32)

Consideracionessobreconceptosrelacionadosconelproblema(noespararesolverlo):Como la muralla es circular y al ser la recta que une las puertas y el árbolperpendicular a la que une la puerta Sur con el Este, también tendríamos quecaminar9lindesdelapuertaSurhaciaelOesteparapoderverelárbol.Estáclaroque la circunferencia que forma la muralla es la inscrita en el triángulo cuyosvérticessonelpropioárbol,y lospuntossituadosa9 linhaciaelEsteyelOestedesdelapuertaSur.Además,porconstrucción,estetriánguloesisósceles(larectaqueuneelárbolylaspuertasesperpendicularalladoqueunelospuntosa9linalEsteyOestedelapuertaSurysecortanenelpuntomediodedicholado,estoes,lapuertaSur).El centro de la circunferencia inscrita se llama incentro y es uno de los puntosnotablesdeltriángulo(tambiénconocidoscomocentrosdeltriángulo).Enesteenlacepuedesverlospuntosnotablesdeltriángulodeformasencilla:http://www.vitutor.com/geo/eso/as_2.htmlSiloquieresverconGeoGebra:https://www.geogebra.org/m/jqnK4876

Resolucióndelproblema:LostriángulosABCyADEsonsemejantes(puestienenlostresángulosiguales,yaquetienenambosunángulorectoycompartenelángulo𝛼).

Mediante el Teorema de Pitágoras podemos hallar el valor de x en función deldiámetrod(d=2r,esdecirr=d/2)

𝑥 =𝑑2 + 3

!

−𝑑2

!

=𝑑2

!

+ 3𝑑 + 9−𝑑2

!

= 3𝑑 + 9 = 3(𝑑 + 3)

Por lo tanto, por la semejanza de dichos triángulos se cumple (igualdad de laproporciónentresus ladoscorrespondientes,enestecaso loaplicamosa losdoscatetos):9,d+3yd/2, 3(𝑑 + 3)

!!!!

= !/!!(!!!)

Elevandoalcuadradoqueda: !"(!!!)!

=!!

!!(!!!!)

ysimplificando !"

!!!= !!

!"→ 81 ∙ 12 = 𝑑! 𝑑 + 3 → 𝑑! + 3𝑑! − 972 = 0

Hay que resolver la ecuación𝑑! + 3𝑑! − 972 = 0. Vamos a ver si tiene algunasolución entera mediante la regla de Ruffini. Otra opción es utilizar el cálculosimbólicodeGeoGebra(CAS)paraobtenerlasolución:

PorRuffini(probandolosdivisoresde972:1,2,3,4,6,9,..),llegamosa130-972991089721121080Luegolasoluciónesd=9linConelCASdeGeoGebra: