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The McGraw-Hill Companies, Inc. 2008McGraw-Hill/Irwin
Un Estudio de los conceptos de probabilidad
Capitulo 5
2Metas
Definir probabilidad.
Describir los enfoques clsicos, emprico y subjetivo de la probabilidad.
Explicar los trminos experimento, evento, resultados, permutaciones y combinaciones.
Definir los terminos probabilidad condicional y probabilidad conjunta.
Calcular probabilidades usando las reglas de adicion y de multiplicacion.
Aplicar el diagrama de arbol para organizar y calcular probabilidades.
Calcular probabilidades usando el teorema de Bayes.
3Definiciones
Una probabilidad es una medida de la
posibilidad de que un evento suceda en el
futuro. Esta puede asumir valores solamente
entre 0 y1.
Un valor cerca de 0 indica que no es probable
que el evento ocurra. Un valor cerca de 1 que
es muy probable.
Hay tres formas de asignar probabilidades:
clasica,
empirica, y
subjectiva.
4Ejemplo de probabilidades
5Definiciones continuacin
Un experimento es la observacin
de alguna actividad o el acto de
tomar alguna medida.
Un resultado es un resultado
particular del experimento.
Un evento es el conjunto de uno o
mas resultados de un experimento.
6Experimento, evento y resultados
7Asignando probabilidades
Tres enfoques para asignar
probabilidades
Clasico
Empirico
Subjetivo
8Probabilidad clasica
Considere el experimento de lanzar un dado. cual es la probabilidad del evento cae un numero par de puntos?
Los posibles resultados son:
Hay tres resultados favorables (un 2, un 4 y un 6) en el conjunto de 6 resultados igualmente posibles.
9Eventos mutuamente excluyentes
Los eventos son mutuamente
excluyentes si la ocurrencia de
cualquier evento implica que ninguno
de los otros puede ocurrir al mismo
tiempo.
Los eventos son independientes si la
ocurrencia de un evento no afecta la
ocurrencia de otro.
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Eventos colectivamente exhaustivos
Los eventos son colectivamente
exhaustivos si al menos uno de los
eventos tiene que ocurrir cuando
se lleva a cabo un experimento.
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Probabilida empirica
El enfoque emprico de la probabilidad se basa en lo que se llama la ley de los grandes nmeros. La clave para establecer empricamente las probabilidades es que ms observaciones proporcionar una estimacin ms precisa de la probabilidad.
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Ley de numeros grandes
Supongamos que lanzamos una moneda al aire. El resultado de cada lanzamiento es o una cara o una cruz. Si tiramos la moneda un gran nmero de veces, la probabilidad del resultado de las caras se acercar a 0,5. La siguiente tabla muestra los resultados de un experimento en el lanzamiento de una moneda 1, 10, 50, 100, 500, 1.000 y 10.000 veces y luego calcular la frecuencia relativa de caras
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Probabilidad empirica - ejm
El 1 de febrero de 2003, el transbordador espacial Columbia explot. Este fue el segundo desastre en las 113 misiones espaciales de la NASA. Sobre la base de esta informacin, cul es la probabilidad de que una futura misin se complete exitosamente?
98.0113
111
flights ofnumber Total
flights successful ofNumber flight successful a ofy Probabilit
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Probabilidad subjetiva - ejm
Si nay muy poca o ninguna experiencia o informacion sobre la cual basar la probabilidad, esta puede ser obtenida de forma subjetiva.
Algnas ilustraciones de probabilidad subjetiva son:1. Estimacion de la probabilidad de que los New England Patriots
jueguen el Super Bowl el proximo ao.
2. Estimar la posibilidad de que ustedes se casen antes de los 30
3. Estimar la posibilidad de que el deficit presupuestario de los USA se reducira en la mitad durante los proximos 10 aops
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Resumen de los tipos de probabilidad
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Reglas para calcular probabilidades
Reglas de adicion
Regla especial de adicion si dos eventos, A y B son mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de uno u otro evento es igual a la suma de sus probabilidades.
P(A o B) = P(A) + P(B)
La regla general de adicion- si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) esta dado por:
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
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Regla de adicion - ejemplo
Cul es la probabilidad de que una carta
elegida al azar de una baraja de cartas
estndar ser o bien un rey o un corazn?
P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)
= 4/52 + 13/52 - 1/52
= 16/52, or .3077
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La regla del complemento
La regla del complemento es
usada para determinar la
probabilidad de la ocurrencia de
un evento restando la
probabilidad de que el evento
no ocurra de 1.
P(A) + P(~A) = 1
or P(A) = 1 - P(~A).
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Probabilidad conjunta Diagrama de Venn
Probabilidad conjunta Una probabilidad que
mide la posibilidad de que dos o mas
eventos ocurran simultaneamente.
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Regla especial de la multiplicacin
la regla especial de la multiplicacin
requiere que dos eventos A y B sean
independientes.
Dos eventos A y B son independientes si la
ocurrencia de uno no tiene ningn efecto
sobre la probabilidad de la ocurrencia del
otro.
La regla se escribe: P(A y B) = P(A)P(B)
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Regla de la multiplicacin - ejm
Una encuesta realizada por la American Automobile Association (AAA), revel que un 60 por ciento de sus miembros hicieron reservas de avin el ao pasado. Dos miembros son seleccionados al azar. Cul es la probabilidad de los dos hayan reservado vuelos ao pasado?
Solucin:
The probability the first member made an airline reservation last year is .60, written as P(R1) = .60
The probability that the second member selected made a reservation is also .60, so P(R2) = .60.
Since the number of AAA members is very large, you may assume that
R1 and R2 are independent.
P(R1 and R2) = P(R1)P(R2) = (.60)(.60) = .36
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Probabilidad condicional
Una probabilidad condicional es la
probabilidad de que un evento
particular ocurra, dado que otro
evento ha ocurrido.
La probabilidad de un evento A dado
que el evento B ha ocurrido se
escribe como P(A|B).
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Regla general de la multiplicacin
La regla general de la multiplicacin es usada para encontrar
la probabilidad conjunta de dos eventos ocurran.
Use la regla general de la multiplicacin para encontrar la
probabilidad conjunta de dos eventos cuando los eventos
no son independientes.
Se establece que para los dos eventos, A y B, la probabilidad
conjunta de que ambos eventos sucedan se encuentra
multiplicando la probabilidad de que el evento A ocurra por
la probabilidad condicional del evento B ocurra dado que A
ha ocurrido.
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Regla general de la multiplicacin - ejm
Un jugador de golf tiene 12 camisas de golf en su
armario. Supongamos que 9 de estas camisetas
son de color blanco y las dems azules. l se viste
en la oscuridad, por lo que slo agarra una camisa
y se lo pone. l juega al golf dos das seguidos y
no lava la ropa.
cual es la probabilidad de que ambas camisas
seleccionadas sean blancas?
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El evento de que la primera camisa seleccionada sea
blanca es W1. la probabilidad es P(W1) = 9/12
El evento de que la segunda camisa seleccionada sea
tembien blanca se identifica como W2. la probabilidad
condicional de que la segunda camisa es blanca, dado
que la primera camisa seleccionada es tambien
blanca, es P(W2 | W1) = 8/11.
Para determinar la probabilidad de que dos camisas
blancas sean seleccionadas, usamos la formula: P(AB)
= P(A) P(B|A)
P(W1 and W2) = P(W1)P(W2 |W1) = (9/12)(8/11) = 0.55
Regla general de la multiplicacin - ejm
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Tablas de contingencia
Una TABLA DE CONTINGENCIA es una tabla usada para clasificar observaciones muestrales de acuerdo a dos o mas caracteristicas identificables
Ejm. Una encuesta realizada a 150 adultos clasific a cada uno por el gnero y el nmero de pelculas que asistieron el mes pasado. A cada entrevistado se le clasifica de acuerdo a dos criterios: el nmero de pelculas que asistieron y el gnero.
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Tablas de contingencia - ejm
Una muestra de ejecutivos fueron entrevistados sobre su lealtad a su empresa. Una de las preguntas fue: "Si se le diera una oferta de otra empresa con una posicion igual o ligeramente mejor que su posicin actual, podra permanecer con la compaa o tomar la otra posicin?" Las respuestas de los 200 ejecutivos en la encuesta fueron cruzadas y clasificados con su antigedad en el servicio con la empresa
Cul es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente a un ejecutivo que es leal a la empresa (se mantendra) y que cuenta con ms de 10 aos de servicio?
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Evento A1 pasa si un ejecutivo de seleccionados al azar se mantendr con la empresa a pesar de una oferta igual o ligeramente mejor de otra compaa. Puesto que hay 120 ejecutivos de la 200 en la encuesta que se mantendra con la empresa
P(A1) = 120/200, or .60.
Evento B4 pasa si un ejecutivo seleccionado al azar tiene ms de 10 aos de servicio con la empresa. Por lo tanto, P (B4 | A1) es la probabilidad condicional de que un ejecutivo con ms de 10 aos de servicio se mantendra con la empresa. De los 120 ejecutivos que se quedan 75 aos tienen ms de 10 aos de servicio, por lo que P(B4| A1) = 75/120.
Tablas de contingencia - ejm
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Diagramas de rbol
Un Diagrama de rbol es til para representar las
probabilidades condicionales y conjuntas. Es
particularmente til para analizar las decisiones de
negocios en varias fases.
Un diagrama de rbol es una grfica que es de gran
ayuda en la organizacin de los clculos que
implican varias etapas. Cada segmento en el rbol
es una etapa del problema. Las ramas de un
diagrama de rbol son ponderadas por las
probabilidades.
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Diagramas de rbol
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Teorema de Bayes
El teorema de Bayes es un metodo
para revisar probabilidades dada
informacion adicional.
Es calculado usando la siguiente
formula:
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Teorema de Bayes - ejm
Una fabrica de reproductores de DVD compra un microchip en particular,
denominado LS-24, a tres proveedores: Hall Electronics, Schuller Sales y
Crawford Components. Treinta por ciento de los chips LS-24 se le compran a
Hall Electronics, 20% a Schuller Sales y el restante 50% a Crawfored
Components. El fabricante cuenta con amplios historiales sobre los tres
proveedores y saqbe que 3% de los chips LS-24 de Hall Electronics tiene
defectos, 5% de los chips de Schuller Sales tiene defectos y 4% de los chips que
se compran a Crawford Components tiene defectos.
Cuando los Chips LS-24 le llegan al fabricante, se les coloca directamente en
un deposito y no se inspeccionan ni se identifican con el nombre del proveedor.
Un trabajador selecciona un chip para instalarlo en un reproductor de DVD y
lo encuentra defectuoso, Cul es la probabilidad de que lo haya fabricado
Schuller Sales?
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Teorema de Bayes - ejm
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Teorema de Bayes - ejm
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Teorema de Bayes - ejm
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Teorema de Bayes - ejm
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Teorema de Bayes - ejm
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Reglas de conteo - multiplicacin
La frmula de multiplicacin indica
que si hay maneras m de hacer
una cosa y n formas de hacer otra
cosa, entonces hay mxn maneras
de hacer las dos cosas.
Ejemplo: Dr. Delong tiene 10 camisas y 8
corbatas. cuantos atuendos de
corbata y camisa tiene?
(10)(8) = 80
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Un concesionario de automviles desea anunciar que por 29.999 dlares se puede comprar un convertible, un sedn de dos puertas, o un modelo de cuatro puertas, y ud puede escoger tapacubos solidos o de alambre. Cuntos arreglos diferentes de los modelos y las cubiertas de las ruedas puede ofrecer el vendedor?
Reglas de conteo - multiplicacin: Ejm
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Reglas de conteo - multiplicacin: Ejm
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Reglas de Conteo - Permutacin
Una permutacin es cualquier arreglo
de r objetos seleccionados de n objetos
posibles. El orden de arreglo es
importante en permutaciones.
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Conteo - Combinacin
Una combinacin es el nmero
de formas de elegir r objetos de un
grupo de n objetos sin tomar en
cuenta el orden.
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Combinacin - ejm
Hay 12 jugadores en el equipo de basquet del
Carolina Forest High School. El entrenador
Thompson tiene que escoger 5 jugadores
entre los 12 del equitpo para completar el
equipo abridor. cuantos grupos son
posibles?
792)!512(!5
!12512
C
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Permutacin - ejm
Supongamos que, adems de seleccionar el
grupo, tambin debe clasificar a cada uno de
los jugadores de la alineacin inicial de
acuerdo a su habilidad.
040,95)!512(
!12512
P
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End of Chapter 5