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UNIVERSIDAD AUTONOMA
DEL CARMEN
ESCUELA PREPARATORIA CAMPUS II
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
97
1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos
o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la
informacin y la comunicacin.
COMPETENCIAS DISCIPLINARES
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
98
Ttulo: INTEGRALES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
Objetivo: Aplicar las frmulas de integracin inversa en la solucin de ejercicios.
Lectura
6.1 FORMULAS DE INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
INVERSAS
Ca
uarc
aauu
du
Ca
u
aua
du
Ca
uarcsen
ua
du
sec1
arctan1
22
22
22
Cau
auL
aau
du
21
22
Cua
uaL
aua
du
21
22
2 2
2 2
duL u u a C
u a
6.2ALGUNOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACION DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS INVERSAS
ejemplo:
1. 29
dx
x
para aplicar la frmula Ca
uarcsen
ua
du
22 es necesario identificar los valores de
a2, a, u
2, u y calcular u(x) y du(x).
3
92
a
a
dxxdu
xxu
xu
xu
)(
)(
22
El integrando est completo pues incluye la funcin multiplicada por su diferencial,
en consecuencia podemos aplicar la frmula de integracin citada.
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
99
2229 ua
du
x
du
integrando
Cx
arcsen 3
2. 243 xdx
para aplicar la formula Ca
u
aua
du
arctan
122
es necesario identificar los valores de a2,
a, u2, u y calcular u(x) y du(x).
3
32
a
a
dxxdu
xxu
xu
xu
2)(
2)(
2
4 22
Para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir por 2.
243
2
2
1
x
dx
sustituyendo en el integrando
2221
ua
du
integrando
a
u
aarctan
1
2
1
sustituyendo el valor de a y de u
Cx
3
2arctan
32
1
6.3 EL INTEGRANDO SE EXPRESA COMO LA SUMA DE DOS COCIENTES ejemplo:
dx
x
x
29
4
comun denominador
dxx
dxx
x
22 9
4
9
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
100
dxxxdu
xxu
xu
2)(
9)(
9
2
2
3
92
a
a
dxxdu
xxu
xu
xu
)(
)(
22
multiplicando y dividiendo por -2 la primera integral
22
1
2
94)2(9
2
1
x
dxdxxx
integrando
Cx
arcsenu
34
2
12
1 21
sustituyendo el valor de u
Cx
arcsenx 3
49 2
6.4 EL INTEGRANDO ES UNA FRACCION DONDE EL NUMERADOR ES dx Y
EL DENOMINADOR ES DE LA FORMA ax + bx + c
Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax2
+ bx. La
integral resultante puede ser de cualquiera de las formas siguientes:
22 au
du
22 uadu
22 audu
2udu
para completar el cuadrado se puede utilizar la siguiente expresin
cbb
bxxcbxx
22
22
22
ejemplo:
dxxx
dx
84
62
al completar el cuadrado del denominador, se tiene
844484 22 xxxx 42 2 x
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
101
426
2x
dx
dxxdu
xxu
xu
xu
)(
2)(
2
222
4
2
a
a
sustituyendo en el integrando
226
au
dx
integrando
Ca
u
a
arctan
16
sustituyendo los valores a y u
Cx
2
2arctan
2
6
Cx
2
2arctan3
6.5 COMPLETAR EL CUADRADO CUANDO EL COEFICIENTE DE X2
ES
NEGATIVO Ejemplo:
23 xxdx
si se completa el cuadrado del denominador se tiene
xxxx 33 22
22
22
2
2
3
2
3
2
3
2
33
x
xx
multiplicando por el signo menos 22
2
3
2
3
x
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
102
dxxdu
xxu
xu
xu
)(
2
3)(
2
3
2
32
2
2
3
2
32
2
a
a
sustituyendo en el integrando
22
22
2
3
2
3
ua
du
x
dx
integrando
Ca
uarcsen
sustituyendo los valores de a y u
C
x
arcsen
2
32
3
C
x
arcsen
2
32
32
C
xarcsen
)3(2
322
C
xarcsen
3
32
6.6 COMPLETAR EL CUADRADO CUANDO EL COEFICIENTE DE X2 NO ES
LA UNIDAD Ejemplo:
982 2 xxdx
Se factoriza la expresin xx 822 antes de completar el cuadrado.
94442
942982
2
22
xx
xxxx
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
103
el factor 2 afecta toda le expresin que esta en el parntesis
942442 2 xx 122 2 x
sustituyendo en el integrando
1222
x
dx
dxxdu
xxu
xu
xu
2
22)(
22
2222
multiplicando y dividiendo en el integrando por 2
122
2
2
12
x
dx
sutituyendo
222
1
au
du
integrando
Cua
arctan
1
2
1
sustituyendo el valor de u y a
Cx 22arctan2
1
1.
dxxdu
xxu
xu
xu
)(
)(
22
3
92
a
a
sustituyendo
92x
dx
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
104
Cau
auL
a
egrado
au
du
2
1
int
22
sustituyendo el valor de a y u Cx
xL
3
3
6
1
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
105
Saberes a reforzar: Integrales trigonomtricas inversas
Estrategias metodolgicas: Resolucin de ejercicios
Ejercicio de autoaprendizaje No 9
Calcula las siguientes integrales.
1. 169 2xdx
2. 216 y
dy
3.
4. y
dyysen
2cos5 25
54y
dyy
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
106
5. )(Ln1 2 xxdx
6. ydyyy
2sec16
tansec
7. 2082 yydy
8. 271 xdx
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
107
9. 762 yy
dy
10. 2582 yydy
11. 1022 xxdx
12. 584 2 xxdx
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
108
13. dxe
ex
x
21
14. 748
2 yy
dy
15. 264 xx
dx
16.
49
4
x
xdx
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
109
17. xaxdx
22sen
cos
18. ydyyy
2sec45
tansec
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
110
Ttulo: INTEGRAL DEFINIDA
Objetivo: Aplicar la integral definida para conocer los valores de las reas bajo una curva. LECTURA 10.1 La integra definida como limite de sumas de Reimann
Si f una funcin definida en un intervalo cerrado ba, y si el limite de la suma d Reimann existe, entonces se dice que f es integrable en ese intervalo, se expresa.
b
a
n
ix
dxxfxWf 11
10
lim
El proceso de obtener el numero representado por el limite sealado se le llama calcular la integral.
Si una funcin f es continua en un intervalo cerrado ba, entonces siempre f es integrable en ba, . Al usar el intervalo ba, condicionamos que a < b. Si a > b entonces se expresa como:
b
a
b
adxxfdxxf
10.2 Teorema fundamental del calculo.
Si una funcin es continua en un intervalo cerrado ba, entonces siempre f es integrable en ba, .
aFbFdxxfb
a
Donde F es cualquier funcin tal que F(x) = f(x) para toda x en ba, 10.3 Procedimiento para calcular una integral definida.
El procedimiento para calcular una integral definida se resume en lo siguiente:
Integrar la expresin diferencial dada.
Sustituir en el resultado obtenido inicialmente con el valor del extremo superior y restar despus de sustituir con el valor del extremo inferior.
No es necesario utilizar la constante de integracin.
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
111
Problemas resueltos:
dxx4
12
15
44
2
12
4
1
2
4
1
x
dxx
dxx20 cos
20
senx
02
sensen
1
01
dxx0
2
3 2
0
2
3 2
5
3
xx
3
23 2 225
300
5
3
3 45
6
10.4 Propiedades de la integral definida.
Si f es integrable en ba, y k s un numero real cualquiera, entonces kf es integrable en ba,
b
a
b
adxxfkdxxkf
Si f y g son integrables entonces:
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf
Problemas resueltos:
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
112
3
0
2 143 dxxx
3
0
3
0
3
0
2 43 dxdxxdxx
303
0
23
0
3 2 xxx
03018027 12
2
0
32 1 dxxx
duu3
0
3
2
1
2
0
4
8
u
2
0
42
8
1
x
8
10
8
1444
78
dxxxx 3
0
22316 =
3
0
2duu
3
0
3
3
u
3
0
3
27
9
2
0 2 22
1
xx
dxx
dxxx
2
0
2
12 112
2
1
2
1
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
113
duu
2
0
2
1
4
1
214
1 21
u
2
0
2
1
2
u
2
0
2
12
2
2
xx
0
00
2
44 21
2
1
2
8
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
114
Saberes a reforzar: Integral definida
Estrategias metodolgicas: Resolucin de ejercicios
EJERCICIO DE AUTOAPRENDIZAJE No 10
Calcular las integrales siguientes:
1. 3
3xdx
2. 1
4xdx
3. dxxx 2
1
3
4. dxxx
4
033
5. e
x
dx
1
6. dxx
3
04
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
115
7. dxx0
2
3 2
8. 2
6
cos
xdx
9. dxx 0
1
232
10.
3
1 2
23 542dx
x
xx
11. xdx 302sec
12.
3
1
2 123 dxxx
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
116
13. 9
13 dxx
14. dxx 80
2 2sec
15. dyy 1
1
2 2
16. dyy
1
0
212
17.
2
1 21
3dy
y
18.
dxx
x
1
0
2
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
117
Ttulo: INTEGRACION POR PARTES
Objetivo: conocer y aplicar la integracin por partes como un mtodo alterno de solucin
en integrales.
LECTURA
7.1 FORMULA DE INTEGRACION POR PARTES La integracin por partes tiene por objeto calcular la funcin primitiva del producto de una
funcin por la diferencial d otra funcin de la misma variable. Se basa en la formula de la
derivada de un producto de dos funciones:
vduudvuvd integrando ambos miembros
vduudvuv despejando se obtiene la formula de integracin por partes
vduuvudv Para aplicar esta frmula en un caso dado, debe descomponerse la diferencial dada
en dos factores u y dv. Al momento de elegir estos factores se debe tomar en cuenta los
siguientes puntos:
a) dx es siempre una parte de dv b) debe ser posible integrar dv c) cuando la expresin para integrar es el producto de dos funciones, es mejor elegir la
de apariencia ms complicada.
Se usa para integrar gran nmero de integrales no inmediatas que se plantean como
producto de funciones algebraicas, logartmicas y trigonomtricas inversas tales como:
dxxxcos dxxln dxxx 3 dxxsen2
dxxarc tan
7.2 PROCEDIMINTO DE INTEGRACION POR PARTES
Problemas Resueltos
1. dxxxcos se descompone el integrando en dos factores u y v
de la expresion dl integrando que sea igual a u, se calcula su diferencial
dxdu
xu
la funcin en apariencia mas complicada y contiene a dx se iguala a dv
dxxdv cos para obtener el valor de v se integra la expresion que se igualo a dv
dxdu
xu
NOTA: La expresion del integrando que se igualo a dv debe ser facilmente integrable
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
118
Los valores obtenidos de u, du y de v, se sustituyen en la frmula para proceder a integrar
dxsenxxsenxdxxx
vduuvudv
cos
integrando
Cxxsenx
Cxxsenx
cos
cos
NOTA: La eleccin de cual expresin es u y cual dv del integrando es arbitraria y es
acertada cuando la integral del segundo miembro resulta mas sencilla qu la funcin inicial.
2. dxxsenx
dxdu
xu
x
dxsenxv
dxsenxdv
cos
sustituyendo en la formula
dxxxx
dxxxxdxxsenx
vduuvudv
coscos
coscos
integrando
Csenxxx cos
3. dxxx cos2
xdxdu
xu
2
2
senx
dxxv
dxxdv
coscos
sustituyendo en la formula
dxsenxxsenxx
dxxsenxsenxxdxxx
vduuvudv
2
2cos
2
22
NOTA: en algunos casos es necesario aplicarle a una misma funcin varias veces este
metodo.
Si tomamos la segunda integral dxsenxx2
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
119
dxdu
xu
2
2
x
dxsenxv
dxsenxdv
cos
sustituyendo en la formula
dxxxx 2coscos2 ahora sustituimos en la ecuacin original
dxxxxsenxxdxxx cos2cos2cos22
integrando
Csenxxxsenxx 2cos22
dxxex2.4
dxdu
xu
x
x
x
e
dxev
dxedv
2
2
2
2
1
2
1
sustituyendo en la formula
dxexe
dxexe
xx
xx
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
22
integrando
Cexe xx 22
4
1
2
1
5. dxxx2sec
dxdu
xu
x
dxxv
dxxdv
tan
sec
sec
2
2
sustituyendo en la formula
dxxxx tantan integrando
CxLxx sectan
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
120
6. dxxln
dxx
du
xu
1
ln
xv
dxv
dxdv
sustituyendo en la formula
Cxxx
dxx
xxx
ln
1ln
7. dxxarctan
21
arctan
x
dxdu
xu
xv
dxv
dxdv
sustituyendo en la formula
dx
x
xxx
21arctan
dxxdu
xxu
xu
2)(
1)(
1
2
2
integrando
CxLxx 212
1arctan
8. dxxx 3
dxdu
xu
23
3
1
3
1
33
2
3
3
xv
dxxv
dxxdv
sustituyendo en la formula
dxxxx
2
3
2
3
33
23
3
2
integrando
Cx
xx
2
5
3
3
23
3
2 25
2
3
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
121
Cxxx
25
2
3
315
43
3
2
9. dxxx ln2
dxx
du
xu
1
ln
3
2
2
3
1xv
dxxv
dxxdv
susituyendo en la formula
dxxxx23
3
1ln
3
1
integrando
Cx
xx 9
ln3
1 33
10. dxx3arctan
291
3
3arctan
x
dxdu
xu
xv
dxv
dxdv
sustituyendo en la formula
dx
x
xxx
29133arctan
dxxxdu
xxu
xu
2
2
2
18)(
91)(
91
integrando
CxLxx 2916
13arctan
11. dxxex cos
dxedu
eu
x
x
senxv
xdxv
xdxdv
coscos
sustituyendo en la formula
dxsenxesenxexx
realizamos una segunda integracin por partes
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
122
dxedu
eu
x
x
xv
dxsenxv
dxsenxdv
cos
sustituyendo en la formula tenemos
dxxexesenxedxxexxxx coscoscos
sumamos dxxex
cos en ambos miembros de la ecuacin
xesenxexdxe xxx coscos2
xsenxexdxe xx coscos2
Cxsenxe
xdxex
x
2cos
cos
12. dxexx237
como xxx 23 dxxexdxex xx22 23 77
dxxdu
xu
2
2
2
2
2
2
2
1
22
1
x
x
x
x
ev
dxxev
dxxev
dxxedv
sustituyendo en la formula
dxexex xx 22
22
17
2
7 2
dxeex xx22
2
7
2
7 2
13. dxesenxdx
e
senx xx
xdxdu
senxu
cos
x
x
x
ev
dxev
dxedv
1
sustituyendo en la formula
xdxesenxe xx cos
realizamos una segunda integracin por partes
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
123
dxxsendu
xu
cos
x
x
x
ev
dxev
dxedv
1
dxxseneedxxe xxx cos
sustituyendo n la formula
dxexsenxesenxe xxx cos
dxexsenxesenxedxexsen xxxx cos
sumamos dxexsen x
en ambos miembros de la ecuacin
xesenxedxexsen xxx cos2
2
cos xxsenedxexsen
xx
x
x
e
xxsendxexsen
2
cos
14. dxexax2
dxxdu
xu
2
2
a
ev
dxev
dxedv
ax
ax
ax
sustituyendo en la formula
dxxa
e
a
ex
axax
22
dxxeaa
ex ax
ax
22
la integral del segundo miembro puede hallarse integrando nuevamente por partes
Ca
xa
e
a
ex axax
122
2
15. dzz3sec
dzzzdu
zu
tansec
sec
zv
dzzv
dzzdv
tan
sec
sec
2
2
sustituyendo en la formula
dzzzzz2tansectansec
en la nueva integral tenemos 1sectan22 zz
sustituyendo y afectando los productos obtenemos
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
124
dzzzzz 1secsectansec2
dzzdzzzzdzz secsectansecsec33
transponemos al primer miembro la integral dzz3sec y efectuamos la integracin faltante
y despejamos
Czzzz tansecln2
1tansec
2
1
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
125
SABERES A REFORZAR: Integracin por partes
ESTRATEGIAS METODOLOGICAS: Resolucin de ejercicios
EJERCICIOS DE AUTOAPRENDIZAJE No 11
Calcular las integrales siguientes:
1. dxx
x2
cos
2. dxx
xsen2
3. dxnxxcos
4. duuu2sec
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
126
5. dynyseny2
6. duuu 3sec2
7. xdxxn ln
8. dxxax
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
127
9. dxxarc tan
10. dxxsenarc
11. dxxarc 2cos
12. dyyarc sec
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
128
13. dxxarc tan
14. dtt
arc2
csc
15. dxxarcx tan
16. dxexx2
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
129
17. dxxsenarcx2
18. de cos
19.
1
1ln
x
dxx
20.
dxx
xe x
21
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
130
Ttulo: INTEGRAL POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Objetivo: Resolver integrales usando los mtodos de integracin.
Lecturas:
Si un integrando contiene expresiones del tipo 222222 ,, axxaxa donde a > 0 y
otras como nn axax 2222 , semejante a las citadas, inicialmente deben tratarse de resolver por sustitucin algebraica, si este procedimiento no es posible aplicarlo, se puede
realizar la integracin transformando la integral en una integral trigonometrica, aplicando
las sustituciones siguientes:
cos22 axa senax
sec22 axa tanax
tan22 aax secax
8.1 Desarrollo de la expresin cos22 axa se sustituye x con a sen para obtener al expresin trigonomtrica a cos de la expresin
algebraica 22 xa
Por el teorema Pitgoras:
22 xab
22
222
222
xab
xab
bxa
funcin trigonomtrica que relaciona x y a
x
a
x
a
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
131
senax
a
xsen
se elevan al cuadrado ambos terminos
222 senax sustituyendo en el valor de x
2
222 senaab factorizando a
2
2
22
1
1
senab
senab
como 22 1cos sen
cos
cos 2
ab
ab
por lo tanto
cos22 axa
8.2 Desarrollo de la expresin sec22 axa Se sustituye x con a tan para obtener al expresin trigonomtrica a sec de la expresin
algebraica 22 xa
Por el teorema Pitgoras:
22
222
xab
xab
funcin trigonomtrica que relaciona x y a
x
b
x
a
a
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
132
tan
tan
ax
a
x
se elevan al cuadrado ambos terminos
222 tanax sustituyendo en el valor de x
2
222 tanaab factorizando a
2
2
22
tan1
tan1
ab
ab
como 22 tan1sec
sec
sec2
ab
ab
por lo tanto
sec22 axa
8.3 Desarrollo de la expresin tan22 aax Se sustituye x con a sec para obtener al expresin trigonomtrica a tan de la expresin
algebraica 22 ax
Por el teorema Pitgoras:
22
222
axb
bax
funcin trigonomtrica que relaciona x y a
b
x
x
a
a
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
133
sec
sec
ax
a
x
se elevan al cuadrado ambos terminos
222 secax sustituyendo en el valor de x
2
aab 22 sec factorizando a
2
2
22
tan1
1sec
ab
ab
como 1sectan22
tan
tan 2
ab
ab
por lo tanto
tan22 aax 8.4 Procedimiento para resolver una integral por sustitucin trigonomtrica.
Se deben calcular los valores de a, x, x2, dx. Y realizar las sustituciones correspondientes.
En el desarrollo de las operaciones se pueden aplicar, segn proceda, alguna de las identidades trigonomtricas.
8.5 En el integrando incluye una expresin de la forma 22 xa
Ejemplo:
1.
32
2
32 99 x
dx
x
dx
a2
= 9 a = 3
x2 = a
2 sen
2 x = a sen dx = a cos d
sustituyendo en
322322232 1
coscos
9
sena
da
senaa
da
x
dx
como 22 1cos sen
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
134
3366322 cos
cos
cos
cos
cos
cos
a
da
a
da
a
da
simplificando la ultima expresin
22 cosa
d
como
cos
1sec elevando al cuadrado
2
2
cos
1sec
sustituyendo
da
2
2sec
1
integrando
Ca
tan1
2
Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de tan1
2a en funcin de la variable x
original. Como x = a sen entonces h
co
a
xsen
22 xab
si la podemos sustituir
2222
1tan
1
xa
x
aa
colocando los valores correspondientes
Cx
x
299
1
2.
322
2
322 ua
du
ua
du
a2
= a2 a = a
u2 = a
2 sen
2 u = a sen du = a cos d
ca
cotan
x
a
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
135
sustituyendo en
3223222322 1
coscos
sena
da
senaa
da
ua
du
como 22 1cos sen
3366322 cos
cos
cos
cos
cos
cos
a
da
a
da
a
da
simplificando la ultima expresin
22 cosa
d
como
cos
1sec elevando al cuadrado
2
2
cos
1sec
sustituyendo
da
2
2sec
1
integrando
Ca
tan1
2
Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de tan1
2a en funcin de la variable u
original. Como u = a sen entonces h
co
a
xsen
22 uab
si la podemos sustituir
2222
1tan
1
ua
u
aa
8.6 En el integrando incluye una expresin de la forma 22 xa
Ejemplo:
ca
cotan
u
a
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
136
1. dxxx 42
a2
= 4 a = 2
x2 = a
2tan
2 x = a tan dx = a sec
2d
sustituyendo en
daaadaaaadxxx22222222 sec1tantansectantan4
como 1tansec22
daaadaaa2222 secsectansecsectan
simplificando la ultima expresin
da23 secsectan
ddu
u
u
tansec
sec
sec
entonces
duua23
integrando Cau
a 3
sec
3
33
33
ahora calcularemos el valor algebraico de 33 seca en la funcin de la variable x original.
Como x = a tan entonces ca
co
a
xtan
si la a
bsec podemos sustituir
x
a
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
137
3
2
323
323
33 4
3
4
3sec
3 a
xa
a
xaa
colocando los valores correspondientes y simplificando
Cx 32 43
1
2. 94 2xx
dx
haciendo u = 2x y a = 3, resulta 222 94 aux . Por tanto si hacemos 2x = u,
entonces x = u, dx = du. Sustituyendo
22222
21
21
94 auu
du
auu
du
xx
dx
a2
=4 a = 2
u2 = a
2tan
2 u = a tan du = a sec
2 d
sectan
sec
sectan
sec
1tantan
sec
tantan
sec 2
22
2
22
2
222
2
aa
da
aa
da
aa
da
aaa
da
simplificando la ultima expresin
d
asen
d
a
d
acsc
11
tan
sec1
integrando Cctga
cscln1
ahora calcularemos el valor algebraico de Cctga
cscln1
en la funcin de la variable
x original. Como x = a tan entonces ca
co
a
utan
u
a
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
138
si la u
bcsc y
u
actg podemos sustituir
cu
a
u
ua
a
22ln
1
colocando los valores correspondientes y simplificando
x
x
xx
x
2
349ln
3
1
2
3
2
49ln
3
1 22
8.7 En el integrando incluye una expresin de la forma 22 ax
Ejemplo:
1.
dxx
x
92
2
a2
= 9 a = 3
x2 = a
2sec
2 x = a sec dx = a tan secd
sustituyendo en
da
aa
dadx
x
xsectan
sec
sec
9 222
22
2
2
da
a
dasectan
1sec
sec
22
22
como 1setan22 c
da
a
dada
a
dasectan
tan
secsectan
tan
sec 22
22
22
simplificando la ultima expresin
da32 sec
integrando Ca
tansecln
2
1
2
tansec2
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
139
ahora calcularemos el valor algebraico de Ca
tansecln
2
1
2
tansec2 en la
funcin de la variable x original. Como x = a sec entonces ca
hp
a
xsec
si la a
xsec
a
btan podemos sustituir
Ca
ax
a
xa
ax
a
x
a
22
22
2 ln2
1
2
colocando los valores correspondientes y simplificando
Cxxaxx
a
axxaaxx
3
9ln
2
9
2ln
22
22222222
2.
dxx
x
62
2
a2
= 6 a = 3
x2 = a
2sec
2 x = a sec dx = a tan secd
sustituyendo en
da
aa
dadx
ax
xsectan
sec
sec
222
22
22
2
x
a
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
140
da
a
dasectan
1sec
sec
22
22
como 1setan22 c
da
a
dada
a
dasectan
tan
secsectan
tan
sec 22
22
22
simplificando la ultima expresin
da32 sec
integrando Ca
tansecln
2
1
2
tansec2
ahora calcularemos el valor algebraico de Ca
tansecln
2
1
2
tansec2 en la
funcin de la variable x original. Como x = a sec entonces ca
hp
a
xsec
si la a
xsec
a
btan podemos sustituir
Ca
ax
a
xa
ax
a
x
a
22
22
2 ln2
1
2
colocando los valores correspondientes y simplificando
Cxxxx
a
axxaaxx
3
6ln3
2
6ln
22
2222222
x
a
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
141
Saberes a reforzar: Integracin por sustitucin trigonomtrica
Estrategias metodolgicas: Resolucin de ejercicios
Ejercicios de Autoaprendizaje: No 12
Calcular las integrales siguientes:
1.
( )
2.
3.
( )
4.
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
142
5.
( )
6.
( )
7.
8.
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
143
9.
10.
11.
12.
EVALUACION FORMATIVA APLICACIN DE DIFERENCIALES E INTEGRALES
Nombre: _________________________________ Fecha: _________________________
1.- Resuelve la siguiente integral
dyy 1
0
212
2.- Resuelve usando el mtodo de fracciones parciales
923 xx
dx
3.- Resuelve usando el mtodo de sustitucin trigonomtrica
923 xx
dx
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
145
GUIA DE OBSERVACION DIFERENICALES E INTEGRAL INDEFINIDA
Nombre: ___________________________ Fecha: ________________________
Entrega a tu profesor la evaluacin formativa junto la presente gua de observacin.
Indicador Ejecucin Ponderacin Total Observaciones
1.5
1
El procedimiento seguido es el de
la integracin por partes.
1.5
La integral obtenida es correcta. 1
El procedimiento seguido es el de
las fracciones parciales.
1.5
La integral obtenida es la correcta. 1
El procedimiento seguido es el de
la sustitucin trigonomtrica.
1.5
La integral obtenida es la correcta. 1
Calificacin final
Escala
Cumpli 1
No cumpli 0
Recomendaciones generales:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
146
GUIA DE OBSERVACION DIFERENCIALES
Nombre: ___________________________ Fecha: ________________________
Entrega a tu profesor la evaluacin formativa junto la presente gua de observacin.
Indicador Escala
Ponderacin
Observaciones
R1 El procedimiento seguido es
correspondiente a la integral
definida.
R1 Sustituye de forma correcta a y b
R1 El valor de la integral definida es
correcto.
R2
Realizo correctamente la eleccin
de u y du
R2
Realiza correctamente el proceso
de sustitucin en la frmula de
integral por partes.
R2
Obtiene el resultado correcto de la
integral
R3
Realizo correctamente la eleccin
del radical al cambio de variable
de la funcin.
R3
Encuentra correctamente la
funcin trigonomtrica que se
debe usar mediante la ayuda del
tringulo rectngulo.
R3
Regresa correctamente la integral
a su variable original
Calificacin final
Escala
Cumpli 1
No cumpli 0
Recomendaciones generales:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
147
AUTOEVALUACION
En los siguientes ejercicios, determina la diferencial de la funcin que se indica:
1.
a)
b)
c)
d)
2.
a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )
3. senxdxx2
a) Cxxsenxxx cos22cos2
b) Cxxsenxxx cos22cos2
c) Cxxsenxxx cos22cos2
d) Cxxsenxxx cos22cos2
4. xdxlnx 32
a) c
xx
x
93ln
3
33
b) cx
xx
3
3ln9
33
c) cx
xx
9
3ln3
33
d) c
xx
x
9ln
3
33
5.
dxx
x 29
a) cxx
x
22
993
ln
b) cxx
x
22
9393
ln
c) cxx
x
22
993
ln3
d) cxx
x
22
993
ln3
6. 24 yy
dy
a) cy
y
24ln
2
12
b) cy
y
24ln2
2
7. cy
2
24ln
2
12
cy
y
24ln
2
12
CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL
148
ESCALA DE MEDICION DEL APRENDIZAJE
Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicacin.
Si tienes de 6 a 8 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas.
Si contestaste correctamente 5 menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesora a tu profesor.
RETROALIMENTACION
Como complemento a la autoevaluacin realizada te encuentras en punto donde es
importante analizar cules son tus dudas. Llena el siguiente cuadro que te servir como gua
al momento de exponer tus ideas al profesor.
Tema Qu aprend? Qu me falta?