Post on 22-Jan-2016
Clase 23 - Programación lineal 1
Gerenciamiento Técnico de Proyectos
Clase Nro 23Programación lineal
Clase 23 - Programación lineal 2
Programación Lineal
Los Recursos son limitados Hay un objetivo (función)
Generalmente maximizar el beneficio o minimizar los costos. Este objetivo está sujeto a restricciones relacionadas con los recursos u otros aspectos.
Tanto la función objetivo como las funciones de restricción son Lineales
Los Recursos y los productos son homogéneos
Las variables deben ser divisibles y no negativas
Clase 23 - Programación lineal 3
Procedimiento Gráfico
1. Formular el problema en términos
matemáticos
2. Dibujar las ecuaciones de restricción
3. Determinar el área de factibilidad
4. Dibujar la función objetivo
5. Encontrar el punto óptimo
Clase 23 - Programación lineal 4
Función Objetivo
Maximizar (o Minimizar) Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
Cj es una constante que describe la tasa de contribución al costo o beneficio de las unidades producidas (Xj).
Z es el costo o beneficio total de una cantidad dada de unidades a ser producidas
Clase 23 - Programación lineal 5
Método Gráfico de PL Ejemplo de Maximización
Una fábrica de muebles debe determinar el mix de modelos de mesas de comedor a ser producido el próximo año. La compañía produce dos líneas de producto la Max y la Multimax. El beneficio promedio es de $400 por cada Max y de $800 por cada Multimax. La fabricación está sujeta a recursos limitados de fabricación y armado. Hay una capacidad máxima de fabricación de 5000 horas por mes (Cada Max requiere 3 horas y cada Multimax requiere 5 horas). Hay un máximo de 3,000 hours de capacidad de armado disponibles por mes (Cada Max requiere 1 hora y cada Multimax requiere 4 horas).
¿Cuántas unidades de cada tipo de mesa deberían producirse cada mes para maximizar el beneficio?
Clase 23 - Programación lineal 6
Antes de comenzar
Ya que el beneficio es tanto mayor para la línea Multimax que para la línea Max, ¿porqué no simplemente producir Multimax?
Clase 23 - Programación lineal 7
La Función Objetivo
mes cada producidoMultimax de cantidad la=X
mes cada producidoMax de cantidad la=X
Multimaxy Max por producido mensual beneficio el= Z
Donde
X 800 + 400X= ZMaximizar
2
1
21
Clase 23 - Programación lineal 8
Restricciones
negativo No 0 X,X
Armado 3,000 4X + X
nFabricació 5,000 5X + 3X
21
21
21
Max (X1)
Mutimax (X2)
Tiempo por unidad
Tiempo por unidad
Tiempo disponible por
mes
3 5 5000 Fabricación
1 4 3000 Armado
Clase 23 - Programación lineal 9
Dibujar las restricciones
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
A B
C0,0
FabX1 X20 1,000
1,666.7 0
AssyX1 X20 750
3,000 0
X1
Clase 23 - Programación lineal 10
Dibujar las restricciones
FabX1 X20 1,000
1,666.7 0
AssyX1 X20 750
3,000 01,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
Clase 23 - Programación lineal 11
Determinar la pendiente de la función objetivo
Recordar que , Y = mx + b
En este caso: Y = X2, x = X1, y b = Z
Z = 400X1 + 800X2
800X2 = - 400X1 + Z
X2 = -1/2 X1 + Z/800
Pendiente = -1/2
Clase 23 - Programación lineal 12
Encontrar el punto óptimo
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
Z
Clase 23 - Programación lineal 13
Encontrar el punto óptimo
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
Punto ÓptimoPunto ÓptimoZ
Clase 23 - Programación lineal 14
Encontrar el punto óptimo
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C0,0
Armado 3,000 4X + X
nFabricació 5,000 5X + 3X
21
21
El punto óptimo se encuentra en la intersección de esta dos líneas:
Max 715 3
5(571)-5000=X
Multimax 571 o 571.43,=X
4,000 7X
nFabricació 5,000 5X + 3X
Armado 9,000 12X+ 3X
1
2
2
21
21
Podríamos (y deberíamos) resolver el sistema de ecuaciones.
Clase 23 - Programación lineal 15
Resolución
$742800=$456800+$286000=Z
(571) 800 + 400(715)=Z
X 800 + 400X=Max Z 21
Producir 715 de Max y 571 de Multimax por mesPara una ganancia de $742800.
Producir 715 de Max y 571 de Multimax por mesPara una ganancia de $742800.
Clase 23 - Programación lineal 16
Método Gráfico de PL Ejemplo de Minimización
La fábrica de hormigón elaborado HiTech está desarrollando un plan para comprar cemento para sus operaciones. HiTech recibe cemento de dos fuentes, Industrias Hasbeen y Cementos Gentro en embarques diarios mediante grandes camiones. Cada carga de camión de cemento de Hasbeen carga 1.5 tn de cemento portland normal y 1 ton de cemento ARS a un costo de $15,000. Cada carga de camión de Gentro carga 1 tn de cemento portland normal y 3 tons de cemento ARS a un costo de $18,000.
HiTech necesita al menos 6 tn de cemento portland normal y al menos 10 tn de cemento ARS por dia.
¿Cuántas cargas de camión se requieren de cada proveedor diariamente para un costo mínimo?
Clase 23 - Programación lineal 17
Función Objetivo
Minimizar Z = 15,000 X1 + 18,000 X2
Z = costo diario de cementoX1 = cargas de camión de HasbeenX2 = cargas de camión de Gentro
Clase 23 - Programación lineal 18
Restricciones
1.5X1 + X2 > 6 (Portland normal--tn)
X1 + 3X2 > 10 (ARS--tn)
X1, X2 > 0 (restricción no negativa)
Hasbeen (X1) Gentro (X2)Tn Tn Min Tn1.5 1 6 PN1 3 10 ARS
Clase 23 - Programación lineal 19
Dibujar las Restricciones
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12345678910X2
X1
PNX1 X20 64 0
ARSX1 X20 3.33310 0
Clase 23 - Programación lineal 20
PNX1 X20 64 0
ARSX1 X20 3.33310 0
Dibujar las Restricciones
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12345678910X2
X1
Clase 23 - Programación lineal 21
Determinar la pendiente de la Función Objetivo
Minimizar Z = 15,000 X1 + 18,000 X2
X2 = -5/6 X1 + Z/18,000
Clase 23 - Programación lineal 22
Encontrar el punto óptimo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12345678910X2
X1
Punto ÓptimoPunto Óptimo
Clase 23 - Programación lineal 23
Encontrar el punto óptimo
El punto óptimo de encuentraEn la intersección de estas dos lineas:
1.5X1 + X2 = 6 (PN--tn)
X1 + 3X2= 10 (ARS--tn)
1.5X1 + X2 = 6 (PN--tn)1.5X1 + 4.5X2 = 15 (ARS--tn)
-3.5X2 = -9, X2 = 2.57 camiones GentroX1 = 10 - 3(2.57) = 2.29 camiones Hasbeen
Clase 23 - Programación lineal 24
Resolución
Pedir diariamente 2.29 cargas camiones de Hasbeen y 2.57 Camiones de Gentro. El costo diario será de $80,610.
Minimizar Z = 15,000 X1 + 18,000 X2
Z = 15,000 (2.29) + 18,000(2.57)
Costo diario = $34,350 + $46,260 = $80,610