ECUACIÓN DE 2° GRADO

O CUADRÁTICA

Profesor:

Elías Figueroa Quiroz

22 7 0x x

¿De qué tipo es esta

ecuación?

¿Cuáles son sus soluciones?

Objetivos de Aprendizaje• Comprender el concepto de ecuación

cuadrática.

• Determinar coeficientes de una ecuación

cuadrática.

• Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

• Reconocer y utilizar métodos de resolución de

diversas ecuaciones cuadráticas completas.

Ecuación Cuadrática.Una ecuación de segundo grado con una incógnita o ecuación

cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la

incógnita es dos y viene expresada de la siguiente forma.

En esta ecuación los coeficientes son:

Además, siempre se obtiene DOS SOLUCIONES al resolver

una ecuación cuadrática, definidas por X1 y X2.

Ejemplos.

Tipos de Ecuación Cuadrática.

Existen 2 tipos de ecuación cuadrática o de segundo grado:

1. Incompletas

1.1. Incompleta Monomial.

1.2. Incompleta Binomial.

1.3. Incompleta Pura.

2. Completas

2.1. Completa Particular.

1.2. Completa General.

Ecuación Cuadrática Incompleta.I. INCOMPLETA MONOMIAL.

Es aquella de la forma:

2 ; 0; 0; 0ax a b c

2 2 26 0 2 0 3 5 0x x x

Su resolución es:

2 2 26 0 2 0 3 5 0x x x

2 0x

1 0x

2 0x

2 0x

1 0x

2 0x

2 0x

1 0x

2 0x

Ecuación Cuadrática Incompleta.II. INCOMPLETA BINOMIAL.

Es aquella de la forma:

2 ; 0; 0; 0ax bx a b c

2 23 5 0 4 6 0x x x x

Su resolución es factorizando por los términos en común:

2 23 5 0 4 6 0x x x x

3 5 0x x

1 0x

2

5

3x

2 2 3 0x x

1 0x

2

3

2x

3 5 0x 2 3 0x

Ecuación Cuadrática Incompleta.III. INCOMPLETA PURA.

Es aquella de la forma:

2 ; 0; 0; 0ax c a b c

2 24 36 0 2 98 0x x

Su resolución es despejando la incógnita:

2 24 36 0 2 98 0x x

2 9x

1 3x

2 3x

2 49x

1 7x i 2 7x i

49x

Ejercicios Propuestos.

21) 5 32 57x

22) 6 21 51x

23) 15 3 0x x

24) 7 19 5x

¿Qué aprendiste?

1. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática?

2. ¿Qué coeficiente es nulo en la ecuación cuadrática

incompleta pura?

3. ¿Qué coeficiente es nulo en la ecuación cuadrática

incompleta binomial?

4. ¿Qué otro nombre reciben las soluciones de las

ecuaciones de segundo grado con una incógnita?

22 7 0x x

¿De qué tipo es esta

ecuación?

¿Cuáles son sus soluciones

o raíces?

2 5 6 0x x

¿Cuáles son sus soluciones

o raíces?

Ecuación Cuadrática Completa.I. COMPLETA PARTICULAR.

Es aquella de la forma:

2x bx c

2 27 12 0 6 9 0x x x x

Su resolución es factorizando:

2 27 12 0 6 9 0x x x x

3 4 0x x

1 3x

2 4x

3 3 0x x

1 3x

2 3x

; 1; 0; 0a b c

Ecuación Cuadrática Completa.I. COMPLETA PARTICULAR.

2 210 25 0 6 0x x x x

5 5 0x x

1 5x

2 5x

3 2 0x x

1 3x

2 2x

Ecuación Cuadrática Completa.II. COMPLETA GENERAL.

Es aquella de la forma:

2 ; 0; 0; 0ax bx c a b c

Para su resolución se debe considerar la fórmula general de la

ecuación cuadrática, la cual es:

2 4

2

b b acx

a

2

1

4

2

b b acx

a

2

2

4

2

b b acx

a

Ecuación Cuadrática Completa.II. COMPLETA GENERAL.

2 23 5 2 0 1 0x x x x

2 4

2

b b acx

a

2

5 5 4 3 2

2 3x

5 25 24

6x

5 1

6x

1

5 1

6x

1

2

5 1

6x

2

3

21 1 4 1 1

2 1x

1 1 4

2x

1 3

2x

1 3

2

i

1

1 3

2

ix

2

1 3

2

ix

Métodos de Resolución de la

Ecuación Cuadrática

• Factorización del Trinomio

(ya ejemplificado anteriormente)

• Completación de Cuadrados

• Fórmula General

Completación de Cuadrados

Completación de Cuadrados

Completación de Cuadrados

Completación de Cuadrados

Completación de Cuadrados

Completación de Cuadrados

Demostración de la Fórmula General

Demostración de la Fórmula General

Demostración de la Fórmula General

Demostración de la Fórmula General

Existen otras maneras de demostrar la

Fórmula General de la Ecuación Cuadrática.

Pinche los siguientes link:

https://www.youtube.com/watch?v=H-zN5m6oLh8

https://www.youtube.com/watch?v=vix1BlqxY04

¿Cuáles son sus soluciones o raíces?

2 4 32 0x x

EJERCICIOS PROPUESTOS

2 20 0x x

Teorema de Cardano-Víete.Este teorema nos sirve para obtener la ecuación cuadrática

correspondiente a un par de soluciones.

Utiliza los siguientes teoremas:

1 2

bx x

a

1 2

cx x

a

1

2

4

1

x

x

1 2

bx x

a

4 1

b

a

5

b

a

1 2

cx x

a 4 1

c

a 4

c

a

1; 5 ; 4a b c 2 5 4 0x x

1

2

3

1

5

x

x

1 2

bx x

a

13

5

b

a

14

5

b

a

1 2

cx x

a

13

5

c

a

3

5

c

a

5 ; 14 ; 3a b c 25 14 3 0x x

1

2

3 3

3 3

x

x

3 3 3 3b

a

0

b

a

3 3 3 3c

a 27

c

a

1; 0 ; 27a b c 2 27 0x

1 22 7x x

¿Cuál es la ecuación

cuadrática correspondiente

a estas soluciones o raíces?

Problemas de Ecuación Cuadrática.Manuel tiene un terreno en forma de cuadrado, el cual tiene

una superficie de 36m2, que quiere rodear de alambre

¿Cuántos metros de alambre necesita si el lado del terreno

mide (x + 2)m?

236m

2x

2x

2

2 36x

2 4 4 36x x

2 4 32 0x x

8 4 0x x

1 8x 2 4x

6lado m

4 6 24m m

Manuel necesita 24 metros de alambre para rodear su terreno.

Problemas de Ecuación Cuadrática.Sofía tiene un cuadro de ancho (x – 2)m y largo (x + 1)m. Si sabe

que el área mide 18cm2, ¿Cuánto mide el ancho de su cuadro?

218m

2x

1x

2 1 18x x

2 2 2 18x x x

2 20 0x x

5 4 0x x

1 5x 2 4x

6largo m

3ancho m

El ancho del cuadro de Sofía es de 3m.