Post on 15-Nov-2015
PROBLEMAS DIVERSOS
Crepier tiene como productos principales la fabricacin de bolsos y mochilas para escolares,cuyos precios de venta por unidad son de $ 40 y $ 25 respectivamente. El proceso defabricacin consta de dos etapas: corte y costura.
En la etapa de corte, se pueden cortar 10 bolsos/hora o 20 mochilas/hora y se disponediariamente de 8 horas. En la etapa de costura, un bolso requiere 4 horas mquina, unamochila requiere 3 horas mquina y se dispone diariamente de 420 horas mquina.
Se estima que diariamente se debe fabricar por lo menos 50 unidades en total (bolsos msmochilas). Finalmente la fabricacin de bolsos al da debe ser menor o igual a la fabricacin demochilas al da, debido a que los escolares les gustan ms las mochilas.
PRODUCTO CANTIDADTIEMPO(horas)
P. VENTACORTE COSTURA
Bolso X1 1/10 4 40Mochila X2 1/20 3 25
Disponible 8 420
Max. Z=40X1+25X2S.A.X1/10+X2/20
Max. Z=40X1+25X2S.A.X1/10+X2/20=0
FORMA EXTENDIDA FORMA COMPACTA
a) INDICESi:Tipo de articulo (1;2)j:Tipo de proceso(1;2)
b) Variables de decisinX(i):Nmero de artculos tipo i a producir por periodo.
c) DatosPrecio(i)={40;25}Tiempo(i,j)={0.10;0.05
4 ;3}Disponible(j)={80;420}
d) El Modelo de Programacin Lineal
= =1
2
Pr( (
=1
2
( 50
(1 (2 0
= 1; 2 ( 0 = 1; 2
=1
2
;
!Conjuntos;
Sets:
Articulos/1..2/:x, precio;
Proceso/1..2/: Capacidad;
AxP(Articulos,Proceso):Tiempo;
End Sets
!Datos de cada conjuntos;
Data:
Precio=40 25;
Capacidad=8 420;
Tiempo=0.10 4
0.05 3;
End data
!Funcin Objetivo;
Max=@sum(Articulos(i):precio(i)*x(i));
!Restricciones de horas disponibles;
@for(proceso(j):@sum(articulos(i):tiempo(i,j)*x(i))=50;
x(1)-x(2)
CASO 02
Una fbrica textil ha recibido una orden de compra por un lote de telaque contenga al menos 45 kg de lana, 25 kg de nylon y 30 kg dealgodn. El lote puede ser fabricado mediante cualquier mezcla de dosmateriales textiles A y B. Cada kilogramo de material A cuesta $ 2 ycada kilogramo de material B cuesta $ 3. Se dispone de $ 600 para lacompra de los materiales.La proporcin de lana, nylon y algodn que dichos materialescontienen es la siguiente:
Material Lana (%) Nylon (%) Algodn (%)A 60 10 30B 30 50 20
MaterialCantidad
(kg)Lana(kg)
Nylon(kg)
Algodn(kg)
Costo($/Kg.)
A X1 0.60 0.10 0.30 2B X2 0.30 0.50 0.20 3
Disponible/Requerimiento
45 25 30 600
Min Z=2x1+3x2S.A.0.6x1+0.3x2>=450.1X1+05X2>=250.3X1+0.2X2>=302X1+3X2=0X2>=0
!Conjuntos;
Sets:
material/1..2/:x, costo;
composicion/1..3/: requerimiento;
MxM(material,composicion):mezcla;
End Sets
!Datos de cada conjuntos;
Data:
costo=2 3;
requerimiento=45 25 30;
mezcla=0.60 0.10 0.30
0.30 0.50 0.20;
End data
!Funcin Objetivo;
Min=@sum(material(i):costo(i)*x(i));
!Restricciones de requerimiento;
@for(composicion(j):@sum(material(i):mezcla(i,j)*x(i))>=requeri
miento(j));
!Restricciones dinero disponible para la compra de matriales;
@sum(material(i):costo(i)*x(i))
MODEL:
[_1] MIN= 2 * X_1 + 3 * X_2;
[_2] 0.6 * X_1 + 0.3 * X_2 >= 45;
[_3] 0.1 * X_1 + 0.5 * X_2 >= 25;
[_4] 0.3 * X_1 + 0.2 * X_2 >= 30;
[_5] 2 * X_1 + 3 * X_2
Una empresa, especializada en la fabricacin de mobiliario para casas
de muecas, produce cierto tipo de minimesas y minisillas que vende
a 2000 unidades monetarias (u. m.) y 3000 u. m. por cada artculo,
respectivamente. Desea saber cuntas unidades de cada artculo debe
fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos,
teniendo las siguientes restricciones:
El nmero total de unidades de los dos tipos no podr exceder de
cuatro por da y operario.
Cada minimesa requiere dos horas para su fabricacin; cada
minisilla, tres horas. La jornada laboral mxima es de diez horas.
El material utilizado en cada minimesa cuesta 400 u.m. El utilizado
en cada minisilla cuesta 200 u.m. Cada operario dispone de 1200 u.m.
diarias para material.
Problema 01
INFORMACIN
Precio de venta de minimesas 2000 u.m.
Precio de venta de minisillas 3000 u.m.
Tiempo de fabricacin de una minimesa 2 horas
Tiempo de fabricacin de una minisilla 3 horas
Jornada laboral mxima 10 horas
Costo de material de una minimesa 400 u.m.
Costo de material de una minisilla 200 u.m.
Total minisillas y minimesas no deben exceder cuatro unidades por da y operario
PLANTEAMIENTO
X1: Nmero de minimesas a producir diariamente por operario
X2: Nmero de minisillas a producir diariamente por operario
MAX. Z=2000X1+3000X2
SUJETO A:
X1+X2
Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de pltanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas
pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero slo venden la fruta en
contenedores completos. El mayorista A enva en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de
pltanos y 2 de manzanas.
El mayorista B enva en cada contenedor 2 cajas de naranjas, una de pltanos y 7 de
manzanas.
Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300 km,
calcular cuntos contenedores habr de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar
tiempo y dinero, reduciendo al mnimo la distancia de lo solicitado.
Problema 02
APLICACIN DE MANUFACTURA
Aplicaciones de marketing
El club Win Big Gambling promueve el juego en giras de una ciudad
grande el medio oeste de Estados Unidos a los casinos en las
Bahamas. El club tiene un presupuesto de hasta $8,000 semanales
para anuncios locales. El dinero se asignar entre cuatro medios de
comunicacin: spots en televisin, anuncios en peridicos y dos tipos
de comerciales en radio. La meta de Win Big es llegar a la audiencia
de mayor potencial ms grande posible, usando los diferentes medios
de comunicacin.
La siguiente tabla presenta el nmero de jugadores potenciales
expuestos mediante un anuncio en cada uno de los cuatro medios.
Tambin proporciona el costo por anuncio colocado y el mximo
nmero de ellos que se puede comprar por semana.
Seleccin de medios de comunicacin
Las condiciones contractuales de Win Big requieren que se coloquen
al menos cinco spots de radio cada semana. Para asegurar una
campaa promocional de amplio espectro, la gerencia tambin insiste
en que no se gasten ms de $1,800 por semana en los comerciales de
radio.
X1 nmero de spots de TV de 1 minuto en cada semana
X2 nmero de anuncios de 1 plana en el peridico en cada semana
X3 nmero de spots de radio de 30 segundos en cada semana
X4 nmero de spots de radio de 1 minuto por la tarde en cada semana
Investigacin de mercados
(Falta Implementar)
Aplicaciones de manufactura
Mezcla de productos
Fifth Avenue Industries, un conocido fabricante local de ropa paracaballero, produce cuatro variedades de corbatas. Una es una costosade seda pura, otra est hecha de polister, otra ms es una mezcla depolister y algodn, y la cuarta es una mezcla de seda y algodn. Lasiguiente tabla ilustra el costo y la disponibilidad (por periodo deplaneacin de la produccin mensual) de los tres materialesutilizados en el proceso de produccin:
La empresa tiene contratos fijos con varias de las cadenas de tiendas
por departamentos para comercializar sus corbatas. Los contratos
requieren que Fifth Avenue Industries surta una cantidad mnima
de cada corbata, pero permitirn una demanda mayor si la empresa
elige cumplir esa demanda. (Dicho sea de paso, la mayora de las
corbatas no llevan etiqueta de Fifth Avenue, sino etiquetas propias de
las tiendas). La tabla siguiente resume la demanda del contrato para
cada uno de los cuatro estilos de corbata, el precio de venta por corbata
y los requerimientos de tela para cada variedad. La meta de Fifth
Avenue es maximizar su ganancia mensual. Debe decidir la poltica
para la mezcla de productos.
X1 nmero de corbatas de seda producidas por mes
X2 nmero de corbatas de polister
X3 nmero de corbatas de la mezcla 1, polister y algodn
X4 nmero de corbatas de la mezcla 2, algodn y seda
Al usar Excel y su complemento Solver, la solucin generada por
computadora es producir,112 corbatas de seda pura cada mes; 14,000
corbatas de polister; 16,000 de la mezcla 1 de polister y algodn; y
8,500 de la mezcla 2 de seda y algodn. Esto genera una ganancia de
$412,028 por periodo de produccin. Vase los detalles en el programa
8.3.
Programacin de la produccin
Greenberg Motors, Inc. fabrica dos motores elctricos distintos para
venta regulada por un contrato con Drexel Corp., un fabricante
conocido de electrodomsticos pequeos para cocina. Su modelo
GM3A se encuentra en muchos procesadores de alimentos Drexel y su
modelo GM3B se usa en el ensamble de licuadoras.
Tres veces al ao, el funcionario de compras de Drexel contrata a Irwin
Greenberg, el fundador de Greenberg Motors, y coloca una orden
mensual para los siguientes cuatro meses. La demanda de Drexel de
motores vara cada mes segn sus propios pronsticos de ventas,
capacidad de produccin y posicin financiera.
Greenberg acaba de recibir la orden para enero-abril, y debe iniciar su
propio plan de produccin de cuatro meses. La demanda de motores se
presenta en la tabla siguiente:
La planeacin de la produccin en Greenberg Motors tiene que
considerar varios factores:
1. La compaa debe cumplir la demanda de cada uno de los dos
productos cada mes (vase la tabla). Adems, la compaa desea tener
450 unidades del GM3A y 300 unidades del GM3B en inventario al
final de abril, pues se espera que la demanda de mayo sea algo ms
alta que la de los meses anteriores.
2. Hay costos por almacenar o mantener para cualquier inventario que
quede al final del mes. De manera que producir demasiadas unidades
adicionales de cualquier producto quiz no sea deseable.
Programa de cuatro meses de rdenes para motores elctricos
El costo mensual por almacenar asignado al GM3A es de $0.36 por
unidad, mientras que el costo mensual por almacenar para el GM3B es
de $0.26 por unidad.
3. La compaa ha podido mantener la poltica de que no haya
despidos y quiere continuar as.
Esto es ms fcil si las horas de mano de obra no fluctan demasiado
de un mes a otro. Se recomienda mantener un programa de produccin
que requiera entre 2,240 y 2,560 horas de mano de obra al mes. El
GM3A requiere 1.3 horas de mano de obra por unidad, en tanto que el
GM3B requiere tan solo 0.9 horas.
4. Las limitaciones de almacn no pueden excederse sin incurrir en
costos altos adicionales. Hay lugar al final del mes nada ms para
3,300 unidades de GM3A y GM3B combinados.
Los costos de produccin actualmente son de $20 por unidad para el
GM3A y $15 por unidad para el GM3B. Sin embargo, cada uno
debera aumentar 10% el 1 de marzo, cuando entre en vigencia el
nuevo contrato laboral.
Al formular este problema como un programa lineal, es importante
entender cmo se relacionan todos los factores importantes, cmo se
calculan los costos, cmo se calculan las horas mensuales de mano de
obra y cmo se satisface la demanda con la produccin y el inventario
disponibles. Para comprender mejor, intente determinar el nmero de
horas de mano de obra usadas, el nmero de unidades que quedan en
inventario al final de cada mes para cada producto y el costo total, si se
fabricaran cada mes exactamente 1,000 unidades del GM3A y justo
1,200 del GM3B.
Ai nmero de unidades GM3A producidas el mes i (i 1, 2, 3, 4, enero a abril)
Bi nmero de unidades GM3B producidas el mes i (i 1, 2, 3, 4, enero a abril)
IAi unidades de GM3A en inventario al final del mes i (i 1, 2, 3, 4, enero a abril)
IBi unidades de GM3B en inventario al final del mes i (i 1, 2, 3, 4, enero a abril)
La solucin, aunque algunas variables no son enteras, esto no es un
problema ya que el trabajo en proceso podra aplazarse de un mes al
siguiente. La tabla resume la solucin con los valores redondeados. El
costo total es aproximadamente de $169,295. Greenberg puede usar este
modelo para desarrollar los programas de produccin de nuevo en el
futuro, estableciendo los subndices sobre las variables como nuevos
meses, y haciendo cambios menores al problema. Lo nico en el modelo
que tendra que cambiar seran los valores del lado derecho (RHS) de las
restricciones de demanda (y del inventario deseado al final de mes
cuatro), as como los coeficientes (costos) de la funcin objetivo si tienen
cambios.
Aplicaciones de programacin de mano de obra
Planeacin de mano de obra
El Hong Kong Bank of Commerce and Industry es un banco con
mucho movimiento que tiene requerimientos de 10 a 18 cajeros,
dependiendo de la hora del da. La hora de la comida, de 12 P.M. a 2
P.M. suele ser la ms pesada. La tabla indica los trabajadores
necesarios en las diferentes horas en que el banco est abierto.
Actualmente el banco emplea a 12 cajeros de tiempo completo,
aunque tiene a muchas personas en su lista de empleados de tiempo
parcial. Un empleado de tiempo parcial debe trabajar justo cuatro
horas diarias, puede comenzar en cualquier momento entre las 9 A.M.
y la 1 P.M. y constituyen un grupo de trabajadores poco costoso, ya
que no tienen prestaciones como jubilacin o comidas pagadas.
Por otro lado, los empleados de tiempo completo trabajan de 9 A.M. a
5 P.M., pero tienen una hora para comer. (La mitad de ellos come a las
11 A.M. y la otra mitad a las 12 P.M.) De esta manera, los
trabajadores de tiempo completo proporcionan 35 horas semanales de
trabajo productivo.
Por polticas corporativas, el banco limita las horas de tiempo parcial a
un mximo de 50% del requerimiento diario total. El empleado de
tiempo parcial gana en promedio $8 por hora ($32 por da), y el de
tiempo completo gana en promedio $100 por da en salario y
prestaciones. El banco desea establecer un programa que minimice sus
costos totales de personal. Despedir a uno o ms de sus trabajadores
de tiempo completo, si ello es redituable.
Tipo de
personal9A.M. 10A. M. 11A.M. 12M.D. 1P.M. 2P.M. 3P. M. 4P.M. 5P.M.
F
P1
P2
P3
P4
P5
9A.M. 10A. M. 11A.M. 12M.D. 1P.M. 2P.M. 3P. M. 4P.M. 5P.M.
El programa 8.5 da la solucin encontrada con Solver de Excel 2010. Existen varios
programas ptimos diferentes que puede seguir el Hong Kong Bank. El primero es
emplear tan solo a 10 cajeros de tiempo completo (F 10) y comenzar con 7 tiempos
parciales a las 10 A.M. (P2 7), 2 tiempos parciales a las 11 A.M. (P3 2) y 5
tiempos parciales a las 12 P.M. (P4 5). Ningn tiempo parcial comenzara a las 9
A.M. o a la 1 P.M.
La segunda solucin tambin emplea a 10 cajeros de tiempo completo, pero
comienza 6 tiempos parciales a las 9 A.M. (P1 6), 1 tiempo parcial a las 10 A.M.
(P2 1), 2 tiempos parciales a las 11 A.M. y 5 a las 12 P.M. (P3 2 y P4 5) y 0
tiempos parciales a la 1 P.M. (P5 0). El costo de cualquiera de estas dos polticas es
de $1,448 por da.
Aplicaciones de finanzas
Seleccin de portafolios
International City Trust (ICT) invierte en crditos comerciales a corto
plazo, bonos corporativos, reservas de oro y prstamos para
construccin. Para fomentar un portafolios diversificado, el consejo
de administracin ha puesto lmites en la cantidad que se puede
comprometer a cualquier tipo de inversin. ICT dispone de $5
millones para inversin inmediata y desea hacer dos cosas: 1.
maximizar el rendimiento sobre la inversin hecha para los siguientes
seis meses y 2. satisfacer los requerimientos de diversificacin segn
los estipul el consejo de administracin.
Los detalles de las posibilidades de inversin son los siguientes:
Adems, el consejo especifica que por lo menos 55% de los fondos
deben invertirse en reservas de oro y prstamos para construccin, y
que por lo menos 15% tiene que invertirse en crditos comerciales.
Al formular esto como un programa lineal, el objetivo es maximizar
el rendimiento. Existen cuatro restricciones separadas que limitan la
cantidad mxima en cada opcin de inversin a la cantidad dada en latabla.
X1 dlares invertidos en crdito comercial
X2 dlares invertidos en bonos corporativos
X3 dlares invertidos en reservas de oro
X4 dlares invertidos en prstamos para construccin
En un da promedio, UPS entrega 13 millones de paquetes a casi 8 millones declientes en 200 pases y territorios. Las entregas se clasifican como en el mismo da
por aire, al siguiente da por aire y al segundo da por aire. Las operaciones del
siguiente da por aire promedian ms de 1.1 millones de paquetes por da y generan
ingresos anuales por ms de $5 mil millones. La compaa tiene 256 aviones y
muchos ms ordenados. Durante la poca del ao de ms actividad, entre Da de
Accin de Gracias y Ao Nuevo, la compaa renta aviones adicionales para
satisfacer la demanda. El tamao de esta flota hace que UPS sea la novena lnea
area comercial ms grande en Estados Unidos y la nmero 11 en el mundo.
En la operacin de entrega al da siguiente, la recoleccin y entrega de paquetes por
UPS implica varias etapas. Los paquetes se llevan en camin a los centros en tierra
y de ah al aeropuerto; luego, se trasladan por aire a uno de los centros de conexin
con cuando mucho una escala en otro aeropuerto para recoger ms paquetes. En el
centro de conexin, los paquetes se clasifican y cargan en aviones para volar a su
destino. Despus, los paquetes se cargan en camiones grandes y se llevan a los
centros de tierra.
Aqu se clasifican de nuevo, se asignan a camiones ms pequeos y se entregan en
su destino final antes de las 10:30 A.M. El mismo avin se usa tambin en las entregas
de segundo da, de manera que estos dos tipos de operaciones deben coordinarse.
Un equipo de UPS y del MIT (Massachusetts Institute of Technology) trabajaron
juntos para desarrollar un sistema de planeacin basado en la optimizacin, llamado
VOLCANO (Volume, Location and Aircraft Network Optimizer) que se utiliza para
planear y administrar las operaciones. Este grupo desarroll mtodos de
optimizacin para minimizar el costo general (de propiedad y operacin) a la vez que
se satisfacen las restricciones estndares de capacidad y servicio.
Los modelos matemticos sirven para determinar el conjunto de rutas de costo
mnimo, las asignaciones de la flota y los flujos de paquetes.
Las restricciones incluyen el nmero de aviones, las restricciones de aterrizaje en
aeropuertos y las caractersticas de operacin de los aviones (como velocidad,
capacidad y alcance).
El sistema VOLCANO tiene el crdito de haber ahorrado ms de $87 millones desde
finales de 2000 a finales de 2002. Se esperan ahorros de $189 millones durante la
siguiente dcada. Este optimizador tambin se utiliza para identificar la composicin
necesaria de la flota y recomendar futuras adquisiciones de aeronaves.
Fuente: Basada en Andrew P. Armacost, Cynthia Barnhart, Keith A. Ware y
Alysia M. Wilson. UPS Optimizes Its Air Network, Interfaces 34, 1 (enerofebrero
de 2004): 15-25.