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B 1Ángulos y triángulos
B Ángulos y triángulos1PÁGINA 3Evaluación diagnóstica
I. Ya que el punto, la recta y el plano son conceptos primitivos de la geometría, es decir, son con-
ceptos no defi nidos en un contexto determinado, se deja la respuesta libre al alumno (R. L.). sin
embargo, sí es posible representarlos con un dibujo.
1. R. L.
2. R. L.
3. R. L.
II. Respuesta modelo (R. M.) Tomando al punto O como el vértice, tenemos que se forman los si-
guientes ángulos: ∠DOA o ∠AOD , ∠AOB o ∠BOA , ∠BOC o ∠COB y ∠COD o ∠DOC .
x
1
2
3
y
10- 1- 3 32- 2
0
- 3
- 2
- 1
Punto A
C
Recta
Plano
C
B A
DC
O
© T
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los
dere
chos
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erva
dos,
Edi
cion
es C
asti
llo, S
. A. d
e C
. V.
2
B 1Ángulos y triángulos
III. Haz lo que se pide.
1.
Pareja de triángulos A. Pareja de triángulos B.
2. En la pareja de triángulos A triángulos son iguales. En la pareja de triángulos B son parecidos.
3. Pareja de triángulos A: r =3.83.8
= 1 , r =2.52.5
= 1 , r =4.24.2
= 1 .
Pareja de triángulos B: r =8.15.4
= 1.5 , r =7.24.8
= 1.5 , r =5.13.4
= 1.5 .
IV. R. M.
Semejanza. Dos triángulos son semejantes cuando tienen, respectivamente, sus ángulos iguales uno
a uno y sus lados respectivos son proporcionales. Se llama razón de semejanza r al cociente entre dos
longitudes correspondientes.
Congruencia. Dos triángulos son congruentes cuando cada uno de los lados de uno de los triángulos
es igual a cada uno de los lados correspondientes del otro triángulo; y también los tres ángulos de uno
de los triángulos es igual que cada uno de los ángulos correspondientes del otro.
V. R. M. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
DEFINIR CONCEPTOS GEOMÉTRICOS PÁGINA 4
I.
1. R. L.
2. R. L.
EJERCICIO 1
4.8
3.4
5.48.1
7.2
5.1
C´
A´
B´
B
A
C
2.5
2.5
4.2
4.2
3.8 3.8
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B 1Ángulos y triángulos
RECONOCER ÁNGULOS PÁGINA 4
I.
EJERCICIO 2
COMPARAR ÁNGULOS PÁGINA 4
I. El mayor es el ángulo de la fi gura 1.4c. R. M. La magnitud de un ángulo no depende de la lon-
gitud de sus lados, sino de la abertura que hay entre ellos, ya que es la sección del plano que se
encuentra comprendida entre los lados. Así, para medir un ángulo se compara su amplitud con
la de otro al que se considera modelo y sirve como unidad de medida.
PROBLEMA 1
A C
B
Lado
Lado
ÁnguloVértice
DEFINIR CONCEPTOS GEOMÉTRICOS PÁGINA 4
I. R. M. Un ángulo es la sección del plano comprendida entre dos semirrectas, llamados lados del
ángulo, que parten de punto común llamado vértice.
EJERCICIO 3
A B C
A
B
C
A
B
CA
B
C
D
E
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B 1Ángulos y triángulos
NOMBRAR ÁNGULOS PÁGINA 5
I.
Tabla 1.1 Notación de ángulos
Notacióngráfica
Notación simbólica
∠G ∠β o β ∠FDE ∠QPR ∠O
LecturaÁngulo cuyo
vértice es el
punto G.
Ángulo βÁngulo definido
por los puntos F,
D y E.
Ángulo definido
por los puntos Q ,
P y R.
Ángulo cuyo
vértice es el
punto O.
EJERCICIO 4
NOMBRAR ÁNGULOS PÁGINA 5
I.
1.
EJERCICIO 5
2. Algunos otros de los ángulos son: ∠COE , ∠COD , ∠COB , ∠AOE , ∠AOB , ∠DOC y ∠EOB .
RECORDAR SISTEMA SEXAGESIMAL PÁGINA 5
I.
1. R. M. El grado sexagesimal se denota por por el símbolo ° (grado), y es igual a 1
360 del ángulo de
una vuelta de circunferencia, y equivale a 190
de un ángulo recto.
2. R. M. En el sistema sexagesimal una vuelta completa a una circunferencia equivale a 360° (360
grados), 34
de vuelta equivale a 270°, 12
vuelta equivale a 180° y 14
de vuelta equivale a 90°
EJERCICIO 6
Gβ
DE
F
P R
Q
O
A
α
B
β
C
D
E
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B 1Ángulos y triángulos
RECORDAR EL SISTEMA CIRCULAR PÁGINA 5
I.
1. R. M. Un radián (rad) es el ángulo cuyos lados sostienen un arco con longitud igual al radio (r) de
la circunferencia.
2. R. M. En el sistema circular una vuelta completa a una circunferencia equivale a 2π radianes,
34
de vuelta equivale a 32π ,
12
vuelta equivale a π radianes y 14
de vuelta equivale a 12π .
EJERCICIO 7
PRACTICAR NOTACIÓN DE GRADOS PÁGINA 6
I.
Cantidad con palabras Cantidad con números
Veintidós grados, treinta minutos y veinticinco segundos. 22° 30´ 25´´
Veinte grados, treinta minutos y cuarenta segundos. 20 ° 30´ 40´´
Quince grados, veintitrés minutos y cuarenta y cinco segundos. 15° 23´ 45´´
Ciento veinte grados, treinta y cuatro minutos y cinco segundos. 120° 34´ 5´´
Cuarenta y cinco grados, 12 minutos 45° 12´
Treinta y ocho grados y 30 minutos. 38° 30´
Treinta grados, 12 minutos, 3 segundos 30° 12´ 3´´
Ciento veinte grados, veintitrés minutos y cincuenta y cuatro segundos 120° 23´ 54´´
PRACTICAR MEDICIÓN DE ÁNGULOS PÁGINA 6
I.
EJERCICIO 8
EJERCICIO 9
Fig 1.6a Medida: 32°
Fig 1.6c Medida: 95°
Fig 1.6b Medida: 230°
Fig 1.6d Medida: 339°
T
R
S
Y
Z
X
C D
E
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B 1Ángulos y triángulos
PRACTICAR MEDICIÓN DE ÁNGULOS PÁGINA 6
I.
1.
a) 13:00 horas b) 14:00 horas c) 15:00 horas d) 16:00 horas
PRACTICAR CONVERSIONES ENTRE FORMAS PÁGINA 7DECIMAL Y SEXAGESIMAL
I. Para el procedimiento, Se conservan los grados° y se expresan los minutos y segundos en deci-
mal. Para convertir los minutos estos se dividen entre 60 y la cantidad obtnida se suma a los
grados. Los segundos se dividen entre 3600 y la cantidad obtenida se suma a la cantidad con los
grados y los decimales de los minutos.
1. 22.00° 2. 92.00° 3. 132.00°
4. 34.76666° 5. 98.3666666° 6. 210.666666°
7. 42.58333° 8. 96.40833° 9. 136.700003352°
II. Para hacer la conversión, la parte entera de la cantidad corresponde a los grados. La parte deci-
mal se multiplica por 60, y la parte entera del resultado corresponde a los minutos. Como queda
una parte decimal, ésta se multiplica por 60 y la parte entera del resultado corresponde a los
segundos.
1. 45° 18´
2. 102° 49´ 12´´
3. 146° 20´ 42´´
4. 25° 30´ 45´´
5. 125° 33´ 46´´
6. 210° 14´ 37´´
7. 32° 42´ 2´´
8. 115° 7´ 56´´
9. 270° 8´ 12´´
PROBLEMA 2
EJERCICIO 10
DIBUJAR LOS ÁNGULOS PÁGINA 7
I. R. M.
EJERCICIO 11
A
B
C
D
345º
315º
180º120º
50º20º
E
G
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e C
. V.
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B 1Ángulos y triángulos
USAR DISPOSITIVOS DE MEDICIÓN PÁGINA 7(TRANSPORTADOR)
I.
1. Ángulo Medida Ángulo Medida
!CEA 45.17° !BEC 134.83°
!AED 134.83° !DEC 180°
!DEB 45.17° !BEA 180°
2. !CEA =!DEB , !AED =!BEC , y !DEC =!BEA . !CEA +!AED =!DEC y !DEB+!BEC =!BEA .
DIBUJAR LOS ÁNGULOS PÁGINA 8
I.
1.
PROBLEMA 3
ACTIVIDAD 1
2.
a) 315° y 300° b) 225° y 210° c) 135° y 30°
PRACTICAR SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS PÁGINA 8
I.
Operación Resultado Operación Resultado
24° 3´ 12´´ + 15° 14´ 45´´ 39° 17´ 57´´ 20° 9´ 56´ +́ 17° 45´´ 37° 54´ 56´´
78° 34´ 25´´ − 25° 26´ 45´´ 53° 7´ 40´´ 24° 5´ 6´´ − 18° 16´ 36´´ 5° 48´ 30´´
EJERCICIO 12
G
A
B
C
D
E
FO
270º
180º 150º110º
30º15º
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B 1Ángulos y triángulos
PRACTICAR SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS PÁGINA 8
I. 170° 53´ 46´´.
PROBLEMA 4
PRACTICAR CONVERSIONES ENTRE PÁGINA 9GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES
I. Completa la tabla. Expresa las medidas de los ángulos en las unidades que se piden. Usa calcula-
dora.
Grados sexagesimales
RadianesGrados
sexagesimalesRadianes
Grados sexagesimales
Radianes
15° 0.2618 rad 38° 0.663226667 41° 20´ 54´ 0.721665663
30° 0.5236 5.63 45.5402° 0.79483
45°π4
147° 2.56564 171° 29´ 43´ 2.993164235
60°π3
142.66615° 2.49 72.1174° 1.25869
90° 1.5708 255° 4.4506 219° 05´ 36´ 3.822390892
120° 2.0944 447.47899 7.81 2.96571
150°5π6
330° 5.7596 327° 53´ 12´ 5.722715173
240° 4.1888 249.80901° 4.36 143° 52´ 36´ 2.511127306
300°5π3
67° 30 1.1781 202.946333° 3.54209
330° 5.7596 540° 9.4248 74.78333° 1.3052184
CLASIFICAR ÁNGULOS POR SUS LADOS Y VÉRTICES PÁGINA 9
I. R. M.
Dos ángulos consecutivos. Dos ángulos adyacentes.Dos ángulos opuestos
por el vértice.
A
CB
O
α β
AC
B
O
α β
A
C
B
α β
δγ
D
O
EJERCICIO 13
EJERCICIO 14
O
B
Aα = 170.9°
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B 1Ángulos y triángulos
CLASIFICAR ÁNGULOS POR SUS MEDIDAS PÁGINA 9
I.
Agudos FEB EIB HIC
Perpendiculares FBA ABF EBC
Obtusos BIC EIH
Llanos KIJ HIB
Cóncavos NML LNM
PerigonalesEl ángulo con centro
en I y da una vuelta.
PRACTICAR CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS PÁGINA 10POR SUS MEDIDAS
I.
Ángulo Complemento Ángulo Suplemento Ángulo Conjugado
23° 67° 92° 88° 186° 174°
52° 38° 87° 29´ 92° 31´ 132° 12´ 227° 48´
44° 29´ 45° 31´ 156° 37´ 23° 23´ 217° 45´ 142° 15´
67° 42´ 22° 18´ 78° 49´ 26´´ 101° 10´ 34´´ 150° 44´ 16´´ 209° 15´ 44´´
17° 38´ 54´´ 72° 21´ 6´´ 109° 18´ 21´´ 70° 41´ 39´´ 249° 37´ 28´´ 110° 22´ 32´´
39° 15´ 42´´ 50° 44´ 18´´ 133° 02´ 54´´ 46° 57´ 6´´ 303° 52´ 46´´ 56° 7´ 14´´
IDENTIFICAR ANGULOS EXTERNOS E INTERNOS PÁGINA 10
I.
Ángulos alternosinternos
Los ángulos γ y ε, y δ y ξ son pares de ángulos alternos internos.
Ángulos alternosexternos
Los ángulos β y θ, y α y η son pares de ángulos alternos externos.
Ángulos colateralesinternos
Los ángulos β y η y α y θ son pares de ángulos colaterales internos.
Ángulos colateralesexternos
Los ángulos α y θ, y β y η son pares de ángulos colaterales externos.
Ánguloscorrespondientes
Los ángulos α y ε, β y ξ, γ y η y δ y θ pares de ángulos correspondientes.
PROBLEMA 5
PROBLEMA 6
EJERCICIO 15
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. A. d
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. V.
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B 1Ángulos y triángulos
RESOLVER ÁNGULOS EXTERNOS E INTERNOS PÁGINA 11
I.
Ángulos alternos internos γ = 7x y ε = 7x , δ = 3x y θ = 3x
Ángulos alternos externos β = 3x y θ = 3x , α = 7x y η = 7x
Ángulos colaterales internos β = 3x y η = 7x , α = 7x y θ = 3x
Ángulos colaterales externos α = 7x y θ = 3x , β = 3x y η = 7x
Ángulos correspondientes α = 7x y ε = 7x , β = 3x y ξ = 3x , γ = 7x y η = 7x y δ = 3x y θ = 3x
CONSTRUIR UN TRIÁNGULO PÁGINAS 11-12
I.
ACTIVIDAD 2
ACTIVIDAD 3
II. R. M. AC + BC > AB
III.
Segmentos¿Se forma un triángulo?
a b c
Medida
13.5 cm 18.3 cm 21.4 cmSí, ya que la suma de las longitudes de cualesquiera
dos lados es mayor que la longitud del otro.
25.6 cm 13.4 cm 18.45 cmSí, ya que la suma de las longitudes de cualesquiera
dos lados es mayor que la longitud del otro.
12.2 cm 9.23 cm 18.25 cmSí, ya que la suma de las longitudes de cualesquiera
dos lados es mayor que la longitud del otro.
A
C
BA
C
B
CALCULAR ÁNGULOS EXTERNOS E INTERNOS PÁGINAS 10-11
I.
1 . Figura 1.10a 1.10b 1.10c 1.10d
Ángulo ∠CEA ∠DEB ∠BEC ∠CEA ∠AED ∠BEF ∠DEA
Medida 55° 30° 180° 20° 160° 19° 149°
PROBLEMA 7
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B 1Ángulos y triángulos
IV. R. M.
Segmentos¿Se forma un triángulo?
a b c
Medida
12.18 cm 34 cm 22.5 cmSí, ya que la suma de las longitudes de cualesquiera
dos lados es mayor que la longitud del otro.
13.42 cm 17.54 cm 30 cmSí, ya que la suma de las longitudes de cualesquiera
dos lados es mayor que la longitud del otro.
28 cm 17.54 cm 10.5 cmSí, ya que la suma de las longitudes de cualesquiera
dos lados es mayor que la longitud del otro.
CLASIFICAR LOS TRIÁNGULOS PÁGINAS 12-13
I.
1. Triángulo 1 2 3 4 5 6 7
Clasificación Escaleno escaleno escaleno isosceles isosceles equilatero equilatero
2. Triángulo 1 2 3 4 5 6 7
Clasificación acutángulo obtusángulo obtusángulo rectángulo obtusángulo acutángulo acutángulo
II. R. M.
Escalenoy acutángulo
Rectánguloe isósceles
Obtusánguloisósceles
Equilátero y acutángulo
A
C
b = 4.08 a = 5.66
c = 5.61
B
α = 69.49°
γ = 68.13°
β = 42.39°
A
C
b = 4
a = 5.66
c = 4 B
α = 90°
γ = 45°
β = 45°
A
C
b = 4.12 a = 6.5
c = 4 B
α = 104.04°
γ = 37.97°
β = 38°
A
C
b = 5 a = 5
c = 5 B
α = 60°
γ = 60°
β = 60°
EJERCICIO 16
ANALIZAR LOS TRIÁNGULOS PÁGINA 13
I.
1. No puede ocurrir. Si tiene un ángulo interior recto, los otros dos son necesariamente agudos.
2 Agudos. R. L.
3. Agudos. R. L.
PROBLEMA 8
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B 1Ángulos y triángulos
APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PÁGINA 13
I.
1. Por el teorema 1.1, la medida de un ángulo de un triángulo equilaátero es 60°. 2. Por el teorema 1.1, el tercer ángulo mide 115°. Por el teorema 1.2, los ángulos exteriores miden
respectivamente: 145°, 150° y 65°. 3. Por el teorema 1.1, mide 110°.
DIBUJAR PUNTOS Y RECTAS NOTABLES PÁGINA 14DEL TRIÁNGULO
I. R. M.
2. G: incentro, H: circuncentro, I: ortocentro y J: baricentro.
3. Los puntos alineados son el ortocentro, el baricentro y el circuncentro.
ACTIVIDAD 4
PROBLEMA 9
PROBAR LA CONGRUENCIA ENTRE TRIÁNGULOS PÁGINA 15
I. R. M. A este tipo de triángulos se les llama congruentes, y signifi ca que cada uno de sus lados es
igual a cada uno de los lados correspondientes del otro triángulo.
APLICAR CRITERIOS DE CONGRUENCIA PÁGINA 15ENTRE TRIÁNGULOS
I.
1. Sí son congruentes, los lados son iguales por el criterio (LLL).
2. Sí son congruentes, dos de sus lados son iguales y los dos tienen un ángulo recto mpor, por el
criterio (LAL).
EJERCICIO 17
PROBLEMA 10
BA
C
c
b a
H J GI
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B 1Ángulos y triángulos
APLICAR CRITERIOS DE SEMEJANZA PÁGINA 15DE TRIÁNGULOS
I.
1. En la fi gura 1.15a los lados son proporcionales, son semejantes. Criterio LLL.
2. Sí son proporcionales, tienen un ángulo igual y los lados que lo comprenden son proporcionales.
Criterio LAL.
APLICAR TEOREMA DE TALES PÁGINA 16
I.
PROBLEMA 11
ACTIVIDAD 5
2. DE ! BC . AE = 9.375 cm.
3. El ancho del río es AB = 70 m.
COMPROBAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PÁGINA 17
I.
L1 L2 L3
11.402 11 3
5 5.831 3
6 10 11.662
19 25.495 17
3 4 5
L1 L2 L3
4 14.560 14
16 11 19.416
8 8.544 3
14.866 11 10
13 13.153 2
L1 L2 L3
5 8 9.434
3 11.402 11
23.345 17 16
9 14.213 11
10 10 14.866
II.
En la fi gura 1.17a: x = 5.666666667
En la fi gura 1.17b: x = 20
EJERCICIO 18
ABD
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
C
Ei
F G H I J
© T
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dos,
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14
B 1Ángulos y triángulos
PRACTICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PÁGINA 18
I.
Algunos números y sus cuadrados
n n2 n n2 n n2 n n2
1 1 6 36 11 121 16 256
2 4 7 49 12 144 17 289
3 9 8 64 13 169 18 324
4 16 9 81 14 196 19 361
5 25 10 100 15 225 20 400
II.
n n2Suma de cuadrados
consecutivos
1 1
2 4 5
3 9 13
4 16 25
5 25 41
6 36 61
7 49 85
8 64 113
9 81 145
10 100 181
n n2Suma de cuadrados
consecutivos
11 121 221
12 144 265
13 169 313
14 196 365
15 225 421
16 256 481
17 289 545
18 324 613
19 361 685
20 400 761
La única suma de cuadrados consecutivos que aparece es el 25, que es 32 + 42 = 52.
PROBLEMA 12
APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PÁGINA 18
I. La distancia del pie de la torre en donde se deben construir las bases de concreto es 96 m.
II.
ACTIVIDAD 6
A B
C
b = 72 a = 120
c = 96
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res
erva
dos,
Edi
cion
es C
asti
llo, S
. A. d
e C
. V.
15
B 1Ángulos y triángulos
CONSTRUIR PUNTOS Y RECTAS NOTABLES PÁGINA XXDEL TRIÁNGULO
I.
1, 2, 3 y 4. R. M. G: incentro, H: circuncentro, I: ortocentro y J: baricentro. Los puntos alineados son
el ortocentro, el baricentro y el circuncentro.
APPLICACIÓN 1
II. Usa Geogebra para constatar las propiedades de los puntos notables del triángulo.
1. R. L.
2. R. L.
3. R. L.
4. R. L.
5. R. L.
6. R. L.
7. R. L.
8. R. L.
9. R. L.
10. R. L.
DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS PÁGINA XX
I. Usa Geogebra para mostrar los teoremas.
1. R. L.
2. R. L.
3. R. L.
4. R. L.
5. R. L.
6. R. L.
APPLICACIÓN 2
A
B
C
a
b
c
H J
G
I
© T
odos
los
dere
chos
res
erva
dos,
Edi
cion
es C
asti
llo, S
. A. d
e C
. V.
16
B 1Ángulos y triángulos
PÁGINA 20
II. Haz lo que se pide.
1. R. L.
2. R. L.
3. R. L.
4. R. L.
III.
1. R. L.
2. R. L.
3. R. L.
4. R. L.
5. R. L.
PÁGINA 21
I.
1. R. L.
2. R. L.
3. R. L.
4. R. L.
5. R. L.
6. R. L.
7. R. L.
8. R. L.
II. R. L.
PÁGINA 22
I. El ángulo PQR = 50°. La fi gura es correcta.
Actividad HSE
Actividad de integración
Evaluación final
R
T
SQP
α = 40°γ = 50°
β = 90°
δ = 65°
ε = 65°
© T
odos
los
dere
chos
res
erva
dos,
Edi
cion
es C
asti
llo, S
. A. d
e C
. V.
17
B 1Ángulos y triángulos
II.
1. R. M. Criterios de congruencia.
Criterio Lado, Lado, Lado (LLL). Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales
uno a uno sus tres lados.
Criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL). Dos triángulos son congruentes si tienen igual un ángulo y los
dos lados correspondientes que conforman dicho ángulo.
Criterio Ángulo, Lado, Ángulo (ALA). Dos triángulos son congruentes si tienen iguales un lado y
sus dos ángulos adyacentes correspondientes
2. R. M. Criterios de semejanza.
Criterio Ángulo, Ángulo (AA). Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos correspondien-
tes iguales.
Criterio Lado, Lado, Lado (LLL). Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes,
proporcionales.
Criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL). Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondien-
tes proporcionales y los ángulos, correspondientes entre esos lados, iguales.
III. Calcula lo que se pide.
1. Aplicando el corolario del teorema de Tales que dice que toda paralela a un lado de un triángulo
divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales, se tiene que
CBBA
=CDDE
2ABBA
=CDDE
2 =CDDE
2DE = CD
La medida de CD y DE es CD = 2DE .
2. Se tiene que r =110 u30 u
= 3.6 u . Pero también r =x u18 u
. Igualando se tiene
110 u30 u
= 3.6 u =x u18 u
x u = 3.6 u( ) 18 u( )x u = 66 u
La anchura es 66 unidades