Instituto Tecnológico de Apizaco

Nombre del alumno: Angel García Pérez

Aula: D8

Horario: 8-9 a.m.

Nombre de la materia: Calculo Vectorial

Unidad 1: Algebra de vectores

Actividad: Modelado de cuerpos geométricos con vectores

El cálculo vectorial proporciona una notación precisa para representar las ecuaciones matemáticas que sirven como modelo de las distintas situaciones

físicas y, ayuda en gran medida a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos.

¿Qué es un vector?

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:Definición: la dirección de un vector u=(a,b) es el ángulo medio en radianes que forma el vector con el eje positivo de las x.El ángulo se puede medir haciendo tanq=b/a; pero es importante localizar el vector puesto queq=tan-1b/a da valores entre -p/2 y p/2 mientras que el ángulo buscado estará entre 0 y 2p

Vector en R2

Los vectores en R2 son los vectores en el plano XY o vectores en dos dimensiones. Tienen dos componentes y son de la forma u = (x, y), donde "x" e "y" son números llamados componentes escalares

Vector en R3.

Los vectores en R3 son los vectores en el espacio XYZ (espacio tridimensional). Tienen tres componentes y son de la forma u = (x, y, z), donde "x", "y", "z" son las componentes escalares. 

Representación geometrica de la suma y la resta de vectores.

para vectores posición la suma u+v es el vector representado por la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores u y v. La resta u-v o v-u es el vector representado por la otra diagonal (al hacer v-u el punto final del vector es v y el inicial es u, por eso la flecha, si fuera u-v el punto final sería el de u y el vector tendría la dirección opuesta).

Campos escalares y vectoriales

Campo vectorial

Es una asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano. Un campo de vectores en el plano, por ejemplo, se puede visualizar como una flecha, con una magnitud dada y la dirección, que se adjunta a cada punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento a través del espacio, o la fuerza y la dirección de algunas fuerzas, como la magnética o gravitatoria, la fuerza a medida que cambia de punto a punto.

Los campos vectoriales se puede considerar como la representación de la velocidad de un flujo de movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones tales como la divergencia (que representa la tasa de variación del volumen de un flujo) y la curvatura (que representa la rotación de un flujo).

Campos escalares

Se visualiza mediante las superficies de nivel o isoescalares, que son el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cueles la función escalar toma el mismo valor, por ejemplo: T(x, y, z)=cte

Cuando estas superficies se cortan por un plano se convierten en las llamadas curvas de nivel o isoescalares, que según la magnitud física que representan reciben un nombre particular: las isotermas se definen por: T(x, y)=cte las isobaras se definen por: P(x, y)=cte.

Geometría de las operaciones vectoriales.

Cálculo vectorial es una rama de las matemáticas relacionadas con la diferenciación y la integración de campos vectoriales, sobre todo en tres dimensiones del espacio euclidiano el término “cálculo vectorial” a veces se utiliza como sinónimo para el tema más amplio de cálculo multivariable, que incluye el cálculo de vectores, así como la diferenciación parcial y la integración múltiple. Se utiliza ampliamente en la física y la ingeniería, especialmente en la descripción de los campo selectromagnéticos, los campos gravitatorios y el flujo de fluidos.

Objetos básicos

Los objetos básicos en cálculo vectorial son campos escalares (las funciones con valores escalares) y campos de vectores (vector con valores de funciones). Estos se combinan o se transforman en diversas operaciones, e integrada. En los tratamientos más avanzados, una más distingue pseudovector campos y pseudoescalar campos, que son idénticos a los campos vectoriales y campos escalares.

Operaciones algebraicas

Las algebraicas básicas (no diferencial) en las operaciones de cálculo vectorial se conocen como álgebra vectorial, se define un espacio vectorial y luego a nivel mundial se aplica a un campo de vectores, y consisten en:

-Multiplicación escalar: multiplicación de un campo escalar y un campo de vectores, produciendo un campo vectorial: av.;

Además de dos campos vectoriales, produciendo un campo vectorial: v1+v2.;

-producto de punto: multiplicación de dos campos vectoriales, producioendo un campo escalar: v1*v2;

-producto vectorial: multiplicación de dos campos vectoriales, produciendo un campo vectorial: v1xv2.

Ejercicio 1De los siguientes vértices conozca si los vectores que se forman muestran un cuadrilátero:

A= (0, 5, 2)

B= (4, 0, -1)

C= (2, 4, 6)

D= (1, -1, 2)

Solución:

Como primer paso en la solución del ejercicio se encontraran los vectores

A⃗B , B⃗C , C⃗D, D⃗A, utilizando el teorema (14.4), que nos dice que si

P1 ( x1 , y1 ) y P2(x2 , y2)son dos puntos, entonces el vector a en V 2 que corresponde

a P⃗1P2 es: a=⟨ x2−x1 , y2− y1 ⟩

A⃗B= ⟨1 ,−6 ,0 ⟩

B⃗C=⟨−2, 4 ,7 ⟩

C⃗D=⟨−1 ,−5 ,−4 ⟩

D⃗A= ⟨−1 ,6,0 ⟩

Ahora sacamos las componentes multiplicando a⃗× b⃗

a⃗=−1 −5 −4b⃗=0 5 2

a⃗× b⃗= [−10−(20) ] i−[−2−(0)] j+[−5−(0)] k

=(−10+20 ) i−(−2 ) j+ (−5 ) k

= 10 i+2 j−5k

=⟨10 ,2 ,−5 ⟩

‖a⃗× b⃗‖=√¿¿

Ejercicio 2Dados los puntos A (2, 3) y B (5, 7) encontrar el vector a v2 que corresponde a

A⃗B respectivamente, trazar A⃗B, el vector de posición a, encontrar la magnitud, la dirección y el ángulo del vector.

D (1,-1,2)

A (0, 5, 2)

C (2, 4, 6)a⃗=⟨−1,−5 ,−4 ⟩

b⃗=⟨−2,1 ,−4 ⟩

Solución:

Como primer paso en la solución del ejercicio se encontraran los vectores A⃗B ,

utilizando el teorema (14.4), que nos dice que si P1 ( x1 , y1 ) y P2(x2 , y2)son dos

puntos, entonces el vector a en V 2 que corresponde a P⃗1P2 es:

a=⟨ x2−x1 , y2− y1 ⟩

A⃗B= ⟨3 ,4 ⟩

Por consiguiente procedemos a obtener la magnitud de A⃗B:

‖A⃗B‖=√(3)2+(4)2

‖A⃗B‖=√9+6

‖A⃗B‖=√25=5

Ahora bien obtenemos el ángulo:

θ=tan−1( XY

)

θ=tan−1( 43)

θ=53,13°

Ejercicio 3Una caja rectangular tiene longitud a, anchura b y altura c. Sea P el centro de la caja. Use vectores para encontrar una expresión del ángulo APB en términos de a, b, c.

Solución:

Para resolver este ejercicio debemos analizar y encontrar las coordenadas de APB para encontrar su magnitud y posteriormente encontrar el ángulo que existe de APB, por lo tanto, tenemos que:

Obtenemos las coordenadas siguientes:

A= (2, 0, 0) P= (1, 2, 2) B= (0, 0, 3)

Ahora bien se encontraran los vectores P⃗Ay P⃗B utilizando el teorema (14.4),

que nos dice que si P1 ( x1 , y1 ) y P2(x2 , y2)son dos puntos, entonces el vector a en

V 2 que corresponde a P⃗1P2 es: a=⟨ x2−x1 , y2− y1 ⟩:

μ⃗=P⃗A= ⟨1,−2 ,−2 ⟩

v⃗=P⃗B= ⟨−1 ,−2,1 ⟩

Posteriormente obtendremos las magnitudes de los vectores ‖μ⃗‖ y ‖v⃗‖ utilizando la ecuación √¿¿:

‖μ⃗‖=√(1)2+(−2)2+(−2)2=√9=3

‖v⃗‖=√(−1)2+(−2)2+(1)2=√9=3

Por ultimo obtendremos el ángulo:

θ=cos−1( M⃗ . N⃗

‖M⃗‖.‖N⃗‖)

θ=(−1,4 ,−23 X 3

)

θ=cos−1( 19 )=83.62 °

Ejercicio 4Dados los puntos P (-3, 2, -1), Q (2, -2, 1) y R (-2, -1, 4), calcular el área del triangulo determinado por P, Q y R

Ahora procedemos a sacar los vectores a y b como se hace a continuación:

Por ultimo obtendremos las componentes y se procederá a sacar el área del

triángulo utilizando la siguiente formula 12√¿¿

a⃗=5 −4 0b⃗=1 −3 5

a⃗× b⃗= [−20−(0)] i−[25−(0) ] j+[−15−(−4)] k

P (-3, 2, -1)

Q (-2, -1, 4)

R (2, -2, 1)

a⃗=⟨5 ,−4 ,0 ⟩

b⃗=⟨1 ,−3 ,5 ⟩

¿ −20 i−25 j−11k

¿ ⟨−20 ,−25 ,−11⟩

¿ 12√¿¿

Bibliografía

Swokowski, E. (1989), “Calculo con geometría analítica”, grupo editorial iberoamericana, 2da Edición, México, D.F.

MARSDEN, JERROLD E. Y TROMBA,ANTHONY J.CÁLCULO VECTORIAL, 1ª EDICIÓNMÉXICO, PRENTICE – HALL HISPANOAMERICANA1995