& & &

32*1 3*2 3*1

1 13

0 1 2 3

1ln ln

2 2

Transpuesto

c

r r rDMGV q

r h h hπε

= −

& &

Considerando: 1 2 3q q q− = +& & &

321 32 31

DMG r r r=

Transposición de fases

• El último logaritmo natural da cuenta de la existencia de un plano de tierra.

• Si se considera que los conductores están alejados del suelo, se tiene que:

2*1 3*1 3*2 1 2 32 2 2r r r h h h≈ ≈ ≈ ≈ ≈

0

1 1 1

0

21ln

2ln

Transpuesto

c

c

DMGV q C

r DMG

r

πεπε

= ⇒ =

& &

• Finalmente:

¡ Y lo anterior se tiene para todas las fases!

Múltiples conductores por fase

• Conocido también como:– Conductores fasciculados.– Bundled conductors.

• Razones para su uso:– Minimización de “efecto corona”, especialmente sobre 500 kV.

– Límite térmico de conductores.

• Para efectos de cálculo, se trata como un único conductor con un “radio equivalente”.

23eq cr r d= ⋅

d d

d

d

eq cr r d= ⋅

d

dd

d

341,09eq cr r d= ⋅

Inductancia

• Se debe calcular la caída de tensión en cada fase:

– Debido a circulación de la corriente de la propia fase.

– Debido a circulación de la corriente de las demás fases.

• La constante de proporcionalidad que relaciona corriente con caída de tensión se llama “Inductancia”.

– Inductancia propia.– Inductancia mutua.

L11 ’

L33 ’

L22 ’ L31’

L32’

L23’

1

2

3

Inductancia mutua.

• Se analiza el caso general para calcular la inductancia mutua entre dos circuitos.• Por el circuito B circula una corriente Ib:

– “Viene” por el conductor 3.– “Retorna” por el conductor 4.

• Por el circuito A circula una corriente Ia:– “Viene” por el conductor 1.– “Retorna” por el conductor 2.

Inductancia mutua.

• Se desprecia efecto pelicular, por lo que la corriente se distribuye uniformemente en la sección de cada conductor.

• Los conductores se dividen en “filamentos” de área “muy pequeña”, por lo que la corriente que circula por ellos es ∆I=J ∆s.

• Densidad de corriente uniforme, implica que J=I/S, para cada conductor. Luego, ∆I=I∆S/S.

• El “circuito cerrado” formado por los filamentos k y l del Circuito B, enlaza una porción del campo magnético producido por los filamentos i y j del Circuito B.

Inductancia mutua

• Los flujos enlazados son:

( ) ( )[ ]ikilao

r

r

aoikl rr

S

SI

r

dr

S

SIil

ik

lnln22 1

1

1

1, −

∆=

∆=∆Φ ∫ π

µπµ

( ) ( )[ ]jkjlao

r

r

aojkl rr

S

SI

r

dr

S

SIjl

jk

lnln22 2

1

2

1

, −∆

=∆

−=∆Φ ∫ πµ

πµ

• El flujo total enlazado por los filamentos l y k es la suma de todos los flujos producidos por el circuito a:

( ) ∑∑==

∆Φ+∆Φ=Φn

j

jkl

n

i

iklakl

1

,

1

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∆−∆+∆−∆=Φ ∑ ∑∑∑

= ===

n

i

n

j

jl

n

j

jkik

n

i

ilao

akl SrS

SrS

SrS

SrS

I

1 1

2

21

2

2

1

11

1

1

ln1

ln1

ln1

ln1

2πµ

• Haciendo tender n a infinito, los delta de superficie tenderán a cero, y por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+−−=Φ ∫ ∫ ∫∫

1 2 21

2

2

2

2

1

1

1

1

ln1

ln1

ln1

ln1

2S S S

jkjlik

S

ilao

akl dSrS

dSrS

dSrS

dSrS

Iπµ

Inductancia mutua

• Estamos en la búsqueda de una constante de proporcionalidad que indique cual es el flujo que enlaza el circuito b, generado por el circuito a.

• Problema: dependiendo de cómo se escojan los pares (k,l), se tendrán distintas expresiones para el flujo enlazado.

• Solución: tomar un promedio sobre los n2 pares (k,l).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 2 2

1 1 2 221 1 1 1 2 2

1

1 2 2 1

1 1 11 2 2 1

1 1 1 1 1ln ln ln ln

2

1 1 1 1 1 1 1ln ln ln ln

2

n no a

kl il ik jl jkal k S S S S

n n no a

il jl jk ik

l l kS S S

Ir dS r dS r dS r dS

n S S S S

Ir dS r dS r dS r dS

S n S n S n S

µπ

µπ

= =

= = =

Φ = − − +

= − + −

∑∑ ∫ ∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫1

1

1n

k Sn=

∑ ∫

• Nuevamente haciendo n tender a infinito, y aplicando la definición de inductancia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 1 4 2 3 2 3 1

1 4 2 4 2 3 1 3

1 4 2 4 2 3 1 3

ln lnln ln

2

kl jl jkil ika oab

a S S S S S S S S

r rr rL dS dS dS dS dS dS dS dS

I S S S S S S S S

µπ

Φ= = − + −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Inductancia mutua

• Se define el concepto de “distancia media geométrica” entre un área i y un área j como:

1 3

13

ln2

o n nab

nn

g gL

g g

µπ

=

( )∫ ∫=iS Sj

jiij

ji

ij dSdSrSS

g ln1

ln

=

1324

2314ln2 gg

ggL oab π

µ

• Si los circuitos a y b comparten su retorno, i.e, los conductores 2 y 4 se superponen formando un conductor n:

• Si los radios de los conductores son iguales y son mucho menores a la distancia de separación:

( ) ( ) ( )12 12 1 2 12 1 2 12 12 12

1 1ln ln ln ln

S S S S

g r dS dS D dS dS D g DSS SS

= ≈ = ⇒ ≈∫ ∫ ∫ ∫

1 2

12

12

ln2

o n n

nn

g gL

g g

µπ

=

Inductancia propia

• La inductancia propia da cuenta del flujo enlazado y producido por el mismo circuito.

• Por lo tanto, se puede suponer que el circuito a se superpone al circuito, y luego aplicar la definición de inductancia mutua.

2

1

11

11

ln2

o n

nn

gL

g g

µπ

=

• El radio medio geométrico gaa para un círculo de radio rc es:1

411 cg e r

−=

• Esta expresión se obtiene al aplicar la definición:

( )1 1

11

1 1

1ln ln

ij i j

S S

g r dS dSS S

= ∫ ∫

Inductancia

• La caída de tensión en la fase a de un simple circuito es:

( )3 3 3

1 1 1 1 1

1 1 1

k k k k k

k k k

d dv L I V j L I

dt dtω

= = =

= Φ = ⇒ =∑ ∑ ∑& &

2

0 1 1 2 1 3

1 1 2 3

11 12 13

ln ln ln2

n n n n n

nn nn nn

g g g g gV j I I I

g g g g g g

µω

π

= + +

& & & &

( )3 3 3

0 1

1

1 1 1 1

1ln ln ln

2

nk kn k k

k k knn k

gV j I g I I

g g

µω

π = = =

= + +

∑ ∑ ∑& & & &

• Si el sistema es balanceado y el retorno común está muy lejos:

( ) ( )3 3 3

1 2 3

1 1 1

0, ln ln 0k n n n fn kn k fn k

k k k

I g g g g g I g I= = =

= ≈ ≈ ≈ ⇒ ≈ =∑ ∑ ∑& & &

0

1 1 2 314

12 13

1 1 1ln ln ln

2c

V j I I ID De r

µω

π −

= + +

& & & &

Inductancia

• De la misma forma que se hizo para la capacitancia, se tendrá que para una línea triangular o con transposición:

[ ]{

70

1

70

1 1 114

4 10 /

'

ln ' 2 10 ln2 eqH mc

L

DMG DMG HV j I L

r me r µ π

µω

π −

−

−=

= ⇒ = ⋅

& &

1442443¡ Y lo anterior se tiene para todas las fases!

1 4 23eq cr e r d−= ⋅

d d

d

d

1 4

eq cr e r d−= ⋅

d

dd

d

1 4 341,09eq cr e r d−= ⋅

• Y en el caso de tener conductores fasciculados:

Carta de operación de una línea de transmisión

• Conocido también como diagrama de círculo.• Idea: Dadas las tensiones en los extremos transmisor y receptor, establecer

el lugar geométrico de la potencia compleja en el extremo receptor:* * *

*

*

t rt r r r

V A VV AV BI I

B

−= + ⇒ =

&& &&& & & & &

&

2**

*

* *

rr tr r r

A VVVS V I

B B= = −

& && && & &

& &

0r r

t

V V A A

V B B

αδ β

= ∠ ° = ∠

= ∠ = ∠

&&

& &

( ) ( )

( ) ( )

2

2

cos cos

sin sin

r t rr

r t rr

V V V AP

B B

VV V AQ

B B

β δ β α

β δ β α

= − − −

= − − −

• Si se considera que:

( ) ( )2 22 2

cos sin r tr rr r

VVV A V AP Q

B B Bβ α β α

+ − + + − =

Diagrama de círculo

• Al igual que el generador, existe un límite térmico de la línea.• Luego, la carta debe dar cuenta de ambos límites simultáneamente.

[ ],r rP Q

P

Q

( ) ( )2 2

cos , sinr rV A V A

B Bβ α β α

− − −

r tV VRadio

B=