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Coordenadas Cartesianas
Antes de entender el concepto de vector en tres dimensiones, se debe
poder identificar puntos en el sistema de coordenadas tridimensional.
Se puede construir este sistema trazando en el origen un eje z
perpendicular al eje x y al eje y .
La figura 1 muestra la porción positiva de cada eje de coordenadas.
Tomados por pares, los ejes determinan tres planos coordenados:
plano xy , el plano xz y el plano yz .
Figura 1. Sistema de Coordenadas Tridimensional
Estos tres planos coordenados dividen el plano tridimensional en ocho
octantes. El primer octante es el que todas las coordenadas son
positivas.
En este sistema tridimensional, un punto p en el espacio está
determinado por una terna ordenada , ,x y z donde , ,x y z son:
Figura 2. Los puntos en el sistema de coordenadas
tridimensional se representan por medio de ternas ordenadas.
Recordar que un sistema de coordenadas tridimensional puede tener
orientación levógira o dextrógira.
En nuestro curso de trabaja exclusivamente con el sistema dextrógiro.
Muchas de las formulas establecidas para el sistema de coordenadas
bidimensional pueden extenderse a tres dimensiones por ejemplo,
para encontrar la distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dos
veces el teorema pitagórico, como se muestra en la siguiente figura:
¿Y cómo obtenemos la longitud de un vector tridimensional como el
siguiente, en el cual no aparece haber un triángulo con dos catetos?
Figura 3. Vector tridimensional
Lo podemos hacer de la siguiente manera. Primero obtenemos la
longitud L de la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los
catetos a y b .
Figura 4. Primer Triangulo
Por el teorema de Pitágoras en dos dimensiones, sabemos que:
2 2 2L a b
Una inspección al diagrama nos revela que al lado L es a su vez el
cateto del otro triangulo rectángulo formado por los catetos L y c :
Figura 5. Segundo Triangulo
Para este triangulo plano, la aplicación del teorema de Pitágoras
nuevamente nos da:
2 2 2d L c
Pero puesto que 2 2 2L a b , tenemos entonces que la longitud de un
vector tridimensional cuyas componentes en los tres ejes son, a, b y c
está dada por la fórmula:
2 2 2d a b c
Por lo tanto, la fórmula de la distancia entre los puntos 1 1 1, ,x y z y
2 2 2, ,x y z es:
2 2 2
2 1 2 1 2 1
Formula de la distancia para dos puntos en el espacio tridimensional
d x x y y z z
Una esfera con centro en 0 0 0, ,x y z y radio r está definida como el
conjunto de todos los puntos , ,x y z tales que la distancia entre
, ,x y z y 0 0 0, ,x y z es r .
Se puede usar la fórmula dela distancia para encontrar la ecuación
canónica o estándar de una esfera de radio r , con centro en 0 0 0, ,x y z
. Si , ,x y z es un punto, arbitrario de la esfera, la ecuación de la
esfera es:
2 2 2 2
0 0 0
Ecuación de la esfera
x x y y z z r (1.1)
Figura 6. Esfera
Como se muestra en la figura 6. El punto medio del segmento de recta
que une a los puntos 1 1 1, ,x y z y 2 2 2, ,x y z tiene coordenadas
1 2 1 2 1 2, ,
2 2 2
Regla del punto Medio
x x y y z z (1.2)
Problemas
Problema 1
Encuentre las longitudes de los lados del triangulo con vértices en
3, 4,1 , (5, 3,0)A B y (6, 7,4)C . ¿Es ABC un triangulo rectángulo
isósceles?
Solución
Podemos encontrar los lados de un triangulo usando la formula de la
distancia entre los pares de vértices:
22 2
22 2
22 2
5 3 3 4 0 1 4 1 1 6
6 5 7 3 4 0 1 16 16 33
3 6 4 7 1 4 9 9 9 27 3 3
AB
BC
CA
El Teorema de Pitágoras se satisface por 2 2 2
AB CA BC , ABC es
un triangulo rectángulo. ABC No es isósceles, además dos de sus
lados no tienen la misma longitud.
Problema 2
Describa verbalmente la región de 3 representada por la desigualdad
2 2 21 25x y z .
Solución
La inecuación 2 2 21 25x y z es equivalente a 2 2 21 5x y z ,
por lo tanto la región consiste en los puntos que van del origen en el
rango de 1 a 5. Es decir son todos los puntos concéntricos a la esfera
con radio 1 y 5 y centro ( , , ) 0,0,0C h k C .
Problema 3
Encuentre la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tiene
puntos extremos 2,1,4 y 4,3,10 .
Solución
A través de los medios puntos del diámetro (el diámetro de la esfera)
es 3,2,7C
1 2 1 2 1 2, ,2 2 2
4 2 3 1 10 4, ,
2 2 2
3,2,7
x x y y z zQ
Q
Q
El radio es la mitad del diámetro, por lo tanto
2 2 21 1
4 2 3 1 10 4 44 112 2
r
Entonces la ecuación de la esfera es
2 2 2
3 2 7 11x y z
Problema 4
Encuentre la ecuación de la esfera con centro 0,1, 1 y radio 4. ¿Cuál
es la intersección de esta esfera con el plano yz ?
Solución
Tenemos que
2 2 2 2 2 2
, ,
1 1 16 1 1 16
C h k
x h y z x y z
Con la condición de que
2 2
0La intersección
1 1 16
x
y z
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Cilíndricas Página 1
Coordenadas Cilíndricas
Introducimos el sistema de coordenadas polares para dar una
descripción cómoda de ciertas curvas y regiones. En tres dimensiones
tenemos dos sistemas de coordenadas que son semejantes al de las
coordenadas polares y dan descripciones cómodas de algunas
superficies y sólidos que aparecen frecuentemente.
En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio
tridimensional esta representado por la terna ordenada , ,r z donde
r y son las coordenadas polares de la proyección de P en el
plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P véase la
siguiente figura 1
Figura 1. Coordenadas Cilíndricas
Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares empleamos
las ecuaciones:
cos , ,x r y sen z z (1.1)
Mientras para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas
usamos:
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Cilíndricas Página 2
2 2 2 , tan ,y
r x y z zx
(1.2)
Ejercicios Propuestos
Ejercicio 1
Determine el punto en coordenadas cilíndricas 2,2 / 3,1 y encuentre
sus coordenadas rectangulares
x
y
z
(r,t,z) = (2,2pi/3,1)
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Cilíndricas Página 3
De las ecuaciones anteriores, sus coordenadas rectangulares son:
2 12cos 2 1
3 2
2 32 2 3
3 2
1
x
y sen
z
Entonces el punto 1, 3,1
Ejercicio 2
Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas
rectangulares (3, 3, 7)P
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Cilíndricas Página 4
De las ecuaciones anteriores tenemos que:
223 3 3 2
3 7 7tan 1 2 2
3 4 4 4 4
7
r
n
z
Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son tanto 3 2,7 / 4, 7
como 3 2, / 4, 7
xy
z
(x,y,z) = (3,-3,-7)
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Cilíndricas Página 5
Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que
tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z
de manera que coincida con el eje de simetría, como se muestra en
las siguientes figuras:
Cilindro 2 2 9x y
Paraboloide 2 2 4 , 2x y z r z
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Cilíndricas Página 6
Cono 2 2 2,x y z r z
Hiperboloide 2 2 2 2 21, 1x y z r z
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Cilíndricas Página 7
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Esféricas Página 1
Coordenadas Esféricas
Las coordenadas esféricas , ,p de un punto P en el espacio se
ilustran en la siguiente figura 2
Figura 1. Coordenadas Cilíndricas
Donde P OP es la distancia del origen a P , es el mismo ángulo
que las coordenadas cilíndricas, y es el ángulo entre el semieje
positivo z y el segmento de la recta OP .
Note que:
0,0
El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en
problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se
pone en ese punto. Por ejemplo:
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Esféricas Página 2
Esfera p c
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Esféricas Página 3
semiplano vertical c
xy
z
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Esféricas Página 4
: 02
Semicono c c
Para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares empleamos
las ecuaciones:
cos , cosx sen y sen sen z (1.1)
Del mismo modo, la fórmula de la distancia muestra que:
2 2 2 2x y z (1.2)
Ejercicios Propuestos
Ejercicio 1
El punto dado esta dado en coordenadas esféricas 2, / 4, / 3
encuentre sus coordenadas rectangulares
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Esféricas Página 5
De las ecuaciones anteriores tenemos
3 1 3cos 2 cos 2
3 4 2 22
3 1 32 2
3 4 2 22
1cos 2cos 2 1
3 2
x sen sen
y sen sen sen sen
z
Por lo tanto el punto 2, / 4, / 3 es 3 / 2, 3 / 2,1 en coordenadas
rectangulares.
x
y
z
(rho,theta,phi) = (2,pi/4,pi/3)
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Esféricas Página 6
Ejercicio 2
El punto (0,2 3, 2)P esta dado en coordenadas rectangulares.
Encuentre sus coordenadas esféricas.
De las ecuaciones anteriores tenemos que:
2 2 2 0 12 4 4x y z
Y por lo tanto las ecuaciones dan:
x
y
z
(x,y,z) = (0,2sqrt(3),-2)
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Esféricas Página 7
2 1 2cos
4 2 3
cos 02
z
x
sen
Por lo tanto las coordenadas esféricas del punto dado son
4, / 2,2 3
Ejercicio 3
Encuentre una ecuación en coordenadas esféricas para el
hiperboloide de dos hojas con ecuación 2 2 2 1x y z
Solución
Sustituyendo una ecuación en coordenadas esféricas para el
hiperboloide de dos hojas con ecuación anteriores
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Esféricas Página 8
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
cos cos 1
cos cos 1
cos2 cos 1
sen sen sen
sen sen
sen
Ejercicio 4
Hallar una ecuación de coordenadas cilíndricas para la superficie
presentada para la siguiente ecuación rectangular 2y x
Solución
La gráfica de la superficie 2y x es un cilindro parabólico con rectas
generatrices paralelas al eje z como se muestra en la figura.
Sustituyendo 2y por 2 2r sen y x por cosr , se obtiene la ecuación
siguiente en coordenadas cilíndricas
CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I
Coordenadas Esféricas Página 9
2
2 2
2
2
2
cos
cos 0
cos 0
cos
csc ecuación cilindrica
y x
r sen r
r rsen
rsen
rsen
r cot