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cenidet
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Estudio Bidimensional de la Transferencia de Calor y Masa en Rebanadas de Mango
presentada por
Lázaro Villa Corrales Ing. Electromecánico por el Instituto Tecnológico de la Costa Grande
como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Director de tesis: Dr. José Jassón Flores Prieto
Co-Director de tesis:
Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor Dra. Gabriela del Socorro Álvarez García
Cuernavaca, Morelos, México. 12 de Septiembre de 2008
cenidet
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Estudio Bidimensional de la Transferencia de Calor y Masa en Rebanadas de Mango
presentada por
Lázaro Villa Corrales Ing. en Ingeniería Electromecánica por el Instituto Tecnológico de la Costa Grande
como requisito para la obtención del grado de:
Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Director de tesis: Dr. José Jassón Flores Prieto
Co-Director de tesis:
Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor Dra. Gabriela del Socorro Álvarez García
Jurado: Dr. Javier Siqueiros Alatorre – Presidente
M.C. Efraín Simá Moo – Secretario M.C. José Manuel Morales Rosas – Vocal
Dr. José Jassón Flores Prieto – Vocal Suplente
Cuernavaca, Morelos, México. 12 de septiembre de 2008
Dedicatoria
Dedico este trabajo:
A Dios nuestro Creador, por concederme la decision de elegir mi forma de vivir.
A mis padres Lazaro y Rogaciana, por el carino y amor que me obsequiaron y en
especial por ensenarme que con fuerza de voluntad se pueden lograr muchas cosas.
A mis hermanos Yimi. A. y Adaı, por la confianza que en mi han depositado y con
quienes he comprendido la importancia de tener una familia.
A mis abuelitos Maximino y Margarita, Ricardo y Atanacia, de quienes sus con-
sejos siempre llevo presente.
A Cristian mi ♥, por su amistad incondicional y amor sincero.
Para ustedes les dedico este trabajo y todos mis logros.
Lazaro
Agradecimientos
A mis directores: Dr. Jose Jasson Flores Prieto, Dr. Jesus Perfecto Xaman
Villasenor y Dra. Gabriela del Socorro Alvarez Garcıa, por su amistad, confianza,
atencion y apoyo, para que el objetivo de esta tesis se cumpliera en tiempo y forma.
Al Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologico (CENIDET) y al Consejo
Nacional de Ciencia y Tecnologıa (CONACYT), por la oportunidad y el apoyo economico
para continuar con mi formacion academica.
A mi paıs porque gracias a su sistema educativo he concluido mis estudios de Maestrıa,
con los cuales espero poder contribuir en su desarrollo, “viva la secretarıa”.
Al CONACYT y a la Universidad de Texas A&M por proporcionar los fondos del
proyecto “‘Mango slices dryer using continuously−feed air heated by solar energy”. T.A.M.U.
and CONACYT, 2006” el cual fue una base para el proyecto desarrollado en esta tesis.
Al comite revisor: Dr. Javier Siqueiros Alatorre, M.C. J. Manuel Morales Rosas
y M.C. Efraın Sima Moo por el tiempo invertido en la revision de esta tesis y por sus
valiosos y acertados comentarios.
Al Laboratorio de Energıa Solar del Cenidet por permitirme disponer del material
y equipo necesario para instrumentar los experimentos de secado y al Dr. Edgar Garcıa
Hernandez, por su apoyo incondicional para realizar los experimentos de secado en el La-
boratorio de Materiales del Instituto Tecnologico de Zacatepec.
Agradezco tambien a mis companeros estudiantes, al personal docente, administrativo
y de vigilancia del Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologico(Cenidet), por
hacer de mi estancia en este centro de ensenanza una experiencia inolvidable.
Este documento fue escrito en el procesador de textos LATEX.
Indice general
Lista de figuras V
Lista de tablas VI
Nomenclatura VII
Resumen IX
Abstract X
1. Introduccion 1
1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. El mango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. El secado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3. Oportunidades comerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Revision literaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Estudios experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Estudios teoricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Estudios teorico−experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4. Efecto de la velocidad en el proceso de secado . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.5. Normas y procedimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.6. Metodos de analisis de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.7. Conclusiones de la revision literaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
i
INDICE GENERAL ii
1.4. Alcances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5. Escritura de tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2. Modelos 31
2.1. Marco teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Modelo fısico−teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Modelo fısico−experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. Solucion de Modelos 39
3.1. Solucion del modelo fısico−teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1. Dominio de estudio de las ecuaciones gobernantes . . . . . . . . . . . 40
3.1.2. Discretizacion de las ecuaciones gobernantes . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.3. Solucion de las ecuaciones algebraicas acopladas . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Solucion del modelo fısico−experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1. Evaluacion del contenido de humedad inicial . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2. Evaluacion de las curvas de secado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3. Determinacion de los coeficientes convectivos de transferencia de calor
y masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.4. Determinacion del coeficiente de difusividad de humedad efectiva en
la rebanada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3. Validacion del modelo fısico−teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1. Independencia de malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2. Comparacion de la temperatura y contenido de humedad en el centro
de la rebanada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4. Resultados 55
4.1. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.1. Prueba del contenido de humedad inicial de la muestra . . . . . . . . 56
4.1.2. Pruebas para evaluar las curvas de secado . . . . . . . . . . . . . . . 56
INDICE GENERAL iii
4.1.3. Prueba de los coeficientes convectivos de transferencia de calor y masa 61
4.1.4. Prueba del coeficiente de difusividad efectiva . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2. Estudio parametrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5. Conclusiones generales y recomendaciones para trabajos futuros 72
5.1. Conclusiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2. Recomendaciones para trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Bibliografıa 76
Glosario de terminos 91
A. Deduccion del modelo teorico 99
B. Procedimiento experimental para evaluar el contenido de humedad inicial
de la pulpa de mango Ataulfo 107
C. Procedimiento experimental para evaluar las curvas de secado 112
D. Discretizacion de las ecuaciones 118
Lista de figuras
1.1. Mango Ataulfo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1. Modelo fısico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2. Diagrama descriptivo del experimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1. Volumen de control en una porcion de la malla bidimensional. . . . . . . . . 41
3.2. Condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3. Diagrama de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4. Estudio de independencia de malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5. Estudio de independencia del ∆t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6. Curvas simuladas de MR y T al centro de la rebanada. . . . . . . . . . . . . 53
3.7. Validacion de la solucion del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1. Efecto de la anisotropıa del mango Ataulfo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2. Curvas experimentales de secado del mango Ataulfo. . . . . . . . . . . . . . 58
4.3. Efecto del espesor de la muestra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4. Efecto del estado de madurez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5. Modelo difusivo en rebanadas de mango Ataulfo. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6. Efecto de la temperatura del secado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.7. Curvas de secado simuladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.8. Curvas de temperatura simuladas al centro de la rebanada. . . . . . . . . . . 66
4.9. Distribucion del MR en una rebanada de mango. . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.10. Distribucion de T en una rebanada de mango. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
iv
LISTA DE FIGURAS v
A.1. Volumen de control para deducir la ecuacion de difusion de calor. . . . . . . 102
A.2. Volumen de control para deducir la ecuacion de difusion de masa. . . . . . . 104
B.1. Obtencion del Mi mediante secado de una muestra de mango. . . . . . . . . 109
C.1. Secado de una rebanada de mango en el experimento propuesto. . . . . . . . 115
D.1. Condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Lista de tablas
3.1. Equivalencias de la formulacion generalizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Equivalencias de la formulacion generalizada y las ecuaciones gobernantes. . 42
3.3. Equivalencias de la formulacion generalizada para las condiciones de frontera. 43
3.4. Propiedades termofısicas del mango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5. Parametros utilizados para validar el codigo numerico. . . . . . . . . . . . . 51
4.1. Valores caracterısticos del h∞ y hm en el secado. . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2. Valores caracterısticos del D en secado de rebanadas de mango. . . . . . . . 64
4.3. Reduccion del contenido de humedad de la rebanada en un 95%. . . . . . . . 66
4.4. Tiempo en que la temperatura de la muestra alcanza el 99% de la temperatura
del aire de secado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5. Gradientes promedios de humedad y temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . 71
vi
Nomenclatura
Letras mayusculas
A Area de la cara de la rebanada sujeta a conveccion (m2)
Cp Calor especıfico de la rebanada (J/kg-K)
D Coeficiente de difusividad efectiva (m2/s)
D0 Factor exponencial del coeficiente de difusividad (m2/s)
Ea Energıa de activacion para la difusion (kJ/kmol)
H Espesor de la rebanada de mango (m)
HR Humedad relativa del aire (%)
J Tasa de transferencia de masa (kg/s)
L Longitud de la rebanada de mango (m)
M Contenido de humedad de la rebanada (kg/kg)
Me Contenido de humedad en equilibrio de la rebanada (kg/kg)
Mi Contenido de humedad inicial de la rebanada (kg/kg)
M∞ Contenido de humedad en el aire de secado (kg/kg)
MR Razon del contenido de humedad de la rebanada adimensional
P Presion (Pa=N/m2)
Q Tasa de transferencia de calor (W)
R Constante universal de los gases ideales (0.0083143 kJ/mol-K)
T Temperatura de la rebanada (K)
T∞ Temperatura del aire de secado (K)
V Volumen de la rebanada de mango (m3)
W Ancho de la rebanada de mango (m)
vii
NOMENCLATURA viii
Letras Minusculas
h∞ Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m-K)
hgl Calor latente de vaporizacion del agua (J/kg)
hm Coeficiente convectivo de transferencia de masa (m/s)
k Conductividad termica (W/m2-K)
t Tiempo de secado (s)
x, y Coordenadas cartesianas (m)
Letras Griegas
α Difusividad termica (m2/s)
∆t Paso del tiempo (s)
ρ Densidad de la rebanada (kg/m3)
φeq Humedad relativa de equilibrio de la solucion de sal saturada (%)
λ Calor latente de vaporizacion (J/kg)
Abreviaturas
AOAC Official Methods of Analysis.
CENIDET Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologico.
EDP Ecuaciones Diferenciales Parciales.
exp Experimento.
FAO Organizacion de las Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentacion.
MDF Metodo de diferencias finitas.
MEF Metodo de elentos finito.
mod Modelo.
MVF Metodo de volumen finito.
NOM Norma Oficial Mexicana.
OMS Organizacion Mundial de la Salud.
SSA Secretarıa de Salubridad y Asistencia.
SST Solidos solubles totales.
TDMA Algoritmo de Thomas para resolver matrices tridiagonales.
Resumen
En este trabajo se presenta el desarrollo de un modelo teorico−experimental para el estu-
dio de la transferencia de calor y masa en rebanadas de mango durante el proceso de secado.
El modelo teorico considera que la transferencia de calor y masa en el interior de la rebanada
es por difusion, mientras que en la interfase rebanada−aire de secado, se considera que es
por conveccion−evaporacion. El modelo experimental permite obtener mediante correlacion
de los datos experimentales los parametros D, hm y h∞ requeridos en el modelo teorico y
las curvas de secado para validarlo. Las ecuaciones en 2-D del modelo teorico se resuelven
mediante un codigo numerico desarrollado en Fortran que predice los campos de temperatura
y de humedad en una rebanada de forma rectangular de mango Ataulfo.
De acuerdo a los resultados experimentales, se encontro que la pulpa de mango Ataulfo
presenta un comportamiento isotropico con una incertidumbre experimental del 2.47%, la
reduccion del espesor de la muestra en 1mm aumenta la tasa del secado promedio en un
4.5%, y el incremento del grado de madurez disminuye la tasa del secado promedio en
8% por cada grado Brix. Los coeficientes D, hm y h∞ se obtuvieron en el intervalo de
valores reportados en la literatura para otras variedades de mango, los valores obtenidos son
[4.41−5.95]×10−10m2/s, [1.04−7.55]×10−6m/s y [2.5−5.0]W/m-K, respectivamente. En el
estudio parametrico se comparo el tiempo requerido para que la temperatura de la rebanada
alcanzara el 99% de la temperatura del aire de secado, se encontro una relacion del tipo
lineal entre ambas temperaturas. Se consideraron incrementos de 5oC en la temperatura del
aire de secado, los cuales resultaron en un incremento promedio del tiempo de secado de 33
segundos. El modelo teorico concuerda con los resultados experimentales en la prediccion
de la curva caracterıstica del secado y en la historia de la temperatura encontrando una
diferencia maxima de 7.45 y 8.07%, respectivamente.
ix
Abstract
In this work the development of a theoretical-experimental model is presented to study the
heat and mass transfer in mango slices during drying. The theoretical model considers that
the heat and mass transfer inside the slice is by diffusion, while in the interface convection-
evaporation is considered. The experimental model allows to obtain the parameters D, hm
and h∞ required by the theoretical model means correlation of the experimental data and
the drying curves to validate it. The 2-D equations of the theoretical model are solved by
means a numeric code developed in Fortran to predicts the temperature and humidity fields
in a rectangular slice of Ataulfo mango.
According to the experimental results, it was found that the Ataulfo mango pulp presents
an isotropic behavior with an experimental uncertainty of 2.47%, the 1mm reduction of
the sample thickness increases the average drying rate in 4.5%, and the maturity grade
increment decrease the average drying rate in 8% for each grade Brix. The D, hmand h∞
coefficients were obtained in the interval of reported values in the literature for other varieties
of mango, the obtained values are [4.41 − 5.95] × 10−10m2/s, [1.04 − 7.55] × 10−6m/s and
[2.5 − 5.0]W/m-K, respectively. The required time for the temperature slice will reach the
99% of the temperature air drying in the parametric study was compared, it was found a
lineal type relationship between both temperatures. Increments of 5oC in the temperature
air drying were considered, which resulted in an increment of the average drying time of 33
seconds. The theoretical model agrees with the experimental results in the prediction of the
drying characteristic curve and in the temperature history the maximum difference finding
were 7.45 and 8.07%, respectively.
x
Capıtulo 1
Introduccion
En la Seccion 1.1 de este capıtulo se presenta la motivacion para realizar el estudio
teorico−experimental de la transferencia de calor y masa bidimensional en rebanadas rectan-
gulares de mango Ataulfo. En la Seccion 1.2 se presenta una descripcion del estudio literario
realizado sobre trabajos reportados de estudios experimentales y teoricos sobre el secado de
alimentos, se describen los parametros que influyen en el proceso de secado convectivo de
objetos humedos, ası como las normas y procedimientos que se aplican, tambien se presentan
las conclusiones de la revision literaria. Posteriormente, se presenta en las secciones 1.3 y 1.4
el objetivo general y los alcances que se persiguen en este trabajo. Finalmente, en la Seccion
1.5 se describe el contenido de este trabajo.
◭
1
1.1. MOTIVACION 2
1.1. Motivacion
Los grandes avances cientıficos y tecnologicos proveen a la humanidad de una mejor cali-
dad de vida, estableciendo las condiciones para su desarrollo y crecimiento como poblacion.
Actualmente, las grandes poblaciones demandan cada vez mas alimentos para su consumo
(Gbaha et al. 2007). El cuerpo humano obtiene la energıa necesaria para desempenar sus
funciones adecuadamente de los alimentos que consume. La alimentacion de la poblacion
mexicana es diversa y depende de las costumbres de sus habitantes y de la region donde se
encuentra asentada. Dentro de los principales alimentos se encuentran: el maız, frıjol, arroz,
frutas, vegetales, lacteos y carnes, entre otros. La mayorıa de estos alimentos son perecederos,
por lo que se someten a procesos para lograr su conservacion por mas tiempo y disfrutarlos
durante todo el ano (Chen et al. 2006; Rajkumar et al. 2007a; Mujumdar y Huang, 2007). El
secado ha venido siendo una buena opcion para la conservacion y almacen de los alimentos
que mas se consumen debido a su bajo costo (Dincer et al. 2002; Food Chain, 2002; Hussain
y Dincer, 2003a,b; Karim y Hawlader, 2005; Moo, 2005; Goyal et al. 2006; Guine, 2006;
Mohamed et al. 2006; Mujumdar, 2006; Gbaha et al. 2007; Kaya et al. 2007a,b; Kingsly et
al. 2007).
Figura 1.1. Ejemplar de Mango de la variedad Ataulfo.
1.1. MOTIVACION 3
1.1.1. El mango
Mexico produce una cantidad considerable de frutas tropicales, las cuales se consumen gene-
ralmente en fresco, se estima que en gran medida son desperdiciadas debido a su corta vida
de anaquel y a la baja relacion de consumo que presenta el mercado interno. La fruta del
Mango (Manguifera Indica L.) es un producto tropical que tiene demanda principalmente
en los mercados Europeos y de Estados Unidos en su presentacion como congelado, seco y
fresco, se observa que dicha demanda en estos mercados continua creciendo (Osuna et al.
2002; IMPI, 2003; Toure y Kibangu, 2004; RODEVA, 2005; Godınez et al. 2006; INN Maga-
zine, 2006; Luna et al. 2006; Moreno et al. 2006; Ocampo, 2006; Sanchez, 2006; SE, 2006;
Tharanathan et al. 2006; Dıaz, 2007; FAO, 2007; Montalvo et al. 2007; SE, 2007a,b; Varith
et al. 2007). El mango presenta alto contenido en vitaminas A, C y D, Tiamina y Niacina
(Singh et al. 2004; Goyal et al. 2006; Djantou et al. 2007). La variedad de mango Ataulfo
perteneciente al grupo mulgova (NMX-FF-058-SCFI-2006) tiene denominacion de origen en
el sureste mexicano, su pulpa es amarilla, mantecosa y con un aroma tan peculiar e intenso
como equilibrado. En la Figura 1.1 se presenta un ejemplar de este fruto, el cual es muy
jugoso, tiene un sabor exquisito incluso cuando ya ha sobrepasado su punto de madurez,
momento en el que la pulpa que rodea la semilla adopta una consistencia gelatinosa, es re-
sistente al manejo y con un peso promedio que varıa entre 200 y 370 gramos. Este mango es
rico en fibra, tiene alto contenido en azucar y de acuerdo a estudios reportados (Osuna et al.
2002; Luna et al. 2006; Rajkumar et al. 2007b; Robles et al. 2007; Torezan et al. 2007), su
punto de madurez esta en el intervalo de 8 a 25oBx, que es el estado en el cual se observaron
sus mejores caracterısticas organolepticas al final de las pruebas de secado. En los ultimos
anos, las exportaciones de esta variedad de mango han tenido auge, representando casi el
5% del total de mango mexicano exportado (P.E.D., 2001−2006; FAO, 2004; SAGARPA,
2003), ya que ha tenido gran aceptacion por su excelente calidad (Osuna et al. 2002). Con
lo anterior, es notorio que nuestro paıs cuenta con potencial para la produccion del mango
Ataulfo y tiene la posibilidad de incrementar su comercializacion incrementando su vida de
anaquel, mediante el uso de procesos de conservacion que generen mayor valor agregado y
faciliten su transportacion a todo el mundo.
1.1. MOTIVACION 4
1.1.2. El secado
El secado y el deshidratado son terminos que a menudo se confunden, por una parte el secado
es el proceso de remocion del agua existente en una muestra de forma natural, mientras que
el deshidratado es el proceso de remover la humedad existente en una muestra por un medio
artificial (Anwar y Tiwari, 2001; Goyal et al. 2006; Doymaz, 2007a; Gbaha et al. 2007; Kaya
et al. 2007b). En el presente trabajo, al igual que en otros trabajos existentes en la literatura,
se manejan ambos terminos indistintamente. El secado limita la actividad microbiana, reduce
la actividad enzimatica y el crecimiento de hongos que deterioran la calidad del producto
(Karim y Hawlader, 2005; Goyal et al. 2006). Este tipo de proceso, otorga al mango mayor
vida de anaquel, mejora la eficiencia en el empaque, reduce los costos de almacenamiento y
transporte debido a la reduccion de la masa y el volumen del producto. (Goyal et al. 2006;
Guine, 2006; Kaya et al. 2007a,b). Actualmente, en Mexico existen algunas empresas que
realizan la deshidratacion de mango, tales como: Ashida Agroindustrias S.A. de C.V., Light
Fasfruit S. de R.L. de C.V. y la empresa con marca Tapachulteco, entre otras. Sin embargo,
no se encontraron trabajos reportados de la optimizacion del proceso de secado para dar
mayor valor agregado al mango Ataulfo seco.
1.1.3. Oportunidades comerciales
El mango, a pesar de su alta produccion mundial y ser el fruto tropical de mayor preferencia
(Mitra y Baldwin, 1997; Corzo et al. 2008), su comercializacion se ha visto limitada por su
alta susceptibilidad al ataque de patogenos y a las altas y/o bajas temperaturas, que reducen
su vida de anaquel (Yahia, 1998), aunado a esto los inadecuados medios de preservacion (Di-
ssa et al. 2008). En la busqueda de nuevas alternativas de comercializacion, recientemente
se ha propuesto como una opcion viable su procesamiento, tal es el caso de enlatados, con-
gelados, deshidratados, en conservas, pulpas, jugos y nectares, entre otros. La industria del
procesamiento de frutas esta creciendo a pasos acelerados, lo cual conduce al desarrollo de
nuevas tecnologıas de conservacion, que ademas de garantizar la calidad organoleptica de los
productos, asegure su calidad nutricional y la facilidad del transporte. Esto es respuesta al
1.2. REVISION LITERARIA 5
incremento en la demanda de alimentos saludables y listos para su consumo (CAM, 2003;
Cano, 2005). El mango aporta componentes bioactivos con alto potencial antioxidante como
las vitaminas C y E, carotenos y polifenoles. Pero en los estudios no se ha reportado infor-
macion sobre el proceso de secado de rebanadas de mango de la variedad Ataulfo, los cuales
permitan un mejor entendimiento de los fenomenos de transferencia de calor y masa durante
su proceso de secado, ası como un mejor aprovechamiento de la energıa requerida, haciendo
mas eficiente el proceso de secado de mango para obtener la calidad que respete las normas
y estandares de los mercados tanto internos como externos.
1.2. Revision literaria
En este apartado se presenta la revision literaria de estudios realizados sobre los fenomenos
de transporte que ocurren durante el secado de alimentos tales como: frutas y vegetales, con
especial interes en la fruta del mango. Se hace una clasificacion de los estudios reportados
en tres partes: experimentales, teoricos y teoricos−experimentales, ası tambien se presenta
una revision literaria del efecto de la velocidad del aire de secado en el proceso de secado.
Posteriormente, se describen las normas y procedimientos aplicables, ası como los metodos
de analisis de muestreo. Finalmente, se presentan las conclusiones de la revision literaria.
1.2.1. Estudios experimentales
Castro et al. (2005) desarrollaron un estudio experimental para determinar el efecto de la
temperatura en la retencion de carotenos en el proceso de deshidratacion por lecho fluidizado
de cubos de zanahoria. En el estudio, se determinaron las curvas de secado para diferentes
temperaturas de secado y se observo que los coeficientes difusivos resultaron similares a los
reportados por otros autores para diferentes frutos vegetales.
Baltazar et al. (2006) reportaron el diseno de un sistema de deshidratacion solar de
rodajas de seis variedades de mango, mencionan que el deshidratador puede ser adaptado
1.2. REVISION LITERARIA 6
para deshidratar otros frutos. En este estudio experimental se utilizaron rebanadas del mismo
espesor (4mm), se midio la madurez del mango utilizando un refractometro y se uso jugo
de limon como antioxidante para conservar el color. Para obtener las curvas de secado,
se considero la temperatura, la velocidad y la humedad relativa del aire de secado. Los
experimentos se realizaron en regimen de conveccion forzada, con velocidad y temperatura
del aire constantes y direccion de flujo de aire de abajo hacia arriba dentro del deshidratador.
Las rebanadas se clasificaron en tres tamanos: grande, promedio y pequenas. Se obtuvieron
las curvas de secado de seis variedades de mango. La produccion final obtenida del producto
seco en todas las variedades de mango se obtuvo en el intervalo de 9.47% a 11.33%. En
cuanto al color, aroma, sabor, firmeza, presentacion y consistencia fibrosa las variedades
Ataulfo y Paraıso mostraron las mejores caracterısticas como botana crujiente.
Gbaha et al. (2007) presentaron el diseno y construccion de un secador solar utilizando
materiales de la region, se realizaron pruebas experimentales de secado con yuca, platano
y mango. Los autores analizaron el comportamiento del secador y evaluaron su eficiencia
termica por medio del analisis de la influencia de la radiacion solar incidente, flujo masico
del aire de secado y efectividad. El proceso de secado se represento mediante correlaciones
empıricas de la forma M(t) = Mi exp (−Kt), con las cuales es posible predecir el tiempo
total del secado de cada fruto.
Ortız et al. (2007) estudiaron la degradacion del acido ascorbico durante el proceso de
secado convectivo de mango Manila y papaya Maradol debido al efecto de la temperatura
y velocidad del aire de secado, ası como tambien del espesor de la muestra. La calidad de
la fruta tanto fısica (textura, color y propiedades mecanicas) como nutricional durante el
proceso de secado se degrada (Sablani, 2006). El uso del acido ascorbico como un indicador
de calidad, permite inferir acerca del estado nutricional de un alimento, ya que al es uno
de los nutrientes mas sensibles al tratamiento termico aplicado en frutas (Ghani et al. 2002,
Uddin et al. 2002) y su degradacion es un fenomeno complejo que incluye reacciones de
oxidacion y enzimaticas, de ahı que su retencion asegura que otros componentes permanezcan
sin alterarse durante el procesamiento. Se realizaron cineticas de acido ascorbico durante
el secado a 40, 50, 60 y 70oC, a dos velocidades de aire (1.5 y 2.5m/s), y dos espesores
1.2. REVISION LITERARIA 7
de rebanadas (1.0 y 1.5cm), obteniendose un modelo que predice la degradacion de acido
ascorbico durante el secado de papaya. El modelo presento una dependencia tipo Arrhenius
con respecto a la temperatura y una relacion empırica con respecto a la humedad. Los
autores en sus resultados mostraron que la degradacion de acido ascorbico es proporcional
a los cambios en la temperatura del secado, el efecto de la velocidad del aire se reflejo en
la rapidez conque la muestra alcanza la temperatura del secado, mientras que el efecto del
espesor de las muestras queda implıcito en el efecto de la humedad de la muestra.
Kingsly et al. (2007) realizaron un estudio experimental sobre los efectos de la tempe-
ratura del aire de secado y de la utilizacion de pretratamientos como el meta-bisulfito de
potasio y el acido ascorbico en el secado de rodajas de durazno. En el estudio, se realizo seca-
do de rodajas de durazno en un tunel de secado con flujo cruzado. Se utilizaron seis modelos
de secado de capa delgada para reproducir los datos experimentales. El modelo que mejor
describio el comportamiento del secado de rodajas de durazno con altos valores de coeficiente
de correlacion fue el modelo logarıtmico. En los ejemplos tratados, la difusividad efectiva de
la humedad resulto ser mas alta que en los modelos no tratados. El efecto de la temperatura
y de los pretratamientos se vio reflejado en la disminucion del tiempo de secado.
Rajkumar et al. (2007a) realizaron un estudio experimental del secado−espumado del
mango Alfonso. Se desarrollo un secador con capacidad de 2.5kg/dıa de 8 horas. En el
analisis experimental se empleo aire caliente a 60oC, con velocidad de 0.001m/s, humedad
inicial de la muestra de 80% y HR del aire de 24%. En los resultados se obtuvo la viscosidad
(5.7 ± 0.06Pa), y el calor especıfico (3.66 ± 0.02kJ/kgoC) de la pulpa de mango mediante
la relacion empırica dada por Heldman y Singh (1981), la difusividad promedio de la pulpa
de mango fue de 5.3 × 10−9m2/s. Se encontro que el tiempo requerido para secar el mango
hasta un contenido de humedad final del 6% fue de 75 minutos.
Robles et al. (2007) evaluaron el efecto del almacenamiento en frıo en los compuestos
bioactivos presentes en muestras de mango fresco cosechado a un determinado estado de
madurez, estableciendo una escala de estado de madurez (1− 6) de acuerdo al color (angulo
de matiz y la luminosidad), firmeza, solidos solubles totales (SST), acidez titulable, tasa de
respiracion (TR) y etileno. De igual forma, a los frutos en distinto estado de madurez se les
1.2. REVISION LITERARIA 8
determino el contenido de compuestos bioactivos (vitamina C,β-caroteno, fenoles, flavonoides
totales) y actividad antioxidante (ORAC-L y ORAC total). En el estudio se encontro que
conforme el mago incrementa su estado de madurez los SST aumentan y la TR disminuye al
igual que la acidez titulable, la perdida de firmeza fue gradual conforme avanzo la madurez,
no mostrando cambios significativos a partir del nivel 4 de maduracion, los cambios en
color fueron significativos en los primeros cuatro niveles para luego mantenerse sin cambios
significativos. De los resultados, se selecciono el estado de madurez 4 como el estado de
madurez optimo para procesamiento del mango Ataulfo.
Corzo et al. (2008) evaluaron el coeficiente de difusividad de humedad durante el proceso
de secado de rebanadas de mango Hilacha en dos estados de madurez diferentes (verde y
medio-maduro). Para ello los autores utilizaron la solucion analıtica de la ecuacion de difusion
de Fick en 1-D y se obtuvo una correlacion tipo Arrhenius del coeficiente difusivo en funcion
de la temperatura del aire de secado y de la energıa de activacion. Los coeficientes difusivos
obtenidos se encuentran en el intervalo de valores reportados por otros autores para mangos
de otras variedades.
Dissa et al. (2008) estudiaron las caracterısticas del secado convectivo de rebanadas de
mango Amelie. En los resultados experimentales encontraron un coeficiente de encogimiento,
una correccion del tipo Arrhenius para el coeficiente difusivo de humedad con respecto a
la temperatura del secado y evaluaron la energıa de activacion del agua presente en las
rebanadas de mango. En el estudio caracterizaron el secado convectivo de rebanadas de
mango Amelie. En sus conclusiones sugieren que algunos parametros intrınsecos de la fruta
tales como el grado de madurez pueden tener efectos sobre la cinetica del secado de mango,
y que por lo tanto, deberıan ser tomados en cuenta en futuros trabajos.
Gomez y Lajolo (2008) estudiaron el metabolismo del acido ascorbico en el mango. El
acido ascorbico es mas sensible a degradarse que cualquier otro nutriente en la fruta, por lo
tanto, al mantener su contenido en la fruta, se asegura la existencia de los demas nutrientes.
Los resultados mostraron que el contenido de acido ascorbico disminuye conforme el estado
de madurez se incrementa, esto puede explicarse por la accion de la actividad enzimatica
involucrada en la sıntesis y degradacion del acido ascorbico en el mango.
1.2. REVISION LITERARIA 9
Yan et al. (2008) reportaron el estudio del encogimiento y la porosidad de rebanadas
de mango durante el proceso de secado convectivo, a partir de medir el volumen aparente
y el volumen especıfico de la muestra al inicio del proceso y en producto seco al final del
proceso. Se encontro que todas las muestras redujeron su tamano durante el secado y que esto
ceso cuando se alcanzo un 30% del contenido de humedad inicial, mientras que su porosidad
aumento desde un 6% hasta un 33%.
1.2.2. Estudios teoricos
Garcıa y Ragazzo (2000) presentaron el modelo matematico que describe el proceso de
secado continuo, tomando en cuenta la transferencia de masa y calor en las fases: solida;
gaseosa, y en la interfase solido-gaseosa. En el modelo se considero que la transferencia de
calor es por conveccion fuera de la muestra a secar, mientras que dentro de la muestra existe
difusion de calor y masa. En el caso de la transferencia de calor, el flujo de calor que llega a
la interfase por el lado de la fase gaseosa, se divide en el calor que deja la interfase en el lado
de la fase solida y el calor requerido para evaporar el agua. En este trabajo, se propusieron
las ecuaciones de transferencia de masa para las fases solida y gaseosa. Se evaluaron las
condiciones de equilibrio y en la interfase se utilizo la isoterma de absorcion del producto.
El modelo consta de un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales parciales acopladas en
combinacion con cinco ecuaciones algebraicas. Los autores en sus resultados muestran que el
modelo propuesto predice las curvas de secado y concluyen que el modelo matematico puede
utilizarse para el diseno de secadores de operacion continua que involucren propiedades de
transferencia de masa y calor ası como relaciones de equilibrio.
Herman et al. (2001) reportaron un modelo matematico para simular el secado de una
cama fija de producto considerando transferencia de calor y masa en la interfase cama−aire.
En su estudio describen que Herman et al. (1999) obtuvo un algoritmo de computo para
predecir la actividad del agua de alimentos considerando su composicion quımica y aplicando
la ecuacion de Ross para obtener la isoterma de absorcion completa. Los autores concluyeron
que el conocimiento de estos parametros es de particular importancia en el diseno de un
1.2. REVISION LITERARIA 10
proceso de secado de fruta, especialmente para la determinacion de la humedad de equilibrio y
del punto final del secado, procurando la viabilidad economica y la seguridad microbiologica.
Sahin et al. en el 2002a presentaron un metodo grafico para determinar de una manera
rapida y eficiente la transferencia de humedad durante el proceso de secado, ası como el
coeficiente de difusividad efectiva y el coeficiente convectivo de transferencia de masa durante
el secado de objetos solidos. El metodo se basa en la obtencion del factor de retraso y del
coeficiente de secado a traves de datos experimentales para determinar el tiempo de secado.
Cai y Zhang (2003) reportaron soluciones analıticas explıcitas de conjuntos de ecuaciones
lineales y no-lineales unidimensionales de la transferencia de calor y masa en procesos de
secado en estado transitorio. Las soluciones se obtuvieron mediante la aplicacion del metodo
de separacion de variables para los casos en que las propiedades fısicas y termofısicas son
constantes y cuando son variables dependientes de la humedad y de la temperatura.
Hussain y Dincer (2003a,b) realizaron la modelacion numerica en 2-D de la transferencia
de calor y humedad simultaneas durante el proceso de secado en objetos rectangulares y en
objetos cilındricos sujetos a condiciones de frontera convectivas. En el modelo las ecuaciones
gobernantes del proceso de transferencia de calor por conduccion y de difusion de masa
en el objeto se resolvieron mediante la aproximacion de diferencias finitas con el esquema
explıcito. El modelo permitio conocer la distribucion de temperatura y de humedad en el
interior del objeto a cada instante de tiempo, considerando: condiciones inıciales con valores
constantes de temperatura y humedad, las cuatro superficies se consideraron sujetas a con-
veccion forzada y las propiedades termofısicas constantes a excepcion de la difusividad, la
cual se considero dependiente de la temperatura mediante una relacion tipo Arrhenius. Los
resultados obtenidos se compararon con datos experimentales reportados en la literatura,
presentando buena concordancia.
Vermeulen et al. (2005) presentaron informacion sobre las propiedades fısicas, quımicas
y resultados de estudios sensoriales de algunas frutas y verduras, entre ellos: la papa, la uva,
nueces, durazno, etc. Sin encontrar datos reportados para el caso del mango Ataulfo.
Bialobrzewki (2006) determino la influencia del encogimiento en la cinetica del secado
1.2. REVISION LITERARIA 11
convectivo de rebanadas de manzana mediante un estudio teorico, utilizando datos experi-
mentales reportados. Para evaluar el coeficiente de transferencia de calor y el coeficiente de
transferencia de masa empleo relaciones reportadas por Bird et al. (2002). En los resultados
encontro que el encogimiento durante el secado tiene una gran influencia sobre la tempera-
tura y el contenido de humedad del material a secar. A menor contenido de humedad en
la muestra durante el secado, mayor sera el efecto del encogimiento en la simulacion de la
transferencia de calor y masa.
Chen et al. (2006) desarrollaron un modelo en diferencias finitas basado en las ecuaciones
de conservacion de masa y energıa acopladas al modelo de transporte de agua de las celulas,
para estudiar la cinetica de desecacion de pelıculas delgadas de solucion de trehalose-water
(micosa acuosa) bajo condiciones de conveccion natural y forzada, ası tambien investigaron
el estado termofısico de celulas madre en la parte baja de la pelıcula. Se obtuvo la simulacion
completa del proceso de secado de pelıculas delgadas de trehalose-water tomando en cuenta el
fenomeno de encogimiento. El interes en el proceso de secado como forma de preservacion de
materiales biologicos continua aumentando, ya que el completo proceso de deshidratacion y
el subsiguiente almacenamiento y transportacion puede hacerse a/o cerca de la temperatura
ambiente.
Kaya et al. (2006) presentaron un estudio teorico que comprende la simulacion numeri-
ca en 2-D de la transferencia de calor y masa simultaneamente en objetos rectangulares
humedos durante el proceso de secado. Mediante el paquete de simulacion dinamica Fluent
resolvieron las ecuaciones de Navier-Stokes en estado permanente para obtener los campos
de temperatura y flujo externo alrededor del objeto. Las distribuciones permiten determinar
los coeficientes convectivos de transferencia de calor y masa. Las ecuaciones de transferen-
cia de calor por conduccion y de transferencia de masa por difusion en estado transitorio
se resolvieron mediante diferencias finitas para conocer la distribucion de temperatura y
humedad en el interior del objeto. En el modelo se considero conveccion forzada en sus cua-
tro superficies, condiciones inıciales de temperatura y humedad uniformes y las propiedades
termofısicas del objeto se consideraron constantes a excepcion de la difusividad, la cual se
considero dependiente de la temperatura. Los resultados obtenidos fueron comparados con
1.2. REVISION LITERARIA 12
datos experimentales reportados en la literatura, presentando buena concordancia. En los
resultados se encontro que el coeficiente convectivo de transferencia de calor vario de 4.33 a
96.16W/m2K, mientras que el coeficiente de transferencia de masa convectivo se encontro en
el intervalo de 9.28 × 10−7 a 1.94 × 10−5m/s.
Tharanathan et al. (2006) presentaron al mango como fruta tropical y describieron la
importancia en la alimentacion de la poblacion mundial. Tambien presentaron las carac-
terısticas fısicas, composicion quımica, cualidades organolepticas y fısico-quımicas, las dife-
rentes formas de procesarlo y analizan las afecciones de sus cualidades y propiedades durante
su crecimiento y maduracion. Finalmente, describieron la intervencion de la biotecnologıa
en el fortalecimiento del cultivo y en la produccion del mango como fuente de desarrollo
regional y como fortaleza en la alimentacion.
Kaya et al. (2007a) realizaron la simulacion numerica de la transferencia de calor y
masa en objetos cilındricos humedos durante el proceso de secado. El metodo de diferencias
finitas se utilizo para resolver las ecuaciones gobernantes y ası encontrar la distribucion
instantanea de la temperatura y la humedad dentro del material a secar. Los coeficientes
convectivos de transferencia de calor y masa necesarios en la simulacion fueron obtenidos
mediante un paquete de simulacion dinamica (Fluent). La validacion del modelo se realizo con
datos experimentales del secado de platano reportados en la literatura, se encontro que los
resultados concuerdan y que el coeficiente de transferencia de calor vario en el intervalo de
4.65 a 59.33W/m2K, mientras que el coeficiente de transferencia de masa convectivo estuvo
entre el intervalo de 3.59 × 10−7 a 4.58 × 10−6m/s.
Kaya et al. (2007b) analizaron teoricamente el proceso de secado convectivo de cala-
baza, considerando las dos condiciones de frontera mas comunes para la concentracion de
masa: concentracion constante y conveccion. Las caracterısticas del secado de la calabaza
fueron determinadas en funcion de los parametros del aire de secado, incluyendo temperatura,
velocidad y humedad relativa. Se determinaron las isotermas de absorcion de la calabaza a
diferentes temperaturas y actividades del agua, ası como la difusividad de humedad efectiva
D y el coeficiente convectivo de transferencia de masa hm. La comparacion de los resultados
teoricos con resultados experimentales disponibles en la literatura permite concluir que la
1.2. REVISION LITERARIA 13
condicion de frontera convectiva predice mejor el proceso de secado
Lengyel (2007) estudio el efecto del cambio de la temperatura en la muestra a secar
considerando la influencia de la temperatura del aire de secado en la remocion del contenido
de humedad. El autor reporto que la textura de la fruta es capilar, coloide y porosa, y que
para reducir los procesos de degradacion por el almacenamiento, el contenido de humedad de
los frutos cosechados debe reducirse por debajo de 14%. Mientras se reduce el contenido de
humedad, es importante que se evite que los componentes se degraden debido al calor, ya que,
elevadas temperaturas en la muestra a secar provocan disminucion de la calidad. Tambien, el
autor describio que el contenido de azucar en algunas frutas comienza a caramelizarse a tem-
peraturas mayores de 50oC, y que por lo tanto, debe de analizarse primero las caracterısticas
optimas del calentamiento para el secado.
Janjai et al. (2008) presentaron un modelo bidimensional para simular numericamente
la transferencia de masa durante el proceso de secado convectivo del mango de la variedad
Nan Dok Mai. El modelo considera la ecuacion de difusion de masa y la resuelve mediante
la tecnica de elementos finitos. En los resultados, se encontro que la difusividad de humedad
presenta una relacion con la temperatura de secado y los valores se encuentran dentro del
intervalo de los datos reportados por otros autores. Tambien, se desarrollo un modelo que
describe el encogimiento de la rebanada, el cual tiene una alta dependencia del contenido de
humedad del fruto a secar.
1.2.3. Estudios teorico−experimentales
Achariyaviriya et al. (2000) desarrollaron modelos de difusion para el secado de cubos
de mango y papaya. Se evaluaron los coeficientes de difusion efectiva mediante analisis de
regresion lineal de los datos obtenidos experimentalmente. Se propusieron cuatro modelos,
de los cuales, el que mejor predice la cinetica del secado es el modelo que contempla que el
coeficiente de difusividad efectiva dependiente del contenido de humedad de la muestra y de
la temperatura del aire de secado. En el procedimiento experimental, se utilizo mango de la
variedad Glace con contenido de solidos solubles de 48 a 52oBx y contenido de humedad inicial
1.2. REVISION LITERARIA 14
de 47 a 51% en base seca. La temperatura del aire de secado fue de 45 a 60oC y el contenido de
humedad final fue cercano al 20% en base seca. En los resultados se obtuvo que para el mango
el coeficiente de difusividad D es igual a (−4.29M2 + 275.7M − 2485.7) exp [−65.83/RTabs].
Bon et al. (2000) desarrollaron una herramienta para obtener las curvas de secado en
muestras con geometrıa cilındrica. El transporte de materia dentro de un material solido
homogeneo e isotropo fue propuesto en estado transitorio con geometrıa cilındrica finita e
infinita, tambien consideraron que la humedad inicial fue uniforme y la difusividad efectiva
constante. En el modelo, se considero la Ley general de conservacion de materia y la Ley de
Fick. Los experimentos de secado se realizaron bajo las mismas condiciones, teniendo control
de la velocidad y la temperatura del aire (6m/s y 30oC). El valor medio de la humedad
relativa del aire de secado fue 74.4%. Se considero despreciable la resistencia externa a la
transferencia de masa debido a la alta velocidad. En los resultados, se encontro un modelo
difusivo que mejor ajusta los datos experimentales.
Hernandez et al. (2000) presentaron un estudio teorico−experimental sobre el secado de
rebanadas de mango. El modelo teorico se basa en la ecuacion de transferencia de masa que
se resuelve analıticamente para obtener una ecuacion simplificada que describe la cinetica
del secado, se considero que la concentracion de humedad es funcion del encogimiento de
la rebanada. En los resultados teoricos se presentaron las curvas de secado de rebanadas
de mango las cuales fueron validadas con los datos experimentales. En los experimentos se
consideraron rebanadas con dimensiones de 4×4cm2 y espesores de 0.5, 1, y 1.5cm, la tempe-
ratura del aire de secado fue de 50, 60 y 70oC y su velocidad de 3m/s. Las rebanadas fueron
aisladas con poliestireno con la finalidad de evitar la transferencia de masa en las superficies
laterales y debajo de la rebanada, facilitando el secado solamente por la superficie superior de
la rebanada. En los resultados experimentales, se obtuvieron las isotermas de absorcion del
mango (aw = 1−exp [− exp (−0.914 + 0.5639 lnM)]). Se obtuvieron las difusividades prome-
dio del agua empleando una relacion tipo Arrhenius que relaciona la difusividad promedio
en funcion de la temperatura. Considerando el encogimiento se encontro la difusividad en
el intervalo de [6.13 − 8.69] × 10−6cm2/s, mientras que al despreciar el encogimiento de la
rebanada la difusividad estuvo en el intervalo de [1.22 − 1.66] × 10−5cm2/s. En las conclu-
1.2. REVISION LITERARIA 15
siones, los autores describen que el encogimiento afecta notablemente la difusividad del agua
en el mango.
Herman et al. (2001) obtuvieron un modelo matematico para simular el proceso de seca-
do en una cama fija con flujo de aire cruzado considerando estado transitorio. Para validar el
modelo teorico con resultados experimentales, se consideraron las relaciones termodinamicas
para el equilibrio del agua entre el aire y la muestra, las propiedades fısicas de la muestra y
propiedades geometricas de la cama, tomando en cuenta las propiedades de transferencia de
calor y masa en la muestra y en el aire de secado, se puso especial enfasis en las condiciones
de la interfase. El modelo consta de un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales parciales
no lineales en union con tres ecuaciones algebraicas no lineales, las cuales fueron resultas
numericamente por los metodos de diferencias finitas y Runge−Kutta. En los experimentos
se utilizo un secador de cama fija para rebanadas de zanahoria con espesores de 0.1 y 1.0cm,
considerando la temperatura del aire de secado de 50 y 60oC. La simulacion permitio prede-
cir que el transporte de agua fue por difusion interna en rebanadas de 1.0cm de espesor; sin
embargo, las condiciones en la interfase pueden ser consideradas en estado permanente. No
obstante, el fenomeno predominante en rebanadas de 0.1cm de espesor fue por conveccion,
por lo tanto, las condiciones en la interfase variaron con respecto al espacio y tiempo. El
modelo propuesto predice el transporte considerando diferentes caracterısticas geometricas
de la muestra.
Anwar y Tiwari (2001) reportaron un estudio teorico y experimental del proceso de
secado por conveccion forzada, en donde se determinan los coeficientes convectivos de trans-
ferencia de calor de seis tipos de frutos: chile verde, chıcharo, garbanzo, cebolla, papa y
coliflor. En la solucion analıtica, se considero las propiedades termofısicas constantes. En los
resultados, los autores mencionan que el valor del coeficiente convectivo de transferencia de
calor varıa de acuerdo al tipo de cosecha, al tipo de secado y que este parametro influye
considerablemente en el diseno de un secador para cada tipo de fruto.
Herman y Garcıa (2001) generalizaron la simulacion matematica del secado convectivo
de zanahoria utilizando isotermas de absorcion en diferentes contenidos de humedad para
temperaturas de secado en el intervalo de 40 a 70oC, se considero la composicion quımica
1.2. REVISION LITERARIA 16
de los alimentos empleando el modelo computacional desarrollado por Herman et al. (1999)
y aplicando la ecuacion de Ross para obtener la isoterma de absorcion completa. La solu-
cion numerica se obtiene utilizando los metodos de diferencias finitas y el de Ruge−Kutta
en el compilador Basicr. En los resultados, no se encontro diferencia entre las curvas de
secado obtenidas para simulacion con isotermas de absorcion obtenidas en el laboratorio y
las predichas a traves de composicion quımica.
Nieto et al. (2001) estudiaron analıticamente la transferencia de masa durante el secado
convectivo de rebanadas de mango de la variedad Keitt, obteniendo el coeficiente de difu-
sividad de humedad en el intervalo de [3.1− 14.2]× 10−10m2/s, el cual concuerda con datos
reportados por otros autores.
Doymaz y Pala (2002b) presentaron un estudio teorico−experimental de la cinetica de
secado de pimientos rojos, bajo diferentes condiciones del aire de secado y pretratamientos.
El modelo teorico que presentaron es investigado en el secado de diferentes alimentos con-
siderando el modelo de capa delgada, el cual esta dado por la solucion de la Segunda Ley
de Fick y que considera el contenido de humedad inicial y de equilibrio, el coeficiente de di-
fusividad efectiva de humedad, el tiempo y una constante a determinar experimentalmente.
En el modelo experimental, se midio el contenido de humedad de los pimientos frescos, su
color y la tasa de flujo de aire. El aire fluyo perpendicularmente a los pimientos cortados en
rodadas de 1cm de espesor, las cuales fueron secados por lote con temperaturas de secado
de 50 y 60oC, el proceso de secado se detuvo cuando el contenido de humedad disminuyo a
11% del valor inicial 81.9% en base humeda. Se repitieron los experimentos dos veces y
se utilizo la razon de humedad promedio para graficar las curvas de secado. Los pimientos
fueron pretratados con cuatro soluciones de emulsiones alcalinas de oleato de etilo (AEEO) y
luego fueron secados. Los resultados experimentales mostraron que la solucion que contenıa
2% de AEEO y 5% de K2CO3 fue la que presento la tasa mas alta de secado y produjo
la mejor calidad en color. De los resultados, los autores concluyeron que de los modelos de
capa delgada, la ecuacion de Page es la que representa mejor la cinetica del secado de los
pimentos y que el tiempo de secado se puede reducir incrementando la velocidad de entrada
del aire.
1.2. REVISION LITERARIA 17
Pavon et al. (2002) presentaron un estudio teorico-experimental sobre el secado de
rebanadas de mango Manila. Los autores dedujeron parametros adimensionales, los cuales
fueron utilizados para estimar el mecanismo de control del fenomeno del proceso de secado.
En los resultados, se obtuvo la evolucion de la humedad y la temperatura del mango durante
el proceso de secado de forma experimental con la finalidad de validar los resultados teoricos.
De los resultados, se observo que la temperatura de la rebanada es funcion de la conveccion
de calor en la interfase mango−aire, y que la perdida de humedad es funcion de la difusion de
agua en el interior de la rebanada de mango. Tambien, se encontro que el coeficiente difusivo
promedio a 60oC es de 8.56 × 10−6m2/s.
Chaves et al. (2003) establecieron la cinetica del secado de rebanadas de berenjena, rea-
lizaron un modelo teorico para determinar los valores del coeficiente de difusividad efectiva.
El modelo considero rebanadas a manera de laminas infinitas, propiedades termofısicas cons-
tantes, donde la perdida de agua solo es en el sentido axial. En el estudio experimental, se
utilizo una camara de secado con ingreso de aire previamente calentado a las temperaturas
(50, 70 y 90oC), con velocidades de aire de 0.2 a 0.5m/s y con una humedad relativa del 50
al 60%. Las rebanadas de berenjena se cortaron transversalmente con espesores de 0.6 a 0.8
cm y de 1.2 a 1.4cm. En el experimento, se midio la perdida de peso hasta no tener variacion
del mismo. Despues, la muestra se seco en una estufa durante una hora a 100oC para deter-
minar su humedad residual. En los resultados, se obtuvieron los coeficientes de difusividad
efectiva para rebanadas de berenjena de 6−7cm de diametro y espesor de 0.6−0.7cm, los
valores estan en el orden de los informados para otros vegetales. Los autores concluyeron
que la difusion de humedad es el mecanismo predominante en el secado de la mayorıa de los
alimentos.
Jaya y Das (2003) presentaron un estudio teorico-experimental del secado en vacıo de
la pulpa de mango. Los autores desarrollaron una relacion tipo Arrhenius para predecir la
difusividad de la humedad en funcion del espesor inicial de la rebanada y de la temperatura
del secado. En los resultados, se obtuvieron que la difusividad de la humedad de la pulpa de
mango varıa en el intervalo de [2.6−12]×10−9m/s. Los autores observaron que al comparar
los resultados teoricos con los experimentales se presento buena concordancia.
1.2. REVISION LITERARIA 18
Kalbasi (2003) presento un estudio teorico−experimental unidimensional del secado de
cebolla. El modelo propuesto considera: propiedades termofısicas variables, encogimiento de
la muestra, geometrıa rectangular de las rebanadas de cebolla, transferencia de calor y masa
en 1-D a traves de ambas superficies en la direccion del espesor de la rebanada, ejes coor-
denados en el centro de la rebanada y que el mecanismo de transferencia de masa obedece a la
Ley de Fick. El autor realizo experimentos de secado para validar el modelo matematico, en
sus resultados, el autor obtuvo las curvas de secado y encontro diferencias poco significativas
al comparar los datos modelados con los experimentales.
Turk y Pehlivan (2003) reportaron el estudio teorico y experimental del secado de albari-
coques (chabacanos). En el estudio experimental se considero secar los chabacanos colgados
enteros en la direccion del flujo de aire caliente dentro de la camara de secado, variacion
de la velocidad y de la temperatura del aire de secado. En el estudio teorico, revisaron 14
diferentes modelos de capa delgada reportados en la literatura para predecir el proceso de
secado. De los resultados experimentales, se encontro que el modelo logarıtmico es el que
mejor predijo el comportamiento del secado de los chabacanos y que el coeficiente de difu-
sividad es el parametro mas importante en la transferencia de humedad y que depende de
la temperatura y de la velocidad del aire de secado.
Olivas et al. (2004) presentaron dos modelos para describir el proceso de secado y
el deterioro que ocurre en el procesamiento de materiales biologicos, partiendo de datos
experimentales. El estudio experimental fue desarrollado en un secador a escala de laboratorio
con gas LP como combustible, las muestras utilizadas fueron de chile jalapeno y manzana en
rebanadas. Las pruebas de secado se realizaron a temperaturas de 60 y 90oC y velocidades de
3 y 5m/s. En los experimentos, se midio y se registro el peso del material al inicio y durante el
proceso, a fin de obtener la curva de secado. El deterioro del producto se evaluo considerando
el color en las rebanadas de manzana y como la capacidad de rehidratacion en el chile
jalapeno, medida al sumergir la muestra en agua a 75oC en perıodos de 600s. Los autores
desarrollaron una aplicacion para computadora para predecir el tiempo de secado ası como
el deterioro o dano esperado en el producto, que se valido con datos y curvas reportadas
para secado de chile jalapeno y manzana.
1.2. REVISION LITERARIA 19
Ruiz et al. (2004) presentaron un estudio teorico y experimental para el secado de re-
banadas de zanahoria, considerando las ecuaciones de conservacion con el fin de predecir
la evolucion de la humedad y la temperatura durante el secado. El modelo considero una
dimension, propiedades termofısicas constantes y variables. En los resultados encontraron
que al comparar los resultados teoricos considerando las propiedades variables con los ex-
perimentales se obtiene una mejor concordancia, pero el esfuerzo computacional requerido
se incremento considerablemente. Los autores concluyeron que un modelo de secado de ali-
mentos mas detallado que considere el encogimiento, variaciones en la densidad, difusividad,
calor latente y otras propiedades de la muestra, podrıa mejorar la prediccion de la cinetica
de secado experimental.
Velic et al. (2004) estudiaron la influencia de la velocidad del aire en el secado convectivo
de manzana, en el coeficiente convectivo de transferencia de calor y en el coeficiente de
difusividad de humedad. Para ello, realizaron secado de muestras rectangulares de manzana
a una temperatura de secado de 60oC dentro de un secador de tipo charolas. Durante el
proceso de secado se midieron los cambios en la temperatura de las muestras, ası como la
temperatura y humedad relativa del aire de secado. Como indicador de la calidad de las
muestras secas, se utilizo la razon de rehidratacion. Con los resultados experimentales, se
obtuvo una ecuacion tipo exponencial que describe la cinetica del secado.
Akpinar y Dincer (2005a) realizaron un estudio teorico−experimental para determinar
mediante cuatro modelos simples de transferencia de humedad, los parametros que carac-
terizan el proceso de secado de rebanadas de papa (coeficiente de secado, factor de retraso,
y medio tiempo de secado). En los experimentos realizados, se calculo la difusividad de
humedad y el coeficiente de transferencia de humedad, para temperaturas y velocidades del
flujo del aire de secado de 60, 70 y 80oC, 1.0 y 1.5m/s, respectivamente. En los resultados,
se encontro que los cuatro modelos representan los datos experimentales adecuadamente.
Telis et al. (2005) reportaron un estudio teorico−experimental del efecto de la compen-
sacion de entalpıa-entropıa basado en las isotermas del mango. En su modelo los autores
suministraron las curvas de secado al modelo de GAB para determinar la humedad de equi-
librio de la pulpa de mango de la variedad Haden. En los resultados, los autores utilizaron
1.2. REVISION LITERARIA 20
analisis de regresion no-lineal directa y obtuvieron las isotermas de absorcion y desabsorcion
en el intervalo de temperatura de 30 − 70oC para actividades de agua (aw) de 0.02 − 0.97.
Se observo una concordancia satisfactoria al comparar los valores calculados con los datos
experimentales.
Herman et al. (2005) presentaron un estudio teorico−experimental del secado de alimen-
tos por lotes en una cama, la simulacion de secado se realizo para evaluar la influencia en el
secado al considerar el flujo de aire tipo tapon o uniforme y flujo completamente mezclado.
El modelo matematico considero la transferencia de calor y masa en el aire, la transferencia
de masa en las muestras y equilibrio termodinamico en la interfase muestra aire. Tambien
se considero que los coeficientes de transferencia de calor y masa externos solo dependen
de las propiedades del flujo del aire, mientras que los internos dependen de la conductivi-
dad termica y la difusividad del agua en el interior de las partıculas de la cama. El secado
experimental, se realizo a temperatura del aire de entrada de 60 y 63oC, en una cama fija,
con rodajas de yuca (camote) de 1cm de espesor para la validacion del modelo. Los autores
muestran que no existe diferencia significativa entre las suposiciones de flujo tipo tapon y el
tipo mezcla completa cuando el secado es por difusion.
Goyal et al. (2006) estudiaron el comportamiento del secado de rebanadas de mango
verde usando el modelo de capa−delgada en un secador modelo de laboratorio tipo tunel.
Las muestras fueron secadas a temperatura del aire de 55, 60 y 65oC con pretratamientos
etiquetados como: control, blanqueado, y blanqueado en solucion al 1% de metabisulfito de
potasio (KMS). Seis modelos de capa delgada (Newton, Page, Modified Page, Henderson and
Pabis, logarithmic, and Wang y Singh) fueron ajustados a los datos de razon de humedad. Se
encontro que el modelo de Page describio satisfactoriamente el comportamiento del secado
de rebanadas de mango en su estado de madurez verde. La difusividad de humedad efectiva
vario en el intervalo [2.62 − 4.39] × 10−10m2/s.
Guine (2006) estudio experimental y teoricamente la dependencia de la difusividad
de la humedad sobre la composicion de la pera (agua y concentraciones de azucar). El
modelo matematico se basa en la Segunda Ley de Fick, toma en cuenta los efectos de tres
variables: temperatura; contenido de humedad, y concentracion de azucar. La solucion del
1.2. REVISION LITERARIA 21
modelo se obtuvo discretizando las ecuaciones empleando la tecnica de diferencias finitas
y compilando el codigo numerico en el software Odrackr. De los resultados obtenidos: se
observo que el valor de la energıa de activacion predicha por el modelo es alto, mostrando
que la cantidad de azucar presente influye en la difusividad de la humedad a traves de la pera;
tambien, fue posible observar que a altas temperaturas tienen una mayor influencia sobre
la difusividad, comparadas con las temperaturas bajas. Finalmente, los autores concluyeron
que a temperatura constante la difusividad aumenta para altos contenidos de agua y bajas
concentraciones de azucar.
Ocampo (2006) reporto un estudio teorico−experimental del secado convectivo de man-
go. El modelo teorico que desarrollo permite predecir el tiempo de secado de rebanadas la
pulpa de mango considerando la temperatura, humedad relativa y la velocidad del aire. El
estudio experimental se realizo con tres condiciones de temperatura diferentes. Los resul-
tados obtenidos experimentalmente fueron comparados con datos reportados por Telis et
al. (2005) y difieren ligeramente debido a que se utilizo otra variedad de mango. El autor
concluyo que su modelo es aplicable para otros tipos de frutos.
Djantou et al. (2007) reportaron un modelo que determina los efectos provocados por los
pretratamientos aplicados a procesos de secado convectivo y osmotico para obtener mango
seco en polvo.1 En los resultados encontraron que el secado osmotica presento un mayor
efecto en la reduccion del tiempo de secado.
Oztop y Akpinar (2007) reportaron un estudio teorico−experimental del secado de re-
banadas de papa y manzana. Los resultados experimentales fueron obtenidos usando un
secador tipo ciclon. El modelo teorico se basa en las ecuaciones gobernantes de calor y masa
en 2-D en estado transitorio, para evaluar la temperatura y humedad de la rebanada durante
el secado, para esto se desprecia el espesor de la muestra. El modelo se resolvio utilizando el
metodo de volumen finito. En los resultados, se presento la distribucion de la humedad dentro
del objeto a diferentes pasos de tiempo y se mostro que dicha distribucion fue simetricamente
elipsoidal en cada instante de tiempo. Se observo una buena aproximacion al comparar los
1 Llamese pretratamiento a la forma de cortar el fruto antes de ser secado, ya sea en obleas de diferentestamanos o en formas de granulos.
1.2. REVISION LITERARIA 22
resultados numericos con los experimentales.
Rahman et al. (2007) desarrollaron un modelo de difusion en estado transitorio en 2-D,
tomando en cuenta la conservacion de masa y energıa, para predecir la variacion del con-
tenido de humedad y de la distribucion de temperatura en un producto compuesto. Para
desarrollar el modelo matematico tomaron en cuenta las siguientes suposiciones: el producto
es homogeneo con contenido de humedad inicial uniforme; la difusividad de humedad efecti-
va y la conductividad termica dependen del contenido de humedad y de la temperatura; el
producto es isotropico; la densidad del producto solo depende del contenido de humedad; la
transferencia de calor por conduccion y la transferencia de humedad por difusion gobiernan
la tasa de secado; el encogimiento es despreciado y la forma del producto permanece invaria-
ble durante el tiempo de secado. El estudio teorico fue validado con pruebas experimentales
realizadas. Para formar el producto compuesto se utilizaron rebanadas de manzana y papa
de forma rectangular. Se utilizo un secador convectivo asistido por una bomba de calor, obte-
niendo un comportamiento muy similar entre los resultados simulados y los experimentales.
Se observaron los efectos del uso de diferentes adhesivos en la interfase de las rebanadas, el
efecto del espesor de las rebanadas en el secado y el cambio de color del producto durante
el secado.
Ruiz y Garcıa (2007) presentaron un estudio teorico−experimental sobre el secado de
rebanadas de mango. En el estudio se presento un modelo teorico basado en la ecuacion de
transferencia de masa la cual se resolvio analıticamente. El modelo considero: difusividad
de humedad dependiente de la temperatura, deformacion de la rebanada, y la densidad, el
calor especıfico y la conductividad termica del mango se suponen dependientes del contenido
de humedad. Las condiciones para el analisis experimental fueron: temperatura del aire de
secado (50, 60 y 70oC), con velocidad de 2.5m/s, las rebanadas de mango se cortaron con
las dimensiones 1 × 3 × 0.5cm3. El procedimiento experimental se baso en el trabajo que
desarrollaron Hernandez et al. (2000). De la comparacion de la solucion del modelo teorico
con los datos experimentales se aprecio que el considerar el encogimiento o deformacion
durante el proceso de secado reproduce aproximadamente la cinetica de secado experimental
de rebanadas de mango.
1.2. REVISION LITERARIA 23
Telis et al. (2007) presentaron un estudio teorico-experimental para el secado de mango,
donde se propuso la conductividad termica de la pulpa de mango en funcion de la temperatura
para un intervalo que va por arriba del punto inicial de congelamiento (−1.69±0.02oC) hasta
74oC. Entre los resultados, se presento k = −6.89 × 10−6T 2 + 1.99 × 10−3T + 0.52, donde k
es la conductividad termica en W/m-K y T es la temperatura de la pulpa en oC.
1.2.4. Efecto de la velocidad en el proceso de secado
En la literatura existen estudios que reportan el efecto de la velocidad del aire de secado sobre
la obtencion de las curvas de secado de frutas (Hernandez et al. 2000; Pavon et al. 2002; Reyes
et al. 2002; Velic et al. 2004; Corzo et al. 2008). Mascan et al. (2002) reportaron que para
el secado convectivo de uva, la velocidad del aire de secado no tuvo un efecto significativo
sobre las curvas de secado en todos los casos estudiados. Mulet (1994) demostro que cuando
el flujo del aire de secado es mayor a 4000kg/m2-h no tiene efecto alguno sobre 1cm3 de papa
secado a 50oC. Sin embargo, Velic et al. (2004) mostraron que cambios en la velocidad del
aire de secado afectan las curvas de secado de manzana, ya que incrementos en la velocidad
de secado produce incrementos en el hm y D. Reyes et al. (2002), mostraron el efecto de la
velocidad del aire de secado sobre las curvas de secado de zanahoria.
Para el caso particular del secado de mango, aun no se ha identificado un intervalo de veloci-
dad de aire de secado a conveccion forzada que tenga efectos significativos en la obtencion
de las curvas de secado, ya que estudios reportados, tales como: Hernandez et al. (2000),
Pavon et al. (2002) y Corzo et al. (2008) quienes secaron rebanadas de mango de variedades
distintas al Ataulfo, consideraron la variacion de parametros como: el espesor de rebanada, la
temperatura del aire de secado y la velocidad del aire secado, obteniendo curvas de secado en
donde no es posible identificar claramente el efecto de la velocidad del aire de secado, debido
a que las variaciones provocan diferencias en las curvas que se encuentran en el intervalo de
la incertidumbre experimental, es decir, que condiciones externas de secado no tienen efecto
significativo sobre las curvas de secado, para considerarse despreciable (para las velocidades
reportadas en la literatura). Ortız et al. (2007) estudio el efecto de la velocidad del aire
1.2. REVISION LITERARIA 24
en la cinetica del secado de mango Manila, reportando que tal efecto no fue significativo y
considera que una mayor velocidad de aire contribuye a que la muestra alcance la tempera-
tura del aire de secado mas rapidamente, mientras que su efecto sobre la degradacion de los
nutrientes queda implıcito en el efecto de la temperatura.
1.2.5. Normas y procedimientos
Dentro de los organismos encargados de emitir las normas alimentarıas se encuentran: la
Organizacion de las Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentacion (FAO por sus
siglas en ingles); la Organizacion Mundial de la Salud (OMS), y en Mexico se cuenta con
la SSA (Secretarıa de Salubridad y Asistencia), ası como la secretarıa de economıa en lo
referente a metrologıa. A continuacion, se presentan las normas y procedimientos nacionales
e internacionales existentes que son aplicables al manejo de alimentos, ası como al proceso
de secado.
BFAD, 2007. Draft Standards for Dried Mango Products. Es el estandar que debe ser
aplicado al secado de diversas variedades de mango con la finalidad de asegurar la
calidad en el proceso y del fruto, con forme a las caracterısticas, tratamiento o proceso
y empaque para su almacen.
Bureau, 2006−016. Es la circular que contiene una lista de los posibles aditivos que
pueden ser utilizados para agregarse al producto de acuerdo a reglamentos estable-
cidos por el Bureau of Food and Drugs (BFAD) y al Codex alimentarius Commission.
CAC/RCP 1−1969. Es el estandar sobre el cuidado en la higiene de alimentos durante su
transporte recomendado por el Recommended International Code of Practice—General
Principles of Food Hygiene.
CAC/RCP 5−1971. Es el codigo internacional recomendado de practicas de higiene para
las frutas y hortalizas deshidratadas incluidos los hongos comestibles. La cual se apli-
ca a las frutas y hortalizas que han sido deshidratadas artificialmente (incluidas las
desecadas por liofilizacion), bien sea a partir de frutos frescos o bien en combinacion
1.2. REVISION LITERARIA 25
con la desecacion al sol y comprende los productos a los que suele aludirse con la ex-
presion “alimentos deshidratados”. Las frutas o las hortalizas pueden presentarse en
forma de rodajas, cubitos, dados, granuladas o en cualquier otro tipo de division, o de-
jarse enteras antes de su deshidratacion. Las frutas reguladas por las disposiciones del
presente Codigo comprenden, pero sin que se limiten solamente a estas, las manzanas,
bananos, arandanos, cerezas y arandanos americanos.
CODEX STAN 159−1987. Es la norma para mangos en conserva que describe el proce-
dimiento en que deberan conservarse los mangos, donde destaca las variedades a las
cuales es aplicable, las formas de presentacion de los mangos, el tipo de embazado, los
factores esenciales de composicion y criterios de calidad, tolerancia para los defectos,
caracterısticas organolepticas, la higiene, pesos y medidas, el etiquetado y los metodos
de analisis y muestreo.
CODEX STAN 160−1987. Es la norma para la salsa picante de mango, en la que se
define el producto, las variedades a las que se aplica la norma, los factores esenciales
de composicion y calidad, los aditivos alimentarios que pueden emplearse, el etiquetado
y los metodos de analisis y muestreo.
CAC/RCP 44−1995. Es el codigo internacional recomendado de practicas para el envasa-
do y transporte de frutas y hortalizas frescas. El cual recomienda formas de envasado y
transporte de frutas y hortalizas frescas adecuadas para mantener la calidad del fruto
durante su transporte y comercializacion.
CODEX STAN 184−1993. Es la norma para el mango. Se aplica a las variedades co-
merciales de mangos obtenidos de Mangifera indica L., de la familia Anacardiaceae,
que habran de suministrarse frescos al consumidor, despues de su acondicionamiento
y envasado. Se excluyen los mangos destinados a la elaboracion industrial. En ella se
dan las disposiciones relativas a la calidad y a la clasificacion por calibres de acuerdo
al peso de la fruta, las tolerancias en la calidad, la presentacion del fruto, el marcado
o etiquetado, la higiene y los contaminantes.
EMEX, 1998. Norma de Calidad para Mango Fresco de Exportacion.
1.2. REVISION LITERARIA 26
NOM−093−SSA1−1994. Es la Norma Oficial Mexicana para bienes y servicios. Se refiere
a las practicas de higiene y sanidad en la preparacion de alimentos que se ofrecen en es-
tablecimientos fijos. Esta Norma Oficial Mexicana establece las disposiciones sanitarias
que deben cumplirse en la preparacion de alimentos que se ofrecen en establecimientos
fijos con el fin de proporcionar alimentos inocuos al consumidor. Es de observancia
obligatoria en el territorio nacional para las personas fısicas o morales que se dedican
a la preparacion de alimentos.
NOM−129−SCFI−1998. Informacion comercial − Etiquetado de productos agrıcolas −
Mango, publicada en el Diario Oficial de la Federacion el 31 de agosto de 1998.
NMX−F−083. Es la norma mexicana de alimentos, la cual trata sobre la determinacion
de humedad en productos alimenticios.
NMX−FF−058−SCFI−2006. Esta norma mexicana establece las especificaciones mıni-
mas de calidad que debe cumplir el mango (Mangifera indica L.), de la familia Anacar-
diaceae, para las variedades de los grupos indostano y mulgova, para ser consumido en
estado fresco y comercializado en territorio nacional, despues de su acondicionamiento
y envasado. Se excluye el mango para procesamiento industrial. Esta norma mexicana
es parcialmente equivalente a la norma internacional Codex Stan 184/1993.
En general, las normas de calidad para alimentos frescos presentan el contenido siguiente:
descripcion generica del alimento fresco, disposiciones generales de calidad, calibrado, tole-
rancias, presentacion, etiquetado, contaminantes e higiene.
1.2.6. Metodos de analisis de muestreo
Determinacion del contenido de humedad inicial (Vacuum Oven Method). De acuer-
do al metodo No. 934.06 de la AOAC, 1995.
Determinacion de la actividad del agua. De acuerdo al metodo No. 978.18 de la AOAC,
1995.
1.2. REVISION LITERARIA 27
Metodo de muestreo. El muestreo tendra que hacerse de acuerdo con el FAO/WHO
Codex Alimentarius Sampling Plans for Prepackaged Foods - CAC/RM 42-1969, Codex
Alimentarius Vol. 13, 1994.
Determinacion de los solidos solubles (oBx). Medidos con un refractometro digital,
segun la metodologıa descrita en AOAC, 1990.
1.2.7. Conclusiones de la revision literaria
De la revision bibliografica sobre el secado de alimentos se concluye que:
1. Se han desarrollado varias teorıas y modelos para explicar la cinetica del secado de
objetos humedos y entender las leyes fısicas gobernantes de la transferencia de calor y
masa. El estudio se hace mas complejo conforme se consideran mas parametros y sus
efectos en el proceso de secado.
2. Los mecanismos de secado son tan complejos como la dependencia entre las transfe-
rencias de calor y masa. La contribucion de la energıa puede ser usada para aumentar
la temperatura del aire de secado y de la muestra, como para evaporar la humedad
de la muestra. Al mismo tiempo, el agua emigra del interior de la muestra hacia a su
superficie mediante difusion, en forma lıquida o de vapor de acuerdo a la temperatura y
al contenido de humedad de la muestra. Posteriormente, el agua es entonces evacuada
hacia el ambiente exterior mediante conveccion.
3. La mayorıa de los estudios teorico−experimentales reportados del secado de rebanadas
de mango se basan en la ecuacion clasica de Fick o segunda ley de Fick, la cual es
un modelo matematico del proceso de difusion del agua en un medio poroso que se
resuelve numericamente y analıticamente haciendo muchas simplificaciones. Algunos
otros consideran predecir el tiempo de secado mediante modelos de capa delgada. Solo
se ha reportado un estudio bidimensional que resuelve la ecuacion de difusion de masa
para describir el proceso de secado. Sin que hasta el momento se haya reportado un
1.2. REVISION LITERARIA 28
estudio bidimensional que implique la transferencia de calor y de masa en rebanadas
de mango durante el proceso de secado.
4. Los modelos reportados consideran principalmente: las ecuaciones de conservacion en
1-D en estado transitorio resueltas de manera analıtica; propiedades termofısicas cons-
tantes y en ciertos casos dependientes del contenido de humedad y la temperatura; la
difusion de masa puede ser constante o dependiente de la temperatura; la temperatura
de la muestra permanece constate y en ciertos casos se considera variable; compor-
tamiento isotropico de la pulpa de mango; las relaciones de equilibrio solido−agua en
la interfase; encogimiento o no encogimiento de la rebanada; sin generacion de calor en
el interior de la rebanada; entre otras.
5. Los modelos teoricos reportados para modelar el secado de rebanadas de mango se han
resuelto por medio de soluciones analıticas, en algunos otros casos han reportado el
empleo de las tecnicas numericas: diferencias finitas en 1-D y elemento finito en 2-D.
6. De los estudios reportados en la literatura del secado de mango se encontro una amplia
variacion de valores reportados para algunos de los parametros de transferencia de
humedad (hm y D). De acuerdo a Saravacos y Maroulis (2003); Panagiotuo et al.
(2004) y Mujumdar (2006) tal variacion se debe a la complejidad en la composicion y
estructura de las diversas variedades de mango a secar y de los metodos de estimacion.
Los procesos de secado no pueden generalizarse para cualquier alimento, ya que su
composicion quımica es tan compleja que todos son completamente distintos.
7. Algunos autores han utilizado la analogıa convencional de transferencia de calor y
masa para calcular el hm una vez que se conoce el h∞ (Rovedo et al. 1995, Kaya et al.
2006, Kaya et al. 2007a). Otros aplican una relacion de balance de masa y energıa en
las condiciones de frontera para determinar tales coeficientes, algunos otros, utilizan
correlaciones en terminos del numero de Reynolds (Velic et al. 2004; Alakali et al.
2006; Demirkol et al. 2006; Srikiatden y Roberts 2006). Se ha reportado que para un
bajo flujo del aire de secado, la aplicacion de la analogıa de transferencia de calor y
masa conduce a una desviacion significante en los valores de hm de aquellos obtenidos de
1.3. OBJETIVO GENERAL 29
manera experimental (Eckert y Drake 1959). De la revision bibliografica, se observo que
no existe suficiente informacion reportada de como obtener tales coeficientes para el
secado en conveccion natural. Sin embargo, Queiroz y Nebra (2001) en su estudio
experimental de secado a conveccion natural, reportaron que tanto la resistencia interna
(difusion) como la externa (conveccion) afectan significativamente la transferencia de
masa.
8. El proceso de secado, genera valor agregado y alarga la vida de anaquel del mango; sin
embargo, el proceso sigue siendo escaso debido a la falta de procedimientos competitivos
para realizarlo. Conocer y entender el fenomeno de transferencia de calor y masa en
rebanadas de mango Ataulfo durante el secado convectivo, ayudara a optimizar y hacer
eficiente el proceso de secado del mango, y por ende, conseguir una mejor calidad en el
producto final, el cual debe cumplir con las normas y estandares del mercado interno
como del externo.
9. Se encontro que el estudio del fenomeno de transferencia de masa durante el proceso
de secado de rebanadas de mango a cobrado gran interes en la comunidad cientıfica,
esto lo constatan recientes estudios reportados (Corzo et al. 2008; Dissa et al. 2008;
Janjai et al. 2008).
1.3. Objetivo general
Realizar un estudio de la transferencia de calor y masa bidimensional en una rebanada
rectangular de mango de la variedad Ataulfo, mediante un modelo de simulacion teorico que
considere parametros obtenidos experimentalmente.
1.4. Alcances
a) Desarrollar un modelo teorico en 2-D para simular la transferencia de calor y masa en
una rebanada rectangular de mango Ataulfo durante el proceso de secado.
1.5. ESCRITURA DE TESIS 30
b) Conocer los parametros caracterısticos del secado del mango Ataulfo obtenidos de
manera experimental, considerando dos dimensiones.
c) Validar el modelo teorico mediante las curvas de secado experimentales.
d) Realizar un estudio parametrico de la transferencia de calor y masa en rebanadas
rectangulares de mango Ataulfo, considerando secado en las cuatro superficies de la
rebanada y variacion de la temperatura del aire de secado en el intervalo de 50 a 70◦C
con incrementos de 5◦C.
1.5. Escritura de tesis
En el Capıtulo 2 se describe el modelo fısico del proceso de secado convectivo de una re-
banada de mango de la variedad Ataulfo considerando el fenomeno de transporte de calor
y masa en 2-D. Tambien, se presentan las suposiciones que se asumen para obtener el
modelo fısico−teorico bidimensional de tal fenomeno, de igual forma se define el modelo
fısico−experimental y el procedimiento experimental para obtener las curvas de secado y
coeficientes que requiere el modelo teorico para simular el proceso de secado. En el Capıtulo
3 se describe la solucion de las ecuaciones que conforman el modelo fısico−teorico junto con
sus condiciones inıciales y de frontera, discretizandolas mediante la tecnica de volumenes
finitos, la metodologıa experimental para la obtencion de la curva caracterıstica del seca-
do de mango Ataulfo, los coeficientes experimentales requeridos para simular el proceso de
secado y la validacion del modelo teorico mediante la comparacion de su solucion numerica
con las curvas experimentales del contenido de humedad y de la temperatura. En el Capıtulo
4 se presentan los resultados experimentales y el estudio parametrico bidimensional de la
transferencia de calor y masa en rebanadas de mango considerando la temperatura del aire
de secado. Finalmente, en el Capıtulo 5 se presentan las conclusiones de este estudio y las
recomendaciones para trabajos futuros.
Capıtulo 2
Modelos
En este capıtulo se presentan los modelos1 fısico−teorico y fısico−experimental que
se aplican en este trabajo al proceso de secado convectivo de rebanadas de pulpa de man-
go Ataulfo. En la Seccion 2.1 se presenta el marco teorico. En la Seccion 2.2 se presentan
las ecuaciones gobernantes y las consideraciones del modelo fısico−teorico que describe el
fenomeno de transporte bidimensional de calor y masa en una rebanada de mango. Fi-
nalmente, en la Seccion 2.3 se propone un modelo fısico−experimental, para obtener los
parametros necesarios como cerradura al modelo fısico−teorico y las curvas de secado para
validarlo.
◭
1 Un modelo es la representacion del fenomeno real observado en la naturaleza, el cual es simplificado eidealizado de alguna manera a su forma mas simple para estudiarlo y manipularlo. Tal representacion puedeser: matematica, conceptual, experimental, fısica, etc.
31
2.1. MARCO TEORICO 32
2.1. Marco teorico
El proceso del secado consiste en reducir el contenido de humedad de una muestra
(objeto humedo) y se lleva a cabo por lo general mediante aire con reducido contenido de
humedad (Chiang y Petersen, 1987; Simal et al. 1998; Achariyaviriya et al. 2000; Bon et
al. 2000; Hernandez et al. 2000; Anwar y Tiwari, 2001; Herman y Garcıa, 2001; Herman et
al. 2001; Doymaz y Pala, 2002a,b; Pavon et al. 2002; Sahin et al. 2002a,b; Cai y Zhang,
2003; Jaya y Das 2003; Kalbasi, 2003; Hussain y Dincer 2003a,b; Akpinar y Dincer, 2005a,b;
Herman et al. 2005; Moo, 2005; Telis et al. 2005; Alakali et al. 2006; Baltasar et al. 2006;
Chen et al. 2006; Guine, 2006; Kaya et al. 2006 y 2007a; Ocampo, 2006; Ghaba et al. 2007;
Oztop y Akpinar, 2007; Rahman y Kumar, 2007; Rajkumar et al. 2007a; Ruiz y Garcıa 2007;
Telis et al. 2007; Zielinska and Markowski, 2007). El secado convectivo es un proceso termico,
durante el cual ocurre transferencia de calor y masa simultaneamente (Crank 1975; Simal
et al. 1998; Feng et al. 2000; Reyes et al. 2002; Torres, 2002; Cai y Zhang, 2003; Hussain
y Dincer, 2003a,b; Olivas et al. 2004; Bialobrzewki, 2006; Srikiatden y Roberts, 2006; Kaya
et al. 2007b; Srikiatden y Roberts, 2008). La transferencia de calor se realiza del aire a la
muestra provocandole un calentamiento a medida que se reduce su contenido de humedad. El
proceso de transferencia de calor termina cuando la temperatura de la muestra no presenta
cambios significativos. Por otro lado, debido a que la presion de vapor en la muestra es mayor
que la del aire, la muestra transfiere masa a sus alrededores, este proceso concluye cuando
no se presenta un cambio considerable del contenido de humedad en la muestra.
El proceso de secado de frutas involucra la participacion conjunta de varios parametros
tales como: las propiedades fısicas, mecanicas y termofısicas de la muestra a secar, ası como
las condiciones ambientales, la velocidad, la temperatura y la humedad relativa del aire de
secado; el flujo masico; el contenido de humedad inicial y final de la fruta a secar; el grado
de madurez de la fruta; la humedad crıtica y la humedad de equilibrio, entre otros. En el
Glosario de terminos que se ubica al final de este trabajo se presentan las definiciones de
estos terminos.
Generalmente, la cinetica del proceso de secado de rebanadas de frutas y en particular
2.2. MODELO FISICO−TEORICO 33
de mango se ha estudiando considerando la transferencia de masa mediante la ecuacion
de difusion (segunda Ley de Fick) en 1-D, sin considerar la ecuacion de transferencia de
calor (Achariyaviriya et al. 2000; Hernandez et al. 2000; Alakali et al. 2006; Goyal et al.
2006; Ocampo, 2006; Corzo et al. 2008; Dissa et al. 2008; por citar algunos). Tambien, se
encontro reportado un solo estudio que considera la ecuacion de difusion de masa en 2-D
para describir el contenido de humedad durante el secado de rebanadas de mango (Janjai et
al. 2008), sin considerar la transferencia de calor.
Para estudiar el fenomeno de la transferencia de calor y masa en rebanadas de mango durante
su proceso de secado, se propone un modelo fısico que puede representarse por modelos
teoricos o experimentales. El modelo fısico que se presenta, describe la forma en que suceden
los fenomenos de transporte durante el proceso de secado convectivo de rebanadas de pulpa
mango Ataulfo. El modelo fısico−experimental realiza un diseno experimental de un equipo
para realizar mediciones con la finalidad de calcular el coeficiente de difusion de humedad
efectiva (D) y los coeficientes convectivos promedios de transferencia de calor (h∞) y masa
(hm) en la rebanada de mango. Los coeficientes h∞ y hm dependen de las propiedades
termofısicas del medio, de las caracterısticas de la muestra (tamano, forma, temperatura y
rugosidad de su superficie), de las caracterısticas del fluido (velocidad y turbulencia) y de
la forma de transferencia de calor y masa (Rahman y Kumar, 2006). Los coeficientes que se
obtienen con el modelo fısico−experimental se aplican al modelo fısico−teorico que se utiliza
para la simulacion numerica del proceso de secado. El modelo fısico−teorico se basa en las
ecuaciones gobernantes de transferencia de calor y masa en 2-D, considerando transferencia
de calor y masa por difusion, se consideran condiciones a la frontera del tipo evaporativas y
que ambos fenomenos estan acoplados.
2.2. Modelo fısico−teorico
Para estudiar la transferencia de calor y masa en una rebanada de mango durante el secado
por conveccion natural se supone que la rebanada de mango es rectangular y se describen los
balances de masa y energıa tal como se muestra en la Figura 2.1. El modelo considera una
2.2. MODELO FISICO−TEORICO 34
rebanada rectangular de mango que se encuentra a temperatura y contenido de humedad
uniforme, sobre la superficie superior se le suministra aire a temperatura y humedad relativa
constante. El proceso de secado inicia debido a la diferencia de presiones de vapor entre la
rebanada de mango y el aire. Como se indica en la Figura 2.1, durante el proceso el aire
cede energıa a la rebanada de mango (Qconv), parte de esta energıa se utiliza para evaporar
la humedad en la superficie de la rebanada (Qevap) y otra parte para calentar la superficie de
la rebanada (Qcond). El Qcond se transfiere hacia el interior de la rebanada incrementando su
temperatura y provocando el incremento de la presion de vapor en la rebanada. La humedad
se difunde del interior de la rebanada a la interfase rebanada−aire, donde se evapora debido al
gradiente de presiones de vapor existentes entre la interfase rebanada−aire y el aire de secado.
La remocion de humedad provoca gradientes de humedad en el interior de la rebanada. El
proceso cesa una vez que los gradientes de humedad y temperatura en el interior de la
rebanada son despreciables.
H
Lx
yT, M
T∞, M∞
Qconv
Qconv
Qdif
Qdif
Mdif
Qevap(Mevap)
Qevap(Mevap)
Figura 2.1. Modelo fısico del fenomeno de transporte durante el secado convectivo de
una rebanada de mango.
El estudio teorico considera que el transporte de energıa y masa en el interior de la rebanada
2.2. MODELO FISICO−TEORICO 35
de mango es unicamente por difusion, mientras que en el exterior de la rebanada se presenta
transferencia de calor y masa por conveccion-evaporacion. El modelo que se propone con-
templa la obtencion de la historia de la temperatura en la rebanada mediante la ecuacion
de difusion de calor y la reduccion de humedad en la rebanada mediante la ecuacion de
difusion de masa que se define con la Segunda Ley de Fick.2 Modelos similares al propuesto
(sin considerar evaporacion) han sido reportados para otras frutas por: Hussain y Dincer,
2003a,b, Oztop y Akpinar, 2007. Otros modelos consideran unicamente la ley de Fick para
simular el proceso de secado y no toman en cuenta la ecuacion de difusion de calor (Crank,
1975; Heldman y Singh, 1981; Feng, 2000; Ghazanfari et al. 2006; Simal et al. 2006; Sakin
et al. 2007). El modelo fısico−teorico que se propone tiene las siguientes consideraciones:
(a) secado a conveccion natural con temperatura del aire constante; (b) campos inıciales de
temperatura y humedad constantes en la rebanada de mango; (c) propiedades termofısicas
del mango Ataulfo constantes (k, ρ y Cp); (d) difusividad de humedad dependiente de la
temperatura; (e) transporte de energıa y masa bidimensional; (f) deformacion o encogimien-
to nulo del mango; (g) generacion de calor del mango despreciable; (h) que la evaporacion
del agua es unicamente en la superficie, y (i) que los efectos de la transferencia de calor por
radiacion son despreciables.
Las ecuaciones gobernantes de la transferencia de calor y masa en 2-D en rebanadas de
mango bajo las suposiciones anteriores, se pueden escribir como:
∂(T )
∂t=
∂
∂x
(k
ρCp
∂T
∂x
)
+∂
∂y
(k
ρCp
∂T
∂y
)
, (2.1)
∂M
∂t=
∂
∂x
(
D∂M
∂x
)
+∂
∂y
(
D∂M
∂y
)
(2.2)
Las ecuaciones estan sujetas a las siguientes condiciones inıciales:
T (x, y, t=0) = Ti, M(x, y, t=0) = Mi. (2.3)
2 Las ecuaciones gobernantes de transferencia de calor y masa se deducen en el apendice A.
2.2. MODELO FISICO−TEORICO 36
Considerando que el secado se lleva acabo solo a traves de la cara superior de la rebanada
(en y = H), las condiciones de frontera para la temperatura y el contenido de humedad se
consideran aisladas en las caras verticales e inferior de la rebanada, es decir:
∂T (x=0, y, t)
∂x= 0,
∂M(x=0, y, t)
∂x= 0, (2.4)
∂T (x=L, y, t)
∂x= 0,
∂M(x=L, y, t)
∂x= 0, (2.5)
∂T (x, y=0, t)
∂y= 0,
∂M(x, y=0, t)
∂y= 0, (2.6)
En la cara superior de la rebanada (en y = H) se considera que el calor necesario para
evaporar Qevap es igual al calor que entra por conveccion Qconv menos el calor requerido para
calentar Qdif, se tiene que:
Qevap = Qconv − Qdif. (2.7)
Considerando que la cantidad de masa que se transfiere del interior de la rebanada a la
superficie es igual a la masa evaporada en la interfase superficie de la rebanada−aire se tiene
que:
Mdif = Mevap. (2.8)
Las ecuaciones (2.7) y (2.8) se pueden escribir de la siguiente manera:
hlg∂M(x, y=H , t)
∂t= h∞A[T (x, y=H , t) − T∞] − kA
∂T (x, y=H , t)
∂y, (2.9)
− D∂M(x, y=H , t)
∂y= hm[M(x, y=H , t) − M∞]. (2.10)
En la seccion 3.1 se presenta la metodologıa de solucion del modelo fısico−teorico.
2.3. MODELO FISICO−EXPERIMENTAL 37
2.3. Modelo fısico−experimental
El modelo fısico−experimental permite obtener el contenido de humedad inicial, la curva de
reduccion del contenido de humedad y la curva de la temperatura de la rebanada durante
el proceso de secado. El coeficiente de difusividad efectiva D y el coeficiente convectivo
de transferencia de masa hm se obtienen utilizando las curvas de secado. El coeficiente
convectivo de transferencia de calor h∞ se obtiene utilizando la historia de la temperatura
experimental. En el experimento se utilizan cortes longitudinales y transversales de rebanadas
y se compararon las curvas de secado obtenidas en ambas direcciones de corte con el fin de
evaluar el efecto de la anisotropıa.
Con la finalidad de evaluar los efectos de la anisotropıa de la pulpa, de la temperatura
de secado, del espesor de la rebanada y del grado de madurez de la pulpa de mango se
realizo cada prueba de secado considerando regimen de conveccion natural, la temperatura
del aire se fijo en un valor constante, se utilizaron rebanadas cortadas en dos direcciones3
con dimensiones fijas, se midio su estado de madurez y se utilizo un espesor de rebanada
de tal manera que la incertidumbre experimental sea despreciable debido a solo considerar
2-D. Para estudiar la transferencia de calor y masa en la superficie superior de la rebanada
se aislaron las otras cinco caras utilizando una caja de carton termoestable e impermeable.
En el Apendice C se describe la metodologıa experimental utilizada para obtener la curvas
caracterısticas del secado del mango Ataulfo en 2-D.
En la Figura 2.2 se presenta un diagrama descriptivo del experimento del secado de una
rebanada de mango. La temperatura al centro de la rebanada se midio durante todo el proceso
con un termometro. El experimento esta montado sobre una termo-balanza (Analizador de
humedad OHAUS MB45) que mide el peso de la muestra cada 30 segundos durante el proceso.
En el experimento se permitio el acceso de aire y se mantuvo a un valor de temperatura
constante.
Una vez obtenidas las curvas de secado experimentales, se utilizaron como referencia para
3 Se haran cortes paralelo y transversal a la orientacion de la fibra de la fruta del mango para estudiar sisu anisotropıa tiene efecto en la cinetica del secado en 2-D.
2.3. MODELO FISICO−EXPERIMENTAL 38
T∞, HR∞
HRamb
Tamb
Tsal, HRsal
celda de carga
T
M
Mevap
adquisidor de datos
procesador de datos
Figura 2.2. Diagrama descriptivo del experimento.
validar los resultados del modelo teorico utilizando los parametros de ajuste hm y h∞.
En la seccion 3.2 se presenta la metodologıa y el procedimiento experimental como la es-
trategia para obtener los resultados experimentales.
Capıtulo 3
Solucion de Modelos
En este capıtulo se presenta la solucion del modelo fısico−teorico y la metodologıa
experimental del modelo fısico−experimental planteados en el Capıtulo 2. En la Seccion
3.1 se describe la metodologıa para resolver el modelo fısico−teorico, aplicando la tecnica de
volumenes finitos para discretizar las ecuaciones gobernantes de los fenomenos de transporte.
En la Seccion 3.2 se plantea una metodologıa experimental para evaluar el contenido de
humedad inicial del mango y las curvas de secado, que sirven para obtener el coeficiente
de difusividad de humedad y los coeficientes convectivos de transferencia de calor y masa
considerando las curvas de secado experimentales. Finalmente, en la Seccion 3.3 se presenta
la validacion del modelo fısico−teorico.
◭
39
3.1. SOLUCION DEL MODELO FISICO−TEORICO 40
3.1. Solucion del modelo fısico−teorico
En la presente seccion se describe la solucion del modelo fısico−teorico del secado de una
rebanada de mango. El modelo fısico−teorico se resuelve numericamente mediante la tecnica
de volumenes finitos que consiste en discretizar el dominio de la rebanada y transformar las
ecuaciones gobernantes en ecuaciones algebraicas (Patankar, 1980; Versteeg y Malalasekera,
1995).
La metodologıa se resume en los siguientes pasos:
1. Definir y generar una malla numerica en el dominio de estudio.
2. Obtener las ecuaciones algebraicas a partir de las ecuaciones gobernantes utilizando el
metodo de volumenes finitos.
3. Resolver las ecuaciones algebraicas de las variable M y T acopladas mediante un pro-
ceso iterativo.
3.1.1. Dominio de estudio de las ecuaciones gobernantes
Con el concepto de ecuacion generalizada de difusion, donde la variable φ puede representar
a las variables T y M , las ecuaciones gobernantes (2.1) y (2.2) se pueden escribir en forma
general, como:
∂φ
∂t=
∂
∂x
(
Γ∂φ
∂x
)
+∂
∂y
(
Γ∂φ
∂y
)
+ S. (3.1)
En la Tabla 3.1 se muestra la equivalencia de los terminos de cada ecuacion con respecto a
la ecuacion generalizada.
3.1. SOLUCION DEL MODELO FISICO−TEORICO 41
Tabla 3.1. Equivalencias de la formulacion generalizada.X
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
Ecuacion
terminoφ Γ S
Difusion de masa M D 0
Difusion de calor T k/(ρCp) 0
En la Figura 3.1 se muestra una porcion de la malla en el plano x-y, sobre la cual esta el
volumen de control P de la variable φ que se muestra en la zona sombreada con dimensiones
de ∆x y ∆y. El punto P de la malla tiene como vecinos a lo largo del eje x a los puntos E
y W , y a lo largo del eje y a los puntos N y S. La separacion entre el punto P y sus nodos
vecinos es δxe, δxw, δyn y δys para las direcciones este, oeste, norte y sur respectivamente.
x
y
N
S
E
W
n
s
ew
P
∆x
∆y
δxw δxe
δyn
δys
Figura 3.1. Volumen de control en una porcion de la malla bidimensional.
3.1.2. Discretizacion de las ecuaciones gobernantes
La discretizacion en volumen finito de la ecuacion generalizada (3.1) se realizo utilizando la
malla de la Figura 3.1 y la formulacion generalizada. Como resultado se obtiene una ecuacion
algebraica (ecuacion generalizada) en notacion de coeficientes agrupados para cada volumen
3.1. SOLUCION DEL MODELO FISICO−TEORICO 42
de control (Patankar, 1980):
aPφP = aEφE + aW φW + aNφN + aSφS + b. (3.2)
La equivalencia de la variable y coeficientes de la ecuacion (3.2) con las ecuaciones de difusion
de masa y energıa se muestran en la Tabla 3.2.
Tabla 3.2. Equivalencias de la formulacion generalizada y las ecuaciones gobernantes.P
PP
PP
PP
PP
PP
Ecuacion
terminoφ aP aE aW aN aS b a0
P
Difusion de masa M aE + aW
De∆y
δxe
Dw∆y
δxw
Dn∆x
δyn
Ds∆x
δys
0∆x∆y
∆t
+aN + aS
Difusion de calor T +a0
p
ke∆y
ρeCpeδxe
kw∆y
ρwCpwδxw
kn∆x
ρnCpnδyn
ks∆x
ρsCpsδys
0∆x∆y
∆t
Discretizacion de las condiciones de frontera
La discretizacion de las condiciones de frontera para la temperatura y masa (2.4−2.6, 2.9
y 2.10) se hace de manera similar a la discretizacion de las ecuaciones gobernantes, ver
Apendice D. Las condiciones de frontera se muestran en la Figura 3.2.
x
y
L
H
M T
Figura 3.2. Esquema indicativo de la direccion de la transferencia de calor y masa en la
frontera evaporativa del objeto.
En la Tabla 3.3 se muestran los terminos de las ecuaciones algebraicas obtenidas en notacion
de coeficientes agrupados.
3.1. SOLUCION DEL MODELO FISICO−TEORICO 43
Tabla 3.3. Equivalencias de la formulacion generalizada para las condiciones de frontera.P
PP
PP
PP
PP
PP
C.F.
terminoφ aP aE aW aN aS b
Cara Norte (y = H):
Difusion de masa M aS + hm 0 0 0Ds
δys
hmM∞
Difusion de calor T aS + h∞A 0 0 0ksA
δys
h∞AT∞ + hlg
M t−1
p − M tp
∆t
Cara Este (x = 0):
Difusion de masa M aW 0 1 0 0 0
Difusion de calor T aW 0 1 0 0 0
Cara Oeste (x = L):
Difusion de masa M aE 1 0 0 0 0
Difusion de calor T aE 1 0 0 0 0
Cara Sur (y = 0):
Difusion de masa M aN 0 0 1 0 0
Difusion de calor T aN 0 0 1 0 0
Aplicando las ecuaciones gobernantes con sus respectivas condiciones de frontera en forma
de la ecuacion 3.2 a cada volumen de control en el domino de estudio se obtiene una ecuacion
matricial para la temperatura y otra para el contenido de humedad.
3.1.3. Solucion de las ecuaciones algebraicas acopladas
En la solucion del modelo fısico−teorico descrito en la Seccion 2.2, las ecuaciones de trans-
ferencia de calor y masa se acoplan mediante la condicion de frontera evaporativa (2.7) y
con el coeficiente de difusividad de humedad D dentro de un proceso iterativo. Al inicio,
se calculan los coeficientes hm, h∞ y D de manera experimental, en donde D se obtiene en
funcion de la temperatura a partir de un modelo unidimensional. Posterior a esto, se re-
suelven las ecuaciones matriciales de M y T mediante el metodo iterativo conocido como
Algoritmo de Thomas (TDMA) considerando los parametros hm, h∞ y D a las condiciones
inıciales Ti y Mi. Despues, se verifica la convergencia espacial de la solucion en cada paso de
3.1. SOLUCION DEL MODELO FISICO−TEORICO 44
tiempo y de no cumplir el criterio de convergencia se recalculan las variables D, M y T a
la temperatura y contenido de humedad de la iteracion anterior (Tant, Mant), y ası sucesiva-
mente hasta cumplir el criterio. Una vez que converge M y T se tiene la solucion al primer
instante de tiempo. Sin embargo, se requiere la historia del contenido de humedad y de la
temperatura para mas pasos de tiempo, por lo que se almacena la solucion del primer paso
de tiempo y se continua el proceso para obtener la solucion de M y T al tiempo siguiente
(t + 1), y ası sucesivamente. El proceso continua hasta que a lo largo de los pasos de tiempo
las variables M y T no cambian significativamente. En el diagrama de flujo mostrado en la
Figura 3.3 se esquematiza la estrategia de solucion del modelo fısico−teorico.
?
INICIO
PARAMETROS YCONDICIONES INICIALES
M°ant = M, T ant = T°
CALCULAR: T
IMPRIMIR M,T
EN CADA tD
CRITERIO DE EDO.PERMANENTE
Mant = M, Tant = T
CALCULAR: M
FIN
NO
SI
k=k+1
t=t+1
NO
SI
t=0
CONVERGEN(M,T) EN x,y
Figura 3.3. Diagrama de flujo del algoritmo de solucion numerica usado.
3.2. SOLUCION DEL MODELO FISICO−EXPERIMENTAL 45
3.2. Solucion del modelo fısico−experimental
Los resultados del modelo fısico−experimental se obtuvieron de acuerdo a lo que se indica
en las Subsecciones 3.2.1 y 3.2.2. En el experimento, se midieron el contenido de humedad
inicial de la rebanada de mango, la curva de secado del mango Ataulfo y la temperatura
al centro de la muestra durante el proceso de secado. El contenido de humedad inicial y
las curvas de secado se utilizaron para determinar los coeficientes hm y h∞. El coeficiente
de difusividad efectiva, se obtuvo en funcion de la temperatura de la muestra mediante un
modelo en 1-D.
3.2.1. Evaluacion del contenido de humedad inicial
El experimento consistio en dejar secar la muestra a la temperatura fijada dentro del Anali-
zador infrarrojo de humedad OHAUS MB45 y esperar hasta que el equipo no pueda medir
alguna variacion en el peso de la muestra. Para obtener el contenido de humedad inicial de
la muestra de pulpa de mango Ataulfo, se realizaron experimentos de secado de acuerdo al
procedimiento experimental descrito en el Apendice B. Se utilizaron muestras de pulpa de
mango con geometrıa cubica y un grado de madurez determinado. Se observo que la calidad
de las muestras depende del tamano, color, sabor, aroma y firmeza. La pruebas duraron de
10 a 15 minutos utilizando temperaturas de secado en el intervalo de 150 a 200oC. Los ex-
perimentos se repitieron por triplicado utilizando muestras con el mismo grado de madurez
para asegurar su repetitividad.
3.2.2. Evaluacion de las curvas de secado
La historia del contenido de humedad caracterıstica del secado de rebanadas de pulpa de
mango Ataulfo se analizo considerando la anisotropıa de la pulpa, la temperatura del aire
de secado, el espesor y madurez de la rebanada. Lo anterior, con la finalidad de evaluar
la dependencia de cada uno de esos parametros. A continuacion se realizaron las siguientes
3.2. SOLUCION DEL MODELO FISICO−EXPERIMENTAL 46
pruebas:
Evaluacion del efecto de la anisotropıa de la pulpa del mango Ataulfo, considerando la
metodologıa del procedimiento experimental descrito en el Apendice C. La variable del
experimento es la direccion del corte de la rebanada. Los experimentos se realizaron
por triplicado.
Evaluacion del efecto de la temperatura del aire de secado en la obtencion de las
curvas de secado siguiendo el procedimiento descrito en el Apendice C. El experimento
se realiza para temperaturas de secado en el intervalo de 50 a 70oC con incrementos
de 5oC y cada prueba se realizo por triplicado.
Evaluacion del efecto del espesor de la muestra en las curvas de secado siguiendo el
procedimiento descrito en el Apendice C. En este caso se fija un valor de temperatura
del aire de secado constante, se utilizan muestras del mismo grado de madurez y
mismo corte de rebanada. Los espesores de la muestra fueron de 3.0, 4.0 y 5.0mm
y los experimentos se realizaron por triplicado.
Evaluacion del efecto del estado de madurez de la muestra a secar en las curvas de
secados considerando la metodologıa del procedimiento experimental descrito en el
Apendice C. En los experimentos se fijaron las condiciones de secado y caracterısticas
geometricas de la muestra. Se utilizaron muestras con estado de madurez en el intervalo
de 13 a 23oBx y cada prueba se realizo por triplicado.
Para evaluar el efecto de cada parametro se comparan las curvas y se evalua la variacion
debida al cambio.
3.2.3. Determinacion de los coeficientes convectivos de transfe-
rencia de calor y masa
En el presente estudio se utilizo el procedimiento reportado por Kaya et al. (2007b), Srikiat-
den y Roberts (2008) para obtener los coeficientes convectivos de transferencia de masa
3.2. SOLUCION DEL MODELO FISICO−EXPERIMENTAL 47
(hm) en el secado de rebanadas de mango. El modelo teorico considera una condicion a la
frontera del tipo evaporativa para las ecuaciones gobernantes de transferencia de masa en
la muestra durante el proceso de secado dada por la ecuacion (2.10), mientras que las otras
tres permanecen aisladas de acuerdo a las ecuaciones (2.4) a (2.6). Se obtiene el coeficiente
hm a partir de un balance de masa en la frontera de la muestra expuesta a conveccion. Se
considera que la M es uniforme en toda la muestra y que solo transfiere masa por su parte
superior, con esto se tiene la siguiente ecuacion:
− V∂M
∂t= hmA(M − M∞), para y = H (3.3)
mediante el metodo de separacion de variables e integrando sobre sus lımites, se tiene:
(M − M∞)
(Mi − M∞)= exp
(
− hym
A
Vt)
, para y = H. (3.4)
La ecuacion (3.4) indica que al conocer el contenido de humedad M(t) de la muestra en todo
momento (ajustando los datos experimentales), es posible conocer el coeficiente convectivo
promedio de transferencia de masa (hm) que existe en la superficie, despejando de la siguiente
manera:
hym = −
V
A · tln
[
(M − M∞)
(Mi − M∞)
]
=⇒ hym = −
V
A · tln[MR], para y = H. (3.5)
Para la obtencion del coeficiente convectivo de transferencia de calor en la superficie de la
rebanada de mango, se realizo un balance de energıa en la frontera similar al que utilizo Rah-
man y Kumar (2007), donde la energıa que entra a la rebanada a traves de la frontera es
igual a la que se almacena menos la que sale:
Qconveccion = Qsensible − Qevaporacion. (3.6)
donde,
h∞(T − T∞) = Cpm∆T −hlg
A
dM
dt, para y = H, (3.7)
3.2. SOLUCION DEL MODELO FISICO−EXPERIMENTAL 48
y conociendo de los datos experimentales la temperatura T (t) y el contenido de humedad
M(t) en la rebanada, se puede calcular el coeficiente de transferencia de calor h∞ como:
h∞ =Cpm∆T −
hlg
AdMdt
(T − T∞), para y = H. (3.8)
Dado que los valores de los coeficientes hm y h∞ fueron obtenidos haciendo varias simpli-
ficaciones, se utilizaron solo como una primera aproximacion en la modelacion 2-D y luego
fueron ajustados hasta que se redujeron al mınimo las diferencias del modelo teorico con el
experimental.
3.2.4. Determinacion del coeficiente de difusividad de humedad
efectiva en la rebanada
La determinacion del coeficiente de difusividad efectiva se basa en la ecuacion de difusion de
Fick en estado transitorio en 1-D. El analisis teorico considera que la rebanada de mango:
es un objeto humedo no-poroso de geometrıa plana, su espesor se considera constante y
pequeno comparado con su longitud, con distribucion inicial de humedad uniforme. Tambien,
se considera que el secado toma lugar en la superficie superior del objeto (y = H), que la
difusion es el principal mecanismo de transporte desde el interior hacia su superficie exterior
y que depende solamente de la temperatura, que la temperatura del objeto alcanzara la
temperatura del secado tan pronto como el proceso inicie. De lo anterior, se obtiene:
∂M
∂t=
∂
∂y
(
D∂M
∂y
)
. (3.9)
con condiciones de frontera:
− D∂M(0, t)
∂y= hm(M − M∞), en y = H, (3.10)
∂M(H, t)
∂y= 0, en y = 0. (3.11)
3.2. SOLUCION DEL MODELO FISICO−EXPERIMENTAL 49
La solucion analıtica de la ecuacion de difusion de Fick que fue desarrollada por Crank
(1975) y es ampliamente utilizada para evaluar el coeficiente de difusividad efectiva de la
humedad en muestras de frutos humedos (Hernandez et al. 2000; Nieto et al. 2001; Maskan
et al. 2002; Reyes et al. 2002; Jaya y Das, 2003; Doymaz, 2004; Alakali et al. 2006; Gogus
y Mascan, 2006; Doymaz et al. 2006; Ocampo, 2006; Doymaz, 2007a,b; Sacilik, 2007; Corzo
et al. 2008), la cual es:
MR =M − M∞
Mi − M∞
=8
π2
∞∑
n=1
1
(2n − 1)2exp
[
− (2n − 1)2π2D
4H2t]
. (3.12)
Considerando que el espesor es pequeno comparado con la longitud de la rebanada y que el
tiempo de secado es largo, se puede aproximar mediante el primer termino de la serie:
MR =8
π2exp
(
−π2D
4H2t
)
. (3.13)
Aplicando propiedades de logaritmos a la ecuacion (3.13), se obtiene la ecuacion (3.14),
donde al graficar el − ln(MR) en funcion del tiempo se tiene un comportamiento lineal de
la forma:
− ln (MR) =π2D
4H2︸︷︷︸
m
∗t +8
π2︸︷︷︸
b
. (3.14)
Para cada curva de secado debe obtenerse su correspondiente pendiente para obtener su D.
Finalmente, se llega a la obtencion de una correlacion exponencial tipo Arrhenius para todos
las D′s graficadas contra 1/Tabs. Donde el coeficiente de difusividad efectiva queda descrito
por una funcion en terminos de la energıa de activacion y de la temperatura absoluta de la
rebanada, de ahı se obtiene el D0 y el Ea/R directamente.
D = D0 exp
(−Ea
R · Tabs
)
(3.15)
3.3. VALIDACION DEL MODELO FISICO−TEORICO 50
3.3. Validacion del modelo fısico−teorico
Para la validacion del modelo fısico−teorico se escribio un codigo en el compilador Fortran
para resolver el sistema de ecuaciones algebraicas acopladas de transferencia de calor (2.1) y
masa (2.2). Se realizo un analisis de independencia de malla para la convergencia espacial y
temporal de la solucion del contenido de humedad y de la temperatura. La simulacion con-
sidero una rebanada de mango Ataulfo secado por conveccion natural en una de sus fronteras
a temperatura del aire de secado constante. Los resultados del contenido de humedad y de la
temperatura simulados al centro de la rebanada, se validaron con la historia del contenido de
humedad experimental global (Mexp) y la historia de la temperatura medida en el centro de
la rebanada (Texp). El contenido de humedad simulado global (Mmod) se obtuvo promediando
el contenido de humedad simulado en la rebanada para cada paso de tiempo. El Mmod y el
Mexp fueron adimensionalizados para poder compararlos. La razon global del contenido de
humedad adimensional simulado es MRmod = (Mmod − M∞)/(Mi − M∞) y la razon global
del contenido de humedad adimensional experimental es MRexp = (Mexp−M∞)/(Mi−M∞).
Las propiedades termofısicas del mango son algunos de los parametros utilizados en la simu-
lacion, las cuales se obtuvieron de estudios reportados en la literatura tal como se muestra en
la Tabla 3.4. La conductividad termica se obtuvo mediante la relacion reportada por Telis et
al. (2007). El valor de densidad utilizada fue el obtenido al medir la relacion masa/volumen
en los experimentos de secado. Los coeficientes D, hm y h∞ fueron obtenidos considerando los
datos experimentales. El coeficiente D se obtuvo en funcion de la temperatura de la rebana-
da utilizando el modelo de difusividad en 1-D dado por la ecuacion (4.1). Los coeficientes
hm y h∞ fueron obtenidos mediante correlacion de los datos experimentales dada por las
ecuaciones (3.5) y (3.8), posteriormente, ambos coeficientes fueron ajustados con el modelo
en 2-D. Las curvas experimentales de referencia para la validacion del modelo fısico−teorico
se obtuvieron considerando una rebanada de mango Ataulfo con una madurez de mango
de 22◦Bx y un espesor de rebanada de 3mm, secada a traves de su frontera superior a una
temperatura del aire de secado 60◦C.
3.3. VALIDACION DEL MODELO FISICO−TEORICO 51
Tabla 3.4. Propiedades termofısicas del mango.
Variedad ρ k Cp Referencia
kg/m3 W/(m-K) J/(kg-K)
Namdokmai Si Thong 973 ± 29 0.474 ± 0.015 3795 ± 211 Varith et al. 2007
Alphonso ∗ ∗ 3670 ± 20 Rajkumar et al. 2007a
Keith ∗ 0.606 − 0.639 ∗ Telis, 2007
Manila 918 − 1082 ∗ ∗ Boukauvalas et al. 2006
Tommy 1022 − 1130 ∗ ∗
Hilacha 1468 ∗ ∗ Corzo et al. 2008
Ataulfo 1036 −1298 ∗ ∗ Presente estudio1 *Parametro no reportado.
En la Tabla 3.5 se muestran los parametros requeridos por el codigo para realizar las vali-
daciones.
Tabla 3.5. Parametros utilizados para validar el codigo numerico.
Parametro Valor Unidades
H 0.003 m
L 0.040 m
W 0.015 m
Nx 160 nodos
Ny 30 nodos
∆t 1 s
k 0.619 W/(m2-K)
ρ 1296.11 kg/m3
Cp 3795 J/(kg-K)
Ti 24.2 oC
T∞ 60.0 oC
Mi 1 kg/kg
M∞ = HR 0 (16.80 %) kg/kg
D 3.201 × 10−6 exp(−23.45/RTabs) m2/s
R 0.0083143 kJ/(mol-K)
hlg 2260 J/K
h∞ 3.05 W/(m2-K)
hm 1.40 × 10−6 m/s
Metodo de solucion de ecuaciones algebraicas LGS-ADI
Criterio de convergencia en cada ∆t ǫx,y(T, M) = 1.0 × 10−8
Criterio de convergencia en estado permanente ǫt(T, M) = 1.0 × 10−6
Malla Uniforme
3.3. VALIDACION DEL MODELO FISICO−TEORICO 52
3.3.1. Independencia de malla
Dentro de la validacion del codigo numerico implementado, se realizo un estudio de indepen-
dencia de malla para verificar que la solucion de las variables MR y T fuera independiente
del refinamiento de la malla numerica. Se estudio la influencia de la densidad de malla para
el caso de una rebanada con condiciones de fronteras aisladas en x = 0, x = L y y = 0, mien-
tras que en y = H se considero una condicion de frontera evaporativa, es decir, se simulo el
proceso de secado por una sola frontera de la rebanada. En la Figura 3.4 se muestra el efecto
del refinamiento de malla en la solucion en estado permanente de MR y T al centro de la
rebanada para diferentes mallas numericas (1 ⇒ 80 × 10, 2 ⇒ 120 × 20, 3 ⇒ 140 × 30,
4 ⇒ 160× 30, 5 ⇒ 180× 40) utilizando un paso de tiempo pequeno (∆t = 1s). De la Figura
3.4 se observa que las soluciones de MR(L/2, H/2) y T (L/2, H/2) en el estado permanente
no tienen cambios significativos despues de utilizar una malla de 160×30. Por lo tanto, se
utiliza la malla de 160×30 nodos para el estudio.
0.0E-7
2.0E-7
4.0E-7
6.0E-7
8.0E-7
1 2 3 4 559.97
59.98
59.99
60.00
1 2 3 4 5
MR
MallaMalla
T (◦C)
Figura 3.4. Curvas para el estudio de independencia de malla de la solucion de MR y T
simulados al centro de la rebanada en estado permanente.
Se realizo un analisis de la independencia de la solucion del modelo teorico con respecto
al paso del tiempo, para ello se eligio la solucion a un tiempo igual a 1800 segundos. Se
comparo la solucion de MR(L/2, H/2) y T (L/2, H/2) para corridas utilizando pasos de
tiempo de 50, 25, 20, 10, 5, 2, 1 y 0.5s, se encontro que para pasos menores a 10s la variacion
en la solucion de MR(L/2, H/2) y T (L/2, H/2) es poco considerable. En la Figura 3.5 se
muestra la variacion de la solucion de MR y T simulados al centro de la rebanada en funcion
3.3. VALIDACION DEL MODELO FISICO−TEORICO 53
del paso del tiempo para un tiempo de 1800s.
0.8720
0.8725
0.8730
0.8735
50 25 20 10 5 2 1 0.5
40.93
41.03
41.13
41.23
41.33
41.43
41.53
41.63
50 25 20 10 5 2 1 0.5
MR
∆t(s)∆t(s)
T (◦C)
Figura 3.5. Curvas para el estudio de la independencia del tiempo a 1800s.
En la Figura 3.6 se presenta la curva de secado y la curva de la temperatura simuladas al
centro de la rebanada ( MRmod y Tmod).
MR T (◦C)
t(s)t(s)
Figura 3.6. Curvas simuladas de MR y T al centro de la rebanada.
3.3.2. Comparacion de la temperatura y contenido de humedad
en el centro de la rebanada
La historia del contenido de humedad simulada al centro de la rebanada se comparo con la
curva de secado experimental (Figura 3.7a), tambien se comparo la historia de la temperatura
3.3. VALIDACION DEL MODELO FISICO−TEORICO 54
simulada en el centro de la rebanada con temperatura medida experimentalmente en el centro
de esta (Figura 3.7b). Cualitativamente se observo una buena concordancia del modelo en la
prediccion del contenido de humedad y la temperatura respecto de los datos experimentales.
Cuantitativamente se encontro una diferencia maxima del 7.45% en el contenido de humedad
y de 8.07% (3.65oC) en la comparacion de la temperatura.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
0
10
20
30
40
50
60
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Exp
Mod
Exp
Mod
(a) (b)
T (◦C)MR
t(s)t(s)
Figura 3.7. Comparacion de la solucion numerica con la obtenida experimentalmente.
Capıtulo 4
Resultados
En este capıtulo se describen los resultados experimentales y teoricos obtenidos del
estudio bidimensional de la transferencia de calor y masa en rebanadas de mango de la
variedad Ataulfo. En la Seccion 4.1 se presentan los resultados experimentales, y en la Seccion
4.2 se presenta el estudio parametrico considerando la temperatura del aire de secado y que
el secado es en las cuatro superficies de la rebanada.
◭
55
4.1. RESULTADOS EXPERIMENTALES 56
4.1. Resultados experimentales
En el estudio se realizaron las pruebas de contenido de humedad inicial (Mi) y de evaluacion
de las curvas de secado considerando diversos parametros, como la temperatura del aire
de secado, la anisotropıa, el espesor y la madurez de la muestra. Para cada parametro, se
obtuvo una curva de secado y a partir de esta y con la metodologıa de solucion del modelo
fısico−experimental descrita en la Seccion 3.2 se obtuvo el coeficiente de difusividad de
humedad y los coeficientes convectivos de transferencia de calor y masa. Las dimensiones de
las muestras utilizadas fueron 0.3 × 1.5 × 4.0cm3, presentaron una madurez entre los 13 y
23oBx, un Mi entre 83.53 y 85.15% en base humeda y se varıo el espesor de la rebanada
en el intervalo 0.2 a 0.5cm. Las muestras fueron secadas por conveccion natural utilizando
temperaturas de aire de secado en el intervalo de 50 a 70oC con incrementos de 5oC.
4.1.1. Prueba del contenido de humedad inicial de la muestra
El Mi se determino aplicando el procedimiento descrito en la Subseccion 3.2.1. Se encontro el
Mi en intervalo del 83.534 a 85.15 % en base humeda, las muestras presentaron una madurez
entre los 13 y 23oBx. Los valores de las muestras concuerdan con las que se utilizaron en
estudios reportados por Gomez (1981); Desmarais y Marcottes (2002); Jaya y Das (2003) y
Toure y Kibangu (2004). En los estudios reportados el contenido de humedad inicial de las
rebanadas de la pulpa del mango estuvo en el intervalo de 80 a 85% y que al concluir su
proceso alcanzaron una humedad final en el intervalo de 12 a 20%.
4.1.2. Pruebas para evaluar las curvas de secado
Las curvas de secado para rebanadas rectangulares de pulpa de mango Ataulfo se obtu-
vieron siguiendo el procedimiento propuesto en el Apendice C. Las pruebas experimentales
consideraron:
El efecto de la anisotropıa de la fruta debido a la orientacion de sus fibras.
4.1. RESULTADOS EXPERIMENTALES 57
El efecto de la temperatura del secado en el intervalo de 50 a 70oC.
La influencia del espesor de rebanada a secar.
El efecto del estado de madurez de la fruta a secar.
Anisotropıa de la pulpa de mango Ataulfo
Las pruebas de secado se realizaron a dos rebanadas cortadas en diferente direccion (transver-
sal y longitudinal a las fibras) en la pulpa de mango bajo las condiciones indicadas en la
Subseccion 3.2.2, estas se repitieron para diferentes temperaturas de secado. En la Figura
4.1 se muestran las curvas de secado a temperaturas del aire de secado de 60 y 70◦C con
una madurez de 20.2 y 16.5◦Bx, respectivamente. En los resultados, se encontro la incer-
tidumbre promedio maxima al comparar cuantitativamente la curva de secado para un corte
longitudinal y para un corte transversal a las mismas condiciones. Se encontro que para un
temperatura de secado de 70oC con 16.5◦Bx de madurez la incertidumbre promedio maxima
fue del 2.47%, por lo cual se considera que la pulpa del mango Ataulfo tiene un compor-
tamiento isotropico y la orientacion del corte en cuanto a sus fibras tiene efecto despreciable
en la cinetica del secado, por lo tanto, la consideracion de que la difusion de masa y calor es
la misma en todas direcciones se considera ser valida.
Figura 4.1. Efecto de la anisotropıa del mango Ataulfo.
4.1. RESULTADOS EXPERIMENTALES 58
Efecto de la temperatura en las curvas de secado
En la Figura 4.2 se muestran las curvas de secado obtenidas a las mismas condiciones de
madurez (20.2◦Bx), espesor de rebanada (3mm) y geometrıa (rebanada rectangular), para
temperaturas de secado de 50, 60, 65 y 70oC. La temperatura del aire en el secado convectivo
tiene un gran efecto en el comportamiento de las curvas. En los resultados, se observa que
la relacion de la temperatura del secado es inversamente proporcional al tiempo de secado;
este resultado concuerda cualitativamente con lo reportado por: Reyes et al. (2002); Pavon
et al. (2002); Lengyel, (2007); Ortız et al. (2007); Corzo et al. (2008), y Janjai et al. (2008).
Figura 4.2. Curvas experimentales de secado del mango Ataulfo.
Influencia del espesor de la rebanada en la curva de secado
El espesor de la muestra es otro parametro que se considero en el estudio. Para estudiar su
efecto, se obtuvieron las curvas de secado considerando unicamente la variacion en el espesor
de la rebanada y el resto de los parametros fijos. En la Figura 4.3 se muestran los resultados
experimentales obtenidos en tres pruebas de secado de rebanadas de mango Ataulfo de
espesores 3, 4 y 5mm. Se puede observar que existe una relacion de proporcionalidad entre
4.1. RESULTADOS EXPERIMENTALES 59
el espesor de la muestra y la reduccion del contenido de humedad, donde un aumento en
el espesor de la muestra, ocasiona un incremento en el tiempo de secado, mientras que una
disminucion en el espesor de la muestra reduce el tiempo de secado, esto tambien lo reportan
Rahman y Kumar (2007), Ortız et al. (2007) y Dissa et al. (2008).
MR
H=5mm
H=4mm
H=3mm
Figura 4.3. Efecto del espesor de la muestra en la obtencion de la curva del secado de
mango Ataulfo a 60 oC, con 13.2◦Bx.
Las curvas de secado en funcion del espesor de la rebanada se muestran en la Figura 4.3. Se
observa que las curvas tienen la misma tendencia, sin embargo, las pendientes son diferentes
para los 14400 segundos del secado y la diferencia promedio es del 4.5%. Estudios reportados
en la literatura indican que el espesor de la muestra a secar afecta significativamente los
parametros de transporte durante el proceso de secado convectivo.
Rahman y Kumar (2007) reportaron que existe una relacion lineal con respecto al espesor
de la muestra, donde el incremento en el espesor de la muestra provoca un aumento del
coeficiente D y una disminucion en el valor de los coeficientes hm y h∞. Ortız et al. (2007)
encontraron que el espesor es inversamente proporcional a la degradacion del acido ascorbico
existente en rebanadas de mango durante su secado. Lo cual significa que mientras mayor sea
el espesor de la rebanada, menor sera la degradacion de los nutrientes contenidos en la pulpa
4.1. RESULTADOS EXPERIMENTALES 60
del mango. A menor espesor de las rebanadas de mango a secar, su temperatura tendera a
ser mas uniforme en todo el dominio de las rebanadas. Esto debido que al incrementar
el espesor de la rebanada de mango, el tiempo requerido para alcanzar la temperatura del
secado sera mayor y ya no se cumple la suposicion de que la rebanada alcanza la temperatura
del secado casi instantaneamente (Pavon et al. 2002).
Efecto del estado de madurez en la curva de secado
La influencia del estado de madurez del mango Ataulfo se evaluo realizando pruebas de secado
de acuerdo al procedimiento descrito en la Subseccion 3.2.2, en la cual se utilizo muestras
de diferente madurez (13 a 23oBx). Las curvas de secado obtenidas para tres muestras con
espesor de 3mm y diferente grado de madurez se muestran en la Figura 4.4. En los resultados
se encontro que la curva caracterıstica del secado tiene una influencia del estado de madurez
de la fruta, mostrando una relacion inversamente proporcional respecto al tiempo de secado.
Esto puede relacionarse que a mayor madurez de la fruta del mango Ataulfo su pulpa se
vuelve mas viscosa y consistente, incrementando la resistencia a la salida del agua contenida
en la muestra.
Figura 4.4. Efecto del estado de madurez de la muestra en las curvas de secado a 60 oC.
4.1. RESULTADOS EXPERIMENTALES 61
4.1.3. Prueba de los coeficientes convectivos de transferencia de
calor y masa
Los coeficientes convectivos de transferencia de calor (h∞) y masa (hm) se evaluaron de
acuerdo al procedimiento descrito en la Subseccion 3.2.3, en el cual se considero temperaturas
del aire de secado en el intervalo de 50 a 70oC, espesores de rebanada de 2.5, 3.0, 4.0 y 5.0mm
y una madurez entre los 13 y 23oBx. En la Tabla 4.1 se resumen los coeficientes h∞ y hm
y algunos reportados para otros frutos. Los coeficientes h∞ y hm obtenidos en el presente
estudio para el secado de rebanadas de mango de la variedad Ataulfo, se encuentran dentro
del intervalo de valores reportados para otros frutos y diferentes geometrıas. Sin embargo, al
comparar con los valores reportados por Toure y Kibangu (2004) se observa una diferencia
del orden de 10−3 lo cual se atribuye a que son experimentos diferentes. Toure y Kibangu
(2004) realizaron secado solar de una cama de muestras de mango en charolas de 1m2 donde
la temperatura del aire de secado vario en el intervalo de 27 a 37◦C, el proceso duro 15 horas.
Tabla 4.1. Valores caracterısticos del h∞ y hm en el secado.
Muestra Geometrıa Tipo de hm h∞ Autor
secado (m/s) (W/m2-K)
Pastelillos ∗ C. Natural [2.0 − 4.0] × 10−8 ∗ Fahloul et al. 1994
Zanahoria Rodaja C. Forzada 1.37 × 10−7 ∗ Markowski, 1997
Platano Rodaja C. Forzada [0.92 − 6.96] × 10−7 ∗ Queiroz y Nebra, 2001
Papa Cilindro C. Forzada 2.99 × 10−5 ∗ McMinn et al. 2003
Rodaja 1.23 × 10−6
Cebolla Cilindro C. Forzada 2.41 × 10−7 ∗ Dincer y Hussain, 2004
Esferas 2.42 × 10−3
Platano Rodaja C. Forzada 4.0 × 10−7 90 Ranjan et al. 2004
Mango Rodaja Solar 9.74 × 10−3 λ × 5.7 × 10−5 Toure y Kibangu, 2004
Manzana Rodaja C. Natural [4.05 − 5.68] × 10−6 ∗ Demirkol et al. 2006
C. Forzada [6.19 − 7.10] × 10−6
Manzana Rodaja C. Forzada [0.93 − 10.96] × 10−6 4.33 − 96.16 Kaya et al. 2006
Papa Cilindro C. Forzada [2.23 − 4.20] × 10−7 16.62 − 27.46 Rahman y Kumar, 2007
Rebanada [3.51 − 5.20] × 10−7 23.18 − 31.34
Platano Rodaja C. Forzada [0.36 − 4.58] × 10−6 4.65 − 59.33 Kaya et al. 2007a
Calabaza Cilindro C. Forzada [2.97 − 11.09] × 10−7 ∗ Kaya et al. 2007b
Mango Rebanada C. Natural [1.04 −7.55] ×10−6 2.0 −5.0 Presente estudio
1
*Parametro no reportado, λ es el calor latente de vaporizacion.
4.1. RESULTADOS EXPERIMENTALES 62
4.1.4. Prueba del coeficiente de difusividad efectiva
La difusividad de humedad en rebanadas de mango Ataulfo secadas convectivamente se
obtuvo de acuerdo al modelo teorico en 1-D descrito en la Subseccion 3.2.4 que considera
las curvas de secado. El coeficiente de difusividad de humedad efectiva se relaciona como
una funcion de la temperatura absoluta del aire de secado mediante una relacion del tipo
Arrhenius:
D = 3.201 × 10−6 exp
(−Ea
R · Tabs
)m2
s. (4.1)
La energıa de activacion (Ea) para el secado de mango Ataulfo se obtuvo del modelo difusivo
unidimensional descrito por la ecuacion (3.15) y es igual a 23.45 kJ/kmol. La Ea obtenida en
el presente estudio para mango de la variedad Ataulfo secado a conveccion natural, es mayor
que algunos de los valores reportados para otras variedades de mango, esto se puede atribuir
al tipo de secado y al efecto del estado de madurez de la muestra. La pulpa del mango Ataulfo
en estado maduro presenta una consistencia gelatinosa, por lo que se requiere de una mayor
cantidad de energıa para desprender las moleculas de agua en la muestra y evaporarlas.
En la Figura 4.5 se muestra la variacion de la difusividad de humedad durante el secado de
rebanadas de mango Ataulfo como una variacion del recıproco de la temperatura absoluta
del aire de secado. La correlacion del tipo Arrhenius representa adecuadamente la difusividad
que considera las curvas de secado de mango.
4.1. RESULTADOS EXPERIMENTALES 63
y =3.201E-6exp(-2820x)
R2 = 0.976
3.5E-10
4.0E-10
4.5E-10
5.0E-10
5.5E-10
6.0E-10
6.5E-10
0.00288 0.00293 0.00298 0.00303 0.00308
D (m2/s)
1/T (1/K)
Figura 4.5. Modelo difusivo en rebanadas de mango Ataulfo.
El efecto de la temperatura sobre la difusividad de la humedad en rebanadas de mango
Ataulfo durante el secado convectivo se presenta en las Figuras 4.6(a) y (b), donde la di-
fusividad aumenta conforme aumenta la temperatura del secado, mientras que el ln(D)
disminuye casi linealmente con el inverso de la temperatura.
y = 1E-11x - 3E-09R² = 0.9172
4.0E-10
4.5E-10
5.0E-10
5.5E-10
6.0E-10
325 330 335 340 345
D (m2/s)
T (K)
Figura 4.6. Efecto de la temperatura del secado sobre la difusividad efectiva de la
humedad contenida en rebanadas de mango Ataulfo.
En la Tabla 4.2 se muestran los valores caracterısticos para el coeficiente de difusividad de
humedad efectiva en el secado de mango reportados en la literatura. En general los valores
obtenidos en el presente estudio se encuentran en el intervalo de los valores reportados para
frutas y verduras (Madamba et al. (1996); Saravacos y Maroulis (2003); Mujumdar (2006)).
4.2. ESTUDIO PARAMETRICO 64
Tabla 4.2. Valores caracterısticos de la difusividad de humedad en rebanadas de mango.
Variedad Madurez D D0 Ea Autor
(oBx) (m2/s) (m2/s) (kJ/mol)
∗ 48−52 † 65.83 Achariyaviriya -
et al. 2000
Manila ∗ [8.69 − 16.6] × 10−10 [1.916 − 1.989] × 10−7 13.22 − 15.12 Hernandez et al. 2000
Keitt 9 − 10 [3.1 − 14.2] × 10−10 ∗ ∗ Nieto et al. 2001
Manila ∗ [1.22 − 16.6] × 10−10 ∗ ∗ Pavon et al. 2002
Peter 10 − 12 [4.72 − 14.2] × 10−10 [2.04 − 25.2] × 10−8 9.74 - 15.16 Alakali et al. 2006
Keitt 8 [3.27 − 25.8] × 10−9 6.44 × 10−2 46.46 Ocampo, 2006
Raw ∗ [2.62 − 4.39] × 10−10 ∗ ∗ Goyal et al. 2006
∗ ∗ [2.6 − 12] × 10−9 ∗ ∗ Jaya y Das, 2007
Alphonso ∗ [7.29 − 35.1] × 10−9 ∗ ∗ Rajkumar et al. 2007a;
Alphonso 19.1 ± 0.4 [5.3 − 9.7] × 10−9 ∗ ∗ Rajkumar et al. 2007b
Nam Dok Mail ∗ [8.85 − 19.4] × 10−10 3.0 × 10−10 20.72 Janjai et al. 2008
Hilacha ∗ [1.74 − 3.28] × 10−10 [5.6 − 112] × 10−9 8.7 - 22.3 Corzo et al. 2008
Amelie ∗ [1.04 − 4.05] × 10−9 1.0031 × 10−3 25.355 Dissa et al. 2008
Ataulfo 13 −23 [4.41 −5.95] ×10−10 3.201 ×10−6 23.45 Presente estudio
Frutas ∗ [1.0 − 100] × 10−11 ∗ ∗ Madamba et al. 1996;
Mujumdar, 20062 *Parametro no reportado. † −4.29M2 + 275.7M − 2485.7
4.2. Estudio parametrico
En esta seccion, se presenta el estudio parametrico de una rebanada de mango considerando
fronteras convectivas en las cuatro superficies. Para tal efecto, se considera que en las cuatro
fronteras los coeficientes hm y h∞ tienen el mismo comportamiento. El estudio comprende
evaluar la historia del contenido de humedad y de la temperatura en una rebanada de mango
durante el secado mediante la solucion del modelo fısico−teorico bidimensional, descrito en
la Seccion 3.1. En este estudio, se resolvio el modelo fısico−teorico utilizando el codigo
numerico desarrollado en Fortran considerando convectivas las tres fronteras que se habıan
considerado aisladas en la validacion. El estudio parametrico consiste en simular el secado de
una rebanada de mango Ataulfo variando la temperatura del aire de secado en el intervalo
de 50 a 70oC, con incrementos de 5oC.
4.2. ESTUDIO PARAMETRICO 65
En la Tabla 3.5 de la Seccion 3.3 se muestran los valores de los parametros que se le suminis-
traron al codigo. El efecto del incremento de la temperatura del aire de secado en las curvas
de secado se muestran en la Figura 4.7. En la grafica se presenta que la historia del contenido
de humedad adimensional en el centro de la rebanada cambia conforme la temperatura del
aire de secado se incrementa, reduciendose el tiempo de secado.
MR
t (s)
95% de humedad removida
T = 50oC
T = 55oC
T = 60oC
T = 65oC
T = 70oC
Figura 4.7. Curvas de secado simuladas.
En la Tabla 4.3 se muestra el tiempo requerido para reducir en un 95% el contenido de
humedad de la rebanada. Tambien, se muestra que el incremento de la temperatura de
secado en 5oC resulta en un decremento promedio del tiempo de secado de 500s, denotando
una relacion del tipo lineal entre la temperatura del aire de secado y el tiempo de secado.
4.2. ESTUDIO PARAMETRICO 66
Tabla 4.3. Reduccion del contenido de humedad de la rebanada en un 95 %.
t (s) T∞ (oC) MRevaporada (%)
7740 50 95
7130 55 95
6600 60 95
6140 65 95
5740 70 95
En la Figura 4.8 se muestra la historia de la temperatura al centro de la rebanada simulada
para cada una de las temperaturas del aire de secado.
T (oC)
t (s)
T∞ = 50oC
T∞ = 55oC
T∞ = 60oC
T∞ = 65oC
T∞ = 70oC
Figura 4.8. Curvas de temperatura simuladas al centro de la rebanada.
En las Figuras 4.7 y 4.8 se muestra que durante un breve tiempo la rebanada se calienta
con un ligero decremento del contenido de humedad. Posteriormente, la rebanada continua
calentandose e inicia la evaporacion de la humedad a una tasa de secado mayor. Luego, la
tasa de secado disminuye cuando la temperatura de la rebanada es cercana a la temperatura
4.2. ESTUDIO PARAMETRICO 67
del aire de secado. El proceso continua mas lentamente debido a que los gradientes de
temperatura en la rebanada son poco considerables. Finalmente, el proceso termina cuando
las presiones de vapor de la humedad en el interior de la rebanada se igualan a las presiones
de vapor del aire. El contenido de humedad de la rebanada a 10000s es inferior al 2% y
la distribucion del contenido de humedad en la rebanada se considera uniforme debido a
que los gradientes internos de humedad son poco considerables. Los tiempos a los cuales
la temperatura de la rebanada alcanza el 99% de la temperatura del aire de secado varıan
en el intervalo de 5040 a 5170s como se indica en la Tabla 4.4. Tambien, se muestra que
el incremento de la temperatura de secado en 5oC resulta en un incremento promedio del
tiempo de secado de 33s, denotando una relacion del tipo lineal entre la temperatura del aire
de secado y el tiempo de secado.
Tabla 4.4. Tiempo en que la temperatura de la muestra alcanza el 99 % de la
temperatura del aire de secado.
t (s) T∞ (oC) Tmuestra (oC)
5040 50 49.50
5090 55 54.45
5120 60 59.40
5150 65 64.35
5170 70 69.30
El codigo numerico desarrollado tambien permite obtener los campos bidimensionales de
temperatura y humedad en una rebanada de mango secada convectivamente. En la Figura
4.9 se muestra a 600, 1,200, 3,600, 7,200, 10,800 y 14,400s los campos del contenido de
humedad adimensional en la rebanada.
4.2. ESTUDIO PARAMETRICO 68
x (m)
x (m)
x (m)
x (m)
x (m)
x (m)
y (m)
y (m)
y (m)
y (m)
y (m)
y (m)
600 s
1200 s
3600 s
7200 s
10800 s
14400 s
Figura 4.9. Distribucion del contenido de humedad adimensional en una rebanada de
mango secada a 60oC a traves de sus cuatro fronteras.
4.2. ESTUDIO PARAMETRICO 69
Las distribuciones del contenido de humedad adimensional de la Figura 4.9 muestran que los
gradientes de humedad del interior de la rebanada hacia sus fronteras son altos, del orden
de [1− 2]× 10−1 durante la primera hora del secado. Conforme el proceso de secado avanza,
los gradientes de humedad disminuyen en la rebanada y en el tiempo. Los gradientes de
humedad del interior de la rebanada hacia sus fronteras son del orden de 1 × 10−3 a 10800s
(3h), y al final del proceso de secado (despues de los 14400s) los gradientes son del orden de
1 × 10−4. El secado de la rebanada es mas rapido en la proximidad de las fronteras debido
a que los gradientes de humedad son mayores en esa region que en el centro de la rebanada.
En la Figura 4.10 se muestran los campos de temperaturas simulados en la rebanada a 600,
1200, 3600, 7200, 10800 y 14400s, estos corresponden a los mismos tiempos de los campos de
humedad de la Figura 4.9. Las distribuciones de la temperatura de la rebanada revelan que la
temperatura promedio de la rebanada aumenta progresivamente durante la primera hora del
proceso de secado debido a que los gradientes de temperatura entre la rebanada y el aire de
secado son altos (en el intervalo de 1.87×10−2 a 5.35×10−3oC). Los gradientes de temperatura
entre la rebanada y el aire de secado disminuyen considerablemente despues de la primera
hora del secado. Durante la segunda y tercera hora del secado, los gradientes de temperatura
en el interior de la rebanada son del orden de 5.07 × 10−4 a 3.17 × 10−5oC. Despues de la
tercera hora de secado, las distribucion de temperatura en la rebanada es aproximadamente
constante debido a que el espesor de la rebanada es pequeno en comparacion con su ancho
y longitud, provocando que los gradientes de temperatura en el interior de la rebanada sean
pequenos (del orden de 1 × 10−6oC).
4.2. ESTUDIO PARAMETRICO 70
x (m)
x (m)
x (m)
x (m)
x (m)
x (m)
y (m)
y (m)
y (m)
y (m)
y (m)
y (m)
600 s
1200 s
3600 s
7200 s
10800 s
14400 s
Figura 4.10. Distribucion de la temperatura en una rebanada de mango secada a 60oC
a traves de sus cuatro fronteras.
4.2. ESTUDIO PARAMETRICO 71
En los resultados numericos de las Figuras 4.9 y 4.10 se observan distribuciones simetricas
variables del contenido de humedad adimensional y de la temperatura en la rebanada de
mango debido a que las cuatro condiciones de frontera son iguales. Tambien, Oztop y Akpinar
(2007) reportaron que las distribuciones del contenido de humedad en rebanadas de papa y
manzana fueron simetricas debido a que utilizaron mismas condiciones de frontera para la
humedad y la temperatura con valores constantes para los coeficientes hm y h∞. En la Tabla
4.5 se presentan los gradientes promedios del contenido de humedad y de la temperatura
simulados en la rebanada (entre el interior de la rebanada y las fronteras) y en el tiempo
(tiempo actual y el tiempo anterior) hasta aproximarse al estado permanente.
Tabla 4.5. Gradientes promedios de humedad y temperatura.
Tiempo (s) Gradientes promedios de humedad Gradientes promedios de temperatura (◦C)
En la rebanada (oC/m2) En el tiempo (oC/s) En la rebanada (oC/m2) En el tiempo (oC/s)
0 0 0 0 0
600 0.2 1.33 × 10−3 0.2 41.87 × 10−2
1200 0.2 3.33 × 10−4 0.2 1.63 × 10−2
3600 0.05 1.67 × 10−4 0.05 5.35 × 10−3
7200 0.01 4.72 × 10−5 0.005 5.07 × 10−4
10800 0.001 1.00 × 10−5 0.005 3.17 × 10−5
14400 0.0005 8.33 × 10−7 0.00001 2.78 × 10−6
Capıtulo 5
Conclusiones generales y
recomendaciones para trabajos
futuros
En este capıtulo, en la Seccion 5.1 se presentan las conclusiones alcanzadas en el estudio
bidimensional de la transferencia de calor y masa en una rebanada de mango de la variedad
Ataulfo durante el secado convectivo y en la Seccion 5.2 se describen las recomendaciones
para trabajos futuros.
◭
72
5.1. CONCLUSIONES GENERALES 73
5.1. Conclusiones Generales
A continuacion se listan las conclusiones generales del estudio bidimensional de la trans-
ferencia de calor y masa en rebanadas de mango Ataulfo durante su proceso de secado a
conveccion natural.
1. Se desarrollo un modelo fısico−teorico bidimensional para estudiar la transferencia de
calor y masa en una rebanada de mango mediante las ecuacion de difusion de calor y
la ecuacion de difusion de masa acopladas. El modelo considero una rebanada humeda,
simulada con geometrıa rectangular, secada convectivamente y parametros obtenidos
experimentalmente.
2. Se desarrollo un codigo numerico en Fortran para resolver las ecuaciones del modelo
fısico−teorico y se valido comparando la curva de secado y la historia de la temperatura
simuladas al centro de una rebanada con las curvas obtenidas experimentalmente.
3. Se desarrollo un procedimiento experimental que permite evaluar el contenido de
humedad inicial, la historia de la temperatura al centro de la rebanada y las cur-
vas caracterısticas del secado de rebanadas de pulpa de mango Ataulfo. Lo anterior
se utiliza para validar la solucion del modelo teorico y para obtener los valores de
los coeficientes D, hm y h∞, que fueron en el intervalo de [4.41 − 5.95] × 10−10m2/s,
[1.04 − 7.55] × 10−6m/s y de 2.5 a 5.0W/m-K, respectivamente.
4. De los resultados experimentales se encontro que:
a) Al utilizar muestras con una madurez entre los 15 y 20oBx presentan un contenido
de humedad inicial entre el 83 y 85% en base humeda y una mejor calidad en
cuanto al color y aroma de la muestra seca.
b) La pulpa de mango Ataulfo mostro un comportamiento isotropico con una incer-
tidumbre experimental promedio del 2.47%.
c) El reducir el espesor de la muestra en 1mm aumenta la tasa del secado promedio
en un 4.5%,
5.1. CONCLUSIONES GENERALES 74
d) Al incrementar el grado de madurez, la tasa del secado promedio disminuye el
8% por cada grado Brix.
5. Cualitativamente el modelo fısico−teorico concuerda bien con los resultados experi-
mentales en la prediccion del contenido de humedad y de la temperatura. Cuantitati-
vamente se encontro una diferencia maxima del 7.45% en el contenido de humedad y
de 8.07% (3.65oC) en la comparacion de la temperatura al centro de la rebanada.
6. Del estudio parametrico del secado convectivo de rebanadas rectangulares de pulpa
de mango, considerando incrementos en la temperatura del aire de secado de 5◦C se
concluye lo siguiente:
a) El modelo desarrollado predice la curva caracterıstica del secado convectivo de
una rebanada de mango Ataulfo, ası como el tiempo de secado.
b) Al comparar el tiempo requerido para que la temperatura de la rebanada alcan-
zara el 99% de la temperatura del aire de secado, se encontro una relacion del
tipo lineal entre ambas temperaturas. Se consideraron incrementos de 5oC en la
temperatura del aire de secado, los cuales resultaron en un incremento promedio
del tiempo de secado de 33s.
c) El tiempo y la energıa que se requieren para evaporar el 80% del contenido de
humedad en la rebanada es 0.75 veces el tiempo y energıa requeridos para eliminar
el 20% restante.
d) Los gradientes de temperatura y humedad son mayores en las fronteras de la
rebanada que en su interior, debido a que en las fronteras la transferencia de calor
y masa por conveccion-evaporacion es mayor que la transferencia de calor y masa
por difusion.
e) Las distribuciones de temperatura y humedad inıciales en la rebanada son cons-
tantes pero, cuando el proceso de secado inicia, se presentan altos gradientes de
temperatura y bajos gradientes de humedad durante un breve lapso de tiempo,
posteriormente, los gradientes de humedad en la rebanada y en el tiempo incre-
mentan siendo de mismo orden que los gradientes de temperatura. Los gradientes
5.2. RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS 75
de temperatura y humedad en la rebanada y en el tiempo disminuyen considera-
blemente cuando en el proceso de secado se ha eliminado el 80% del contenido
de humedad.
5.2. Recomendaciones para trabajos futuros
Con la finalidad de mejorar el modelo de transferencia de calor y masa en rebanadas de
mango durante el proceso de secado, se sugiere complementar el presente modelo con:
1. Reescribir el codigo considerando el uso de otros sistemas coordenados para modelar
la transferencia de calor y masa en 2-D en rebanadas humedas con distinta geometrıa.
2. Acoplar el modelo del fenomeno hidrodinamico (ecuaciones de Navier-Stokes y ecuacion
de la energıa) para considerar no solo la rebanada de mango, sino tambien el fluido de
secado y la interfase rebanada-aire de secado.
3. Considerar el efecto del encogimiento de la rebanada en el contenido de humedad.
4. Proponer un coeficiente de secado que dependa de la madurez de la fruta en el proceso
de secado.
5. Optimizar el uso de la energıa utilizada en el secado mediante variacion en el tiempo
de la temperatura del aire de secado.
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Glosario de terminos
Actividad acuosa o actividad del agua (aw): representa el grado de interaccion
del agua con los demas constituyentes de la muestra. Es una propiedad intrınseca de
cada alimento y unicamente se relaciona con el contenido de humedad global de dicho
alimento por medio de las llamadas curvas o isotermas de adsorcion−desorpcion, por
esta razon, es muy importante no confundir la actividad acuosa con el contenido de
agua ya que la relacion no es lineal y por ende no significan lo mismo. Y ası con
base en este valor se puede predecir la estabilidad de un alimento. En general, las
frutas tienen un valor promedio de 0.983, las hortalizas de 0.985 y la carne de 0.990,
contrariamente a estos, los productos deshidratados van de aproximadamente 0.4 a 0.6,
mientras que los llamados alimentos de humedad intermedia se ubican entre estos dos
grupos extremos. Los enlatados tambien presentan valores elevados, normalmente en
el intervalo de 0.950 a 0.984. El producto seco tendra una actividad de agua maxima
de 0.47 a 25oC. Entonces, la actividad del agua (aw): es la relacion entre la presion de
vapor del agua, cuando el material alcanza el equilibrio a la temperatura indicada, y
la presion del vapor del agua a la misma temperatura.
aw =pf
p0
=φeq
100
donde pf es la presion de vapor del agua en el producto; p0 es la presion de vapor del
agua pura; y φeq es la humedad relativa de equilibrio de la solucion de sal saturada.
Calor especıfico a presion constante: El calor especıfico o capacidad termica es-
pecıfica Cp es el calor Q que hay que suministrar o sustraer de una masa m para
cambiar su temperatura en T2 − T1.
Cp =Q
T2 − T1,
91
GLOSARIO DE TERMINOS 92
naturalmente el calor especıfico del agua es 1 y el del mango esta en el intervalo de
3.61 a 3.795kJ/kg-K (Rajkumar et al. 2007; Varith et al. 2007).
Coeficiente de difusividad efectiva: El coeficiente de difusion D es una propiedad
del material a secar, el cual es afectado principalmente por la temperatura del proceso,
la composicion, forma y espesor de la muestra. El concepto de difusividad efectiva de
humedad, permite describir el transporte de la humedad contenida en la rebanada a
secar hacia su superficie mediante la ecuacion de difusion de Fick. Para ello es necesario
disponer de las curvas de secado del fruto obtenidas experimentalmente, las cuales
muestran la reduccion del contenido de humedad de la muestra durante el proceso de
secado. El coeficiente de difusion de humedad en objetos solidos humedos durante su
proceso de secado es frecuentemente determinado de soluciones analıticas para objetos
con forma regular (rebanadas, cilindros, etc.) con condiciones inicial y de frontera,
apropiadas (Rahman y Kumar, 2006).
Contenido de humedad: Es el porcentaje (en base humeda) del agua contenida en
la pulpa de mango y se mide en proporcion al peso total de la muestra. Este es uno de
los factores claves para la calidad del mango. El contenido de humedad es interpretado
en dos formas:
Base seca( %) =Peso de agua contenida
Peso Seco× 100
Base humeda( %) =Peso de agua contenida
Peso antes de secar× 100
Generalmente hablando, el contenido de humedad en base de humeda se usa para
expresar el contenido de agua en una muestra, en este caso de la pulpa de mango.
Normalmente al hablar del contenido de humedad de un alimento se refiere a toda el
agua en forma global, sin considerar que en la mayorıa de los productos existen zonas
o regiones microscopicas que debido a una alta acumulacion de lıpidos no permiten
su presencia y la obligan a distribuirse en forma heterogenea. Del agua contenida
en un alimento dependen las propiedades reologicas y de textura, pero tambien es
responsable en gran medida de las reacciones quımicas, enzimaticas y microbiologicas,
que son las tres principales causas del deterioro de un producto. Existen metodos
GLOSARIO DE TERMINOS 93
para determinar el contenido de humedad, que se basan sobre distintos principios
de operacion, entre ellos estan: Gravimetrıa; Microondas; Resistividad; Capacitancia;
Coulometrıa; Espectroscopica; infrarroja, etc.
Contenido de humedad inicial: Es la humedad que tiene el mango en fresco, la
cual depende del momento de cosecha. La cosecha se debe realizar cuando la fruta se
encuentre proxima a su grado de madurez (la cantidad de SST que debe presentar la
pulpa del fruto de mango Ataulfo al momento del corte, puede ser entre los 6 y 8oBx
en el caso de ser sometido a un proceso de maduracion, o tener entre los 15 y 18oBx
cuando su proceso de maduracion ha sido de forma natural en el arbol). Un exceso de
humedad en la fruta requiere mayor tiempo de secado e incluso una mayor temperatura
y velocidad de aire de secado, la desventaja de cortarlo en verde (muy antes de su inicio
de madurez) es que durante el proceso de secado la fruta podrıa perder sus propiedades
debido al exceso de humedad que sera removida.
Contenido de humedad final: Se define como la humedad que presentara la muestra
despues de secarlo, esta depende del tipo de uso que se hara a este producto o si se
requiere almacenarlo, ya que de no ser ası podrıan presentarse las condiciones para que
se desarrollen bacterias y hongos. Para el caso frutas como producto seco (entre ellas
el mango), debera presentar un contenido de humedad no mayor al 14% para evitar
la actividad microbiana (Lengyel, 2007).
Contenido de humedad de equilibrio: El agua (humedad) contenida en los pro-
ductos, ejerce una presion de vapor que varıa segun el tipo de material y su contenido
de humedad. Cuando la presion de vapor de la muestra es igual a la presion de vapor en
el aire circundante, la humedad del material es conocida como contenido de humedad
de equilibrio, y la humedad relativa del aire, como humedad relativa de equilibrio. La
humedad de equilibrio de la fruta se define como el contenido de humedad que alcanza
la fruta despues de haber sido expuesta a un ambiente controlado de humedad rela-
tiva y temperatura constantes durante un largo perıodo de tiempo. La humedad de
equilibrio es dependiente de la humedad y temperatura ambiente, de la madurez de
la fruta y de la variedad. La operacion de secado es una operacion de transferencia
GLOSARIO DE TERMINOS 94
de masa de contacto gas-solido, donde la humedad contenida en el solido se transfiere
por evaporacion hacia la fase gaseosa, en base a la diferencia entre la presion de vapor
ejercida por el solido humedo y la presion parcial de vapor de la corriente gaseosa.
Cuando estas dos presiones se igualan, se dice que el solido y el gas estan en equilibrio
y el proceso de secado cesa.
Deshidratador: Un deshidratador o secador de alimentos es una maquina o aparato
que tiene la funcion de secar un alimento mediante la remocion de la humedad desde el
interior de la muestra hacia su superficie y de ahı hacia el aire circundante, en algunos
casos esta equipado con la instrumentacion necesaria para llevar a cabo el monitoreo
del proceso. Existe una diversidad de secadores, los cuales pueden ser clasificados: de
acuerdo a la aplicacion; al uso de ciertas condiciones particulares que se aplican en
ellos; la cantidad de fruta a secar; el tipo de energıa que utilizan, etc., entre ellos se
encuentran: los de tipo artesanal; industrial; de laboratorio; de conveccion forzada; de
velocidad constante; de velocidad fija; de cama fija; de flujo paralelo; de flujo cruzado;
de flujo perpendicular; de flujo concurrente; solares; de gas LP; electricos; de alta
temperatura; de baja temperatura, entre otros.
Grado de madurez de la fruta: El grado de madurez o cantidad de solidos solu-
bles se mide en grados Brix (◦Bx) o en porcentaje mediante un refractometro. 1oBx
corresponde a 1g de azucar en 100g de solucion azucarada (los azucares conforman el
90% de los solidos solubles totales (SST)). Para el caso del mango, el valor mınimo
requerido al momento del corte de la fruta (cosecha) es de 7.3oBx y se estima que dicho
valor se incrementa hasta 19.2oBx a los 15 dıas de anaquel (CIAD, 2005). De acuerdo
a Robles et al. (2007), el estado de madurez optimo del mango Ataulfo destinado a su
procesamiento mınimo es cuando el fruto presenta el 9.6% de SST o 9.6oBx.
Humedad Absoluta: El aire generalmente contiene humedad en forma de vapor de
agua, la proporcion de vapor contenida en una cierta masa de aire se llama “humedad
absoluta”.
Humedad absoluta =Vapor de agua
aire
GLOSARIO DE TERMINOS 95
Humedad absoluta saturada: Se dice que el aire se satura cuando la cantidad de
vapor de agua aumenta a tal punto que el aire no pueda absorber mas vapor. La
humedad absoluta saturada varıa de acuerdo a la temperatura. Puede considerarse
que este es un termino mal aplicado, ya que es el vapor de agua en el aire, y no el aire
mismo, el que se encuentra saturado.
Humedad saturada =Vapor de agua
aire
Humedad relativa: La proporcion de la humedad absoluta y la humedad absoluta
saturada es denominada humedad relativa. Si la humedad relativa del aire es menor
del 100%, significa que el aire puede aun contener mas vapor de agua. Cuando el aire
de una temperatura dada es calentado, aumenta la humedad saturada, dando como
resultado que la humedad relativa baje y haya mayor lugar para el vapor de agua.
Por el contrario, la humedad saturada baja cuando el aire es enfriado. La humedad
relativa alcanza el 100% si durante el enfriamiento la humedad saturada se iguala a la
humedad absoluta, y por lo tanto, no hay lugar par inducir mayor cantidad de vapor
de agua. Si se enfrıa mas el aire, el exceso de vapor de agua es expulsado del aire en
forma de rocıo, a fin de mantener el balance entre humedad absoluta y la humedad
absoluta saturada.
Humedad relativa =Humedad absoluta
Humedad saturada
Humedad relativa del aire de secado: Este parametro es inversamente proporcional
a la capacidad de absorber vapor de agua de la muestra a secar. Se define como el
cociente de la presion parcial del vapor en una mezcla entre la presion de saturacion a
la misma temperatura del bulbo seco de la mezcla. Se utiliza para indicar el porcentaje
de vapor de agua que esta presente en una mezcla de aire, vapor y agua insaturada.
Cuando la fruta a secar entra en contacto con aire seco, se seca rapidamente, mientras
que si la fruta entra en contacto con aire humedo se seca mas lentamente.
La cantidad de vapor de agua que puede ser contenida en una cierta cantidad de
aire tiene un lımite, el cual se determina por medio de la temperatura ambiental. Si la
temperatura aumenta, la cantidad maxima de vapor que el aire puede contener aumenta
GLOSARIO DE TERMINOS 96
proporcionalmente. Entonces el calentar el aire de secado aumentara la capacidad de
retencion del vapor de agua, o en otras palabras la capacidad de secado aumentara.
Los secadores de aire calentado funcionan bajo esta caracterıstica del aire de secado.
Mango: El mango (Manguifera Indica L.) es la fruta fresca, madura, sana, limpia que
ha sido cortado del arbol para su consumo o procesamiento. Baez y Brigas en 1995
reportan la norma mexicana de calidad para el mango fresco, tambien Filipinas cuenta
con una norma que tiene el proposito de garantizar la calidad de la fruta de mango
fresca (BAFPS, 2004).
Muestra: La muestra indica cualquier objeto o substancia humeda que tiene como
finalidad el consumo humano, por ejemplo: fruta, vegetales, etc. En este trabajo, se
define a una rebanada rectangular de pulpa de mango Ataulfo como la muestra a ser
secada.
Presion de saturacion: Tambien conocida como presion de vapor, es la presion a la
que a cada temperatura la fase lıquida y vapor se encuentran en equilibrio dinamico,
su valor es independiente de las cantidades de lıquido y vapor presentes mientras exis-
tan ambas. En la situacion de equilibrio, las fases reciben la denominacion de lıquido
saturado y vapor saturado.
Temperatura de la muestra T (t): Es la temperatura que presenta la muestra du-
rante el proceso de secado.
Temperatura inicial de la muestra Ti: Es la temperatura que presenta la muestra
al momento en que inicia el proceso de secado, es decir, en t = 0s.
Temperatura de secado: Es aquella temperatura del aire circundante a la muestra, a
la cual se llevara a cabo el proceso de secado, donde, el objeto cambiara su temperatura
inicial a la temperatura de secado. De acuerdo a Mohamed et al. (2006) y Lengyel
(2007) la temperatura de secado tiene efectos importantes sobre las propiedades de
la fruta a secar (organolepticas, mecanicas, termo-fısicas y biologicas). Por ejemplo, a
temperaturas menores de 50oC los solidos solubles de la fruta comienzan a caramelizarse
y la oxidacion es mayor, otros estudios han reportado que las altas temperaturas de
GLOSARIO DE TERMINOS 97
secado causan reduccion en las propiedades mecanicas del objeto a secar (mayores a
80oC), reducen el tiempo de secado y no se observan cambios en el color del producto
debido a la oxidacion. Mohamed et al. (2006) reporto que la temperatura optima de
secado solar de mango de la variedad Kitchener fue de 70oC alcanzando un contenido de
humedad final en el producto igual al 10%. Debe tomarse en cuenta que la temperatura
puede afectar la estructura interna y quımica de las rebanadas de mango a secar,
con lo cual el producto final puede adquirir una estructura quebradiza al perder sus
propiedades mecanicas y sus contenidos nutricionales debido a una elevada temperatura
de secado. El cambio en la temperatura del aire de secado es directamente proporcional
al tiempo del proceso secado y a la perdida del contenido de humedad de la muestra
a secar. Por otro lado, al calentar el aire de secado se incrementa su capacidad de
absorcion de agua.
Temperatura de bulbo humedo (Tbh): o Temperatura humeda, es la temperatura
que da un termometro a la sombra con el bulbo envuelto en una mecha de algodon
humedo, bajo una corriente de aire. Es la temperatura en equilibrio alcanzada por
una superficie de evaporacion, ocurre cuando la velocidad de calor transferido a la
superficie por conveccion es igual al calor perdido por evaporacion. Al evaporarse el
agua, absorbe calor, rebajando la temperatura, efecto que reflejara el termometro.
Cuanto menor sea la humedad relativa ambiente, mas rapidamente se evapora el agua
que empapa el pano. Esta temperatura depende de la temperatura y humedad del aire
utilizado para la evaporacion, por esta razon se emplea como instrumento de medida.
Las temperaturas de bulbo humedo aparecen como lıneas diagonales en la grafica al
igual que las entalpıas especıficas y los volumenes especıficos.
La temperatura de bulbo seco (Tbs): La temperatura de bulbo seco se corresponde
con la temperatura ambiental tal y como se mide normalmente. Es decir, en un lugar
sombrıo y al abrigo de corrientes de aire y con un termometro de mercurio o alcohol.
El bulbo del termometro se mantiene directamente al aire. Para ubicar un punto en el
grafico psicrometrico, primero se halla la temperatura de bulbo humedo en el grafico
desde la lınea de saturacion, luego se baja hasta encontrar la Temperatura de bulbo
GLOSARIO DE TERMINOS 98
seco. Desde este punto se puede hallar la humedad absoluta, humedad relativa, entalpıa
especıfica y volumen especıfico del gas.
Velocidad del secado: Los estudios del secado o deshidratacion de frutas coinci-
den en que la desorpcion (perdida de humedad), obedece a cambios en la velocidad
de secado perfectamente definidos y que se pueden clasificar en tres etapas: perıodo
de atemperado, perıodo de velocidad constante y secado decreciente. El efecto de la
velocidad del aire de secado convectivo, no es significante, lo cual se puede explicar
considerando que una mayor velocidad de aire produce una mayor temperatura en las
muestras (Ortız et al. 2007). La velocidad del aire de secado es un parametro que varıa
de acuerdo al tipo de alimento a secar. Estudios previos han reportado velocidades
de secado de rebanadas de mango de hasta 2.5m/s (Ruiz y Garcıa, 2007). No se ha
reportado un rango de velocidad para el proceso de secado de rebanadas de mango, en
el cual, el efecto de la deformacion en la rebanada ocasionado por el flujo paralelo de
aire pueda despreciarse.
Apendice A
Deduccion del modelo teorico
El fenomeno que se estudia en este trabajo, es la transferencia de calor y casa bidimensional
en una rebanada rectangular de mango Ataulfo durante el proceso de secado a conveccion
natural, considerando al espesor y longitud para poder predecir la temperatura y contenido
de humedad del producto en cualquier instante de tiempo.
Modelado en la interfase fluido-solido
La conductividad termica efectiva y la difusividad de humedad efectiva estan relacionadas
a la transferencia interna de calor y masa, respectivamente, mientras que los coeficientes de
transferencia de calor y masa en el aire de la frontera estan relacionados a la transferencia
externa de calor y masa, respectivamente.
Coeficientes de transferencia de calor y masa en la interfase
El coeficiente de transferencia de calor en la interfase esta relacionado al coeficiente de
transferencia de calor a traves de una relativa capa estancada del aire caliente que fluye, el
cual se supone estar adherido a la superficie del solido durante el secado. Esto podrıa ser
definido como un factor de proporcionalidad en la ecuacion de enfriamiento de Newton:
Q = h∞A(T − T∞) (A.1)
99
100
donde h∞(W/m2K) es el coeficiente de transferencia de calor superficial en la interfase
aire−material, Q(W) es la tasa de transferencia de calor, A(m2) es el area efectiva superficial,
T (K) es la temperatura del solido en la interfase, T∞(K) es la temperatura del aire.
Por analogıa se define al coeficiente de transferencia de masa en la superficie como:
J = hmA(MS − M∞) (A.2)
donde hm(kg/m2s) es el coeficiente de transferencia de masa superficial en la interfase
aire−material, J(kg/s) es la tasa de transferencia de masa, A(m2) es el area efectiva su-
perficial, M∞(kg/kg) es la humedad del aire, y MS(kg/kg) es la humedad del solido en la
interfase.
Evaporacion en la superficie
En algunos casos las condiciones de frontera relacionan la tasa de transferencia de la sustancia
que se difunde a traves de la superficie del medio. De esta manera, si una corriente de
aire seco pasa sobre la superficie de un solido humedo, ocurrira perdida de humedad por
evaporacion en la superficie. Similarmente, si el solido esta inicialmente seco y el aire contiene
vapor de agua, el solido toma humedad. En cada caso la tasa de intercambio de humedad a
cualquier instante depende de la humedad relativa del aire y de la concentracion de humedad
en la superficie del solido. La suposicion mas razonable es que la tasa de intercambio es
directamente proporcional a la diferencia entre la concentracion actual M en la superficie
a cualquier tiempo y la concentracion M∞ o Me a la cual podrıa estar en equilibrio con la
presion de vapor en la atmosfera lejos de la superficie. Matematicamente esto significa que
la condicion de frontera en la superficie es:
− D∂M
∂x= hm(M − Me), x = 0 (A.3)
donde hm es la constante de proporcionalidad conocida como coeficiente de transferencia de
masa y es caracterıstico del fluido.
101
La difusion en solidos durante el secado es un proceso complejo puede involucrar: difusion
molecular; flujo capilar; flujo de Knudsen; flujo hidrodinamico, o difusion superficial. Si
combinamos todos estos fenomenos en uno, es posible definir la difusividad efectiva a partir
de la Segunda Ley de Fick (ecuacion A.19) (Crank 1975; Feng et al. 2000). La transferencia
de humedad en un medio heterogeneo, puede ser analizada convenientemente por medio de
la Segunda Ley de Fick aplicada a materiales homogeneos, en los cuales la heterogeneidad
del material es tomada en cuenta por el uso de una difusividad efectiva (Mujumdar, 2006).
Factores que afectan la difusividad de humedad
La difusividad de humedad depende de la temperatura y del contenido de humedad. La
dependencia de la temperatura puede ser generalmente descrita por la ecuacion de Arrhenius1
, la cual toma la forma:
D = D0 exp (−Ea/RT ) (A.4)
donde D0(m2/s) es el factor preexponencial de Arrhenius, Ea(kJ/kmol) es la energıa de
activacion para la difusion, R(kJ/mol-K) es la constante universal del gas ideal y T (K)
es la temperatura absoluta (Srikiatden y Roberts, 2006). Mientras que la dependencia del
contenido de humedad puede ser introducida en la ecuacion de Arrhenius mediante la con-
sideracion de la energıa de activacion o el factor de Arrhenius como una funcion empırica
de la humedad. Ambas modificaciones pueden ser consideradas simultaneamente. Pueden
utilizarse otras ecuaciones empıricas que no sean basadas en la ecuacion de Arrhenius.
Balance de energıa en el interior de la rebanada
Para la obtencion de la ecuacion de difusion de energıa en forma de calor dentro de la
rebanada de mango durante el proceso de secado, se hace un balance de energıa en un
volumen de control representativo como se ilustra en la figura A.1.
1 La ecuacion de Arrhenius es una expresion matematica que ayuda a comprobar la dependencia dela constante de velocidad (o cinetica) de una reaccion con la temperatura a la que se lleva a cabo esareaccion[Enciclopedia Wikipedia].
102
Figura A.1. Volumen de control para deducir la ecuacion de difusion de calor.
Sea J el flujo de energıa (la densidad de corriente de energıa o energıa por unidad de area y
por unidad de tiempo), que se establece en la rebanada debido a la diferencia de temperaturas
entre dos puntos de la misma. La ley de Fourier afirma que hay una proporcionalidad entre
el flujo de energıa J y el gradiente de temperatura.
J = k∂T
∂x(A.5)
donde k es la propiedad caracterıstica del material denominada conductividad termica.
Considerando la direccion x de la rebanada con longitud dx y seccion S. La energıa que entra
en el elemento de volumen en la unidad de tiempo es JS, y la que sale es J ′S. La energıa
del elemento cambia, en la unidad de tiempo, en una cantidad igual a la diferencia entre el
flujo entrante y el flujo saliente:
JS − J ′S = −k∂J
∂xSdx (A.6)
dicha energıa, se emplea en cambiar la temperatura del elemento. La cantidad de energıa
absorbida o cedida (en la unidad de tiempo) por el elemento es igual al producto de la masa
de dicho elemento por el calor especıfico y por la variacion de temperatura:
(ρSdx)Cp = −∂T
∂t(A.7)
103
Igualando ambas expresiones, y teniendo en cuenta la ley de Fourier, se obtiene la ecuacion
diferencial que describe la conduccion termica:
∂T
∂t= α
∂2T
∂x2, α =
k
ρCp(A.8)
haciendo el balance en las direcciones restantes y considerando que la rebanada de mango
es isotropica y homogenea:
∂T
∂t= α
(∂2T
∂x2+
∂2T
∂y2+
∂2T
∂z2
)
(A.9)
si ademas, las propiedades del material k, ρ, Cp se consideran que dependen de la posicion,
temperatura o humedad, el problema serıa no homogeneo y la ecuacion (A.9) que gobierna
la difusion de calor en la rebanada de mango en 3D se convierte en:
∂(ρT )
∂t=
∂
∂x
(k
Cp
∂T
∂x
)
+∂
∂y
(k
Cp
∂T
∂y
)
+∂
∂z
(k
Cp
∂T
∂z
)
. (A.10)
Balance de masa en el interior de la rebanada
La difusion es el proceso mediante el cual la materia es transportada de una parte hacia otra
de un sistema como resultado de movimientos moleculares aleatorios. Observando que la
transferencia de calor por conduccion, se debe tambien al movimiento molecular aleatorio, se
encuentra una obvia analogıa entre ambos procesos (Sahin et al. 2002a,b; Akpinar y Dincer,
2005b). Esto fue reconocido por Fick en 1855, siendo el primero en poner la difusion sobre
una base cuantitativa, adoptando la ecuacion matematica de conduccion de calor derivada
algunos anos antes por Fourier en 1822. La teorıa matematica de la difusion en sustancias
isotropicas esta basada en la hipotesis de que la tasa de transferencia de la sustancia que
se difunde a traves de una unidad de area de una seccion es proporcional al gradiente de
concentracion medido normal a la seccion (Crank, 1975):
F = −D∂C
∂x(A.11)
donde F es la tasa de transferencia por unidad de area de seccion, C es la concentracion de
la sustancia que se difunde, x es la coordenada espacial medida normal a la seccion, y D es
104
llamado el coeficiente de difusion, que en algunos casos puede ser constante mientras que en
otros variable, su unidad se puede expresar en m2/s. El signo negativo en la ecuacion (A.11)
se debe a que la difusion ocurre en la direccion opuesta al incremento de la concentracion.
Para sustancias anisotropicas las propiedades de difusion dependen de la direccion en la cual
son medidas.
Figura A.2. Volumen de control para deducir la ecuacion de difusion de masa.
Para la obtencion de la ecuacion de difusion de masa (humedad) dentro de la rebanada
de mango durante el proceso de secado, se hace un balance de masa en el volumen de control
de la figura A.2.
La ecuacion diferencial fundamental de difusion en un medio isotropico se deriva de la
ecuacion (A.11) de la siguiente manera:
Considerando un elemento de volumen en la forma de un paralelepıpedo rectangular cuyos
lados son paralelos a los ejes coordenados y son de dimensiones 2dx, 2dy, 2dz. Sea el centro
del elemento el punto P (x, y, z), donde la concentracion de la sustancia que se difunde es C.
sea ABCD y A’B’C’D’ las caras perpendiculares al eje x como se ilustra en la figura A.2.
luego la tasa a la cual la sustancia difusiva entra al elemento a traves de la cara ABCD en
105
el plano x-dx esta dada por:
4dydz
(
Fx +∂Fx
∂xdx
)
(A.12)
La contribucion al incremento de la tasa de la sustancia que se difunde en el elemento de
estas dos caras es entonces igual a:
− 8dxdydz∂Fx
∂x. (A.13)
Similarmente de las otras dos caras obtenemos:
− 8dxdydz∂Fy
∂yy (A.14)
−8dxdydz∂Fz
∂z. (A.15)
Pero la tasa a la cual aumenta la cantidad de la sustancia que se difunde en el elemento esta
dada tambien por:
8dxdydz∂C
∂t. (A.16)
entonces tenemos inmediatamente que:
∂C
∂t+
∂Fx
∂x+
∂Fy
∂y+
∂Fz
∂z= 0. (A.17)
Si el coeficiente de difusion es constante, Fx, Fy, Fz, estan dador por: (A.11), y (A.17) se
convierte en:∂C
∂t= D
(∂2C
∂x2+
∂2C
∂y2+
∂2C
∂z2
)
, (A.18)
reduciendose simplemente a:∂C
∂t= D
∂2C
∂x2(A.19)
cuando la difusividad es unidimensional, por ejemplo, si existe un gradiente de concentracion
solamente a lo largo del eje x. Las expresiones (A.11) y (A.19) son usualmente referidas como
la primera y segunda ley de difusion de Fick, desde que ellas fueron formuladas por primera
vez por Fick en 1855 por analogıa directa de las ecuaciones de conduccion de calor.
106
En muchos sistemas, por ejemplo, en interdifusion de metales, o la difusion de vapores
organicos en sustancias polimetricas, D depende de la concentracion de la sustancia que se
difunde C. En este caso, y tambien cuando el medio es no homogeneo D varıa de punto a
punto, la ecuacion (A.17) se convierte en:
∂C
∂t=
∂
∂xD
(∂C
∂x
)
+∂
∂yD
(∂C
∂y
)
+∂
∂zD
(∂C
∂z
)
, (A.20)
donde D podrıa ser una funcion de x, y, z y C.
Las mediciones cuantitativas de la tasa a la cual ocurren los procesos de difusion normalmente
son expresadas en terminos de un coeficiente de difusion.
El coeficiente de difusion es definido como la tasa de transferencia de la sustancia que se
difunde a traves la una unidad de area de la seccion, dividida por el gradiente espacial de
concentracion a la seccion.
Entonces, la ecuacion gobernante del fenomeno de difusion de la concentracion de humedad
(M) en la rebanada de mango en 3D es:
∂M
∂t=
∂
∂xD
(∂M
∂x
)
+∂
∂yD
(∂M
∂y
)
+∂
∂zD
(∂M ‘
∂z
)
, (A.21)
Apendice B
Procedimiento experimental para
evaluar el contenido de humedad
inicial de la pulpa de mango Ataulfo
B.1. Introduccion
El contenido de humedad inicial es la humedad que tiene la muestra de fruta de mango antes
de someterse al proceso de secado y depende del grado de madurez. Si la fruta es cortada en
verde su contenido de humedad sera alto y un exceso de humedad en la fruta requiere mayor
tiempo de secado e incluso una mayor temperatura y velocidad de aire de secado, es factible
que durante el proceso de secado la fruta pueda perder sus propiedades debido al exceso de
humedad que se remueve.
Existen dos tipos de metodos para evaluar el contenido de humedad inicial de cualquier
sustancia: (a) metodos basicos, en los que la humedad se extrae de las muestras mediante
calor y se mide mediante la perdida de peso del material original o mediante el peso o
volumen de la humedad condensada, y (b) metodos practicos, indicados para el trabajo
rapido de rutina y normalizados con respecto a uno o mas de los metodos basicos.
El procedimiento que se propone a continuacion esta basado en el metodo basico mas am-
107
B.2. REQUERIMIENTOS 108
pliamente utilizado (el Vacuum Oven Method de acuerdo a la AOAC, 1995):
Objetivo
� Evaluar el contenido de humedad inicial en la pulpa de mango de la variedad Ataulfo
con una temperatura de secado en el intervalo de 150 a 200 oC y utilizando mango con
un grado de madurez en el intervalo de los 10 a 25oBx.
B.2. Requerimientos
Insumos
Mango de la variedad Ataulfo, que no presente manchas en la piel, con madurez entre
los 10 a 25oBx, que presente buena apariencia (color, tamano, firmeza).
Material de higiene y seguridad para la realizacion del experimento, tales como: cofia,
cubre boca, guantes de latex y bata.
Contenedor refrigerado para el almacenamiento y trasporte de las muestras.
Equipo
Bisturı y herramientas de corte,
Analizador de humedad OHAUS MB45 con resolucion de 0.001g y variacion de tem-
peratura de secado en el intervalo de 50 a 200◦C,
Adquisidor de datos,
Refractometro de mano ATAGO-01020 (0−32%).
B.3. METODOLOGIA EXPERIMENTAL 109
B.3. Metodologıa experimental
El modelo experimental consiste en permitir el secado de una muestra de mango Ataulfo con
aire caliente de manera controlada. El experimento se realiza en condiciones de ambiente
controlado en laboratorio. El Analizador de humedad contiene una camara de secado con
calentamiento interior de aire. La humedad se remueve del mango debido a la baja HR del
aire respecto a la muestra. El proceso termina cuando los gradientes de presion de vapor
entre la muestra y el aire dejan de existir.
En el interior de la camara de secado se encuentra un plato de muestras que sirve de soporte y
de acople para efectuar las mediciones de la remocion de humedad, sobre el cual se colocara la
muestra de mango a secar. La temperatura del aire en la entrada de la camara permanece
constante en el intervalo de tiempo y se permite la extraccion del aire por conveccion natural
hasta que se remueve el total de humedad contenida en el producto. En la Figura B.1 se
esquematiza el proceso de secado con aire caliente de la muestra con analizador de humedad
MB45, donde la camara de secado se indica con el numero 1, la salida para remover agua
con el numero 2, la rebanada de mango con el numero 3 y el numero 4 indica el plato donde
se colocan las muestras.
1
2
34
T∞, HR
Figura B.1. Obtencion del Mi mediante secado de una muestra de mango.
B.4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 110
B.4. Procedimiento experimental
Se propone el siguiente procedimiento para evaluar el contenido de humedad inicial de la
pulpa de mango Ataulfo basada en el manual de instruccion del analizador de humedad
MB45:
1. Conseguir mangos enteros de la variedad Ataulfo, de buen tamano, que no presenten
manchas y un grado de madurez entre 10 y 25oBx,con una buena presentacion y calidad.
2. Adecuar el espacio de trabajo.
3. Asegurarse de tener el equipo adecuado y proveerse de los materiales necesarios para
efectuar el experimento, de acuerdo a la Seccion B.3.
4. Poner en operacion el analizador de humedad OHAUS MB45, verificar que su interfase
de comunicacion hacia el adquisidor de datos funcion adecuadamente.
5. Ajustar y configurar el analizador de humedad considerando que las condiciones de
secado dentro de la camara sean estables (temperatura del secado y humedad relativa).
6. Ajustar la balanza en ceros considerando el plato de muestras y fijar la temperatura
del secado (entre 150o y 200oC).
7. Preparar las muestras: Lavar, desinfectar, secar y pelar una fruta de mango Ataulfo.
8. Medir el estado de madurez de la fruta en oBx utilizando el refractometro de mano.
9. Obtener una muestra de pulpa de mango de forma cubica de aproximadamente 8mm
de lado con el bisturı, asegurando que el peso de la muestre sea mayor a 1.0g y menor
a 2.0g.
10. Colocar la muestra sobre el plato de muestras limpio que se encuentra acoplado a la
balanza dentro del Analizador de humedad, y registrar el peso inicial de la muestra.
11. Iniciar la prueba y vigilar el proceso observando en la pantalla del analizador de
humedad, el porcentaje de humedad removida, la reduccion del peso de la muestra
y la temperatura de secado.
B.4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 111
12. Conforme transcurre el tiempo la muestra pierde humedad. Si despues de tres minutos
el analizador de humedad no registra alguna variacion (en el intervalo de 0.001g) en
la medicion del peso de la muestra, detener el proceso y registrar el tiempo total de la
prueba y el contenido final de humedad removida, normalmente, el experimento toma
un tiempo no mayor a 15 minutos.
13. Retirar muestras, limpiar y desinfectar el equipo utilizado.
14. Preparar nuevamente el material y equipo para efectuar un nuevo experimento.
La prueba debe repetirse por triplicado para asegurar la repetitividad del experimento. Es
de comentar que cuando las muestras utilizadas para obtener las curvas de secado sean de
frutas de mango con diferente grado de madurez, o de diferente cosecha, debe obtenerse
nuevamente el contenido de humedad inicial.
Apendice C
Procedimiento experimental para
evaluar las curvas de secado
C.1. Introduccion
Las curvas de secado indican la tendencia de la reduccion del contenido de humedad de un
alimento en el tiempo, una curva es caracterıstica de cada alimento y depende principalmente
de las propiedades fısico-quımicas de la muestra a secar y de la temperatura del secado,
tambien la curva de secado es afectada por la humedad relativa y el flujo de aire de secado.
El mango esta formado por fibras que generalmente se encuentran alineadas en una direccion,
por lo que en este trabajo se analiza la curva de secado para cortes en direccion de las fibras
y en direccion perpendicular a ellas.
El procedimiento para secar rodajas de mango aun no ha sido regulado, esto lo constatan
los estudios experimentales reportados (Hernandez et al. 2000; Food Chain, 2002; Baltasar
et al. 2006; Corzo et al. 2008; Dissa et al., 2008; Janjai et al. 2008). De ahı la oportunidad
para proponer un procedimiento experimental con sus requerimientos para evaluar las curvas
caracterısticas del secado de rebanadas de mango utilizando el analizador de humedad de
halogeno OHAUS MB45, contemplando efectos de anisotropıa de la fruta.
112
C.2. OBJETIVOS 113
C.2. Objetivos
� Evaluar la curva de secado de rebanadas de mango de la variedad Ataulfo en dos
direcciones para considerar el efecto de la anisotropıa.
� Obtener la temperatura al interior de la rebanada durante el proceso de secado.
C.3. Alcances
Evaluar las curvas caracterısticas de rebanadas de mango Ataulfo considerando los
siguientes parametros:
a). Corte transversal a la direccion de sus fibras y corte longitudinal a la direccion
de sus fibras
b). Espesores de rebanadas en el intervalo de 3.0 a 5.0mm.
c). Temperatura de secado constante en el intervalo de 50 a 70oC.
d). Madurez del mango Ataulfo en el intervalo de los 10 a 25oBx.
e). Conveccion natural.
C.4. Requerimientos
Insumos
Mango de la variedad Ataulfo, sano, que no presente manchas en la piel, con madurez
entre los 10 a 25oBx, que presente buena apariencia (color, tamano).
Material de higiene y seguridad para la realizacion del experimento, tales como: cofia,
cubre boca, guantes de latex y bata.
Contenedor refrigerado para el almacenamiento y trasporte de las muestras.
C.5. METODOLOGIA EXPERIMENTAL 114
Equipo
Bisturı y herramientas de corte,
Analizador de humedad OHAUS MB45 con resolucion de 0.001g y variacion de tem-
peratura de secado en el intervalo de 50 a 200◦C,
Adquisidor de datos,
Refractometro de mano ATAGO-01020 (0−32%),
Cuarto de ambiente controlado (temperatura y humedad relativa),
Termo-hidrometro ACME,
2 Termopares calibre 36,
Caja de carton aislante impermeable.
C.5. Metodologıa experimental
El modelo experimental que se propone consiste en permitir el secado de una rebanada, de
3.0 − 5.0mm de espesor, de mango Ataulfo con aire caliente de manera controlada. En el
experimento se considera: una camara de secado con calentamiento del aire, transferencia de
calor por conveccion natural de la fuente de calor interna hacia el material a secar, cortes
de las rebanadas en dos direcciones (espesor y longitud), se evaluara el secado por una sola
cara de una direccion, manteniendo aisladas las otras cinco caras de la rebanada en forma
de paralelepıpedo.
El experimento se realiza en condiciones de ambiente controlado en laboratorio. El Analizador
de humedad cuenta con una camara de secado dentro de la cual se encuentra un plato de
muestras que sirve de soporte y de acople para efectuar las mediciones de la remocion de
humedad, sobre el cual se coloca una caja de carton aislante impermeable que tiene la funcion
de aislar la rebanada de mango a secar en cinco de sus caras, para evitar transferencia de
C.6. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 115
calor y masa a traves de ellas. La temperatura del aire en la entrada de la camara de
secado permanece constante en el intervalo de tiempo y se permite la extraccion del aire
por conveccion natural hasta que se remueve una determinada humedad de la muestra. En
la Figura C.1 se esquematiza el proceso de secado con aire caliente de una rebanada de
mango dentro de la camara de secado, donde la camara de secado se indica con el numero
1, la salida para remover agua con el numero 2, la rebanada de mango con el numero 3, la
posicion donde se colocaran los termopares para registrar la temperatura del centro de la
rebanada y de superficie se indican con el numero 4, y el aislante termico con el numero 5.
1
2
3
,T RH¥
5
4
4
Figura C.1. Secado de una rebanada de mango en el experimento propuesto.
C.6. Procedimiento experimental
Se propone el siguiente procedimiento para evaluar la curva del secado del mango Ataulfo:
1. Conseguir mangos enteros de la variedad Ataulfo, de buen tamano, que no presenten
manchas y un grado de madurez entre 10 y 25oBx, con una buena presentacion y
calidad.
2. Adecuar el espacio de trabajo.
3. Asegurarse de tener el equipo adecuado y proveerse de los materiales necesarios para
efectuar el experimento, de acuerdo a la Seccion C.5.
C.6. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 116
4. Poner en operacion el analizador de humedad OHAUS MB45, verificar que su interfase
de comunicacion hacia el adquisidor de datos funcion adecuadamente.
5. Ajustar y configurar el analizador de humedad considerando que las condiciones de
secado dentro de la camara sean estables (temperatura del secado y humedad relativa).
6. Ajustar la balanza en ceros considerando el plato de muestras y fijar la temperatura
del secado (entre 50 y 70oC).
7. Preparar muestras: Lavar, desinfectar y secar el mango.
8. Usando la Cortadora de fiambres de acero inoxidable marca TOREY, modelo R 300,
cortar una primera rodaja de mango paralela hueso, en direccion longitudinal con el
objeto de eliminar la piel del mango y asegurar que los siguientes cortes sean con
espesor uniforme.
9. Medir el contenido de madurez a una rodaja de la fruta en oBx utilizando el re-
fractometro de mano.
10. Realizar un corte longitudinal en forma de rodaja del mango y de espesor deseado (en
el sentido de las fibras del mango) mediante la Cortadora TOREY
11. Cortar la rebanada rectangular de mango con el bisturı, con dimensiones (15mm de
ancho × 40mm de largo × 3mm de espesor).
12. Registrar el peso de la caja de carton vacıa. Debe considerarse la instalacion del ter-
mopar en el interior de la caja, el cual medira la temperatura del centro de la rebanada
durante el proceso de secado.
13. Colocar con mucho cuidado la caja de carton sobre el plato de muestras y acoplarle el
termopar requerido para medir la temperatura de la rebanada.
14. Calibrar nuevamente la balanza verificando que se inicialice en ceros.
15. Colocar cuidadosamente la muestra sobre la caja de carton aislante impermeable en
forma de paralelepıpedo utilizando un bisturı y verificar que el termopar se encuentre
al centro de la rebanada para medir su temperatura.
C.6. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 117
16. Registrar el peso inicial de la muestra.
17. Fijar la temperatura del secado, registrar la humedad relativa con el termo-hidrometro
e iniciar el proceso de secado de la rebanada.
18. Medir y registrar las variables del experimento, las cuales son: Temperatura de al centro
de la rebanada y reduccion del contenido de humedad.
19. Retirar muestras, limpiar y desinfectar el equipo usado.
20. Guardar las muestras secas obtenidas al final del experimento.
21. Preparar nuevamente el material y equipo para efectuar un nuevo experimento.
22. Repetir el experimento tomando en cuenta diferentes: espesores y longitudes, de re-
banada, temperaturas de secado y madurez de la muestra.
Apendice D
Discretizacion de las ecuaciones
Discretizacion de la ecuacion de transferencia de calor por difusion
La discretizacion de la ecuacion de transferencia de calor por difusion en dos dimensiones en
coordenadas cartesianas (2.1) se realiza mediante la integracion espacial sobre el volumen de
control y temporal:
∫ t+∆t
t
∫ e
w
∫ n
s
∂T
∂tdx dy dt =
k
ρCp
∫ t+∆t
t
∫ e
w
∫ n
s
∂
∂x
(
∂T
∂x
)
dx dy dt
+k
ρCp
∫ t+∆t
t
∫ e
w
∫ n
s
∂
∂y
(
∂T
∂y
)
dx dy dt.
(D.1)
realizando las integrales sobre el espacio:
(
TP − T 0P
)
∆x∆y =k
ρCp
∫ t+∆t
t
[(∂T
∂x
)
e
−
(∂T
∂x
)
w
]
∆y dt
+k
ρCp
∫ t+∆t
t
[(∂T
∂y
)
n
−
(∂T
∂y
)
s
]
∆x dt.
(D.2)
(
TP − T 0P
)
∆x∆y =
∫ t+∆t
t
[
ke
ρeCpe
(TE − TP
δx
)
∆y −kw
ρwCpw
(TP − TW
δx
)
∆y
]
dt
+
∫ t+∆t
t
[
kn
ρnCpn
(TN − TP
δy
)
∆x −ks
ρsCps
(TP − TS
δy
)
∆x
]
dt
(D.3)
integrando sobre el tiempo:
118
119
(
TP − T 0P
)
∆x∆y =
[
ke
ρeCpe
(TE − TP
δx
)
∆y −kw
ρwCpw
(TP − TW
δx
)
∆y
]
∆t
+
[
kn
ρnCpn
(TN − TP
δy
)
∆x −ks
ρsCps
(TP − TS
δy
)
∆x
]
∆t
(D.4)
(
TP − T 0P
)∆x∆y
∆t=
[
ke
ρeCpe
(TE − TP
δx
)
∆y −kw
ρwCpw
(TP − TW
δx
)
∆y
]
+
[
kn
ρnCpn
(TN − TP
δy
)
∆x −ks
ρsCps
(TP − TS
δy
)
∆x
] (D.5)
TP∆x∆y
∆t=
[
(TE − TP )ke
ρeCpe
∆y
δx− (TP − TW )
kw
ρwCpw
∆y
δx
]
+
[
(TN − TP )kn
ρnCpn
∆x
δy− (TP − TS)
ks
ρsCps
∆x
δy
]
+ T 0P
∆x∆y
∆t
(D.6)
TP∆x∆y
∆t=
[(ke
ρeCpe
∆y
δx
)
TE −
(ke
ρeCpe
∆y
δx
)
TP −
(kw
ρwCpw
∆y
δx
)
TP +
(kw
ρwCpw
∆y
δx
)
TW
]
+
[(kn
ρnCpn
∆x
δy
)
TN −
(kn
ρpCpn
∆x
δy
)
TP −
(ks
ρsCps
∆x
δu
)
TP +
(ks
ρsCps
∆x
δy
)
TS
]
+ T 0P
∆x∆y
∆t
(D.7)
TP∆x∆y
∆t︸ ︷︷ ︸
a0P
=
[(ke
ρeCpe
∆y
δx
)
︸ ︷︷ ︸
aE
TE −
(ke
ρeCpe
∆y
δx
)
︸ ︷︷ ︸
aE
TP −
(kw
ρwCpw
∆y
δx
)
︸ ︷︷ ︸
aW
TP +
(kw
ρwCpw
∆y
δx
)
︸ ︷︷ ︸
aW
TW
]
+
[(kn
ρnCpn
∆x
δy
)
︸ ︷︷ ︸
aN
TN −
(kn
ρnCpn
∆x
δy
)
︸ ︷︷ ︸
aN
TP −
(ks
ρsCps
∆x
δu
)
︸ ︷︷ ︸
aS
TP +
(ks
ρsCps
∆x
δy
)
︸ ︷︷ ︸
aS
TS
]
+ T 0P
∆x∆y
∆t︸ ︷︷ ︸
a0P
+b
︸ ︷︷ ︸
b
(D.8)
120
agrupando terminos y ordenando:
[
aE + aW + aN + aS + a0P
]
︸ ︷︷ ︸
aP
TP = aETE + aWTW + aNTN + aSTS + b (D.9)
es ası como la ecuacion diferencial parcial (2.1) se transforma en la ecuacion algebraica:
aP TP = aETE + aW TW + aNTN + aSTS + b (D.10)
Discretizacion de la ecuacion de transferencia de masa por difusion
Para discretizar la ecuacion de transferencia de masa por difusion en dos dimensiones en coor-
denadas cartesianas (2.2), se aplica el mismo procedimiento empleado en la discretizacion
de la ecuacion de transferencia de calor (2.1), donde es necesario integrar la ecuacion sobre
el dominio del volumen de control y temporalmente:
∫ t+∆t
t
∫ e
w
∫ n
s
∂M
∂tdx dy dt =
∫ t+∆t
t
∫ e
w
∫ n
s
∂
∂x
(
D∂M
∂x
)
dx dy dt
+
∫ t+∆t
t
∫ e
w
∫ n
s
∂
∂y
(
D∂M
∂y
)
dx dy dt.
(D.11)
realizando las integrales sobre el espacio:
(
MP − M0P
)
∆x∆y =
∫ t+∆t
t
[(
D∂M
∂x
)
e
−
(
D∂M
∂x
)
w
]
∆y dt
+
∫ t+∆t
t
[(
D∂M
∂y
)
n
−
(
D∂M
∂y
)
s
]
∆x dt.
(D.12)
(
MP − M0P
)
∆x∆y =
∫ t+∆t
t
[
De
(ME − MP
δx
)
∆y − Dw
(MP − MW
δx
)
∆y
]
dt
+
∫ t+∆t
t
[
Dn
(MN − MP
δy
)
∆x − Ds
(MP − MS
δy
)
∆x
]
dt
(D.13)
integrando sobre el tiempo:
121
(
MP − M0P
)
∆x∆y =
[
De
(ME − MP
δx
)
∆y − Dw
(MP − MW
δx
)
∆y
]
∆t
+
[
Dn
(MN − MP
δy
)
∆x − Ds
(MP − MS
δy
)
∆x
]
∆t
(D.14)
(
MP − M0P
)∆x∆y
∆t=
[
De
(ME − MP
δx
)
∆y − Dw
(MP − MW
δx
)
∆y
]
+
[
Dn
(MN − MP
δy
)
∆x − Ds
(MP − MS
δy
)
∆x
] (D.15)
MP∆x∆y
∆t=
[
(ME − MP )De
(∆y
δx
)
− (MP − MW )Dw
(∆y
δx
)]
+
[
(MN − MP )Dn
(∆x
δy
)
− (MP − MS)Ds
(∆x
δy
)]
+ M0P
∆x∆y
∆t
(D.16)
MP∆x∆y
∆t︸ ︷︷ ︸
a0P
=
[(
De∆y
δx
)
︸ ︷︷ ︸
aE
ME −
(
De∆y
δx
)
︸ ︷︷ ︸
aE
MP −
(
Dw∆y
δx
)
︸ ︷︷ ︸
aW
MP +
(
Dw∆y
δx
)
︸ ︷︷ ︸
aW
MW
]
+
[(
Dn∆x
δy
)
︸ ︷︷ ︸
aN
MN −
(
Dn∆x
δy
)
︸ ︷︷ ︸
aN
MP −
(
Ds∆x
δy
)
︸ ︷︷ ︸
aS
MP +
(
Ds∆x
δy
)
︸ ︷︷ ︸
aS
MS
]
+ M0P
∆x∆y
∆t︸ ︷︷ ︸
a0P
+b
︸ ︷︷ ︸
b
(D.17)
donde D = D0e(−Ea/R·Tabs) es la relacion de Arrhenius que describe la difusividad de humedad
en funcion de la temperatura absoluta de la rebanada, la Ea es la energıa de activacion y R
es la constante del gas ideal.
122
Agrupando terminos y ordenando:
[
aE + aW + aN + aS + a0P
]
︸ ︷︷ ︸
aP
MP = aEME + aWMW + aNMN + aSMS + b (D.18)
es ası como la ecuacion diferencial parcial (2.2) se transforma en la ecuacion algebraica:
aP MP = aEME + aWMW + aNMN + aSMS + b (D.19)
Discretizacion de las condiciones de frontera
La discretizacion de las condiciones de frontera para la temperatura y masa es similar en
las fronteras Este, Sur y Oeste. Mientras que para discretizar la condicion de frontera de
la temperatura (2.9) en la frontera Norte, se utiliza una discretizacion adelantada para el
termino temporal y una centrada para el termino difusivo:
h∞A(T∞ − T ) = hlg∂M(x, t)
∂t+ kA
∂T (x, t)
∂x
h∞A(T∞ − TP ) = hlgM t
P − M t−1P
∆t+ kA
TP − TS
δy
−(kA
δy+ h∞A
)TP = −
kA
δyTS − h∞AT∞ − hlg
M t−1P − M t
P
∆t
(kA
δy+ h∞A
)
︸ ︷︷ ︸
aP
T tP =
kA
δy︸︷︷︸
aS
T tS + h∞AT∞ + hlg
M t−1P − M t
P
∆t︸ ︷︷ ︸
b
(D.20)
aplicando el mismo procedimiento a la C.F. de transferencia de masa en la frontera Norte
(2.10), se tiene:
− D∂M(0, y, t)
∂y= hm(M − M∞) ⇒
(D
δy+ hm
)
︸ ︷︷ ︸
aP
MP =D
δy︸︷︷︸
aS
MS + hmM∞︸ ︷︷ ︸
b
(D.21)
123
Figura D.1. Esquema indicativo de la direccion de la transferencia de calor y masa en la
fronteras evaporativa del objeto.
las demas fronteras (Este, Oeste y Sur) tienen C.F. de segunda clase, por lo que su dis-
cretizacion es de la siguiente manera:
Para la frontera Este:
Temperatura: (1)︸︷︷︸
aP
TP = (1)︸︷︷︸
aW
TW (D.22)
Humedad: (1)︸︷︷︸
aP
MP = (1)︸︷︷︸
aW
MW (D.23)
Para la frontera Oeste:
Temperatura: (1)︸︷︷︸
aP
TP = (1)︸︷︷︸
aE
TE (D.24)
Humedad: (1)︸︷︷︸
aP
MP = (1)︸︷︷︸
aE
ME (D.25)
Para la frontera Sur:
Temperatura: (1))︸︷︷︸
aP
TP = (1)︸︷︷︸
aN
TN (D.26)
Humedad: (1)︸︷︷︸
aP
MP = (1)︸︷︷︸
aN
MN . (D.27)