Clase 06 - Variables Aleatorias Multidimensionales

Variables Aleatorias Multidimensionales

Mallen Arenas

Departamento de EstadısticaFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Universidad de Concepcion

Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 1 / 30

1 Introduccion

2 Variables Aleatorias bidimensionales Discretas

3 Distribuciones condicionales

4 V. a. multidimensional discreta

5 Distribucion multinomial

6 Variables Aleatorias bidimensionales continuas

7 Variables aleatorias independientes

8 Covarianza y coeficiente de correlacion lineal

Introduccion

Hasta el momento hemos considerado conceptos probabilisticos tomandoen cuenta una variable aleatoria a la vez. Es decir el resultado de unexperimento se podıa registrar como un solo numero xEn muchos casos, sin embargo, nos interesa medir simultaneamente dos omas caracteristicas numericas.

Introduccion

Ejemplo

Consideremos el experimento de lanzar dos dados. Podrıamos definir lassiguientes variables aleatorias en el espacio muestral correspondiente:

X = el numero de puntos que aparece en el dado 1Y = el numero de puntos que aparece en le dado 2.

Variables Aleatorias bidimensionales Discretas

Definicion

Sean X e Y dos variables aleatorias discretas. La distribucion deprobabilidad conjunta ( o bivariada) para X e Y esta dada por:

p(x, y) = P (X = x, Y = y)

definida para todos los numeros reales x, y. La funcion p(x, y) sedenomina funcion de probabilidad conjunta (f.p.c).

Definicion

La funcion de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas Xe Y denotada por p(x, y), satisface las condiciones siguientes:

1 p(x, y) ≥ 02∑

p(x, y) = 1La funcion de probabilidad conjunta de X e Y es cero para todos losvalores en los que no se especifica probabilidad alguna.

Definicion

La funcion de distribucion acumulada conjunta F (a, b), para cualquier parde variables aleatorias X e Y , esta dada por

F (a, b) = P (X ≤ a, Y ≤ b)

es decir,

F (a, b) =∑xi≤a

∑yj≤b

p(xi, yj) =∑xi≤a

∑yj≤b

P (X = xi, Y = yj)

Definicion

Si X e Y son variables aleatorias discretas con una funcion de probabilidadconjunta p(x, y), entonces las funcione de probabilidad marginal de X y Yson:

p(xi) = P (X = xi) =∑RY

p(xi, yj) =∞∑

p(xi, yj)

p(yj) = P (Y = yj) =∑RX

p(xi, yj) =∞∑i=1

p(xi, yj)

Ejemplo

La funcion de probabilidad conjunta de la variable aleatoria (X,Y ) estadefinida por,

p(x, y) =xy

30x = 1, 2; y = 1, 2, 3, 4

a) Hallar la distribucion de probabilidades marginales de X y de Y ;

b) Hallar la media y la desviacion estandar de Y .

Distribuciones condicionales

Definicion

Dadas las variables aleatorias discretas X e Y con funcion de probabilidadconjunta p(x, y), la funcion de probabilidad de Y dado X = x es:

pY |X=x(y) =p(x, y)p(x)

para p(x) > 0.

Ejemplo

Dos lıneas de produccion fabrican cierto tipo de artıculo. Suponga que lacapacidad (en cualquier dıa dado) es de 5 artıculos para la lınea I de 3artıculos para la lınea II, y que el numero verdadero de artıculos producidospor cada una de las lıneas es una variable aleatoria. Sea (X,Y ) larepresentacion de la variable bidimensional que da el numero de artıculosproducidos por la linea I y por la lınea II, respectivamente.

Y \X 0 1 2 3 4 5 Suma

0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.251 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.262 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.253 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 0.24

Suma 0.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.28 1

¿Cual es la probabilidad de que la lınea I produzca 2 artıculos dado que lalınea II produjo 2 artıculos?

Definicion

La media o esperanza condicional de Y dado X = x, denotada comoE(Y |x) = E(Y |X = x) o µY |X=x = µY |x, es:

E(Y |X = x) =∞∑

yjpY |X=x(yj)

y la varianza condicional de Y dado X = x, denotada porV (Y |x) = V (Y |X = x) o σ2

Y |x = σ2Y |X=x es

V (Y |X = x) =∞∑

(yj − µY |x)2pY |X=x(yj)

Ejemplo

Para el ejemplo anterior tenıamos la siguiente distribucion deprobabilidades.

Y \X 0 1 2 3 4 5 Suma

0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.251 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.262 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.253 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 0.24

Suma 0.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.28 1

¿Cual es el numero esperado de artıculos producidos por la lınea II dadoque la lınea I no produjo artıculos? Calcule tambien σY |X=2.

Definicion

Sea (X,Y ) una variable aleatoria bidimensional discreta con funcion deprobabilidad marginal pX(x) y pY (y). Se dice que X e Y sonindependientes si se cumple cualquiera de las siguientes propiedades:

pX,Y (x, y) = pX(x)pY (y) para todo x, y;pY |x(y) = pY (y) para todo x, y con pX(x) > 0;pX|y(x) = pX(x) para todo x, y con pY (y) > 0;

P (X = x, Y = y) = pX(x)pY (y) para todo x, y.

V. a. multidimensional discreta

V. A. multidimensional discreta

Definicion

La funcion de probabilidad conjunta de X1, X2, . . . , Xn es:

pX1,...,Xn(x1, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn)

Para todos los puntos (x1, . . . , xn) en el recorrido de X1, . . . , Xn.

V. a. multidimensional discreta

Definicion

Si son variables aleatorias discretas con funcion de probabilidad conjuntapX1,...,Xn(x1, . . . , xn) , entonces la funcion de probabilidad marginal decualquier Xi es:

pXi(xi) = P (Xi = xi) =∑RX1

· · ·∑

RXi−1

∑RXi+1

· · ·∑RXn

pX1,...,Xn(x1, . . . , xn),

donde RXj denota el recorrido de la variable Xj .

Distribucion multinomial

Suponga que:

Un experimento aleatorio consiste en una serie de n ensayos.

El resultado de cada ensayo se clasifica en una de las k clases;

La probabilidad de que un ensayo genere un resultado en la clase 1, laclase 2 ,. . . , la clase k, es constante en todos los ensayos e igual ap1, p2, . . . , pk, respectivamente;

Los ensayos son independientes;

Las variables aleatorias X1, X2, . . . , Xk que denotan el numero de ensayosque caen en la clase 1, en la clase 2,. . . ,en la clase k, respectivamentetiene distribucion multinomial con una funcion de probabilidad conjunta

P (X1 = x1, . . . , Xk = xk) =n!

x1!x2! . . . xk!px11 p

x22 . . . pxk

para x1 + x2 + · · ·+ xk = n y p1 + p2 + · · ·+ pk = 1.La distribucion multinomial se considera como una extension multivariadade la distribucion binomial.

Ejemplo

Se fabrica una barra de un largo especıfico. Suponga que el largoverdadero X (en centımetros) es una variable aleatoria distribuidauniformemente en el intervalo [10,12]. Suponga que solo nos interesasaber si ha ocurrido alguno de los tres eventos siguientes:

A1 = {X < 10.5}, A2 = {10.5 ≤ X ≤ 11.8} A3 = {X > 11.8}

Si se fabrican 10 de tales barras, calcule la probabilidad de obtenerexactamente 5 barras de longitud menor que 10.5 cm y exactamente 2 delongitud mayor que 11.8 cm.

Variables Aleatorias bidimensionales continuas

Definicion

Diremos que (X,Y ) es una variable aleatoria bidimensional continua siambas variables son continuas. En tal caso la funcion de densidadconjunta denotada por f(x,y), satisface las siguientes propiedades.

1 f(x, y) ≥ 0;

2∫RX

f(x, y)dxdy =∫∞−∞

∫∞−∞ fX,Y (x, y)dxdy = 1;

3 Si E es un subconjunto del recorrido de (X,Y ), entonces

P (E) =∫ ∫

Ef(x, y)dxdy.

Obs: en particular si E = (a, b)× (c, d), entonces:

P (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =∫ b

cf(x, y)dxdy.

Ejemplo

Supongase que una partıcula radiactiva se localiza aleatoriamente en uncuadrado con los lados de longitud unitaria. Es decir, si consideran dosregiones de la misma area, la partıcula tendra igual probabilidad de entraren cualquiera de ellas. Sean X y Y las coordenadas que localizan lapartıcula. Un modelo adecuado serıa el analogo bivariado de ladistribucion uniforme univariada.

Encuentre la fdp conjunta de X e Y ;

Encuentre P (X ≤ 0.2, Y ≤ 0.4);

Encuentre P (0.1 ≤ X ≤ 0.3, 0 ≤ Y ≤ 0.5).

Definicion

Si la funcion de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuasX e Y es f(x, y), entonces las funciones de densidad de probabilidadmarginales de X e Y son

fX(x) =∫ ∞−∞

f(x, y)dy

fY (x) =∫ ∞−∞

f(x, y)dx,

respectivamente.

Ejemplo

a) Determine las funciones marginales del ejemplo anterior

b) Determine el promedio o esperanza de X.

Definicion

Dadas las variables aleatorias continuas X e Y con funcion de densidad deprobabilidad conjunta f(x, y), la funcion de densidad de probabilidadcondicional de Y dado X = x es:

fY |x(y) = fY |X=x(y) =f(x, y)fX(x)

para fX(x) > 0.

Definicion

La media condicional de Y dado X = x, denotada por E(Y |x) o µY |xes

E(Y |x) =∫

yfY |xdy.

y la varianza de Y dado X = x denotada por V (Y |x) o σ2Y |x es:

V (Y |x) =∫

(y − µY |x)2fY |xdy.

Ejemplo

f(x, y) ={

3x, si 0 < y < x < 10, E.O.C.

Determine P (0 ≤ X ≤ 0.5, Y > 0.2);

Calcule P (0.1 < Y < 0.7/X = 0.2).

Variables aleatorias independientes

Definicion

Sean X e Y variables aleatorias continuas con fdp conjunta f(x, y). Sedice X es independiente de Y si:

fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y), para todo (x, y)

Variables aleatorias independientes

Definicion

Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias. Se dice que las n variablesaleatorias son mutuamente independientes (o solo independientes ) si:

P (X=x1, . . . , Xn = xn) =

∏ni=1 P (Xi = xi), para todo (x1, . . . , xn)(caso discreto)

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn) =∏n

i=1 fXi(xi), para todo (x1, . . . , xn)(caso continuo)

Covarianza y coeficiente de correlacion lineal

La covarianza entre las variables X e Y se define por:

Cov(X,Y ) = E ([X − E(X)][Y − E(Y )]) = E(XY )− E(X)E(Y ).

El coeficiente de correlacion lineal entre X e Y se define por:

ρX,Y =Cov(X,Y )σXσY

Covarianza y coeficiente de correlacion lineal

Propiedades del coeficiente de correlacion:

1 −1 ≤ ρX,Y ≤ 1 o ρ2X,Y ≤ 1;

2 ρX,Y = 1 si Y = aX + b con a y b constantes y a > 0;

3 ρX,Y = −1 si Y = aX + b con a y b constantes y a < 0;

4 Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces:

Cov(X,Y ) = 0,

y en consecuencia:ρX,Y = 0.

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