Transcript of Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable francisco pérez gonzález
- 1. CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Francisco Javier Prez Gonzlez Departamento de Anlisis Matemtico
Universidad de Granada
- 2. I Licencia. Este texto se distribuye bajo una licencia
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Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral
- 3. Indice general Prlogo XVI Guas de lectura XX 1. Axiomas de
R. Principio de induccin 1 1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Axiomas,
deniciones, teoremas, lemas, corolarios. . . . . . . . . . . . 1
1.2. Axiomas de los nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 4 1.2.1. Axiomas algebraicos . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Axiomas de orden . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2.1. Relacin de
orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3.
Desigualdades y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 6 1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemticas . . . . .
. . . . . 7 1.2.3.2. Una funcin aparentemente caprichosa . . . . .
. . . . . . . 8 1.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5. Ejercicios resueltos . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.
Principio de induccin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 17 1.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2. Ejercicios resueltos . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.
Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 26 1.4.1. Nmeros y medida de magnitudes. Segmentos
inconmensurables. . . . 26 II
- 4. ndice general III 1.4.1.1. La razn urea y el pentagrama . .
. . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1.2. Medimos con nmeros
racionales . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.2. Hacer matemticas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.3.
Algunas razones para estudiar matemticas . . . . . . . . . . . . .
. . 30 1.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Captulo.
Lecturas adicionales . . 32 2. Funciones elementales 33 2.1.
Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 33 2.1.1. Operaciones con funciones . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2. Intervalos . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.
Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . .
. . . . . . . . 39 2.2.1. Funciones polinmicas y funciones
racionales . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2. Races de un nmero
real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3.
Potencias racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 40 2.2.4. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 40 2.2.5. Exponenciales . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.5.1. Inters
compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.5.2.
Crecimiento demogrco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.6. Funcin potencia de exponente real a . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 42 2.2.7. Funciones trigonomtricas . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.7.1. Medida de ngulos . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.7.2. Funciones seno y
coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.7.3.
Propiedades de las funciones seno y coseno . . . . . . . . . 45
2.2.7.4. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante .
. . 46 2.2.7.5. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente .
. . . . 46 2.2.8. Las funciones hiperblicas . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 48 2.2.8.1. Las funciones hiperblicas
inversas . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.9. Ejercicios
propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 54 2.3. Sobre el concepto de funcin . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.1. El desarrollo del
lgebra y la invencin de los logaritmos . . . . . . . 61 2.4. Lo que
debes haber aprendido en este captulo . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 63 3. Nmeros complejos. Exponencial compleja 64 Universidad
de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo
diferencial e integral
- 5. ndice general IV 3.1. Un poco de historia . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2. Operaciones
bsicas con nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65 3.2.1. Comentarios a la denicin de nmero complejo . . . . . . .
. . . . . 66 3.2.2. Forma cartesiana de un nmero complejo . . . . .
. . . . . . . . . . . 66 3.2.3. Comentarios a la denicin usual i D
p 1 . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2.4. No hay un orden en C
compatible con la estructura algebraica . . . . . 68 3.3.
Representacin grca. Complejo conjugado y mdulo . . . . . . . . . .
. . . 68 3.3.1. Forma polar y argumentos de un nmero complejo . . .
. . . . . . . . 70 3.3.2. Observaciones a la denicin de argumento
principal . . . . . . . . . . 72 3.3.2.1. Frmula de De Moivre . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.3. Races de un nmero
complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3.3.1.
Notacin de las races complejas . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.3.2. La igualdad n p z n p w D n p zw . . . . . . . . . . . . .
. . . . 76 3.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 77 3.3.5. Ejercicios resueltos . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4. Funciones
elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 91 3.4.1. La funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 91 3.4.2. Logaritmos complejos . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4.3. Potencias complejas .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.4.
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 94 3.4.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 95 3.5. Aplicaciones de los nmeros
complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5.1.
Movimiento armnico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 97 3.5.2. Circuitos elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 99 3.5.3. Procesamiento digital de seales . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4. Funciones Continuas y
lmite funcional 102 4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2. Continuidad . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103 4.2.1. Propiedades bsicas de las funciones continuas . . . . .
. . . . . . . . 104 4.2.2. Propiedades locales . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3. Teorema de Bolzano.
Supremo e nmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3.1.
La propiedad del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 109 4.3.2. Propiedad de extremo inferior . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 110 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis
Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral
- 6. ndice general V 4.3.3. Consecuencias del teorema de Bolzano
. . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3.3.1. Continuidad y
monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.4.
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 116 4.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 119 4.4. Continuidad en intervalos
cerrados y acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.4.1.
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 132 4.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 133 4.5. Lmite funcional . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.5.1.
Lmites laterales de una funcin en un punto . . . . . . . . . . . .
. . 134 4.5.2. Lmites innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 135 4.5.2.1. Funciones divergentes en un punto
. . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.2.2. Lmites en innito . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.5.2.3. Funciones
divergentes en innito . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.6. lgebra
de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 137 4.6.1. Lmites y discontinuidades de funciones montonas
. . . . . . . . . . . 139 4.6.2. Comportamientos asintticos de las
funciones elementales . . . . . . . 140 4.6.2.1. Lmites de
exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . . . 140 4.7.
Indeterminaciones en el clculo de lmites . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 141 4.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.7.2. Ejercicios resueltos .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5. Nmeros
y lmites. El innito matemtico 150 5.1. Introduccin . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.2.
Evolucin del concepto de nmero . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 151 5.2.1. Nmeros y cantidades en la antigua Grecia . .
. . . . . . . . . . . . . 151 5.2.2. De la antigua Grecia a la
invencin del Clculo . . . . . . . . . . . . . 153 5.2.3. Innitsimos
y el continuo numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.2.4. El triunfo de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 160 5.2.4.1. Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 162 5.2.4.2. Mtodos axiomticos y mtodos
constructivos . . . . . . . . 164 5.2.4.3. El regreso de los
pequeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.2.5. Ejercicios
propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165 5.3. Evolucin del concepto de lmite funcional . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 165 5.3.1. La teora de las razones ltimas de
Newton . . . . . . . . . . . . . . 166 Universidad de Granada Dpto.
de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e
integral
- 7. ndice general VI 5.3.2. La metafsica del Clculo en DAlembert
y Lagrange . . . . . . . . . . 167 5.3.3. El premio de la Academia
de Berln de 1784 . . . . . . . . . . . . . . 169 5.3.4. Cauchy y su
Cours DAnalyse de 1821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.3.5.
El innovador trabajo de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 175 5.3.6. Weierstrass nos dio los " . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 176 5.3.7. Ejercicios propuestos . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4. Breve historia
del innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 178 5.4.1. La idea de innito en la losofa y la matemtica Griegas
. . . . . . . . 178 5.4.1.1. Las aporas de Zenn de Elea . . . . . .
. . . . . . . . . . . 178 5.4.1.2. Atomismo y divisibilidad innita
. . . . . . . . . . . . . . . 180 5.4.1.3. La rueda de Aristteles .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.4.2. El innito desde la
Edad Media hasta el siglo XIX . . . . . . . . . . . 184 5.4.2.1. El
innito en la Escolstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.4.2.2. Galileo y el innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 184 5.4.2.3. El Clculo y el innito . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 187 5.4.3. El innito matemtico y el nacimiento de
la teora de conjuntos . . . . 188 5.4.3.1. La no numerabilidad del
continuo . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.4.4. Ejercicios
propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199 6. Derivadas 201 6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.2. Concepto de
derivada. Interpretacin fsica y geomtrica . . . . . . . . . . . .
202 6.2.1. Tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 202 6.2.2. Razn de cambio puntual y velocidad
instantnea . . . . . . . . . . . . 202 6.2.2.1. Elementos de una
curva relacionados con la derivada . . . . 205 6.2.3. Derivadas
laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206 6.2.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de
derivacin . . . . . 206 6.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.2.6. Ejercicios
resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213 6.2.7. Derivabilidad de las funciones elementales . . . . . . .
. . . . . . . . 219 6.2.7.1. Derivabilidad de la exponencial y del
logaritmo. Criterio de equivalencia logartmica . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 219 6.2.7.2. Derivabilidad de las funciones
trigonomtricas . . . . . . . . 221 6.2.7.3. Derivabilidad de las
funciones hiperblicas . . . . . . . . . . 221 Universidad de
Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo
diferencial e integral
- 8. ndice general VII 6.3. Teoremas de Rolle y del valor medio .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.3.1.
Consecuencias del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . .
. . 225 6.3.2. Reglas de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 229 6.4. Derivadas sucesivas. Polinomios de
Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.4.1. Notacin
de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.4.2. Polinomios de Taylor de las funciones elementales . . . . .
. . . . . . 235 6.5. Tcnicas para calcular lmites de funciones . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.5.1. Lmites que debes
saberte de memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.5.2.
Sobre el mal uso de las reglas de LHpital . . . . . . . . . . . . .
. . 241 6.5.3. Sobre el uso de la notacin lKm x!a . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 242 6.6. Extremos relativos. Teorema de
Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 6.7.
Funciones convexas y funciones cncavas . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 246 6.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.7.2. Ejercicios resueltos . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 6.8.
Orgenes y desarrollo del concepto de derivada . . . . . . . . . . .
. . . . . . 305 6.8.1. Las matemticas en Europa en el siglo XVII .
. . . . . . . . . . . . . . 306 6.8.2. Clculo de tangentes y de
valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . 307 6.8.2.1. El
mtodo de mximos y mnimos de Fermat . . . . . . . . . 307 6.8.2.2.
El mtodo de las tangentes de Fermat . . . . . . . . . . . . . 308
6.8.2.3. El mtodo de Roberval y de Torricelli para las tangentes .
. . 311 6.8.2.4. El tringulo diferencial de Barrow . . . . . . . .
. . . . . . 312 6.8.3. Los inventores del Clculo . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 314 6.8.4. Newton y el clculo de
uxiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 6.8.5.
Leibniz y el clculo de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 319 6.8.6. Desarrollo del clculo diferencial . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 322 7. Sucesiones 325 7.1. Introduccin .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 325 7.2. Sucesiones de nmeros reales . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 327 7.2.1. Sucesiones convergentes . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.2.2. Sucesiones
convergentes y estructura de orden de R . . . . . . . . . . 330
7.2.3. Sucesiones montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 331 7.2.3.1. El nmero e . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 333 7.2.4. Sucesiones convergentes y estructura
algebraica de R . . . . . . . . . . 334 Universidad de Granada
Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e
integral
- 9. ndice general VIII 7.2.5. Sucesiones parciales. Teorema de
BolzanoWeierstrass . . . . . . . . . 335 7.2.6. Condicin de Cauchy.
Teorema de completitud de R . . . . . . . . . . 338 7.2.7. Lmites
superior e inferior de una sucesin . . . . . . . . . . . . . . .
339 7.2.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 340 7.2.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 7.3. Sucesiones
divergentes. Indeterminaciones en el clculo de lmites . . . . . . .
360 7.3.1. Sucesiones y lmite funcional . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 363 7.3.2. Sucesiones asintticamente equivalentes .
. . . . . . . . . . . . . . . . 365 7.3.3. Sucesiones de potencias
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 7.3.4.
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 367 7.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 370 7.4. Sucesiones de nmeros complejos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 7.4.1. Denicin
de la exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.4.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 381 7.4.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 7.5. Demostraciones
alternativas de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass . . . 382
7.6. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 384 8. Integral de Riemann 386 8.1. Introduccin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 386 8.2. Aproximaciones al rea . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 388 8.2.1. Denicin y propiedades bsicas
de la integral . . . . . . . . . . . . . 391 8.2.2. El Teorema
Fundamental del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
8.2.3. Primitivas. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 398 8.2.4. Las funciones logaritmo y exponencial . .
. . . . . . . . . . . . . . . 400 8.3. Integrales impropias de
Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
8.3.1. Criterios de convergencia para integrales . . . . . . . . .
. . . . . . . 404 8.4. Teoremas del valor medio para integrales . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 8.5. Derivadas e integrales
de funciones complejas de variable real . . . . . . . . . 409
8.5.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 410 8.5.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 8.6. Tcnicas de clculo de
Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
8.6.1. Calcular una primitiva...Para qu? . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 427 8.6.2. Observaciones sobre la notacin y terminologa
usuales . . . . . . . . . 428 Universidad de Granada Dpto. de
Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e
integral
- 10. ndice general IX 8.6.3. Primitivas inmediatas . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 8.6.4. Integracin por
partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
8.6.4.1. Integracin por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 431 8.6.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 435 8.6.6. Integracin por sustitucin o
cambio de variable . . . . . . . . . . . . 436 8.6.7. Ejercicios
propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
437 8.6.8. Integracin de funciones racionales . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 438 8.6.8.1. Mtodo de los coecientes indeterminados
. . . . . . . . . . 438 8.6.8.2. Mtodo de Hermite . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 439 8.6.9. Ejercicios propuestos . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 8.6.10.
Integracin por racionalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 442 8.6.10.1. Integracin de funciones del tipo R.sen x; cos
x/ . . . . . . . 443 8.6.10.2. Integrales del tipo R x; L.x/r ;
L.x/s ; : : :dx . . . . . 445 8.6.10.3. Integrales binomias . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 8.6.10.4. Integrales del
tipo R.ex / dx . . . . . . . . . . . . . . . . 446 8.6.10.5.
Integracin de funciones del tipo R.x; p ax2 C bx C c/ . . 447
8.6.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 450 8.6.12. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 8.7. Aplicaciones de la
integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
463 8.7.1. Clculo de reas planas . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 463 8.7.1.1. Regiones de tipo I . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 464 8.7.1.2. Regiones de tipo II . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 8.7.2. Ejercicios
propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
467 8.7.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 469 8.7.4. Curvas en el plano . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 8.7.4.1. rea encerrada
por una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 8.7.4.2. reas
planas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 476 8.7.5.
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 478 8.7.6. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 478 8.7.7. Ejercicios propuestos . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 8.7.8. Volmenes
de slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolucin . . . . . . . . . . . .
. 481 8.7.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 483 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis
Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral
- 11. ndice general X 8.7.10. Ejercicios propuestos . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 8.7.11. rea de una
supercie de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
8.7.12. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 486 8.7.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 8.8. Evolucin de la idea
de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemticas griegas . . . . .
. . . . . 499 8.8.1.1. Cuadratura de un segmento de parbola por
Arqumedes . . . 500 8.8.1.2. El Mtodo de Arqumedes . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 503 8.8.1.3. rea de una espiral . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 504 8.8.2. La integracin antes del
Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 8.8.2.1. Los
indivisibles de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
8.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval . . . . . . . . . .
. . 507 8.8.2.3. Parbolas e hiprbolas de Fermat . . . . . . . . . .
. . . . . 508 8.8.2.4. La integracin aritmtica de Wallis . . . . .
. . . . . . . . . 509 8.8.2.5. El resultado fundamental de Barrow .
. . . . . . . . . . . . 512 8.8.3. La relacin fundamental entre
cuadraturas y tangentes . . . . . . . . . 513 8.8.3.1. El Teorema
Fundamental del Clculo segn Newton . . . . . 513 8.8.3.2. La
invencin del calculus summatorius por Leibniz . . . . . 514 9.
Series numricas 518 9.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 9.1.1. La
particularidad del estudio de las series . . . . . . . . . . . . .
. . . 522 9.1.2. Propiedades bsicas de las series convergentes . .
. . . . . . . . . . . 525 9.1.3. Propiedades asociativas y
conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 9.1.4.
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 531 9.1.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 531 9.2. Criterios de convergencia para
series de trminos positivos . . . . . . . . . . . 533 9.2.1.
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 542 9.2.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 544 9.3. Criterios de convergencia no
absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 9.3.1.
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 560 9.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 560 9.4. Algunas series cuya suma puede
calcularse de forma exacta . . . . . . . . . . . 563 9.4.1.
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 567 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof.
Javier Prez Clculo diferencial e integral
- 12. ndice general XI 9.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 9.5. Expresin de un
nmero real en base b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
570 9.6. Series de nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 575 9.6.1. Ejercicios propuestos . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 9.6.2. Ejercicios
resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
576 9.7. Clculo elemental de C1 0 sen x x dx y de P1 nD1 1 n2 . . .
. . . . . . . . . . . . 578 10. Sucesiones y series de funciones
581 10.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 581 10.2. Conceptos bsicos . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 10.2.1.
Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 584 10.2.2. Convergencia Uniforme . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 586 10.2.3. Series de funciones . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 10.3. Series de
potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 598 10.3.1. Radio de convergencia de una serie de potencias .
. . . . . . . . . . . 599 10.3.1.1. Clculo del radio de
convergencia . . . . . . . . . . . . . . . 600 10.4. Desarrollos en
serie de potencias de las funciones elementales . . . . . . . . .
604 10.4.1. Las funciones trascendentes elementales denidas por
series . . . . . . 611 10.4.1.1. La funcin exponencial . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 611 10.4.1.2. Las funciones
trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 10.5. Teorema
de aproximacin de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 614 10.5.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 617 10.5.2. Ejercicios resueltos . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 10.6. Los primeros
desarrollos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 659 10.6.1. Newton y las series innitas . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 660 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis
Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral
- 13. Indice de guras 1.1. El pentagrama pitagrico . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1. La funcin f .x/
D x3 4x2 C x C 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2. Funcin logaritmo de base a1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 40 2.3. Funcin exponencial de base a1 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4. La circunferencia unidad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5.
La funcin seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 45 2.6. La funcin seno en 2 ;2 . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7. La funcin arcoseno . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.8.
La funcin coseno en 0; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 47 2.9. La funcin arcocoseno . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.10. La funcin tangente en 2
;2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11. La
funcin arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 48 2.12. La funcin seno hiperblico . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.13. La funcin coseno
hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.14. La funcin tangente hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 49 2.15. La funcin argumento seno hiperblico . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.16. La funcin argumento
coseno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.17.
La funcin argumento tangente hiperblica . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 50 2.18. Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.19. Euler . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59 XII
- 14. ndice de guras XIII 2.20. John Napier . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.
Representacin de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 68 3.2. Suma de nmeros complejos . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3. Forma polar de un nmero
complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.4.
Argumento principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 72 3.5. Races novenas de la unidad . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.6. Igualdad del
paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 85 3.7. rea de un tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 91 3.8. Movimiento circular . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.9. Composicin de
movimientos armnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.10. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 99 4.1. Funcin parte entera . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2. La funcin
xE.1=x/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 121 4.3. Visualizacin de la demostracin del teorema de
Weierstrass . . . . . . . . . . 130 4.4. La funcin f .x/ D sen.1=x/
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.1.
Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 152 5.2. al-Jwarizmi . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.3. Fibonacci . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 153 5.4. Tartaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 154 5.5. Vite . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.6.
Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 155 5.7. Descartes . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.8. Dedekind . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162 5.9. DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 167 5.10. Cauchy . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.11. Bolzano
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 175 5.12. Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.13. Rueda de Aristteles . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.14.
Exgonos de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 185 5.15. Paradoja circunferencia-punto . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.16. Cantor . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190 5.17. Contando NN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 196 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis
Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral
- 15. ndice de guras XIV 5.18. Unin numerable . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.1. Secante . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 202 6.2. Elementos de una curva relacionados con la derivada .
. . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.3. Depsito cnico . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.4.
Cruce de barcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 215 6.5. Extremos relativos . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.6. Teorema de Rolle .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.7. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 225 6.8. Regla de LHpital . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.9. Funcin cncava .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.10. Funcin convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 246 6.11. Clculo de la subtangente . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 6.12. Clculo de
la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 311 6.13. Tangente a la cicloide . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 312 6.14. Tringulo diferencial .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
6.15. Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 314 6.16. Leibniz . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.17. Tringulo
caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 321 6.18. Aproximacin de una cuadratura . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 322 7.1. Puntos de sol y de sombra . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 8.1.
Conjunto ordenado G.f; a; b/ de una funcin . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 388 8.2. Partes positiva y negativa de una funcin . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 8.3. Aproximacin por sumas
de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 8.4.
Aproximacin del rea por sumas inferiores y superiores . . . . . . .
. . . . . 391 8.5. Funcin montona con innitas discontinuidades . .
. . . . . . . . . . . . . . 396 8.6. Logaritmo de 2 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 8.7.
Aproximacin al rea de una regin de tipo I . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 464 8.8. Ejemplo de regin de tipo I . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 8.9. Aproximacin al rea de
una regin de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 8.10.
Ejemplo de regin de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 467 8.11. Simtrica de la gura 8.8 . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 8.12. Cicloide . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
475 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier
Prez Clculo diferencial e integral
- 16. ndice de guras XV 8.13. Cardioide . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 8.14. Astroide
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 475 8.15. Espiral de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 475 8.16. Una curva de Lissajoux .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 8.17.
Una curva cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 476 8.18. Aproximacin por sectores circulares . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 8.19. Rosa de 8 ptalos .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
8.20. Aproximacin por poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 479 8.21. Clculo del volumen por secciones . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 8.22. Mtodo de los
discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 482 8.23. Mtodo de las lminas o tubos . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 484 8.24. Supercie de revolucin . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 8.25. rea de una
regin limitada por dos elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 489 8.26. Cuadratura de un rectngulo . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 499 8.27. Cuadratura de un segmento de
parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 8.28. El
Mtodo de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 503 8.29. Cuadratura de una espiral . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 505 8.30. Cuadratura de la
cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
507 8.31. Cuadratura de la hiprbola de Fermat y D x 2 . . . . . . .
. . . . . . . . . . 508 8.32. Comparando indivisibles . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 8.33. Teorema
Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 512 8.34. z D z.x/ D rea OPB . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 513 8.35. reas complementarias . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 10.1. Es p 2
D 1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 583 10.2. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 584 10.3. Interpretacin grca de
la convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 587 10.4.
Cuadratura 1=4 0 p x x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 663 Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico
Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral
- 17. Prologo Este libro est escrito pensando en un estudiante
real que tambin es, en algunos aspectos, un estudiante ideal. Es un
estudiante llegado hace poco a la Universidad, quiz recin llegado,
que cursa estudios en alguna ingeniera o licenciatura cientco
tcnica y debe enfrentarse a una difcil asignatura de clculo
diferencial e integral. Debe ser difcil, porque son muy pocos
quienes logran aprobarla en un slo ao y es muy alto el porcentaje
de abandono. Con este libro quiero ayudarle en sus estudios de
Clculo o Anlisis Matemtico, no solamente para que logre una buena
calicacin sino para que saque de ellos el mayor provecho e incluso
aprenda a disfrutarlos. Se trata, digo, de un estudiante real
porque llega a la Universidad con importantes carencias de las que
l puede no ser consciente y de las que no es del todo responsable.
Es muy posible que nunca haya visto una demostracin matemtica, que
no sepa distinguir entre hiptesis y tesis, que no entienda el
signicado de que las matemticas son una ciencia deductiva. Tiene
poca agilidad en los clculos con las operaciones bsicas y comete
frecuentes errores al in- tentar simplicarlos, puede calcular
derivadas pero lo hace con dicultad porque tiene que ir pensando
cada paso y no ha automatizado el proceso, por eso solamente sabe
calcular algunas primitivas muy sencillas. Est acostumbrado a
realizar ejercicios muy elementales en los que se debe aplicar de
forma mecnica una regla recin aprendida. No est acostumbrado a
relacionar conceptos y clasica sus conocimientos en reas disjuntas:
clculo, lgebra, probabilidad: : : Pero estas carencias, con ser
graves, no son las peores porque son especcas de una ma- teria y
podran solucionarse con facilidad si no vinieran acompaadas por
otras mucho ms perjudiciales porque afectan a todo el proceso de
aprendizaje. Me reero a la falta de hbitos de estudio, a la pobreza
y muy deciente uso del lenguaje hablado y escrito con la
consiguiente dicultad para pensar y expresarse correctamente, a la
poca prctica de la lectura comprensi- va, a la escasa capacidad de
concentracin, al poco valor que se da a la memorizacin de lo
estudiado. Si a este cuadro aadimos que vivimos en una sociedad que
valora ms el xito, identica- do casi exclusivamente con el xito
econmico, que el esfuerzo; el apresuramiento compulsivo, hay que ir
a toda velocidad aunque so sepamos a dnde, que la constancia y la
dedicacin; el XVI
- 18. Prlogo XVII gregarismo unnime que el pensamiento crtico e
independiente, la autocomplacencia que la exigencia : : : La
conclusin es que no son buenos tiempos para el estudio. Adems, los
jvenes estn permanente solicitados por todo tipo de reclamos
publicitarios, adulados hasta la desver- genza por polticos y
pedagogos que les venden un mensaje falso que en su esencia viene a
decir que no son responsables de sus actos: si suspenden, les dicen
que es porque el profesor no ha sabido motivarlos para que
estudien; si despus de un botelln de n de semana, o de una esta de
la primavera o de un da de la cruz, las calles amanecen convertidas
en un albaal por la suciedad acumulada durante la noche, el
argumente apropiado para disculpar tan incvico comportamiento es el
de un supuesto derecho a la diversin. Estos polticos y pedagogos
pare- cen haberse puesto de acuerdo para propiciar que los jvenes
vivan en una permanente niez, acreedora de todos los derechos pero
sin obligaciones ni responsabilidades. Y, para acabar, la bazoa,
mezquindad, zaedad y mal gusto de algunos programas de televisin
contribuyen de forma notable a difundir el mensaje de que todo
vale: puedes vender tus entraas en uno de esos programas o
demostrar tu absoluta ignorancia sin temor a hacer el ridculo
porque as lo hacen la mayora de quienes participan en ellos. Qu
aoranza de aquellos programas en los que el saber ocupaba lugar! El
estudiante al que me dirijo es real porque es vctima de este
sistema y tambin, puede que sin tener clara conciencia de ello,
porque contribuye a su mantenimiento. Cada vez es ms difcil
conjugar juventud y lucidez. Pero tambin es un estudiante ideal
porque valora el estudio, quiere prepararse para ejercer ecazmente
una profesin y ser til a los dems y tiene ganas de aprender.
Lector, si este no es tu caso, si lo que quieres es solamente
aprobar y no tienes curiosidad ni ests interesado en aprender,
mejor que no sigas leyendo, este libro no es lo que buscas. Pero si
no es as, confo en que las pginas que siguen sean tiles para que
progreses adecuadamente en tus estudios de clculo, porque lo nico
que se necesita para ello es, adems del inters y las ganas de
aprender, una capacidad bsica lgico deductiva que sin duda tienes.
El contenido de este libro no ofrece sorpresa alguna y responde a
un acuerdo general tcito de lo que debe constituir un curso bsico
de Clculo de funciones de una variable. La novedad, si la hay, habr
que buscarla en el estilo, en la exposicin, en la gran cantidad de
ejemplos y de ejercicios, en la minuciosa presentacin de los
conceptos y de sus relaciones. Comentar seguidamente algunos de
estos aspectos. Este libro est escrito en un estilo deliberadamente
sencillo, he querido huir del estilo pe- dante que se impuso hace
algunos aos y que todava perdura en casos aislados. Escribir mate-
mticas es un arte que se va aprendiendo poco a poco y, aunque no es
ajeno a las modas, tiene unas reglas bsicas que deben ser
respetadas en cualquier circunstancia. Realmente se trata de una
sola regla debida a Nicols Boileau (1636 - 1711) que dice as lo que
bien se concibe bien se expresa con palabras que acuden con
presteza. Que las palabras acudan con mayor o menor presteza es
algo anecdtico, pero lo que es indudable es que si algo no se
concibe bien es imposible expresarlo con claridad. La primera
condicin necesaria para escribir matemticas es entender con todo
detalle, a ser posible desde varios puntos de vista diferentes y
con distinto grado de generalidad, la gnesis y evolucin de los
conceptos que se exponen, las sutilezas y dicultades de comprensin
que encierran, los errores ms frecuentes en su interpretacin. Esa
condicin necesaria no es suciente. Hay que exponer esos conceptos
con palabras comprensi- bles para el lector a quien se dirigen,
evitando tecnicismos innecesarios, y ello sin dejar de ser claro y
preciso. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof.
Javier Prez Clculo diferencial e integral
- 19. Prlogo XVIII Este libro est escrito un poco igual que se
explica en clase delante de la pizarra, me he puesto en el lugar de
un hipottico estudiante medio algo despistado y me hago eco de sus
presumibles dudas, preguntas y confusiones, e intento explicar esas
dudas, responder a las pre- guntas y aclarar las confusiones. Confo
en que los muchos aos que he dedicado a la docencia en el primer
curso de distintas licenciaturas e ingenieras me hayan permitido
saber ponerme en tu lugar y cumplir este empeo con decoro. Por todo
eso creo que este libro te permitir estudiar por ti mismo y te
ayudar a comprender de forma correcta los conceptos principales del
Clculo. Este libro incluye una coleccin de ejercicios muchsimo ms
amplia que lo que suele ser usual en un libro de texto. De hecho
este libro es tambin un libro de problemas de Clculo y, se me
disculpar la inmodestia, creo que hay muy pocos libros de
ejercicios de Clculo que incluyan una coleccin tan variada de
ejercicios y, sobre todo, que propongan tantos ejercicios no
triviales y desarrollen las soluciones con detalle. Los libros de
ejercicios de Clculo dan muchas veces la impresin de que la teora
solamente sirve para proporcionar un conjunto de recetas que despus
hay que aplicar, sin acabar nunca de entender bien por qu se elige
una receta y no otra y sin entender el fundamento que hace que la
receta funcione. Mi intencin ha sido escribir un libro de Clculo
que sea til tanto para el futuro matemtico como para el futuro
ingeniero, pero cada uno debe leer el libro de la forma adecuada a
sus intereses y necesidades. Para ambos ser de gran utilidad la
extensa coleccin de ejercicios y de ejemplos, pero uno habr de
prestar mayor atencin a los fundamentos tericos y a las
demostraciones y otro a las tcnicas de clculo y de resolucin de
diversos tipos de ejercicios. Al nal de este prlogo propongo dos
posibles guas de lectura. Digamos algo sobre las demostraciones.
Claro est que razonar y demostrar son aspectos fundamentales de las
matemticas, pero s que el valor que las demostraciones tienen para
los estudiantes es muy relativo. El empeo en demostrarlo todo puede
ser contraproducente y constituir un freno en el progreso de muchos
estudiantes. Las demostraciones interesantes son las que contienen
ideas que se repiten en otras situaciones semejantes, no deben ser
extensas, deben ser elegantes y demostrar resultados importantes
que se van a usar con frecuencia. Cuan- do empec este libro mi
intencin era incluir muy pocas demostraciones, al nal, para lograr
la autonoma del texto he incluido muchas ms de lo que inicialmente
pensaba. Mi deseo era equilibrar un desarrollo intuitivo con uno
lgico deductivo, confo en no haberme desviado mu- cho de este
objetivo. Toda ayuda a la intuicin me parece loable, en este
sentido, siempre que lo he credo conveniente, no he dudado en
incluir una gura para facilitar la comprensin de una denicin o de
una demostracin. Pero tambin quiero decir respecto de algunas
demostracio- nes que pueden parecer muy complicadas (como los
teoremas 4.13 y 4.29 de los que tambin doy versiones ms sencillas
7.54 y 7.55), que las cosas complicadas son complicadas, que no se
debe renunciar al razonamiento correcto por el hecho de que sea
complicado, los detalles son importantes, en matemticas no todo
vale. He concedido toda la importancia que merece al desarrollo y
evolucin histrica de los prin- cipales conceptos del Clculo. He
incluido apuntes histricos, mucho ms amplios de lo usual en textos
de estas caractersticas, sobre la evolucin de los conceptos de
nmero y magnitud, lmite y funcin, derivadas e integrales, as como
al concepto de innito y a la algebraizacin del Anlisis llevada a
cabo en el ltimo tercio del siglo XIX. Incluso hay un captulo, el
quinto, cuyo ttulo Nmeros y lmites. El innito matemtico deja bien
claro cul es su contenido. Naturalmente, nada de original hay en
dichas notas histricas pues no he consultado fuentes Universidad de
Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo
diferencial e integral
- 20. Prlogo XIX originales, y su posible valor est en la
particular ordenacin y exposicin que he llevado a cabo. Mi propsito
al escribirlas ha sido presentar la gnesis de los conceptos
matemticos en su contexto, su titubeante y confusa evolucin, las
discrepancias sobre el signicado de los mismos... En una palabra,
proporcionar al estudiante una visin de la matemtica viva. Con
frecuencia los estudiantes tienen la idea de que las matemticas son
algo cerrado y acabado, un conjunto de verdades eternas e
inmutables de una fra perfeccin que se transmi- ten dogmticamente
de generacin en generacin y donde no hay lugar para la sorpresa ni
la pasin. Nada ms lejos de la realidad. La historia de las
matemticas demuestra que el queha- cer matemtico, la creacin
matemtica, est muy lejos de esa fra perfeccin formal lgico
deductiva, que la intuicin, la induccin, los procedimientos
heursticos son quiz ms im- portantes para el avance de las
matemticas que el razonamiento deductivo. La historia de las
matemticas muestra cmo los conceptos nacen para responder a
problemas concretos de cada poca, cmo esos mismos conceptos llevan
a reformular posteriormente los problemas des- de perspectivas ms
generales, en un avance que no siempre es una lnea recta, con
intentos fallidos, con controversias y desacuerdos. La historia
pone tambin muy claramente de maniesto que las matemticas son un
saber acumulativo. Esto tiene una particular importancia para el
aprendizaje, quiere decir que para estudiar y avanzar en matemticas
la memoria es mucho ms importante de lo que usualmente se cree. La
efmera memoria de los estudiantes que llegan a la Universidad, que
con frecuencia han olvidado lo que alguna vez aprendieron de
matemticas, es una de las grandes dicultades que debemos afrontar
los profesores. Un aspecto notable del libro es la atencin que
dedico a los persistentes errores en matem- ticas que suelen tener
casi todos los estudiantes al llegar a la Universidad. Confo en que
mis observaciones al respecto sean tiles no slo para los
estudiantes sino tambin para los pro- fesores de matemticas de las
Enseanzas Medias. Tambin expongo algunas opiniones muy crticas con
la forma en que tradicionalmente se explican algunos temas en la
Universidad, esto afecta muy especialmente al estudio de los nmeros
complejos y de las funciones elementales complejas y de las series,
para los que hago propuestas que creo que deben ser tenidas muy en
cuenta. Granada, septiembre de 2008 Universidad de Granada Dpto. de
Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e
integral
- 21. Guas de lectura XX Guas de lectura El Captulo 5 y los
diversos complementos de contenido histrico solamente debes leerlos
si te gustan. La nica forma de saber si te gustan es que empieces a
leerlos, y si cuando lleves dos pginas sigues interesado en la
lectura seguramente llegars hasta el nal. Los captulos 1 y 2 deben
ser ledos con detenimiento. No hay en ellos demostraciones que
merezcan ese nombre. En el Captulo 1 se dan deniciones bsicas cuyo
conocimiento es imprescindible para leer todo lo dems. En el
Captulo 2 se dene el importantsimo concepto de funcin y se
estudian, desde un punto de vista descriptivo, las funciones
elementales. El conocimiento de dichas funciones es absolutamente
necesario para leer el resto del libro y realizar ejercicios. Para
estudiantes orientados hacia ingenieras cuyo inters por las
matemticas es de tipo instrumental El Captulo 3 est dedicado a los
nmeros complejos y a las funciones complejas elemen- tales.
Solamente t puedes saber si necesitas estudiarlo. Si decides
omitirlo puedes hacerlo con tranquilidad. El Captulo 4 est dedicado
a dos importantes conceptos: el de continuidad y el de lmi- te
funcional. Son conceptos de importancia terica y necesarios para
hacer ejercicios. Debes estudiar y entender las deniciones y
resultados pero no es necesario que leas las demostra- ciones. El
concepto de extremo superior tiene inters desde un punto de vista
formativo, para que comprendas que se precisa alguna herramienta
que permita probar ciertas armaciones de apariencia evidente (o no
tan evidente). Muchos libros de Clculo orientados hacia la ingenie-
ra omiten este concepto. No es un concepto imprescindible para un
futuro ingeniero, pero es bueno que sepas de su existencia y tengas
una idea de su utilidad y lo que signica. El Captulo 6 estudia las
derivadas y sus aplicaciones. Creo que debes leerlo todo incluidas
las demostraciones de los resultados principales porque son cortas
y fciles de entender, con la excepcin, quizs, de las demostraciones
de las Reglas de LHpital, no porque sean difciles sino porque son
algo largas. Pero debes leer la explicacin de por qu dichas reglas
funcionan. Son muy tiles y mi impresin es que se usan como un
recurso casi mgico, sin entender bien lo que se est haciendo. La
seccin en la que se explican tcnicas para calcular lmites de
funciones debes leerla hasta que memorices los lmites bsicos que
all se indican y entiendas bien los procedimientos que se exponen.
El Captulo 7 est dedicado al estudio de las sucesiones. Debes
aprender y comprender bien las deniciones y lo que dicen los
principales teoremas pero, salvo la demostracin de que toda sucesin
montona acotada es convergente, no es necesario que leas ninguna
otra demostracin. Los resultados relativos a la condicin de Cauchy
son una herramienta terica fundamental, pero quizs un ingeniero
puede prescindir de ellos. La seccin en la que se ex- plican
tcnicas para calcular lmites de sucesiones y para resolver las
indeterminaciones ms usuales, debes leerla hasta que memorices los
lmites bsicos que all se indican y entiendas bien los
procedimientos que se exponen. Las sucesiones que denen al nmero e
y las de- sigualdades asociadas con dichas sucesiones son muy
tiles, debes memorizarlas y aprender a reconocerlas all donde
aparezcan. La continuidad uniforme es algo de lo que puedes
prescindir Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof.
Javier Prez Clculo diferencial e integral
- 22. Guas de lectura XXI con tranquilidad. El Captulo 8 es muy
extenso, en l se estudia la integral de Riemann que es la integral
usual del Clculo, las integrales impropias, el clculo de primitivas
y las aplicaciones del clculo integral. Con la excepcin de las
demostraciones del Teorema Fundamental del Clculo y de la Regla de
Barrow, no es necesario que leas otras demostraciones. Procura
entender bien la denicin de integral y sus propiedades as como el
signicado del Teorema Fundamental del Clculo. Todo el tiempo que
dediques, y tendrs que dedicar muchas horas, a practicar las
tcnicas de clculo de primitivas ser ampliamente recompensado.
Calcular primitivas es algo que hay que hacer con muchsima
frecuencia: en todas las aplicaciones de la integral tienes que
calcular una primitiva. El Captulo 9 est dedicado al estudio de las
series numricas. Es importante que aprendas y comprendas bien las
deniciones principales. Hay muchsima confusin en este tema y los
libros que conozco sirven de poca ayuda. Las demostraciones de este
captulo puedes omitirlas salvo las de los criterios de convergencia
para series de trminos positivos que son cortas y fciles de
entender. Las tcnicas para sumar algunos tipos de serie debes
estudiarlas, as como el criterio de Leibniz para las series
alternadas. El apartado dedicado a la expresin de un nmero real en
una base b 2Z merece que lo leas, aunque solamente sea un poco por
encima, para saber lo que dice y para aclararte de una vez con eso
de los decimales innitos con innitas cifras que no se repiten. El
Captulo 10 estudia la convergencia puntual y uniforme de sucesiones
y series de fun- ciones. El concepto de convergencia puntual es muy
sencillo, no lo es tanto el de convergencia uniforme y puede que un
ingeniero no necesite estudiarlo con detenimiento. Es bueno que se-
pas para qu sirve y que muchas operaciones que consisten en
permutar el lmite funcional con la integracin o con la derivacin
requieren para su plena justicacin un tipo de convergencia mejor
que la puntual. Las series de potencias debes estudiarlas con
detalle, omitiendo quizs algunas demostraciones. Su estudio es
importante y muy til a efectos de clculo. Los desarro- llos en
serie de potencias de las funciones elementales, y la denicin por
series de potencias de las funciones exponencial y trigonomtricas
debes estudiarlos bien. Lo que dice el teorema de aproximacin de
Weierstrass es muy fcil de entender, pero puedes omitir su
demostracin. La parte ms importante para el aprendizaje es el
tiempo que dediques a la realizacin de ejercicios. He incluido una
extensa coleccin de ejercicios resueltos que te servir de ayu- da
para aprender a resolver ejercicios t solo. Siempre debes intentar
resolver algunos de los ejercicios propuestos empezando por los que
te parezcan ms fciles, antes de consultar las so- luciones. Se
aprende ms de un ejercicio que al principio se resiste hasta que
damos con la idea para resolverlo, que del ejercicio que resolvemos
al primer golpe de vista. Los ejercicios que propongo tiene un
grado medio de dicultad: no son triviales para no ofender a tu
inteligen- cia ni demasiado difciles para evitar que puedas
desalentarte. Con frecuencia los ms difciles estn resueltos. En
cualquier caso, siempre debes leer la teora y comprender los
conceptos e ideas bsicas, as como el signicado preciso de los
teoremas, antes de hacer los ejercicios. Para estudiantes de
matemticas y fsica Todo lo dicho arriba se mantiene con algunos
aadidos: El Captulo 3 debes estudiarlo y entenderlo bien. Los
conceptos bsicos de los nmeros Universidad de Granada Dpto. de
Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e
integral
- 23. Guas de lectura XXII complejos estn muy confusamente
expuestos en gran nmero de textos y las funciones com- plejas
elementales son denidas con frecuencia de una forma poco correcta.
En el Captulo 4 debes estudiar y comprender bien las deniciones de
extremo superior e inferior. Debes hacer ejercicios hasta que te
convenzas de que sabes usarlas con soltura. La diferencia entre un
curso de Clculo y uno de Anlisis Matemtico est en los conceptos de
supremo e nmo. Los libros de Anlisis Matemtico siempre los
incluyen, los de Clculo casi nunca. No es preciso, al menos en una
primera lectura, que estudies la demostracin del teo- rema de
valores mximos y mnimos de Weierstrass, en el Captulo 7 hay otra
demostracin alternativa de dicho teorema que es mucho ms fcil.
Debes estudiar y comprender la demos- tracin del teorema de Bolzano
y sus consecuencias, as como las relaciones entre monotona e
inyectividad. Para el Captulo 6 te doy los mismos consejos que
arriba. En una segunda lectura debes estudiar la demostracin de las
reglas de LHpital. El Captulo 7 estudia las sucesiones numricas.
Mantengo los mismos consejos de arri- ba pero, adems, en una
segunda lectura debes estudiar las demostraciones de los resultados
principales, especialmente el teorema de completitud de R. Por
supuesto, debes estudiar la continuidad uniforme. Para el Captulo 8
mantengo los mismos consejos de arriba con el aadido de que
estudies las demostraciones de integrabilidad de funciones
continuas y de funciones montonas. En el Captulo 9 puedes omitir la
demostracin de la segunda parte del teorema 9.14 pero debes
entender lo que se arma en el mismo. Lo dems debes estudiarlo todo.
El tema de las series es muy importante para matemticos y fsicos.
El Captulo 10 es de estudio obligado para matemticos y fsicos. La
convergencia uniforme es tu primer encuentro con algunos conceptos
que sern ampliamente generalizados en otros cursos, el tiempo que
dediques a su estudio y a la comprensin de sus sutilezas estar bien
empleado. Todos los teoremas de este Captulo tiene demostraciones
sencillas y cortas que debes estudiar. El teorema de aproximacin de
Weierstrass es tambin uno de esos resultados cuya generalizacin se
estudia en cursos ms avanzados, debes entender bien lo que dice y
no est de ms que leas la demostracin. Por lo dems, mantengo los
consejos dados arriba. La parte ms importante para el aprendizaje
es el tiempo que dediques a la realizacin de ejercicios. He
incluido una extensa coleccin de ejercicios resueltos que te servir
de ayu- da para aprender a resolver ejercicios t solo. Siempre
debes intentar resolver algunos de los ejercicios propuestos
empezando por los que te parezcan ms fciles, antes de consultar las
so- luciones. Se aprende ms de un ejercicio que al principio se
resiste hasta que damos con la idea para resolverlo, que del
ejercicio que resolvemos al primer golpe de vista. Los ejercicios
que propongo tiene un grado medio de dicultad: no son triviales
para no ofender a tu inteligen- cia ni demasiado difciles para
evitar que puedas desalentarte. Con frecuencia los ms difciles estn
resueltos. En cualquier caso, siempre debes leer la teora y
comprender los conceptos e ideas bsicas, as como el signicado
preciso de los teoremas, antes de hacer los ejercicios. Universidad
de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof. Javier Prez Clculo
diferencial e integral
- 24. Captulo 1 Axiomas de R. Principio de induccion Dios cre los
nmeros naturales, lo dems es obra de los hombres. L. Kronecker 1.1.
Introduccin Los temas tradicionales del Clculo son el estudio de
las funciones continuas, las derivadas e integrales, las sucesiones
y las series. T ya debes saber algo de todo eso. En principio,
pare- cen cosas bastante diferentes pero todas ellas tienen una
base comn, que es, precisamente, de lo que nos vamos a ocupar en
este Captulo. Me estoy reriendo a los nmeros reales que repre-
sentamos por R. Sin duda, ya conoces muchas propiedades de los
nmeros reales. Sabes que se pueden sumar y multiplicar y que hay
nmeros reales positivos y negativos. Tambin puedes extraer races de
nmeros reales positivos y elevar un nmero real positivo a otro
nmero real. Lo que quizs no sepas es que todo lo que puedes hacer
con los nmeros reales es consecuencia de unas pocas propiedades que
dichos nmeros tienen que, adems, son muy elementales. En este
Captulo estableceremos dichas propiedades. Sern nuestro punto de
partida para todo lo que sigue; constituyen los axiomas del Clculo.
Te advierto que no voy a decrtelo todo, voy a guardarme una carta
en la manga que te mostrar ms adelante cuando su necesidad sea
maniesta (si echas algo en falta, ve al Captulo 4). 1.1.1. Axiomas,
deniciones, teoremas, lemas, corolarios. Al terminar este apartado,
entenders el signicado de la frase de Bertrand Russell que fue uno
de los ms grandes matemticos y lsofos del siglo XX. La matemtica
pura es aquella ciencia en la que uno no sabe de qu est hablando ni
si lo que est diciendo es verdad. 1
- 25. Axiomas, deniciones, teoremas, lemas, corolarios. 2 Siempre
que te enfrentas a un problema es muy importante que lo sites en su
contexto apro- piado. Esto ya lo haces de forma automtica en muchas
ocasiones. Por ejemplo, sabes que un problema de lgebra y otro de
probabilidades requieren distintas herramientas, y al primero lo
sitas en lgebra y al segundo en Clculo de Probabilidades. Pero no
siempre las cosas son tan claras, no siempre tienes un marco de
referencia tan explcito. Para que sientas lo que quiero decirte,
voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos. En todo lo que
sigue se supone que x; y son nmeros reales. 1. Prueba que 0 x D 0.
2. Prueba que . x/y D xy. 3. Prueba que si x 0 entonces x20.
Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de
los nmeros que has olvidado cundo las aprendiste. Y ahora te pido
que las demuestres! Puedo imaginar tu reaccin que demuestre que 0 x
D 0?, pero si eso es evidente! siempre me han dicho que es as! cmo
se puede demostrar tal cosa?. Pienso que muchas veces la dicultad
de un ejercicio est en que no sabes qu es exacta- mente lo que se
te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas
situaciones lo ms frecuente es quedarse colgado con la mente en
blanco sin saber qu hacer. Para evitar ese peligro, en este curso
vamos a dar un marco de referencia muy claro que va a consistir en
unas propiedades de los nmeros axiomas, si quieres llamarlas as que
vamos a aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas
propiedades, junto con las reglas de inferencia lgica usuales y con
deniciones apropiadas nos permitirn demostrar resultados (teoremas)
que podremos usar para seguir avanzando. Simplicando un poco, puede
decirse que en matemticas no hay nada ms que axiomas y teoremas
(bueno, tambin hay conjeturas, proposiciones indecidibles. . . ).
Todo lo que se demuestra es un teorema; por ejemplo 0 x D 0 es un
teorema. Ocurre que el nombre teorema se reserva para resultados
que se consideran realmente importantes y que ha costado esfuerzo
llegar a probarlos. Se usan tambin los trminos: corolario, lema,
proposicin y otros. Pero la estructura de una teora matemtica
elaborada se resume en un conjunto de axiomas y de teoremas que se
deducen de ellos mediante reglas de inferencia lgica. Los axiomas
de una teora matemtica proporcionan el marco de referencia ms
general de dicha teora. Son, por tanto, muy importantes. Al
principio, cuando la teora empieza a caminar y se demuestran los
primeros resultados ms bsicos, es frecuente recurrir de forma
explcita a los axiomas. Ms adelante, cuando la teora va avanzando,
los axiomas no suelen citarse con tanta frecuencia porque nos
apoyamos en resultados ms elaborados previamente demostrados. Pero
los axiomas siempre estn presentes aunque sea de forma discreta y
no ostensible. Entre las particularidades que distinguen a las
Matemticas de las dems ciencias hay una muy especial: las
Matemticas avanzan dando deniciones. Las deniciones no son nuevos
axiomas. Una denicin lo que hace es introducir un trmino nuevo y
establece cmo dicho trmino se expresa en funcin de los axiomas de
la teora. Por ejemplo, la denicin de con- tinuidad se expresa
mediante desigualdades y las desigualdades se reducen a los axiomas
de orden de R. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico
Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral
- 26. Axiomas, deniciones, teoremas, lemas, corolarios. 3 Quiero
tambin decirte algo sobre lo que se entiende por reglas de
inferencia lgicas usua- les. Me limitar a la ms importante: la
implicacin lgica. Los teoremas matemticos tienen casi siempre la
siguiente estructura: se parte de una hiptesis y de ella se deduce
una tesis. Entremos en detalles. La hiptesis es siempre alguna
propiedad matemtica; por ejemplo, f es una funcin continua en un
intervalo. La tesis tambin es una propiedad matemtica; por ejemplo,
la imagen de f es un intervalo. Representemos por H la hiptesis y
por T la tesis. Es importante que te des cuenta de que no tiene
sentido preguntarse por la veracidad de la hi- ptesis H. No es ni
verdadera ni falsa. Para que H sea verdadera o falsa debemos
particularizar la funcin f . Un error muy frecuente consiste en
pensar que en Matemticas las hiptesis son verdade- ras. Ahora te
preguntars, si H no es verdadera ni falsa, qu quiere decir que H
implica T o, equivalentemente, que T se deduce o es consecuencia de
H? La respuesta es: H implica T quiere decir que siempre que H sea
verdadera tambin T es verdadera. Observa que no estamos armando (no
tiene sentido) que H o T sean verdaderas sino que cuando H es
verda- dera tambin lo es T . Con ms precisin, demostrar que H
implica T consiste en probar que la proposicin HT es cierta.
Teniendo en cuenta que la proposicin HT es la disyuncin lgica
(noH)_T , resulta que si H es falsa entonces HT es verdadera (por
eso se dice que de una hiptesis falsa puede deducirse cualquier
cosa) y si H es verdadera entonces para que HT sea verdadera tiene
que ocurrir que T sea verdadera. En consecuencia, si sabemos que H
es verdadera y que HT es verdadera, deducimos que T es verdadera.
Ahora puedes entender el signicado de la frase de C. P. Steinmetz.
La matemtica es la ciencia ms exacta, y sus conclusiones son
susceptibles de demostracin absoluta. Pero eso se debe
exclusivamente a que la matemtica no intenta obtener conclusiones
absolutas. Todas las verdades matemticas son rela- tivas,
condicionales. Tambin comprendes ya el signicado de una parte de la
enigmtica frase de Bertrand Russell del principio: en matemticas no
sabemos si lo que decimos es verdad. Pero una parte de dicha frase
queda por aclarar. Recuerdas los axiomas de la geometra elemental?
En dichos axiomas se establecen pro- piedades que se supone
satisfacen ciertos objetos llamados punto,recta y plano. Pero no se
dice nunca lo que es un punto ni una recta ni un plano. De la misma
forma, en la seccin siguiente estableceremos los axiomas de los
nmeros reales, pero no diremos lo que es un n- mero real. En
matemticas nunca decimos cul es la naturaleza concreta de los
objetos con los que trabajamos! Sucede que la intuicin nos lleva
muchas veces a una interpretacin na- tural de dichos objetos, pero
otras veces dicha interpretacin natural no est disponible. Y, lo ms
interesante, puede haber interpretaciones muy diferentes de una
misma teora matemtica. Precisamente, las matemticas son una ciencia
abstracta porque trabaja con cosas abstractas cuya naturaleza no se
precisa ni es necesario saber, solamente interesan las relaciones
que hay entre ellas tal y como se establecen en los axiomas. Ahora
ya entiendes por qu arma Bertrand Russell que en matemticas no
sabemos de lo que hablamos. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis
Matemtico Prof. Javier Prez Clculo diferencial e integral
- 27. Axiomas de los nmeros reales 4 1.2. Axiomas de los nmeros
reales 1.2.1. Axiomas algebraicos Como ya sabes, se distinguen
distintas clases de nmeros: Los nmeros naturales 1; 2; 3; : : : .
El conjunto de todos ellos se representa por N. Los nmeros enteros
: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : : . cuyo conjunto se representa por Z.
Los nmeros racionales que son cocientes de la forma p=q donde p 2
Z; q 2 N, cuyo conjunto representamos por Q. Tambin conoces otros
nmeros como p 2, , o el nmero e que no son nmeros racionales y que
se llaman, con una expresin no demasiado afortunada, nmeros
irracionales. Pues bien, el conjunto formado por todos los nmeros
racionales e irracionales se llama conjunto de los nmeros reales y
se representa por R. Es claro que NZQR. Aunque los nmeros que no
son racionales pueden parecer un poco raros, no merece la pena, al
menos por ahora, preocuparse por cmo son estos nmeros; sino que lo
realmente interesante es aprender a trabajar con ellos. Lo
interesante del nmero p 2 es que su cuadrado es igual a 21. Pues
bien, una de las cosas ms llamativas de los nmeros es que a partir
de un pequeo grupo de propiedades pueden deducirse casi todas las
dems. Vamos a destacar estas propie- dades bsicas que,
naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales
que se pueden hacer con los nmeros: la suma y el producto. La suma
de dos nmeros reales x; y se escribe xCy, representndose el
producto por xy. Las propiedades bsicas a que nos referimos son las
siguientes. P1 Propiedades asociativas. Para todos x; y; z en R: .x
C y/ C z D x C .y C z/ I .xy/z D x.yz/ P2 Propiedades conmutativas.
Para todos x; y en R: x C y D y C x I x y D yx P3 Elementos
neutros. Hay dos nmeros reales distintos que representamos por 0 y
1 tales que para todo x 2R se verica que: 0 C x D x 1x D x P4
Elementos opuesto e inverso. Para cada nmero real x hay un nmero
real llamado opuesto de x, que representamos por x, tal que x C .
x/ D 0: Para cada nmero real x distinto de 0, x 0, hay un nmero
real llamado inverso de x, que representamos por x 1, tal que xx 1
D 1: 1La seccin Nmeros y medida de magnitudes trata de la aparicin
de los nmeros irracionales y su relacin con la medida de magnitudes
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Clculo diferencial e integral
- 28. Axiomas de orden 5 P5 Propiedad distributiva. .x C y/z D xz
C y z para todos x; y; z en R. Las propiedades anteriores son de
tipo algebraico y, aunque son muy sencillas, a partir de ellas
pueden probarse cosas tan familiares como que 0xD0, o que . x/yD
.xy/. Vamos a hacerlo. 1.1 Proposicin. Se verican las siguientes
igualdades 0x D 0; . x/y D x y; . x/. y/ D xy : Demostracin.
Probaremos primero que 0x D 0. Por P5 .0 C 0/x D 0 x C 0 x. Como
con- secuencia de P3 es 0 C 0 D 0. Obtenemos as que 0 x D 0 x C 0
x. Usando P4, sumamos el opuesto de 0 x a ambos lados de la
igualdad 0 x D0 x C0 x y, usando tambin P1 (la propiedad
asociativa), obtenemos que 0 x D 0. Probaremos ahora que . x/yD
.xy/. Tenemos que xyC. x/yD.xC. x//yD0 yD0. Donde hemos usado P4,
P5 y el apartado anterior. La igualdad xy C . x/y D 0 nos dice, por
P4, que . x/y es el opuesto de xy. Eso es justamente lo que
queramos probar. Finalmente, la igualdad . x/. y/ D xy es
consecuencia inmediata de la anterior. El smbolo x debe leerse
siempre el opuesto de x y no menos x. La razn es que la palabra
menos remite a una idea de orden (si hay menos es porque hay ms) y
el signicado de x es puramente algebraico y nada tiene que ver con
la idea de orden de la que ni siquiera hemos hablado an. No cometas
el error de pensar que x es negativo! Notacin. Suele escribirse x y
en vez de x C . y/. Tambin, supuesto y 0, se escribe x=y o x y en
vez de x y 1. 1.2.2. Axiomas de orden Los nmeros tienen, adems de
las propiedades algebraicas, otras propiedades que suelen llamarse
propiedades de orden. Como sabes, los nmeros suelen representarse
como puntos de una recta en la que se ja un origen, el 0, de forma
arbitraria. Los nmeros que hay a la derecha de 0, se llaman
positivos y el conjunto de todos ellos se representa por RC. Las
propiedades bsicas del orden son las siguientes. P6 Ley de
tricotoma. Para cada nmero real x se verica una sola de las
siguientes tres armaciones: x D 0, x es positivo, x es positivo. P7
Estabilidad de RC. La suma y el producto de nmeros positivos es
tambin un nmero positivo. 1.2.2.1. Relacin de orden Observa que en
P6 se dice, en particular, que el 0 no es positivo, el 0 es el 0!
Por otra parte, si x es un nmero positivo, entonces como x C . x/ D
0 y el 0 no es positivo, concluimos, por P7, que x no es positivo.
Los elementos del conjunto R D f x W x 2 RCg, es decir, los
opuestos de los nmeros positivos, se llaman nmeros negativos.
Observa que si z 2 R entonces z 2RC. Universidad de Granada Dpto.
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integral
- 29. Desigualdades y valor absoluto 6 1.2 Denicin. Para x; y 2 R
escribimos xy (lase x es menor que y) o yx (lase y es mayor que x)
para indicar que y x 2 RC, y escribimos x 6 y o yx para indicar que
y x 2 RC [ f0g. Notacin. En adelante usaremos las notaciones: RC o
DRC [f0g, Ro DR [f0g y R DRnf0g. 1.3 Proposicin. Para todo x 0 se
verica que x20. En particular, 10. Demostracin. Probaremos que si x
0 entonces x20. En efecto, si x 0 entonces, por P6, o bien x es
positivo o bien x es positivo. Teniendo en cuenta que, como
consecuencia de (1.1), es x2 D x x D . x/. x/, concluimos que x2 es
positivo. En particular, tenemos que 12 D 10. Acabamos de probar
que 10!. Tenemos ahora dos tipos de propiedades en R, las
algebraicas P1-P5 y las de orden P6 y P7. En la siguiente seccin
estudiamos cmo se relacionan entre s. 1.2.3. Desigualdades y valor
absoluto Las propiedades del orden de los nmeros reales son las que
nos permiten trabajar con desigualdades. Es muy fcil equivocarse al
trabajar con desigualdades. Yo creo que en el ba- chillerato no se
le da a este tema la importancia que merece. Fjate que algunos de
los conceptos ms importantes del Clculo se denen mediante
desigualdades (por ejemplo, la denicin de sucesin convergente o de
lmite de una funcin en un punto). Por ello, tan importante co- mo
saber realizar clculos ms o menos complicados, es aprender a
manejar correctamente desigualdades, y la nica manera de hacerlo es
con la prctica mediante numerosos ejemplos concretos. Por supuesto,
siempre deben respetarse cuidadosamente las reglas generales que
gobiernan las desigualdades entre nmeros y asegurarse de que se
usan correctamente. Aparte de tales reglas no hay otros mtodos
generales que nos digan cmo tenemos que proceder en cada caso
particular. En el siguiente resultado el primer teorema de este
curso! se enuncian las propiedades principales del orden de R. Son
las que debers usar para trabajar con desigualdades. 1.4 Teorema
(Reglas para trabajar con desigualdades). Sean x; y; z nmeros
reales. 1. x 6 y e y 6 z implican que x 6 z. 2. x 6 y e y 6 x
implican que x D y. 3. Se verica exactamente una de las tres
relaciones: xy, x D y, o yx: 4. xy implica que x C zy C z. 5. xy ,
z0 implican que xzy z. 6. xy , z0 implican que xzy z. 7. xy0 si, y
slo si, x e y son los dos positivos o los dos negativos. En
consecuencia si x 0 es x20 y, en particular, 10. Universidad de
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diferencial e integral
- 30. Desigualdades y valor absoluto 7 8. z0 implica que 1 z0: 9.
Supuesto que x e y son los dos positivos o los dos negativos, se
verica que xy implica que 1 y1 x : Todas estas propiedades son
fciles de probar. Por ejemplo, para probar el punto 5), si xy se
tiene que y x0. Si ahora es z0, tambin ser z.y x/0, es decir, zy
zx0 o, sea, zxzy. Lo nico que hemos usado aqu ha sido la denicin de
los smbolos y y algunas de las propiedades P1-P8. Un estupendo
ejercicio para que compruebes tus habilidades es que demuestres
todas las armaciones del teorema anterior. 1.2.3.1. La forma
correcta de leer las matemticas La forma en que estn escritos los
apartados del teorema anterior no me gusta mucho. Voy a decirte por
qu y para eso voy a tratar aqu un defecto en el que solemos caer al
leer o estudiar matemticas. Se trata de algo que realizamos de una
manera mecnica, y por ello no es fcil de evitar, y que limita y
condiciona mucho el alcance de lo que entendemos y aprendemos. Para
ponerlo de maniesto vamos a considerar un ejemplo. En uno de los
ejercicios al nal de esta seccin te propongo que pruebes que la
igualdad 1 x C 1 y D 1 x C y (1.1) nunca es cierta. Bien,
supongamos que ya lo has probado. Seguidamente te pido que me digas
cundo es cierta la igualdad 1 x C y2 C 1 z D 1 x C y2 C z (1.2)
Tienes 15 segundos para contestar (y sobran 13). Si? No? Son la
misma igualdad! Y, aqu es a dnde yo quera llegar, si no te parecen
la misma igualdad es porque ests leyendo los smbolos y no los
conceptos, es porque ests leyendo las letras! Claro, me dirs, las
letras estn para leerse. De acuerdo, pero hay que ir siempre al
signicado de lo que se lee y no quedarse en la supercie de los
smbolos. Los smbolos proporcionan mucha comodidad para expresar las
ideas matemticas, pero con frecuencia, si no sabemos leer bien su
signicado, los smbolos pueden ocultar los conceptos. En el ejemplo
anterior, el hecho de que la igualdad (1.1) sea falsa, se expresa
de forma correcta diciendo que la suma de dos inversos nunca es
igual al inverso de la suma. Por tanto, la igualdad (1.2) jams
puede darse pues es la misma igualdad (1.1) en la que se ha
sustituido x por x C y2 e y por z. Pero tanto x como x C y2 son
nmeros reales cualesquiera e igual ocurre con z e y. Te das cuenta
del problema? No es igual retener la idea de que 1 dividido por x
ms 1 dividido por y nunca es igual a 1 dividido por x C y que
asimilar que la suma de dos inversos nunca es igual al inverso de
la suma. En el primer caso los smbolos x e y tienen un protagonismo
que no les corresponde, ocultan el concepto: si te jas demasiado en
ellos no sabrs reconocer que (1.2) y (1.1) son la misma cosa. Esto
que acabamos de ver ocurre en muchas situaciones. Por ejemplo, la
mayora de los libros de texto enuncian el teorema de Bolzano como
sigue. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico Prof.
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- 31. Desigualdades y valor absoluto 8 Sea f W a; b ! R continua
y vericando que f .a/f .b/0. Entonces hay algn c 2 a; b tal que f
.c/ D 0. Demasiadas letras f , a, b, c, demasiadas precisiones que
lo que hacen es confundir y ocultar el resultado. La forma correcta
de leer el enunciado anterior es: toda funcin continua en un
intervalo que toma valores positivos y negativos se anula en algn
punto de dicho intervalo. Los teoremas deben enunciarse as, a ser
posible sin smbolos. Yo procuro hacerlo siempre que el resultado lo
permite. No lo he hecho en el teorema (1.4) porque quiero que lo
hagas t. Por ejemplo, la propiedad 5) de dicho teorema debe leerse
(y escribirse) en la forma: una desigualdad se conserva al
multiplicarla por un nmero positivo. 1.5 Estrategia. Traduce los
smbolos en conceptos. Cuando leas matemticas presta atencin a los
conceptos y no retengas smbolos concretos. 1.6 Denicin. Se dice que
un conjunto no vaco de nmeros reales, AR, tiene mximo si hay un
nmero M 2 A que es el mayor de todos los elementos de A, es decir,
x 6 M para todo x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimos M D mKax A.
Se dice que un conjunto no vaco de nmeros reales, AR, tiene mnimo
si hay un nmero m2A que es el menor de todos los elementos de A, es
decir, m 6 x para todo x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimos m D
mKn A. Valor absoluto El valor absoluto de un nmero x 2R se dene
como el nmero: jx j Dx si x0 x si x 6 0 Para trabajar con valores
absolutos es til recordar la siguiente denicin. 1.7 Denicin. 2.
Para cada nmero z 2RC o , representamos por p z al nico nmero mayor
o igual que cero cuyo cuadrado es igual a z. 1.2.3.2. Una funcin
aparentemente caprichosa Acabamos de denir la funcin raz cuadrada.
Ahora te propongo un juego: voy a ha- certe una pregunta que t vas
a responder de forma inmediata diciendo lo primero que se te
ocurre. La pregunta es la siguiente: dime el valor de p x2. Por
experiencia s que la mayora de las veces la respuesta es x. Pues si
esa ha sido tu respuesta te equivocas. Vuelve a leer la denicin
anterior y responde ahora de forma meditada. Confo en que ya tengas
la respuesta correcta que es jxj. En efecto, se tiene que jxj2 D x2
y, adems, jxj0, por tanto jx j D p x2. S por experiencia que muchos
estudiantes tienen la idea de que la raz cuadrada de un nmero real
positivo es unas veces positiva y otras veces negativa y muchos
creen que pue- de tomar los dos valores y, en este caso, deben
pensar que p x2 D fx; xg. Cosas ms ra- ras se han visto. Toda esta
magia lleva a situaciones bastante extraas. Por ejemplo, es sabido
que la distancia eucldea entre dos puntos .a; b/ y .c; d/ del plano
viene dada porp .a c/2 C .b d/2. En particular, la distancia entre
los puntos .a; b/ D .1; 2/ y .c; d/ D 2Con las herramientas que
ahora tenemos no podemos probar la existencia de races cuadradas
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- 32. Desigualdades y valor absoluto 9 .1; 3/ es p .1 1/2 C .2
3/2 D p . 1/2 D 1. Una distancia negativa? No, la raz cuadra- da no
es una funcin caprichosa y su denicin no deja lugar a dudas: la raz
cuadrada de un nmero positivo es tambin un nmero positivo. Sabes de
dnde procede esta confusin tan extendida? Pues viene de muy atrs,
de cuando en la escuela se aprende (realmente se aprende?) a
resolver la ecuacin de segundo grado ax2 C bx C c D 0 cuyas
soluciones son los nmeros b p b2 4ac 2a (1.3) Ah est el problema:
en el confuso smbolo delante de la raz. Es eso lo que lleva a
muchos a pensar que las races cuadradas pueden tomar dos valores:
uno positivo, que corresponde a la eleccin del sigo C, y otro
negativo que corresponde a la eleccin del signo en la expresin
(1.3). Lo ms lamentable es que toda esta confusin no es ms que
producto de la pereza. Vers, cuando se aprende a resolver la
ecuacin de segundo grado ax2 C bx C c D 0 (realmente se aprende?)
se obtienen las soluciones b C p b2 4ac 2a ; b p b2 4ac 2a Como
esto es largo de escribir en la pizarra, los profesores, por
pereza, resumen las soluciones obtenidas en la expresin nica (1.3).
Eso explica cosas bastante incomprensibles como, por ejemplo,
escribir C p 3 acaso escribes +7? No, sabes que 7 es un nmero
positivo y parece totalmente improcedente escribir C7. Entonces,
por qu escribir C p 3? Respuesta, porquep 3 es caprichoso: unas
veces puede ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar
se le llama magia matemtica, est bastante ms extendida de lo que
puedes creer y no solamente entre estudiantes. Confo en que te haya
quedado claro sin lugar a dudas que p x2 D jxj y que la raz
cuadrada no es una funcin caprichosa. La utilidad de la raz
cuadrada para trabajar con valores absolutos procede de la
siguiente estrategia de procedimiento. 1.8 Estrategia. a) Para
probar que dos nmeros positivos son iguales es suciente probar que
sus cuadrados son iguales. b) Para probar una desigualdad entre dos
nmero positivos es suciente probar dicha de- sigualdad para sus
cuadrados. El enunciado anterior est hecho como a mi me gusta: con
palabras y sin smbolos. Ponien- do smbolos, lo que se dice en el
enunciado es que: Dados a; b 2 RC o para probar que aDb es suciente
probar que a2 Db2 y para probar que ab es suciente probar que a2b2.
Todo lo dicho es consecuencia de que b2 a2 D .b a/.b C a/ y se
tiene que b C a0. Geomtricamente, jxj representa la distancia de x
al origen, 0, en la recta real. De manera ms general: jx yj D
distancia entre x e y representa la longitud del segmento de
extremos x e y. Universidad de Granada Dpto. de Anlisis Matemtico
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- 33. Ejercicios propuestos 10 1.9 Teorema (Propiedades del valor
absoluto). Para x; y 2 R se verica que: i) jxj 6 y es equivalente a
y 6 x 6 y. ii) jx yj D jxjjyj. iii) jx C yj 6 jxj C jyj y la
igualdad se da si, y slo si, xy0 desigualdad triangular. iv) jjxj
jyjj 6 jx yj y la igualdad se da si, y slo si, xy0. Demostracin. La
primera armacin es consecuencia inmediata de la denicin de valor
absoluto. Para probar ii), iii) y iv) usaremos la estrategia (1.8).
ii) Tenemos que jxyj2 D .xy/2 D x2y2 D jxj2jyj2 D .jxjjyj/2. iii)
Tenemos que jx C yj2 D.xCy/2 Dx2 C2xyCy2 Djxj2 C2xyCjyj2 6jxj2
C2jxyjCjyj2 D.jxjCjyj/2 La igualdad se da si, y slo si, xy D jxyj,
es decir, xy0. iv) Tenemos que jjxj jyjj2 D x2 2jxyj C y2 6 x2 2xy
C y2 D .x y/2 D jx yj2 La igualdad se da si, y slo si, xy D jxyj,
es decir, xy0. Te recuerdo que debes leer de forma correcta las
propiedades anteriores: no te jes en las letras sino en los
conceptos. La propiedad ii) debes leerla el valor absoluto de un
producto es igual al producto de los valores absolutos. Por su
parte, la desigualdad triangular dice dos cosas: i) El valor
absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores
absolutos. ii) El valor absoluto de una suma es igual a la suma de
los valores absolutos si, y slo si, todos los sumandos son
positivos o todos todos los sumandos son negativos. 1.2.4.
Ejercicios propuestos 1. Sabes por qu no se puede dividir por 0? 2.
Qu quiere decir que un nmero no es racional? Demuestra que p 2 no
es racional. 3. Sabiendo que a C bc C d; ab; cdI se verica
necesariamente alguna de las desigualdades: ac; ad; bc o bd ? Dar
una prueba o un contraejemplo en cada caso. Universidad de Granada
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- 34. Ejercicios propuestos 11 4. Sea x un nmero real. Estudia si
cada una de las desigualdades x2x y x3x2 es consecuencia de la
otra. 5. Calcula para qu valores de x se verican las desigualdades
siguientes. i) 2x 3 x C 21 3 ii) 1 x C 1 1 x0 iii) x2 5x C 9x iv)
x3.x 2/.x C 3/20 v) x2 .a C b/x C ab0 vi) 3.x a/a2x 3 a33.x a/x2 6.
Prueba las siguientes desigualdades: a) 0x C y x y1 siempre que
0x1; 0y1: b) 1 x C 1 a C b x1 a C 1 b siempre que 0axb: 7. Prueba
que cualesquiera sean los nmeros reales positivos a0 y b0 se verica
que a 2.a C b/ p b1 p b 1 p a C b 8. Calcula para qu valores de x
se verican las siguientes desigualdades. i) jx 5jjx C 1j ii) jx
1jjx C 2j D 3 iii) jx2 xj1 iv) jx y C zj D jxj jz yj v) jx 1j C jx
C 1j1 vi) jx C y C zj D jx C yj C jzj vii) jxj jyj D jx yj viii) jx
C 1jjx C 3j 9. Supuesto que s tu vx y donde t; v; y 2 RC, prueba
que s ts C u C x t C v C yx y . Generaliza este resultado. 10.
Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada
caso, cundo se da la igualdad. a) 2x y 6 x2 C y2: b) 4x y 6 .x C
y/2: c) x2 C x y C y20: d) .a2 C a C 1/.b2 C b C 1/.c2 C c C
1/27abc donde a0; b0; c0. Sugerencia. Para probar a) considrese .x
y/2. Las dems desigualdades pueden de- ducirse de a). 11. Demuestra
todos los apartados del teorema (1.4) y enncialos con palabras.
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- 35. Ejercicios resueltos 12 12. Sean x e y nmeros distintos de
cero. Prueba que las igualdades 1 x C y D 1 x C 1 y ; q x2 C y2 D x
C y son falsas. 13. Comprueba que .x C 1/ 1 2 .2x C 1/ 2 D x 1 2
.2x C 1/ 2 . Por tanto, extrayendo races cuadradas, se deduce que
.x C1/ 1 2 .2x C1/Dx 1 2 .2x C1/, esto es x Dx C1 y, por tanto, 0 D
1. Dnde est el error? 14. Calcula los nmeros reales x que verican
cada una de las igualdades p x C 1 p x 1 D 2; 1 p x 2 1 p x D 2 3
Comprueba las soluciones obtenidas. 15. Prueba que jxj C jyj C jzj
6 jx C y zj C jx y C zj C j x C y C zj. 16. Prueba que si m es un
nmeros natural que no es el cuadrado de ningn nmero natural, es
decir, m n2 para todo n 2 N, entonces se verica que p m es un nmero
real no racional. Sugerencia. Usa la descomposicin de m en factores
primos. 17. Justica las siguientes armaciones. a) La suma de un
nmero racional y un nmero irracional es un nmero irracional. b) El
producto de un nmero racional no cero por un nmero irracional es un
nmero irracional. c) La suma y el producto de dos nmeros
irracionales puede ser racional o irracional. d) Los nmeros p 2 C p
3, p 6 p 2 p 3 y p 5 C 2 3 p 5 C 4 son irracionales. 1.2.5.
Ejercicios resueltos Antes de ver la solucin de un ejercicio debes
intentar resolverlo