Aplicaciones de la derivada Maximizar volumen (Maximize volume)

Aplicaciones de la derivada.G. Edgar Mata Ortizlicmata@hotmail.comhttp://www.forismagna.com/

Máximos y mínimos relativosEjemplo 4.1. Proceso de solución iniciando con una aproximación sin cálculo, empleando primero aritmética y geometría, luego geometría analítica y finalmente la derivada.

Enunciado del problema

• La figura muestra la forma en que se construirá la caja una vez recortados los cuadrados en las esquinas.

Análisis del problema

• Observa el diagrama que representa el problema planteado.• ¿Crees que el tamaño del cuadrado que se

recorta haga que cambie el volumen de la caja?

Procedimiento de solución

• Para ver si el volumen cambia, vamos a probar con diferentes medidas del cuadrado que se recorta.

Si se recortan cuadrados de 2 cm por lado, ¿cuáles serán las dimensiones de la caja resultante?

• Para ver si el volumen cambia, vamos a probar con diferentes medidas del cuadrado que se recorta.

En la figura podemos observar las dimensiones: longitud (36) y ancho (26) de la caja.

• La longitud y ancho de la caja ya los conocemos, ¿y la altura? ¿cuánto será?

• Una vez determinadas las dimensiones, calculamos el volumen.

• Si se recortan cuadrados de 3 cm por lado las dimensiones y el volumen cambian.

• Ya vimos que al aumentar el tamaño del cuadrado que se recorta, el volumen aumenta.• Vamos a probar con otros valores.• Para facilitar el proceso organizaremos la

información en una tabla con valores.

Tamaño del recorte

Longitud de la caja

Ancho de la caja

Altura de la caja

Volumen de la caja

2 36 26 2 18723 34 24 34 32 22

• Probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.

• Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.

El volumen de la caja sigue

aumentando, pero cada vez

menos.

El volumen de la caja

disminuyó…

• Podemos concluir que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.

• Las dimensiones de la caja son:• Longitud = 28 cm• Ancho = 18 cm• Altura = 6 cm• Volumen = 3024 cm3

2• Podemos concluir

que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.

• Las dimensiones de la caja son:• Longitud = 28 cm• Ancho = 18 cm• Altura = 6 cm• Volumen = 3024 cm3

2• Podemos concluir

que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.

Procedimiento de solución• Las dimensiones de la caja son:• Longitud = 28 cm• Ancho = 18 cm• Altura = 6 cm• Volumen = 3024 cm3

• ¿Estamos seguros de este resultado?• Hemos tomado solamente valores enteros para

el tamaño del cuadrado que se recorta• ¿No puede ser un valor decimal?

• Encontramos un tamaño de recorte que aumenta le volumen.

Volumen máximo

Procedimiento de solución• Las dimensiones de la caja son:• Longitud = 29 cm• Ancho = 19 cm• Altura = 5.5 cm• Volumen = 3030.5 cm3

• ¿Estamos seguros de este resultado?• Hemos tomado algunos decimales, pero…• ¿No puede ser un valor con dos o tres

decimales?

• Está claro que no podemos obtener la solución exacta.• Siempre habrá la posibilidad de que existan

medidas de cuadrados que mejoren más el volumen.• Tal vez debemos considerar otras herramientas.

• La geometría y la búsqueda de mayor exactitud aumentando el número de decimales no es suficiente• Vamos a trazar la gráfica con los datos obtenidos

en la tabulación.

Procedimiento de solución 4

Volumen m

áximo

En la gráfica se observa que la solución está entre 5 y 6,

pero no podemos

obtener un resultado más

exacto.Aparentemente se trata de una

parábola… Volum

en máxim

• Si podemos determinar que se trata de una parábola, será sencillo encontrar la solución, ya que el volumen máximo se encontraría en el vértice de la parábola.• Vamos a determinar la ecuación que

describe el volumen en función del tamaño del cuadrado que se recorta para construir la caja.

• Las dimensiones de la caja tomando la medida del cuadrado que se recorta como “x”.

• El volumen se obtiene multiplicando longitud por ancho por altura.

• No es una parábola, ya que la ecuación de esta curva es de segundo grado y se obtuvo una cúbica.• La estrategia de determinar el punto máximo

mediante el vértice no puede aplicarse en este problema.

Trazando la curva sobre los

puntos que tenemos como datos podemos observar que, efectivamente no se trata de una parábola, ya que no es simétrica.

Procedimiento de solución 6Quitando los

puntos se observa mejor que no se trata

de una parábola, sólo para verificar

seguimos graficando para valores mayores

de equis en la siguiente

diapositiva

Procedimiento de solución 6Esta es la gráfica de una función cúbica con tres

soluciones reales distintas. Observa en qué

puntos la gráfica corta el

eje de las equis.x1 = ?x2 = ?x3 = ?

Procedimiento de solución 6Esta es la gráfica de una función cúbica con tres

soluciones reales distintas. Observa en qué

puntos la gráfica corta el

eje de las equis.x1 = 0

x2 = 15x3 = 20

Procedimiento de solución 6Soluciones de la función cúbica.

x1 = 0x2 = 15x3 = 20

¿Qué significan, en el problema de la caja, estos

valores?Recuerda que x es la medida del

cuadrado que se recorta.

Procedimiento de solución 6x1 = 0

Significa no recortar nada, no se forma ninguna

x2 = 15Significa recortar 15 cm, se termina

la hoja

x3 = 20Significa recortar 20 cm, se termina la hoja en el otro

lado…

• El uso de la función cúbica nos ha permitido entender más el problema, pero no lo hemos resuelto.• Todavía tenemos solamente una solución

aproximada que, en ocasiones, pude ser útil, pero no es suficiente para nosotros.

• Las dimensiones de la caja son:• Longitud = 29 cm• Ancho = 19 cm• Altura = 5.5 cm• Volumen = 3030.5 cm3

• Comenzamos planteando el problema con las herramientas básicas; aritmética y geometría.• Después tratamos de usar funciones y

gráficas y algo de geometría analítica, pero no se obtuvo una ecuación de segundo grado.• Necesitamos otra herramienta: El cálculo

diferencial.

• El procedimiento para resolver este problema mediante derivadas recibe el nombre de máximos y mínimos relativos.• Es un proceso sencillo:

1. Obtener la función que describe el fenómeno en estudio

2. Determinar la primera derivada3. Igualar a cero la derivada4. Resolver la ecuación obtenida

1. Obtener la función que describe el fenómeno en estudio.• Este paso ya lo realizamos, se trata de la

función que expresa el volumen en función de la medida del cuadrado que se va a recortar:

• y = 4x3 – 140x2 + 1200x

2. Determinar la primera derivada.• Aplicando las fórmulas obtenemos:

• La derivada también puede representarse como y’ (ye prima).

4 140 1200

12 280 1200

y x x xdy x xdx

3. Igualar a cero la derivada• Al igualar a cero la derivada estamos

tratando de encontrar los puntos críticos de las función.

12 280 1200 0

dydxx x

4. Resolver la ecuación obtenida• La ecuación obtenida es una ecuación de

segundo grado que podemos resolver mediante la fórmula general.

12 280 1200 0

b b acxa

2 0122801200

ax bx cabc

4. Resolver la ecuación obtenida• Sustituyendo en la fórmula general

12 280 1200 0

( 280) ( 280) 4(12)(1200)2(12)

4. Resolver la ecuación obtenida• Efectuando operaciones

2( 280) ( 280) 4(12)(1200)2(12)

280 78400 5760024

280 2080024

280 144.2220524

4. Resolver la ecuación obtenida• Dos soluciones.

1 17.675918792439

280 144.222052

5.6574145408933

4280 144.22205

280 144.2220524

Este resultado necesita ser interpretado.

¿Por qué hay dos soluciones?¿Cuál solución es la correcta?

¿Ambas son correctas?Si solo una solución es

correcta: ¿Por qué aparecen dos?

¿Qué significa la que no es correcta?

• Hemos resuelto la ecuación y obtuvimos dos resultados, para entender por qué es necesario observar la gráfica.• Específicamente debemos observar,

¿dónde se encuentran las soluciones encontradas en la gráfica? La

1 217.675918792439 5.6574145408933x x

1 17.6759x

2 5.6574x

iónPara entender mejor el

resultado que nos da la derivada debemos

recordar que aplicamos una herramienta que se

llama:“Máximos y mínimo

relativos”Nosotros buscábamos el volumen máximo, pero

el método nos da también el mínimo.

iónPara entender mejor el

resultado que nos da la derivada debemos

recordar que aplicamos una herramienta que se

llama:“Máximos y mínimos

relativos”Nosotros buscábamos el volumen máximo, pero

el método nos da también el mínimo.

La solución a nuestro problema es el valor que maximiza el volumen: x2

Respuesta al problema 10

• Lo que nos preguntan es:• ¿Cuánto deben medir los cuadrados que

se recorten?• ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la

caja?• ¿Cuánto es el volumen máximo?• El valor de x2 responde solamente a la

primera pregunta.

Respuesta al problema 10

• Se deben recortar cuadrados que midan 5.65741454 cm por lado.• Las dimensiones de la caja serán:• Longitud = 28.6851709• Ancho = 18.6851709• Altura = 5.65741454• Para un volumen máximo de:• 3032.3024606

GRACIAS POR SU ATENCIÓN

PBL – Problem Based LearningEs una técnica consistente en iniciar el tema de interés con un problema que conduzca al alumno a la necesidad de aprender dicho tema.

El objetivo del presente material es abordar el tema de derivadas a partir de un problema.Dicho problema es irresoluble por métodos analíticos previos al cálculo.Se muestran soluciones aproximadas logradas mediante estas herramientas y finalmente se plantea la solución mediante máximos y mínimos relativos.

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