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Álgebra Ciclo Escolar
CICLO ESCOLARCESAR VALLEJO
2009
Colegio
Bertolt BrechtX56
Álgebra Ciclo Escolar
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES
Curso: : Álgebra
Grado / Nivel : Tercero de secundaria
Tema : Polinomios I (1ra semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas
II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN
DESARROLLO T
INIC
IAL
De manera calurosa se da la bienvenida a los estudiantes por su participación en elciclo escolar. Se expone el objetivo del ciclo.
A continuación se realiza una dinámica de integración: Dinámica del Bum; losestudiantes se presentan indicando su nombre, colegio de procedencia y la expectativaque tiene por el ciclo.
Seguidamente se narra brevemente el proceso de desarrollo del Álgebra, resaltando suimportancia en el avance científico y tecnológico con ejemplos concretos. Así mismose le indicará los temas a realizar en este ciclo.
Luego se procede a realizar la lluvia de ideas con respecto a las preguntas ¿Quéentiendes por polinomios? ¿Dónde se aplican? ¿Será de mucha utilidad conocer a lospolinomios?
40’
INT
ER
ME
DIA
Se propone un ejemplo ilustrativo y con la participación de los estudiantes se dan lasnociones de variable y constante; las conclusiones generadas en esta parte propiciara laidea de notación matemática, seguidamente se formula el concepto de polinomio dandoalgunos ejemplos. Lo que sigue son definiciones: monomio, binomio,.. la clasificaciónde acuerdo al grado: lineal, cuadrático,..y se continúa con los polinomios constantes ymónicos. Luego se resolverán lo primeros ejercicios planteados en el materialdidáctico.
Finalmente se dará el concepto de cambio de variable en un polinomio seguido deejemplos y luego se completará la resolución de los ejercicios del material didáctico.
130’
FIN
AL
A manera de resumen se realizara un mapa conceptual de polinomios.
Para terminar se indica de la metodología de evaluación y control de tareasdomiciliarias. Para tal efecto los estudiantes que deberán de presentar los ejerciciosresueltos de la domiciliaria para la siguiente clase. Se dan algunas sugerencias para laresolución de problemas.
10’
Álgebra Ciclo Escolar
POLINOMIOS I
Ejemplo Ilustrativo
Tomemos como ejemplo un triángulo:
Se sabe que el área del triángulo viene dado por lafórmula:
hbA ..2
1
b: baseh: altura
hb..2
1: expresión algebraica (que representa el
área de la región triangular)
El área del triángulo dependerá básicamente de by h; es decir, el área cambia de acuerdo al valorque tome b y h (b y h: variables). En cambio, ½toma un valor fijo (1/2: constante).
Notación matemática
Es la representación matematica que permitediferenciar las variables de las constantes. Asípara el ejemplo anterior:
hbhbA ..2
1),(
Variables
Más ejemplos
123)( 4 aaaM
Variable: a
1
3),(
y
nynE
Variables: n; y
24)( xxN
Variable: x
Polinomio
3 Expresión algebraica.3 No admite radicación ni división (entre
variables).3 Los exponentes (de la variable(s)) son enteros
positivos.
Ejemplos
22 2),( yxyxyxP Es un polinomio de variables x e y
142)( 23 xxxxQ
22),( yxyxH
3223)( 234 xxxxxE ¡No
es polinomio!
Definiciones
o De acuerdo a la cantidad de términos lospolinomios pueden ser:
Monomios: Polinomio de un solo término.
Ejemplos
3)( xxP
yxyxQ 52),(
Binomios: Polinomio de solo dos términos.
Ejemplos
1)( 2 xxP
423),( yxyxQ
Trinomios: Polinomio de solo tres términos.
Ejemplos
25)( 3 xxxP
22),( yxyxyxQ
Álgebra Ciclo Escolar
VariableDato
VariableNueva
Polinomios de una variable
Son aquellos que solo tienen una variable y almayor el exponente de la variable se le llamagrado del polinomio.
Ejemplos
52)( 3 xxxPEl grado de P es 3
Importante.- oxP )( significa el grado del
polinomio P. Ósea 3)( oxP .
1)( 2 xxQ
2)( oxQ
4523)( 534 xxxxxH
5)( oxH
o Los polinomios en una variable pueden ser:
Polinomio lineal: Si el grado es uno.
23)( xxP
xxQ )(
Forma general.-
baxxP )( 0a
a, b: coeficientesa: coeficiente principalb: termino independiente
Polinomio cuadrático: Si el grado es dos.
253)( 2 xxxP
1)( 2 xxQ
24)( xxH
Forma general.-
cbxaxxP 2)( 0a
a, b, c: coeficientesa: coeficiente principalc: termino independiente
Forma general de un polinomio de grado n:
nnnn axaxaxaxP
11
10 ...)(
Donde 00 a
nn aaxaa ,....,,, 110 : coeficientes
0a : coeficiente principal
Polinomio constante
Es aquel polinomio que no depende de lavariable(s).
Ejemplos
2)( xP
3
1),( yxQ
Estos polinomios tienen grado cero.
Polinomio mónico
Es aquel polinomio no constante y de una variablecuyo coeficiente principal es uno.
Ejemplos
23)( 2 xxxP
124)( 32 xxxxQ
3)( 53 xxxH ¡No es polinomio
mónico!
Cambio de variable
Consiste en reemplazar la variable por una nuevavariable.
)()( yPxPcambio
yporx
Álgebra Ciclo Escolar
Ejemplos
Sea 32)( xxP
Halle )( yP
Al cambiar x por y:yx resulta
32)( yyP
Halle )13( xP
Al cambiar x por (3x -1):)13( xx resulta
3)13(2)13( xxP
Halle ))(( xPP
Al cambiar x por )(xP :
)(xPx se tiene
943)32(2
3)(2))((
xx
xPxPP
Sea 83)23( xxP
Halle )(xP
Se cambiara (3x – 2) por x:xx )23( . Pero en este caso se
forma la variable (3x – 2) en elsegundo miembro del polinomiomediante el siguiente arreglo:
6)23()23( xxP
Ahora realizamos el cambio de(3x – 2) por x y resulta
6)( xxP
Sea 52)3( xxP
Halle )1( xP
Formaremos la variable (x - 3) en elsegundo miembro del polinomio,mediante el siguiente arreglo:
11)3(2)3( xxP
Ahora realizamos el cambio (x - 3)por (1 - x) y tendremos:
13211)1(2)1( xxxP
132)1( xxP
Álgebra Ciclo Escolar
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES
Curso: : Álgebra
Grado / Nivel : Tercero de secundaria
Tema : Polinomios II - Productos notables I (2da semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas
II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN
DESARROLLO T
INIC
IAL
Se saluda cordialmente a los estudiantes y seguidamente se hacen preguntas acerca deltema anterior.
Mediante lluvia de ideas se analizan las preguntas ¿Qué es el valor numérico? ¿El valornumérico se aplicara en la vida Cotidiana? Se hace mención que los nutricionistashacen uso del valor numérico para calcular el índice de la masa corporal.
20’
INT
ER
ME
DIA
Se explica el contenido partiendo del concepto de valor numérico, luego se continúacon algunos ejemplos y se prosigue resolviendo los ejercicios del material didácticoincentivando siempre la participación del estudiante en el proceso del desarrollo.
A continuación se plantea a los estudiantes ¿Qué entienden por productos notables?. Enesta parte se le indica la propiedad distributiva y su uso para encontrar los productos.Luego se pasa a definir los productos notables seguido de los principales productosnotables a estudiar: trinomio cuadrado perfecto, identidades de Legendre y diferenciade cuadrados. Aquí se dan ejemplos donde los estudiantes participan saliendo a lapizarra, en seguida se plantean ejercicios diversos y se continúa resolviendo losejercicios restantes del material didáctico.
140’
FIN
AL
Se da apoyo personalizado a estudiantes que presentan dificultades.
Se recoge la tarea domiciliaria dejada la anterior clase y se saluda la responsabilidadde los estudiantes que cumplieron con la actividad.
Finalmente se dan algunas sugerencias para la resolución de los ejercicios de ladomiciliaria.
20’
Álgebra Ciclo Escolar
VALOR NUMERICO
Es el valor obtenido cuando la(s) variable(s) delpolinomio es reemplazada por una constante.
Ejemplos
Sea 110)( 4 xxxP
Calcule )2(P
Nos piden el V.N. cuando x asume el valor de 2,
solo reemplazamos x por 2: 2x
16112)2(10)2( 4 P
Sea21212121 )8()6()4()2()( xxxxxP
Calcule )5(P
Sea
14)()();( 22 xyyxyxyxP
Calcule )50;50(P
Propiedad
Dado el polinomio
0;)( 23 ADCxBxAxxP
Se cumple:
1.- Suma de Coeficientes
)1(PDCBA
2.- Término Independiente
)0(PD
Ejemplos:
Halle la suma de coeficientes y el términoindependiente en los siguientes polinomios:
o 427)( 2 xxxP
o 13)1(3)( 99 xxxP
o 2)1(3)1()( 99 xxxxxP
o 32)2( 3 xxxP
PRODUCTOS NOTABLES I
Propiedad distributiva
Cualquiera que sea la expresión se cumple lapropiedad:
Ejemplos
Multiplique
)2( 32 xxx
)2)(7( xx
)1)(1( 2 xxx
Concepto
Son los resultados de efectuar ciertasmultiplicaciones en forma directa, es decir, sinaplicar la propiedad distributiva.
Principales productos notables
1.- Trinomio cuadrado perfecto
Ejemplos
Desarrolle
2
23
2
2
)352()
)47()
)53()
)3()
d
yxc
xb
xa
acabcba )(
bybxayaxyxba ))((
abbaba 2)( 222
abbaba 2)( 222
Álgebra Ciclo Escolar
84
4
2
2 1)
1)(
1)(
1(
xxx
xx
xx
Desarrolle
Aplicación
Si : 2( ) 4x y xy
Halle100 100
401
x y
Si 31
xx
Indique el valor de2
2 1
xx
Si 2a
b
b
a
Calcule)1(2
23
33
b
ba
Consecuencia: Identidades de Legendre
abbaba
bababa
4)()(
)(2)()(22
2222
Ejemplos
Reduzca
22
22
22
22
)312()312()
)32()32()
)32()32()
)2()2()
d
c
xxb
xxa
Aplicación
Si : 2 2 2 22 ( 2 ) ( 2 )x y x y x y
Calcular5 4
2
( ) ( )
( )
xy xy
xy
Si 2,3 xyyx
Halle 2)( yx
Si 4)()( 22 baba
Indique el valor que toma la expresion
37
abab
Simplificar25
25
25
25
2.- Diferencia de cuadrados
Ejemplos
Efectué
Aplicación
Simplifique
2
2
348349.347
598599.597
Si 1 ba , entonces halle el valor de
b
ba 122
Sea x el número que cumple
;012 xx
Simplifique
22))(( bababa
d)
yxyxc)
yx -yxb)
x -xa)
)3-5)(35(
)2-)(2(
)34)(34(
)2)(2(
33
2
2
)32()
)4()
xb
xa
Álgebra Ciclo Escolar
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES
Curso: : Álgebra
Grado / Nivel : Tercero de secundaria
Tema : Productos notables II (3ra semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas
II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN
DESARROLLO T
INIC
IAL
Se saluda a los estudiantes y se hace un repaso de la parte teórica del tema anterior,siempre con la participación de los estudiantes, luego se resuelven algunos ejerciciosde la tarea domiciliaria.
Seguidamente se comenta una historia: Cierto día Juan caminaba por las calles muypreocupado y decepcionado de la vida porque lo habían despedido de su trabajo, teníamuchas deudas de tanto caminar buscando trabajo sus zapatos estaban muydeteriorados; cuando de pronto alguien le dijo: “Buenos días señor, ¡qué hermosodía!”; entonces Juan muy sorprendido miro al hombre sin piernas que con alegría loestaba saludando. Es aquí cuando comprendió lo dichoso y afortunado que era al tenersus dos piernas, de ahí en adelante Juan día a día persevera para salir adelante ante lasadversidades. Los estudiantes reflexionan sobre el mensaje de la historia.
30’
INT
ER
ME
DIA
A continuación se estudiar los siguientes productos notables: trinomio al cuadrado,binomio al cubo, suma y diferencia de cubos, multiplicación de binomios con untérmino en común y la igualdad condicional.
En esta parte se dan ejemplos para que los estudiantes participen saliendo a la pizarra,en seguida se plantean ejercicios diversos y se continúa resolviendo los ejerciciospropuestos en el material didáctico.
130’
FIN
AL
Se da apoyo personalizado a estudiantes que presentan dificultades.
Se recoge la tarea domiciliaria dejada la anterior clase y se saluda la responsabilidadde los estudiantes que cumplieron con la actividad.
Finalmente se dan algunas sugerencias para la resolución de los ejercicios de ladomiciliaria.
20’
Álgebra Ciclo Escolar
PRODUCTOS NOTABLES II
3.-Trinomio al cuadrado
)(2)( 2222 cabcabcbacba
OBSERVACION.- A la expresión cabcab ,se le llama: Suma de Productos Binarios
Ejemplos
Desarrolle
2
2
2
2
)132()
)23()
)2()
)()
d
pnmc
zyxb
cbaa
Aplicación
Si 0222 cba
Simplifiquecabcab
cba
2)(
Si
6
8
a b c
ab ac bc
Calcular 2 2 2( ) ( ) ( )a b a c b c
Si
21
10
12
6
222
pnm
mnmp
mpnp
npmn
Calcule))()((
)7)(7)(7(
nmpmpn
pnm
4.- Desarrollo del binomio al cubo
)(3)( 333 baabbaba
Ejemplos
Desarrolle
3
32
3
3
)31()
)3()
)23()
)1()
d
xc
xb
xa
)(3)( 333 baabbaba
Desarrolle
3
3
)32()
)2()
xb
xa
Aplicación
Si 3 34 2x
Calcular3
1
x
x
Si 31
xx
Calcule3
3 1
xx
Calculeabcb
abcca
3
33 2
Si 0 cba
5.- Suma y diferencia de cubos
3322 ))(( babababa
Álgebra Ciclo Escolar
3322 ))(( babababa
Ejemplos
Efectué
))(()
))(()
)42)(2()
)1)(1()
633
2242
2
2
yxyxyxd
yyxxyxc
xxxb
xxxa
Aplicación
Si 12 xx
Calcule el valor de 33 x
Sabiendo que baba ,33
Halle el valor de2)( ba
ab
Si 5 yx , xy = 3
Hallar 66 yx
6.- Multiplicación de binomios con un término encomún
OBSERVACION.- A esta identidad se le conocecon el nombre de: Identidad de Stevin
Ejemplos
Efectué
)32)(2()
)4)(1()
)7)(5()
)3)(2()
xxd
xxc
xxb
xxa
Aplicación
Si 6)2)(( 2 bxxxax
Halle 3 3 12 abba
Si 2 5 4 0x x Halle )9)(3)(2)(4( xxxx
Si xx 1
Reduzca
x
xxxx 3)2)(1()14( 2
7.- Igualdad condicional
Si abccbacba 30 333
Aplicación
Si 0 cba
Hallar el valor de
abc
baccabcba 222 )()()(
Si 0 cba
Hallar el valor de
))()((
)()()( 333
cacbba
cacbba
Sixyz
zyxzyxf
333
);;(
Halle )4;2;6( f
abxbaxbxax )())(( 2
Álgebra Ciclo Escolar
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES
Curso: : Álgebra
Grado / Nivel : Tercero de secundaria
Tema : División algebraica (4ta semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas
II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN
DESARROLLO T
INIC
IAL
Con entusiasmo se saluda a todos los estudiantes y mediante una historia se motivadoraa los estudiantes que reflexionan sobre la importancia de los números.
EL PUEBLO SIN NÚMEROS.- En un pueblo había un alcalde que estaba contando lasmonedas que tenía…..254; 255; 256; 257;……, en eso dijo ¡Noooooooo! ¡No puedeser! Y empezó de nuevo a contar pero siempre se equivocaba, se enfureció tanto quedio una ley ¡Los números desaparecen de mi pueblo!. Al día siguiente se despertó muytemprano y recordó que era el día de su cumpleaños, pero ninguno de sus familiaresllegaba para saludarlo. Se preguntó ¿es mi cumpleaños? ¡no puedo habermeequivocado!, fue entonces que buscó un calendario para ver la fecha, un reloj para verla hora, pero no encontró ninguno puesto que tenían números. Mas tarde, el alcaldesintió hambre, quiso comprar panes y leche pero era imposible, las monedas no tienennúmeros; la gente del pueblo no sabe que es tres ni que es cinco porque los númerosestaban prohibidos.
20’
INT
ER
ME
DIA Se indicará al estudiante que el tema a desarrollar es División algebraica. Se realiza la
parte teórica, y se presenta el método de Horner y la regla de Ruffini. En ambos casosse dan ejemplos y se indica al estudiante a que efectué las divisiones propuestas enpizarra. Se evalúa la participación y la disciplina de los estudiantes. Se da apoyopersonalizado a estudiantes que presentan dificultades.
110’
FIN
AL
Finalmente se resuelven los ejercicios propuestos que se presentan en el materialdidáctico
Se recoge la tarea domiciliaria dejada la anterior clase.
Se indica que se presentará para la siguiente clase los ejercicios de la domiciliaria.
50’
Álgebra Ciclo Escolar
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Definición
Sean )(,)( xdxD dos polinomios no constantes.
La división
)(
)(
xd
xD
divisor
dividendo
es una operación que consiste en hallar otros dospolinomios
y)(
)(
xR
xq
residuo
cociente
tal que se cumpla:
)()().()( xRxqxdxD
”Identidad fundamental de la división”
Condición:
Será posible efectuar la división si:
)()()( xRxdxD
Clases de División
Respecto al residuo )(xR , se tiene:
División Exacta. Si 0)( xR
Ejemplo:
Al dividir2
83
x
x, se tiene
42)( 2 xxxq
0)( xR
División Inexacta. Si 0)( xR
Ejemplo:
Al dividir2
93
x
x, se tiene
42)( 2 xxxq
1)( xR
Propiedades
1). ° )()()( xdxDxq
2). 1)()( xdxRmáx
Ejemplo:
En la divisióncbxax
xxx
2
25 157
Se tiene: 2)(
5)(
xq
xD
Luego:
112)(
325)(
xRmáx
xq
(Es decir, puede ser lineal)
Criterio general para dividir polinomios
Los polinomios dividendo y divisor deben estarcompletos y ordenados en forma decreciente.Caso contrario se debe ordenar y por cada términoque falte, en su lugar se colocara el término concoeficiente cero.
Ejemplos:
* Complete y ordene en forma decreciente lossiguientes polinomios:
432)( 32 xxxxPEscribimos
423)( 23 xxxxP
154)( 53 xxxxPEscribimos
10405)( 2345 xxxxxxP
Métodos para dividir
MÉTODO DE HORNER
Es un método general que permite dividirpolinomios de cualquier grado.
Álgebra Ciclo Escolar
ESQUEMA:
Co Coeficientes del Dividendoef.
con Dsigno i
cambiado visor
Líneadivisoria
Coeficientes delCociente
Coef. delResiduo
NOTA.- La línea divisoria se traza contando en el
esquema, de derecha a izquierda tantas columnas como
el grado del divisor.
Veamos el procedimiento con algunos ejemplos.
Ejemplos:
Divide:23
42692
24
xx
xxx
Preparando los polinomios:
23
462092
234
xx
xxxx
En el esquema:
+ + + +
3 9 0 2 6 4
-1 -3 6
2 1 -2
-3 6 3 -1 3 1 10
x2 x T.I. x T.I.
Como )()( xdyxD están completos y ordenados
en forma decreciente, entonces )()( xRyxq
también deben estar completos y ordenados.
Entonces:
10)(
33)( 2
xxR
xxxq
Divide:123
531223
45
xx
xxx
Aplicando el criterio:
1023
53001223
2345
xxx
xxxxx
En el esquema:
+ + + + +
3 12 -1 0 0 3 5
-2 -8 0 4
0 6 0 -3
1 -4 0 2 4 -3 2 0 0 7
x2 x T.I. x2 x T.I.
Entonces:
7)(
234)( 2
xR
xxxq
¡AHORA INTENTALO TÚ!
Divide:
1
1542
432
xx
xxxx
232
732183623
23456
xxx
xxxxxx
2
232 5
x
xx
REGLA DE RUFFINI
Es un caso particular del método deHorner. Se utiliza cuando el divisor es lineal; esdecir, se aplica para dividir:
0;)(
abax
xD
Álgebra Ciclo Escolar
ESQUEMA:
Coeficientes del Dividendo
Divisorigualado
a cero
a
bx
+
Coeficientes (a)Coeficientes del Cociente
Resto
Veamos el procedimiento con algunos ejemplos.
Ejemplos:
Divide:13
1273 324
x
xxxx
Ordenando y llevándolo al esquema tenemos:
+ + + +3 -2 -7 1 1
013 x1x -1 1 2 -1
3 3 -3 -6 3 0
3 3 3 31 -1 -2 1 Resto
x3 x2 x T.I.
Entonces:
0)(
12)( 23
xR
xxxxq
NOTA.- En el esquema de Ruffini el resto obtenido
siempre es un polinomio constante.
Divide:2
232 5
x
xx
Ordenando, completando y llevándolo alesquema tenemos:
+ + + + +2 0 0 0 -3 2
02 x2x 4 8 16 32 58
2 4 8 16 29 60
x4 x3 x2 x T.I. Resto
Entonces:
60)(
2916842)( 234
xR
xxxxxq
NOTA.- Cuando el divisor es mónico a = 1, los
coeficientes del cociente se obtienen en forma directa.
¡AHORA INTENTALO TÚ!
Divide:
2
323
x
xx
13
686 23
x
xxx
Álgebra Ciclo Escolar
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES
Curso: : Álgebra
Grado / Nivel : Tercero de secundaria
Tema : Ecuación lineal (5ta semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas
II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN
DESARROLLO T
INIC
IAL
Se da el saludo respectivo y se toma unos minutos para conversar sobre la importanciade que tiene el valorar el esfuerzo y sacrificio que tienen que hacer los padres para daruna educación a sus hijos y que algunos no responden a las expectativas, se reflexionasobre ello.
Luego se inicia el tema planteando algunas interrogantes ¿A que denominamosigualdad? ¿A que denominamos ecuación? ¿Para que nos sirve las ecuaciones? ¿Lasecuaciones lineales serán utilizadas en nuestro entorno? ¿Donde?
30’
INT
ER
ME
DIA
Luego de las ideas de los estudiantes acerca de las preguntas se procede a desarrollarel tema. La secuencia del contenido es: igualdad, ecuación, solución de una ecuación,conjunto solución, ecuación lineal.
La metodología en esta fase es partir de ejemplos sencillos hasta llegar a ejercicios mascomplicados, en todo momento el maestro guía e intercambia ideas con el estudiante.Se realiza un trabajo personalizado con aquellos estudiantes que su aprendizaje es máslento.
100’
FIN
AL
En esta fase se resuelven los ejercicios propuestos en el material didáctico.
Luego mediante intervenciones recordamos lo aprendido en ecuaciones (Retroalimentación).
Finalmente se indica la tarea para la próxima semana y se recoge la tarea que se dejola semana pasada.
50’
Álgebra Ciclo Escolar
ECUACION LINEAL
Nociones preliminares.-
Igualdad:
Es aquella representación simbólica que vinculados expresiones algebraicas mediante el símbolode igualdad “ = ” que indica que las expresionesrepresentan la misma cantidad.
Ejemplo:
15654321
Ecuación:
Es una “igualdad condicional” entre dosexpresiones algebraicas en la que participa almenos una variable (incógnita).
Ejemplos:
125 x
miembrosegundo
miembroprimer
xx 43 2
En toda ecuación podemos distinguir 2miembros: el 1er miembro, que esta a laizquierda del símbolo =; y el 2do miembro,que esta a la derecha.
Solución de una ecuación:
Es aquel valor de la incógnita que verifica laecuación.
Ejemplos:
En la ecuación 1325 x
o Si reemplazo 2x tenemos
138
132)2(5
(F)
NO se verifica la ecuación.
o Si reemplazo 3x tenemos
1313
132)3(5
(V)
SI se verifica la ecuación; entonces 3x
es solución.
1012 x
o Si :3x
101)3( 2 (V)
SI se verifica la ecuación;
Luego 3x es solución.
¿Si 3x verificará la ecuación?
SI, por lo tanto 3x es solución.
Importante: Cuando se trate de resolver unaecuación, tenemos que hallar el conjunto queagrupa a todas las soluciones, este conjunto esllamado Conjunto Solución (C.S.).
Ejemplos:
La ecuación 0164 xse verifica solo si 4xLuego 4CS
La ecuación 092 xsolo se verifica si 33 xyx
Luego 3;3CS
Toma nota:
Para resolver ecuaciones usaremos lasoperaciones básicas de polinomios y sobretodo la regla de las operaciones inversas,así: Lo que esta sumando en un miembro,pasa al otro miembro restando yviceversa. Lo que esta multiplicando en unmiembro, pasa al otro miembrodividiendo y viceversa.
Ejemplos:
Resolvamos las siguientes ecuaciones :
Álgebra Ciclo Escolar
412 x
Transponiendo el número 1, para separarlos números y los términos con la incógnita
142 x
Operando32 x
Transponiendo el número 2
2
3x
Luego 2
3CS
4553 xx
111 xxxx
ECUACIÓN LINEAL
Es aquella que se reduce a la siguiente forma:
0;0 abax
Donde a, b son coeficientes reales
Ejemplos:
Resolvamos las siguientes ecuaciones lineales:
543 x
4)2(3)5(10 xx
15432 22 xx
32
1
16842
xxxx
943
5
2
xx
5
4
3
12
xx
aax
12
Rbaa
bx
b
ax
,;2
Si la ecuación lineal
42 2 abxxa
tiene como solución a 2x .Calcule el valor de ba .
En una prueba de 30 preguntas por cadapregunta correcta obtiene 4 puntos, por cadaincorrecta se le quita 1 punto y por cadapregunta no contestada 0 puntos. Si unestudiante obtuvo 82 puntos ¿Cuantaspreguntas incorrectas contesto, si por cadapregunta no contestada tenia 3 preguntascorrectas?
Resolución.-
Por el enunciado:Si x: preguntas no contestadas
3x: preguntas correctasLuego:
30-4x: preguntas incorrectasEntonces:
0x + 4(3x) - (30-4x) = 82Resolviendo se obtiene:
x = 7RPTA.- Contesto 2 preguntas incorrectas.
Álgebra Ciclo Escolar
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES
Curso: : Álgebra
Grado / Nivel : Tercero de secundaria
Tema : Ecuación cuadrática (6ta semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas
II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN
DESARROLLO T
INIC
IAL
Se da el saludo respectivo y conversamos sobre algún hecho relevante del contextonacional buscando en todo momento las opiniones y la crítica de los estudiantes.
Se inicia la sesión generando un debate para ello se plantea algunas interrogantes ¿Porqué se estudian las ecuaciones cuadráticas? ¿Crees que se utilizaran en añossuperiores? Según la respuesta de los estudiantes se orienta mencionando que lasecuaciones han sido tratadas por numerosos personajes a lo largo de la historia y en laactualidad es uno de los temas más importantes por sus distintas aplicaciones.
20’
INT
ER
ME
DIA
Se desarrolla el contenido a partir de ejemplos particulares llegando a lasgeneralizaciones, aquí la participación del estudiante es permanente. La secuencia delcontenido es: ecuación cuadrática y resolución (aspa simple y fórmula). y teorema deCardano - Vieta.
El maestro genera un clima de confianza para que el estudiante absuelva sus dudas. Seda apoyo personalizado a estudiantes que presentan dificultades.
110’
FIN
AL
En esta fase se resuelven los ejercicios propuestos en el material didáctico.
Luego mediante intervenciones recordamos lo aprendido en ecuaciones (Retroalimentación).
Se indica la última tarea del ciclo escolar y se saluda la responsabilidad de aquellosestudiantes que cumplieron con presentar las tareas.
Finalmente se recoge la tarea que se dejo la semana pasada.
50’
Álgebra Ciclo Escolar
0,02 acbxax
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Ejemplos:
53 2 x
142 xx
072 2 xx
Concepto:
Es aquella ecuación que se genera al compara concero un polinomio cuadrático; es decir presenta laforma:
donde a ,b , c son coeficientes reales.
Nota:
* Es llamada también ecuación de segundo grado.* Toda ecuación cuadrática tiene 2 raíces: x1 y x2.
Resolución:
Para resolverla podemos emplear:
1. FACTORIZACIÓN
Resolvamos las siguientes ecuaciones cuadráticas:
xx 73 2
Transponemos x7 al primer miembro
073 2 xx
Se observa que la variable x se repite enlos dos términos; luego lo extraemos yqueda
0)73( xx
De aquí
0x ó 073 x
Entonces
0x ó 3/7x
Luego
3/7;0CS
11)1(25 2 x
Aplicamos la propiedad distributiva en elPrimer miembro
112525 2 x
Transponemos -25 al segundo miembro yqueda
3625 2 x
Transponemos 25 al segundo miembro yqueda
25
362 x
Ahora extraemos la raíz cuadrada y tenemos
5
6x
Luego
5/6;5/6 CS
0235 2 xx
En este caso aplicamos el aspa simple, paraello se descomponen los extremos tratandoque el producto en aspa y la posterior suma delos resultados sea igual al término central;veamos
De aquí escribimos0)1)(25( xx
Entonces
025 x ó 01 x
Esto es equivalente a afirmar que
5
2x ó 1x
Luego
1;5/2 CS
0235 2 xx5x1x
-2 → -2x1 → 5x
3x
+
Álgebra Ciclo Escolar
0,02 acbxax
015268 2 xx
023 22 aaxx
2. FÓRMULA
La ecuación:
Tiene por raíces a:
Resolvamos las siguientes ecuaciones cuadráticas:
0153 2 xx
Primero identificamos los coeficientes153 cba
Reemplazamos estos coeficientes en laFórmula
)3(2
)1)(3(4)5()5( 2
1
x
Efectuamos
6
1351
x
Similarmente
6
1352
x
Luego
6
135CS
03105 2 xx
0122 xx
xxx 4)3)(3(
Propiedad (Teorema Cardano - Vieta):
En la ecuación cuadrática
02 cbxax
de raíces: , .
Se cumple:
1.- SUMA DE RAICES
a
b
2.- PRODUCTO DE RAICES
a
c
Ejemplos:
En 072 2 xx ;
de raíces: , se cumple:
2
1
2
7
En 015268 2 xx
Determine:
la suma de raíces el producto de raíces
Ejercicios de aplicación:
1. Halle un número positivo cuyo cuadrado,disminuido en 119 es igual a 10 veces elexceso del número con respecto a 8.
Resolución:
a
acbbx
2
42
Álgebra Ciclo Escolar
Sea x: el número buscado
Del enunciado
)8(101192 xx
Resolviendo se obtiene
13x
2. En una reunión las personas queasistieron se estrecharon la mano. Uno deellos menciono que los apretones de manofueron 66. ¿Cuántas personas asistieron ala reunión?
Resolución:
Sea x: cantidad de personasCuando una de las personas da la mano,esta efectúa x-1 apretones de mano.Luego el total de apretones de mano debeser x(x-1). Además hay que tener encuenta que cuando uno da la mano a otro,este estrecha la mano de uno; luego estosdos apretones de mano deben serconsiderados como uno solo. Enconsecuencia tenemos:
662
)1(
xx
Ósea 01322 xx
De donde x = -11 ó x =12; la primeracarece de sentido. Luego en la reuniónestuvieron 12 personas.
3. Sea },{ sr el conjunto solución de la
ecuación
0132 xx
Calcule22
11
srE
4. Sabemos que las raíces de la ecuación
0302 bxx
son positivas y la diferencia entreellos es 7. Indique el valor de b.
Álgebra Ciclo Escolar
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS GENERALES
Curso: : Álgebra
Grado / Nivel : Tercero de secundaria
Tema : Problemas diversos (7ma semana)
Tiempo de aplicación : 3 horas
II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN
DESARROLLO T
INIC
IAL
El ingreso del maestro al aula es alegre, se saluda cordialmente a los estudiantes y seconversa sobre el ciclo escolar y de las actividades que realizaron.
Luego mediante la lluvia de intervenciones, hacemos un repaso de todos los temasdesarrollados en el ciclo.
30’
INT
ER
ME
DIA
El maestro y los estudiantes en forma colectiva desarrollarán los problemas delmaterial didáctico. El objetivo es profundizar los temas tratados mediante el análisis,reflexión y debate de ideas con orientación del maestro. La participación de losestudiantes es constante a través de sus intervenciones.
140’
FIN
AL
Se dan las últimas palabras de despedida y se les invita a participar en el próximo año. 10’
Álgebra Ciclo Escolar