Aplicaciones de la EcuacionesDiferenciales Parciales

L. Héctor Juárez V.

Departamento de Matemáticas–UAM Iztapalapa

Octubre 6, 2008

Actualidad de las Matemáticas Aplicadas,Encuentro Nacional

¿Qué es una ecuación diferencial?

El Inicio de las EDP

Ecuaciones de la Física MatemáticaEcuación de OndaLa Ecuación de LaplaceEcuación de Calor

Clasificación de la EDP de 2o. orden

Métodos de Solución

EDP no lineales y en regiones no simples

Otras EDP Clásicas, 1750–1900Ecuaciones de EulerEcuaciones de Navier–StokesElasticidad LinealEcuaciones de Maxwell

Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación en laque intervienen derivadas de una o másfunciones.

Las ecuaciones diferenciales se dividen en:

1. Ecuaciones diferenciales ordinarias:aquellas que contienen derivadas respecto auna sola variable independiente.

2. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellasque contienen derivadas respecto a dos omás variables.

Ejemplo

Ecuación diferencial ordinaria

dydx

= a y

Solución general: y(x) = c ea x , c ∈ Rn.

Ecuación diferencial parcial

∂u∂x

+∂u∂y

= 0

Una de sus soluciones: u(x , y) = x − y .

El inicio de las Ecuaciones Diferenciales Parciales

El estudio de las ecuaciones diferencialesparciales inicio en el siglo XVIII con los trabajosde los suizos d’Alembert y Euler y los francesesLagrange y Laplace.

Las ecuaciones diferenciales parcialesaparecieron en el contexto de la modelizaciónmatemática de fenómenos de la física delmedio continuo.

Modelos

I Cuerdas vibrantesI El campo gravitacional NewtonianoI Conducción del calorI Dinámica de fluidosI ElasticidadI ElectrostáticaI Electricidad y magnetismo

La ecuación de onda unidimensionald’Alembert, 1752: modelo de una cuerdavibrante

∂2u∂t2 = c2 ∂2u

∂x2

También se escibe

utt = c2 uxx

c =velocidad de la onda.

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Jean le Rond d’Alembert

(1717–1783)

Derivación de la ecuación de onda

4x = longitud de un tramo 4m = su masa µ = densidad.

Componente horizontal de la tensión T ≈ T1 cos(α) = T2 cos(β)

Segunda ley de Newton: F = 4m a

T2 sen(β)− T1 sen(α) = µ4x∂2u∂2t

tan(β)− tan(α) =µ4x

T∂2u∂2t

14x

(∂u∂x

(x +4x , t)− ∂u∂x

(x , t))

=µ

T∂2u∂2t

Cuando 4x → 0, se obtiene

∂2u∂t2 = c2 ∂

2u∂x2 c =

õ

T

El Problema de Cauchy

Proporcionar el desplazamiento y velocidadinicial

u(0, x) = f (x), ut(0, x) = g(x)

Solución (fórmula de d’Alembert):

u(t , x) =12

[f (x − ct) + f (x + ct)]+12c

∫ x+ct

x−ctg(y) dy .

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La ecuación de onda multidimensionalEuler, 1759, y D. Bernoulli, 1762: estudio deondas acústicas

∂2u∂t2 = c2

[∂2u∂x2 +

∂2u∂y2 +

∂2u∂z2

]

Leonhard Paul Euler

(1707–1783)

Daniel Bernoulli (1700–1782)

Operador Laplaciano

∆u = ∇2u =n∑i

∂2

∂x2i, n = 2, 3

La ecuación de onda usualmente se escribe

utt = c2 ∆u ó utt = c2∇2u,

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Aplicaciones

La ecuación de onda también describe

I Ondas de sonido en un tubo ó en una barraI Oscilaciones torsionales de una barraI Ondas largas en un canal rectoI Transmisión de electricidad en un cable

aislado de baja resistenciaI Flujos de aire supersónicos

Ecuación de Laplace

Laplace, aprox. 1780: estudio de campospotenciales gravitacionales

∂2ϕ

∂x2 +∂2ϕ

∂y2 +∂2ϕ

∂z2 = 0

Otras formas de escribirla son:

ϕxx + ϕyy + ϕzz = 0

div gradϕ = 0

∇2ϕ = 0

∆ϕ = 0 Pierre-Simon, marqués de

Laplace (1749–1827)

Funciones armónicas

Las soluciones ϕ(x , y , z) de esta ecuación se denominan funcionesarmónicas y son importantes en muchos campos de la ciencia,principalmente:

I Electromagnetismo

I Astronomía

I Dinámica de fluidos

ya que describen el comportamiento de los potenciales eléctricos,gravitacionales y de los fluidos.

La teoría general de las soluciones de la ecuación de Laplace seconoce como Teoría del Potencial.

Problema con valores en al fronteraProblema típico: encontrar una solución que satisface valoresarbitrarios en la frontera ∂Ω de un dominio acotado Ω.

Ejemplo: encontrar ϕ(r , θ) armónica sobre elcírculo de radio uno, tal que ϕ(1, θ) = φ(θ).Solución (Poisson):

ϕ(r , θ) =1

2π

∫ 2π

0

1− r2

1 + r2 − 2r cos(θ − θ′)u(θ′)dθ′

Siméon Denis Poisson

(1781-1840)

Poisson también es conocido por la ecuación que lleva su nombre

∆ϕ = f

la cual tiene aplicaciones en electrostática, ingeniería mecánica yfísica teórica

Ecuación de calor

Fourier, 1810–1822, “Théorie analytique de la chaleur”)

∂u∂t

= k[∂2u∂x2 +

∂2u∂y2 +

∂2u∂z2

]Otras formas de expresarla son:

I utt = k [uxx + uyy + uzz ]

I utt = k ∇2u

I utt = k ∆u Jean Baptiste Joseph Fourier,

1768–1830

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Derivación de la ecuación de calorLey de Fourier: q = −κ∇u (flujo local de calor)

La enegía térmica total Q contenida en una región V es

Q =

∫∫∫V

cs ρ u(x, t) dV

El flujo de calor que atraviesa la superficie S de la región V es

−∫∫

Sq · n dS =

∫∫Sκ∇u · n dS

Conservación de la energía (suponiendo no hay fuentes)

dQdt

=

∫∫∫V

cs ρdudt

dV =

∫∫Sκ∇u ·n dS

(=

∫∫∫V∇ · (κ∇u) dv

)

∴ utt = k ∆u con k = κ/cs ρ

Problema de Cauchy

Especificar una distribución inicial u(x ,0) = f (x).Ejemplo: El problema

ut = k uxx

u(x ,0) = cos(2x)

ux (0, t) = u(1, t) = 0

tiene solución

u(x , t) =sen(2)

2+∞∑1

An cos(nπx) e−kn2π2t

An = 2∫ 1

0cos(2x) cos(nπx)

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Augustin Louis Cauchy,

1789–1857

Aplicaciones de la ecuación de calor

La ecuación de calor es de fundamental importancia en diversoscampos y temas cientificos:

I Procesos de difusión: en física, química y procesos industriales.Difusión de partículas en pilas atómicas, difusión de vorticidaden flujos viscosos. Movimiento lento en hidrodinámica

I Estadística: esta conectada con el movimiento Browniano

I Probabilidad: describe caminatas aleatorias. Evolución dedistribuciones en procesos aleatorios. Ecuación de Schrodingerpara una partícula libre.

I Matemática financiera: modelación de opciones(Black–Scholes)

I Transmisión telegráfica en cables de baja conductancia ocapacitancia

Clasificación de las EDP

Entonces, los tres principales tipos de EDP de la física matemáticafueron introducidas entre la mitad del siglo XVIII y principios del sigloXIX:

EDP lineal de 2o. orden en dos variables:

A uxx + B uxy + C uyy + . . . = 0

Secciones cónicas: A x2 + B x y + C y2 + . . . = 0

1. B2 − 4AC < 0: Elíptica (Ecuación de Laplace)

2. B2 − 4AC = 0: Parabólica (Ecuación de calor)

3. B2 − 4AC > 0: Hiperbólica (Ecuación de onda)

Hay muchas ecuaciones de 2o. orden que no se pueden clasificar.Por ejemplo:

Ecuación de Euler–Tricomi uxx = x uyy

útil en el estudio de flujos transónicos (aeronáutica), es:

I Hiperbólica si x > 0

I Elíptica si x < 0

I Parabólica (de tipo degenerado) sobre la linea x = 0

F/A–18 volando a velocidad transónica

Algunos métodos de solución

I Separación de variablesI Principio de superposiciónI Cambio de variablesI Método de las caracterísiticas. Tipicamente

se aplica a ecs. de 1er. ordenI Series de FourierI Métodos de Tranformadas (Laplace,

Fourier,...)I Funciones de GreenI Métodos de aproximación

La realidad es mucho más compleja

En aplicaciones reales las ecuaciones son más complejas yusualmente no son lineales.

Ejemplo: en la ecuación del calor la constante de difusión térmica krealmente depende de la solución

ut = k(u) ∆u

Esta es una EDP no–lineal

I Las EDP no lineales no tienen solución analítica, excepto enpocos casos muy simples.

I Más aún, las EDP lineales no tienen solución analítica enregiones no simples

Otras EDP Clásicas, 1750–1900

Ecuaciones de Euler, 1755Flujos de fluidos inviscidos

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0

∂ρu∂t

+∇ · (u⊗ (ρu)) +∇p = 0

∂E∂t

+∇ · (u(E + p)) = 0,

I ρ es la densidad del fluidoI u = (u, v ,w) es el vector de velocidadesI E = ρe + 1

2 (u2 + v2 + ww 2) es la energía por u. de volumenI p es la presión

La segunda ecuación es la divergencia de un producto diádico ypuede expresarse en la forma (suponendo ρ constante)

ρ

(∂

∂t+ u · ∇

)u +∇p = 0

Las ecuaciones deEuler son hiperbólicasno lineales y sussoluciones generalesson ondas

Al igual que las olasoceánicas

las ondas descritaspor la ecuación deEuler se “rompen” yse forman las ondasde choque

Ecuaciones de Navier–StokesNavier, 1822–1827 −→ Poisson, 1831 −→ Stokes, 1845: movimientode fluidos viscosos como agua y aire

ρ

(∂u∂t

+ u · ∇u)

= −∇p +∇ · T + f

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0

Uno de los conjuntos de EDP más útiles: describe la física de ungran numéro de fenómenos de interés científico, académico yeconómico.

Claude Louis Navier, 1785–1836 George Gabriel Stokes, 1819–1903

Fluidos incompresibles

Inercia︷ ︸︸ ︷ρ( ∂u

∂t︸︷︷︸Aceleración

no estacionaria

+ u · ∇u︸ ︷︷ ︸Aceleraciónconvectiva

)= −∇p︸ ︷︷ ︸

Gradientede presión

+ µ∇2u︸ ︷︷ ︸Viscosidad

+ f︸︷︷︸Otras

fuerzas

∇ · u = 0

Coordenadas cartesianas: u = (u, v , w)Ecuaciones de momentum

ρ

(∂u∂t

+ u∂u∂x

+ v∂u∂y

+ w∂u∂z

)= −∂p

∂x+ µ

(∂2u∂x2 +

∂2u∂y2 +

∂2u∂z2

)+ ρgx

ρ

(∂v∂t

+ u∂v∂x

+ v∂v∂y

+ w∂v∂z

)= −∂p

∂y+ µ

(∂2v∂x2 +

∂2v∂y2 +

∂2v∂z2

)+ ρgy

ρ

(∂w∂t

+ u∂w∂x

+ v∂w∂y

+ w∂w∂z

)= −∂p

∂z+ µ

(∂2w∂x2 +

∂2w∂y2 +

∂2w∂z2

)+ ρgz

Ecuación de continuidad∂u∂x

+∂v∂y

+∂w∂z

= 0

Coordenadas cilíndricasEcuaciones de momentum

ρ

(∂ur

∂t+ ur

∂ur

∂r+

uθr∂ur

∂θ+ uz

∂ur

∂z− u2

θ

r

)= −∂p

∂r

+ µ

[∂

∂r

(1r∂rur

∂r

)+

1r2∂2ur

∂θ2 +∂2ur

∂z2 −ur

r2 −2r2∂uθ∂θ

]+ ρgr

ρ

(∂uθ∂t

+ ur∂uθ∂r

+uθr∂uθ∂θ

+ uz∂uθ∂z

+ur uθ

r

)= −1

r∂p∂θ

+ µ

[∂

∂r

(1r∂ruθ∂r

)+

1r2∂2uθ∂θ2 +

∂2uθ∂z2 +

2r2∂ur

∂θ− uθ

r2

]+ ρgθ

ρ

(∂uz

∂t+ ur

∂uz

∂r+

uθr∂uz

∂θ+ uz

∂uz

∂z

)= −∂p

∂z

+ µ

[1r∂

∂r

(r∂uz

∂r

)+

1r2∂2uz

∂θ2 +∂2uz

∂z2

]+ ρgz

Ecuacion de continuidad1r∂

∂r(rur ) +

1r∂uθ∂θ

+∂uz

∂z= 0.

Aplicaciones

I Modelan el movimiento de líquidos y gases

I Modelan corrientes oceánicas

I Modelan el movimiento de estrellas dentro de las galaxias

I Modelan fenómenos complejos en biología

I Útiles studio el flujo de sangre

I Útiles en el diseño de autos y aeroplanos

I Útiles en el estudio fenómenos meteorológicos

I Útiles en el estudio de transporte de contaminantes

I Y muchas otras aplicaciones

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Elasticidad linealNavier, 1821 y Cauchy, 1822:

Es el estudio matemático de como sedeforman los objetos sólidos y de susesfuerzos internos debido a cargas externasdadas (Mecánica del medio continuo)

Ecuaciones de Navier–Cauchy

(λ+ µ)∇(∇ · u) + µ∇2u + F = 0En notación extendida (ingeniería)

(λ+ µ)∂

∂x

(∂ux

∂x+∂uy

∂y+∂uz

∂z

)+ µ

(∂2ux

∂x2 +∂2ux

∂y2 +∂2ux

∂z2

)+ Fx = 0

(λ+ µ)∂

∂y

(∂ux

∂x+∂uy

∂y+∂uz

∂z

)+ µ

(∂2uy

∂x2 +∂2uy

∂y2 +∂2uy

∂z2

)+ Fy = 0

(λ+ µ)∂

∂z

(∂ux

∂x+∂uy

∂y+∂uz

∂z

)+ µ

(∂2uz

∂x2 +∂2uz

∂y2 +∂2uz

∂z2

)+ Fz = 0

donde µ el el módulo de rígidez, λ es un parámetro de Lamé, u esdesplazamiento, F son las fuerzas de cuerpo.

Las ecuaciones anteriores son un caso particular de

σij,j + Fi = ρ∂ttui Ecuaciones de movimiento (2a. ley de Newton)σij = Cijkl εkl Ecuaciones constitutivas (Ley de Hooke)εij = (uj,i + ui,j )/2 Ec. deformación–desplazamiento

donde

I σij = σji Tensor de esfuerzos

I ρ Densidad

I Cijkl Tensor de elasticidad

I λ, µ Constantes materiales

I εij = εji Tensor de deformación

Ecuaciones de Maxwell: Teoría electromagnética, 1864

Ley de Gauss ∇ · E =ρ

ε0(campo eléctrico)Ley de Gauss ∇ · B = 0(campo magnético)

Ley de Faraday ∇× E = −∂B∂t

Ley de Ampère ∇× B = µ0J + µ0ε0∂E∂t James Clerk Maxwell,

1831–1879

E: campo eléctrico B: campo magnético J: densidad de corriente

ρ: densidad de carga ε0: pemitividad µ0: permeabilidad

Formas integrales

∮S

E · dA =QS

ε0∮S

B · dA = 0∮∂S

E · dl = −∂ΦB,S

∂t∮∂S

B · dl = µ0 IS + µ0 ε0∂ΦE,S

∂t

QS: Carga neta encerrada por S

IS =∫

S J · dA: Corriente eléctrica queatraviesa S

ΦE,S =∫

S E · dA: Flujo eléctrico sobre S

ΦB,S =∫

S B · dA: Flujo magnético sobre S

Teorema de la divergencia

∫∫∫V

(∇ · F) dV =

∫∫F·n dS

Teorema de Stokes∫Σ∇× F · dΣ =

∮∂Σ

F · dr

Controversia sobre el papel de MaxwellContibrución: corrección en el término de corriente dedesplazamiento (On Physical Lines of Force 1861) Le permitióderivar la ecuación de onda electromagnética en su artículoDynamical Theory of the Electromagnetic Field(

∇2 − 1c2

∂2

∂t2

)E = 0(

∇2 − 1c2

∂2

∂t2

)B = 0

La luz es una onda electromágnetica(confirmado experimentalmente porHeinrich Hertz en 1887).

Se dice que las ecuaciones de Maxwell se llamaron ecuaciones deHertz-Heaviside pero que Einstein, por alguna razón, les llamoecuaciones de Maxwell–Hertz.

Johann Carl Friedrich Gauss

(1777–1855)Michael Faraday (1791–1867

André–Marie Ampère (1775–1836)

Ecuación de Korteweg–De Vries, 1896

Modelo de ondas solitarias enaguas someras.

φt + φxxx + 6φx = 0

I EDP no–lineal

I Soluciones analíticas yprecisas

I Apareció primero en 1877en un artículo deBoussinesq en Francia

Diederik Johanes Korteweg,

(1848–1941)

Gustav de Vries,

(1866–1934)

SoluciónMétodo: inverse scattering transform.

Solución con un soliton

φ(x , t) =12

c1

cosh2[√

c2 (x − ct − a)

]c: rapidez de fase a: constante.

Solución con dos solitones:

φ(x , t) = −2∂2

∂x2 ln(1 + B1 eθ1 + B2 eθ2 + A B1 B2 eθ1+θ2 )

θ1 = a1 x − a31 t θ2 = a2 x − a3

2 t A =

(a1 − a2

a1 + a2

)2

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Aplicaciones

La teoría matemática de la ecuación de KdV esmuy rica e interesante, y desde hace algunasdécadas es un tema de investigación muyactivo.

I Física y Mecánica no lineal

I Ondas en aguas someras

I Ondas internas largas en un oceano con densidad estratificada

I Ondas ion–acústicas en plasmas

I Ondas acústicas sobre un látice de cristal

I Neurociencia, conducción de señales en las neuronas

http://www.youtube.com/

Otras ecuaciones

I La ecuación de Monge–Ampère (Monge 1755)

I La ecuación de superficie mínima (Lagrange 1760)

I La ecuaciones de Laplace y Poisson, como se aplica enproblemas de electricidad y magnetismo, comenzando porPoisson en 1813, el libro de Green en 1828 y Gauss en 1839.

I El problema de Plateau, como modelo de burbujas de jabón, enlos 1840’s

I La ecuación de Helmholtz y el problema de valores propios parael operador de Laplace en conexión con la acústica (1860)