Post on 08-Dec-2015
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EJERCICIO: Realizar la verificación sísmica del tanque de agua despreciando la masa de la columna.
h= 8,00 mH= 9,00 m
HORMIGÓN: H-21σ'bk= 2100 Tn/m²E~= 21000*(raiz(σ'bk))E~= 300000 Kg/cm²E~= 3,00E+06 Tn/m²
COLUMNA: φ=0,80mφ= 0,80 m
Ac= π.φ²/4 m²Ac= 0,5027 m²Ic= π.φ4/64 m4
Ic= 0,02011 m4
Wc= π.φ³/32 m³Wc= 0,05027 m³
E*Ic= 60319 Tn.m²
MASA DEL TANQUE:φagua= 2,80 mhagua= 1,60 mVagua= (π.(φagua)²/4)*hagua (volumen de agua)Vagua= 9,85 m³γ agua= 1,00 Tn/m³ (peso especifico del agua)Pagua= γ agua*Vagua (peso del agua)
(Área de la columna)
(Momento resistente de la columna)
(Inercia de la columna)
Pagua= 9,85 TnVHº= 2*(π/4)*3,00²*0,20+(π/4)*(3,00²-2,80²)*1,60 (volumen de HºAº)VHº= 4,285 m³γ Hº= 2,45 Tn/m³ (peso especifico del HºAº)PHº= γ Hº*VHº
PHº= 10,50 Tn (peso del HºAº)PTOTAL= 20,35 Tn
MT= PTOTAL/g
MT= 2,074 Tn.s²/m
La inercia rotacional puede calcularse en forma aproximada asumiendo un uniforme, y manteniendo el volumen total del tanque.
VTOTAL= (π/4)*3,00²*2,00 (volumen total del tanque)VTOTAL= 14,14 m³
PTOTAL/VTOTAL
1,44 Tn/m³Se asume:
1,50 Tn/m³
g= 9,81 m/s²0,153 Tn.s²/m4
Luego podemos aplicar la siguiente formula:
h0= 2,00 mΩ0= (π/4)*3,00²Ω0= 7,069 m²I0= (π/64)*3,00^4I0= 3,976 m4
1,936 Tn.s².m
A) Se desprecia la inercia rotacionalRigidez del tanque:a) El tanque se considera infinitamente rígidob) Se desprecian deformaciones cortantes y axiales de las columnas
0,004023
248,57 Tn/mLa matriz de rigidez de los GL del extremoresulta (se utiliza en B):
γ
γ =γ =
γ =
/ gγρ =ρ =
30 0
0 0.h. I .h
12RM ρ⎛ ⎞Ω
= +⎜ ⎟⎝ ⎠
RM =
1
1,00
8,00
x
y⊕
1
0
1 . ².x dxδ =∞ ∫
9
1
1 . ²..
x dxE Ic
+ ∫9
1
³3. .
xE Ic
δ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦³
3. .HE Ic
≈
1TK δ −= =
12 6.6 4 ²³
HE IcKH HH
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
La condensación del GL traslacional produce:
248,22 Tn/m
10,94 rad/seg
T= 0,574 seg
Espectro Ciudad de Córdoba
"T" del tanque tiene ordenada en el espectro igual a la del plafónSa= 0,24*g g= 9,81 m/s²Sa= 2,354 m/s²
Umax= Sa/ω0²Umax= 0,0197 m
Fmax= KT*Umax =ω0²*M.Umax
Fmax= 4,88 Tn
Mvuelco= Fmax*HMvuelco= 43,96 Tn.m
Qsismo= Fmax
Qsismo= 4,88 TnMsismo= Mvuelco
Msismo= 43,96 Tn.m
Nsismo= 0,00 Tn
COLUMNA
0T
T
KM
ω =
Espectro de diseño - Zona I -Tipo Suelo I
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40T(seg)
Sa[%
g]
Msismo
2
2
. (6. ) . 36 .. 12 . 12 3.³ 4. ³ 4 ³T
E Ic H E Ic E IcKH H H H
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
TK =
0ω =
0
2.T πω
=
σsismo= Msismo/Wcσsismo= 874,50 Tn/m²
Por peso propio:Npp= PTOTAL
Npp= 20,35 Tn
σpp= Npp/Acσpp= 40,49 Tn/m²
σTOTAL= σsismo+σpp
σTOTAL= 914,99 Tn/m² < σ'bk= 2100 Tn/m²
B) SE CONSIDERA LA INERCIA ROTACIONAL E.Ic= 60319 Tn.m²H= 9,00 m
2,074 0=
0 1,936
992,90 4468=
4468 26808,26
¡Simplificado: es mas rígido!
Calculo analítico de los auto-valores
116,60 10,80 rad/seg( -1,30% )
14197 119,15 rad/seg
MODO 1:
VERIFICA
00
T
R
MM
M⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
12 6. .6 4. ²³
HE IcKH HH
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
( )( )
992.90 2.074 4468det 0
4468 26808.26 1.936λ
λ−⎡ ⎤
= =⎢ ⎥−⎣ ⎦
( ) ( )992.90 2.074 . 26808.26 1.936 4468² 0λ λ− − − =
2 64.021. 57553. 6656x10 0λ λ− + =
6
157553 57553² 4*4.021*6.656 10
2*4.021xλ − −
=
1λ = 1 1ω λ= =
6
257553 57553² 4*4.021*6.656 10
2*4.021xλ + −
=
2λ = 2 2ω λ= =
( )( )
12
1 1
992.90 2.074. 4468 1 0.
4468 26808.26 1.936. 0λ
λ φ−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
( ) 21 126808.26 1.936. . 4468λ φ− = −
1,000-0,168
-0,168
MODO 2:
1,000 0,1536,543 =
6,543 1,000Notar que:
A continuación debería aplicarse el Método de Descomposición Modal .NOTA: La inercia rotacional influye poco porque el tanque esta muy alto. Podríarehacerse con H=4m.
Masas y rigideces generalizadas
2,129 248,2781,985 28197,29
10,80 rad/seg 119,19 rad/seg
T1= 0,582 seg T2= 0,053 seg
Factores de Participación Modal:
0,974 0,160
1,000
0,000
Masas Modales:La masa total de la estructura es: MT= 2,074 Tn.s²/m
2,021 Tn.s²/m 0,0506 Tn.s²/m( 97,43% ) ( 2,44% )
21φ = 1Φ =
( )( )
22
2 2
992.90 2.074. 4468 1 0.
4468 26808.26 1.936. 0λ
λ φ−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
( ) 22 226808.26 1.936. . 4468λ φ− = −
22φ = 2Φ =
1 2. . 0T MΦ Φ =
1 1 1. .TM M= Φ Φ =2 2 2. .TM M= Φ Φ =
1 1 1. .TK K= Φ Φ =2 2 2. .TK K= Φ Φ =
11
1
KM
ω =
1ω =
11
2.T πω
=
22
2
KM
ω =
2ω =
22
2.T πω
=
11
1
. .T M BM
ΦΓ = = 2
22
. .T M BM
ΦΓ = =
B =
( ) 211
1
. .T
m
M BM
MΦ
=( ) 2
22
2
. .T
m
M BM
MΦ
=
1mM = 2
mM =
MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN MODAL
g= 9,81 m/s²0,24*g (0,08+(0,24-0,08)*0,053/0,2)*g
2,354 m/s² 1,199 m/s²
Desplazamientos generalizados máximos:
0,01967 m 0,000013 m
Desplazamientos máximos:
0,0197 0,0000021
-0,0033 0,000013
Fuerzas máximas:
4,76 0,062
-0,75 (*) 0,371
(*) Este valor es relativamente pequeño por lo que errores de redondeo producendiferencias entre las 2 formulas
Modo 1: Modo 2: -Q -
4,76 0,062
4,76 0,062
-Q -
Espectro de diseño - Zona I -Tipo Suelo I
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40T(seg)
Sa[%
g]
Sa T1 T2
1aS =1aS =
2aS =2aS =
11
1max 21
. aSqω
Γ=
22
2max 22
. aSqω
Γ=
1maxq = 2maxq =
1 1max max 1.u q= Φ
1maxu =
2 2max max 2.u q= Φ
2maxu =
1 1 2 1max max 1 max. . .F K u M uω= =
2 2 2 2max max 2 max. . .F K u M uω= =
1maxF = 2
maxF =
Momentos de vuelco: H= 9,00 m
M1vuelco= 4,76 *H-0,75 M2vuelco= -0,062 *H+0,371M1vuelco= 42,08 Tn.m M2vuelco= -0,190 Tn.m
Modo 1: Modo 2:0,75 0,371
42,08 0,19
Valores máximos
0,019674 4,821 Tn
0,0033200
42,27 Tn.m 1,12 Tn.m
C) VARIANTE: Analizar el tanque con: h= 4,00 mH= 5,00 m
MT= 2,074 Tn.s²/m1,936 Tn.s².m
a) Se desprecia la inercia rotacional: E*Ic= 60319 Tn.m²
1447,65 Tn/m
26,42 rad/seg
T= 0,238 seg
Sa= 0,24*g g= 9,81 m/s²Sa= 2,354 m/s²
Umax= Sa/ω0²Umax= 0,00337 m
-Mf -
1 2max max maxu u u= +
maxu =
1 2max max maxQ Q Q= +
maxQ =
maxvuelcoM = max
supM =
RM =
.3.³T
E IcKH
≈
TK =
0T
T
KM
ω =
0ω =
0
2.T πω
=
Fmax= KT*Umax =ω0²*M.Umax
Fmax= 4,88 Tn (La aceleracion y la masa son las mismas)
Mvuelco= Fmax*HMvuelco= 24,42 Tn.m
b) Se considera la inercia rotacional:
2,074 0=
0 1,936
5790,6 14476,5=
14476 48254,9
¡Simplificado: es mas rígido!
Calculo analítico de los auto-valores
642,36 25,34 rad/seg( -4,23% )
27050,75 164,47 rad/seg
MODO 1:
1,000-0,308
-0,308
MODO 2:
1,000 0,2853,507 =
3,507 1,000
00
T
R
MM
M⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
12 6. .6 4. ²³
HE IcKH HH
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
( )( )
5790.6 2.074 14476.5det 0
14476.5 48254.9 1.936λ
λ−⎡ ⎤
= =⎢ ⎥−⎣ ⎦
( ) ( )5790.6 2.074 . 48254.9 1.936 14476.5² 0λ λ− − − =
2 74.021. 111354. 6987x10 0λ λ− + =
1λ = 1 1ω λ= =
2λ = 2 2ω λ= =
21φ = 1Φ =
22φ = 2Φ =
1λ =
( )( )
12
1 1
5790.6 2.074 14476.5 1 0.
14476.5 48254.9 1.936 0λ
λ φ−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
( )( )
22
2 2
5790.6 2.074 14476.5 1 0.
14476.5 48254.9 1.936 0λ
λ φ−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
Masas y rigideces generalizadas
2,258 1450,692,105 56982,2
25,35 rad/seg 164,52 rad/seg
T1= 0,248 seg T2= 0,038 seg
Factores de Participación Modal:
0,919 0,281
1,000
0,000
Masas Modales:La masa total de la estructura es: MT= 2,074 Tn.s²/m
1,906 Tn.s²/m 0,166 Tn.s²/m( 91,87% ) ( 8,01% )
MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN MODAL
g= 9,81 m/s²0,24*g (0,08+(0,24-0,08)*0,038/0,2)*g
2,354 m/s² 1,085 m/s²
1 1 1. .TM M= Φ Φ =2 2 2. .TM M= Φ Φ =
1 1 1. .TK K= Φ Φ =2 2 2. .TK K= Φ Φ =
11
1
KM
ω =
1ω =
11
2.T πω
=
22
2
KM
ω =
2ω =
22
2.T πω
=
11
1
. .T M BM
ΦΓ = = 2
22
. .T M BM
ΦΓ = =
B =
( ) 211
1
. .T
m
M BM
M
Φ=
( ) 222
2
. .T
m
M BM
M
Φ=
1mM = 2
mM =
Espectro de diseño - Zona I -Tipo Suelo I
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40T(seg)
Sa[%
g]
Sa T1 T2
1aS =1aS =
2aS =2aS =
Desplazamientos generalizados máximos:
0,00337 m 0,0000113 m
Desplazamientos máximos:
0,00337 0,0000032
-0,00104 0,0000113Fuerzas máximas:
4,49 0,182
-1,29 (*) 0,590
Modo 1: Modo 2: -Q -
4,49 0,182
4,49 0,182
Momentos de vuelco: H= 5,00 m
M1vuelco= -4,49 *H-1,29 M2vuelco= -0,182 *H+0,590M1vuelco= -23,72 Tn.m M2vuelco= -0,318 Tn.m
Modo 1: Modo 2:1,29 0,590
23,72 0,318
Valores máximos
0,003370 4,669 Tn
0,0010480
24,04 Tn.m 1,88 Tn.m
-Mf -
-Q -
11
1max 21
. aSqω
Γ=
22
2max 22
. aSqω
Γ=
1maxq = 2maxq =
1 1max max 1.u q= Φ
1maxu =
2 2max max 2.u q= Φ
2maxu =
1 1 2 1max max 1 max. . .F K u M uω= =
2 2 2 2max max 2 max. . .F K u M uω= =
1maxF = 2
maxF =
1 2max max maxu u u= +
maxu =
1 2max max maxQ Q Q= +
maxQ =
maxvuelcoM = max
supM =