Ecuación general del círculoAhora vamos a suponer que queremos encontrar el

lugar geométrico de los puntos que equidistan 5 unidades del punto Q(4, 3).

4

3

5

Vamos a llamar P(x, y) a uno de los puntos del lugar geométrico. Entonces, tenemos que la distancia de este punto a Q debe ser 5, es decir d(P, Q)=5

Que se escribe como

De donde, 2534 22 yx

Esta ecuación representa un círculo

La forma canónica o estándar del círculo de radio r y con centro en C(a, b) es:

222 rbyax

534, 22 yxQPd

C

r

a

b

Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anteriorx2-2xa+a2+y2-2yb+b2

=x2+y2+(-2a)x+(-2b)y+a2+b2

notamos que a2+b2=r2

Esta es la forma general de la ecuación del círculo.

Si D=-2a, E=-2b y F=a2+b2-r2

x2+y2+Dx+Ey+F=0

Problema individual: Encontrar el centro y radiodel círculo cuya ecuación es

4x2+4y2-12x+40y+77=04(x2-3x)+4(y2 +10y)= -77(x2-3x)+(y2 +10y)= -77/4

(x2-3x+9/4)+(y2 +10y+25)= -77/4+9/5+25(x-3/2)2+(y+5)2= 8

Entonces el centro es (3/2, -5) y el radio es 8=22

Ejercicio en equipo Deducir una ecuación del círculo que pasa por los puntos (1,5), (-2,3), (2,1). Resuelva de manera analítica y gráfica. Solución: Sabemos que la ecuación deseada tiene la forma siguiente: x2+y2+Dx+Ey+F=0Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del círculo por estar en él, tenemos

1+25+D+5E+F=04+9-2D+3E+F=04+1+2D-E+F=0

Es decir, D+5E+F=-26

-2D+3E+F=-132D-E+F=-5

Resolviendo el sistema tenemos,D=-9/5, E=19/5, F=-26/5

Por lo tanto la ecuación del círculo es: 5x2+5y2-9x-19y-26=0

El ejemplo anterior demuestra el empleo de la fórmula general para deducir la ecuación deseada.

Solución alterna

Como los puntos (1,5) y (-2,3) se ubican en el círculo, el segmento de uno a otro es una cuerda del círculo que deseamos.

(-2,3)

(1,5)

(2,-1)

Para la cuerda que une a (1,5) con (-2,3), el punto medio es (-1/2,4) y la pendiente m=2/3.

Ejercicio en equipoEncontrar la ecuación de la recta tangente al

círculo (x-3)2+(y-12)2=100 en el punto P(-5,6).

Recuerda: Una recta es tangente a un círculo si toca a éste en un solo punto. La recta tangente a un circulo tiene la propiedad de ser perpendicular al radio que une al centro del círculo con el punto de tangencia. Esta propiedad es la que nos permite encontrar la ecuación de la recta tangente.

Solución:

Primero debemos encontrar la pendiente del radio que une a P con el centro del círculo. El centro tiene coordenadas (3,12). La pendiente buscada es m=3/4.

De donde la pendiente de la recta tangente al círculo en P es –4/3; por tanto su ecuación es

y-6=-4/3(x-(-5)), o bien 4x+3y+2=0

6

-5 3

12

Ejercicio en equipoEncontrar la ecuación del círculo que es tangente a la recta x-

2y+2=0 en el punto P(8,5) y pasa por Q(12,9)Solución: El centro C(xo, yo) del círculo debe estar en la recta

l que es perpendicular a la recta dada y que pasa por P. Como la recta dada tiene pendiente ½ , la recta l tiene pendiente m=-2; por tanto su ecuación es y-5=-2(x-8) 2x+y-21=0

Por tanto las coordenadas de C satisfacen

2xo+yo-21=0 (1)Como la distancia de C(xo, yo) a P(8,5) debe ser igual a la

distancia de C(xo, yo) a Q(12,9), se tiene que

Elevando al cuadrado y simplificando tenemos xo+yo-17=0 (2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2) encontramos las coordenadas del centro C(4,13) y el radio r=80

Así la ecuación de la circunferencia es (x-4)2+(y-13)2=80, o bien x2+y2-8x-26y+105=0

2

0

2

0

2

0

2

0 91258 yxyx

5

84

13