Aproximación de integrales

(Versión preliminar)

Introducción

Existen funciones cuyas primitivas no se pueden expresar en términos de funciones elementales, por ejemplo sen x2 y (1+ x4) 1/2 . Las integrales definidas con integrandos de este tipo se deben calcular con métodos de aproximación como las sumas de Riemann. Las sumas de Riemann tienen el inconveniente de converger lentamente, de manera que en algunos casos es necesario tener métodos de aproximación que converjan más rápido. Uno de estos métodos es la regla de los trapecios (o regla trapezoidal).

xj-1 xj

Tj

f(xj-1)

f(xj)

A(Tj) = (xj - xj-1 )(f(xj) + f(xj-1))/2

Entonces si (xj- xj-1) = (b-a)/n

ab f(x) dx = j=1

n [(b-a)/n](f(xj) +f(xj-1))/2 =

[(b-a)/2n] j=1n (f(xj) +f(xj-1)) =

[(b-a)/2n][f(x1)+ f(x0)+ f(x2)+f(x1) + f(x3)+f(x2)+

...+f(xn)+ f(xn-1)] =

[(b-a)/2n][ f(a) + 2f(x1)+2f(x2) +...+2f(xn-1)+ f(b)]

Regla de los trapecios

Regla de Simpson

ab f(x) dx =

[(b-a)/3n][ f(a) + 4f(x1)+2f(x2) + 4f(x3)+2f(x4)+...+

4f(xn-2)+2f(xn-1)+ f(b)].

Con n par y (xj- xj-1) = (b-a)/n, x0=a, xn=b:

Cálculo de ln(5) Valor exacto=1.6094379124341003`

Comparación gráfica

Riemann

Trapecios

Simpson

Cálculo de Usaremos que = 40

1 (1+ x2)-1

Valor exacto con diez decimales correctos: 3.141592654

Comparación gráfica

Trapecios

Riemann

Simpson