Prof. Carlos A. Blanco

Conceptos básicosde funciones

INTRODUCCIÓN

×××

××××

××××

×××

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5678

Una correspondencia es cualquier asignación entre elementos de dos conjuntos.

Una aplicación es una asignación de elementos entre dos conjuntos de manera que a cada elemento del conjunto de partida (origen) le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada (imagen)

Una función es una asignación de elementos entre dos conjuntos de números reales, de manera que a cada elemento del conjunto de partida (origen) le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada (imagen)

Si los puntos del conjunto de partida los representamos en el eje de abscisas (eje ) y los puntos del conjunto de llegada los representamos en el eje de ordenadas (eje ), el par es un punto del plano, y una función puede tener la siguiente forma:

Puesto que una función es una asignación entre números reales, dicha asignación la podemos representar como , siendo el número real del conjunto de partida e el número real correspondiente del conjunto de llegada.

𝑃= (𝑥 , 𝑦 )

FUNCIONES

Los puntos que corresponden a la función tendrán la forma

Llamando a la asignación, y llamando el número real correspondiente a , escribimos . es la variable independiente e la variable dependiente.

Para que un gráfico corresponda a una función, cada recta vertical solo podrá cortar a dicha gráfica en un solo punto, puesto que para cada valor de le corresponderá uno sólo de .

SI ES FUNCIÓN NO ES FUNCIÓN

FUNCIONES

(𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) ) (𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )

(𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )(𝑥 , 𝑓 (𝑥 ) )

FORMAS DE DAR FUNCIONESUna función define una relación de dependencia funcional entre dos magnitudes.

La magnitud que se fija previamente corresponderá a la variable independiente, y la magnitud con la que está relacionada corresponderá a la variable dependiente.

Y finalmente se puede dar a partir de una gráfica.

Se puede dar a partir de una tabla.

Esta relación de dependencia se puede dar mediante un enunciado.

Se puede dar mediante una fórmula.

“Un kilo de manzanas cuesta 1,20€”

1 1,202 2,403 3,60

𝑦= 𝑓 (𝑥 )=1,20 ·𝑥

En general, una función la veré como la asignación

𝑓 :¿

Se llama recorrido de la función al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente . El conjunto de puntos del eje que tiene gráfica.

Se llama dominio de la función al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente . El conjunto de puntos del eje que tiene gráfica.

Recorrido

Dominio

DOMINIO Y RECORRIDO

• Si es una función polinómica, entonces su dominio es

• Si es una función racional, (cociente de polinomios), entonces su dominio es

• Si es una función irracional, (raíz cuadrada de alguna expresión), entonces su dominio es

• Si es una función logarítmica, (logaritmo de alguna expresión), entonces su dominio es

El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. Es decir, es el conjunto de valores para los que la función tiene sentido. Se pueden tomar las siguientes consignas:

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

a) es un polinomio, así b) es un cociente en el que el numerador es una raíz. Para que exista la

función, debe existir la raíz y el denominador no se debe anular:

Porque el denominador no se anula nunca.c) es un cociente. No se debe anular el denominador.

d) es un cociente cuyo numerador es una raíz, y cuyo denominador se anula en

Calcula el dominio de las siguientes funciones:

DOMINIO DE UNA FUNCIÓNa) c)

b) d)

a) En primer lugar señalamos el dominio.En segundo lugar señalamos el recorrido.Finalmente dibujamos la función cuidando que cubra el dominio y el recorrido

Dibuja una posible gráfica para una función que tenga por dominio y recorrido:a) y b) y

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

b) En primer lugar señalamos el dominio.En segundo lugar señalamos el recorrido.Finalmente dibujamos la función cuidando que cubra el dominio y el recorrido

Supongamos que tenemos dos funciones y que parten desde el mismo conjunto de números reales, y suponemos que tenemos un número real:

OPERACIONES CON FUNCIONES

y

Se definen entonces las funciones , , , y de la siguiente manera:

𝑓 +𝑔 :¿

𝑓 −𝑔 :¿

𝑓 ·𝑔 :¿

𝑓 /𝑔 :¿

𝑘 · 𝑓 :¿

Su dominio es

𝐷𝑜𝑚 ( 𝑓 +𝑔)=𝐷𝑜𝑚 ( 𝑓 ) ∩𝐷𝑜𝑚 (𝑔 )

𝐷𝑜𝑚 ( 𝑓 −𝑔 )=𝐷𝑜𝑚 ( 𝑓 ) ∩𝐷𝑜𝑚 (𝑔 )

𝐷𝑜𝑚 ( 𝑓 ·𝑔)=𝐷𝑜𝑚 ( 𝑓 ) ∩𝐷𝑜𝑚 (𝑔)

𝐷𝑜𝑚 (𝑘 · 𝑓 )=𝐷𝑜𝑚 ( 𝑓 )

Sean las funciones , y sea un número real. Calcula , , , y .

OPERACIONES CON FUNCIONES

( 𝑓 +𝑔 ) (𝑥 )= 𝑓 (𝑥 )+𝑔 (𝑥 )= 1𝑥 +𝑥+2𝑥−3

=(𝑥−3 )+𝑥 (𝑥+2 )

𝑥 (𝑥−3 )=𝑥2+3 𝑥−3𝑥2−3𝑥

( 𝑓 −𝑔 ) (𝑥 )= 𝑓 (𝑥 )−𝑔 (𝑥 )=1𝑥 − 𝑥+2𝑥−3

=(𝑥−3 ) −𝑥 (𝑥+2 )

𝑥 (𝑥−3 )=

−𝑥2−𝑥−3𝑥2−3 𝑥

( 𝑓 ·𝑔) (𝑥 )= 𝑓 (𝑥 ) ·𝑔 (𝑥 )= 1𝑥 · 𝑥+2𝑥−3=

𝑥+2𝑥2−3𝑥

( 𝑓 /𝑔 ) (𝑥 )= 𝑓 (𝑥 )𝑔 (𝑥 )

= 1𝑥 :𝑥+2𝑥−3

= 𝑥−3𝑥2+2 𝑥

(5 · 𝑓 ) (𝑥 )=5 · 𝑓 (𝑥 )=5· 1𝑥=5𝑥

Observamos que y que , con lo que el dominio de la suma, diferencia y producto es , el dominio del cociente es y finalmente

Supongamos que tenemos dos funciones y de forma que el conjunto inicial de la segunda función coincide con el conjunto final de la primera función:

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

y

Se define entonces la composición de funciones de la siguiente manera:

ℝ 𝑓→

ℝ

𝑥 ⟶ 𝑦= 𝑓 (𝑥 )¿ ¿ ¿

Se define Dicha expresión se lee “ compuesto con ” Se tiene que un número está en el dominio de si se cumple que:• está en el dominio de , es decir, • está en el dominio de , es decir,

Si por ejemplo es y

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Mientras que

De todo esto se deduce que la composición de funciones no es conmutativa.

Sean las funciones , , y Calcula , , , , y

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

(𝑡 ∘𝑔 ) (𝑥 )=𝑡 (𝑔 (𝑥 ) )=𝑡 (𝑥−4 )=√ (𝑥−4 )−3=√𝑥−7

( 𝑓 ∘𝑘 ) (𝑥 )= 𝑓 (𝑘 (𝑥 ) )= 𝑓 (𝑥2+1 )= (𝑥2+1 ) −1(𝑥2+1 )+2

= 𝑥2

𝑥2+3

( 𝑓 ∘𝑔 ) (𝑥 )= 𝑓 (𝑔 (𝑥 ) )= 𝑓 (𝑥−4 )= (𝑥−4 ) −1(𝑥−4 )+2

= 𝑥−5𝑥−2

(𝑔∘ 𝑓 ) (𝑥 )=𝑔 ( 𝑓 (𝑥 ) )=𝑔 ( 𝑥−1𝑥+2 )=𝑥−1

𝑥+2−4=−3 𝑥−9

𝑥+2

Supongamos que en un almacén vende manzanas a algunas tiendas para su posterior distribución a la población. La relación entre kilos vendidos y precio se muestra en la tabla siguiente:

FUNCIÓN INVERSA

Manzanas (Kg) 0 50 100 150 200 250 300Coste (€) 0 40 80 120 160 200 240

Con esta información, sabemos que si una tienda pretende comprar 200 kilos de manzanas deben pagar 160€, pero también al revés, si sólo disponemos de un presupuesto de 120€, sólo podremos comprar 150 kilos.

Si es la función que relaciona el los kilos de manzanas que podemos comprar con el presupuesto, la función que relaciona el presupuesto con los kilos de manzanas que podemos comprar es la función inversa de y se denota por

Para que una función tenga inversa, cada punto de la Imagen sólo puede ser imagen de un punto del dominio.

Si es una función tal que , su inversa será tal que

FUNCIÓN INVERSA

Si , para hallar su inversa, llamamos y despejamos

𝑦=1𝑥+1⇒

1𝑦=𝑥+1⇒𝑥=

1𝑦 −1=1− 𝑦

𝑦 ⇒ 𝑓 −1 ( 𝑦 )=1−𝑦𝑦

Puesto que a la variable independiente se la suele denotar por , escribimos:

Para calcularla, llamaremos a la imagen de la función y a continuación despejaremos la variable independiente :

𝑓 −1 (𝑥 )=1−𝑥𝑥

Una función y su inversa cumplen que al componerlas se obtiene la función identidad:

Vamos a representar las gráficas de las funciones del ejemplo anterior (en verde) y (en rojo), en los mismos ejes de coordenadas:

FUNCIÓN INVERSA

Observamos que las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la bisectriz de primer y tercer cuadrantes.

Obtén la función inversa de y de ¿Cuánto vale ? ¿Existe ?

FUNCIÓN INVERSA

𝑦=2𝑥+1𝑥 ⇒ 𝑦𝑥=2 𝑥+1⇒ 𝑦𝑥−2𝑥=1⇒𝑥 ( 𝑦−2 )=1⇒𝑥=

1𝑦−2

Se tiene que

𝑦=√2 𝑥−3⇒ 𝑦2=2𝑥−3⇒ 𝑦2+3=2 𝑥⇒ 𝑦 2+32

=𝑥

Se tiene que

Se deduce que

No existe porque ya que al ser una raíz cuadrada positiva, todas sus imágenes son números reales positivos.

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES:CONTINUIDAD

Una función es continua si se puede dibujar de un solo trazo.

Cuando no es continua, hay diferentes tipos de discontinuidad:

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto finito

Discontinuidad de salto infinito

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES:CRECIMIENTO

Una función es creciente en un intervalo si al aumentar los valores de la variable independiente , aumentan los valores de la variable dependiente

Una función es decreciente en un intervalo si al aumentar los valores de la variable independiente , disminuyen los valores de la variable dependiente

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES:EXTREMOS

Una función tiene un máximo en un punto cuando el valor de la función en ese punto es mayor que los valores que toma la función cerca de él.

Una función tiene un mínimo en un punto cuando el valor de la función en ese punto es menor que los valores que toma la función cerca de él.

La función es creciente a la izquierda del máximo y decreciente a la derecha.

La función es decreciente a la izquierda del mínimo y creciente a la derecha.

Decreciente

Crec

ient

e

Crec

ient

e

Decreciente

Máximo

Mínimo

TASA DE VARIACIÓN

Si se tiene la función dada por la gráfica

Dada una función continua en un intervalo , se llama tasa de variación al aumento o disminución que experimenta el valor de la función al pasar la variable independiente del valor al valor .

𝑇𝑉 𝑓 [𝑎 ,𝑏 ]= 𝑓 (𝑏 )− 𝑓 (𝑎 )

𝑇𝑉 𝑓 [1,2 ]= 𝑓 (2 )− 𝑓 (1 )=2,1−3,95=−1,85𝑇𝑉 𝑓 [2,3 ]= 𝑓 (3 ) − 𝑓 (2 )=1,95−2,1=−0,15𝑇𝑉 𝑓 [3,4 ]= 𝑓 (4 ) − 𝑓 (3 )=1,63−1,95=−0,32𝑇𝑉 𝑓 [ 4,5 ]= 𝑓 (5 )− 𝑓 (4 )=1,59−1,63=−0,04𝑇𝑉 𝑓 [5,6 ]= 𝑓 (6 )− 𝑓 (5 )=2,09−1,59=0,5𝑇𝑉 𝑓 [ 4,6 ]= 𝑓 (6 ) − 𝑓 (4 )=2,09−1,63=0,46

TASA DE VARIACIÓN Y CRECIMIENTO.

a b   

a b   

Si para cada dos puntos de un intervalo , entonces la función es creciente en dicho intervalo

Si para cada dos puntos de un intervalo , entonces la función es decreciente en dicho intervalo

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES:CONTINUIDAD, CRECIMIENTO Y EXTREMOS

Para las funciones dadas por los siguientes gráficos:a) Explica si son continuas, y si no lo son, escribe donde son discontinuas y qué

tipo de discontinuidad presentan.b) Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.c) Escribe los puntos en los que las funciones presentan máximos o mínimos.

• Es continua en • Crece en • Decrece en • Tiene un máximo en y tiene un

mínimo en

• En y tiene discontinuidad de salto infinito.

• Crece en • Decrece en • Tiene un máximo en

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES:TENDENCIA

La tendencia de una función nos va a indicar su comportamiento para valores grandes (en valor absoluto) de la variable independiente, así como su comportamiento cerca de los puntos que no están en el dominio de la función.

En este caso, para valores grandes de , los valores de tienden a .

La función crece indefinidamente para valores de próximos a cero

En este caso, para valores grandes de , los valores de tienden a

En este caso, la función oscila entre los valores y

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES:SIMETRIA Y PERIODICIDAD

Una función es simétrica respecto al eje de ordenadas (eje y) ó par, cuando para cada valor de su dominio se tiene:

Una función es periódica cuando los valores que toma se van repitiendo cada cierto intervalo, llamado periodo.

Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas (O) o impar, cuando para cada valor de su dominio se tiene:

𝑓 (−𝑥 )= 𝑓 (𝑥 )

𝑓 (−𝑥 )=− 𝑓 (𝑥 )

𝑓 (𝑥+𝑇 )= 𝑓 (𝑥 )

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES:SIMETRIA Y PERIODICIDAD

Estudia la simetría de , y

𝑔 (−𝑥 )= 1(−𝑥 )2+1

=1

𝑥2+1=g (𝑥 )

𝑓 (−𝑥 )= (−𝑥 )2

(−𝑥 ) −4= 𝑥2

−𝑥−4≠ { 𝑓 (𝑥 )

− 𝑓 (𝑥 )

h (−𝑥 )= (− 𝑥 )5− (−𝑥 )=− 𝑥5+𝑥=− h (𝑥 )De esta manera la función es par, la función es impar y la función no es ni par ni impar.

Describe el periodo de las funciones dadas por la gráfica:

Tiene periodo 2

Tiene periodo 3

FUNCIONES A TROZOSUna función a trozos es una función con diferentes expresiones algebraicas para diversos tramos de su dominio.Por ejemplo, cuando una frutería vende las naranjas de zumo a 0,69 €/kg; pero que a partir de 5 kg de compra las vende a 0,59 €/kg.En ese caso la función tendrá la forma:

𝑓 (𝑥 )={0 ,69𝑥 0≤𝑥<50,59𝑥 𝑥≥5

Y su gráfica se muestra a la derecha.Observamos que presenta una discontinuidad de salto finito en

En las funciones a trozos se debe estudiar el comportamiento de la función en los puntos donde cambia la expresión algebraica de la función

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES POR TRASLACIÓN

Dada la gráfica de la función , se puede trasladar a derecha, izquierda, arriba o abajo:

• Traslación de unidades a la parte positiva del eje :

• Traslación de unidades a la parte negativa del eje :

• Traslación de unidades a la parte positiva del eje

• Traslación de unidades a la parte negativa del eje

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES POR DILATACIÓN Y COMPRESIÓN

Dada la gráfica de la función , se puede dilatar o comprimir tanto a lo largo del eje como del eje . Basta con multiplicar las variables por números. Más concretamente, si es un número real positivo mayor que la unidad:

• Dilatarla a lo largo del eje :

• Comprimirla a lo largo del eje :

• Dilatarla a lo largo del eje

• Comprimirla a lo largo del eje

Para una vista más interactiva de estas transformaciones, clic aquí