Post on 10-Feb-2022
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
Página 85 de 96 C2ACADEMIA.COM
A2 Y B2 TEORIA
VECTORES, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO:
RECTA
ðŽ(1,2,3)ðŠðµ(0,1, â1)
Crea el vector con los puntos:
ðŽðµ-----â = ðµ â ðŽ = (0,1, â1) â (1,2,3) = (â1,â1,â4)
ðµðŽ-----â = ðŽ â ðµ = (1,2,3) â (0,1, â1) = (1,1,4)
Ecuaciones de la recta:
ðððð¡ððððð â (ð¥, ðŠ, ð§) = (1,2,3) + ð¡(1,1,4)
ððððððð¡ðððð â @ð¥ = 1 + 1ð¡ðŠ = 2 + 1ð¡ð§ = 3 + 4ð¡
ð¶ððð¡ððð¢ð âð¥ â 11
=ðŠ â 21
=ð§ â 34
ðŒðð¡ððð ððððóðððððð ðððððð â Ið¥ â ðŠ + 1 = 04ðŠ â ð§ â 5 = 0
Para que dos rectas sean paralelas deben tener el mismo vector director o proporcional.
Algo importante para tener en cuenta:
Para encontrar el vector director de una recta representada de la siguiente manera:
ð â¡ð¥ â 21
=ðŠ + 20
= ð§ â ð!----â = (1,0,1)
Para saber el vector director de la
recta:"ð€ ð¥ ð'â1 â1 00 4 â1
" = 1ð + 1ð + 4ð
Para saber un punto le damos un valor
a cualquier incógnita y
despejamos el resto
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
Página 86 de 96 C2ACADEMIA.COM
Cuando tenemos la siguiente expresión, hallar el vector es:
ðð¥1=ðŠ + 11
=ð§ + 21
â ððð£ððð¡ðððð¢ðððð ððð!----â = (1ð, 1,1)ðð!----â = (1,ð,ð)
ð¥1ð=ðð¥1
POSICIÃN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
Sus vectores directores son proporcionales
En este caso las rectas son paralelas o coincidentes (la misma recta). Es decir, se cumple:
ð0ð£0=ð1ð£1=ð2ð£2
Para diferenciar entre paralelas o coincidentes tenemos que coger el punto de la recta ð y sustituirlo en la recta ð .
Coincidentes:
El punto de la recta r cumple las ecuaciones de la recta s.
Paralelas:
El punto de la recta r NO cumple las ecuaciones de la recta s.
r
s
s r
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
Página 87 de 96 C2ACADEMIA.COM
Sus vectores directores NO son proporcionales
En este caso, los vectores al no ser proporcionales, las recta o se cruzan o se cortan.
Para diferenciar ambas opciones necesitamos los vectores directores de cada una de las rectas y crear un nuevo vector con los puntos de cada recta.
Entonces;
Mð0 ð1 ð2ð£0 ð£1 ð£2
ð¥0 â ð¥1 ðŠ0 â ðŠ1 ð§0 â ð§1M
Si el determinante anterior es igual a cero: las rectas se cortan en un punto. Para hallar dicho punto de corte tenemos que igualar ambas rectas teniendo en cuenta que las rectas deben de estar en paramétricas.
Si el determinante anterior es distinto de cero entonces ambas rectas se cruzan en el espacio.
r
s
r
s
ððð¡(ðŽ) = 0
ððð¡(ðŽ) â 0
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
Página 88 de 96 C2ACADEMIA.COM
PLANO
Necesitamos por lo menos tres puntos, con esos tres puntos calculamos dos vectores y
escribimos las ecuaciones: A, B y C puedo calcular: ðŽðµ-----â ðŠðŽð¶-----â
Ecuación vectorial
(ð¥, ðŠ, ð§) = (ð¥3, ðŠ3, ð§3) + ð(ð0, ð1, ð2) + ð(ð£0, ð£1, ð£2)
Ecuación paramétrica
@ð¥ = ð¥3 + ðð0 + ðð£0ðŠ = ðŠ3 + ðð1 + ðð£1ð§ = ð§3 + ðð2 + ðð£2
Ecuación general o implÃcita
Para preparar esta ecuación del plano tenemos dos procedimientos dependiendo de la información:
Primer procedimiento
Cuando tenemos dos vectores y un punto que pertenecen al plano:
Mð0 ð1 ð2ð£0 ð£1 ð£2
ð¥ â ð¥3 ðŠ â ðŠ3 ð§ â ð§3M = 0
resolviendo este determinante obtendremos la ecuación general del plano:
ðŽð¥ + ðµðŠ + ð¶ð§ + ð· = 0
Punto Vector Vector
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
Página 89 de 96 C2ACADEMIA.COM
Segundo procedimiento
Cuando nos proporcionan el vector normal del plano y un punto:
ð-â = (ðŽ, ðµ, ð¶)
ð(ð¥3, ðŠ3, ð§3)
ðŽ(ð¥ â ð¥3) + ðµ(ðŠ â ðŠ3) + ð¶(ð§ â ð§3) = 0
ðŽð¥ + ðµðŠ + ð¶ð§ + ð· = 0
POSICIÃN RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO
Obtenemos el vector director de la recta ð!----â y el vectro normal del plano ð-â :
Rð!----â â ð-â = 0 â ðð¢ðð¡ðððððððððð¡ðððððððððð â ððððððððð
ðð¢ðð¡ðððððððð¡ðððððððððððð â ð¶ððððððððð¡ðð ð!----â â ð-â â 0 â ð¿ððððð¡ððŠðððððð ððððð¡ðð
ð
ð
ð
ð
ð
ð
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
Página 90 de 96 C2ACADEMIA.COM
POSICIÃN RELATIVA DE DOS PLANOS
Dos planos pueden ser coincidentes, paralelos o secantes.
ð = ðâ² ð
ðâ²
ð
ðâ² ð
ðŽðŽâ²=ðµðµâ²=ð¶ð¶â²=ð·ð·â²
ðŽðŽâ²=ðµðµâ²=ð¶ð¶â²â ð·ð·â²
ðŽðŽâ²â ðµðµâ²â ð¶ð¶â²
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
Página 91 de 96 C2ACADEMIA.COM
POSICIÃN RELATIVA DE TRES PLANOS
Dados los planos
ð = ðŽð¥ + ðµðŠ + ð¶ð§ + ð· = 0
ðâ² = ðŽâ²ð¥ + ðµâ²ðŠ + ð¶â²ð§ + ð·â² = 0
ðâ²â² = ðŽâ²â²ð¥ + ðµâ²â²ðŠ + ð¶â²â²ð§ + ð·â²â² = 0
Podemos conocer su posición relativa estudiando el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada:
ð = XðŽ ðµ ð¶ðŽâ² ðµâ² ð¶â²ðŽâ²â² ðµâ²â² ð¶â²â²
Yðâ = XðŽ ðµ ð¶ ð·ðŽâ² ðµâ² ð¶â² ð·â²ðŽâ²â² ðµâ²â² ð¶â²â² ð·â²â²
Y
ð ðððð(ð) ð ðððð(ðâ) Posición 3 3 Planos secantes en un punto 2 3 Planos secantes dos a dos
Dos planos paralelos y el tercero secante 2 2 Planos secantes y distintos
Dos planos coincidentes y uno secante 1 2 Planos paralelos y distintos dos a dos
Planos paralelos y dos coincidentes 1 1 Planos coincidentes
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
Página 92 de 96 C2ACADEMIA.COM
Con el dominio de estos procedimientos seremos capaces de resolver cualquier problema.
Dos planos paralelos:
Si tenemos dos planos que son paralelos debemos tener claro que sus vectores normales van a ser iguales o proporcionales:
ð0----â = ð1----â
Recta y plano perpendiculares:
Cuando tenemos una recta y un plano perpendiculares estamos trabajando con una situación en la que el vector normal del plano es igual al vector director de la recta:
ð0----â = ðð----â = (ðŽ, ðµ, ð¶)
Con ese vector y un punto ya podrÃamos crear la ecuación del plano o de la recta, dependiendo de la información que nos den y de lo que nos pidan.
ðŽ(ð¥ â ð¥3) + ðµ(ðŠ â ðŠ3) + ð¶(ð§ â ð§3) = 0
ðŽð¥ + ðµðŠ + ð¶ð§ + ð· = 0
ð0----â
ð1----â
ð0----â
ðð----â
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
Página 93 de 96 C2ACADEMIA.COM
RECTA Y PLANO PARALELOS
Cuando tienes esta posición de la recta y el plano, tienes que asumir que ð! â ð-â = 0, ya que sus vectores forman un ángulo de noventa grados. Esta información suele ser de interés para resolver ejercicios.
Plano paralelo a dos rectas:
Cuando nos dicen que un plano es paralelo a dos rectas, el vector ð-â del plano es perpendicular a los dos vectores directores de las rectas, entonces:
\ð€ ð¥ ð-âð0 ð1 ð2ð£0 ð£1 ð£2
\ = ð-â = (ðŽ, ðµ, ð¶)
Recta paralela a dos planos:
Cuando nos dicen que una recta es paralela a dos planos, el vector ðde la recta es perpendicular a los dos vectores normales de los planos, entonces:
\ð€ ð¥ ð-âð ð ðð0 ð0 ð0
\ = ð!----â = (ð¥, ðŠ, ð§)
ð-â
ð
ð£
ð-â
ð
ð-â = (ð0, ð0, ð0)
ð-â = (ð, ð, ð)
ðð----â
ðð----â
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
Página 94 de 96 C2ACADEMIA.COM
Punto simétrico respecto de un plano:ððŠð
Creamos la representación de la derecha, teniendo en cuenta lo siguiente:
ð-â = ð!----â â
ððð£ððð¡ðððððððððððððððððŠð£ððð¡ðððððððð¡ðððððððððð¡ðð ððððð¢ðððð
Observa que la recta (en discontinua) la vas a crear utilizando el vector normal del plano y el punto P
Cuando creas la recta con ððŠð!----â = ð-â , tienes que calcular el punto medio ð. Para eso tienes que introducir en el plano las ecuaciones de la recta:
ð â¡ ðŽð¥ + ðµðŠ + ð¶ð§ + ð· = 0ð: bð¥ = â¯ðŠ = â¯ð§ = â¯
ðŽ(âŠ) + ðµ(âŠ) + ð¶(⊠) + ð· = 0
ðððð ð¡ððððððððððð¢ððð ððð£ððððððð¢ðððððððð¡ðððð¢ðð ð¢ð ð¡ðð¡ð¢ðððððð ððððððð¢ðððóððððððððð¡ð.
ðŠððð¡ððððððð ððððððððð (ð¥, ðŠ, ð§)ððððð¢ðð¡ðð
Para finalmente halla punto simétrico: ð5 = 2ð â ð
ð-â
ðð----â
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
Página 95 de 96 C2ACADEMIA.COM
Punto simétrico respecto de una recta:ððŠð
Creamos la representación de la derecha, sabiendo que:
ð-â = ð!----â â
ððð£ððð¡ðððððððððððððððððŠð£ððð¡ðððððððð¡ðððððððððð¡ðð ððððð¢ðððð .
Observa que el plano (en discontinuo) lo vas a crear utilizando el vector director de la recta y el punto P que esta dentro del plano.
Cuando creas el plano con ððŠð!----â = ð-â , tienes que calcular el punto medio ð. Para eso tienes que introducir en el plano las ecuaciones de la recta:
ð â¡ ðŽð¥ + ðµðŠ + ð¶ð§ + ð· = 0ð: bð¥ = â¯ðŠ = â¯ð§ = â¯
ðŽ(âŠ) + ðµ(âŠ) + ð¶(⊠) + ð· = 0
ðððð ð¡ððððððððððð¢ððð ððð£ððððððð¢ðððððððð¡ðððð¢ðð ð¢ð ð¡ðð¡ð¢ðððððð ððððððð¢ðððóððððððððð¡ð.
ðŠððð¡ððððððð ððððððððð (ð¥, ðŠ, ð§)ððððð¢ðð¡ðð
Para finalmente halla punto simétrico: ð5 = 2ð â ð
Entendiendo este procedimiento podrás ser capaz de determinar la distancia entre un punto y una recta o un punto y un plano de forma mucho mas sencilla que aplicando las formulas. El calculo se reduce al calcula de la distancia entre dos puntos.
ð-â
ðð----â
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
Página 96 de 96 C2ACADEMIA.COM
La distancia entre dos puntos:
ð(ðŽ, ðµ) = hðŽðµ-----â h = ið¥1 + ðŠ1 + ð§1
La distancia entre un plano y un punto:
ð(ð, ð) =|ðŽð¥3 + ðµðŠ3 + ð¶ð§3 + ð·|
âðŽ1 + ðµ1 + ð¶1
La distancia entre dos planos paralelos:
ð(ð, ð0) = lð· â ð·â²
âðŽ1 + ðµ1 + ð¶1l
ÃNGULO ENTRE ELEMENTOS
⢠Entre dos rectas:
ððð ðŒ =ð¢-â â ð£|ð¢-â | â |ï¿œâï¿œ|
⢠Entre dos planos:
ððð ðŒ =ð0----â â ð1----â|ð0----â | â |ð1----â |
⢠Entre recta y plano:
ððð (90 â ðŒ) = ð!----â â ð0----âhð!----â h â |ð0----â |