CAPÍTULO 6 HETEROCEDASTICIDAD

UNSCH

24 de octubre de 2012

Econ. Juan A. Huaripuma Vargas

CONTENIDO

Naturaleza

Estimación

El Método de Mínimos Cuadrados Generalizados

Consecuencias de utilizar el MMCO ignorando la Heterocedasticidad

Detección de la Heterocedasticidad

Medidas correctivas

NATURALEZAEspecificación del Modelo Econométrico …

Dado el siguiente modelo:

Donde: ,

iii XY 221

0),/( jiji XXE 0)/( ii XE

22 )/( iii XE

Covarianza

Varianza

Media

Es fija !!

),0(~ 2 NIDi

iX 2

Distribución normal e independiente

NATURALEZATipos de perturbación …

22 )/( ii XE 22 )/( iii XE

Caso heterocedasticidadCaso Homcedasticidad

NATURALEZAHeterocedasticidad existe por diversas razones …

,

Lógicas errores de medición y especificación:

Modelos de aprendizaje sobre errores

Más Ingresos discrecionales

Mejoras en la técnica de recolección

Presencia de factores atípicos

Asimetría en la distribución

Transformación de los datos

Forma funcional incorrecta

,

ESTIMACIÓNEstimador mínimo cuadrático en presencia de Heterocedasticidad …

Siendo el objetivo estimar:

iii XXYE 21)/(

iii XY 21

Dado el siguiente modelo econométrico:

En presencia de heterocedasticidad el estimador mínimo cuadrático es:

22

ˆi

ii

xyx

Pero, ahora su varianza es:

22

22

2 )()ˆ(

i

ii

xx

Var

,

ESTIMACIÓNEstimador mínimo cuadrático en presencia de Heterocedasticidad …

Siendo:

iiiiiiiiii wXwwXwYw 21212 )(ˆ

Como:

0)( iE

Calculando su valor esperado se tiene:

)()ˆ( 212 iiiii EwXwwE

Entonces:

22 )ˆ( E

0 iw 1iiXw

El estimador del MMCO es insesgado!!!

,

ESTIMACIÓNVarianza de las perturbaciones en presencia de Heterocedasticidad …

Ahora, siendo:

Entonces:

)(ˆ22 iiw

Por definición se tiene:

22

222 )()ˆ()ˆ( iiwEVarE

222112 )...()ˆ( nnwwwEVar

)2...2...()ˆ( 112121222

222

21

212 nnnnnn ccwwwwwEVar

222 )ˆ( iiwVar

22

22

2 )()ˆ(

i

ii

xx

Var

¿Es mínima?

ESTIMACIÓNEstimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …

Sea el siguiente estimador lineal:

Reemplazando se tiene:

iiYc2ˆ̂

Siempre y cuando que:

iiiiiiii cXccXc 21212 )(ˆ̂

Aplicando el operador de esperanza matemática:

22 )ˆ̂( E

1 iiXc 0ic 0)( iE

Este estimador arbitrario es lineal e insesgado … bajo ciertas condiciones.

ESTIMACIÓN Estimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …

Si esas ciertas condiciones se cumplen:

Despejando, elevando al cuadrado y aplicando el operador de esperanza matemática, se tiene:

22222 )()ˆ()ˆ̂( iicEEVar

222112 )...()ˆ̂( nncccEVar

)2...2...()ˆ̂( 112121222

222

21

212 nnnnnn cccccccEVar

222 )ˆ̂( iicVar

iic 22ˆ̂

ESTIMACIÓNEstimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …

Considerando los multiplicadores de Lagrange:

La varianza será mínima si se cumple que:

0

icZ

01

Z

02

Z

iiiii XcccZ 2122

01

icZ

0)1( iii

XccZ

02 212

iiii

XccZ

ESTIMACIÓN Estimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …

De lo anterior:

][21

2221

i

i

ii

Xc

0])()1([21

2221 i

i

ii

Xc

1)()([21

2

2

2212 i

i

i

i

iii

XXXc

[2]

[3]

[1]

ESTIMACIÓN Estimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …

Resolviendo el sistema [2] y [3] se tiene:

222

2

2

2

1

)]([)]()][1([

])(2

i

i

i

i

i

i

i

XX

X

222

2

2

2

2

)]([)]()][1([

])(2

i

i

i

i

i

i

i

XX

X

222

2

2

2222

)]([)]()][1([

)]1()()()[1(

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

ii XX

XX

c

Reemplazando en [1]:

ESTIMACIÓNEstimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …

En conclusión: Este estimador mínimo cuadrático, es lineal, insesgado y tiene varianza mínima … Es un estimador eficiente …

22222

2222

2)]/([)]/()][/1([

)/()/()/()[/1(ˆ̂

iiiii

iiiiiiii

XX

YXYX

222

22

22

2

2)]/([)]/()][/1([

)/1()ˆ̂(

iiiii

i

XXVar

Como:

iiYc2ˆ̂ 22

2 )ˆ̂( iicVar Y Reemplazando:

ESTIMACIÓNEl método de mínimos cuadrados ponderados …

Supongamos el siguiente modelo Heterocedástico:

Si

Donde:

2i

1][1][][ 22 iii

i

i

i EEVar

iii XY 21

es conocido:

][][]1[ 21i

i

i

i

ii

i XY

Modelo Ponderado

Modelo Original

Modelo Ponderado Homocedástico

El estimador mínimo cuadrático del modelo ponderado es eficiente!!!

ESTIMACIÓNEl método de mínimos cuadrados ponderados …

Dado el siguiente modelo muestral ponderado:

Donde:

*2

*01

ˆˆ*ˆ ii XXY

i

ii

YY

*ˆi

ii

XX

*i

X1*

0 i

ii

*

Considerando el método de mínimos cuadrados ordinarios:2*

2*01

2 )ˆˆ( iii XXYe

0)ˆˆ(2ˆ*0

*2

*01

1

2

XXXY

eii

i

0)ˆˆ(2ˆ

**2

*01

2

2

iiii XXXYe

ESTIMACIÓN El método de mínimos cuadrados ponderados …

De donde se deduce las siguientes ecuaciones normales:

Resolviendo el sistema se tiene:

**02

2*01

*0

* ˆˆii XXXXY

2*2

**01

2** ˆˆiiii XXXXY

22222

2222

2)]/([)]/()][/1([

)/()/()/()[/1(ˆiiiii

iiiiiiii

XX

YXYX

CONSECUENCIAS Estimación MMCO considerando heterocedasticidad …

Se puede demostrar que:

)ˆ()ˆ̂( 22 VarVar

Por tanto:

Los intervalos de confianza son innecesariamente grandes

Las pruebas t y F nos proporcionan resultados imprecisos

CONSECUENCIAS Estimación MMCO ignorando la heterocedasticidad …

Es el caso más probable: La varianza utilizada es sesgada.

Se sobre estima o subestima.

El sesgo depende de la relación que existe entre la varianza de las perturbaciones y la variable exógena.

Las conclusiones que se lleguen a hacer con base a la inferencia estadística son erróneas.

DETECCIÓN Reglas prácticas …

Informales:

Naturaleza del problema

Método gráfico

Pruebas Formales:

Prueba de Park

Prueba de Glejser

Prueba de correlación por grado de Spearman

Prueba de Goldfeld-Quandt

Prueba de Breusch-Pagan-Godfrey

Prueba de White

SOLUCIÓN Supuestos razonables sobre el patrón de heterocedasticidad …

Supuesto 1:222 )( ii XE

Con base al cuál se obtiene el siguiente modelo ponderado:

i

i

ii

i

XXXY 21

1

Se puede proceder a aplicar el MMCO al modelo ponderado

222

2 ][1][ i

ii

i EXX

E

Siendo el modelo ponderado homocedástico:

SOLUCIÓN Supuestos razonables sobre el patrón de heterocedasticidad …

Supuesto 2:

ii XE 22 )( Con base al cuál se obtiene el siguiente modelo ponderado:

i

i

ii

i

XXXY 21

1

Se puede proceder a aplicar el MMCO al modelo ponderado

222 ][1][ i

ii

i EXX

E

Siendo el modelo ponderado homocedástico:

SOLUCIÓN Supuestos razonables sobre el patrón de heterocedasticidad …

Supuesto 3:222 )]([)( ii YEE

Con base al cuál se obtiene el siguiente modelo ponderado:

)()(1

)( 21i

i

ii

i

YEYEYEY

Se puede proceder a aplicar el MMCO al modelo ponderado

222 ][)(

1])(

[ i

ii

i EYEYE

E

Siendo el modelo ponderado homocedástico: