Post on 30-Aug-2018
Del Caballero de Mére al Teorema de Green-Tao:un paseo (aleatorio)
por el mundo de la probabilidady por la teoría de Ramsey
Juanjo Ru e
Ecole Polytechnique, Palaiseau (L’X)
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 1
Donde encontramos la probabilidad?
En la economía
Valor de la acción de Criteria, y análisis técnico.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 2
Donde encontramos la probabilidad?
En la naturaleza
Filtración en un medio poroso(Percolación)
Movimiento de unaparticula ensuspensión.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 3
Donde encontramos la probabilidad?
En la sociedad
Modelo de una red de abastecimientoModelo de una red
social (Comunidades)
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 4
Juegos de azar:aquí empieza todo
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 5
Un poco de historia
• Los primeros en preguntarse sobre cuestiones de juegos de azarfueron los renacentistas: Piacoli, Cardano, Galilei, . . . .
• Primer problema real: encuentro de Pascal con el Chevalier deMére en 1651, que originó una abundante correspondencia entrePascal y Pierre de Fermat.
“...el caballero de Mére tiene mucho talento, pero no esgeómetra; ésto es, como sabéis un gran defecto...”
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 6
Ahora tocaría explicar los problemas típicos: la ruina del j ugador,la aguja de Buffon, . . . , pero NO lo haremos .
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 7
Un inciso: demasiado poco espacio!
“...Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en l asuma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dospotencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta queel cuadrado en la suma de dos potencias de la misma clase; paraeste hecho he encontrado una demostración excelente. Elmargen es demasiado pequeño para que la demostración quepaen él...”
⇓
Este problema es el conocido último teorema de Fermat , que afirmaque si n > 2 la ecuación xn + yn = zn únicamente tiene solucionestriviales.
La cuestión es que este problema se consiguió resolver el año 1996con técnicas que en el siglo XV II no se habìan desarrollado todavía.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 8
Un truco matemagico
“...En un instituto dividimos los alumnos en dos grupos. En u node ellos, a cada alumno se le da una moneda que tira 200 veces,escribiendo la secuencia que obtiene. En el otro grupo, losalumnos no reciben una moneda, y se pide que traten de escribi runa secuencia aleatoria de caras y cruces de longitud 200.Después el matemago recolecta los papeles y trata declasificarlos según el método de generación. La mayoría de ve cesla clasificación es bastante buena · · ·
En este caso, y que no sirva de precedente, el mago desvelará elsecreto.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 9
Un truco matemagico (y 2)
El matemago debe de mirar la carrera más larga
L p3 6,54 · 10−8
4 7 · 10−4
5 0,0339
6 0.16607 0,2574
8 0,2235
9 0,1459
10 0,0829
11 0,0440
12 0,0226
La mayoría de gente normalmenteescribe carreras de longitud menorque 4, porque sienten que de otra
manera obtenemos algo noaleatorio. El matemago
simplemente usa este criterio!
(Combinatoria analítica y análisis de algoritmos )
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 10
Lost en Barcelona
Supongamos que estamos paseando por el Eixample de Barcelona yque nos perdemos.
Existe algún método para llegar a nuestro destino?
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 11
Lost en Barcelona (y 2)
En esta situación basta que realicemos un paseo aleatorio por elEixample, y con probabilidad 1 acabaremos llegando a nuestrodestino!
Problema : igual dedicaremos demasiado tiempo a volver a casa . . . .
Estos paseos siempre retornan al origen cuando estamos en el casounidimensional y en el caso bidimensional...pero el casotridimensional ya no!
(Dimensión crítica y paseos aleatorios en grafos infinitos )
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 12
Una paradoja de aniversarios...
En una habitación van entrando personas, y se va apuntando su fechade aniversario.
Cuál es el número esperado de personas que entren antes quehayan dos con el mismo aniversario?
⇓
La cuestión es que con n ∼ 24 personas hay muchos aparejamientosde personas. Si estamos en un planeta marciano con r días por año,
∫
∞
0
e−t
(
1 +t
r
)r
dr ∼
√
πr
2+
2
3+ error pequeño
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 13
...y otra de cromos
En una colección de 365 cromos, cuantos sobres de 1 cromo hayque comprar en media?
⇓
Aquí el problema es el inverso, uno tiene que esperar un valor muchomayor que el número total de cromos (para agotar todas lasposibilidades.) Hacen falta en media 2364.
∫
∞
0
(
1 − (1 − e−t/r)r)
dr ∼ r log(r) + γr +1
2+ error pequeño
Conclusión : es un buen negocio dedicarse a vender cromos.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 14
Barajando cartas
Supongamos que tenemos una baraja de cartas ordenada: cuántosshufflings necesitamos realizar para esperar que el orden en la barajasea completamente aleatorio? (i.e., podemos obtener con igualprobabilidad cualquier orden de las cartas)
⇓
Persi Diaconis (Standford) y Dave Bayer (Columbia) demostraron elaño 1992 que con 7 shufflings hay suficiente.
Después de este resultado, en los casinos de Las Vegas tomaron elteorema como regla de funcionamiento.
(Paseos aleatorios en grafos finitos y cadenas de Markov )
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 15
Orden en el desorden:La teoría de Ramsey
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 16
Por donde empezamos? Contando palomas...
Principio del palomar de Dirichlet: N + 1 palomas que llegan a unpalomar con N agujeros: dos de ellas deben de compartirnecesariamente un agujero!
Por ejemplo, en un grupo de 366 personas siempre existen dos quecumplen años el mismo día!
Filosofía : encontramos una pauta en una configuración cualquiera depalomas.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 17
Matematicas y eventos sociales para abrir boca
Problema: demostrar que en unafiesta de más de 6 personas siempre
existen 3 de ellas que se conocenmutuamente o bien 3 de ellas que nose conocen las unas con las otras.
Se supone que la relación de amistad es simétrica .
Observar lo que nos dice el problema: en un conjunto cualquiera(aleatorio) de 6 personas, SIEMPRE existe una subestructurasubjacente.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 18
Modelando el problema: grafos
• A cada persona le asociamos un punto, al que llamaremosvértice .
• Si dos personas se conocen, pintamos una linea (arista ) entre losvértices.
• Si dos personas no se conocen, pintamos una linea (arista )punteada entre los vértices.
Traducción : si coloreamoscon 2 colores el grafo K6,
siempre existe un triángulomonocromático.
Cogemos un vértice y aplicamos el principio del palomar . . .
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 19
Algo mas difıcil, por favor
Fijamos un entero k. Existe un número N tal que toda fiesta con másde N personas contiene un grupo de k personas que se conocenmútuamente o bien un grupo de k personas que no se conocen lasunas con las otras?
Traducción : existe un N
tal que si coloreamos elgrafo KN con dos colores,siempre obtenemos un Kk
monocromático?.
La respuesta es que SI. Es el resultado que bautiza la teoría deRamsey .
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 20
...y como se demuestra? El metodo probabilıstico.
Se trata de una idea seminal de PaulErdös, consistente en definir un espaciode probabilidad adecuado, y demostrar
que cierto objeto con la propiedaddeseada tiene probabilidad positiva. Esta
idea se conoce como el métodoprobabilístico .
De hecho, se demuestra las siguientes cotas para los números deRamsey R(k, k)
2k/2 < R(k, k) < 2k2/2
Por ejemplo, 8 < 23 < R(6, 6) < 218 = 262144
Así pues, coloreando aleatoriamente el grafo KN , siempre existe unasubestructura subjacente.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 21
Rizando el rizo: numero cromatico y cuello
• El número cromático de un grafo χ(G) es el número mínimo decolores necesarios para pintar los vértices, sin que hayan dosvertices incidentes del mismo color.
• El cuello de un grafo g(G) es la longitud del ciclo más corto.
Muchas aristas : número cromático alto, cuello bajo.Pocas aristas : número cromático bajo, cuello alto.
Hay grafos con χ(G) y g(G) arbitrariamente grande?
Erdös (1959) demuestra que existen , pero construirlos es unproblema muy difícil!
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 22
Teoremas tipo Ramsey sobre los naturales
Teorema de Van der Waerden infinito: consideremos una coloración(aleatoria) de los números enteros con r colores. Entonces existe uncolor que contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.
Inciso: una progresión aritmética de longitud k es un conjunto denúmeros de la forma
a, a + b, a + 2b, . . . , a + (k − 1)b
Por exemplo 3, 5, 7, 9 es una progresión aritmética de longitud 4.
Es decir, si particionamos el conjunto de los naturales en clasesC1, C2, . . . , Cr, uno de los conjuntos Ci (no sabemos cual) tiene unasubestructura subyacente.
Se puede decir algo más general?
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 23
El teorema de Szemeredi
Dado un conjunto infinito ∆ de enteros positivos, definimos
d(n) =|∆
⋂
{1, 2, . . . , n}|
n
De todos los d(n), tomamos el más pequeño, y decimos que éste es ladensidad de ∆.
Teorema de Szemerédi: si la densidad de ∆ es estrictamente mayorque 0, entonces contiene progresiones aritméticas arbitrariamentelargas (sea como sea ∆).
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 24
La prueba
Se conocen esencialmente tres pruebas de este resultado, condemostraciones cualitativamente distintas
André Szemerédi(Combinatoria)
Hillel Furstenberg(Teoría ergódica)
Tim Gowers(Análisis
funcional)
...Y se puede ir más allá?
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 25
Números primos:el teorema de Green-Tao
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 26
Que es un numero primo y alguna que otra definicion
Un entero positivo es primo si sus divisores son el 1 y él mismo.
12 = 3 × 4, luego no es primo; 1 no es primo! (ni compuesto)
Los primeros primos son los siguientes
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
Teorema : Existen infinitos números primos (Euclides).
Si hubiera un conjunto finito, {p1, p2, . . . , pN}, entonces el númerop1p2 . . . pN + 1 tendrá que ser primo y no estaría en la lista!
a, b son primos entre si si no tienen ningun divisor común primo.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 27
Intermezzo : sumas de inversos de enteros
Sea ∆ un conjunto de números enteros positivos, sin incluir el 0.
Si el conjunto ∆ es finito ⇒ la suma∑
a∈∆ a−1 es finita!
Si el conjunto ∆ es infinito ⇒ la suma∑
a∈∆ a−1 puede ser finita oinfinita .
1. Tomamos el conjunto ∆ = {1, 2, 4, 8, . . . }. Entonces:
S = 1 +1
2+
1
4+ · · · = 1 +
1
2S ⇒ S = 2
2. ∆ = {1, 2, 3, 4 . . . }. Entonces:
1+1
2+(
1
3+
1
4)+(
1
5+
1
6+
1
7+
1
8)+ . . . > 1+
1
2+2
1
4+4
1
8+ · · · = ∞
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 28
Resultados mas refinados de numeros primos
1. La suma de los inversos de los primos diverge:∑
p primo p−1 = ∞
2. Postulado de Bertrand: entre un número y su doble siempreexiste un primo.
3. Teorema de Dirichlet: sean a, b primos entre si. En la progresionaritmética a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . existen infinitos primos.
La idea "básica" de la prueba es intentar demostrar que
∑
p=a+br primo
p−1 = ∞
Se introduce el concepto de función L.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 29
El teorema del numero primo; densidad 0!
Uno de los problemas con más historia de la aritmética.
Sea π(n) el número de primos menores que n (π(10) = 4: {2, 3, 5, 7}).
lımn→∞
π(n)n
log(n)
= 1
De otro modo, paran muy grande, π(n) y
nlog(n) valen ”casi” lo
mismo.
La densidad de primos es igual a: π(n)n ∼
n
log(n)
n ∼ 1log(n) −→ 0
El teorema de Szemerédi no funciona en los primos!
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 30
...hasta la llegada de los maestros...
Ben Green (Cambridge)Terence Tao (UCLA)
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 31
El teorema de Green-Tao
En el conjunto de los números primos existen progresionesaritméticas arbitrariamente largas.
Idea de la prueba : estudiar propiedades generales de conjuntospseudoaleatorios , y demostrar después que dichas propiedades secumplen para el conjunto de los números primos.
m
En cierto modo, el conjunto de los números primos es un conjuntoescogido al azar!
Técnicamente, se trata de una combinación del trabajo de Szemerédi,Furstenberg y Gowers.
Se trata de uno de los resultados más impresionantes de los últimos30 años.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 32
De otra liga
Por ello (junto con otras cosas) Terence Tao recibió la medalla Fieldsel 2006 en Madrid, y Ben Green está en todas la quinielas para lamedalla Fields de este año.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 33
De otra liga
Por ello (junto con otras cosas) Terence Tao recibió la medalla Fieldsel 2006 en Madrid, y Ben Green está en todas la quinielas para lamedalla Fields de este año.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 34
De otra liga
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 35
Problemas abiertos
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 36
Algunos problemas sobre los que pensar...a ratos
• Hallar números de Ramsey.Suppose aliens invade the Earth and threaten toobliterate it in a year’s time unless human beings canfind the Ramsey number R(5, 5). We could marshal theworld’s best minds and fastest computers, and withina year we could probably calculate the value. If thealiens demanded the Ramsey number R(6, 6),however, we would have no choice but to launch apreemptive attack.
Paul Erdös.
• Hipótesis de Riemann : Los zeros complejos no triviales de lafunción ζ(s) =
∑
∞
n=1 n−s se hallan en la banda crítica .
Hay maneras más sencillas de ganar 106 dolares.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 37
Algunos problemas sobre los que pensar...a ratos (y 2)
• La conjetura de Erdös-Turán : sea ∆ = {a1, a2, . . . } un conjuntoinfinito de enteros positivos. Si
∑
∞
i=11ai
= ∞, entonces elconjunto ∆ contiene progresiones aritméticas arbitrariamentelargas!
• La conjetura de Goldbach : Todo entero positivo es suma de dosprimos?
• Primos gemelos : existen infinitos primos gemelos? (p y p + 2 sonprimos)
• La conjetura de Erdös-Turán para funciones derepresentación : sea ∆ un conjunto infinito de enteros, si todoentero n se escribe como x + y, x, y ∈ ∆, entonces las manerasde escribir n como suma de dos elementos de ∆ es no acotado.
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 38
Estas cuestiones son de gran importancia...
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 39
...pero existen otras mucho más dificiles
Gracias por venir!
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 40
Del Caballero de Mére al Teorema de Green-Tao:un paseo (aleatorio)
por el mundo de la probabilidady por la teoría de Ramsey
Juanjo Ru e
Ecole Polytechnique, Palaiseau (L’X)
Introduccion a la probabilidad y la teoria de Ramsey.– p. 41