CONTROL DE ROBOTS

• Sea A una matriz cualquiera y c un escalar cualquiera el producto entre la matriz A y el escalar c da como resultado una nueva matriz llamada cA, la cual es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de la matriz A por el escalar c.

MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

• Es la matriz que obtenemos de cambiar las filas por las columnas. La traspuesta de A la representamos por AT.

TRANSPUESTA

• La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1 y que verifica:

INVERSA DE UNA MATRIZ

• La cinemática es una rama de la física dedicada al estudio del movimiento de los cuerpos en el espacio, sin atender a las causas que lo producen (lo que llamamos fuerzas). Por tanto la cinemática sólo estudia el movimiento en sí, a diferencia de la dinámica que estudia las interacciones que lo producen. El Análisis Vectorial es la herramienta matemática más adecuada para ellos.

CINEMÁTICA

• Manipulación de piezas llevada a cabo por un robot implica el movimiento espacial de su extremo. Así mismo para que  el robot pueda recoger una pieza  es necesario conocer la posición  y orientación de esta con respecto a la base del robot .

• Se aprecia entonces la necesidad de contar con una serie de  herramientas matemáticas que permitan especificar la posición y orientación en el espacio de piezas, herramientas y, en general de cualquier objeto. estas herramientas han de ser lo suficiente potentes como para permitir obtener de forma sencilla relaciones espaciales entre distintos objetos y en especial entre estos y en el manipulador

HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA LA LOCALIZACIÓN

• Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir la posición de cualquier punto de un espacio vectorial. 

SISTEMAS DE COORDENADAS

• Indica la orientación de un cuerpo en el espacio.

REPRESENTACIÓN DE LA ROTACIÓN

• una matriz de rotación es la matriz que representa una rotación en el espacio euclídeo. Por ejemplo, la matriz:

MATRICES DE ROTACIÓN

• Las matrices de rotación pueden componerse para representar la aplicación continua de varias rotaciones. Por ejemplo si se aplica al sistema OUVW una rotación de ángulo α sobre OX, seguida de una rotación de ángulo Ф sobre OY y una rotación de ángulo θ sobre OZ, la rotación total podrá expresarse como:

MATRICES DE ROTACIÓN COMPUESTAS

Es importante recordar que el producto de matrices no es conmutativo por lo que el orden en el que se realizan las operaciones debe tomarse en cuenta.

• Sistema genérico de coordenadas para expresar cambios de coordenadas entre marcos de referencia tridimensionales.

MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA TRASLACIÓN Y ROTACIÓN

Ejemplo de traslación:

• Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector rxyz si ruvw = [4,8,12]T.

Ejemplo de rotación: 

• En general una matriz de transformación homogénea para un espacio tridimensional y en el contexto de robótica, se representara:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEAS

Una matriz de  transformación homogénea geométricamente representa la localización de un sistema de coordenadas ligado al cuerpo, con respecto aun sistema de coordenadas de referencia.   

•  En el caso general, una matriz de transformación homogénea puede representar tanto una translación como a una rotación de un sistema coordenado móvil sobre un sistema coordenado fijo. Una secuencia de rotaciones o translaciones individuales puede ser representada por el producto de matrices homogéneas fundamentales. Sin embargo, dado que el producto de matrices no es conmutativo, el orden en que las operaciones se realizan es importante. Además, un sistema coordenado móvil puede ser rotado o trasladado sobre los ejes de un sistema fijo, o también sobre uno de sus propios ejes. 

TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA COMPUESTA