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EJERCICIOS 3º E.S.O. (Con Soluciones)
NÚMEROS
1.- Reduce a común denominador las siguientes fracciones:
24
28,
12
18,
20
5)b
24
16,
8
4,
42
35)a
Solución:
12(4,2,6)m.c.m
12
14,
12
18,
12
3
6
7,
2
3,
4
1ando)(simplific
24
28,
12
18,
20
5)b
6(6,2,3)m.c.m.
6
4,
6
3,
6
5
3
2,
2
1,
6
5ando)(simplific
24
16,
8
4,
42
35)a
2.- Calcula el valor de la siguiente expresión:
3:
2
5
3
4
5
1:
10
3
6
5:1
3
2
Solución:
3
4
2700
3600
18
20
50
90
3
23:
6
20
10
15
5
6
3
23:
2
5
3
4
5
1:
10
3
6
5:1
3
2
3.- Calcula el valor de la siguiente expresión:
5
8
3
2
4
1
4
3
3
2
4
1
3
5
5
2
2
3
Solución:
3
7
6
14
6
5
6
19
240
200
6
19
5
8
48
25
6
19
5
8
48
833
6
19
5
8
6
1
48
33
30
95
5
8
6
1
4
3
12
11
3
5
10
19
5
8
12
2
4
3
12
83
3
5
10
415
5
8
3
2
4
1
4
3
3
2
4
1
3
5
5
2
2
3
4.- Calcula el valor de las siguientes expresiones:
54
3:
6
1:
3
8)b
7:5
4
2
3:12)a
Solución:
15
64
45
192
4
15:
3
485
4
3:
6
1:
3
8)b
105
16
105
82
35
4
3
227:
5
4
2
3:12)a
5.- Julio pasa4
1del día en el colegio,
8
1lo dedica a comer,
6
1a estudiar,
12
1a hacer deporte
y el resto a dormir. ¿Qué fracción de día dedica a dormir?
Solución:
dormiradíadel8
3dedicaJulio
8
3
24
9
24
15
24
24
24
24361
12
1
6
1
8
1
4
11
6.- Escribe los siguientes números decimales en forma de fracción:
a) 21,54545...b) 19,3333...c) 2,0715151...d) 3,2373737...
Solución:
a)11
237
99
2133
99
212154...54545,21
b)3
58
9
174
9
19193...3333,19
c)825
1709
9900
20508
9900
20720715...0715151,2
d)
198
641
990
3205
990
323237...2373737,3
7.- La cantidad total de un concurso de fotografía se ha repartido entre los tres ganadores de
la siguiente forma: el primero ha recibido8
5del total; el segundo, el 32,5% y el tercero, 500 euros.
¿Cuál era el total para repartir entre los premiados?
Solución:
La fracción que recibe el segundo es: 32,5% =
40
13
1000
325
100
5,32
La fracción de premio que recibe el tercero es:
20
1
40
2
40
132540
40
13
8
51
Como esa fracción equivale a 500 euros, la cantidad buscada es x de tal manera que:
20
1
x = 500.Por tanto la cantidad total a repartir era de 10 000 €
8.- Expresa primero en forma de fracción y luego opera:
9
414,0....13333,1...5555,2
Solución:
150
259
900
1554
900
400
900
126
900
1020
900
2300
9
4
100
14
90
102
9
23
9
4
100
14
90
11113
9
225
9
414,0....13333,1...5555,2
9.- Realiza las siguientes operaciones, expresando primero los decimales en formafraccionaria:
4
974,1·...828282,0
9
1
Solución:
330
119
9900
3750
100
51·
99
70
100
225
100
174·
99
81
99
11
4
9
100
174·
99
82
9
1
4
974,1·...828282,0
9
1
10.- Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:
2
π)a 23)b
3
3)c
100001
1)d
Solución:
a)2
IRRACIONAL porque el numerador de la fracción es un número decimal no periódico.
b) 23 IRRACIONAL, ya que la solución de la raíz tiene ilimitadas cifras decimales no
periódicas.
c)3
3 IRRACIONAL , ya que el numerador de la fracción tiene ilimitadas cifras decimales no
periódicas.
100001
1)d RACIONAL, porque el cociente de la fracción es un número decimal periódico
11.- Representa de todas las formas posibles el intervalo
75,
4
Escribe dos números reales del intervalo.
¿Son 5 y4
7 puntos del intervalo?
Solución:
a)b) Dos números reales del intervalo son 2 y 2,1.
c) 5 sí es del intervalo, pero, no4
7 .
POTENCIAS Y RAÍCES
1.- Una fábrica produce 3 toneladas de hierro al día. ¿Cuántos kilos de hierro fabricará en 5días? Expresa el resultado en notación científica.
Solución:1 tonelada son 1000 kg.3 toneladas son 3000 kg.
En cinco días fabricará:
105,10001553000 4 kilogramos.
2.- Escribe en notación científica los siguientes números.
a) 25 millones de eurosb) Trescientos mil dólaresc) Cuatrocientos treinta y dos mil metrosd) Treinta milímetros (en metros)
Solución:
a) 25 millones de euros 7105,2 euros.
b) Trescientos mil dólares 5103 dólares
c) Cuatrocientos treinta y dos mil metros 51032,4 metros
d) Treinta milímetros (en metros) 2103 metros
3.- Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma de potencia:
4
52325
69
312b)3-:93a)
Solución:
9
442
524
42
522
4
52
113143225325
3323
332
323
332
69
312b)
33:33:333-:93a)
4.- Calcula las siguientes sumas y restas, convirtiendo previamente los radicales ensemejantes:
a) 18080455
b)49
7548
Solución:
37
333
7
543
7
534
27
325342
56564315654535
52322542523
4975
48b)
518080-455a)
5.- Halla en la forma más simplificada posible el resultado de las siguientes divisiones:
a) 8 25:5 b) 104 2 6:6
Solución:
a)48 28 248 28 48 555:55:525:5
b) 55 220 820 21020 220 52104 2 36666:66:66:6
6.- ¿Es correcto decir que 6 es el doble de 3 ? Razona tu respuesta
Solución:
No puesto que 3·23·26
El doble de 3 sería 123232 2
7.- Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones con radicales:
53 100:20·10
Solución:
30 132830 131530 131530 3151031530 10
30 12151530 1030 6230 1530 1053
5·25·2·210·210·2·1010·2·10
10:10·2·1010:10·2·10100:20·10
8.- Realiza las siguientes sumas de radicales:
a) 244554125 b) 27450512318
Solución:
a)
65262536355
6·25·36·35·5244554125 2222
b)
3622833·425·532·323
3·342·553·232·327450512318 2222
9.- Extrae factores de los siguientes radicales:
a) 300 b)8
1253
64
54)c
Solución:
a) 31035·23·5·2300 22
b)2
5
2
5
2·2
5·5
8
1252
2
c) 33333
3
3 24
32
2·2
3
2·2
2·3
64
54
10.- Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales:
6:10d3 5:3 625c
3 123 9b28a
))
))
Solución:
3
5
6
10
3 1294
6:10d)5312535
6253 5:3 625c)
31083123 9b)162828a)
11.- Expresa el resultado como potencia única:
16
1
2
1
2
1c)164-4-b)822a)
32534
Solución:
343232
1025353
8344
2
1
2
1
2
1
2
1
16
1
2
1
2
1c)
4444164-4-b)
2222822a)
POLINOMIOS
1.- Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes:
a) )1)(42()2
1)(42( 22 xxxx
b) )1)(()1)(( 22 yxyyxxyxyx
Solución:a) El primer paréntesis es factor común:
2xx8x4)2
1x2)(4x2()x1
2
1x)(4x2( 23222
b) El primer paréntesis es común:32232222 yxy3yx3x)yxy2x)(yx()1yxy1xyx)(yx(
2.- Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos:
a) 225x ... 36 b) 24 18xx ... c) ... 2540 x
Solución:
a) 2)5( x ...2)6( . Falta el doble producto de los dos términos: 2·5x·6 = 60x, para tener:
.)65( 2x
b) 222 )9(2)( xx ... Falta el cuadrado de 9 para tener el cuadrado: .)9( 22 x
c) ...2)5()4(52 x . Falta el cuadrado de 4x para tener el cuadrado:
2)54( x .
3.- Halla el polinomio que hay que restar a 153)( 235 xxxxP , para
obtener .3542)( 245 xxxxQ
Solución:Nos piden R(x) para que P(x) - R(x) = Q(x).Despejamos y sustituimos los polinomios:
4x3x4x)3x5x4x2(1x5x3x)x(Q)x(P)x(R 345245235
4.- Efectúa las siguientes operaciones:
a) 1))2(3(2 234 xxxx
b) )())1()1(()1( 232323 xxxxxxxxx
Solución:
a) 1232 234 xxxx
b) 3333111 23232323 xxxxxxxxxxxx
5.- Dados los polinomios 22
3
2
1)( 3 xxxP y 5
3
2
3
1)( 2 xxxQ . Calcula:
a) 4P(x) + 3Q(x)b) 2P(x) -6Q(x)
Solución:
a) 2342)53
2
3
1(3)2
2
3
2
1(4 2323 xxxxxxx
b) 2672)53
2
3
1(6)2
2
3
2
1(2 2323 xxxxxxx
6.- Calcula las siguientes potencias y reduce los términos semejantes:
.)34()52()3( 222 xxx
Solución:Desarrollamos los tres binomios y agrupamos los términos.
18x38x4)x9x2416(25x20x49x6x)x34()5x2()3x( 2222222
7.- Efectúa las operaciones que se indican, y reduce los términos semejantes:
a) (2x + y) - [x + (3x - 2y) - (x - 2y)]
b) )52(2)2( 3432 xxxxx
Solución:a) 2x + y - x - 3x + 2y + x - 2y = -x + y
b) 852)10422( 2343432 xxxxxxxxx
8.- Divide los siguientes polinomios:
)1x2x(:)x4x2x4x( 3346 .
Solución:
0x4x0x2x4x0x 23456 123 xx
6x 34 xx2 123 xx
0x4x0xx2 234
4x2 0x2x4 2
0x2x4xx0 234
3x 1x2 2x4 -1
Es decir: 12)( 3 xxxC , 14)( 2 xxR .
9.- Efectúa las siguientes divisiones utilizando el método de Ruffini:
a) )2(:)853( 24 xxxx
b) )2(:)453( 246 xxxx
Solución:
a) 1 0 - 3 5 - 8
- 2 - 2 4 - 2 - 6
1 - 2 1 3 - 14
32)( 23 xxxxC , R(x) = - 14
b) 1 0 -3 0 - 5 0 4
2 2 4 2 4 -2 -4
1 2 1 2 - 1 - 2 0
222)( 2345 xxxxxxC , R(x) = 0.
10.- En una división por el método de Ruffini se han borrado algunos de los coeficientes,quedando:
1 0 -9 0 2 6
2
Si sabemos que la división es exacta, ¿puedes reconstruirla, y escribir los polinomiosdividendo, divisor y cociente?
Solución:Como la división es exacta, el último coeficiente de la tercera fila es cero, y el que está enciam de él debeser -6. Entonces el coeficiente del divisor, el primero de la segunda fila debe ser -3, pues, al multiplicarlopor 2 resulta -6. Ahora, solamente consiste en continuar con el método.Los polinomios pedidos son:
0)x(Ry2x3x)x(C,3x)x(d,6x2x9x)x(D 3435
11.- Divide los siguientes polinomios:
).2x(:)3x4x2( 223
Solución:
3x0x4x2 23 2x - 23x2 + 4x 2x + 4
3x4x4 2
2x4 + 84x + 5
Es decir: C(x) = 2x +4, R(x) = 4x + 5.
ECUACIONES Y SISTEMAS
1.- Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuación de segundo grado:
).2x(x4)2x(x4 22
Solución:
Operamos: xxxxx 84444 222
Agrupamos los términos: 0442 xxResolvemos:
22
16164
x .
2.- Resuelve la siguiente ecuación:
x2
3
4
3
1
9
4
6
1x
2
1x
3
1
5
2
Solución:
Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 5, 6, 9) = 90: xxx 6040166
1
2
13612
Quitamos los paréntesis y dividimos por 2:6x - 9x + 3 + 8 = 20 - 30xAgrupamos y resolvemos:
27x = 93
1
27
9x .
3.- Resuelve la siguiente ecuación:
x
4
9
3
1)
3
2x(x4)
2
1x2)(
2
1x2(
Solución:Operamos:
x3
1
4
3x
3
8x4
4
1x4 22
Simplificamos y multiplicamos por el m.c.m.(3, 4) = 12: - 3 + 32x = 9 - 4x
Agrupamos y resolvemos:
36x = 123
1
36
12x .
4.- Resolver la siguiente ecuación:
5
x2
6
x52
10
5x8
Solución:Multiplicamos por el m.c.m.(5,6,10)=30: 3(8x+5) - 5(2-5x) = 60 -6xQuitamos los paréntesis: 24x + 15 - 10 +25x = 60 - 6xAgrupamos y resolvemos:
55x = 55 x = 1.
5.- Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general:
a) 0327 2 x
b) 0155 2 xx
Solución:
a) Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta. Despejamos: 39 xb) Como carece de término independiente, sacamos x como factor común: 5x(x-3) = 0, luego x = 0;
x = 3.
6.- Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuación de grado dos:5x(x + 1) + 10(2x + 3) + 60 = 20(1 - x).
Solución:
Operamos: .x20206030x20x5x5 2
Agrupamos los términos: 5x2 + 45x + 70 = 0. Simplificamos: .01492 xxResolvemos:
7
2
2
59
2
56819x
.
7.- Resolver la siguiente ecuación:
0xx12 2
Solución:
2
71
2
491
1·2
12·1·411x
2
Las soluciones son: 32
711
x y 4
2
712
x
8.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2y15x1515
1
3
x
5
y2
Solución:
Quitamos paréntesis:
21515
156
yx
xy
Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando:
3
553
21515
31815
yy
yx
yx
Sustituyendo en la 2ª ecuación se calcula x:5
9
15
27252152
3
5·1515 xxx
La solución es x =3
5, y =
5
9
9.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
12y2y3x4
4y33x
Solución:
Quitando paréntesis:
122124
433
yyx
yx
Agrupando los términos:
2434
13
yx
yx
Multiplicando por 1 la 1ª ecuación y sumando:
5
23235
2434
13
xx
yx
yx
Se calcula y:15
28
5
283
5
231313
5
23
yyyy
La solución es x =5
23, y =
15
28
10.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
5
x5y2)y
2
x(2
x)yx(2)3x(2
Solución:Operamos y quitamos denominadores en las ecuaciones:
x5y2y10x5
xy2x26x2
Agrupamos los distintos términos:
0y8x10
6y2x
(*)Multiplicamos la 1ª ecuación por 4, y restamos:
0y8x10
24y8x4
-6x = -24 x = 4Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación de (*):
4 + 2y = -6 y = -5. Solución: (4, -5)
11.- Divide el número 392 en dos partes, de modo que al dividir la mayor entre la menorobtengas 11 de cociente y 8 de resto.
Solución:Sean x e y con x > y las partes buscadas del número dado: x + y =392La ley de la división aplicada a los datos del enunciado nos da: x = 11y + 8
Debemos resolver el sistema:
8y11x
392yx
Restamos la segunda de la primera:
12y = 384 y = 32. Sustituyendo en la 1ª ecuación: x = 360.
12.- Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte el orden de las cifras, el númerodisminuye en 9. ¿Qué número es?
Solución:Sean x la cifra de las decenas e y la de las unidades.El número en cuestión es: 10x+y.El número con las cifran en orden inverso: 10y+x.Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema:
9yx10xy10
9yx
Agrupando los términos y simplificando, resulta:
1yx
9yx
Sumando las dos ecuaciones: 2y = 8 y = 4, x = 5.
El número pedido es el 54.
PROPORCIONALIDAD
1.- 5 personas consumen en 2 días 100 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua consumirán 8personas durante una semana?
Solución:5 personas _____ 2 días _____ 100 litros8 personas ____ 7 días _____ x litros
Proporcionalidad compuesta directa
Se reduce a una proporción simple: 56010
56100100
56
10100
7
2
8
5
x
xxlitros
2.- Reparte 330 en partes inversamente proporcionales a 5 y 10.
Solución:Sea k la constante de proporcionalidad inversa:
A 5 le corresponde:5
k
A 10 le corresponde:10
k
Por tanto:
1100k33010
k3330
10
k
5
k
Luego a 5 le corresponde 2205
1100
a 10 le corresponde 11010
1100
3.- Un ganadero quiere transportar cierto número de vacas. Para ello contrata 15 camionescon una capacidad de 8 vacas cada uno, que realizarán el trabajo en 10 días. ¿Cuántotiempo tardarán si contrata la tercera parte de camiones con una capacidad para 12 vacas?
Solución:15 camiones 8 vacas c/u 10 días5 camiones 12 vacas c/u x días
Proporcionalidad compuesta inversa
Se reduce a una proporción simple: 2060
1012010
120
6010
8
12
15
5
x
xxdías
4.- Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando sereduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes?
Solución:Subida: 120 · 1,20 = 144 eurosRebaja: 144 · 0,8 = 115,20 eurosVale menos que antes de la subida.
5.- Un estanque contiene 25200 litros de agua, si se consume el 12,5 % del contenido y con lalluvia aumenta un 21% de lo que restaba ¿qué cantidad de agua contiene actualmente elestanque?
Solución:
El 12,5 % del agua del estanque se consume: 3150100
252005,12
25200100
5,12
x
xlitros.
Por tanto, quedan en el estanque 25200 - 3150=22050 litros.El 21% de agua que procede de la lluvia equivale a:
5,4630100
2205021
22050100
21
x
xlitros.
Por tanto, el estanque contiene actualmente 22050 + 4630,5= 26680,5 litros
6.- Tres usuarios de Internet, que utilizan el mismo ordenador, pagan la facturaproporcionalmente al número de horas que ha estado conectado cada uno. Si tienen quepagar 16,50, 21 y 10,50 euros respectivamente, y han estado conectados un total de 120horas, ¿cuánto tiempo habrá utilizado cada uno el ordenador?
Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:El primer usuario habrá estado conectado: 16,50 kEl segundo usuario habrá estado conectado: 21 kEl tercer usuario habrá estado conectado: 10,50 kPor tanto:
5,21204812050,102150,16 kkkkkLuego:
El primer usuario habrá estado conectado 25,415,2·50,16 41 h. y un cuarto
El segundo usuario habrá estado conectado 5,525,2·21 52 h. y media
El tercer usuario habrá estado conectado 25,265,2·5,10 26 h. y un cuarto
7.- Reparte 7700 en partes directamente proporcionales a 2, 5, 7 y 11.
Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:A 2 le corresponde: 2 kA 5 le corresponde: 5 kA 7 le corresponde: 7 kA 11 le corresponde: 11 kPor tanto:
308k7700k257700k11k7k5k2
Luego a 2 le corresponde 6163082 a 5 le corresponde 15403085 a 7 le corresponde 21563087 a 11 le corresponde 338830811
8.- Para cubrir el suelo de una casa se necesitan 270 baldosas de 24 cm de largo y 15 de ancho.¿Cuántas baldosas serían precisas si cada una mide 20 cm de largo y 12,5 cm de ancho?
Solución:270 baldosas 24 cm de largo 15 cm de anchox baldosas 20 cm de largo 12,5 cm de ancho
Proporcionalidad compuesta inversa
Se reduce a una proporción simple: 8,388250
360270
250
360
2705,12
15
20
24
270
x
xx
baldosas
SUCESIONES
1.- Averigua si65
11
13
6,
17
7,1 y son términos de la sucesión:
1
32
n
nan .
Solución:
1aluego,2n1n
3n1 22
17
7aluego,4n
1n
3n
17
742
sucesiónladeomintérunesno13
6N
3
11n
1n
3n
13
62
65
11aluego,8n
1n
3n
65
1182
2.- Halla el término general de las siguientes sucesiones:
a) 1, 4, 9, 16, ... b) 3, 6, 9, 12, ...
Solución:
a)2nan
b) nbn 3
3.- Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:
a) na =3n + 2 b)12
5
n
nbn
Solución:
a) 51 a ; 82 a ; 113 a ; 144 a ; 175 a
b) 21 b ;5
72 b ;
7
83 b ; 14 b ;
11
105 b
4.- Averigua el término siguiente en cada una de las sucesiones:a) 3, 5, 7, 9, ___b) 5, 10, 20, 40, ___
Solución:a) 3, 5, 7, 9, 11b) 5, 10, 20, 40, 80
5.- Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética, sabiendo que elsexto término es -12 y la diferencia -4.
Solución:8a20a12d5aa 1116
dnaan )1(1 8 + (n - 1)(-4) = 8 - 4n + 4 nan 412
6.- Halla el primer término y la diferencia de una progresión aritmética, sabiendo que elquinto término es 47 y el décimo 97.
Solución:
daa )510(510 97 = 47 + 5d d = 10
7a40a47d4aa 1115
7.- En una progresión aritmética el segundo término es 20 y el quinto 35. Halla el términogeneral.
Solución:
daa )25(25 35 = 20 + 3d 3d = 15 d = 5
521 aa =20 - 5 = 15
dnaan )1(1 = 15 + (n - 1)5 = 15 + 5n - 5 = 5n + 10 105 nan
8.- Halla la suma de los 30 primeros términos de la progresión aritmética: 4, 2, 0, ...
Solución:d = -2
daa 29130 = 4 + 29(-2) = -54
7502
)544(30
2
)aa(30S 301
30
9.- Halla la suma de los 23 primeros términos de la progresión aritmética: 6,3
20,
3
19,...
Solución:
d =3
1
3
40
3
226
3
1226d22aa 123
3
667
6
1334
23
5823
2
3
40623
2
)aa(23S 231
23
10.- Una profesora de Educación Física quiere hacer una demostración gimnástica con ungrupo de 28 alumnos. Para ello quiere formar con sus alumnos y alumnas un triángulo, demodo que la primera fila tenga un alumno, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántasfilas habrá?
Solución:Si llamamos a1, a2, ..., an al número de alumnos de la 1ª fila, 2ª fila, ... n-ésima fila, respectivamente, es
2a,1a 21 , ...,
nan
Hemos de hallar n para que: 21 aaS n ... 28 na
7ny)válidano(8n056nn56nn282
)n1(n
2
)aa(nS 22n1
n
Por tanto, el número de filas es 7.
FUNCIONES
1.- Si 1)( xxf , indica si 1x , 2x y 4x pertenecen a su dominio y en el caso
de que así sea cuál sería su imagen mediante )(xf .
Solución:
Si 1x , Rxf 0011)( .Por tanto 1x pertenece al dominio, y su imagen es 0.
Si 2x , Rxf 112)( . Por lo tanto 2x no pertenece al dominio.
Si 4x , Rxf 514)( . Por tanto 4x pertenece al dominio y su imagen es 5 .
2.- Escribe la función que nos da el área de cualquier rectángulo de altura 3cm. en función dela base.
Solución:
3 cm.x
xcm3xA .
3.- El coste del recibo del teléfono depende de los minutos hablados y una cuota fija de 12euros. Cada minuto hablado cuesta 4,4 euros. ¿Cuál es la función que nos da el coste dedicho recibo?
Solución:Si llamamos x al número de minutos hablados, el coste del recibo será una función que dependerá de x:
euros12x4.4)x(f
4.- Un vendedor de periódicos obtiene una ganancia de 0.5 euros por la venta de unadeterminada revista de economía, pero ha de pagar al mes al repartidor 7euros. ¿Cuál serála función que nos daría el beneficio del vendedor al cabo de un mes?
Solución:El beneficio del vendedor al cabo de un mes dependerá del número de ejemplares que venda de la revistaen cuestión.
Si llamamos x al número de ejemplares vendidos, entonces 75'0)( xxf €
5.- Sea f(x), la función que asocia a cada número racional su duplo más uno. ¿Es esta funcióncreciente? ¿Alcanza su máximo para algún punto de su dominio?
Solución:
La función es 12 xxf , que es una función creciente, pero no alcanza su máximo, porque para
cualquier número racional siempre podemos encontrar uno mayor de manera que su imagen también seamayor que la imagen del anterior.
6.- Estudia si las siguientes funciones son periódicas, en caso que sean periódicas indica elperiodo:
a) b)
Solución:a) Es una función periódica de periodo 2.b) Es una función periódica de periodo 3.
7.- A la vista de la siguiente función, di los intervalos en los que es creciente y en los que esdecreciente.
OO
Y
X
Solución:
Esta función es creciente en los intervalos 2,14,5 y es decreciente en los intervalos
5,31,3 . Para el resto de los valores de la variable independiente la función es constante.
8.- A la vista de la siguiente función di dónde es creciente y decreciente, así como sus máximosy mínimos relativos y absolutos.
OO
Y
X
Solución:
La función es creciente en los intervalos )3,2()0,2()4,5( y es decreciente en
.)5,3()20()2,4(
La función tiene dos máximos relativos en )1,4( y )1,0( , mínimo relativo en 3,2 un máximo
absoluto en 4,3 y un mínimo absoluto en 4,2
9.- Termina la representación de cada una de las siguientes funciones, para que tengan lassimetría que se indica:
a) Par Impar c) Ni par, ni par
OO
Y
X OO
Y
X OO
Y
X
Solución:
OO
Y
X OO
Y
X OO
Y
X
10.- Dada la recta 12 xy , calcula una recta paralela a ella que tenga por ordenada en el
origen 3. Representa las dos rectas.
Solución:Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir 2; por tanto la ecuación es:
3x2y
Y
X
11.- La pendiente de una determinada recta es2
1, siendo uno de los puntos por los que pasa
es )1,3( . Calcula su ecuación y representa dicha recta.
Solución:
La pendiente de esta recta es2
1, entonces: nxy
2
1. Para saber cuál es la ordenada en el origen,
utilizamos el hecho de que )1,3( pertenece a esta recta.
2
1nn
2
31n3.
2
11
. Así que2
1
2
1
xy
Y
X
12.- Representa las rectas 2 xy e 1 xy y calcula el punto que tienen en común.
Solución:El punto que tienen en común estas dos rectas se obtiene resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:
1xy
2xy
2
1y,
2
3x
Y
X
13.- La pendiente de una recta es -1, y su ordenada en el origen 2. ¿Cuál será la ecuación de unarecta paralela a ella que tiene como ordenada en el origen -3?. Represéntalas gráficamente.
Solución:Se trata de una recta paralela a otra con pendiente -1, con lo cual la recta pedida tiene la misma pendiente.La ecuación será:y = -x-3
Y
X
14.- Calcula la ecuación de una recta paralela a la recta de ecuación 32
1
xy , que pasa
por el punto de intersección de las rectas: 121 xyexy .
Solución:Resolviendo el sistema, el punto de intersección de las rectas dadas es (-2, -3) , con lo cual la ecuación dela recta pedida será:
4x2
1y
15.- La ecuación de una recta es2
3
5
1 xy ¿Cuál será la ecuación de la recta que tiene la
misma ordenada en el origen y como pendiente la mitad? ¿Son estas dos rectas secantes?.En caso afirmativo, calcula el punto que tienen en común.
Solución:La ecuación de la recta pedida es:
2
3x
10
1y
Estas dos rectas son secantes puesto que no tienen la misma pendiente. El punto que tienen en común es
)2
3,0(
16.- Averigua si los siguientes puntos están alineados: )1,0(),2
1,3(),0,2( CBA
y )2
1,1(D .
Solución:Si están alineados pertenecerán a la misma recta. Tomamos dos de los puntos y calculamos la ecuación dela recta que los contiene:
nm.20
no.m1
2
1m,1n
con lo cual, la recta tiene como ecuación: 12
1
xy . Comprobamos ahora si el resto de los puntos
pertenecen a esta recta:
Si2
11
2
313.
2
13
yx ,por tanto B pertenece a esta recta
Si2
111.
2
11
yx ,con lo cual, D también pertenece a la recta.
Por lo tanto, los puntos A, B, C, y D estan alineados.