ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3°. UNA ECUACIÓN DE LA FORMA : donde a, b y c son números reales y a...

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

UNA ECUACIÓN DE LA FORMA :

donde a , b y c son números reales y a ≠ 0

ax2 + bx + c = 0

X1 = 0 X2 = 3

ax2 + bx + c = 0

CUADRATICOSegundo Grado

LINEALPrimer Grado

INDEPENDIENTE

ELEMENTOS

ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0

ax2 + bx + c = 0

CUADRATICO + LINEAL + INDEPENDIENTE

CUADRATICO + LINEAL CUADRATICO + INDEPENDIENTE

ENCONTRAR EL VALOR DE SUS DOS RAICES

PROCEDIMIENTO GRAFICO COMPLETANDO UN CUADRADO

FACTORIZACION FORMULA GENERAL

François Viète (1540 – 1603)

Matemático francés. Se le considera uno de los principales precursores del álgebra. Fue el primero en representar los parámetros de una

ecuación con letras.

FACTORIZACION PROCEDIMIENTO GRAFICO

RESOLUCION DE PROBLEMAS

FORMULA GENERALCOMPLETANDO UN

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

FACTORIZACION

UNA ECUACIÓN DE LA FORMA :

a , b y c son números reales y a ≠ 0

ax2 + bx + c = 0

X1 = 0 X2 = 3

ax2 + bx + c = 0

CUADRATICOSegundo Grado

LINEALPrimer Grado

INDEPENDIENTE

ELEMENTOS

Eje RealX1 = - 5

X2 = 4

Parábola Secante

Ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0

x2 + 11x + 30 = 0 TRINOMIO CUADRADO

PRODUCTOBINOMIO CON TERMINO COMUN

PRODUCTOFACTORES LINEALES

IGUALADOS CON CERO

Signos igualesTipo

+ 30 + 1

+ 15 + 2

* ES LA RESPUESTA

+ 10 + 3

+ 6 + 5

Igualamos con cero y resolvemos

( x + 6 ) = 0

x1 = - 6

( x + 5 ) = 0

x2 = - 5

( x + 6 ) ( x + 5 ) = 0

Par de números que multiplican + 30 y suman + 11

EJEMPLO No. 1

x2 + 13x - 30 = 0 TRINOMIO CUADRADO

IGUALADOS CON CERO

Signos diferentesSigno del mayor

+ 30 - 1

+ 15 - 2 * ES LA RESPUESTA

( x + 15 ) = 0

x1 = - 15

( x - 2 ) = 0

x2 = + 2

( x + 15 ) ( x - 2 ) = 0

Par de números que multiplican - 30 y suman + 13

EJEMPLO No. 2

x2 - 3x - 40 = 0 TRINOMIO CUADRADO

IGUALADOS CON CERO

- 40 + 1

- 20 + 2

* ES LA RESPUESTA

( x - 8 ) = 0

x1 = + 8

( x + 5 ) = 0

x2 = - 5

( x - 8 ) ( x + 5 ) = 0

Par de números que multiplican - 40 y suman - 3

- 10 + 4

- 8 + 5

EJEMPLO No. 3

9x2 + 21x + 10 = 0

IGUALADOS CON CERO

Signos igualesTipo de signo

+ 10 + 1

+ 5 + 2 ES LA RESPUESTA

( 3x + 5 ) = 0

x1 = - 5/3

( 3x + 2 ) = 0

( 3x + 5 ) ( 3x + 2 ) = 0

Par de números que multiplican + 10 y suman + 7

3x ( 7 )

x2 = - 5/3

EJEMPLO No. 4

COEFICIENTE CUADRATICO DIFERENTE DE LA UNIDAD

25x2 + 40x - 9 = 0PRODUCTO

FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO

+ 9 - 1 ES LA RESPUESTA

( 5x + 9 ) = 0

x1 = - 9/5

( 5x - 1 ) = 0

( 5x + 9 ) ( 5x - 1 ) = 0

Par de números que multiplican - 9 y suman + 8*

5x ( 8 )

x2 = 1/5

EJEMPLO No. 5

49x2 + 14x - 3 = 0PRODUCTO

FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO

( 7x + 3 ) = 0

x1 = - 3/7

( 7x - 1 ) = 0

( 7x + 3 ) ( 7x - 1 ) = 0

7x ( 2 )

x2 = 1/7

EJEMPLO No. 6

5x2 + 14x - 3 = 0

( ) ( )

Sustituimos

5x2 + 15x x - 3 = 0-

Se forma dos parejas y buscamos factor común monomio

5x ( x + 3 ) - 1( x + 3 ) = 0

( 5x - 1 ) ( x + 3 ) = 0

( 5x - 1 ) = 0

x1 = 1/5

( x + 3 ) = 0

x2 = - 3

EJEMPLO No. 7

COEFICIENTE NO CUADRATICO

IGUALADOS CON CERO

7x2 - 33x - 10 = 0

- 35 + 2 ES LA RESPUESTA

( ) ( )

Par de números que multiplican - 70 y suman - 33*

Sustituimos

7x2 - 35x 2x - 10 = 0+

7x ( x - 5 ) + 2( x - 5 ) = 0

( 7x + 2 ) ( x - 5 ) = 0

( 7x + 2 ) = 0

x1 = - 2/7

( x - 5 ) = 0

x2 = 5

EJEMPLO No. 8

COEFICIENTE NO CUADRATICO

IGUALADOS CON CERO

8x2 - 23x - 3 = 0

- 24 + 1 ES LA RESPUESTA

( ) ( )

Par de números que multiplican - 24 y suman - 23*

Sustituimos

8x2 - 24x x - 3 = 0+

8x ( x - 3 ) + 1( x - 3 ) = 0

( 8x + 1 ) ( x - 3 ) = 0

( 8x + 1 ) = 0

x1 = - 1/8

( x - 3 ) = 0

x2 = 3

EJEMPLO No. 9

IGUALADOS CON CERO

3x2 + 11x + 10 = 0

+ 6 + 5 ES LA RESPUESTA

( ) ( )

Par de números que multiplican + 30 y suman + 11*

Sustituimos

3x2 + 6x 5x + 10 = 0+

3x ( x + 2 ) + 5( x + 2 ) = 0

( 3x + 5 ) ( x + 2 ) = 0

( 3x + 5 ) = 0

x1 = - 5/3

( x - 3 ) = 0

x2 = 3

EJEMPLO No. 10

IGUALADOS CON CERO

FACTORIZACION

x2 + 17x + 66 = 0 ( x + 11 ) ( x + 6 ) = 0 x1 = - 11 y x2 = - 6

x2 - x - 56 = 0 ( x - 8 ) ( x + 7 ) = 0 x1 = 8 y x2 = - 7

x2 - 11x - 26 = 0 ( x - 13 ) ( x + 2 ) = 0 x1 = 13 y x2 = - 2

x2 - 18x + 72 = 0 ( x - 12 ) ( x - 6 ) = 0 x1 = 12 y x2 = 6

x2 + 19x + 70 = 0 ( x + 14 ) ( x + 5 ) = 0 x1 = - 14 y x2 = - 5

x2 - 8x + 7 = 0 ( x - 7 ) ( x - 1 ) = 0 x1 = 7 y x2 = 1

x2 - 19x + 78 = 0 ( x - 13 ) ( x - 1 ) = 0 x1 = 13 y x2 = 1

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse

FACTORIZACION

x2 + 17x + 66 = 0 ( x + 11 ) ( x + 6 ) = 0x1 = - 11 y x2 = - 6

x2 - x - 56 = 0 ( x - 8 ) ( x + 7 ) = 0x1 = 8 y x2 = - 7

x2 - 11x - 26 = 0 ( x - 13 ) ( x + 2 ) = 0 x1 = 13 y x2 = - 2

x2 - 18x + 72 = 0 ( x - 12 ) ( x - 6 ) = 0 x1 = 12 y x2 = 6

x2 + 19x + 70 = 0 ( x + 14 ) ( x + 5 ) = 0 x1 = - 14 y x2 = - 5

x2 - 8x + 7 = 0 ( x - 7 ) ( x - 1 ) = 0 x1 = 7 y x2 = 1

x2 - 19x + 78 = 0 ( x - 13 ) ( x - 6 ) = 0 x1 = 13 y x2 = 6

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse

FACTORIZACION

x2 - 8x - 9 = 0 ( x - 9 ) ( x + 1 ) = 0 x1 = 9 y x2 = - 1

x2 + 21x + 90 = 0 ( x + 15 ) ( x + 6 ) = 0 x1 = - 15 y x2 = - 6

x2 - 3x - 88 = 0 ( x - 11 ) ( x + 8 ) = 0 x1 = 11 y x2 = - 8

x2 + 3x - 108 = 0 ( x + 12 ) ( x - 9 ) = 0 x1 = -12 y x2 = 9

x2 - 13x + 42 = 0 ( x - 7 ) ( x - 6 ) = 0 x1 = 7 y x2 = 6

x2 + 15x + 50 = 0 ( x + 10 ) ( x + 5 ) = 0 x1 = -10 y x2 = - 5

x2 + 10x - 39 = 0 ( x + 13 ) ( x - 3 ) = 0 x1 = -13 y x2 = 3

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse

FACTORIZACION

121x2 + 22x – 3 = 0 ( 11 x + 3 ) ( 11x + 1 ) = 0x1 = - 3/11 y x2 = 1/11

9x2 - 9x - 70 = 0 ( 3x + 7 ) ( 3x – 10 ) = 0 x1 = -7/3 y x2 = 10/3

64x2 + 16x + 2 = 0 ( 8x + 1 ) ( 8x + 1 ) = 0x1 = - 1/8 y x2 = -1/8

36x2 - 72x + 32 = 0 ( 6x - 8 ) ( 6x - 4 ) = 0 x1 = 8/3 y x2 = 4/3

25x2 + 55x - 26 = 0 ( 5x + 13 ) ( 5x – 2 ) = 0 x1 = -13/5 y x2 = 2/5

49x2 + 42x + 5 = 0 ( 7x + 5 ) ( 7x + 1 ) = 0 x1 = -5/7 y x2 = - 1/7

81x2 + 54x - 16 = 0 ( 9x - 8 ) ( 9x + 2 ) = 0 x1 = - 8/9 y x2 = 2/9

FACTORIZACION

4x2 + 6x – 54 = 0 ( 2x + 9 ) ( 2x - 3 ) = 0x1 = - 9/2 y x2 = 3

49x2 - 70x + 16 = 0 ( 7x - 2 ) ( 7x - 8 ) = 0 x1 = 2/7 y x2 = 8/7

16x2 + 44x - 12 = 0 ( 4x + 12 ) ( 4x - 1 ) = 0 x1 = - 3 y x2 = 1/4

25x2 + 60x + 27 = 0 ( 5x + 9 ) ( 5x + 3 ) = 0 x1 = -9/5 y x2 = - 3/5

100x2 + 40x – 12 = 0 ( 10x + 6 ) ( 10x - 2 ) = 0 x1 = -3/5 y x2 = 1/5

9x2 + 39x + 42 = 0 ( 3x + 7 ) ( 3x + 6 ) = 0 x1 = -7/3 y x2 = -2

36x2 - 30x + 4 = 0 ( 6x - 4 ) ( 6x - 1 ) = 0 x1 = 2/3 y x = 1/6

FACTORIZACION

12x2 - 10x – 12 = 0 ( 4x – 6 ) ( 3x + 2 ) = 0 x1 = 3/2 y x2 = -2/3

3x2 + 5x – 42 = 0 ( 3x + 14 ) ( x - 3 ) = 0 x1 = - 14/3 y x2 = 3

14x2 - 3x - 5 = 0 ( 7x – 5 ) ( 2x + 1 ) = 0 x1 = 5/7 y x2 = -1/2

6x2 - 10x - 16 = 0 ( 2x + 2 ) ( 3x - 8 ) = 0 x1 = -1 y x2 = 8/3

18x2 - 25x – 3 = 0 ( 9x + 1 ) ( 2x – 3 ) = 0 x1 = -1/9 y x2 = 3/2

6x2 - 17x - 45 = 0 ( 3x + 5 ) ( 2x – 9 ) = 0 x1 = -5/3 y x2 = 9/2

10x2 - 34x + 12 = 0 ( 5x - 2 ) ( 2x - 6 ) = 0x1 = 2/5 y x2 = 3

FACTORIZACION

2x2 - 15x – 77 = 0 ( 2x + 7 ) ( x – 11 ) = 0 x1 = -7/2 y x2 = 11

2x2 + 4x - 30 = 0 ( 2x + 10 ) ( x - 3 ) = 0 x1 = - 5 y x2 = 3

6x2 - x - 35 = 0 ( 3x + 7 ) ( 2x - 5 ) = 0 x1 = -7/3 y x2 = 5/2

6x2 + 3x - 30 = 0 ( 2x + 5 ) ( 3x – 6 ) = 0 x1 = -5/2 y x2 = 2

15x2 + 25x – 40 = 0 ( 5x – 5 ) ( 3x + 8 ) = 0 x1 = 1 y x2 = -8/3

8x2 - 29x - 42 = 0 ( 8x + 3 ) ( x - 4 ) = 0x1 = - 3/8 y x2 = 4

3x2 - 4x - 7 = 0 ( 3x - 7 ) ( x + 1 ) = 0 x1 = 7/3 y x2 = 1

C E Eje Real

Parábola Secante

X1 = 0

X2 = 3

Ecuación de la forma ax2 + bx = 0

x2 11x = 0+

PRODUCTOFACTOR COMUN POR BINOMIO

IGUALADOS CON CERO

( x + 11 )

Factor común

x = 0 x + 11 = 0

x1 = 0 x2 = - 11

EJEMPLO No. 1

UNA DE SUS RAICES ES CERO

Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0

5x2 15x = 0-

IGUALADOS CON CERO

( x - 3 )

Factor común

5x = 0 x - 3 = 0

x1 = 0 x2 = 3

EJEMPLO No. 2

9x2 18x = 0+

IGUALADOS CON CERO

( x + 2 )

Factor común

9x = 0 x + 2 = 0

x1 = 0 x2 = - 2

EJEMPLO No. 3

7x2 35x = 0-

IGUALADOS CON CERO

( x - 5 )

Factor común

7x = 0 x - 5 = 0

x1 = 0 x2 = 5

EJEMPLO No. 4

FACTORIZACION

x2 + 17x = 0 x ( x + 17 ) = 0 x1 = 0 y x2 = - 17

x2 - x = 0 x ( x - 1 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 1

x2 - 11x = 0 x ( x - 11 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 11

x2 - 18x = 0 x ( x - 18 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 18

x2 + 19x = 0 x ( x + 19 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -19

x2 - 8x = 0 x (( x - 8 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 8

x2 - 10x = 0 X ( x - 10 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 10

FACTORIZACION

4x2 + 6x = 0 2x ( 2x + 3 ) = 0x1 = 0 y x2 = -3/2

49x2 - 10x = 0 x ( 49x – 10 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 10/49

16x2 + 44x = 0 4x ( 4x + 11 ) = 0 x1 = 0 y x2 = - 11/4

25x2 + 60x = 0 5x ( 5x + 12 ) = 0 x1 = 0 y x2 = - 12/5

100x2 + 40x = 0 20x ( 5x + 2 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -2/5

9x2 + 39x = 0 3x ( 3x + 13 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -13/3

36x2 - 30x = 0 6x ( 6x - 5 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 5/6

FACTORIZACION

2x2 - 15x = 0 x ( 2x - 15 ) = 0x1 = 0 y x2 = 15/2

2x2 + 4x = 0 2x ( x + 2 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -2

6x2 - x = 0 x ( 6x - 1 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 1/6

6x2 + 3x = 0 3x ( 2x + 1 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -1/2

15x2 + 25x = 0 5x ( 3x + 5 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -5/3

8x2 - 29x = 0 x ( 8x - 29 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 29/8

3x2 - 4x = 0 x ( 3x - 4 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 4/3

Eje Real

Parábola Secante

X1 = - 1 X2 = 1

Ecuación de la forma ax2 + c = 0

x2 36 = 0-

PRODUCTOBINOMIO CONJUGADOS

IGUALADOS CON CERO

( + ) ( - =) 0

Ecuación de la forma ax2 - c = 0

x 6 x 6

x + 6 = 0 x - 6 = 0

x1 = - 6 x2 = 6

RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS

EJEMPLO No. 1

x2 81 = 0-

IGUALADOS CON CERO

( + ) ( - =) 0

x 9 x 9

x + 9 = 0 x - 9 = 0

x1 = - 9 x2 = 9

EJEMPLO No. 2

4x2 49 = 0-

IGUALADOS CON CERO

( + ) ( - =) 0

2x 7 2x 7

2x + 7 = 0 2x - 7 = 0

x1 = - 7/2 x2 = 7/2

EJEMPLO No. 3

25x2 81 = 0-

IGUALADOS CON CERO

( + ) ( - =) 0

5x 9 5x 9

5x + 9 = 0 5x - 9 = 0

x1 = - 9/5 x2 = 9/5

EJEMPLO No. 3

DIFERENCIA DE CUADRADOS

x2 - 16 = 0 ( x + 4 ) ( x - 4 ) = 0 x1 = 4 y x2 = 4

81x2 - 36 = 0 ( 9x + 6 ) ( 9x – 6 ) = 0x1 = - 2/3 y x2 = 2/3

b2 - 64 = 0 ( b + 8 ) ( b – 8 ) = 0 b1 = - 8 y b2 = 8

x2 - 4 = 0 ( x + 2 ) ( x - 2 ) = 0 x1 = - 2 y x2 = 2

100x2 - 25 = 0 (10x + 5 ) (10x - 5 ) = 0 x1 = - 1/2 y x2 = 1/2

x2 - 81 = 0 ( x + 9 ) ( x - 9 ) = 0 x1 = - 9 y x2 = 9

9a2 - 121 = 0 ( 3a + 11 ) ( 3a – 11 ) = 0 a1 = - 11/3 y a2 = 11/3

DIFERENCIA DE CUADRADOS

x2 - 36 = 0 ( x + 6 ) ( x – 6 ) = 0 x1 = - 6 y x2 = 6

81x2 - 49 = 0 ( 9x + 7 ) ( 9x - 7 ) = 0 x1 = - 7/9 y x2 = 7/9

b2 - 100 = 0 ( b + 10 ) ( b – 10 ) = 0 b1 = - 10 y b2 = 10

x2 - 144 = 0

( x + 12 ) ( x - 12 ) = 0 x1 = - 12 y x2 = 12

100x2 - 49 = 0 (10x + 7 ) (10x - 7 ) = 0 x1 = - 7/10 y x2 = 7/10

x2 - 25 = 0 ( x + 5 ) ( x - 5 ) = 0 x1 = -5 y x2 = 5

9y2 - 9 = 0 ( 3b + 3 ) ( 3b – 3 ) = 0 b1 = - 1 y b2 = 1

“El príncipe de los matemáticos”Título póstumo con que se ha conocido a Gauss,

que junto a Arquímedes y Newton, es uno de los tres genios de la historia de las matemáticas.

JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS( 1777 – 1855 )

COMPLETANDO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

( x + 7 ) ( x + 7 ) = x2 + 7x + 7x + 49 = x2 + 49

ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE

¿ QUE OBSERVAS ?

( x + 7 ) ( x + 7 )

LOS BINOMIOS SON IGUALES

¿ DE QUE OTRA MANERA SE PUEDE REPRESENTAR

( x + 7 )2

( x + 7 ) ( x + 7 ) = x2 + 7x + 7x + 49 = x2 + 49+ 14x

2 ( 7 ) ( x )

( x + 7 )2 = x2 + 49+ 14x

2 ( 7 ) ( x )x • x 7 • 7

Cuadrado del primer término

Cuadrado del segundo término

Doble productoPrimero por segundo

BINOMIO AL CUADRADO

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

CARACTERISTICAS DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

x2 + 49+ 14x

2 ( X ) ( 7 )x • x 7 • 7 Cuadrado

del primer término

Cuadrado del segundo término

Doble productoPrimero por segundo

COMPLETAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTOEJEMPLO No. 1

x2 + 32+ 12x 0=

x2 - 32+ 12x =

Para que el primer miembro resulte un cuadrado perfecto, añadimos a ambos miembros de la ecuación , el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal:

x2 - 32+ 12x = 12 : 2 = 6 , 62 = 36+ 36 + 36

Se factoriza el primer miembro de la ecuación en un binomio al cuadrado y reducimos en el segundo miembro:

4=( x + 6 )2

Se extrae la raíz cuadrada en cada miembro de la ecuación:

± 2= x + 6 Se buscan las dos raíces de la ecuación:

x + 6 = + 2 , x = + 2 - 6

Se transpone el término independiente al segundo miembro de la ecuación:

x1 = - 4

x + 6 = - 2 , x = - 2 - 6

x2 = - 8

EJEMPLO No. 2x2 + 21+ 10x 0=

x2 - 21+ 10x =

x2 - 21+ 10x = 10 : 2 = 5 , 52 = 25+ 25 + 25

4=( x + 5 )2

± 2= x + 5 Se buscan las dos raíces de la ecuación:

x + 5 = + 2

x + 5 = - 2 x = + 2 - 5 x = - 2 - 5

x1 = - 3 x2 = - 7

EJEMPLO No. 3x2 + 15- 8x 0=

x2 - 15- 8x =

x2 - 15- 8x = 8 : 2 = 4 , 42 = 16+ 16 + 16

1=( x - 4 )2

± 1= x - 4 Se buscan las dos raíces de la ecuación:

x - 4 = + 1

x - 4 = - 1 x = + 1 + 4 x = - 1 + 4

x1 = 5 x2 = 3

EJEMPLO No. 4

x2 - 20- 8x 0=

x2 + 20- 8x =

8 : 2 = 4 , 42 = 16

+ 16 + 16

36=( x - 4 )2

± 6= x - 4

x - 4 = + 6

TRANSPONER

x - 4 = - 6 x = + 6 + 4 x = - 6 + 4

x1 = 10 x2 = - 2

COMPLETAR CUADRADO

FACTORIZAR Y REDUCIR

EXTRAER RAIZ CUADRADA

BUSCAMOS RAICES

EJEMPLO No. 5

x2 - 55- 6x 0=

x2 + 55- 6x =

6 : 2 = 3 , 32 = 9

+ 9 + 9

64=( x - 3 )2

± 8= x - 3

x - 3 = + 8

TRANSPONER

x - 3 = - 8 x = + 8 + 3 x = - 8 + 3

x1 = 11 x2 = - 5

COMPLETAR CUADRADO

BUSCAMOS RAICES

EJEMPLO No. 6

x2 - 40- 3x 0=

x2 + 40- 3x =

3 : 2 = 3/2 , (3/2)2 = 9/4

=( x - 3 )2

± 13/2= x - 3/2

x - 3/2 = + 13/2

TRANSPONER

x - 3/2 = - 13/2 x = + 13/2 + 3/2 x = - 13/2 + 3/2

x1 = 8 x2 = - 5

COMPLETAR CUADRADO

BUSCAMOS RAICES

40 (4) + 9 = 169/4

EJEMPLO No. 7

x2 - 36+ 5x 0=

x2 + 36+ 5x =

5 : 2 = 5/2 , (5/2)2 = 25/4

+ 25 4

=( x + 5 )2

± 13/2= x + 5/2

x + 5/2 = + 13/2

TRANSPONER

x + 5/2 = - 13/2 x = + 13/2 - 5/2 x = - 13/2 - 5/2

x1 = 4 x2 = - 9

COMPLETAR CUADRADO

BUSCAMOS RAICES

36 (4) + 25 = 169/4

EJEMPLO No. 8

2x2 + 5+ 7x 0=

x2 - 5 2

+ 7 x 2

x2 - 5 2

+ 7 x 2

7/2 : 2 = 7/4 , (7/4)2 = 49/16

+ 49 16

=( x + 7 )2

± 3 4

= x + 7 4

x + 7/4 = + 3/4

DIVIDIR ENTRE 2 Y

TRANSPONER

x + 7/4 = - 3/4

x = + 3/4 - 7/4 x = - 3/4 - 7/4

x1 = - 1 x2 = - 5/2

COMPLETAR CUADRADO

BUSCAMOS RAICES

-5 (8) + 49 = 9/16

EJEMPLO No. 9

7x2 - 4 - 27x 0=

x2 + 4 7

- 27 x 7

x2 + 4 7

- 27 x 7

27/7 : 2 = 27/14 , (27/14)2 = 729/196

+ 729 196

841196

=( x - 27 )2

± 29 14

= x - 27 14

x - 27/14 = + 29/14

DIVIDIR ENTRE 7 Y

TRANSPONER

x - 27/14 = - 29/14

x = + 29/14 + 27/14 x = - 29/14 + 27/14

x1 = 4 x2 = - 1/7

COMPLETAR CUADRADO

BUSCAMOS RAICES

4 (28) + 729 = 841/196

EJEMPLO No. 10

5x2 - 6 - 7x 0=

x2 + 6 5

- 7 x 5

x2 + 6 5

- 7 x 5

7/5 : 2 = 7/10 , (7/10)2 = 49/100

+ 49 100

169100

=( x - 7 )2

± 13 10

= x - 7 10

x - 7/10 = + 13/10

DIVIDIR ENTRE 5 Y

TRANSPONER

x - 7/10 = - 13/10

x = + 13/10 + 7/10 x = - 13/10 + 7/14

x1 = 2 x2 = - 3/5

COMPLETAR CUADRADO

BUSCAMOS RAICES

6 (20) + 49 = 169/100

COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

x2 + 45+ 14x 0= TRANSPONER

COMPLETAR CUADRADO

BUSCAMOS RAICES

x2 - 45+ 14x =

x2 + 49+ 14x - 45= + 49

4=( x + 7 )2

± 2= x + 7

x + 7 = + 2 x + 7 = - 2

x = + 2 - 7 x = - 2 - 7

x1 = - 5 x2 = - 9

x2 - 45- 12x 0= TRANSPONER

COMPLETAR CUADRADO

BUSCAMOS RAICES

x2 + 45- 12x =

x2 + 36- 12x + 45= + 36

81=( x - 6 )2

± 9= x - 6

x - 6 = + 9 x - 6 = - 9

x = + 9 + 6 x = - 9 + 6

x1 = 15 x2 = - 3

x2 - 54- 3x 0= TRANSPONER

COMPLETAR CUADRADO

BUSCAMOS RAICES

x2 + 54- 3x =

x2 + 9 4

- 3x + 54= + 9 4

=( x - 3 )2

2± 15/2= x - 3/2

x - 3/2 = + 15/2 x - 3/2 = - 15/2 x = + 15/2 + 3/2 x = - 15/2 + 3/2

x1 = 9 x2 = - 6

7x2 - 3+ 20x 0= DIVIDIR ENTRE 7 Y

TRANSPONER

COMPLETAR CUADRADO

EXTRAEMOS RAIZ CUADRADA

BUSCAMOS RAICES

x2 + 3 7

+ 20x 7

x2 + 400 196

+ 20x 7

= + 400 196

484196

=( x + 20 )2

± 22/14=

x + 20/14

x + 20/14 = + 22/14

x + 20/14 = - 22/14

x = + 22/14 - 20/14 x = - 22/14 - 20/14

x1 = 1/7 x2 = - 3

PIONERO EN EL ANÁLISIS MATEMÁTICO Y LA TEORÍA DE GRUPOS DE PERMUTACIONES. UNO DE LOS MATEMÁTICOS MÁS IMPORTANTES DE LA HISTORIA.

PROPUSO LA TEORÍA DE LAS FUNCIONES COMPLEJAS.

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY(1789 – 1857)

FORMULA GENERAL

DEDUCCION DE LA FORMULA GENERALAPLICAMOS EL PROCEDIMIENTO DE COMPLETAR

UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

ax2 + c+ bx 0=

x2 - c a

+ b x a

x2 - c a

+ b x a

b/a : 2 = b/2a , (b/2a)2 = b2/4a2

4a2 + b2

b2 – 4ac4a2

=( x + b )2

Dividir entre “a” y transponer

Completar el cuadrado

Factorizar y reducir

Extraer raíz cuadrada b2 - 4ac 2a

= x + b 2a

Buscamos raíces de la ecuación

- b 2a

Reducimos a un denominador común

b2 - 4ac 2a

b2 - 4ac

FORMULA GENERAL

UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO TIENE DOS RAICES

b2 - 4ac

b2 - 4ac DISCRIMINANTE

DISCRIMINANTE

b2 - 4ac > 0 Raíces reales y desiguales

b2 - 4ac = 0 Raíces reales e iguales

b2 - 4ac < 0 Raíces imaginarias y desiguales

Por ejemplo: 3x2 + 5x - 2 = 0 a = 3 , b = 5 y c = - 2

( 5 )2 - 4 ( 3 ) ( - 2 ) = 25 + 24 = 49 x1 = 1/3 , x2 = - 2

Por ejemplo: 36x2 + 12x + 1 = 0 a = 36 , b = 12 y c = 1

( 12 )2 - 4 ( 36 ) ( 1 ) = 144 - 144 = 0 x1 = - 1/6 , x2 = - 1/6

Por ejemplo: x2 - 4x + 8 = 0 a = 1 , b = - 4 y c = 8

( - 4 )2 - 4 ( 1 ) ( 8 ) = 16 - 32 = - 16 x1 = 2 + 2i , x2 = 2 – 2i

=b2 - 4ac

FORMULA GENERALx2 + 9x + 14 = 0 a = 1 b = 9 c = 14

SUSTITUYENDO VALORES

- ( 9 )

=( 9 )2 - 4( 1 ) ( 14 )

2( 1 )

=81 - 56

REALIZANDO OPERACIONES

BUSCANDO RAICES

EJEMPLO 1

=b2 - 4ac

FORMULA GENERALx2 - 7x - 44 = 0 a = 1 b = -7 c = - 44

- (-7 )

=( -7 )2 - 4( 1 )(- 44 )

2( 1 )

=49 + 176

BUSCANDO RAICES

EJEMPLO 2

=b2 - 4ac

FORMULA GENERAL2x2 - 7x - 15 = 0 a = 2 b = -7 c = - 15

- (-7 )

=( -7 )2 - 4( 2 )(- 15 )

2( 2 )

=49 + 120

BUSCANDO RAICES

EJEMPLO 3

=b2 - 4ac

FORMULA GENERAL5x2 - 14x - 3 = 0 a = 5 b = -14 c = - 3

- (-14 )

=( -14 )2 - 4( 5 )(- 3 )

2( 5 )

=196 + 60

BUSCANDO RAICES

EJEMPLO 4

=b2 - 4ac

FORMULA GENERAL6x2 - 20x + 6 = 0 a = 6 b = -20 c = 6

- (-20 )

=( -20 )2 - 4( 6 )( 6 )

2( 6 )

=400 - 144

BUSCANDO RAICES

EJEMPLO 5

=b2 - 4ac

FORMULA GENERALx2 - 4x + 8 = 0 a = 1 b = - 4 c = 8

- (- 4 )

=( - 4 )2 - 4( 1 )( 8 )

2( 1 )

=16 - 32

= - 16

= 4 i 2

2 + 2 i

2 – 2 i

BUSCANDO RAICES

EJEMPLO 6

4x2 + 2x - 6 = 0 a = 4 b = + 2 c = - 6

b2 - 4ac

- ( 2 ) =

( 2 )2 - 4( 4 )( - 6 )

2( 4 )

=4 + 96

BUSCANDO RAICES

= - 3 28

COEFICIENTES

2x2 + x - 105 = 0 a = 2 b = + 1 c = -105

b2 - 4ac

- ( 1 ) =

( 1 )2 - 4( 2 )( - 105 )

2( 2 )

=1 + 840

BUSCANDO RAICES

= - 15 24

COEFICIENTES

8x2 - 2x - 3 = 0 a = 8 b = - 2 c = - 3

b2 - 4ac

- (- 2 ) =

( - 2 )2 - 4( 8 )( - 3 )

2( 8 )

=4 + 96

BUSCANDO RAICES

= - 1 216

COEFICIENTES

PLANTEO LA RESOLUCION DE DIVERSAS ECUACIONES DE LA FORMA x³+ px = q

NICCOLO FONTANA(1499 – 1557 )

PROCEDIMIENTO GRAFICO

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA

x y Puntos

- 3 8 A ( -3 , 8 )

- 1 0 B ( -1 , 0 )

0 1 C ( 0 , -1 )

1 0 D ( 1 , 0 )

3 8 E ( 3 , 8 )

y = x2 - 1

Asignamos valores a x

Buscamos valores de y

y = ( - 3 ) 2 - 1 = 9 - 1 = 8

y = ( - 1 )2 - 1 = 1 - 1 = 0

y = ( 0 )2 - 1 = - 1

y = ( 1 )2 - 1 = 1 - 1 = 0

y = ( 3 )2 - 1 = 9 - 1 = 8

Escala 1: 2Vertical

Eje Real

Parábola Secante

* Ceros de función

X1 = - 1 X2 = 1

x y Puntos

- 3 6 A ( -3 , 6 )

- 2 0 B ( -2 , 0 )

0 - 6 C ( 0 , - 6 )

2 - 4 D ( 2 ,- 4 )

3 0 E ( 3 , 0 )

y = x2 - x - 6

y = ( - 3 ) 2 - ( -3 ) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6

y = ( - 2 )2 - ( -2 ) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0

y = ( 0 )2 - ( 0 ) - 6 = - 6

y = ( 2 )2 - ( 2 ) - 6 = 4 - 2 - 6 = - 4

y = ( 3 )2 - ( 3 ) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0

Eje Real

X1 = - 2 X2 = 3

Parábola Secante

*Ceros

de función

x y Puntos

- 3 5 A ( -3 , 5 )

- 2 0 B ( -2 , 0 )

0 - 4 C ( 0 , - 4 )

2 0 D ( 2 , 0 )

3 5 E ( 3 , 5 )

y = x2 - 4

y = ( - 3 ) 2 - 4 = 9 - 4 = 5

y = ( - 2 )2 - 4 = 4 - 4 = 0

y = ( 0 )2 - 4 = - 4

y = ( 2 )2 - 4 = 4 - 4 = 0

y = ( 3 )2 - 4 = 9 - 4 = 5

Eje Real

Parábola Secante

* Ceros de función

X1 = - 2 X2 = 2

x y Puntos

- 3 18 A ( -3 , 18 )

- 2 10 B ( -2 , 10 )

0 0 C ( 0 , 0 )

2 - 2 D ( 2 , - 2 )

3 0 E ( 3 , 0 )

y = x2 - 3X

y = ( - 3 ) 2 - 3 ( - 3 ) = 9 + 9 = 18

y = ( - 2 )2 - 3 ( - 2 ) = 4 + 6 = 10

y = ( 0 )2 - 3 ( 0 ) = 0

y = ( 2 )2 - 3 ( 2 ) = 4 – 6 = - 2

y = ( 3 )2 - 3 ( 3 ) = 9 – 9 = 0

CE Eje Real

Parábola Secante

* Ceros de función

X1 = 0 X2 = 3

Escala 1: 3Vertical

x y Puntos

- 5 0 A ( -5 , 0 )

- 2 - 18 B ( -2,-18 )

0 - 20 C ( 0 ,-20 )

4 0 D ( 4 , 0 )

5 10 E ( 5 , 10 )

y = x2 + x - 20

y = ( - 5 ) 2 + ( -5 ) - 20 = 25 - 5 - 20 = 0

y = ( - 2 )2 + ( -2 ) - 20 = 4 - 2 - 20 = - 18

y = ( 0 )2 + ( 0 ) - 20 = - 20

y = ( 4 )2 + ( 4 ) - 20 = 16 + 4 - 20 = 0

y = ( 5 )2 + ( 5 ) - 20 = 25 + 5 - 20 = 10

Eje Real

X1 = - 5

X2 = 4

Parábola Secante

*Ceros

de función

Escala 1: 4Vertical

x y Puntos

- 5 100 A( -5 ,100 )

- 2 49 B ( -2, 49 )

0 25 C( 0 , 25 )

2 9 D( 4 , 9 )

5 0 E( 5 , 0 )

y = x2 - 10x + 25

y = ( - 5 ) 2 - 10( -5 ) + 25 = 25 + 50 + 25 = 100

y = ( - 2 )2 - 10( -2 ) + 25 = 4 + 20 + 25 = 49

y = ( 0 )2 - 10( 0 ) + 25 = 25

y = ( 2 )2 - 10( 2 ) + 25 = 4 - 20 + 25 = 9

y = ( 5 )2 - 10( 5 ) + 25 = 25 - 50 + 25 = 0

Eje Real

X1 = 5

Parábola Tangente

Cero de funciónMúltiple

Escala 1: 25Vertical

X2 = 5

x y Puntos

- 8 16 A( -8 , 16 )

- 4 0 B ( -2, 0 )

0 16 C( 0 , 16 )

2 36 D( 4 , 36 )

4 81 E( 5 , 81 )

y = x2 + 8x + 16

y = ( - 8 ) 2 + 8( -8 ) + 16 = 64 - 64 + 16 = 16

y = ( - 4 )2 + 8( -4 ) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0

y = ( 0 )2 + 8( 0 ) + 16 = 16

y = ( 2 )2 + 8( 2 ) + 16 = 4 + 16 + 16 = 36

y = ( 5 )2 + 8( 5 ) + 16 = 25 + 40 + 16 = 81

Eje Real

X1 = - 4

Parábola Tangente

Cero de funciónMúltiple

Escala 1: 2HorizontalEscala 1:16

Vertical

X2 = - 4

x y Puntos

- 3 18 A( -3 , 18 )

- 2 11 B ( -2, 11 )

0 3 C( 0 , 3 )

2 3 D( 2 , 3 )

3 6 E( 3 , 6 )

y = x2 - 2x + 3

y = ( - 3 ) 2 - 2( -3 ) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18

y = ( - 2 )2 - 2( -2 ) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11

y = ( 0 )2 - 2( 0 ) + 3 = 3

y = ( 2 )2 - 2( 2 ) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3

y = ( 3 )2 - 2( 3 ) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6

C Eje Real

Parábola

Raíces imaginarias

Escala 1:3Vertical

x y Puntos

- 4 28 A ( -4 , 28 )

- 3 18 B ( -3 , 18 )

0 0 C ( 0 , 0 )

3 0 D ( 2 , 0 )

4 4 E ( 4 , 4 )

y = x2 - 3x

y = (- 4 )2 – 3(-4) = 16 + 12 = 28

y = (-3 )2 - 3(-3) = 9 + 9 = 18

y = ( 0 )2 - 3( 0 ) = 0

y = ( 3 )2 - 3( 3 ) = 9 - 9 = 0

y = ( 4 )2 - 3( 4 ) = 16 - 12 = 4

Grafica la función en tu cuaderno

Para comprobar resultados da un click

en el botón izquierdo del mouse

Escala 1: 6Vertical

Parábola Secante

X1 = 0

X2 = 3

CREO LA GEOMETRIA ANALITICA INTRODUJO UN SISTEMA DE COORDENADAS, LLAMADAS CARTESIANAS.

RENE DESCARTE ( 1596 – 1650)

RESOLUCION DE PROBLEMAS

LECTURA CUIDADOSA HASTA ENTENDER LA SITUACION QUE SE PLANTEA

IDENTIFICAR CANTIDADES

UNA SE REPRESENTA POR “x”

CONOCIDAS DESCONOCIDAS

OTRAS EN FUNCION DE ESTA LETRA

IDENTIFICAR IGUALDADES(CONSTRUIR LA ECUACION)

ENCONTRAR LA SOLUCION

El producto de dos números es 91. ¿Cuáles son esos números, si sabemos que el mayor excede en 6 unidades al menor ? .

EJEMPLO 1

Número menor :

Número mayor :

x ( x + 6 ) = 91 Verificando operaciones

x2 + 6x = 91 Transponer e igualar a cero

x2 + 6x – 91 = 0

Resolvemos la ecuación

x2 + 6x - 91 = 0

( x + 13 ) ( x - 7 ) = 0

( x + 13 ) = 0

x = - 13

( x - 7 ) = 0

x = 7 *

Número menor :

Número mayor :

7 + 6 13

Los números son 7 y 13

El producto de dos números consecutivos pares es 48. Encontrar esos números.

EJEMPLO 2

Primer número :

Segundo número :

x2 + 2x - 48 = 0

( x + 8 ) ( x - 6 ) = 0

( x + 8 ) = 0

x = - 8

( x - 6 ) = 0

x = 6 *

Primer número :

Segundo número :

6 + 2 8

La suma de los cuadrados de las edades de Margarita y Josefina es 100 años. Si Margarita es dos años mayor, ¿ cuáles son sus edades ?

EJEMPLO 3

Josefina :

Margarita :

x2 + ( x + 2 )2 = 100 Verificando operaciones

x2 + x2 + 4x + 4 = 100 Transponer e igualar a cero

2x2 + 4x - 96 = 0Resolvemos la ecuación

x2 + 2x - 48 = 0

( x + 8 ) ( x - 6 ) = 0

( x + 8 ) = 0

x = - 8

( x - 6 ) = 0

x = 6 *

Josefina :

Margarita :

6 años

6 + 2 8 años

Margarita tiene 8 años y Josefina tiene 6 años

2x2 + 4x + 4 = 100

x2 + 2x - 48 = 0

Simplificando

El área de un rectángulo es 36 m2, su base excede a la altura en 5 m. Encontrar las dimensiones del rectángulo.

EJEMPLO 4

Base :

Altura :

x2 + 5x - 36 = 0

( x + 9 ) ( x - 4 ) = 0

( x + 9 ) = 0

x = - 9

( x - 4 ) = 0

x = 4 *

Altura :

4 metros

9 metros

Dimensiones : 9 m de base y 4 m de altura

La diferencia entre dos números es 2 y su producto 288. Encontrar los números.

EJEMPLO 5

Número menor :

Número mayor :

x2 + 2x - 288 = 0

( x + 18 ) ( x - 16 ) = 0

( x + 18 ) = 0

x = - 18

( x - 16 ) = 0

x = 16 *

Número menor:

Número mayor :

16 + 2

16 y 18 son los números buscados

El área de un triángulo rectángulo mide 84 m2. Encontrar las dimensiones de los catetos sabiendo que difieren entre sí 17 m .

EJEMPLO 6

x + 17

x ( x + 17 ) = 84 2

Verificando operaciones

x2 + 17x - 168 = 0Resolvemos la ecuación

x2 + 17x - 168 = 0

( x + 24 ) ( x - 7 ) = 0

( x + 24 ) = 0

x = - 24

( x - 7 ) = 0

x = 7 *

Altura:

Base :

7 + 17

Los catetos miden 7 m y 24 m

A = bh 2

Un número es el doble más uno con respecto a otro. La diferencia de sus cuadrados es 97. Encontrar esos números.

EJEMPLO 7

Número menor :

Número mayor :

(2 x + 1 )2 - x2 = 96 Verificando operaciones

4x2 + 4x + 1 - x2 = 96 Transponer e igualar a cero

3x2 + 4x - 95 = 0

(3x2 + 19x) - ( 15x + 95) = 0

( x - 5 ) = 0

( x + 19 ) = 0

x = - 19

Número menor :

Número mayor :

10 + 1 11

x ( x + 19 ) - 5 (x + 19 ) = 0

La suma de dos números es 22 y su producto equivale a 117 .

EJEMPLO 8

Primer numero :

Segundo número :

22 - x

x ( 22 - x ) = 117 Verificando operaciones

- x2 + 22x = 117 Transponer e igualar a cero

- x2 + 22x - 117 = 0

x2 - 22x + 117 = 0

( x - 13 ) = 0

x = 13

( x - 9 ) = 0

x = 9 *

Primer número:

Segundo número :

22 - 9 13

( x - 13 ) (x - 9 ) = 0

Multiplicando por - 1

x2 - 22x + 117 = 0

La diferencia de dos números es 2 y su suma multiplicada por el mayor equivale a 40. Encontrar esos números.

Primer menor :

Segundo número :

( 2x + 2 ) ( x + 2 ) = 40 Verificando operaciones

2x2 + 6x + 4 = 40 Transponer e igualar a cero

2x2 + 6x - 36 = 0

x2 + 3x - 18 = 0

( x + 6 ) = 0

x = - 6

( x - 3 ) = 0

x = 3 *

Primer número:

Segundo número :

3 + 2 5

( x + 6 ) (x - 3 ) = 0

Simplificando

x2 + 3x - 18 = 0

2x + 2Suma

El producto de dos números enteros positivos es 143, si sabemos que el mayor excede en 2 unidades al menor, ¿cuáles son los números?.

Número menor :

Número mayor :

x2 + 2x - 143 = 0

( x + 13 ) = 0

x = - 13

( x - 11 ) = 0

x = 11 *

Número menor:

Número mayor :

11 + 2 13

( x + 13 ) (x - 11 ) = 0

Un romboide presenta un área de 133 m2. Encontrar sus dimensiones, sabiendo que la base mide el doble más cinco con respecto a la altura

Altura :

Base :

2x + 5

x ( 2x + 5 ) = 133 Verificando operaciones

2x2 + 5x = 133 Transponer e igualar a cero

2x2 + 5x - 133 = 0Resolvemos la ecuación

2x2 + 5x - 133 = 0

2x ( x + 19 ) – 14 (x+ 19 ) = 0

( x + 19 ) = 0

x = - 19

Altura:

Base :

14 + 5 19m

El romboide tiene como dimensiones: 19 m de base y 7 m de altura

(2x2 + 19x) - (14x – 133) = 0

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3°. UNA ECUACIÓN DE LA FORMA : donde a, b y c son números reales y a...

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