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5.5 DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES USANDO MATLAB
Una herramienta importante en el diseño y análisis de sistemas de control esMATLAB. Comenzaremos viendo su aplicación en la descomposición de expresiones en fracciones parciales, para lo cual consideraremos la razón de dos polinomios b(s) y a(s) de la forma
donde a(1) 0, pero algún a(i) y b(j) pueden ser ceros.
Los vectores fila num y den especifican los coeficientes del numerador y del denominador de la función de transferencia. Es decir,
num = [b(1) b(2) ... b(n)]
den = [a(1) a(2) ... a(n)]
La orden
[r,p,k] = residue(num,den) encuentra los residuos, los polos y los términos directos de una descomposición en fracciones parciales del cociente de dos polinomios B(s) yA(s). La descomposición en fracciones parciales de B(s)/A(s) viene dada por
Ejemplo 5.7
Descomponer en fracciones parciales la siguiente expresión
Solución
Para esta función,
num = [2 5 3 6]
den = [1 6 11 6]
La orden
[r,p,k] = residue(num,den)
da el siguiente resultado
>> num = [2 5 3 6]
>> den = [1 6 11 6]
>> [r,p,k] = residue(num,den)
r =
-6.0000
-4.0000
3.0000
p =
-3.0000
-2.0000
-1.0000
k =
2
>>
(Observe que los residuos se devuelven en un vector columna r, la localización de los polos en un vector columna p y los términos directos en un vector fila k). Esta es la respuesta en MATLAB de la siguiente descomposición en fracciones parciales de B(s)/A(s):
La orden
[num,den]=residue (r,p,k)
donde r, p, k son dadas en la anterior salida de MATLAB, convierte la descomposición en fracciones parciales al polinomio cociente B(s)/A(s) como sigue:
Usando el simulador UNTSIM a) Descomposición en fracciones parciales Ingresando a Calculos matemáticos-Transformadas-Descomposición por fracciones parciales, se tiene la siguiente respuesta
Copyright 2002 UNT
MSc. Luis Moncada
All rights reserved
ESTE PROGRAMA DESCOMPONE UNA FUNCION EN EL DOMINIO DE LAPLACE
POR EL METODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES PARA TENER UNA
EXPRESION DE LA FORMA: a(S)/b(S) = n1/d1 + n2/d2 + ... + k
Ver Automatizacion y control Cap. 5.3
Ingrese coeficientes del numerador: [2 5 3 6]
Ingrese coeficientes del denominador: [1 6 11 6]
--------------------------------------------
Numerador(n) Denominador(d)=(s-...)
-6.0000 -3.0000
-4.0000 -2.0000
3.0000 -1.0000
El residuo k= 2
Con lo cual la descomposición en fracciones parciales es:
Ahora podemos tomar la transformada inversa, según la Tabla (4.1).
y(t) = – 6 e–3t – 4 e–2t + 3e–t + 2
b) Invirtiendo F(s) a F(t)
Ingresando a Calculos matemáticos-Transformadas-Inversión de F(s), se tiene la siguiente respuesta Copyright 2004 UNT
MSc. Luis Moncada
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11-Apr-2004
ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA INVERSA f(t)
DE UNA FUNCION F(s)
**************************************************************
Ingresar Funcion F(s): (-6/(s+3))-(4/(s+2))+(3/(s+1))+2
*************************************************************
LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES:
-------------------------------------------------------------
-6 exp(-3 t) - 4 exp(-2 t) + 3 exp(-t) + 2 Dirac(t)
-------------------------------------------------------------
>>
Ejemplo 5.8Determinar la expansión por fracciones parciales de:
Ingrese coeficientes del numerador: [ 2 0 9 1]
Ingrese coeficientes del denominador: [ 1 1 4 4]
--------------------------------------------
Numerador(n) Denominador(d)=(s-...)
0.0000 - 0.2500i -0.0000 + 2.0000i
0.0000 + 0.2500i -0.0000 - 2.0000i
-2.0000 -1.0000
El residuo k= 2
Luego la expansión en fracciones parciales es
y la transformada inversa será:
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16-May-2004
ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA INVERSA f(t)
DE UNA FUNCION F(s)
**************************************************************
Ingresar Funcion F(s): 2+(-2/(s+1))+(1/((s^2)+4))
*************************************************************
LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES:
-------------------------------------------------------------
1/2 1/2
2 Dirac(t) - 2 exp(-t) + 1/4 4 sin(4 t)
-------------------------------------------------------------
>>
>> [num,den]=residue (r,p,k)
num = 2.0000 5.0000 3.0000 6.0000
den = 1.0000 6.0000 11.0000 6.0000