INGENIERIA DE LOS MATERIALES

Lima, Abril del 2013

ESTRUCTURA CRISTALINA DE LOS SOLIDOSPOSICIONES DEL ATOMO EN UNA CELDA

UNITARIA

Dr. Ingº FORTUNATO ALVA DAVILA

POSICIONES DEL ATOMO EN CELDAS UNITARIAS CUBICAS

Para situar las posiciones atómicas en las celdas unitarias cúbicas se utilizan los ejes cartesianos x, y, z. La zona positiva del eje x es la situada hacia afuera del papel, la zona positiva del eje y es la situada hacia la derecha del papel, y la zona positiva del eje z es la situada hacia arriba del papel (ver.fig.). Las zonas negativas son las opuestas a las que se han descrito.

Las posiciones de los átomos en la celda unitaria se localizan mediante distancias unitarias a lo largo de los eje x, y, z, como se indica en la figura(a). Por ejemplo, las coordenadas de posición para los átomos en la celda unitaria BCC se muestran en la figura(b). Las posiciones atómicas para los átomos situados en los vértices de la celda unitaria BCC, son: (0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)(1, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1)

POSICIONES DEL ATOMO

El átomo central de la celda unitaria BCC

tiene las coordenadas en posición (1/2, 1/2,

1/2). Por sencillez, suelen especificarse sólo

dos posiciones atómicas en la celda unitaria

BCC, que son (0, 0, 0) y (1/2, 1/2, 1/2).

Las posiciones atómicas restantes de la celda

unitaria BCC se consideran sobreentendidas.

De forma análoga se pueden localizar las

posiciones atómicas en la celda unitaria FCC.

POSICIONES DEL ATOMO

DIRECCIONES EN LAS CELDAS UNITARIAS CUBICAS

Para los cristales cúbicos, los índices de las direcciones cristalográficas son los componentes del vector de dirección descompuesto sobre cada eje de coordenada y reducidos a mínimos enteros.

Para indicar una dirección en una celda unitaria cúbica, se dibuja un vector de dirección desde un origen, que generalmente es un vértice de la celda cúbica, hasta que emerge a la superficie del cubo (figura 1.11).

Las coordenadas de posición de la celda unitaria donde el vector de dirección emerge de la superficie del cubo después de convertirlas en enteros, son los índices de dirección. Estos índices se colocan entre corchetes sin separación por comas.

Las coordenadas de posición del vector de dirección OR de la figura 1.11a, son (1, 0, 0), y los índices de dirección para el vector de dirección OR son .

Las coordenadas de posición del vector de dirección OS (figura 1.11a) son (1, 1, 0), los índices de dirección para OS son

Las coordenadas de posición del vector de dirección OT (figura 1.11b), son (1, 1, 1), y los índices de dirección para OT son .

Ejemplo

[ ]100

[ ]110

[ ]111

continuación

Las coordenadas de posición del vector de dirección OM (figura 1.11c), son (1, 1/2, 0), y los índices de dirección deben ser números enteros, estas coordenadas de posición deben multiplicarse por 2 para obtener los enteros. Así, los índices de dirección de OM pasan a ser 2(1, 1/2, 0) = .

Las coordenadas de posición del vector de dirección ON (figura 1.11d), son (-1, -1, 0). Un índice de dirección negativo se escribe con una barra encima del índice. Así, los índices de dirección para ON son

[ ]210

−−011

Observación

Se observa, que para dibujar la dirección ON en el cubo, el origen del vector de dirección ha tenido que trasladarse al vértice inferior derecho del cubo unidad (figura 1.11d).En general, se utilizan las letras u, v, w como índices de dirección en las direcciones x, y, z, respectivamente, y se escriben como

También es muy importante mencionar, que todos los vectores de dirección paralelos tienen el mismo índice de dirección.

[ ]uvw

Ejemplos

Dibujar los siguientes vectores de dirección en celdas unitarias cúbicas:a) [ ]100 [ ]110 [ ]112

−001

−−123

d)

b) c)

[ ]100

[ ]110

Solucióna) Las coordenadas de posición para las direcciones son:

son (1, 0, 0)

son (1, 1, 0).

Ejemplos

b) Las coordenadas de posición para la dirección [ ]112 se obtienen dividiendo los índices de dirección entre 2, para que queden dentro del cubo unidad. Así, serán (1/2, ½, 1).

rU

rU

c) Las coordenadas de posición para la dirección son

(-1, 1, 0). Se observa, que el origen para el vector dirección

debe moverse al vértice inferior izquierdo del cubo.

−101

Ejemplos

−−123d) Las coordenadas de posición para la dirección se han

obtenido dividiendo primero todos los índices entre 3, que

es índice mayor. Así, se obtiene (-1, 2/3, -1/3).

- Ejemplos

ÍNDICES DE MILLER PARA LOS PLANOS CRISTALOGRAFICOS EN CELDAS UNITARIAS CUBICAS

Los índices de Miller de un plano cristalino se definen como el recíproco de las fracciones de intersección que el plano presenta con los ejes cristalográficos x, y z de las 3 aristas no paralelas de la celda unitaria cúbica. Las aristas del cubo en la celda unitaria representan longitudes unidad y las intersecciones de los planos reticulares se miden con base en estas longitudes.

El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano cristalográfico cúbico es como sigue:

1.- Se elige un plano que no pase por el origen de coordenadas (0, 0, 0).2.- Se determinan las intersecciones del plano en la función de los ejes cristalográficos x, y, z para un cubo unidad. 3.- Se obtiene el recíproco de las intersecciones.

ÍNDICES DE MILLER PARA LOS PLANOS CRISTALOGRAFICOS EN CELDAS UNITARIAS CUBICAS

4.- Se simplifican las fracciones y se determina el conjunto más pequeño de números enteros que estén en la misma proporción que las intersecciones. Este conjunto de números enteros son los índices de un plano cristalográfico y se encierran en paréntesis sin utilizar comas. La notación (hkl) se utiliza para indicar los índices de Miller en un sentido general, donde h, k, y l son los índices de Miller de un plano cristalino cúbico para los ejes x, y, z, respectivamente.

Las intersecciones del primer plano son:1, 1,

y los recíprocos de estos números son: 1, 1, 0 no involucran fracciones, siendo los índices de Miller (1 1 0).

Para la segunda figura, las intersecciones son:1, ,

a los ejes x, y, z respectivamente, por lo tanto los recíprocos son: 1, 0, 0. Los índices de Miller para ese plano son:(1 0 0 ).

El tercer plano, tiene las intersecciones 1, 1, 1 que nos dan un índice de Miller (1 1 1).

Ejemplos

 

Fig.1.14 Plano del cristal cúbico (632), que tiene intersecciones fraccionarias

En el plano cúbico cristalino presentado en la fig.1.14 que tiene las intersecciones 1/3,  2/3,  1. Los recíprocos de estas intersecciones son 3, 3/2, 1: como las intersecciones no son enteros, estas intersecciones debemos multiplicar por 2 para simplificar la fracción 3/2, obteniéndose 6, 3, 2 y los índices de Miller son (632).

Ejemplos

CALCULO  DE  LA  DENSIDAD  VOLUMETRICA,  PLANAR  Y LINEAL  DE  LAS  CELDAS  UNITARIAS

oA

γθ DENSIDAD VOLUMETRICA

Aplicando el modelo de esferas rígidas para la estructura

cristalina de la celda unitaria de un metal y el valor del

radio atómico, se obtiene el valor de la densidad

volumétrica, con la ecuación:

unitariaceldavolumen

unitariaceldamasaavolumétricDensidad v

/

/== ρ

CALCULO    DE    LA    DENSIDAD    VOLUMETRICA,   PLANAR  Y LINEAL  DE  LAS  CELDAS  UNITARIAS

DENSIDAD VOLUMETRICA

Aplicando el modelo de esferas rígidas para la

estructura cristalina de la celda unitaria de un metal y

el valor del radio atómico, se obtiene el valor de la

densidad volumétrica, con la ecuación:

unitariaceldavolumen

unitariaceldamasaavolumétricDensidad v

/

/== ρ

CALCULO DE LA DENSIDAD VOLUMETRICA, PLANAR Y LINEAL DE LAS CELDAS UNITARIAS

    DENSIDAD ATOMICA PLANAR 

La densidad planar es simplemente la relación del

área del plano cristalográfico ocupada por átomos

(representados como círculos); el plano debe pasar a

través del centro del átomo para que éste se pueda

incluir. Se calcula con la relación:

daseleccionaárea

daseleccionaáreaelporcortadosátomosdeeequivalentNúmp =ρ

DENSIDAD ATOMICA LINEAL

La densidad lineal corresponde a la relación de longitud

de línea, de una dirección cristalográfica particular, que

pasa a través de los centros de los átomos. Se Calcula

con:

línealadedaseleccionalongitud

erésdedirecciónlaenlínealade

daseleccionalongitudlaporcortadosatómidiámetrosdeNúm

l

int

cos

=ρ