APUNTES DE FÍSICA

NEFTALÍ ANTÚNEZ H.

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FÍSICA INTRODUCCIÓN Los adelantos de la ciencia han provocado muchos cambios en el mundo. Por ejemplo, desde Aristóteles en el 350 AC y hasta hace 500 años se creía que la Tierra era plana y que estaba en el centro del universo, hace 70 años no se conocía la televisión, los aviones Jet ni la forma de prevenir las picaduras dentales, hace pocos años se descubrió la clonación de seres vivos, recientemente se descifró el código del genoma humano. La ciencia no es nueva, data de la prehistoria. El ser humano ha estado sobre la Tierra desde hace seis mil años y desde entonces ha empezado a hacer ciencia. Por ejemplo, en el comienzo se descubrieron las primeras regularidades y relaciones en la naturaleza. Una de las regularidades era la forma de los patrones de las estrellas que aparecían en el cielo nocturno. Otra evidente era el ciclo del clima a lo largo del año, distinguiéndose claramente el comienzo de la temporada de lluvias o la de calor. La gente aprendió a usar estos ciclos para hacer predicciones y surgieron los primeros pronósticos del tiempo.De este modo fueron aprendiendo mas y mas acerca del comportamiento de la naturaleza. Todos estos conocimientos forman parte de la ciencia, pero la parte principal esta formada por los métodos que se usan para adquirir esos conocimientos. La ciencia es una actividad humana, formada por un conjunto de conocimientos. La ciencia es el equivalente contemporáneo de lo que se llamaba filosofía natural. La filosofía natural era el estudio de las preguntas acerca de la naturaleza que aún no tenían respuesta. A medida que se iban encontrando esas respuestas, pasaban a formar parte de lo que hoy llamamos

ciencia. La ciencia hizo sus mayores progresos en el siglo XVI, cuando se descubrió que era posible describir la naturaleza por medio de las matemáticas. Cuando se expresan las ideas de la ciencia en términos matemáticos no hay ambigüedad, es mas fácil verificarlos o refutarlos por medio del experimento. La ciencia contemporánea se divide en el estudio de los seres vivos y el estudio de los objetos sin vida, es decir, en ciencias de la vida y en ciencias físicas. Las ciencias de la vida se dividen en áreas como la biología, zoología y la botánica. Las ciencias físicas se dividen en áreas como la física, geología, astronomía y química. La física es mas que una rama de las ciencias físicas: es la más fundamental de las ciencias. Estudia la naturaleza de realidades básicas como el movimiento, las fuerzas, energía, materia, calor, sonido, luz y el interior de los átomos. La química estudia la manera en que esta integrada la materia, la manera en que los átomos se combinan para formar moléculas y la manera en que las moléculas se combinan para formar los diversos tipos de materia que nos rodea. La biología es aún mas compleja, pues trata de la materia viva. Así, tras la biología esta la química y tras la química esta la física. Las ideas de la física se extienden a estas ciencias mas complicadas, por eso la física es la mas fundamental de las ciencias. Podemos entender mejor la ciencia en general si antes entendemos algo de física ¡que es lo que vamos a aprender en este curso! En este capítulo se da una breve explicación de algunas definiciones de conceptos usados en el curso. Se hace una descripción de los sistemas de unidades de medida, de las magnitudes físicas fundamentales y derivadas, se definen los múltiplos, submúltiplos y los prefijos. Se hace notar la necesidad de expresar los valores numéricos

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de las magnitudes en ciencias en notación científica, se explica como expresar los valores numéricos dando sólo su orden de magnitud o haciendo una estimación de su valor. Se dan reglas de análisis dimensional, lo que proporciona un método para determinar la forma funcional de las leyes físicas y permite verificar si está bien planteada. ¿Qué es la física? La física puede definirse como la ciencia que investiga los conceptos fundamentales de la materia, la energía y el espacio, y las relaciones entre ellos. Hoy los físicos trabajan en todas las ramas de la ciencia y de la ingenieria . El conocimiento de la física es sumamente útil cuando investigan los aspectos fundamentales de esas áreas. ¿Es difícil la física? Puede serlo si no se sabe estudiarla. La física no es un conjunto de hechos y reglas a memorizar. Por el contrario, si hay que aprender unas cuantas reglas simples (las leyes de la física) y tratar de entender su significado total aplicandolas al universo que nos rodea. Pero no puede aprenderse a base de memorización ni de mecanizaciones para los exámenes. La física solo puede aprenderse resolviendo problemas al igual que las matemáticas. Aprender física es como aprender a jugar un juego. Primero se aprenden algunas reglas del juego y luego se aplican a situaciones que ocurren mientras se juega. Mientras mas se practique el juego, más destreza se adquiere en el. Pero no podemos ser físicos expertos con solo leer libros de fisica, como no podemos ser buenos jugadores de ajedrez o futbol con solo leer libros, tenemos que practicar mucho, en nuestro caso resolviendo muchos problemas.

¿Por qué se utilizan tantas matemáticas? La primera razón de la irrupción de las matemáticas en la Física, en los inicios de ambas, es la necesidad de incluir mediciones cuantitativas, además de las cualitativas, para permitir mejorar la capacidad de predicción de las primeras teorías. En un primer momento, tan sólo se utilizaron las operaciones con números más elementales de la aritmética. Desde los tiempos de Newton, sin embargo, se vio la gran utilidad de partes de la matemática más abstractas, como la teoría de funciones y el cálculo infinitesimal. Posteriormente, se observó que esta progresiva formalización de la Física tenia otra ventaja de gran importancia, tanta o más como la comentada en el párrafo anterior. Ésta se deriva de la propia naturaleza de las matemáticas, que consiste en el estudio de los sistemas formales: es decir, se establecen un conjunto de principios (axiomas) que son elegidos ad hoc, y se extraen todas las consecuencias (proposiciones, lemas, teoremas, etc.) que se pueden deducir de ellos a partir de procedimientos lógicos. De esta forma, las teorías matemáticas (que no son más que sistemas formales diseñados para afrontar problemas concretos) son internamente coherentes y consistentes. La coherencia interna de la teoría es una de las tres condiciones básicas que debe cumplir toda teoría Física. Hemos visto que las otras dos condiciones, robustez y correspondencia, se mejoran progresivamente a medida que progresa la investigación, pero no habíamos comentado como se asegura la coherencia de la teoría. Ésto se hace, pues, convirtiendo desde un principio la teoría Física en un sistema formal matemático. Así, pues, el progreso en la Física Teórica se reduce a la

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búsqueda del conjunto de axiomas (que llamamos Principios) que generan el sistema formal a partir del cual podemos obtener consecuencias (predicciones) que correspondan con la realidad medible y que, además, se pueda aplicar a una gran cantidad de fenómenos (es decir, que sea robusto). En algunas ocasiones, se ha encontrado útil aprovechar alguna teoría matemática previamente existente para fundamentar parte de la teoría Física. Un ejemplo de ésto es la utilización de la geometría diferencial (o geometría de Riemman) en la Teoría de la Relatividad General de Einstein. Sin embargo, ésto es cada vez menos frecuente, dado que el interés de los matemáticos suele estar lejos de la Física y, por lo tanto, los físicos deben encargarse de dessarrollar nuevos sistemas formales des de el principio. Un ejemplo de esto es el cálculo infinitesimal (en época de Newton y Leibnitz); y más recientemente, la integral de Feynman.

DEFINICIONES En esta sección se dan las definiciones de algunos términos usados en ciencias y de temas relacionados, que usaremos durante el curso, sin pretender profundizar en el contenido teórico del concepto definido. Física: es una ciencia fundamental que estudia y describe el comportamiento de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo. Es una ciencia basada en observaciones experimentales y en mediciones. Su objetivo es desarrollar teorías físicas basadas en leyes fundamentales, que permitan describir el mayor número posible de fenómenos naturales con el menor número posible de leyes físicas. Estas leyes físicas se expresan en lenguaje matemático, por lo que para entender sin inconvenientes el tratamiento del formalismo teórico de los

fenómenos físicos se debe tener una apropiada formación en matemáticas, en este curso basta un nivel básico de matemáticas. Teoría científica: Síntesis de una gran cantidad de información que abarca diversas hipótesis probadas y verificables de ciertos aspectos del mundo natural. Ningún experimento resulta aceptable a menos que sea reproducible, es decir que produzca un resultado idéntico independientemente de cuando, donde y por quien sea realizado. Los resultados de los distintos experimentos se reúnen para formar una teoría. Una teoría es la síntesis de todas las observaciones realizadas en los experimentos, que debería hacer posible predecir el resultado de nuevos experimentos antes de que se realicen. Pero no se debe esperar que una teoría explique ciertos fenómenos de una vez por todas, sino mas bien los coordine dentro de un conjunto sistemático de conocimientos. La validez de una teoría puede probarse únicamente con el experimento. Una teoría científica no debe contener elemento alguno metafísico o mitológico, se deben eliminar los mitos y prejuicios. Hoy en día se debe tener especial cuidado, puesto que nuestro mitos contemporáneos gustan de ataviarse con ropajes científicos, pretendiendo con ello alcanzar gran respetabilidad. Los charlatanes siempre buscan mencionar el nombre de algún gran científico en un intento por hacer creíbles sus charlatanerías. Mecánica. Es una rama de la física. Su objetivo es describir (con la cinemática) y explicar (con la dinámica) el movimiento de los cuerpos. Cinemática. Describe el movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que lo producen.

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Dinámica. Describe el movimiento de los cuerpos considerando las causas que lo producen, y las causas del movimiento son las fuerzas. La física también se relaciona con el estudio del calor, la luz, el sonido, la electricidad y la estructura atómica. Hipótesis: Suposición bien fundamentada, considerada como un hecho cuando se demuestra experimentalmente. Hecho: Acuerdo entre observadores competentes sobre una serie de observaciones de un fenómeno particular. Ley: Comprobación de una hipótesis sin ninguna contradicción. Una ley física se considera como tal cuando todos los experimentos obedecen esa ley, si en algún caso no se cumple, deja de ser ley física. ¿Son las leyes terrestres válidas en todo el Universo? Hay que usarlas y después evaluar su resultado. No se debe pretender buscar una nueva ley para explicar algún fenómeno en el cual las leyes ya existentes no parecen encajar satisfactoriamente, porque esto conduce al caos lógico. Aunque se debe estar dispuesto a aceptar nuevas leyes naturales si su adopción demuestra ser necesaria. Ciencia: Método para dar respuestas a preguntas teóricas. La ciencia descubre hechos y formula teorías. Tecnología: Método para resolver problemas prácticos, usa técnicas y procedimientos para aplicar los descubrimientos de la ciencia. Modelo: Concepto introducido por los científicos para ayudarse a visualizar posibles procesos dentro de un sistema físico. Un modelo se usa para representar la

realidad física y debe tener en cuenta dos aspectos conflictivos entre sí: a) tiene que ser lo bastante simple para como para ser elaborado con métodos matemáticamente rigurosos, b) debe ser realista para que los resultados obtenidos sean aplicables al problema considerado. La sencillez del modelo, su belleza matemática, es incompatible con la fidelidad al problema real. Lo bello raramente es fiel y lo fiel raramente es bello. Matemáticas: Es el lenguaje de las ciencias, es lo que establece una conexión entre la teoría y el experimento. Las leyes Físicas se expresan en lenguaje matemático, en general de nivel muy avanzado.

EL MÉTODO CIENTÍFICO Es un método efectivo para adquirir, organizar y aplicar nuevos conocimientos. Su principal fundador fue Galileo (1564-1642). Consta de los siguientes pasos. 1. Identificar el problema. 2. Plantear una hipótesis acerca de la posible respuesta. 3. Predecir las consecuencias de la hipótesis 4. Experimentar para comprobar las predicciones. 5. Formular una regla o ley física mas simple, que organice los conceptos principales: hipótesis, predicción y resultados. Este método no siempre ha sido la clave de los descubrimientos, en muchos casos gran parte del progreso de la ciencia se ha debido a resultados obtenidos por error o por casualidad.

SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES. Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud. Una medición se expresa con un

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número seguida de un símbolo de la unidad usada. Existen medidas directas e indirectas, por ejemplo el largo y el ancho de una sala son medidas directas, pero la superficie de la sala es una medida indirecta. Gran parte de la Física tiene que ver con la medida de cantidades físicas tales como distancia, tiempo, volumen, masa, temperatura, etc. Las leyes Físicas se expresan en términos de cantidades básicas que requieren una definición clara, llamadas magnitudes físicas fundamentales. En mecánica las magnitudes físicas fundamentales son tres: longitud, tiempo y masa. Se llaman magnitudes físicas fundamentales porque están definidas en forma independiente de cualquier otra magnitud física. Para que sean útiles deben ser invariables y reproducibles y se debe definir una unidad de medida única para la magnitud física, llamada patrón de medida. El Sistema Internacional (SI) de unidades determina el conjunto de patrones de medida.. El SI es el que se usa mayoritariamente en todas las áreas de las ciencias. La observación de un fenómeno es en general incompleta a menos que dé lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información se requiere la medición de una propiedad física. Así, la medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental. La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad. Las magnitudes fundamentales o basicas de la Física, son siete en total, están indicadas en la tabla siguiente:

Unidades básicas Magnitud Nombre Símbolo Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Intensidad de corriente eléctrica

ampere A

Temperatura termodinámica

kelvin K

Cantidad de sustancia

mol mol

Intensidad luminosa candela cd En ciencias se usan muchas otras magnitudes físicas, que se obtienen como una combinación de las magnitudes físicas fundamentales. Se llaman magnitudes físicas derivadas, porque se derivan de las magnitudes físicas fundamentales. Por ejemplo: área = longitud por longitud, se mide en m2 aceleración = longitud/tiempo al cuadrado, se mide en m/s2 fuerza = masa por aceleración, se mide en Newton, N = kg m/s2 densidad = masa/volumen, se mide en kg/m3, etc.

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Unidad de longitud: metro (m)

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. De paso esta definición establece que la rapidez de la luz en el vacío es de 299 792 458 m/s.

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo

Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Unidad de intensidad de corriente eléctrica

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud.

Unidad de temperatura termodinámica

El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T) expresada en kelvins, se utiliza también la temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación t = T - T0 donde T0 = 273,15 K por definición.

Unidad de cantidad de sustancia

El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.

Unidad de intensidad luminosa

La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540·1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.

Unidades derivadas sin dimensión.

Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades SI básicas

Ángulo plano Radián rad mm-1= 1 Ángulo sólido Estereorradián sr m2m-2= 1

Unidad de ángulo plano El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual a la del radio.

Unidad de ángulo sólido El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.

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Unidades SI derivadas Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1. Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular. Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefiere el newton metro al joule.

Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas y suplementarias.

Magnitud Nombre Símbolo Superficie metro cuadrado m2 Volumen metro cúbico m3 Velocidad metro por segundo m/s Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2 Número de ondas metro a la potencia menos uno m-1 Masa en volumen kilogramo por metro cúbico kg/m3 Velocidad angular radián por segundo rad/s Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2

Unidad de velocidad Un metro por segundo (m/s o m·s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro en 1 segundo

Unidad de aceleración Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m·s-2) es la aceleración de un cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varía cada segundo, 1 m/s.

Unidad de número de ondas Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el número de ondas de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro.

Unidad de velocidad angular

Un radián por segundo (rad/s o rad·s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián.

Unidad de aceleración angular

Un radián por segundo cuadrado (rad/s2 o rad·s-2) es la aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación

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uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo.

Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales. Magnitud Nombre Símbolo Expresión en otras unidades

SI Expresión en unidades SI básicas

Frecuencia hertz Hz s-1 Fuerza newton N m·kg·s-2 Presión pascal Pa N·m-2 m-1·kg·s-2 Energía, trabajo, cantidad de calor

joule J N·m m2·kg·s-2

Potencia watt W J·s-1 m2·kg·s-3 Cantidad de electricidad carga eléctrica

coulomb C s·A

Potencial eléctrico fuerza electromotriz

volt V W·A-1 m2·kg·s-3·A-1

Resistencia eléctrica ohm Ω V·A-1 m2·kg·s-3·A-2 Capacidad eléctrica farad F C·V-1 m-2·kg-1·s4·A2 Flujo magnético weber Wb V·s m2·kg·s-2·A-1 Inducción magnética tesla T Wb·m-2 kg·s-2·A-1 Inductancia henry H Wb·A-1 m2·kg s-2·A-2

Unidad de frecuencia Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo es 1 segundo.

Unidad de fuerza Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado.

Unidad de presión Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton.

Unidad de energía, trabajo, cantidad de calor

Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyo punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la fuerza.

Unidad de potencia, flujo radiante

Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo.

Unidad de cantidad de electricidad, carga eléctrica

Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1 segundo por una corriente de intensidad 1 ampere.

Unidad de potencial eléctrico, fuerza electromotriz

Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre estos puntos es igual a 1 watt.

Unidad de resistencia Un ohm () es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un

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eléctrica conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.

Unidad de capacidad eléctrica

Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre sus armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1 volt, cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb.

Unidad de flujo magnético

Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme.

Unidad de inducción magnética

Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a través de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber.

Unidad de inductancia Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el que se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de un ampere por segundo.

Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales Magnitud Nombre Símbolo Expresión en

unidades SI básicas

Viscosidad dinámica pascal segundo Pa·s m-1·kg·s-1 Entropía joule por kelvin J/K m2·kg·s-2·K-1 Capacidad térmica másica joule por kilogramo

kelvin J/(kg·K) m2·s-2·K-1

Conductividad térmica watt por metro kelvin W/(m·K) m·kg·s-3·K-1 Intensidad del campo eléctrico

volt por metro V/m m·kg·s-3·A-1

Unidad de viscosidad dinámica Un pascal segundo (Pa·s) es la viscosidad dinámica de un fluido homogéneo, en el cual, el movimiento rectilíneo y uniforme de una superficie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerza retardatriz de 1 newton, cuando hay una diferencia de velocidad de 1 metro por segundo entre dos planos paralelos separados por 1 metro de distancia.

Unidad de entropía Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un sistema que recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la temperatura termodinámica constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema no tenga lugar ninguna transformación irreversible.

Unidad de capacidad térmica másica

Un joule por kilogramo kelvin (J/(kg·K) es la capacidad térmica másica de un cuerpo homogéneo de una masa de 1 kilogramo, en el que el aporte de una cantidad de calor de un joule, produce una elevación de temperatura termodinámica de 1

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kelvin.

Unidad de conductividad térmica

Un watt por metro kelvin (W·m/K) es la conductividad térmica de un cuerpo homogéneo isótropo, en la que una diferencia de temperatura de 1 kelvin entre dos planos paralelos, de área 1 metro cuadrado y distantes 1 metro, produce entre estos planos un flujo térmico de 1 watt.

Unidad de intensidad del campo eléctrico

Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo eléctrico, que ejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado con una cantidad de electricidad de 1 coulomb.

Nombres y símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos decimales de unidades SI autorizados Magnitud Nombre Símbolo Relación Volumen litro l o L 1 dm3=10-3 m3 Masa tonelada t 103 kg Presión y tensión

bar bar 105 Pa

Unidades definidas a partir de las unidades SI, pero que no son múltiplos o submúltiplos decimales de dichas unidades.

Magnitud Nombre Símbolo Relación Ángulo plano Revolución o vuelta rev 1 vuelta= 2 π rad grado º (π /180) rad minuto de ángulo ' (π /10800) rad segundo de ángulo " (π /648000) rad Tiempo minuto min 60 s hora h 3600 s día d 86400 s

Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha obtenido experimentalmente.

Magnitud Nombre Símbolo Valor en unidades SI Masa unidad de masa atómica u 1,6605402 10-27 kg Energía electronvolt eV 1,60217733 10-19 J

Múltiplos y submúltiplos decimales

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo 1024 yotta Y 10-1 deci d 1021 zeta Z 10-2 centi c 1018 exa E 10-3 mili m 1015 peta P 10-6 micro μ 1012 tera T 10-9 nano n 109 giga G 10-12 pico p 106 mega M 10-15 femto f

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103 kilo k 10-18 atto A 102 hecto h 10-21 zepto Z 101 deca da 10-24 yocto Y

Si el exponente de la potencia de 10 es positivo (o negativo) el valor de la magnitud física es un múltiplo (o submúltiplo). Para medir magnitudes muy grandes o muy pequeñas se expresan los valores en potencias de 10 y se usan los prefijos del SI que es el nombre que se le da a la potencia de 10. Existen algunas unidades de medición que tienen nombres especiales, como por ejemplo el año luz que es la distancia que recorre la luz en un año, igual a 9.45 x 1015 m, o el Angstrom que es igual a 10-10 m.

Escritura de los símbolos Los símbolos de las Unidades SI, con raras excepciones como el caso del ohm (Ω), se expresan en caracteres romanos, en general, con minúsculas; sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unidades derivadas de nombres propios, su letra inicial es mayúscula. Ejemplo, A de ampere, J de joule. Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural. Por ejemplo, se escribe 5 kg, no 5 kgs Cuando el símbolo de un múltiplo o de un submúltiplo de una unidad lleva exponente, ésta afecta no solamente a la parte del símbolo que designa la unidad, sino al conjunto del símbolo. Por ejemplo, km2 significa (km)2, área de un cuadrado que tiene un km de lado, o sea 106 metros cuadrados y nunca k(m2), lo que correspondería a 1000 metros cuadrados. El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo, sin espacio. Por ejemplo, cm, mm, etc. El producto de los símbolos de de dos o más unidades se indica con preferencia por medio de un punto, como símbolo de multiplicación. Por ejemplo, newton-metro se puede escribir N·m Nm, nunca mN, que significa milinewton. Cuando una unidad derivada sea el cociente de otras dos, se puede utilizar la barra oblicua (/), la barra horizontal o bien potencias negativas, para evitar el denominador.

No se debe introducir en una misma línea más de una barra oblicua, a menos que se añadan paréntesis, a fin de evitar toda ambigüedad. En los casos complejos pueden utilizarse paréntesis o potencias negativas. m/s2 o bien m·s-2 pero no m/s/s. (Pa·s)/(kg/m3) pero no Pa·s/kg/m3 Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos eminentes deben de escribirse con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial. No obstante, serán igualmente aceptables sus denominaciones castellanizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidas por la Real Academia de la Lengua. Por ejemplo, amperio, voltio, faradio, culombio, julio, ohmio, voltio, watio, weberio. Los nombres de las unidades toman una s en el plural (ejemplo 10 newtons) excepto las que terminan en s, x o z.

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En los números, la coma se utiliza solamente para separar la parte entera de la decimal, Para facilitar la lectura, los números pueden estar divididos en grupos de tres cifras (a partir de la coma, si hay alguna) estos grupos no se separan por puntos ni comas. Las separación en grupos no se utiliza para los números de cuatro cifras que designan un año.

Cinemática Magnitud física

Símbolo Unidad SI

tiempo t s

posición x m

velocidad v m s-1 aceleración a m s-2

ángulo plano θ rad

velocidad angular

ω rad/s

aceleración angular

α rad·s-2

radio r m

longitud de arco

s m

área A, S m2

volumen V m3 ángulo sólido Ω sr

frecuencia f Hz

frecuencia angular (=2πf)

ω s-1, rad s-1

Dinámica Magnitud física Símbolo Unidad SI masa m kg momento lineal p kg m s-1 fuerza F N (= kg m s-2) momento de una fuerza Μ N·m momento de inercia I kg m2 momento angular L kg m2 s-1 rad (= J s) energía E J energía potencial Ep , V J

energía cinética Ek J

trabajo W J

potencia P W densidad (masa) ρ kg m-3 presión p Pa

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Conversión de unidades Muchos cálculos en Física requieren convertir unidades de un sistema a otro. Las unidades pueden convertirse sustituyéndolas por cantidades equivalentes. En toda respuesta numérica de los problemas siempre debe escribirse las unidades en el resultado final. Para realizar la conversión usamos la propiedad a x 1 x 1x … x 1 = a. Esto significa que si multiplicamos por una fracción cuyo numerador sea equivalente al denominador, la magnitud original no se altera, pero si se transforma. Para cambiar las magnitudes originales, debemos colocarlas en el lado opuesto de donde están, de manera tal que se cancelen y queden las nuevas unidades a las cuales deseamos convertirlas. Multiplicamos todos los numeradores y luego todos los denominadores, después realizamos la división y el resultado serán las unidades convertidas. El método se ilustra con los ejemplos siguientes, en los cuales debes observar como se cancelan las unidades originales, pues no se muestra dicha cancelacion, quedando solo las unidades convertidas. Ejemplo 1. Transformar 18 km/hora a m/s.

2. Una cancha de futbol soccer tiene 100 m de largo y 60 m de ancho.¿Cual es su largo y ancho en pies ?

100 cm 1 pulg 1 pie(100 m) 328 pies1 m 2.54 cm 12 pulg

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

L = 328 pies

100 cm 1 pulg 1 pie(60 m) 197 pies1 m 2.54 cm 12 pulg

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

W = 197 pies

3. Un guante es de 8 pulgadas de largo. ¿Cuál es su longitud en centimetros? 2.54 cm(8 pulg) 20.3 cm1 pulg

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ L = 20.3 cm

4. Un monitor de computadora de 19 pulgadas tiene una área visible de 18 pulgadas diagonalmente. Expresar esta distancia en en metrosy centímetros.

.2.54 cm 1 m 100 cm(18 pulg) 0.457 m( ) 45.7 cm1 pulg 100 cm 1 m

⎛ ⎞⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

L = 0.457 m = 45.7 cm

5. La longitud de un cuaderno es de 234.5 mm y su ancho es de 158.4 mm. Exprese su superficie en metros cuadrados.

1 m 1 mArea = (234.5 mm)(158.4 mm) 0.0371000 mm 1000 mm

⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

A = 0.0371 m2

6. Un cubo tiene un lado de 5 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del cubo en unidades SI y en unidades inglesas? .

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( )3 3

3 3 32.54 cm 1 m(5 pulg) 125 pulg 0.00205 m1 pulg 100 cm

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

V V = 0.00205 m3

33 31 pie(125 pulg ) 0.0723 pie

12 pulg⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

V V = 0.0723 pie3

7. La velocidad límite de la Autopista es de 75 MPH. (a) ¿Cuál es la velocidad en KPH? (b) ¿Cuál es la velocidad en pies/seg?

(a) milla 1.609 km75

h 1 milla⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

121 km/h (b) milla 1 h 5280 pies75

h 3600 s 1 milla⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 110 pie/s

8. Un motor Nissan tiene un desplazamiento de piston de 1600 cm3 and diameter de cilindro de 84 mm. Exprese estas medidas en pulgadas cubicas y pulgadas.

(a) ( )3

3 1 pulg1600 cm2.54 cm

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 97.6 pulg3 (b) 1 pulg84 mm =

25.4 mm⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3.31 pulg

9. Un electricista debe instalar un cable subterraneo a una autopista hasta una casa situada a 1.20 millas. ¿Cuántos rollos de cable de 330 pies se necesitarán?

5280 ft 6340 pies1.2 millas 6340 pies=( ) 19.21 rollos1 millas 330 pies x rollo

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

L = 19.21 z20 rollos

10. Un galón U.S. tiene un volumen equivalente a 231 pulg3. ¿Cuántos galones son necesarios para llenar un tanque de 18 pulgadas de largo, 16 de ancho y 12 de alto? V = (18 pulg)(16 pulg)(12 pulg) = 3456 pulg3

33

1 gal(3456 pulg ) 15.0 gal231 pulg

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠V V = 15.0 gal

11. La densidad del latón es de 8.89 g/cm3. ¿Cuál es densidad en kg/m3?

3

3 3

g 1 kg 100 cm kg8.89 8890cm 1000 g 1 m m

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

ρ = 8890 kg/m3

Análisis Dimensional Se usa para verificar que todos los términos de una ecuación tengan las mismas dimensiones, lo que garantiza que la ecuación está planteada en forma correcta. Cuando se hace el análisis dimensional, sustituimos las unidades que le corresponden a cada elemento que compone la fórmula, con las dimensiones se realizan las operaciones indicadas por la fórmula y si las dimensiones de ambos lados del igual son iguales, entonces la formula es dimensionalmente correcta y válida. Debemos tomar en cuenta que los términos no se operan como en el álgebra corriente, por ejemplo las unidades de medida no se suman o restan, solo se comparan sus unidades entre términos de la ecuación a dimensionar, generalmente se usa [ ] en cada término al hacer el análisis. Ejemplo 2. Hacer el análisis dimensional para el siguiente modelo físico v2 = v0

2 + 2ax, donde v se mide en m/s, x en m y a en m/s2. Solución:

15

Por lo tanto la expresión es dimensionalmente consistente.

CONCEPTOS BÁSICOS DE VECTORES. Las magnitudes físicas con las que trataremos en el curso pueden ser escalares o vectoriales. Las magnitudes físicas escalares quedan completamente definidas mediante un número y sus respectivas unidades de medida, por ejemplo la densidad del agua de 1 gr/cm3 o la temperatura del aire de 20º C, son un escalar. Para las magnitudes físicas vectoriales debe especificarse su magnitud (un número con sus unidades de medida), su dirección (un número que es un ángulo) y su sentido (que indica hacia adonde se dirige o apunta el vector), por ejemplo, una velocidad de 80 km/h hacia el noreste. Un vector se representa gráficamente como una recta dirigida (flecha) y se simboliza mediante letras mayúsculas o minúsculas, con una flecha sobre la letra o escrita en negrita, como A o a. La longitud de la flecha indica la magnitud relativa del vector, el punto desde donde se comienza a dibujar el vector se llama origen o punto de aplicación (El punto O), la dirección (ángulo α ) se mide desde el eje positivo de las X, el sentido esta dado por la punta de la flecha y la recta sobre la cual se ubica el vector se llama línea de acción. El vector es una magnitud vectorial y posee magnitud, dirección y sentido.

La longitud del vector depende del valor de su magnitud. La dirección es el ángulo que el vector forma con ele eje positivo de las X. El sentido es la punta de flecha y nos indica la forma de actuar del vector. Una magnitud escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad de medida. Por ejemplo: la longitud, el área, el volumen, la rapidez, etc. Una magnitud vectorial se especifica totalmente por una magnitud, una dirección y un sentido. Se define mediante su dirección, el sentido y su magnitud formada por un número y una unidad de medida. Son ejemplos de magnitudes vectoriales: el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc.

16

Igualdad de vectores. Dos o más vectores son iguales si: a) apuntan en la misma dirección, b) si sus magnitudes son iguales. Los vectores a y b son iguales, lo mismo que c y d.

Multiplicación de un vector por un escalar. El resultado de multiplicar un vector por un escalar k es un vector, de magnitud distinta y de

dirección igual (o contraria si kM0) al vector original. En la figura siguiente B = 2b y D = - 2/3 d.

Vectores especiales. • Vector nulo: es un vector de magnitud igual a cero (0). • Vector unitario: vector de magnitud igual a uno (1). Adición de vectores y algunas de sus propiedades. Los vectores se pueden sumar en forma geométrica por diversos métodos, tales como el método a) del polígono o b) del paralelogramo, que se muestran en la figura siguiente

17

. Además los vectores cumplen con las siguientes propiedades del álgebra. • Conmutatividad de la suma: a + b = a + b. • Asociatividad de la suma: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c). • Distributividad de la multiplicación por un escalar en la suma de vectores. • Conmutatividad del producto: a · b = b · a , a · a = a2. • Asociatividad del producto: a · ( b + c) = a · b +a · c • Inverso aditivo: si a + b = 0, entonces b es el inverso aditivo de a y se escribe b = -a. • La resta de vectores es un caso especial de adición, donde el vector restando se suma con su inverso aditivo: a - b = a +(- b). • La división entre vectores no está definida. Suma o adición de vectores por métodos gráficos

MÉTODO DEL POLIGONO Elija una escala y determine la longitud de las flechas que corresponden a cada vector. La escala se elige de manera tal que el dibujo entre en la hoja.

Dibuje a escala una flecha que represente la magnitud y dirección del primer vector. Podemos empezar con cualquier vector como incial

Dibuje la flecha del segundo vector de modo que su origen coincida con la punta de la flecha del primer vector.

Continúe el proceso de unir el origen del vector siguiente con el final del vector anterior, hasta que todos los vectores se hallan colocado, respetando su magnitud, dirección y sentido. Dibuje el vector resultante uniendo el origen del primer vector con la flecha del último vector. Mida con regla y transportador para determinar la magnitud y dirección del vector resultante. Multiplica por la escala para hallar la magnitud real de la Resultante.

18

Ejemplos de Suma de vectores por el método gráfico Una mujer camina 4 km al Este y después 8 km hacia el Norte. (a) Use el método del poligono

para hallar su desplazamiento.

8 Km

θ

4 Km

R

Sea 1 cm = 1 km; Entonces: R = 8.94 km, θ = 63.40

2. Un explorador se mueve una distancia de 38 m en un ángulo de 1800. Después gira y se mueve una distancia de 66 m en un ángulo de 2700. ¿Cuál es su desplazamiento desde su posición inicial? Seleccionando una escala, e.g., 1 cm = 10 m

Dibujando cada vector a escala, como se muestra:

Midiendo R = 7.62 cm o R = 76.2 m

Midiendo el ángulo φ = 60.10 SurOeste

θ = 1800 + 60.10 = 240.10 R = 76.2 m, 240.10

3. Un Topografo inicia en la esquina sureste de un terreno y al hacer el recorrido perimetral y medir obtiene los desplazamientos siguientes: A = 600 m, N; B = 400 m, O; C = 200 m, S; and D = 100 m, E. ¿Cuál es el desplazmiento neto desde su posición inicial? Escogiendo una escala, 1 cm = 100 m Dibujando cada vector uniendo la flecha del anterior con el origen del siguiente, hasta que todos

estén dibujados.

Midiendo se obtiene:

R = 500 m, φ = 53.10 NE o θ = 1800 - φ = 126.90.

B

D R

φ

C A

67 m

38 m, 1800

60.

19

4. Una fuerza de 200 N dirigida hacia abajo actúa simultaneamente con una fuerza de 500-N dirigida a la izquierda. Use el método del poligono para hallar la fuerza resultante. Seleccionando la escala, dibujando y luego midiendo se obtiene: R = 539 N, φ = 21.80 SE. 5. Las tres fuerzas mostradas actuan simultáneamente en el mismo objeto. A = 300 N, 300 NE; B = 600 N, 2700; and C = 100 N dirigida al Este. Hallar la fuerza resultante. Usando el método del poligono. Seleccionando la escala, dibujando y luego midiendo, obtenemos: R = 576 N, φ = 51.40 SE 6. Un bote viaja una distancia de 200 m al oeste, después 400 m al norte, y finalmente 100 m en la dirección de 300 SE. ¿Cuál es su desplazamiento total? Seleccionando la escala(1 cm = 100 N), dibujando y luego midiendo Obtenemos: R = 368 N, θ = 108.00 7. Dos cuerdas A y B están unidas a un bote de manera tal que existe un ángulo de 600 entre las dos cuerdas. La tensión en la cuerda A es de 80 lb y la tensión en la cuerda B es de 120 lb. Use el método del paralelogramo para hallar la resultante sobre el bote. Seleccionando la escala, dibujando y luego midiendo R = 174 lb 8. Dos fuerzas A y F actuan sobre el mismo objeto produciendo una fuerza resultante de 50 lb en la direccion 36.90 Noroeste. Si la fuerza A = 40 lb dirigida al Oeste. Hallar la magnitud y dirección de la fuerza F Dibujamos R primero y luego la fuerza A F = 30 lb, 900

φ

R 200 N

500 N

B

C

R

A

B

A

R

φ

θ

R

C

B

A

36.90

40 lb

F R

20

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Cuando los vectores están inclinados u oblicuos, para poderlos sumar necesitamos descomponerlos en sus componentes horizontal en X y vertical en el eje Y. Para ello utilizamos las fórmulas siguientes:

Para hallar la componente horizontal en X, simplemente multiplicamos la magnitud del vector por el coseno del ángulo que forma con el eje de las X (el positivo o el negativo, pero siempre respecto a X). Para hallar la componente vertical en Y, usamos los mismos valores que para la componente en X, la única diferencia es que usamos seno en vez de coseno. El método de componentes para la suma o adición de vectores Dibuje cada vector a partir de los ejes coordenados X e Y. Colocando el origen de cada vector en el origen de coordenadas.

Encuentre los componentes en X y en Y de cada vector. Halle la suma de fuerzas en X de la resultante sumando algebraicamente las componentes Y de todos los vectores. Halle la suma de fuerzas en Y de la resultante sumando algebraicamente las componentes Y de todos los vectores.

21

Determine la magnitud y dirección de la resultante.

El vector resultante, llamado simplemente RESULTANTE, se obtiene de la forma siguiente:

22

Por ejmplo, para el problema de la figura su diagrama de cuerpo libre es: Figura del Problema Diagrama de Cuerpo Libre

23

EQUILIBRIO

24

EJEMPLOS DE SUMA DE VECTORES POR COMPONENTES RECTANGULARES 1. Hallar las componentes en X y Y de los vectores siguientes: (a) Un desplazamiento de 200 km, a 340. (b) Una velocidad de km/h, a 1200; y (c) Una fuerza de 50 N a 330o. (a) Dx = 200 cos 340 = 166 km Dy = 200 sen 340 = 112 km (b) vx = -40 cos 600 = -20.0 km/h vy = 40 sen 600 = +34.6 km/h (c) Fx = 50 cos 300 = 43.3 N; Fy = - 50 sen 300 = -25.0 N Las componentes horizontales son positivas a la derecha y negativas cuando apuntan a la izquierda. Las componentes verticales son positivas hacia arriba y negativas cuando apuntan hacia abajo. 2. Un trineo es arrastrado con una fuerza de 540 N formando un ángulo de 400 con la horizontal. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de esta fuerza? Fx = 540 cos 400 = 414 N Fy = 540 sen 400 = 347 N 3. El martillo aplica una fuerza de 260 N formando un ángulo de 150 con la vertical. ¿Cuál es la componente vertical de la fuerza? El ángulo a utilizar es el que forma con el eje -x, es decir = 90º - 15º = 75º F = 260 lb, φ = 750; Fy = 260 sen 750 Fy = 251 N.

4. Un corredor corre 2.0 millas al Oeste y después 6.0 millas al Norte. Hallar la magnitud y

dirección del desplazamiento resultante.

R = + =( ) ( )2 62 2 6.32 millas tan = 62

φ ; φ = 71.60 NO

540 N

300

340 600

(a) (b) (c)

400

(a)

φ

R

φ

F

25

5. Un rio fluye hacia el Sur con una velocidad de 20 km/h. Un bote tiene una velocidad maxima de 50 km/h en aguas tranquilas. En el rio, a aceleración maxima, el bote se dirige hacia el Oeste. ¿Cuál es la velocidad resultante del bote y su dirección?

2 2

0

R (50) (20) 53.9 km/h;20tan = ; = 21.8 SO50

= + =

φ φ

6. Una cuerda que forma un ángulo de 300 con la horizontal, arrastra una caja por el piso. ¿Cuál

debe ser la tensión en la cuerda, si se necesita una fuerza horizontal de 40 lb para arrastrar la

caja?

Fx = F cos 300; F Fx= =cos30

400

lbcos30

;0 F = 46.2 N

7. Hallar la resulta de las siguientes fuerzas: (a) 400 N, 00; (b) 820 N, 2700; and (b) 500 N, 900.

Sus componentes rectangulares son: Ax = +400 N; Bx = 0; Cx = 0: Rx = +400 N Ay = 0; By = -820 N; Cy = +500 N;

Ry = 0 – 820 N + 500 N = -320 N Noten que una fuerza horizontal solo tiene componente en X pero en Y es cero. Noten que una fuerza vertical solo tiene componente en Y pero en X es cero.

( ) ( )2 2400 320R = + − ; 320tan ;400

φ −= R = 512 N, 38.70 SE

8. Cuatro fuerzas A, B, C Y D actuan en un anillo formando ángulos rectos. Hallar la resultante de las fuerzas sobre el anillo si sus magnitudes y direcciones son: A = 40 lb, E; B = 80 lb, N; C = 70 lb, O; and D = 20 lb, S. Ax = +40 lb; Bx = 0; Cx = -70 lb Dx = 0: Rx = +40 lb – 70 lb = -30 lb Ay = 0; By = +80 lb; Cy = 0; Dy = -20 lb ; Ry = 0 + 80 lb - 20 lb = +60 lb

( ) ( )2 230 60R = − + ; tan ;φ =−6030

R = 67.1 N, 116.60

9. Determinar la fuerza resultante producida por las fuerzas siguientes: A = 200 N, 300; B = 300 N, 3300; and C = 400 N, 2500. Use los ángulos que el vector forma con el eje X.

R = 53.9 km/h, 21.80

300

Fx

F

50 km/h

20 km/h R

R

C

B

A

φ

A = 40 lb, E

B

C

D

26

Ax = 200 cos 300 = 173 N; Bx = 300 cos 300 = 260 N Cx = -400 cos 700 = -137 N; Rx = ΣFx = 296 N Ay = 200 sen 300 = 100 N; By = 300 sen 300 = -150 N Cy = -400 sen 700 = -376 N; Ry = ΣFy = -430 N

2 2(296) ( 430)R = + − ; 426tan ;

296φ −

=

R = 519 N, 55.20 SE 10. Tres fuerzas actuan como se muestra en la figura. Hallar la resultante de estas tres fuerzas. Ax = 420 cos 600 = +210 N; Cx = -500 cos 400 = -383 N Bx = 0; Rx = 210 N + 0 –383 N; Rx = -173 N Ay = 420 sen 600 = 364 N; By = 150; Cy = 500 sen 400 = 321 N Ry = ΣFy = 835 N;

R = − +( ) (835)173 2 2 ; tan ;φ =−835173

R = 853 N, 78.30 NO 11. Hallar las componentes horizontal y vertical de cada uno de los vectores siguientes: A = 400 N, 370; B = 90 m, 3200; and C = 70 km/h, 1500. Ax = 400 cos 370 = 319 N; Ay = 400 sen 370 = 241 N Bx = 90 cos 400 = 68.9 N; By = 90 sen 400 = 57.9 N Cx = -70 cos 300 = -60.6 N; Cy = 70 sen 300 = 25.0 N 12. Un semáforo está colgado en el punto medio de una cuerda, de manera tal que cada segmento forma un ángulo de 100 con la horizontal. La tensión en cada segmento de la cuerda es de 200 N. Si la fuerza resultante en el punto medio es cero, ¿Cuál debe ser el peso del semáforo? Rx = ΣFx = 0; T sen 100 + T sen 100 – W = 0; 2(200) sen 100 = W: W = 69.5 N

700 300

300

C B

A

370

90 N

400

B

W

T T

300

400 600

C B

A 500 N 420 N

150 N

C A

70 N 400 N

27

13. Determinar la resultante de las fuerzas mostradas en la figura: Rx = 420 N – 200 cos 700 – 410 cos 530 = 105 lb Ry = 0 + 200 sen 700 – 410 sen 700 = -139.5 lb

R R Rx y= +2 2 R = 175 lb; θ = 306.90

14. Determinar la resultante de las fuerzas mostradas en la figura: Rx = 200 cos 300 – 300 cos 450 – 155 cos 550 = 128 N Ry = 0 + 200 sen 700 – 410 sen 700 = -185 N;

R R Rx y= +2 2

R = 225 N; θ = 124.60 15. Un bloque de 200 N descansa en un plano inclinado 300. Si el peso del bloque actúa verticalmente hacia abajo. ¿Cuáles son las componentes del peso a lo largo del plano y perpendicular al plano? Escogemos el eje x a lo largo del plano y el eje y perpendicular al plano inclinado. Wx = 200 sen 300; Wx = 173 N, hacia abajo del plano Wy = 200 sen 600; Wx = 100 N, normal al plano.

16. Hallar la resultante de los tres desplazamientos siguientes: A = 220 m, 600; B = 125 m, 2100; and C = 175 m, 3400. Ax = 220 cos 600 = 110 m;

Ay = 220 sen 600 = 190.5 m

Bx = 125 cos 2100 = -108 m;

By = 125 sen 2100 = -62.5 m

Cx = 175 cos 3400 = 164.4 m;

Cy = 175 sen 3400 = -59.9 m

Rx = 110 m –108 m + 164.4 m;

Ry = 190.5 m – 62.5 m – 59.9 m ;

550

300 450

C = 155 N

B = 300 N A = 200 N

530

700

C = 410 lb

B = 200 lb

A = 420 lb

300 W

300

300 200

600

A

B C

28

A = 200 lb

200 φ E

F

Rx = 166.4 m; Ry = 68.1 m R = + =( . ) ( . )166 4 681 1802 2 m tan ..

; .θ θ= =681

166 422 30 ;

R = 180 m, θ = 22.30

17. Que tercer fuerza F debe agregarse a las siguientes dos fuerza de manera tal que su resultante sea cero.: A = 120 N, 1100 and B = 60 N, 2000? Componentes de A: Ax = 120 Cos 1100 = -40.0 N; Ay = 120 Sen 1100 = 113 N Componentes de B: Bx = 60 Cos 2000 = -56.4 N; By = 60 Sen 2000 = -20.5 N Rx = 0; Rx = Ax + Bx + Fx = 0; Rx = -40.0 N –56.4 N + Fx = 0; o Fx = +97.4 N Ry = 0; Ry = Ay + By + Fy = 0; Ry = 113 N – 20.5 N + Fy = 0; o Fy = -92.2 N

F = + − =( . ) ( . )97 4 92 2 1312 2 N tan ..

; .φ φ=−

= −92 2

97 44330 y θ = 3600 – 43.40

Esto es, la fuerza debe tener una magnitud y dirección de: F = 134 N, θ = 316.60

18. Un aeroplano necsita una dirección resultante hacia el Oeste. La velocidad del avion en aire tranquilo es de 600 km/hr. Si la velocidad del viento tiene una velocidad de 40 km/h y sopla en la dirección de 300 SO, ¿En que dirección debe dirigirse al avion y cual será su velocidad relativa a la tierra? De el diagrama, la resultante debe ser horizontal, por lo tanto su componente vertical debe ser cero, esto es: Rx = R, Ry = 0, So that Ay + By = 0. Ay = 600 sen φ; Βy = -40 sen 300 = -20 km/h 600 sen φ - 20 = 0; 600 sen φ = 20

sin ; .φ φ= =20600

1910 NO

(dirección a la que debe dirigirse el avion) Note que R = Rx y que Ax +Bx = Rx, Necesitamos solo sumar las componentes X Ax = -600 cos 1.910 = 599.7 km/h; Βx = 40 Cos 300 = -34.6 km/h R = -599.7 km/h –34.6 km/h; R = -634 km/h. Esto es, la velocidad del avion relativa a la tierra es de 634 km/h, 00; y debe estar dirigido en la dirección 1.910 NO 19. Cual es la magnitud F y la dirección θ de la fuerza necesaria para mover el coche hacia el Este con una fuerza resultante de 400 lb? Rx = 400 lb y Ry = 0; Rx = Ax + Fx = 400 lb 200 Cos 200 + Fx = 400 lb Fx = 400 lb – 200 Cos 200 = 212 lb Ry = 0 = Ay + Fy; Ay = -200 sen 200 = -68.4 lb Fy = -Ay = +68.4 lb; So, Fx = 212 lb y Fy = +68.4 lb

F = +( ) ( . ) ;212 68 42 2 ; tan = 68.4212

θ R = 223 lb, 17.90 N E

300 R

B = 40 km/h

A = 600 km/h

φ

29

Movimiento uniformemente acelerado Es cuando un movimiento recorre distancias iguales en tiempos iguales. En todo movimiento implica una distancia recorrida y un x tiempo para recorrer esa distancia. Se puede calcular la velocidad media usando la siguiente formula: V=d/t donde: V = velocidad d = distancia t = tiempo Cuando se conoce la velocidad y se desconoce la distancia se aplica la siguiente formula: d=v*t Y cuando se va a calcular el tiempo se emplea la formula: t=d/v Aceleración. Al aumento o disminución de la velocidad se le llama aceleración. La velocidad de un móvil generalmente varia conforme pase el tiempo. Al aumentar o disminuir la velocidad, decimos se aceleró, entonces podemos decir que la aceleración es la rapidez con que varia la velocidad en un tiempo dado. Para determinar la aceleración se requiere de una dirección y sentido. Esta se calcula relacionando la velocidad inicial y la final que alcanza el cuerpo con el tiempo empleado de lo cual se deduce la formula de aceleración: A = (Vf – Vo)/t donde: a = aceleración, Vf = velocidad final Vo = velocidad inicial t = tiempo

30

31

32

Convención de signos en problemas de aceleración Velocidad (v) es positiva o negativa dependiendo si la dirección del movimiento está a favor o en contra de la dirección elegida como positiva. Aceleración (a) es positiva o negativa, dependiendo si la fuerza resultante está a favor o en contra de la dirección elegida como positiva. Desplazamiento (s) es positivo o negativo dependiendo de la posición o ubicación del objeto en relación con su posición cero. La aceleración debida a la gravedad (g) es constante en muchas aplicaciones prácticas. A menos que se establezca lo contrario, el valor se refiere al nivel del mar en el planeta Tierra donde: g = 32 pies/s2 o g = 9.8 m/s2

33

34

35

Ejemplos: 1. Un carro viaja una distancia de 86 km a una velocidad promedio de 8 m/s. ¿Cuántas horas duró el viaje?

s vt= 86,000 m 1 h10,750 s

8 m/s 3600 st ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ t = 2.99 h

2. El sonido viaja a una velocidad promedio de 340 m/s. El relámpago de un trueno es visto casi inmediatamente. Si el sonido del trueno nos alcanza 3 s más tarde. ¿Qué tan lejos está la tormenta?

t st

= = =20 m

340 m / s 0.0588 s t = 58.8 ms

3. Un cohete pequeño es lanzado de su base y viaja una distancia verticalmente hacia arriba de

40 m, si regresa a la tierra a los 5 s después de que fue lanzado, ¿Cuál fue la velocidad promedio

del viaje?

La distancia recorrida es de 40 m cuando sube y 40 m cuando baja.

v st

= = =40 80 m + 40 m

5 s m

5 s v = 16.0 m/s

4. Un carro viaja a lo largo de una curva en forma de U una distancia de 400 m en 30 s. Su

posición final, sin embargo, está a solo 40 m desde su posición incial. ¿Cuál es su rapidez

promedio y cual es la velocidad promedio?

Rapidez promedio: v st

= =400 m30 s

v = 13.3 m/s

Velocidad promedio: v = =Dt

m30 s40

v = 1.33 m/s, E

La rapidez es un escalar y se considera toda la distancia mientras que la velocidad es vectorial y solo considera el desplazamiento. 5. Una mujer camina por 4 min directamente al norte a una velocidad promedio de 6 km/h; Despues ella camina hacia el este a 4 km/h durante 10 min. ¿Cual es la rapidez promedio del viaje? t1 = 4 min = 0.0667 h; t2 = 10 min = 0.167 h s1 = v1t1 = (6 km/h)(0.0667 h) = 0.400 km s1 = v2t2 = (4 km/h)(0.167 h) = 0.667 km

v s st t

=++

=1 2

1 2

0.4 km + 0.667 km0.0667 h + 0.167 h

v = 4.57 km/h

s = 400 m

D = 40 m

θ 6 km/h, 4 min

4 km/h, 10 min

D

θ

s1

s2

C B

A E

36

6. ¿Cual es la velocidad promedio para el viaje completo del problema anterior?

D = =( . ; tan ..

0 667 0 40 667

km) + (0.400 km) km km

2 2 θ D = 0.778 km, 31.00

v = =0 778 333. . km

0.0667 h + 0.167 h km / h v = 3.33 km/h, 31.00

7 ¿Cuanto tiempo tomará viajar una distancia de 400 km si la rapidez promedio es de 90 km/h?

t st

= =400 km

90 km / h t = 4.44 h

8. Una canica es lanzada sobre un plano inclinado y rueda hacia arriba una distancia de 5 m, despues se detiene y retorna quedando a 5 más abajo de su posicion incial. El viaje completo tomó solamente 2 s. Cual es su rapidez y su velocidad promedio? (s1 = 5 m, s2 = -10 m)

rapidez = 5 m + 10 m2 s

v = 7.50 m/s

velocidad = Dt

=5 m - 10 m

2 s v = – 2.5 m/s, hacia abajo.

Problemas de Movimiento Uniformemente Acelerado 9. El extremo del brazo de un robot se está moviendo a la derecha a 8 m/s. Cuatro segundos más tarde, se está moviendo a la izquierda a 2 m/s. ¿Cual es el cambio en velocidad y cual es su aceleracion? Δv = vf - vo = (–2 m/s) – (8 m/s) Δv = –10 m/s

a vt

= =−Δ 10 m / s

4 s a = –2.50 m/s2

10. Una flecha acelera desde 0 hasta 40 m/s en los 0.5 s de su contacto con el arco. ¿Cual es su aceleracion promedio?

av v

tf o=

−=

40 m / s - 00.5 s

a = 80.0 m/s2

11. Un carro viajando inicialmente a 50 km/h acelera a razon de 4 m/s2 durante 3 s. ¿Cual es su rapidez final? vo = 50 km/h = 13.9 m/s; vf = vo + at vf = (13.9 m/s) + (4 m/s2)(3 s) = 25.9 m/s; vf = 25.9 m/s 12. Un camión viajando a 60 millas/h frena para detenerse en 180 pies. ¿Cual fue la aceleracion promedio y el tiempo de frenado? vo = 60 millas/h = 88.0 pies/s 2as = vf

2 – vo2

2 2 20 (88.0 ft/s)2 2(180 ft)

f ov va

s− −

= = a = – 21.5 pies/s2

0

0

2 2(180 ft);2 88.0 ft/s + 0

f

f

v v xx t tv v

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠ t = 4.09 s

D

s2 s1

37

13. Un aeroplano se detiene en 1.5 s. Si la aceleracion promedio fue de 49 m/s2. ¿Cual fue la distancia de frenado? ¿Cual era su velocidad inicial? vf = vo + at; 0 = vo + (– 49 m/s2)(1.5 s); vo = 73.5 m/s s = vf t - ½at2 ; s = (0)(1.5 s) – ½(-49 m/s2)(1.5 s)2; s = 55.1 m 14. En una prueba de frenado, un carro viajando a 60 km/h es detenido en un tiempo de 3 s. ¿Cual fue la aceleracion y la distancia de frenado? ( vo = 60 km/h = 16.7 m/s) vf = vo + at; (0) = (16.7 m/s) + a (3 s); a = – 5.56 m/s2

( )0 16.6 m/s + 0 3 s2 2

fv vs t

+ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

; s = 25.0 m

15. Una balla deja el barril de un rifle de 28-pulg a 2700 pies/s. ¿Cual fue su aceleracion y el tiempo en el barril? (s = 28 pulg = 2.33 pies)

2as = vo2 - vf

2 ; av v

sf=

−=

−202

2(2700 ft / s) 0

2(2.33 ft)

2

; a = 1.56 x 106 m/s2

sv v

t sv v

f

f

=+

+=0

022 2 2 33; t = ft)

0 + 2700 ft / s( . ; t = 1.73 ms

16. Un tren monoriel está viajando a 80 km/h y debe ser detenido en una distancia de 40 m. ¿Cual debe ser la aceleracion promedio requeria y en que tiempo se detiene? ( vo = 80 km/h = 22.2 m/s)

2as = vo2 - vf

2; av v

sf=

−=

−202

20 (22.2 m / s)

2(40 m)

2

; a = -6.17 m/s2

sv v

t sv v

f

f

=+

+=0

022 2 40; t = m)

22.2 m / s + 0( ; t = 3.60 m/s

Problemas de Gravedad y de Cuerpos en Caída Libre (Tiro Vertical) 17. Una pelota se deja caer desde el reposo (velocidad inicial = vo = 0) y cae durante 5 s. ¿Cual es su posicion y su velocidad? s = vot + ½at2; s = (0)(5 s) + ½(-9.8 m/s2)(5 s)2 ; s = -122.5 m vf = vo + at = 0 + (-9.8 m/s2)(5 s); v = -49.0 m/s 18. Una roca se deja caer desde el reposo (velocidad inicial = vo = 0). ¿Cuando alcanzará un desplazamiento de 18 m abajo de su punto de lanzamiento? ¿Cual es su velocidad en ese momento? s = vot + ½at2; (-18 m) = (0)(t) + ½(-9.8 m/s2)t2 ; t = 1.92 s vf = vo + at = 0 + (-9.8 m/s2)(1.92 s); vf = -18.8 m/s 19. Una mujer deja caer un peso desde la parte alta de un puente, mientras un amigo abajo mide el tiempo que tarda en golpear el agua. ¿Cual es la altura del puente si el tiempo medido fue de 3 s? s = vot + ½at2 = (0) + ½(-9.8 m/s2)(3 s)2; s = -44.1 m

38

20. Un ladrillo se deja caer con una velocidad inicial hacia abajo de 6 m/s. ¿Cual será su velocidad final cuando haya caído una distancia de 40 m? 2as = vo

2 - vf2 ; v v asf = + = + −0

2 2 40(-6 m / s) 2(-9.8 m / s m)2 2 )( ; v = ±28.6 m/s; dado que su velocidad es hacia abajo, v = - 28.6 m/s 21. Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba y retorna a su posicion inicial en 5 s. ¿Cual fue su velocidad inicial y que tan alto subió? s = vot + ½at2; 0 = vo(5 s) + ½(-9.8 m/s2)(5 s)2 ; vo = 24.5 m/s

Sube hasta que vf = 0; 2as = vo2 - vf

2 ; s =−0 (

)24.5 m / s)

2(-9.8 m / s

2

2 ; s = 30.6 m

22. Una flecha es disparada verticalemnte hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies/s. ¿Cual es la maxima altura que alcanza? (En la máxima altura, vf = 0; a = g = -32 pies/s2)

2as = vo2 - vf

2; sv v

af=

−=

202

20 - (80 ft / s)2(-32 ft / s

2

2 ); s = 100 pies

23. En el problema anterior ¿Cual es la posición y velocidad de la flecha a los 2 s y a los 6 s? s = vot + ½at2 = (80 pies/s)(2 s) + ½(-32 pies/s2)(2 s)2 ; s = 96 pies vf = vo + at = (80 pies/s) + (-32 pies/s2)(2 s); vf = 16 pies/s s = vot + ½at2 = (80 pies/s)(6 s) + ½(-32 pies/s2)(6 s)2 ; s = -96 pies vf = vo + at = (80 pies/s) + (-32 pies/s2)(6 s); vf = -112 pies/s 24. Un martillo es lanzado verticalemnte hacia arriba hasta la parte superior de un techo de 16 m de altura. ¿Cual es la velocidad inicial minima requerida? 2as = vo

2 - vf2 ; v v asf0

2 2 16= − = −(0) 2(-9.8 m / s m)2 2 )( ; vo = 17.7 m/s

Problemas de Proyeccción Horizontal (Tiro Horizontal) 25. Una bola de beisbol deja un bat con una velocidad horizontal de 20 m/s. En un tiempo de 0.25 s, ¿Que distancia ha viajado horizontalmente y que tanto ha caido verticalmente? x = vox t = (20 m/s)(2.5 s) ; x = 50.0 m y = voy + ½gt2 = (0)(2.5 s) + ½(-9.8 m/s2)(0.25 s)2 y = -0.306 m 26. Un aeroplano viajando a 70 m/s deja caer una caja de comestibles. ¿Que distancia horizontal recorrerá la caja antes de golpear la tierra a 340 m más abajo? Primero encontramos el tiempo de caida:

y = voy t + ½gt2 t yg

= =−

−2 2

9 8(

.340 m) m / s2

0

39

t = 8.33 s ; x = vox t = (70 m/s)(8.33 s) ; x = 583 m 27. Una bala deja el barril de una arma con una velocidad inicial horizontal de 400 m/s. Hallar su desplazamiento horizontal y vertical despues de 3 s. x = vox t = (400 m/s)(3 s) ; x = 1200 m y = voy + ½gt2 = (0)(3 s) + ½(-9.8 m/s2)(3 s)2 y = -44.1 m 28. Un proyectil tiene una velocidad horizontal de 40 m/s en la parte superior de un techo. Encontrar las componentes horiontal y vertical de su velocidad al cabo de 3 s. vx = vox = 40 m/s vy = voy t + gt = 0 + (-9.8 m/s2)(3s); vy = -29.4 m/s

El Problema General de las Trayectorias (Tiro Parabólico) 29. A una piedra se le da una velocidad inicial de 20 m/s at an angle of 580. ¿Cual son sus desplazamientos horizontal y vertical al cabo de 3 s? vox = (20 m/s) cos 580 = 10.6 m/s; voy = (20 m/s) sen 580 = 17.0 m/s x = voxt = (10.6 m/s)(3 s); x = 31.8 m y = voyt + ½gt2 = (17.0 m/s)(3 s) +½(-9.8 m/s2)(3 s)2; y = 6.78 m 30. Una bola de beisbol deja un bat con una velocidad de 30 m/s a un angulo de 300. ¿Cual son sus desplazamientos horizontal y vertical al cabo de 3 s? vox = (30 m/s) cos 300 = 26.0 m/s; voy = (30 m/s) sen 300 = 15.0 m/s vx = vox = 26.0 m/s ; vx = 26.0 m/s vy = voy + gt = (15 m/s) + (-9.8 m/s2)(3 s) ; vy = -14.4 m/s 31. Para el problema anterior, ¿Cual es la máxima altura alcanzada y la distancia horizontal recorrida (Rango)? ymax ocurre cuando vy = 0, o cuando: vy = voy + gt = 0 y t = - voy/g

tvg

toy=−

=−−

=30 309 8

1530sin

.; .

m / s s ; Ahora hallamos ymax usando este tiempo.

ymax = voyt + ½gt2 = (15 m/s)(1.53 s) + ½(-9.8 m/s2)(1.53 s)2; ymax = 11.5 m

la distancia horizontal recorrida (R) ocurre al doble del tiempo: t’ = 2(1.53 s) o t’ = 3.06 s, Esto es: R = voxt’= (30 m/s) cos 300 (3.06 s); R = 79.5 m

40

32. Una bola de golf deja el palo con una velocidad de 40 m/s a 650. Si aterriza en un hoyo localizado a 10 m más alto de su lanzamiento, ¿Cual fue el tiempo de vuelo y cual es la distancia horizontal hasta el hoyo? vox = (40 m/s) cos 650 = 16.9 m/s; voy = (40 m/s) sen 650 = 36.25 m/s y = voyt + ½gt2: 10 pies = (36.25 m/s) t + ½(-9.8 m/s2)t2 Resolviendo la ecuación cuadrática: (4.9t2 – 36.25t + 10 = 0) resulta: t1 = 0.287 s y t2 = 7.11 s. Hay dos momentos cuando la bola está a 10 m de altura, la primera vez es a 0.287 s cuando está subiendo y la segunda es a 7.11 s cuando cae al hoyo. Entonces el tiempo es: t = 7.11 s La distancia horizontal recorrida es: x = voxt = (16.9 m/s)(7.11 s); x = 120 m 33. Un objeto A es proyectado horizontalmente a 20 m/s. Al mismo tiempo, otro objeto B localizado a 12 m de A se deja caer desde el reposo. ¿Cuando chocarán y que tan lejos estarán del punto de liberacion? A: vox = 20 m/s, voy = 0; B: vox = voy = 0 El objeto B tiene que caer la distancia y al mismo tiempo t que el objeto A. Así, x = voxt y (20 m/s)t = 12 m; t = 0.600 s y = ½at2 = ½(-9.8 m/s2)(0.6 s)2 ; y = -1.76 m 34. Un auto está viajando inicialmente hacia el norte a 20 m/s. Al cabo de viajar una distancia de 6 m, el auto pasa el punto A donde su velocidad es todavia hacia el norte pero se ha reducido a 5 m/s. (a) ¿Cual es la magnitud y direccion de la aceleracion del auto? (b) ¿Que tiempo fue requerido? (c) Si la aceleracion se mantiene constante, ¿Cual será la velocidad del carro cuando retorne en el punto A? (a) vo = 20 m/s, vf = 5 m/s, x = 6 m

2as = vo2 - vf

2;2 2 2 2

0 (5 m/s) (20 m/s)2 2(6 m)

fv va

s− −

= = ;

a = -31.2 m/s2

(b) 0

0

2 2(6 m);2 20 m/s + 5 m/s

f

f

v v ss t tv v

+ ⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦;

t = 0.480 s (c) Inicia en A con vo = + 5 m/s entonces retorna a A con un desplazamiento neto de cero (s = 0): 2as = vo

2 - vf2; 0 = (5 m/s)2 – vf

2; v f = = ±(5 m / s) m / s2 5 ; vf = - 5 m/s 35. Una bola moviendose hacia arriba de un plano inclinado esta inicialmente localizada a 6 m desde el fondo del plano y tiene una velocidad de 4 m/s. Cinco segundos mas tarde, esta

x = 6 m x = 0

y

B A

12 m

A v = 5 m/s v=20 m/s

41

4 m/s 6 m

3 m

localizado a 3 m desde el fondo del plano. Asumiendo una aceleración constante ¿Cuál es su velocidad promedio? ¿Cuál es el significado de una velocidad promedio negativa? ¿Cuál es la aceleración promedio y su velocidad final? vo = + 4 m/s; s = -3 m; t = 5 s Hallar vavg

s = vavg t; v =−3 m5 s

; vavg = -0.600 m/s

La velocidad promedio negativa significa que la velocidad siempre fue hacia abajo del plano la mayor parte del tiempo. s = vot + ½at2; -3 m = (4 m/s)(5 s) + ½a (5 s)2; a = -1.84 m/s2 vf = vo + at = 4 m/s + (-1.84 m/s2)(5 s); vf = -5.20 m/s 36. Considere las dos bolas A y B mostradas. La bola A tiene una aceleracion constante de 4 m/s2 dirigida a la derecha, y una bola B tiene una aceleración constante de 2 m/s2 dirigida a la izquierda. La bola A está inicialmente viajando a la izquierda a 2 m/s, mientras la bola B está viajando inicialmente a la izquierda a 5 m/s. Hallar el tiempo t en el cual las bolas chocan. Tambien, asumiendo que x = 0 es la posición inicial de la bola A, ¿Cuál es el desplazamiento común cuando ellas chocan? Las ecuaciones de desplazmiento de A y B: s = so + vot + ½at2 (observa los signos) Para A: sA = 0 + (-2 m/s)t + ½(+4 m/s2) t2

Para B: sB = 18 m + (-5 m/s)t + ½(-2 m/s2) t2; Simplificamos y hacemos sA = sB - 2t + 2t2 = 18 – 5t - t2 → 3t2 + 3t – 18 = 0 → t1 = - 3 s, t2 = +2 s Aceptando t = +3 s como la respuesta significativa y sustituyendo en cualquiera, ya sea en sA o en sB:

sA = -2(2 s) + 2(2 s)2; x = + 4 m 37. Inicialmente, un camion con una velocidad de 40 pies/s y está localizado a una distancia de 500 pies a la derecha de un auto. Si el auto inicia desde el reposo y acelera a 10 pies/s2, ¿Cuándo se adelantará al camión? ¿Qué tan lejos estará desde la posición inicial? Las ecuaciones de desplazamiento para el auto y el camión son: s = so + vot + ½at2 (observe los signos)

v = 0

s = 0 s = 500 ft

v = 40 ft/s

+

s = 0

v = - 5 m/s v = - 2 m/s

+

aa = +4 m/s2

x = 18 m x = 0

A B

ab = -2 m/s2

42

Para el auto: sC = 0 + ½(+10 pies/s2) t2 ; Camión: sT = 500 pies + (40 pies/s)t + 0; Establecemos: sC = sT 5t2 = 500 + 40t or t2 – 8t –100 = 0; t1 = -6.77 s; t2 = +14.8 s Resolviendo en cualquiera de las dos: sC = ½(10 pies/s2)(14.8 s)2; s = 1092 pies 38. Una bola se deja caer desde el reposo desde un edificio de 100-m de alto. Al mismo tiempo una segunda bola es lanzada hacia arriba desde la base del edificiocon una velocidad inicial de 50 m/s. ¿Cuando chocaran las bolas y a que distancia estarán desde la base del edificio? Para A: sA = 100 m + v0At + ½gt2 = 100 m + 0 + ½(-9.8 m/s2) t2 Para B: sB = 0 + (50 m/s)t + ½(-9.8 m/s2) t2 Haciendo sA = sB 100 – 4.9 t2 = 50 t – 4.9 t2; 50 t = 100; t = 2.00 s Resolviendo para s: sA = 100 m – (4.9 m/s2)(2 s)2; s = 80.4 m 39. Una flecha es disparada hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. Tres segundos más tarde, otra flecha es disparada hacia arriba con una velocidad de 60 m/s. ¿En cuanto tiempo y en que posicion se encontrarán? Sea t1 = t el tiempo para la primera flecha, entonces t2 = t - 3 para la 2a flecha. s1 = (40 m/s)t1 + ½(-9.8 m/s2)t1

2 ; s1 = 40t – 4.9t2 s2 = (60 m/s)t2 + ½(-9.8 m/s2)t2

2 ; s2 = 60(t – 3) - 4.9(t – 3)2 s1 = s2; 40t – 4.9t2 = 60t – 180 – 4.9(t2 – 6t + 9) La solucion para t da: t = 4.54 s La posicion es: s1 = s2 = (40 m/s)(4.54 s) – (4.9 m/s2)(4.54 s)2; s = 80.6 m 40. Un cerdo salvaje corre directamente hacia un cazador con una velocidad de 60 pies/s. En el instante que el cerdo está a 100 yardas de lejos, el cazador dispara una flecha a 300 con la tierra. ¿Cual debe ser la velocidad de la flecha para que golpee al cerdo? y = 0 = (v0 sen 300)t + ½(-32 pies/s2)t2; Resolviendo para t

t v v= =05 2

320 031250

0. ( ) . ; t = 0.03125 vo

s1 =( v0 cos 300) t = (0.866 vo)(0.03125 vo); s1 = 0.0271 vo

2

A

B

s = 0

s = 100 m

s1 = s2

60 m/s

40 m/s

v = -60 ft/s

s1 = s2 s = 300 ft s = 0

vo

300

43

s1 = 0.0271 vo2 ; t = 0.03125 vo

vB = - 60 pies/s; soB = 300 pies s2 = soB + vBt = 300 pies + (-60 pies/s)t s2 = 300 – 60 (0.03125 vo) = 300 – 1.875 vo Ahora, Haciendo s1 = s2 y resolviendo para vo :

0.0271 vo2 = 300 – 1.875 vo or vo

2 + 69.2 vo – 11,070 = 0 La solucion de la ecuacion cuadratica resulta: vo = 76.2 pies/s

Primera ley de Newton Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimillasento rectilíneo uniforme, a menos que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre él.

Aplicación de la segunda ley de Newton a problemas de un solo cuerpo Problema Fórmula ¿Qué aceleración ejercerá una fuerza conocida en un cuerpo con masa conocida? Fa

m=

¿Qué fuerza se requiere para acelerar un cuerpo de masa conocida a un determillasnado nivel de aceleración?

F ma=

44

¿Cuál es la masa de un cuerpo que se somete a una aceleración conocida por una fuerza determillasnada?

Fma

=

Relación entre peso y masa La masa es una constante universal igual a la relación del peso de un cuerpo con la aceleración gravitavcional debida a su peso.

Wm g=

El peso es la fuerza de atracción gravitacional y varía dependiendo de la aceleración de la gravedad.

W mg=

El peso y la fuerza tienen las mismas unidades.

SI: Newtons

Inglés: libras

45

Tercera ley de Newton Para cada acción debe haber una reacción igual y opuesta. Ejemplos: 1. Una masa de 4-kg recibe una fuerza resultante de (a) 4 N, (b) 8 N, y (c) 12 N. ¿Cuáles son las aceleraciones resultantes?

(a) a = =4N4 kg

1 m/s2 (b) a = =8N4 kg

2 m/s2 (c) a = =12N4 kg

3 m/s2

2. Una fuerza constante de 20 N actúa sobre una masa de (a) 2 kg, (b) 4 kg, y (c) 6 kg. ¿Cuáles son las aceleraciones resultantes?

(a) a = =20N2 kg

10 m/s2 (b) a = =20N4 kg

5 m/s2 (c) a = =20N6 kg

3.33 m/s2

3. Una fuerza constante de 60 lb actúa en cada uno de tres objetos, produciendo aceleraciones de 4, 8, and 12 pies/s2. ¿Cuáles son sus masas?

2

60 lbm4 pie/s

= = 15 slugs 2

60 lbm8 pie/s

= = 7.5 slugs 2

60 lbm12 pie/s

= = 5 slugs

4. Que fuerza resultante es necesaria para producirle a un martillo de 4-kg hammer una aceleración de 6 m/s2? F = ma = (4 kg)(6 m/s2); F = 24 N 5. Si se determinó que una fuerza resultante de 60 N le produce a un vagón una aceleración de 10 m/s2. ¿Qué fuerza es requerida para darle al vagón una aceleración de solo 2 m/s2?

m = =60 6 N

10 m / s slugs2 ; F = ma = (6 slugs)(2 m/s2); F = 12 N

6. Un auto de 1000-kg se mueve hacia el norte a 100 km/h y aplica los frenos para detenerse en 50 m. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza?

46

Conviriendo at unidades SI: 100 km/h = 27.8 m/s

22

0 27 82

2 22 2 2

as v v av v

saf o

f o= − =−

=−

=; ( ) ( .(50 m)

; m / s) 7.72 m / s2

2

F = ma = (1000 kg)(7.72 m/s2); F = 772 N, Sur.

Relaciones entre masa y peso 7. ¿Cuál es el peso de un paquete que tiene una masa de 4.8 kg? ¿Cuál es la masa de un tanque de 40-N ?

W = (4.8 kg)(9.8 m/s2) = 47.0 N ; m =40 N

9.8 m / s2 = 4.08 kg

8. ¿Cuál es la masa de un niño de 60-lb? ¿Cuál es el peso de un hombre con una masa de 7-slugs?

m =60 lb

32 ft / s2 = 1.88 slugs ; W = (7 slugs)(32 pies/s2) = 224 lb

9. Una mujer pesa 180 lb en la tierra. Cuando ella camina en la luna, ella pesa solo 30 lb. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad de la luna y cual es su masa en la luna y en la tierra? Su masa es la misma en la luna como en la tierra, así que primero encontramos la masa constante:

me = =180 5625 lb

32 ft / s slugs;2 . mm = me = 5.62 slugs ;

Wm = mmgm gm =30 lb

5.625 slugs; gm = 5.33 pies/s2

10. Hallar la masa y peso de un cuerpo si una fuerza resultante de 400 N provoca que su velocidad disminuya en 4 m/s en 3 s.

a vt

a= =−

= −Δ 4

3133 m / s

s m / s2; . ; m =

−−

400133

N m / s2.

; m = 300 kg

W = mg = (300 kg)(9.8 m/s2); W = 2940 N 11. Que fuerza horizontal es necesaria para arrastrar un trineo de 6-kg con una aceleración de 4 m/s2 si una fuerza de friccion de 20 N se opone al movimiento? P – 20 N = (6 kg)(4 m/s2); P = 44.0 N 12. Un automóvil de 2500-lb se esta moviendo a 55 millas/h. ¿Cuál es la fuerza resultante es requerida para detener el carro en 200 pies a nivel del camino?. ¿Cuál debe ser el coeficiente de friccion cinetica? Primero encontramos la masa y después la aceleración: (55 millas/h = 80.7 m/s)

6 kg 20 N

P

47

2 2f 02

2500 lbm 78.1 slugs; Recordando que: 2as v v 32 ft/s

= = = −

2 2 22f 0v v (0) (80.7 ft/s) a ; y a - 16.3 m/s

2s 2(200 ft)− −

= = =

F = ma = (78.1 slugs)(-16.3 pies/s2); F = -1270 lb

k1270 lb; ;2500 lbk kF Nμ μ= = μk = 0.508

13. Una masa de 10-kg es levantada hacia arriba por un cable ligero. ¿Cuál es la tensión en en el cable si la aceleración es (a) cero, (b) 6 m/s2 hacia arriba, y (c) 6 m/s2 hacia abajo? Note que hacia arriba es positivo y W = (10 kg)(9.8 m/s2) = 98 N. (a) T – 98 N = (10 kg)(0 m/s2) y T = 98 N (b) T – 98 N = (10 kg)(6 m/s2) y T = 60 N + 98 N or T = 158 N (c) T – 98 N = (10 kg)(-6 m/s2) y T = - 60 N + 98 N or T = 38.0 N 14. Asumiendo que no existe fuerza de friccion en el sistema. ¿Cuál es la aceleración del sistema? ¿Cuál es la tensión T en la cuerda que une los bloques? Fuerza resultante = masa total x aceleración 80 N = (2 kg + 6 kg)a; a = 10 m/s2 Para hallar T, aplicamos F = ma al bloque de 6-kg unicamente: 80 N – T = (6 kg)(10 m/s2); Τ = 20 Ν

W = mg

+

T

10 kg

T

6 kg 2 kg 80 N

48

49

50

Conservación de la energía mecánica: En la ausencia de resistencia del aire o de otras fuerzas disipativas, la suma de las energías potenciales y cinéticas es una constante, siempre que no se añada ninguna otra energía al

sistema. Energía total = Ep + Ek = constante

Ejemplos de Trabajo y Energía 1. ¿Cuál es el trabajo hecho por una fuerza de 20 N actuando a través de una distancia paralela de 8 m? ¿Qué fuerza se requiere para hacer el mismo trabajo en una distancia de 4 m? Trabajo = (20 N)(8 m) = 160 J ; F (4 m) = 160 J; F = 40.0 N 2. Un trabajador levanta un peso de 40 lb durante una altura de 10 pies. ¿Cuántos metros debe ser levantado un bloque de 10-kg para producir la misma cantidad de trabajo?

Work = (20 lb)(10 pies) = 200 lb-pies; 1.356 J200 lb-pie 271 J1 ft lb

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠Trabajo

Work = Fs = mgs; 2

271 J(10 kg)(9.8 m/s )

Worksmg

= = ; s = 2.77 m

51

3. Un bote remolcador ejerce una fuerza constante de 4000 N sobre un barco, desplazandolo una distancia de 15 m. ¿Qué trabajo es hecho? Trabajo = (4000 N)(15 m); Trabajo = 60,000 J 4. Un martillo de 5-kg es levantado a una altura de 3 m. ¿Cuál es el trabajo realizado? Trabajo = Fs = (5 kg)(9.8 m/s2)(3 m); Trabajo = 147 J 5. Una fuerza de empuje de 30 lb es aplicada a lo largo de la manija de una cortadora de césped, produciendo un desplazamiento horizontal de 40 pies. Si la manija forma un ángulo de 300 con la tierra, ¿Qué trabajo es hecho por la fuerza de 30-lb? Trabajo = (F cos θ)s = (30 lb) cos 300 (40 pies) Trabajo = 1040 lb-pies 6. El tronco es arrastrado una distancia horizontal de 24 m por una cuerda que forma un ángulo θ con el piso. Si la tensión en la cuerda es de 8 N, ¿Qué trabajo es hecho cuando la cuerda forma los siguientes angulos: 00, 300, 600, 900?

Trabajo = (F cos θ)s = (8 N) cos 00 (24 m) = 192 J Trabajo = (8 N) cos 300 (24 m) = 166 J ; Trabajo60 = 96 J ; Trabajo90 = 0 J 7. Una fuerza horizontal empuja un trineo de 10-kg a lo largo de un camino por una distancia de 40 m. Si el coeficiente de friccion cinetico es de 0.2, ¿Qué trabajo es realizado por la fuerza de friccion? Trabajo = (F cos θ)s = (F) (cos 1800)s = - F s; but F = μkN = μk mg Trabajo = μkmg s = (0.2)(10 kg)(9.8 m/s2)(40 m); Trabajo = –784 J 8. Aun trineo es arrastrado una distancia de 12.0 m por una cuerda bajo una tensión constante de 140 N. La tarea requiere de 1200 J de trabajo. ¿Qué ángulo debe formar la cuerda con la tierra? Trabajo = (F cos θ)s;

s = 40 ft

P

Fk

N

300

W

θ

8 N

θ

140 N

12 m

52

1200 Jcos(140 N)(12 m)

= =Trabajo

Fsθ

cos θ = 0.714; θ = 44.40

Trabajo Resultante Una fuerza promedio de 40 N comprime un resorte helicoidal una distancia de 6 cm. ¿Cuál es el trabajo hecho por la fuerza de 40-N? ¿Qué trabajo es hecho por el resorte? ¿Cuál es el trabajo resultante? Trabajo40 = (40 N)(0.06 m) = 2.40 J, (trabajo positivo) Trabajoresorte = (-40 N)(0.06 m) = -2.40 J, (Trabajo negativo) Trabajo resultante = Σ(trabajos) = 2.4 J – 2.4 J = 0 J El trabajo es positivo cuando la fuerza coincide con el desplazamiento y negativo cuando es contra el desplazamiento. 10. Una fuerza horizontal de 20 N arrastra un pequeño trineo 42 m a través del hielo a una rapidez constante. Encuentre el trabajo hecho por la fuerza de arrastre y por la fuerza de friccion. ¿Cuál es el trabajo resultante? Trabajo20 = (20 N)(42 m) = 840 J, (trabajo positivo) F = μkN F = 0.2(20 N) = 4 N Trabajofriccion = (-4 N)(42 m) = - 168 J, (trabajo negativo) Fuerza resultante = 20 N – 4 N = 16 N Trabajo resultante = Σ(trabajos) = 840 J – 168 J = 672 J = (16 N)(42 m) = 672 N 11. Una bloque de 10 kg es arrastrado por una fuerza horizontal de 26 N. Si μk = 0.2 encuentre el trabajo hecho por la fuerza de arrastre y por la fuerza de friccion. ¿Cuál es la fuerza resultante? ¿Cuál es la aceleración resultante? . F = μkN = μkmg F = 0.2(10 kg)(9.8 m/s2) = 19.6 N Trabajo = FR s = (P – F)s; Trabajo = (26 N – 19.6 N)(20 m) Trabajo = 128 J

FR = (26 N – 19.6 N) = 6.40 N; 6.4 N10 kg

Fam

= = ; a = 0.640 m/s2

0.06 m

40 N

F

42 m 20 N

F

20 m 26 N

53

12. Una cuerda formando un ángulo de 350 arrastra una caja de 10-kg una distancia horizontal de 20 m. La tensión en la cuerda es de 60 N y la fuerza de friccion constante es de 30 N. ¿Cuál es el trabajo hecho por la cuerda? ¿Cuál es el trabajo hecho por la friccion? ¿Cuál es el trabajo resultante? (Trabajo)CUERDA = (60 N) cos 350 (20 m); (Trabajo)r = 983 J (Trabajo)

FRICCION = (-30 N)(20 m) = -600 J; (Trabajo)

F = -600 J

Trabajo = Σ(Trabajo) = 983 J – 600 J; Trabajo Resultante = 383 J

60 N N

mg

350 F

20 m