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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
1
g.f.s.
CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO
INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No 158
Guía de aprendizaje
Geometría y Trigonometría
S.A.E.T.I.
Chihuahua, Chih., Enero 2018
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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g.f.s.
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Definición de Geometría
En su forma más elemental, la geometría se aplica a la resolución de problemas métricos, como
calcular las aéreas y perímetros de figuras planas, así como superficies y volúmenes de cuerpos sólidos.
Es decir, estudia las propiedades de las formas y de los cuerpos geométricos.
Para su estudio, la geometría se divide en:
Geometría plana
Estudia las propiedades de las superficies y figuras planas como los triángulos, las rectas, los
polígonos, los cuadriláteros y la circunferencia. Esta geometría también recibe el nombre de geometría
euclidiana, en honor del matemático griego Euclides.
Geometría del espacio
Estudia los cuerpos geométricos cuyos puntos no están en el mismo plano, es decir, las figuras de tres
dimensiones.
Existen otras geometrías especializadas en diferentes campos de las matemáticas, como son:
Geometría analítica
Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenada, y los problemas geométricos por
métodos algebraicos, que se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones.
Geometría descriptiva
Estudia los cuerpos en el espacio por medio de sus proyecciones sobre determinados planos.
Individualmente lee el tema de Conceptos Básicos de la Geometría y contesta de acuerdo a lo que se va
indicando.
CONCEPTOS BÁSICOS
Conceptos no definidos
La estructura deductiva de la geometría parte de tres conceptos básicos no definidos que son el punto,
la línea y el plano. Son conceptos fundamentales no definidos o primitivos, puesto que no hay palabras
más sencillas para definirlos. Sin embargo, se pueden describir intuitivamente para comprenderlos y
darles un significado.
Cuerpo Físico y Cuerpo Geométrico
Son cuerpos físicos las cosas que nos
rodean como: cuadernos, sillas,
bolígrafos, escuadras, mesas, libros,
arboles, animales, etc.
De estos cuerpos físicos la geometría considera solamente su forma y
dimensiones, llamándolos cuerpos geométricos o sólidos, estos tienen tres
dimensiones: longitud, ancho y altura. Por ejemplo: los conos, los cubos, las
esferas, los prismas, los cilindros, etc.
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Los tres elementos principales con los que trabaja la geometría son: línea (largo), superficie (largo y
ancho) y volumen (largo, ancho y altura).
a) Une los conceptos con el dibujo que los representa:
Concepto geométrico no
definido que carece de
longitud, anchura y espesor.
Posee longitud pero carece de
Anchura y espesor.
Se suele representar por un
Paralelogramo y se nombra
por tres de sus puntos no
alineados o por una letra
griega.
b) Del siguiente listado de objetos, clasifícalos en cuerpos físicos o geométricos según
corresponda:
___________
___________
___________
__________
___________
__________
ÁNGULOS
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Los ángulos son elementos matemáticos que se han estudiado desde los griegos y que se utilizan
actualmente.
Por ejemplo: en el diseño de rampas que se usan en las competencias de extremas de patineta o
bicicleta. ¿Las has visto verdad? Pues en su construcción se emplean ángulos de varias medidas para
hacer que la competencia sea más difícil. Como ves los ángulos no se encuentran muy alejados de
nuestra realidad inmediata.
ACTIVIDAD DE APERTURA 1
1.- En forma individual construye un reloj, con el material que tengas a tu alcance (cartón,
Fona, plástico, cascaron de huevo, etc.) “Se imaginativo y original”.
2.- Utilizando el reloj que construiste en la actividad anterior, ubica los diferentes horarios que a
continuación se presentan, dibuja el comportamiento del reloj.
3:00 hrs. 3:10 hrs. 3:50 hrs. 3:45 hrs. 3:30 hrs.
3.- Observa el comportamiento de las manecillas del reloj y considera que entre ellas existen
diferentes “distancias” o “aberturas”, dependiendo de la hora que están indicando.
1.- ¿Cuantas manecillas (líneas) son necesarias para marcar la hora?
2.- ¿Si proyectaras las líneas que pasa con ellas?
3.- ¿Sabes que nombre recibe las aberturas que se forman con las manecillas del reloj?
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4.- Menciona los diferentes nombres que se le asignan a las figuras que se forman en los diferentes
horarios realizados en el ejercicio anterior, considerando que no se mueve la línea de la hora.
DESARROLLO
NOTACIÓN Y DIVERSIDAD
El ángulo es la abertura comprendida
entre dos líneas rectas que convergen en
un punto común llamado vértice.
Un Ángulo se puede denotar de las siguientes maneras:
Una letra mayúscula situada en el vértice.
Ángulo cuyo vértice es A
Colocando una letra minúscula dentro
del Ángulo,
Generalmente se emplea una letra del
alfabeto griego.
Angulo cuyo valor es “a” o cuyo valor es α
Tres letras mayúsculas de manera que la letra
media indiquen el vértice del Angulo.
Simbólicamente la notación se realiza
anteponiendo a la letra el símbolo <
Angulo definido por CAB o BAC
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Dado que el ángulo es la abertura comprendida entre dos semirrectas, una de las cuales permanece fija
mientras que la otra gira, los ángulos pueden ser positivos si el giro es en el sentido contrario a las
manecillas del reloj, mientras que si gira en el mismo sentido el ángulo es negativo.
Angulo positivo
Angulo negativo
Clasificación de ángulos
• Por la abertura de sus lados o la amplitud de la rotación, los ángulos pueden ser clasificados
como:
• Por su posición, los ángulos pueden ser:
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ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2
En forma individual completa el cuadro, anotando el valor del ángulo que falta.
Tipos de ángulos
ÁNGULO
COMPLEMENTO
SUPLEMENTO
CONJUGADO
26º
64º 154º 334º
47º
75º
150º
86º
39º28’
50º32’ 140º32’ 320º32’
76º16’
280º50’
55º32’
21º49’06”
68º10’54” 58º10’54” 33º10’54”
15º32’30”
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ACTIVIDAD DE CIERRE 3
Práctica 1. Relación entre ángulos
Nombre:_________________________________________________________Gpo:______
Realiza de acuerdo a cada ejercicio
1: Dos ángulos suplementarios están a razón de 6 : 4. Encuentra la medida del ángulo menor
Resp: 72°
2: Dos ángulos complementarios están a razón de 5 : 4. Halla la medida del ángulo mayor
Resp: 50°
3: Sean A B dos ángulos suplementarios, donde A = 8(2x-3)° y B = 10(x + 3.5). Encuentra la medida
del ángulo A.
Resp: 80°
4: Sean A y B dos ángulos complementarios, donde A = 4(x+ 3), y B = 7(x - 3). Determina la medida
del ángulo B
Resp: 42°
5: Sean A y B dos ángulos conjugados, donde A = (8x)° y B = (2x + 40)°. Halla la medida del ángulo
B.
Resp: 104°
6:Sean M y N dos ángulos conjugados, donde M = 2(4x - 10)° y N = 10(x + 2)°. Encuentra la medida
del ángulo M
Resp: 140°
7: De acuerdo a la figura. Sea AOC un ángulo recto. Encuentra la medida del ángulo BOC
Resp: 53°
C B <BOC = (6x - 1)
<AOB = (4x + 1)
O A
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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8: Encuentra la medida del ángulo ABC de la figura
Resp: 44°
(4x + 23)°
(2x + 1)°
B
A (4x)° C
9: De acuerdo a la figura, encuentra las medidas de los ángulos AOB y BOC.
Resp: <AOB = 54°
<BOC = 126°
B
(5x + 36)° (3x)°
10: De acurdo a la figura.. Determina el ángulo AOB y BOC
Resp: <AOB = 71°
< BOC = 109°
C B
(7x + 53)°
O
(3x + 85)°
D A
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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11: De acuerdo a la figura, determina los valores de " x " y " y "
Resp: x = 5
y = 7
C B
(18x + 8y)°
34° (4x + 14)°
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SISTEMAS DE MEDICIÓN Y TEOREMAS DE ÁNGULOS
ACTIVIDAD DE APERTURA 4
Así como existen unidades de medición para medir distancias (centímetros, metros, kilómetros, etc.),
para medir peso (gramos, kilogramos, toneladas, etc.) y otras muchas unidades de medición; también
existen unidades de medición para los ángulos y teoremas que los relacionan.
1. En forma individual contesta las siguientes preguntas:
a ¿Conoces alguna unidad de medición para los ángulos? ¿Cual (es)?
_____________________________________________________________________________
_______________________________________________________________
b ¿Conoces este instrumento?
c ¿Cómo se llama y que unidades utiliza?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
d ¿Dónde lo ha utilizado o donde crees que lo puedas utilizar?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. Observa la siguiente figura y contesta lo siguiente:
Sus ángulos interiores ¿Cuántos son?______ ¿Cuánto mide cada uno?________ ¿Cuánto
suman?________ ¿Crees que exista un rectángulo que no cumpla con estas características?________
3. Elabora individualmente las conclusiones finales a los cuestionamientos anteriores.
Conclusiones finales
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
La magnitud de un Ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura o separación que
hay entre ellos. Medir un Ángulo es comparar su amplitud con la de otro al que se considera como
patrón.
Para medir un Ángulo generalmente se utilizan dos sistemas: el sexagesimal y el circular.
Sistema sexagesimal:
90º 0º
180º 270º 360º
En este sistema la circunferencia se divide en 360 partes
iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de grado.
Un ángulo de un grado ( º ) es el ángulo central que abarca un
arco de 1/360 parte de una circunferencia. Cada grado se
divide en 60 partes iguales llamadas minutos ( ´ ), y a su vez
cada minuto también se divide en 60 partes iguales llamadas
segundos ( ” ).
Grado (º) Minuto ( ´ ) Segundos ( ” )
1´ = 60’ = 3600”
1’ = 60”
Ejemplo:
Sistema circular:
Longitud del arco AB es igual al
radio
(r) de la circunferencia.
<AOB = 1 Radián
En este sistema la unidad utilizada es el radián (rad).
Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco,
cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Dado
que:
La longitud de una circunferencia = 2 rad
360º = 2 radianes
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CONVERSIONES
Relación entre grados sexagesimales y radianes
Dado que una circunferencia es igual a 2 radianes, esto puede relacionarse en grados de la siguiente
manera:
Para efectuar una conversión, se realiza el procedimiento siguiente:
Radianes a grados
Se multiplica por 180º y se divide entre o bien se
multiplica por 57.29577º
Grados a radianes Se multiplica por y se divide entre 180º o bien se
divide entre 57.29577º.
a. De acuerdo a la lectura que realizaste, contesta lo siguiente.
Expresa en radianes o en ángulos sexagesimales, según la conversión indicada.
Convertir a Radianes
Convertir a grados
GRADOS
RADIANES
RADIANES
GRADOS
25º
3π rad
70º
140º
34º24’
2.25 rad
245º
5.345 rad
TEOREMAS DE ÁNGULOS.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 5.
I. Dibuja dos rectas paralelas (AB y CD), de preferencia en forma horizontal, y córtalas por otra
recta (no perpendicular) a la denominaremos “secante” (SS´).
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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II. Observa tu dibujo y contesta de manera individual lo siguiente:
1. ¿Cuántos ángulos se Tienen? _____________________
2. Numera los ángulos que se forman para identificarlos (en tu dibujo)
Los pares de ángulos _____________________________________ son opuestos por el vértice.
Establece la relación de igualdad entre cada par de ángulos opuestos por el vértice según tu
numeración:
Cada par de ángulos opuestos por el vértice
son de igual magnitud entre sí.
ÁNGULO IGUAL ÁNGULO
=
=
=
=
3. Identifica los pares de ángulos que se encuentran fuera de las rectas paralelas. Escribe cuales
son dichos ángulos: _____________________________. De estos ángulos, encuentra cuales son los
pares que tienen igual magnitud y escribe la relación de igualdad:
A estos pares de ángulos iguales se les conoce
como alternos externos y son de igual
magnitud.
ÁNGULO IGUAL ÁNGULO
=
=
4. Ahora identifica los pares de ángulos que se encuentran por dentro de las rectas paralelas.
Escribe cuales son dichos ángulos: _____________________________. De estos ángulos, encuentra
cuales son los pares que tienen igual magnitud y escribe la relación de igualdad:
A estos pares de ángulos iguales se les conoce
como alternos internos y son de igual
magnitud.
ÁNGULO IGUAL ÁNGULO
=
=
5. A continuación indica cuales son los ángulos que se encuentran en el mismo lado de la recta
“secante”: _________________ y _______________. Encuentra la relación de igualdad entre
aquellos ángulos que se encuentran por un mismo lado de la recta secante.
Por la izquierda: Por la derecha:
ÁNGULO IGUAL ÁNGULO ÁNGULO IGUAL ÁNGULO
=
=
=
=
Estos ángulos que identificaste se denominan
correspondientes y son de igual magnitud receptivamente.
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6. ¿Cuáles son los pares de ángulos que se encuentran dentro de las paralelas en el mismo lado de
la secante (En el mismo semiplano)? Izquierda: ______ y______ Derecha: ______ y______
Observa bien tu dibujo y mediante un razonamiento deductivo determina cuanto suman cada par de
ángulos: __________.
Este par de ángulos recibe el nombre de conjugados internos y
suman________.
7. ¿Cuáles son los pares de ángulos que se encuentran por fuera de las paralelas en el mismo lado
de la secante (en el mismo semiplano)? Izquierda: ______y______ Derecha: _____y____
Observa bien tu dibujo y mediante un razonamiento deductivo determina cuanto suman cada par de
ángulos: __________.
Este par de ángulos recibe el nombre de conjugados externos
y suman ________.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 6
a. De manera individual, completa el siguiente enunciado.
Los principales sistemas de medición de ángulos son: _________________y ____________
1º tiene _____minutos y un minuto tiene_____ segundos.
1 radian equivale a __________grados.
b. Menciona los 6 teoremas que se fueron estableciendo durante la Actividad 2, etapa de
desarrollo:
Teorema 1:
Teorema 2:
Teorema 3:
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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g.f.s.
ACTIVIDAD DE CIERRE 7
Práctica 2. Teoremas de ángulos entre paralelas y una trasversal.
Conversión de ángulos
Nombre:_________________________________________________________Gpo:______
I. En los ejercicios del 1 al 7. Determine el valor de “x” y “y”
1)
X = 10 Y = 5
2)
X = 5
Y = 3
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7)
X = 17
Y = 4
II. Desarrollar las siguiente conversiones
1. 189.789° convertir a grados, minutos y segundos
Resp: 189° 47' 20.4"
2. 68.43° pasar a grados, minutos y segundos
Resp: 68° 25' 48"
3. 25.96° pasar a grados, minutos y segundos
Resp: 25° 57' 36"
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4. 73° 58' 36.78" pasar a grados
Resp: 73.9768°
5. 58°48'25" pasar a grados
Resp: 55.8069°
6. 125.4° pasar a radianes
Resp: 2.188rad
7. 88.58° pasar a radianes
Resp: 1.546 rad
8. 27.59° pasar a radianes
Resp: 0.48 rad
9. 2.4 rad pasar a grados
Resp: 137.509°
10. 1.5 rad pasar a grados
Resp: 85.94°
11. 0.25 rad pasar a grados
Resp: 14.32°
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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g.f.s.
I.3. TRIÁNGULOS
ACTIVIDAD DE APERTURA 8
1 Observa las siguientes figuras y contesta de manera individual a cada uno de los
Cuestionamientos:
2. Las figuras anteriores, son ejemplos de triángulos. Mientras que las figuras siguientes no los
son:
3. ¿Qué tienen en común las figuras que son ejemplos de triángulos?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
4. ¿En que difieren con las figuras que nos son triángulos?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
5. Realiza una definición del concepto de triangulo.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_________________________________________________________________
______________________________________________________________________
DESARROLLO
I.3.1. TRIÁNGULOS Y DIVERSIDAD
Definición y notación de triángulos
El triangulo es un polígono de tres lados. Los puntos donde se cortan se llaman vértices.
Los elementos de un triangulo son:
Lados, ángulos y vértices.
Los segmentos AB , BC y CA son los lados.
Los puntos A, B y C son los vértices.
<A, <B y <C son los ángulos internos.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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g.f.s.
Un triangulo se designa por el símbolo Δ, y para nombrarlo se utilizan las tres letras de sus vértices.
Clasificación de triángulos: se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 9.
1. En forma individual contesta los incisos a y b.
a. Realiza la clasificación de los triángulos en el siguiente diagrama de jerarquización:
b) Con base a tus observaciones contesta las siguientes preguntas:
¿Qué diferencias existen entre un triangulo escaleno y uno isósceles?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
¿Cuál es la diferencia entre un triangulo equilátero y uno escaleno?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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g.f.s.
¿Qué diferencias hay entre un triangulo isósceles y uno equilátero?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
¿Qué diferencias hay entre un triangulo acutángulo y uno rectángulo?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
¿Qué diferencias hay entre un triangulo rectángulo y un obtusángulo?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
¿Qué diferencias hay entre un triangulo obtusángulo y un acutángulo?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
I.3.2. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES..
Rectas y puntos notables del triángulo: Los puntos notables de un triangulo son los puntos de
Intersección de las rectas notables, llamadas: Altura, Mediana, Mediatriz y Bisectriz.
RECTA
NOTABLE
PUNTO
NOTABLE
RECTA
NOTABLE
PUNTO
NOTABLE
Altura
Ortocentro Mediatriz Circuncentro
Mediana Baricentro o
Gravicentro
Bisectriz Incentro
ALTURA MEDIANA
La altura es una línea perpendicular que
va de un vértice al lado opuesto.
El punto donde se cruza la prolongación
de las tres alturas se llama ortocentro.
La mediana es la línea que une el punto medio de un lado con
el vértice opuesto.
El punto donde se cruzan las tres medianas se llama
baricentro o gravicentro.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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g.f.s.
MEDIATRIZ BISECTRIZ
La mediatriz es una línea perpendicular
a un segmento que pasa por su punto
medio.
El punto donde se cruzan las tres
mediatrices se llama circuncentro y esta
a la misma distancia de los tres vértices.
La bisectriz es la línea que divide un ángulo por la mitad.
El punto donde se cruzan las bisectrices de los ángulos se
llama incentro.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 10.
a. Relaciona las columnas escribiendo dentro del paréntesis el numero que corresponda a la
respuesta correcta.
1) Polígono de tres lados.
2) Triangulo que tiene todos sus lados diferentes.
3) Es la línea que une el punto medio de un lado con el vértice
opuesto.
4) Punto donde se cruza la prolongación de las tres alturas.
5) Es una línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto
medio.
6) Los triángulos se clasifican según sus:
7) Triangulo que tiene dos lados iguales y uno diferente.
8) Punto donde se cruzan las tres medianas.
9) Es la línea que divide un angulo por la mitad.
10) Triangulo que tiene tres lados iguales.
11) Triangulo que tiene un ángulo obtuso.
12) Punto donde se cruzan las bisectrices.
13) Nombre del triangulo que sus tres ángulos son agudos.
14) Es una línea perpendicular que va de un vértice al lado opuesto.
15) Nombre del triangulo que tiene un ángulo recto.
16) Punto donde se cruzan las tres mediatrices.
( ) Circuncentro
( ) Equilátero
( ) Obtusángulo
( ) Escaleno
( ) Incentro
( ) Vértices
( ) Triangulo
( ) Altura
( ) Mediatriz
( ) Isósceles
( ) Lados y ángulos
( ) Baricentro
( ) Mediana
( ) Ortocentro
( ) Acutángulo
( ) Bisectriz
( ) Rectángulo
b. Elabora tus conclusiones.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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g.f.s.
I.3.3. Teoremas de triángulos
TEOREMA 1: Los ángulos interiores de un triangulo suman 180º
C
l
d e
c
a b
A B
HIPOTESIS TESIS DEMOSTRACION
a, b y c son los
ángulos interiores
del triángulo.
a b c 180º
Sea l la paralela a AB que pasa por C.
a c e 180º Por formar un ángulo
llano.
a d Por ser alternos internos
entre paralelas.
b e Por ser alternos internos
entre paralelas.
a b c 180º Por sustitución
TEOREMA 2: Un ángulo externo de un triangulo es igual a la suma de los ángulos internos no
adyacentes a él.
C
n
m p s
A B
HIPOTESIS TESIS DEMOSTRACION
s ángulo externo.
m y n ángulos
internos no
adyacentes a s.
s m n
m n p 180º Por el Teorema 1 de
triángulos.
p s 180º Por ser adyacentes.
mn p p s Por la propiedad
transitiva.
m n s Porque una igualdad no
se altera si a los dos
miembros se les resta la
misma cantidad.
Porque mn p -p p s - p m n s
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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g.f.s.
TEOREMA 3: La suma de los ángulos exteriores de cualquier triangulo vale cuatro ángulos rectos
(360º).
B
y
b
a c z
A
x C
HIPOTESIS TESIS DEMOSTRACION
a, b, y c son
ángulos interiores.
x, y ,y z son
ángulos exteriores.
x y z 360º
a x 180º
b y 180º
c z 180º
Por ser ángulos adyacentes
y formar ángulos colineales
o llanos.
a b c x
y z 540º
Dos o más igualdades
pueden sumarse miembro a
miembro.
a b c 180º
Por ser ángulos interiores de
un triángulo.
x y z 180º
540º
Sustituyendo.
x y z 540º180º
x y z 360º
Desarrolla los siguientes ejemplos
a. Encuentra el ángulo interior del siguiente triangulo e indica el teorema que estas
aplicando.
Solución:
Teorema:
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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g.f.s.
b. Encuentra el valor de los ángulos exteriores con los datos que se proporcionan e indica el
teorema que estas aplicando.
z
x
z B C
A
y
Solución:
Teorema
Teorema de Pitágoras
De forma individual construye una figura como la que se
muestra a continuación utilizando cartulina y recórtala
separando cada una de las partes. Usando los cortes
necesarios, intenta hacer que los dos cuadrados pequeños
quepan dentro del cuadrado grande sin desperdiciar
ningún pedazo de dichos cuadrados.
Una vez terminado la construcción de la figura contesta las
preguntas:
a) ¿Qué tipo de triangulo empleamos?
________________________________________________________________________
b) ¿Que figura se construyo sobre cada lado del triangulo en cuestión?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
c) ¿Funciona para cualquier triangulo? ¿Por qué?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Podemos concluir: “La suma de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triangulo
rectángulo es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa de dicho triangulo”.
El párrafo anterior es lo que conocemos como el Teorema de Pitágoras.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
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g.f.s.
En un triangulo rectángulo, el lado opuesto al Angulo recto se
llama hipotenusa; mientras que los otros lados se llaman
catetos.
Pitágoras observo que para todos los triángulos rectángulos, los
cuadrados construidos sobre los catetos, al sumar sus áreas, se
obtiene un valor igual al área del cuadrado construido sobre
la hipotenusa.
De acuerdo al Teorema de Pitágoras se establece que: En todo
triangulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los catetos.
Cat
eto
a
o
Hipotenusa
c
Cateto b
FÓRMULAS PARA DETERMINAR LA LONGITUD DE LOS CATETOS
HIPOTENUSA
CATETO a
CATETO b
Ejemplo de inducción
Encuentra el valor del lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos.
1)
Como el dato buscado es la hipotenusa, aplicamos la
formula:
Sustituyendo los valores, tenemos:
Ejemplo de mecanización:
Observa el siguiente triangulo e identifica el lado que falta y completa la información:
2)
Como se desconoce el cateto _________ aplicamos
la fórmula:
Sustituyendo los valores, tenemos:
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
29
g.f.s.
Ejemplo de aplicación:
Ahora bien, intenta resolver el siguiente triangulo
3)
Solución:
c.- En forma individual encuentra el valor del lado que falta en cada uno de los siguientes
triángulos rectángulos
Solución:
Solución: Solución:
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 11.
a. De manera individual complementa la siguiente información.
Un triángulo es:___________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Clasificación según
Lados
Ángulos
____________
____________
____________
____________
____________
____________
____________
____________
____________
____________
____________
____________
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
30
g.f.s.
b. En los siguientes triángulos indica las rectas y puntos notables que le corresponden:
Recta notable:___________________
A
B C
Recta notable:___________________
Recta notable:___________________
Recta notable:___________________
A
B C
c. Resuelve individualmente los siguientes problemas aplicando el teorema de
Pitágoras.
a) Una escalera de mano de 15 m de longitud llega hasta la cúspide de un edificio cuando su pie esta a
5 m del edificio. ¿Qué altura tiene el edificio?
b) Para sostener verticalmente un poste de 9 m de largo es necesario colocar un cable desde su
extremo superior al piso. Si la distancia entre el soporte en el piso y la base del poste es de 14 m,
¿cuánto debe medir el cable tensado?
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
31
g.f.s.
ACTIVIDAD DE CIERRE 12
Práctica 3. Teoremas de Triángulos
Nombre:____________________________________________________________Gpo:________
I. En los ejercicios del 1 al 10. Determine "x" y "y"
x = 115°
y = 13°
x = 50°
y = 130°
x = 13.75°
y = 6°
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
35
g.f.s.
Práctica 4. Rectas y puntos notables de un triángulo
Nombre_____________________________________________________________Gpo:______
1. Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con las letras: A, B, C. Siguiendo las
instrucciones y con tu juego de geometría, dibuja las tres mediatrices. Localiza el circuncentro y
dibuja la circunferencia que pase por los tres vértices.
Para resolver consulta el video y el Video
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
36
g.f.s.
2. Con tu juego de geometría. Dibuja un acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras: A, B, C.
Siguiendo los pasos dibuja las tres alturas del triágulo. Localiza el Ortocentro.
Para resolver consulta el video
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
37
g.f.s.
3. Con tu juego de geometría. Dibuja un acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras: A, B, C.
Siguiendo los pasos dibuja las tres medianas del triángulo. Localiza su Baricentro.
Consulta el video para resolver
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
38
g.f.s.
4. Con tu juego de geometría. Dibuja un acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras: A, B, C.
Siguiendo los pasos dibuja las tres bisectrices del triángulo. Localiza su incentro y dibuja un
círculo que pase por los tres lados del triángulo.
Consultar el video1 y el video 2 para resolver
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
39
g.f.s.
Práctica 5. Teorema de Pitágoras
Nombre:____________________________________________________________Gpo:______
Determina el lado faltante
1:
a = 10
2:
x = 16
3:
x = 5.29
4:
x = 1.73
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
40
g.f.s.
5: ¿A qué altura llega una escalera de 5m de longitud en un muro, si su pie está a 2m del muro?
4.6m
6: Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado igual a 12 cm.
10.4 cm
7: Calcula el perímetro de un triángulo equilátero cuya altura mide 8.66 m
Resp: 30 m
8: Halla la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyas dimensiones son 20 cm de largo por 21 cm de
ancho.
29 cm
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
41
g.f.s.
9: Halla el perímetro de un rectángulo que tiene 12 m de largo y cuya diagonal mide 13 m
Resp: 34 m
10 La hipotenusa de un triángulo isósceles mide
m. Halla la longitud de los catetos.
11: Determina la altura de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 120 cm.
12: Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide
m
A = 81 m2
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
42
g.f.s.
I.4. POLÍGONOS
ACTIVIDAD DE APERTURA 5
I. A partir de las siguientes figuras contesta las preguntas que a continuación se te presentan:
a) ¿De qué tipos de figuras se trata?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
b) ¿Tienen algo en común?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
c) ¿Cuál es el nombre que se le da a cada una de ellas?
Nombre:
_________________________
Característica:
__________________________________
__________________________________
__________________________________
Nombre:
_________________________
Característica:
__________________________________
__________________________________
__________________________________
Nombre:
_________________________
Característica:
__________________________________
__________________________________
___________________________________
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
43
g.f.s.
DESARROLLO
DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE POLÍGONOS
Un polígono es una figura geométrica limitada por
segmentos de recta denominados lados, donde el extremo
de un segmento es el origen del otro.
Etimológicamente, la palabra POLIGONO proviene de las
raíces poli que significa muchos y gonos que significa
ángulos.
Los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas
situadas en los vértices del mismo. Su notación se efectúa
escribiendo las letras mayúsculas después de la palabra
polígono o del nombre especifico del polígono, también
por sus símbolos gráficos.
Polígono ABCDEF
Hexágono ABCDEF
En un polígono se consideran los siguientes elementos:
• Lados,
• Ángulos,
• Diagonales
y
• Vértices
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS
Se han establecido tres clasificaciones para los polígonos:
Por la amplitud de sus ángulos.
Por la medida de sus lados y sus ángulos.
Por el numero de lados.
AMPLITUD DE LOS ÁNGULOS
Convexos
Cóncavos
Son aquellos cuyos ángulos interiores son todos
menores de 180º y solo pueden ser cortados en
dos puntos por una recta secante.
Son los que tienen uno o varios ángulos mayores
de 180º y pueden ser cortados en más de dos
puntos por una recta secante.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
44
g.f.s.
MEDIDA DE SUS LADOS Y ÁNGULOS
Regulares
Irregulares
Cuando sus lados y ángulos son todos iguales
entre sí.
Cuando al menos uno de sus lados o ángulos es
diferente a los demás.
NUMERO
DE LADOS
NOMBRE DEL
POLIGONO
NUMERO DE
LADOS
NOMBRE DEL
POLIGONO
3 Triangulo 9 Eneágono
4 Cuadrilátero 10 Decágono
5 Pentágono 11 Endecágono
6 Hexágono 12 Dodecágono
7 Heptágono 15 Pentadecágono
8 Octágono 20 Icoságono
Tri decágono 13 lados
Tetradecágono 14 lados
A los demás polígonos se les nombra por el numero de sus lados; por ejemplo: polígono de 13
lados, de 25 lados, etcétera.
CUADRILÁTEROS
Son polígonos limitados por cuatro lados y forman entre sí cuatro ángulos.
Estos polígonos se indican por las letras mayúsculas de sus vértices, escritas enseguida de su
representación grafica.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
45
g.f.s.
Los cuadriláteros se clasifican de acuerdo a sus ángulos y a la forma de sus lados, es decir, al
paralelismo de sus lados opuestos.
Los tres principales grupos son:
Paralelogramos,
Trapecios y
Trapezoides.
PARALELOGRAMOS
Son paralelos sus lados opuestos.
Cuadrado Cuatro lados iguales.
Cuatro ángulos rectos.
Sus diagonales son iguales y perpendiculares
Rectángulo
Lados opuestos iguales 2 a 2.
Cuatro ángulos rectos.
Diagonales iguales y oblicuas.
Rombo
Cuatro lados iguales.
Ángulos opuestos 2 a 2
Romboide
Lados opuestos iguales 2 a 2.
Ángulos opuestos iguales 2 a 2.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
46
g.f.s.
TRAPECIOS
Si únicamente dos de sus lados opuestos son paralelos.
Escaleno
Es aquel que tiene los lados no paralelos
desiguales.
Rectángulo
Es aquel que tiene un lado perpendicular a
las bases, formando un ángulo recto con
cada base.
Isósceles
Es aquel que tiene los lados no paralelos de
igual longitud, formando con las bases
ángulos adyacentes iguales.
TRAPEZOIDES
Sus lados opuestos no son paralelos entre sí.
Simétricos Son los que tienen dos pares de lados
consecutivos iguales pero el primer par de
lados consecutivos iguales es diferente del
segundo.
Asimétricos
Son aquellos que no ofrecen ninguna de las
características de un trapezoide simétrico.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
47
g.f.s.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 8.
Para realizar lo siguiente requieres 20 palillos, 1 transportador, 1 regla,
Forma equipo y dibujen en una hoja las figuras que les sean solicitadas:
a) Toma tres palillos y colócalos formando un polígono (llámala figura 1).
Mide con el transportador cada ángulo interior del primer polígono que se dibujo y en seguida calcula
la suma de los ángulos internos con la siguiente relación Si= (n – 2) 180° Y anota el resultado
________________________________________________________
¿El cálculo realizado con la formula coincidió con el anotado?
________________________________________________________
b) Toma cuatro palillos y forma un polígono (figura 2).
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
48
g.f.s.
Mide con un transportador cada uno de los ángulos interiores del polígono y realiza la suma; anótala.
_______________________________________________________
A continuación, realiza el cálculo de la suma de los ángulos interiores de la figura 2 con la
formula dada en el inciso “a”
¿Cuál es tu resultado? __________ coinciden los resultados obtenidos en el paso 5 y 6 ________
c) Traza en la figura 2 las diagonales a partir de un solo vértice.
¿Cuántas diagonales se pudieron trazar?________________________________________________
¿Se puede trazar otra diagonal de otro vértice? _____________porque ______________________
_____________________________________________________
¿Cuantas diagonales en total se pueden trazar con la figura? _______________________________
¿Porque?____________________________________________________________
¿Coinciden con la formula
? ___________________________________________
I.4.2 ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES
I.4.5. TEOREMAS SOBRE POLÍGONOS
Teorema 1.
I.4.5. TEOREMAS SOBRE POLÍGONOS
Teorema 2.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
49
g.f.s.
I.4.3. DIAGONALES
I.4.5. Teoremas sobre polígonos
Teorema 3.
Ejemplo de inducción: Si tenemos una figura de cinco lados n = 5.
La aplicación de los teoremas nos permite calcular los siguientes aspectos de este polígono.
Numero de
diagonales por
vértice:
Numero de
diagonales del
polígono:
La suma de ángulos
interiores es:
La medida de cada ángulo
interior es:
Ejemplo de mecanización
Si tenemos un polígono de siete lados
Numero de diagonales
por vértice:
Numero de diagonales
del polígono:
La suma de ángulos
interiores es:
La medida de cada
ángulo interior es:
Ejemplo de aplicación
Se desea construir un librero el cual será colocado en la esquina de un salón que tiene forma de
hexágono regular, en el lugar que indica la figura de abajo. Para fabricarlo a la medida es necesario
conocer la medida del ángulo de esa esquina. ¿Cual es valor?
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
50
g.f.s.
I.4.4. PERÍMETRO Y ÁREA DE POLÍGONOS.
Definición de perímetro y área.
Perímetro En los cuerpos geométricos las caras o limites de los sólidos se llaman superficies, las
cuales determinan su forma. Al medir el contorno de una figura geométrica obtenemos
su perímetro que representamos con la letra P.
Área El área de una figura geométrica es la medida de su superficie; la unidad de medida,
generalmente es el metro cuadrado y se expresa en m2 .
Formula El perímetro y el área de una figura geométrica puede ser indicada por medio de una
formula, la cual es la expresión de una ley o de un principio general, usando símbolos o
letras. Una formula es una ecuación en la que podemos despejar cualquiera de las
variables que en ella intervienen, considerándola como incógnita.
Ejemplo.- El área del triangulo se expresa como:
donde:
b = base
h = altura
Despejando para altura
Despejando para base
Desarrolla lo que se indica.
a) Investiga las formulas geométricas para calcular superficies y perímetros de: Un Rectángulo,
Un cuadrado, un Paralelogramo, Un Triangulo, un Rombo, Un trapecio y un Polígono Regular:
b) De acuerdo a las formulas anteriores obtén el área y el perímetro de cada uno de los
problemas indicados, además dibuja la figura que corresponda.
1) De un rectángulo cuya base mide 5cm y la altura 3cm.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
51
g.f.s.
2) De un cuadrado de 3cm por lado.
3) De un rombo cuya diagonal mayor es de 7cm, la menor de 4cm y sus lados miden 3cm.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 9.
a) Relaciona las columnas escribiendo dentro del paréntesis el numero que corresponda a la
respuesta correcta.
1) Figura geométrica limitada por segmentos de recta denominados
lados, donde el extremo de un segmento es el origen del otro.
2) Es un elemento del polígono.
3) Polígono que tiene sus ángulos interiores menores de 180°
4) Polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales.
5) Polígono que tiene once lados.
6) Cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos.
7) Trapecio que tiene los lados no paralelos desiguales.
8) Cuadrilátero que sus lados opuestos no son paralelos entre sí.
9) Trapezoide que no ofrece ninguna de las características de un
trapezoide simétrico.
10) Polígono proviene de las raíces poli y gono que significa:
( ) Convexos.
( ) Endecágono.
( ) Escaleno.
( ) Asimétrico.
( ) Cóncavos.
( ) Trapezoides.
( ) Muchos y ángulos.
( ) Regulares.
( ) Polígono.
( ) Paralelogramos.
( ) Vértices.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
52
g.f.s.
b) Subraya la respuesta correcta de cada una de las siguientes preguntas
1) Polígonos que tienen uno o varios ángulos mayores de 180°.
A) Regulares B) Convexos C) Irregulares D) Cóncavos
2) Polígonos en los que al menos uno de sus lados o ángulos es diferente a los demás.
A) Regulares B) Convexos C) Irregulares D) Cóncavos
3) Nombre del polígono de 20 lados.
A) Icosígono B) Pentadecágono C) Decágono D) Triangulo
4) Polígonos que tienen únicamente dos de sus lados opuestos paralelos.
A) Paralelogramos B) Trapecios C) Trapezoides D) Rombo
5) Trapezoides que tienen dos pares de lados consecutivos iguales pero el primer par de lados
consecutivos iguales es diferente al segundo.
A) Simétricos B) Rectángulo C) Isósceles D) Rombo
c) Resuelve los siguientes problemas, aplicando los teoremas correspondientes.
¿Cuántas diagonales, en total, se le pueden trazar a un polígono de 15 lados?
______________________________________________
¿Cuántas diagonales se le pueden trazar desde un mismo vértice a un polígono de 14 lados?
_____________________________________________
¿Cuál es el polígono al que se le pueden trazar 11 diagonales desde un mismo vértice?
______________________________________________
¿Cuántos lados tendrá un polígono regular, si sabemos que cada ángulo interior vale 140°?
______________________________________________
¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores miden 90° cada uno?
______________________________________________
¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260°?
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
53
g.f.s.
______________________________________________
d) Obtén el área y el perímetro de cada uno de los problemas indicados, además dibuja la figura
que corresponda.
1. De un triangulo isósceles cuya base mide 6cm, la altura 5cm y los lados 10 cm.
2. De un hexágono regular cuyo lado mide 3cm y su apotema 1.5cm.
3. De un trapecio cuyas bases miden 10cm, 7cm, su altura 5cm y sus otros dos lados miden 6cm.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
54
g.f.s.
ACTIVIDAD DE CIERRE
Práctica 6. Propiedades de los polígonos convexos.
Nombre:_________________________________________________________Gpo:______
1. Encuentra la medida del ángulo C de un polígono cuyo ángulos interiores son:
<A=2x, <B=x, <C=3x, <D=4x, <E=5x
La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a la fórmula del video
Resp: <C=108
2. Los ángulos interiores de un cuadrilátero se representan por medio <A=1.4xo, <B=2.6x
o,
<C=3.5xo, y <D=4.5x
o. Halla la medida del ángulo B
Mismo video que el problema anterior
Resp: <B = 78o
3. En un hexágono regular calcula.
a) La medida de cada ángulo interior
Consultar la fórmula del video para resolver
Resp: 120o
b) La medida de cada ángulo exterior.
Consultar el video para resolver
Resp: 60o
c) El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono.
Consultar el video para resolver
Resp: 9
4. En un octágono regular calcula.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
55
g.f.s.
a) La suma se los ángulos interiores
Consulta el video para resolver
Resp: 1080o
b) La medida de cada ángulo interior
Consulta el video para resolver
Resp: 135o
c) La medida de cada ángulo exterior.
Consultar el video para resolver
Resp: 45o
d) El número total de diagonales que se puede trazar en el polígono.
Consultar el video para resolver
Resp: 20
5. Determina el número de lados que tiene un polígono cuyos ángulos interiores suman 1260o
Consultar el video para resolver
Resp: 9 lados
6. El ángulo interior de un polígono regular mide 156o. Determina:
a) El número de lados del polígono
Consulta el video para resolver
Resp: 15
b) El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono.
Consultar el video para resolver
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
56
g.f.s.
Resp: 90
c) El valor de cada ángulo exterior.
Consultar el video para resolver
Resp: 24o
7. ¿Cuántos lados tiene un polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales desde todos sus
vértices?
Consultar el video para resolver
Resp: 7
8. El ángulo exterior de un polígono regular mide 45o. Halla:
a) El número de lados.
Consultar el video para resolver
Resp: 8
b) La suma de los ángulos interiores.
La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a la fórmula del video
Resp: 1080o
c) El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono.
Consultar el video para resolver
Resp: 20
d) La medida de cada ángulo interior.
Consulta el video para resolver
Resp: 135
9. Un polígono regular tiene 15 lados. Encuentre:
a) La suma de los ángulos interiores.
La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a la fórmula del video
Resp: 2340o
b)
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
57
g.f.s.
c) La medida de cada ángulo interior.
Consulta el video para resolver
Resp: 156o
d) La medida de cada ángulo exterior.
Consultar el video para resolver
Resp: 24o
e) El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono.
Consultar el video para resolver
Resp: 90
ÁREA DE POLÍGONOS
1. Halla el área de un rectángulo si su base mide 25 cm y el perímetro 90 cm.
Consultar el video1 y el video 2 para resolver
Resp: 500 cm2
2. Determina el área de un rectángulo si su altura mide 30 pulgadas y su perímetro 140 pulgadas.
Consultar el video1 y el video 2 para resolver
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
58
g.f.s.
Resp: 1200 pulg2
3. Encuentra el área de un rectángulo si su base mide 5 m y su diagonal 13 m.
Consultar el video para resolver
Resp: 60 m
4. 5)Determina el área de un cuadrado cuyo perímetro es de 80 pulgadas.
Consultar el video para resolver
Resp: 400 pulg2
5. (18)Las bases de un trapecio miden 9 y 11 pies respectivamente. Si su área es de 60 pies2,
encuentra la longitud de su altura.
Consulta el video para resolver
Res: 6 pies
ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR.
1. Halla el área de un hexágono de 4 metros de lado.
Consulta el video para resolver
Resp: 41.5 m2
CUADRILATEROS
1. Define y clasifica con tus propias palabras a los cuadriláteros
Consulta el video para responder
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
59
g.f.s.
I.5. CIRCUNFERENCIA
ACTIVIDAD DE APERTURA 6
Individualmente da respuesta a cada uno de los cuestionamientos que a continuación se
presentan.
1. ¿Que forma tiene nuestro planeta?
___________________________________________________________________________________
2. Dibuja 3 objetos que cuenten con la misma figura que tiene el planeta.
3. Existen características semejantes entre los objetos mencionados. Coméntalas
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
4. Si en la figura del planeta la partiéramos a la mitad y trazáramos una línea de extremo a
extremo del planeta, ¿Que nombre recibe esta línea?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
5. Ubica el centro de la circunferencia y traza una línea a cualquiera de los extremos del planeta.
¿Que nombre recibe, este segmento de línea?
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Intercambia las respuestas con tus compañeros y realicen la definición de la figura geométrica
que forma el planeta:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
60
g.f.s.
DESARROLLO
CIRCUNFERENCIA
Definición y notación de una circunferencia
La circunferencia es una curva plana y cerrada, cuyos puntos
equidistan de otro punto interior llamado centro.
La superficie limitada por la circunferencia, es decir, la parte
interior, es llamada círculo.
Una circunferencia o un circulo se denota por las letras centro
“O”
y del radio “r”: c(o, r) . Su simbología puede ser expresada
como
Elementos de una circunferencia
La circunferencia puede ser cortada en varios de sus puntos por varios tipos de rectas, llamadas:
Cuerda: Es un segmento de recta cuyos extremos están en la circunferencia.
Diámetro: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por su centro. Este
segmento representa la cuerda de mayor longitud que puede trazarse en la circunferencia.
Radio: Recta que une el centro con cualquier punto
de la circunferencia.
Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en
dos puntos.
Tangente: Recta que tiene un solo punto común con la
circunferencia.
Arco: Es una porción de la circunferencia determinada por dos de sus puntos llamados
extremos.
Flecha: Es la parte del radio, perpendicular que va del punto medio de la cuerda hacia el arco
subtendido por ella.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 10.
a) Anota en la línea el concepto de acuerdo a su definición correcta.
1) Es una curva plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro.
____________________________________________________
2) Superficie limitada por la circunferencia, es decir la parte interior.
____________________________________________________
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
61
g.f.s.
3) Segmento de recta cuyos extremos están en la circunferencia.
___________________________________________________
4) Es una porción de la circunferencia determinada por dos de sus puntos llamados extremos.
___________________________________________________
5) Es la parte del radio, perpendicular que va del punto medio de la cuerda hacia el arco subtendido por
ella.
___________________________________________________
6) Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
__________________________________________________
7) Recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.
___________________________________________________
8) Recta que tiene un solo punto común con la circunferencia.
___________________________________________________
9) Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por su centro. Este segmento
representa la cuerda de mayor longitud que puede trazarse en la circunferencia.
___________________________________________________
b) Dibuja un circulo e identifica con diferentes colores los elementos de la circunferencia.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
62
g.f.s.
I.5.1. Ángulos en la circunferencia
En una circunferencia se trazan diversos ángulos, los cuales reciben su nombre de acuerdo con la
posición que presenta el vértice. Siendo los siguientes:
TEOREMAS ( I.5.5. )
ANGULO CENTRAL ANGULO INSCRITO
Tiene su vértice en el centro de la circunferencia
y sus lados son radios. Su medida es igual a la
medida de su arco correspondiente.
Es aquel cuyo vértice coincide con cualquier
punto de la circunferencia y sus lados pasan por
dos puntos de la circunferencia. Su medida es
igual a la mitad del arco comprendido entre sus
lados.
ANGULO EXCENTRICO o INTERIOR ANGULO EXTERIOR
Es cualquier ángulo cuyo vértice es un punto
interior de una circunferencia. El vértice no
coincide con el centro. Su medida es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
comprendidos por sus lados y por sus
prolongaciones.
Es cualquier ángulo que tiene su vértice en un
punto exterior de una circunferencia, y sus lados
cortan a la misma. Su medida es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos
comprendidos por sus lados.
ANGULO SEMI-INSCRITO
Es aquel cuyo vértice es un punto cualquiera de
una circunferencia; pero uno de sus lados es una
secante, y el otro una tangente a la misma. Su
medida es igual a la mitad del arco comprendido
entre sus lados
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
63
g.f.s.
Ejemplos de aplicación. Con los datos que se te dan, resuelve siguientes problemas.
< a =?
Arco d = ?
< b = ?
< c = ?
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
64
g.f.s.
Arco e = ?
I.5.2. ÁREA DE UN CÍRCULO
Área del
círculo “El área de un circulo es igual al producto de π por el cuadrado del radio.”
Cantidades variables: _____________________ Cantidades constantes: ___________________.
¿De que depende el valor del área del circulo?
____________________________________
¿Como harías para conocer el área de un circulo conociendo el diámetro? ¿Modificarías la formula?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Ejemplo: El área de un circulo que mide 5m de radio es:
I.5.3. PERÍMETRO DE UN CÍRCULO
Perímetro de
La
circunferenci
a
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
65
g.f.s.
¿Que tienen en común las formulas del área del circulo y perímetro de la circunferencia?
_______________________________
Conociendo el área de un circulo, ¿podrías encontrar el perímetro de la circunferencia? ¿Cómo?
Ejemplos.
Calcula el perímetro de una circunferencia de 10cm de radio.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
¿Cuál es el radio de una circunferencia cuyo perímetro es 6.28m?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 11.
Resuelve individualmente los siguientes problemas. Te recomendamos seguir
el procedimiento.
a) Calcular el perímetro de la circunferencia de 8 cm de diámetro.
b) Perímetro de la circunferencia de radio 15 m.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
66
g.f.s.
c) ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia de 50 cm de perímetro?
d) Calcular el área del circulo de 25 m de radio.
e) Calcular el área del circulo de 15 cm. de diámetro.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
67
g.f.s.
II.1. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
ACTIVIDAD DE APERTURA 7
Observa cuidadosamente las figuras que a continuación se presentan.
De manera individual contesta las siguientes preguntas.
1. ¿A qué tipo de figuras pertenecen?
_________________________________________________________________________________
2. ¿Cuántas líneas tienen?
____________________________________________
3. Menciona lo que te acuerdes de las figuras que se te presentaron.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
4. Realiza 3 dibujos que se encuentren en el salón de clase que cuenten con esa figura geométrica
o bien que se puedan formar haciendo algunas modificaciones o dividiendo la figura
simétricamente.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
68
g.f.s.
DESARROLLO
II.2.1. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
CONCEPTO DE TRIGONOMETRÍA
Trigonometría
La palabra trigonometría es un vocablo latino compuesto por trígono, que significa “triángulo” (tres
ángulos) y metría, “proceso de medir” o “medida”.
Rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los distintos elementos de las
figuras geométricas, haciendo énfasis en los ángulos y los lados de los triángulos.
La trigonometría se divide en:
Trigonometría plana: También es conocida como trigonometría rectilínea porque estudia los
triángulos rectilíneos y, en general, los triángulos construidos en los planos.
Trigonometría del espacio o esférica: Su objeto de estudio son los triángulos esféricos; esto es la
región de la superficie de una esfera limitada por los arcos de tres circunferencias máximas.
Relaciones Trigonométricas
La trigonometría se fundamenta en algunas relaciones, que se llaman funciones trigonométricas, que se
definen como “las razones entre elementos rectilíneos ligados a un angulo, cuya variación
depende de la variación del ángulo”.
Las razones que existen entre los lados de un triangulo rectángulo varían al variar el ángulo de que se
trate; es decir que las razones son funciones del Angulo.
A estas razones se les llaman funciones trigonométricas.
Entre los pares de lados se forman seis razones que dan lugar a seis relaciones.
Funciones trigonométricas de ángulos agudos
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Nombre de la
función Abreviación Definición
Seno sen
Es la razón entre cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno cos
Es la razón entre cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente tan
Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Cotangente cot
Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
Secante sec
Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Cosecante csc
Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
69
g.f.s.
Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triangulo rectángulo se definen:
Para el ángulo A:
c es la hipotenusa.
a es el cateto opuesto.
b es el cateto adyacente.
Para el ángulo B:
c es la hipotenusa.
a es el cateto adyacente.
b es el cateto opuesto.
De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas para el ángulo A y B se designan
como:
II.1.3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Ejemplos de inducción.
Expresa las funciones trigonométricas correspondientes al ángulo señalado con la letra mayúscula.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
70
g.f.s.
Sustituir los datos de acuerdo a
las definiciones de funciones
trigonométricas:
Sustituir los datos de acuerdo a las
definiciones de funciones
trigonométricas:
Ejemplos de practica o mecanización:
Completa la información para que llegues a la solución.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
71
g.f.s.
Sustituir los datos de acuerdo a
las definiciones de funciones
trigonométricas:
Sustituir los datos de acuerdo a
las definiciones de funciones
trigonométricas:
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 12.
Expresa las funciones trigonométricas correspondientes a los ángulos señalados con letras
mayúsculas.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
73
g.f.s.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 13.
Dada las siguientes funciones, determina los valores de las demás funciones
trigonométricas.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
75
g.f.s.
ACTIVIDAD DE CIERRE
Práctica 8. Funciones trigonométricas para un ángulo agudo
Nombre:_________________________________________________________Gpo:______
De manera individual, realiza lo siguiente.
I. Una vez terminadas las actividades el maestro seleccionara a algunos estudiantes para que
compartan sus respuestas con los demás.
a) Une con una línea la definición de cada una de las funciones trigonométricas con su nombre.
b) Observa la información proporcionada, calcula los datos que te hagan falta y encuentra lo que
se te pide.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
76
g.f.s.
II. Desarrolla lo que se indica
1. A partir del triángulo rectángulo de la figura define las funciones trigonométricas para:
a) El ángulo P Q
b) El ángulo Q
z x
P y R
Ángulo P Ángulo Q
Sen P =
Sen Q =
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
77
g.f.s.
Cos P =
Cos Q =
Tan P =
Tan Q =
Cot P =
Cot Q =
Sec P =
Sec Q =
Csc P =
Csc Q =
2. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A del triángulo rectángulo
de la figura.
Sen A =
Cot A =
B
c a = 91
A C b = 60
Cos A =
Sec A =
Tan A =
Csc A =
3. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A del triángulo rectángulo
de la figura.
Sen A =
Cot A =
B
c a = 3
A C b = 4
Cos A =
Sec A =
Tan A =
Csc A =
4. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A del triángulo rectángulo
de la figura.
Sen A =
Cot A =
B
c a = 15
A C b = 8
Cos A =
Sec A =
Tan A =
Csc A =
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
78
g.f.s.
5. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A del triángulo rectángulo
de la figura.
Sen A =
Cot A =
B
c = 13 a
A C b = 5
Cos A =
Sec A =
Tan A =
Csc A =
6. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo B del triángulo rectángulo
de la figura.
Sen B =
Cot B =
B
c a = 1
A C b = 1
Cos B =
Sec B =
Tan B =
Csc B =
7. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo B del triángulo rectángulo
de la figura.
Sen B =
Cot B =
B
c = 10 a
A C b = 6
Cos B =
Sec B =
Tan B =
Csc B =
8. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo B del triángulo rectángulo
de la figura.
Sen B =
Cot B =
B
c = 2 a =
A C b
Cos B =
Sec B =
Tan B =
Csc B =
9. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo B del triángulo rectángulo
de la figura.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
79
g.f.s.
Sen B =
Cot B =
B
c a = 70
A C b = 24
Cos B =
Sec B =
Tan B =
Csc B =
10. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A del triángulo
rectángulo de la figura.
Sen A =
Cot A =
B
c a = 21
A C b = 20
Cos A =
Sec A =
Tan A =
Csc A =
En los ejercicios 11 al 17, considera que A es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo.
11. Dado
, halla el valor de las funciones trigonométricas.
a) Csc A =
b) Cos A =
c) Tan A =
12. Dado
, halla el valor de las funciones trigonométricas.
a) Tan A =
b) Sen A =
c) Cos A =
13. Dado
, halla el valor de las funciones trigonométricas.
a) Sen A =
b) Tan A =
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
80
g.f.s.
c) Sec A =
d) Cot A =
e) Csc A =
14. Dado cot , halla el valor de las funciones trigonométricas.
a) Sen A =
b) Tan A =
c) Cos A =
15. Dado sec
, halla el valor de las funciones trigonométricas.
a) Sen A =
b) Tan A =
c) Cos A =
d) Csc A =
16. Dado
, halla el valor de las funciones trigonométricas.
a) Sen A =
b) Cos A
c) Tan A =
d) Csc A =
e) Cot A =
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
81
g.f.s.
II.2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
ACTIVIDAD DE APERTURA 8
En forma individual lean cuidadosamente la siguiente situación, realiza el dibujo en la parte
posterior de la página considerando los datos que proporciona el problema y contesta las
preguntas que se te plantean.
El abuelo de Raúl tiene una bodega en forma de cono en la que almacena trigo y necesita saber cómo
calcular ¿Cuánto trigo puede almacenar en ella?, por lo que le pide ayuda a Raúl para calcular dicho
volumen y así conocer sus ganancias. Ellos saben que el radio de la base es de 4 m y el ángulo que se
forma entre el piso y la generatriz del cono es de 56º. Pero para poder calcular el volumen se necesita
conocer la altura de la bodega, ¿cómo podría calcularla?
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Al terminar, compara las respuestas a las preguntas anteriores con los demás compañeros.
¿Que función trigonométrica relaciona los datos proporcionados?, ¿como calcularías la altura de la
bodega?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
DESARROLLO
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Recordando un triangulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90˚).
Resolver un triangulo es determinar las medidas de los lados y ángulos. Sin considerar el ángulo recto,
los tres lados y los dos ángulos agudos de un triangulo rectángulo pueden variar de valor y se pueden
presentar los siguientes casos:
Si conocemos los dos catetos.
Si conocemos un cateto y la hipotenusa.
Si conocemos un cateto y un ángulo agudo.
Si conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo.
Ejemplos de inducción.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
82
g.f.s.
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.
1) Si conocemos los dos catetos.
2) Si conocemos un cateto y la hipotenusa.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
83
g.f.s.
3) Si conocemos un cateto y un ángulo agudo.
4) Si conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
85
g.f.s.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 14.
a) Con los datos que se proporcionan, traza el triangulo y calcula los elementos que faltan.
1)
2)
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
86
g.f.s.
3)
4)
b) Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, según la información proporcionada.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
88
g.f.s.
II.2.1. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS (Problemas de aplicación).
a) Ahora sí con la información obtenida y el trabajo que has realizado vuelve a revisar el problema
planteado al inicio y contesta lo que se te pide.
En el rancho del abuelo de Raúl hay una bodega en forma de cono donde se almacena trigo. El abuelo
le pidió que le ayude a calcular la cantidad de trigo puede almacenar para así poder determinar la
cantidad dinero que tiene invertido así sabrá cuanto va a obtener si vende todo su contenido. Ellos
saben que el radio de la base es de 4 m y el ángulo que se forma entre el piso y la generatriz del cono es
de 56º. Pero para poder calcular el volumen se necesita conocer la altura de la bodega, ¿cómo podría
calcularla?
b) Resuelve los siguientes ejercicios.
1) Un albañil desea construir una escalera de 18 m; ¿que ángulo debe formar dicha escalera con el piso,
si tiene que alcanzar una altura de 8 m?
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
89
g.f.s.
2) El pie de una escalera de 12 m, apoyada contra la pared, queda a 5 m de esta, suponiendo que el piso
es horizontal, ¿que ángulo forma la escalera y el piso?
3) Una persona cuya altura es de 1.78m, proyecta una sombra de 3.5m. Calcula el ángulo de elevación
del sol.
4) ¿Qué altura alcanza sobre un muro una escalera de 5 m de largo, si forma con el piso un ángulo de
65° 10´?
5) Un ingeniero construye una rampa de 125 m de largo con una elevación de 25°. ¿Que altura alcanza
sobre la horizontal?
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
90
g.f.s.
ACTIVIDAD DE CIERRE
Práctica 9. Trigonometría. Aplicación)
Nombre:_________________________________________________________Gpo:______
I.-Utiliza la calculadora y obtén el valor de las funciones trigonométricas
Ángulo Ɵ
Sen Ɵ
Cos Ɵ
Tan Ɵ
Cot Ɵ
Sec Ɵ
Csc Ɵ
48°
0.7431
56°
23.5°
23°26'
0.4334
45°30'
40°26'
62°58'
2.2001
67°30'
35°48'30"
57°15'36"
70°45'12"
II.- Dados los valores de las razones trigonométricas que se indican, encuentra la medida del ángulo
Ɵ. Expresa el resultado en grados sexagesimales y en radianes.
Función
Valor de Ɵ en grados
sexagesimales
Valor de Ɵ en radianes
Sen Ɵ=0.866
Ɵ=59.99° ó 59°59'49.52"
1.0471 rad
Cos Ɵ=0.42262
tanƟ=1
cosƟ=0.59482
tanƟ=1.7461
senƟ=0.99756
CosƟ=0.83867
tanƟ=0.4663
senƟ=0.25882
Csc Ɵ=1.07702
secƟ=13.3370
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
91
g.f.s.
cosƟ=0.98481
tanƟ=3
senƟ=0.5
cosƟ=0.5
tanƟ=0.771
III.- Resuelve los siguientes triángulos
1:
a) Determina la longitud de la hipotenusa.
b) Halla la longitud del cateto a
c) Halla la medida del ángulo B
c=25.9 a=16.4
<B =50.58°
2:
a) Halla la longitud de la hipotenusa.
b) Halla la medida del ángulo A
c) Halla la medida del ángulo B
c = 110.1 <A = 16.4
<B = 39.47°
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
92
g.f.s.
3:
a) Halla la longitud de la hipotenusa.
b) Halla la longitud del cateto a
c) Halla la medida del ángulo A
c = 35.5 a = 31.7
<A = 63.2°
4:
a) Halla la longitud del cateto a.
b) Medida del ángulo A
c) Medida del ángulo B
a = 35.2
< A = 51.52° < B = 38.48°
5:
a) Halla la longitud del lado a.
b) La longitud del lado b
a = 49.15
b = 34.4 < B = 35°
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
93
g.f.s.
c) Medida del ángulo B
6:
a) Halla la longitud del lado a.
b) La longitud del lado b
c) Medida del ángulo B
a = 71.7
b = 120.25 < B = 59.2°
7:
a) Halla la longitud del lado b.
b) La longitud del lado a
c) Medida del ángulo A
b = 90.1
a = 43.36 < A = 25.7°
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
94
g.f.s.
8:
a) Halla la longitud del lado c.
b) La medida del ángulo A
c) Medida del ángulo B
c = 74
< A = 18.92° < B = 71.08°
9:
a) Halla la longitud de la hipotenusa.
b) La longitud del cateto b.
c) Medida del ángulo B
c = 15.6
b = 12 < B = 50.2°
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
95
g.f.s.
IV.- Triángulos rectángulos como modelos matemáticos
1.- Un árbol de 20mts de altura proyecta una sombra de 28 mts de largo. Halla el ángulo de
elevación del sol. resp: 35.17 mts
2.- Un árbol de 18 mts de altura proyecta una sombra de 10 mts de largo. ¿Cuál es el ángulo de
elevación del sol? resp: 60.94°
3.- Cuando el sol está a 25° sobre el horizonte, ¿cuál es el largo de una sombra que proyecta un
edificio de 15 mts de altura? resp: 32.17°
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
96
g.f.s.
4.- Un edificio proyecta una sombra de 92.33 mts cuando el ángulo de elevación del sol es de 18°.
Calcula su altura. resp: 30 mts
5.- En un edificio se apoya una escalera cuyo pie se ubica a 1.4 mts de la pared. ¿Cuál es su
longitud, si el ángulo que forma con la pared es de 30°. resp: 2.8 mts
6.- La sombra que proyecta una persona de 1.68 mts de altura es de 1.22 mts. En ese instante un
árbol proyecta una sombra de 6 mts. Calcula la altura el árbol. resp: 8.2 mts
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
97
g.f.s.
7.- De lo alto de un faro que emerge 40 mts sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un
velero es de 12°. ¿A qué distancia horizontal del faro se encuentra el barco? resp: 188.2 mts
8.- Una persona de 1.75 mts de estatura se localiza a 32 mtrs de la base de un edificio y observa que
el ángulo de elevación a la cúspide del mismo es de 40°. Halla la altura del edificio.
resp: 6.85 mts
9.- Desde la sima de un edificio de 30 mts de altura se observa que el ángulo de depresión a un
punto A es de 16°. Halla la distancia de dicho punto a la base del edificio resp: 104.6 mts
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
98
g.f.s.
II. 3. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
ACTIVIDAD DE APERTURA 9
En equipo contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno
¿Como se dividen los triángulos de acuerdo a sus ángulos?
___________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
Dibuja un triangulo con un ángulo agudo
¿Como se le llama a los triángulos que no presenta un ángulo agudo?
______________________________________________________
______________________________________________________
¿Como se llama al triangulo que tiene tres ángulos agudos?
______________________________________________________
Dibuja un triangulo que tenga un ángulo obtuso
¿Como se le llama al triangulo que tiene un ángulo obtuso?
___________________________________________________
___________________________________________________
Compara y comenta las respuestas con tus compañeros
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
99
g.f.s.
DESARROLLO
II.3.1. INTRODUCCIÓN
Un triangulo es oblicuángulo cuando no presenta un ángulo recto, se denomina de dos formas:
triangulo acutángulo si tiene tres ángulos agudos y triangulo obtusángulo si tiene un ángulo obtuso, por
lo que no es posible resolverlo si aplicamos las funciones trigonométricas.
Ejemplos:
II.3.2. CASOS DE RESOLUCIÓN
Para la solución de triángulos oblicuángulos se utiliza:
Ley de seno.
Ley de coseno.
LEY DE SENO
“En cualquier triangulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos”.
La ley de seno es muy útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen:
Ejemplos de Inducción:
Resuelve el siguiente triangulo oblicuángulo con los datos que se dan a
continuación.
Caso 1 (AAL Dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos).
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
100
g.f.s.
Caso 2 (LLA Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos).
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
101
g.f.s.
Ejercicio de practica o mecanización
La Ley Seno se puedes descomponer en las
siguientes relaciones:
Sustituye los datos que te proporciona el
problema
Observa que la primera relación solo falta el
valor del ángulo “A”, entonces despejaremos y
encontraremos su valor:
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
102
g.f.s.
Ahora hay que encontrar el valor del ángulo C
Para encontrar el valor del lado “ c ”
Por lo tanto los datos faltantes del triangulo
oblicuángulo son:
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 15.
I. Con los datos que se proporcionan, traza el triangulo y calcula los elementos que faltan.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
104
g.f.s.
II. Resuelve en tu libreta los siguientes triángulos oblicuángulos, según la información
proporcionada.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
105
g.f.s.
LEY DE COSENOS
“En todo triangulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos,
menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman”.
PARA ENCONTRAR LADOS
PARA ENCONTRAR ÁNGULOS
La ley de coseno es muy útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen:
caso 1.
LLL Los tres lados.
caso 2.
LAL Dos lados y el ángulo comprendido.
Ejemplos de Inducción: Resuelve el siguiente triangulo oblicuángulo con los datos que se dan a
continuación.
Caso 1 (LLL Cuando se conocen los tres lados).
Caso 2(LAL Dos lados y el ángulo comprendido).
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
106
g.f.s.
Ejercicio de practica o mecanización
Primero analizamos los datos que nos proporciona
del triangulo oblicuángulo.
¿Que caso es?
Dibuja en tu libreta un triangulo oblicuángulo con
sus datos:
Calculamos el lado “a”
Calculo el ángulo B utilizando la Ley de Seno.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
107
g.f.s.
Calculo del ángulo C:
Por lo tanto los datos faltantes del triangulo
oblicuángulo son:
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 16.
I. Con los datos que se proporcionan, realiza los siguientes ejercicios en la libreta trazando el
triangulo y calculando los elementos que faltan.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
108
g.f.s.
II. Determina los elementos indicados en las siguientes figuras.
2 )
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
110
g.f.s.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
1) Hay tres botes en las afueras de la costa de la playa de Cabo San Lucas. El capitán del bote M sabe que
el bote N esta a 4.5 km de distancia y que el bote P esta a 5.3 km de distancia. El ángulo entre los dos
botes es de 40°.
a) ¿Que distancia tienen el bote N del bote P?
b) El capitán se da cuenta que cometió un error calculando el ángulo entre los dos botes. Debería haber
calculado 32°. Usando este ángulo. ¿Qué distancia tiene el bote N del bote P?
2.- Laura y Ana están acampando en la Sierra Madre, caminan 8 Km. desde su campamento base, con un
rumbo de 42°. Después del almuerzo, cambian de dirección con un rumbo de 137° y caminan otros 5 Km.
a) ¿A qué distancia están Laura y Ana de su campamento base?
b) ¿Con que rumbo deben caminar Laura y Ana para regresar a su campamento base? (Recuerda que
un rumbo se mide en el sentido de las manecillas del reloj, desde el norte)
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
111
g.f.s.
3.- Cuando el avión pasa por la recta que los une, cada observador mide el ángulo de elevación al avión,
como indica la figura adjunta. ¿A qué distancia del avión se encuentran las personas en dicho momento?
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
112
g.f.s.
ACTIVIDAD DE CIERRE
Práctica 10. Trigonometría. Triángulos oblicuángulos
Nombre:_______________________________________________________________Gpo:______
I.-Resuelve los triángulos oblicuángulos aplicando la ley de senos y ley de cosenos.
a) Determina la longitud del lado AC
Result: 77.7
b) Halla la medida del ángulo A
Result: 33.7°
c) Halla la medida del ángulo C
Result: 45.13°
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
113
g.f.s.
d) Halla la longitud de AB del siguiente triángulo
Result: 30.1
e) Determina la longitud del lado AB
Result: 23.65
f) Determina la longitud de AC
Result: 47.8
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS
114
g.f.s.
g) Halla la longitud del lado BC
Result: 74.6
h) Halla la medida del ángulo C
Result: 45.6°
i) Para determinar la distancia entre dos cabañas que se localizan en las orillas de un lago un topógrafo se
situó en el punto R. Luego caminó a cada cabaña y midió 15.4 m y 22.6, respectivamente. Por último,
midió el ángulo PRQ, que resultó ser de 70°. ¿Cuál es la distancia entre las cabañas?