FILTRO DE KALMAN DISCRETO LINEAL

Estimación de estados

Integrantes:

Melkis Gaviria Pérez

Rafael Santamaría Isaza

Maria Camila Zapata Ceballos

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CONTENIDO Saber Previo El filtro de Kalman Luenberger vs Kalman Tipos de Filtro de Kalman Planta en tiempo discreto Derivación del filtro Errores Estimador del filtro de Kalman Aplicaciones Ejemplos Conclusiones Referencias

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SABER PREVIO

Creado por Rudolf E. Kalman en 1960

Misma finalidad que el observador Luenberger

Básicamente es un algoritmo.

Usa métodos recursivos.

Usado en procesos Estocásticos→ métodos Estadísticos

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EL FILTRO DE KALMAN Es un algoritmo creado para identificar el estado oculto o no medible de un sistema dinámico. Sirve cuando un sistema se encuentra sometido a ruido blanco aditivo.

Se realizan mediciones del ruido blanco

Señal aleatoria

Dos valores no guardan correlación estadística

Minimiza la media del error cuadrático

Gracias al Método recursivo

Estima el estado del sistema lineal

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Luenberger vs Kalman

Luenberger

Halla las constantes de realimentación del error “K” a mano. No sirve para señales de ruido muy variable (blanco) que afecten al sistema.

Kalman

Halla las constantes de realimentación del error “K” de forma óptima si conozco las varianzas de las señales ruidosas que afectan al sistema. Sirve para señales de ruido blanco.

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Tipos de filtros Kalman

1.Filtro continuo 2.Filtro Discreto 3.Filtro extendido

Se aplica a sistemas continuos lineales

Se aplica a sistemas discretos lineales

Se aplica a sistemas discretos no lineales

Son 3 tipos

Ruido del proceso W(K) Ruido de la medición V(k)

Varianza de los ruidos diferentes a cero

Se debe conocer

además Secuencias

aleatorias de media cero

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Planta en tiempo discreto

Figura 1. Representación de una planta en tiempo discreto. Tomado de [1]

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Derivación del filtro (1/3)

𝑥𝑘 = 𝐹𝑘−1𝑥𝑘−1 + 𝐺𝑘−1𝑢𝑘−1 +𝑤𝑘−1 𝑦𝑘 = 𝐻𝑘𝑥𝑘 + 𝑣𝑘

𝐸 𝑤𝑘𝑤𝑗𝑇 = 𝑄𝑘𝛿𝑘−𝑗

𝐸 𝑣𝑘𝑣𝑗𝑇 = 𝑅𝑘𝛿𝑘−𝑗

𝐸 𝑤𝑘𝑣𝑗𝑇 = 0

Valor inicial: 𝑥0 + = 𝐸 𝑥0

𝑃0+ = 𝐸 𝑥0 − 𝑥0

+ 𝑥0 − 𝑥0 + 𝑇

Derivación del filtro (2/3)

Figura 2. Relación dependiente del tiempo para los diferentes estimadores. Tomada de [5]

Derivación del filtro (3/3)

ERRORES

𝑋𝐾− →Estimado a priori del estado en el tiempo K; conociendo el

proceso antes del tiempo k (K-1). 𝑒𝐾− = 𝑋𝐾 − 𝑋𝐾

− (1)

𝑋𝐾 →Estimado a posteriori del estado en el tiempo K dada la medición de 𝑌𝐾.

𝑒𝐾 = 𝑋𝐾 − 𝑋𝐾 (2)

En la Figura 3 se puede observar con mayor claridad estos enunciados.

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ESTIMADOR FILTRO DE KALMAN

Figura 3. Representación de una planta en tiempo discreto con el filtro de Kalman. Tomado de [1] 12

APLICACIONES

Estimación de parámetros que cambian en el tiempo. Estimación del estado de un sistema en el pasado,

presente y futuro aún cuando no se conoce la naturaleza del modelado.

Estimación en presencia del ruido. Estimación en plantas donde los sensores son malos

y/o presentan mucho ruido. Interfaces y simulaciones cerebro computador. Sistema global de navegación por satélite.

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Ejemplo [3]

Ejemplo: Estimación de una constante aleatoria

• número de datos: 100

• valor a estimar: 3

• valor inicial del estimador: 2.5

• desviación estimador inicial: 0.1

• desviación típica en la observación: 0.1

• desviación típica en modelo de estados: 0.0001

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15 0 20 40 60 80 100 1202.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

3.1

3.2

3.3

Observaciones

Estimador de Kalman

16 0 20 40 60 80 100 120

0

1

2

3

4

5

6x 10

-3 Varianza del estimador de Kalman

Ejemplo 2 – Espacio de estados (segundo orden) [4] • 𝐻 𝑠 =

𝑠+2

𝑠2+2𝑠+100

17 0 50 100 150 200 250 300 350

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12Salida del sistema

tiempo(s)

18

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15Salida del sistema con ruido

tiempo(s)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Salida del sistema estimada

tiempo(s)

19

0 50 100 150 200 250 300 350-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15Comparación salida filtrada

tiempo(s)

Y

Y con ruido

Y estimada

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CONCLUSIONES Siempre se requieren mediciones de ruido en el sistema, este ruido

debe ser de media cero y covarianza diferente de cero. Una de sus principales ventajas es su requerimiento de ruido, ya que

la mayoría de sistemas reales siempre tienen cierto nivel de ruido. Dependiendo de las mediciones que se tengan, se es posible utilizar

un estimador a priori, a posteriori, suavizado o predictivo. El filtro de Kalman usa la realimentación para poder disminuir el

error del sistema. La matriz de ganancias del filtro de Kalman K sólo de penden de la

covarianza del error de estimación y de la salida del sistema, las entradas no afectan K .

Un estimador a posteriori se puede considerar mejor en el sentido que éste cuenta con más información que uno a priori.

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REFERENCIAS [1] León, G.O. «Introducción al filtro de Kalman,» 2009.

[2] Gutiérrez, I.A. «SISTEMA DE DETECCIÓN DE FALLAS EN UN MOTOR DC

USANDO OBSERVADORES PROPORCIONAL INTEGRAL GENERALIZADO,» pucp,

LIMA, 2011.

[3] Molina, R. «Bases del filtro de Kalman.» Departamento Ciencias de la

Computación e IA. Universidad de Granada.

[4] Castañeda Cárdenas, J. A., Nieto Arias, M. A., Ortiz Bravo, V. A. . «Análisis y

Aplicación del filtro de Kalman a una Señal con Ruido Aleatorio». Ingeniería

electrónica, Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia. Scientia et

Technica Año XVIII, Vol. 18, No 1, Abril de 2013

[5] Simon, D. «Optimal State Estimation: Kalman, H Infinity, and Nonlinear

Approaches». John Willey. 2006

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