Método de Cramer

Ejercicios resueltos

Usando el método de Cramer resolver:

2 3 53

2 2 6

5 3 16

x y z

x y z

x y z

1 Del sistema de ecuaciones, se obtiene la matriz ampliada así como la matriz de

coeficientes

2 1 3 53

1 2 2 6

5 3 1 16

E

2 1 3

1 2 2

5 3 1

A

(Matriz ampliada) (Matriz de coeficientes)

2 Se calcula el determinante de la matriz A. Para hallar el valor del determinante, a este

último se lo escalona por filas (se puede utilizar otro método para determinar el valor del

determinante).

2 1 3

3 2 2

5 3 1

A 2 2 1 – F F F

2 1 3

1 3 5

5 3 1

1 2 F F

1 3 5

2 1(–1)

3 1

  3

5

= 2 2 1

3 3 1

– 2

– 5

F F F

F F F

1 3 5

0 7 13

0

( 1

1

)

2 26

= 3 3 2

12 –

7F F F (–1)

1 3 5

0 7 13

260 0

7

= 26

7(–1) 1 7 ( ) 26 0 el sistema es de Cramer

3 Se prosigue a calcular el valor de las incógnitas. Los determinantes se pueden calcular

igual que en el paso 2

x

5 1 3

6 2 2

16 3 1

26

36 18

26 13 y

2 5 3

3 6 2

5 16 1

26

65 5

26 2

z

2 1 5

3 2 6

5 3 16

26

41

26

4 El conjunto solución es:

18 5 41. . , ,

13 2 26C S

Determinar el valor de λ para que el sistema:

2

2 0

2

x y z

x y z

x y z

i. Tenga solución única.

Hallarla

ii. Tenga más de una solución.

Hallarlas

iii.

iv. No tenga solución

1. Del sistema de ecuaciones, se obtiene la matriz ampliada así como la matriz de

coeficientes

2

1 1 1

2 1 1 0

1 2

P B

1 1 1

2 1 1

1 2

(Matriz ampliada) (Matriz de coeficientes)

2. Se calcula el determinante de la matriz B. Para hallar el valor del determinante, a este

último se lo escalona por filas (se puede utilizar otro método para determinar el valor

del determinante).

1 1 1

2 1 1

1 2

B

2 2 1

3 3 1

2F F F

F F F

1 1 1

0 3 3

0 1 1

3 3 2

1

3F F F

1 1 1

0 3 3

0 0

1 3 0 el sistema es de Cramer

2

3. Se prosigue a calcular el valor de las incógnitas. Los determinantes se pueden calcular

igual que en el paso 2

2

1 1

0 1 1

2

3 6x

2 22

3 6 3 2 3

2 2

1 1

2 0 1

1 4

3 6 3 6y ; 2

2 2 2

1 1

2 1 0

1 2 3

3 6 3 6 2z ; 2

Entonces

I. !solución 2 24

\ 2 . . , ,3 3 6 2

C S

4. Ahora bien, veamos qué sucede con el sistema cuando 2 , para ello se reemplaza

el valor de en la matriz ampliada, y luego se escalona por filas

1 1 1 2

2 1 1 0

1 2 2 6

P 2 2 1

3 3 1

2F F F

F F F

1 1 1 2

0 3 3 4

0 3 3 8

3 3 2F F F

1 1 1 2

0 3 3 4

0 0 0 4

Entonces

II. tal que el sistema tenga soluciones

III. solución si, 2

Ejercicios Propuestos

1 Determinar los valores de m para que el siguiente sistema:

(2 2) ( 1) ( 3) 2 2

( 1) ( 1) 0

1

m x m y m z m

m y m z

mx y z m

a) Tenga solución única. Hallarla

b) Tenga más de una solución. Hallarlas

c) No tenga solución

2 Determinar los valores de a para que el siguiente sistema:

(2 2) ( 1) ( 3) 2

( 1) ( 1) 0

2 1

a x a y a z

a y a z

x y z

d) Tenga solución única. Hallarla

e) Tenga más de una solución. Hallarlas

f) No tenga solución