Annibal ad PortasResistiendo la ofensiva mecanicista

Enrique Alonso U.A.M.

Mentalismo

y

Mecanicismo

Presentación

Una pregunta muy simple

Una pregunta muy simple

¿Hay actos objetivos de la mente que no puedan ser reproducidos por

ingenio mecánico alguno?

Mentalismo

La respuesta es afirmativa

Mecanicismo

La respuesta es negativa

Tensiones en el equilibrio

Episodios recientes

Desde el frente mecanicista:

- Formulación de los principios fundamentales de la

Teoría de la Computación

* Máquina Universal de Turing

Desde el frente mentalista:

- Aparición de los principales resultados de limitación

* Teoremas de Incompletitud de Gödel

* Problema de Parada

Teoremas de Incompletitud de Gödel:

Primer Teorema: Si PA (Aritmética de Peano) es consistente,

entonces hay una fórmula G de PA tal que ni ella, ni su nega-

ción, son demostrables en PA.

Segundo Teorema: Si PA es consistente, entonces el enunciado

formal que expresa la consistencia de PA no es demostrable en PA.

Problema de Parada:

Turing-Church (1936-7): No hay una función computable H(x,y)

capaz de determinar si la x-ésima función computable fx finaliza o

no su rutina cuando computa el input y.

Dos interpretaciones

Interpretación neutral: Nos vemos enfrentados a la existencia de

problemas legítimos que no podemos resolver con los medios adecuados

Interpretación mentalista: Las capacidades de la mente superan las de

cualquier formalismo al establecer la existencia de limitaciones en

aquello que tales formalismos son capaces de hacer

Primer Frente

El argumento de Lucas-Penrose

Obras de Referencia

- Lucas, J.R.: “Minds, Machines and Gödel”, Philosophy,

xxxvi, 1961, pp.112.127

The Freedom of the Will, Oxford University

Press, 1970

- Penrose, R.: The Empiror’s New Mind, Oxford University

Press, 1989

El argumento original de Lucas

¿De qué manera se pueden determinar

las fórmulas

que componen una teoría T?

A es una verdad de T A es teorema de T

1. No se dispone de una prueba que garantice que toda verdad

de T es un teorema de T

2. Se dispone de una demostración que establece que la supo-

ción de que toda verdad de T es un teorema de T conduce

a contradicción.

3. Disponemos de una demostración que establece la existencia

de una fórmula A que es una verdad de T pero que no es un

teorema de T

Reinterpretación del Punto Fijo G de Gödel

1. La verdad de G se establece mediante un argumento racional

en el que se determina igualmente que G no es un teorema de

T (PA, en este caso)

2. G puede añadirse a T (PA), pero el argumento se reproduce para

un enunciado G’.

3. No hay una teoría T’ con mayor potencia que T (PA) en la que

la situación se resuelva

Análisis del enunciado G

Premisa principal: PA G¬Bew(G)

Hipótesis: ¿ PA G? o ¿PA ¬G?

G no es demostrable en PA

1. PA G ¬Bew(G)

2. PA G Hyp

3. PA ¬Bew(G), por 1 y 2

4. PA Bew(G), por 2 y el significado de Bew(.)

5. , por 3 y 4

6. No ocurre que PA G, reductio 2-5

¬G no es demostrable en PA

1. PA G ¬Bew(G)

2. PA ¬G Hyp

3. PA Bew(G), por 1 y 2

4. PA y Prov(y,G), por 3

5. PA G, por -consistencia

-Consistencia:

Una teoría T es -consistente syss no se da el caso de

que todas las fórmulas en

{x , (x/a1), (x/a2),... (x/ai),...}

sean teoremas de T.

¬G no es demostrable en PA

1. PA G ¬Bew(G)

2. PA ¬G Hyp

3. PA Bew(G), por 1 y 2

4. PA y Prov(y,G), por 3

5. PA G, por -consistencia

6. , por 2 y 5

7. No ocurre que PA ¬G, reductio 2-6

Argumento de Lucas (argumento mirabilis):

1. La demostración anterior establece que ni G, ni su negación ¬G

son demostrables en PA

2. No hemos cambiado de teoría de modelos, por tanto, una de las

dos ha de ser verdadera

3. Advertimos, por simple inspección, que G es la verdadera

4. Sin embargo, 3 no se puede representar en PA

Por tanto,

5. Diponemos de medios objetivos que permiten aceptar

enunciados que no pueden ser generados en el interior

de ningún sistema de reglas

Rectificación del argumento de Lucas

Primer Teorema: Si PA (Aritmética de Peano) es consistente,

entonces hay una fórmula G de PA tal que ni ella, ni su nega-

ción, son demostrables en PA.

1. PA G ¬Bew(G)

2. PA G Hyp

3. PA ¬Bew(G), por 1 y 2

4. PA Bew(G), por 2 y el significado de Bew(.)

5. , por 3 y 4

6. No ocurre que PA G, reductio 2-5

1. PA G ¬Bew(G)

2. PA G Hyp

3. PA ¬Bew(G), por 1 y 2

4. PA Bew(G), por 2 y el significado de Bew(.)

5. , por 3 y 4

6. No ocurre que PA G, reductio 2-5

1’. PA es Consistente, Hyp

7. PA es Consistente No ocurre que PA G, introd. del

condicional

El enunciado cuya verdad advertimos no es

G

Sino,

PA es Consistente No ocurre que G sea demostrable

Pero,

PA es Consistente No ocurre que G sea demostrable

Es demostrable en PA:

PA Con(PA)¬Bew(G)

De hecho, constituye la prueba de...

Segundo Teorema: Si PA es consistente, entonces el enunciado

formal que expresa la consistencia de PA no es demostrable en PA.

El gambito de Penrose

1. Con(PA) (G es verdadera & G no es demostrable), 1er Teorema

de Gödel

Sin embargo,

2. Con(PA) es autoevidente

Por tanto,

3. G es verdadera & G no es demostrable

Y en particular,

4. G es verdadera

- “Con(PA) es evidente” no se establece de manera constructiva,

es una mera conjetura.

Sin embargo,

- no se afirma que “`G es verdadero’ es evidente”

Sino

- G es verdadero

Segundo Frente

El Nuevo Argumento de Penrose

Dramatis personae

1. A:

- Es la clase formada por todas las funciones numéricas

computables

- Es la clase formada por todas las tareas que pueden ser

ejecutadas de manera efectiva

2. H(x,y): Se define del siguiente modo:

H(x,y) =1 si fx(y) está definida

=0 en otro caso

3. g(x)=H(x,x)

4. g*(x): Se define del siguiente modo:

g*(x) =1 si g(x)=0

indefinida en otro caso

Problema de Parada (Pp):

Exposición informal:

¿Existe un método efectivo capaz de determinar para cual-

quier tarea efectiva y cualquier input que ésta pueda procesar

en qué casos finaliza arrojando un output?

Traducción formal:

¿H(x,y)A?

H(x,y)A (demostración):

1. H(x,y)A

2. Si H(x,y) A, entonces g(x) A 3. Si g(x)A, entonces g*(x) A

5. g*(x)=fi(x)

4. g*(x) A

6. g*(i)=1

7. fi(i)=1

8. fi(i) está definida

9. g(i)=1

10. g*(i) no está definida

11. ¬(g*(i)=1)

1. H(x,y)A

2. Si H(x,y) A, entonces g(x) A 3. Si g(x)A, entonces g*(x) A

5. g*(x)=fi(x)

4. g*(x) A

6. g*(i)=1

7. fi(i)=1

8. fi(i) está definida9.

g(i)=110. g*(i) no está definida11. ¬(g*(i)=1)12. g*(i) no está definida

13. fi(i) no está definida14. g(i)=0

15. g*(i)=1

16. No ocurre que H(x,y)A

Un fragmento notable1. H(x,y)A

2. Si H(x,y) A, entonces g(x) A 3. Si g(x)A, entonces g*(x) A

5. g*(x)=fi(x)

4. g*(x) A

6. g*(i)=1

7. fi(i)=1

8. fi(i) está definida9.

g(i)=110. g*(i) no está definida

11. ¬(g*(i)=1)

......................

1. H(x,y)A

2. Si H(x,y) A, entonces g(x) A 3. Si g(x)A, entonces g*(x) A

5. g*(x)=fi(x)

4. g*(x) A

8. fi(i) está definida9.

g(i)=1

......................

6. fi(i)=1

7. g*(i)=1

10. g*(i) no está definida

11. ¬(fi(i)=1)

1. H(x,y)A

2. Si H(x,y) A, entonces g(x) A 3. Si g(x)A, entonces g*(x) A

5. g*(x)=fi(x)4. g*(x) A

8. fi(i) está definida9.

g(i)=1

6. fi(i)=17. g*(i)=1

10. g*(i) no está definida

11. ¬(fi(i)=1)12. fi(i) no está definido

13. g(i)=0

14. g*(i)=115. fi(i)=1

Hipótesis¿Puede emplearse el esquema formal desarrollado en el Pp

como base para una demostración consistente que establezca

(i)fi(i)?

Condiciones abstractas del problema1. (x) corresponde a un cierto algoritmo cuyo contenido

no tenemos por qué establecer aún.

2. fi(x) representa a (x) en A.

Objetivo

Se trata de

1. Construir una demostración consistente de

que fi(i) no está definida

Que sirva a un tiempo para establecer

2. Que (i)=1

Consiguiendo llegar de ese modo a concluir que

3. (x)A

Parte I: fi(i) no está definida

1. (x) es representable en A

2. Existe un i tal que (x)=fi(x)

3. fi(i)=1

4. (i)=1 5. fi(i) no está definido

6. ¬(fi(i)=1)

7. fi(i) no está definida

Condiciones críticas sobre la demostración

1. fi(x)=k (x)=k

- alude a la relación de representabilidad

2. (x)=1 fi(x) no está definida

- determina parte del contenido de (x)

Parte II: (i)=1 puede ser establecido

consistentemente1. (x) es representable en

A

2. Existe un i tal que (x)=fi(x)

3. fi(i)=1

4. (i)=1 5. fi(i) no está definido

6. ¬(fi(i)=1)

7. fi(i) no está definida

8. (i)=1

9. Existe un i tal que fi(i)(i)

10. (x) no representable en A

Condiciones críticas sobre la demostración

1. Entre 1 y 7 tiene que haber información que permita introducir

(i)=i en 8

- Determina parte del contenido de (x)

2. No hay nada que permita pasar de (x)=1 a fi(x)=1

- Alude a la relación de representabilidad

Definición del Algoritmo de Penrose

J(x,y) es un algoritmo que encapsula todos los procedimientos

correctos que pueden servir para establecer que la función com-

putable fx(y) no está definida cuando computa el argumento y

(x)=J(x,x)

Conducta de (x)

1. Si (x)=1, entonces se puede afirmar que fx(x) no está definida

2. La demostración establecida entre 1 y 7 constituye

uno de los recursos que (x) -J(x,x)- reconoce

Definiendo la representabilidad

1. fi(x)=k (x)=k

2. En general, no es posible suponer que para cualquier entero k

si (x) está definido, fi(x) también lo esté

Nuevo Argumento de Penrose (NAP)

1. Si (x)=1, entonces fi(x) está indefinida

2. (x) es representable en A

3. fi(x) representa a (x) en A

4. fi(i)=1

5. (i)=1

6. fi(i) no está definida

7. ¬(fi(i)=1)

1. Si (x)=1, entonces fx(x) está indefinida

2. (x) es representable en A

3. fi(x) representa a (x) en A

4. fi(i)=1

5. (i)=1

6. fi(i) no está definida

7. ¬(fi(i)=1)

8. fi(i) no está definida

9. (i)=1

10. fi(i) (i)

11. (x) no es representable en A

Análisis de la situación

1. J(x,y) posee una definición independiente y es un algoritmo

2. Existe una circunstacia en la que

a) La función fi(x) que representa (x) prosigue sus cál-

culos sin término aparente,

mientras que

b) (x) concluye estableciendo que (i)=1 al tener acce-

so al hecho cierto descrito en a)

Por tanto,

3. J(x,y) no es representable en A (computable)

Núcleo del argumento

1. J(x,y) posee una definición suficientemente precisa como

para hacer de él un algoritmo,

al tiempo que

2. Es sufientemente plástica como para acceder a demostracio-

nes a las que fi(x) no tiene acceso

Restaurando el equilibrio

Rectificación del NAP

¿Cuántos son todos?

Opción I: “Todos” posee una interpretación rígida. Hace

referencia a cualesquiera pruebas existentes.

Opción II: “Todos” posee una interpretación vaga. La entidad

que cae bajo su alcance admite ciertas dosis de cambio e inde-

terminación.

Opción I: (un cierto dilema)

1. El programa al que responde la función fi(x) también

tiene acceso a cualesquiera procedimientos de prueba

con lo que la función adoptará en el caso relevante los

mismos valores que el algoritmo al que representa.

2. El programa al que responde la función sólo accede a

los métodos conocidos en un cierto momento. Pero en-

tonces fi(x) apenas guarda relación con (x).

Opción II:

1. Una interpretación vaga del cuantor que interviene en la

definición del algoritmo J(x,y) no supone que este carezca

por completo de criterios de identidad.

2. Y tampoco implica que J(x,y) y sus derivados -(x)- no puedan

estar dados de una vez por todas.

Pero en tal caso,

3. Debemos aceptar la existencia de demostraciones que no

caen bajo el alcance del cuantor universal, es decir, que

no están disponibles para J(x,y).

Por ejemplo,

Aquellas que dependen para su construcción del supuesto

de que (x) está dado de una vez por todas.

Sucede entonces que

4. La justificación que lleva a introducir (i)=1 en el NAP es,

precisamente, de ese tipo.

Por tanto,

5. Las condiciones (criterios) de identidad de J(x,y) han sido

violadas.

1. Si (x)=1, entonces fi(x) está indefinida

2. (x) es representable en A

3. fi(x) representa a (x) en A

4. fi(i)=15. (i)=1

6. fi(i) no está definida

7. ¬(fi(i)=1)

8. fi(i) no está definida

9. (i)=1 10. fi(i)

(i)

Reconstrucción de la prueba del NAP

11. (x) no es representable en A

1. Si (x)=1, entonces fi(x) está indefinida

2. (x) es representable en A

3. fi(x) representa a (x) en A4.

fi(i)=15. (i)=1

6. fi(i) no está definida

7. ¬(fi(i)=1)

8. fi(i) no está definida

9. *(i)=1

.....................................

¿De qué hablamos realmente?

1. De la capacidad que una entidad bien definida tiene

para experimentar cambios sin violar sus criterios de

identidad.

2. De la capacidad que ciertas entidades tienen para re-

ferirse a sí mismas en el curso de sus operaciones.