Post on 29-Mar-2021
Analisis en Varias Variables
Sergio Plaza S.
Contenidos
1 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados 1
1.1 Producto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Norma en Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados . . . . . . . . 11
1.5 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados 27
2.1 Puntos de Acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Caracterizacion de los Conjuntos Cerrados . . . . . . . . . 38
2.3 Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Aplicaciones Continuas 49
3.1 Continuidad Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
i
ii
4 Lımite de Aplicaciones 81
4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Propiedades Basicas de las Aplicaciones Continuas 97
5.1 Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos 107
6.0.1 Notaciones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.1.1 Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Casos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2.1 Caminos Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3 Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.4 Clase de Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.5 Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial . . . . . 141
6.5.1 Teorema de la Funcion Inversa . . . . . . . . . . . 148
6.5.2 Forma Local de las Submersiones . . . . . . . . . 158
6.5.3 Forma Local de las Inmersiones . . . . . . . . . . . 165
6.6 Formulas de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.7 Valores Extremos de Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . 175
6.8 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7 Superficies en Espacios Euclideanos 219
7.1 Ejemplos de Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.2 Aplicaciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.3 Espacio Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.3.1 Bases en TpM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
iii
7.3.2 Cambio de Base en TpM . . . . . . . . . . . . . . 257
7.3.3 Derivada de una Aplicacion Diferenciable entre
Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.4 Particion de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.5 Particion de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8 Orientacion en superficies 295
8.1 Orientacion en Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . 295
8.2 Superficies Orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
8.3 Orientacion y Atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
8.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
9 Superficies con Borde 315
9.1 Cambios de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
9.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10 Calculo Integral 333
10.1 Integral de Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
10.2 Integrales Multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.3 Conjuntos de Medida Cero y Conjuntos de Contenido . . 340
10.4 Calculo de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
10.5 Teorema del Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . 356
10.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
11 Formas Diferenciales en Superficies 385
11.1 Cambio de Variable y Formas Co–inducidas . . . . . . . . 391
11.2 Derivada Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
11.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
iv
12 Integracion de Formas Diferenciables 411
12.1 Integral de k–formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
12.2 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
12.2.1 Teorema de Green y Teorema de Gauss . . . . . . 424
12.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
Capıtulo 1
Topologıa en Espacios
Vectoriales Normados
En lo que sigue Rn denota el espacio euclidiano n–dimensional. Note-
mos que R0 = 0 . Denotamos los puntos de Rn por x = (x1, . . . , xn) ,
donde xi ∈ R (i = 1, . . . , n ). Aquı, (x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn) significa
que xi = yi para todo i = 1, . . . , n . En Rn tenemos una estructura
natural de espacio vectorial, dada como sigue. Si x = (x1, . . . , xn) ,
y = (y1, . . . , yn) dos dos puntos de Rn y λ es un numero real, defini-
mos la suma x + y y el producto escalar λx , por
a) x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) ,
b) λx = (λx1, . . . , λxn) ,
con esta estructura Rn es un espacio vectorial de dimension n sobre
R . El elemento neutro para la suma es el vector 0 = (0, . . . , 0) , y el ele-
mento inverso de x = (x1, . . . , xn) es el elemento −x = (−x1, . . . ,−xn) .
Tenemos tambien una base destacada, E = e1, . . . , en , donde para
i = 1, . . . , n vectores ei son dados por ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) , con
1
2 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
un 1 en la posicion i y ceros en las restantes posiciones, la cual llamare-
mos base canonica, en esta base cada x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se escribe
como x = x1e1 + · · ·+ xnen =∑n
i=1 xiei .
1.1 Producto Interno
Sea V un espacio vectorial. Un producto interno en V es una aplicacion
I : V × V → R que satisface:
Pi1.- I(x, y) = I(y, x) para todo x, y ∈ V ,
Pi2.- I(x + x′, y) = I(x, y) + I(x′, y) para todo x, x′, y ∈ V ,
Pi3.- I(αx, y) = αI(x, y) = I(x, αy) para todo x, y ∈ V y todo α ∈ R ,
Pi4.- I(x, x) > 0 si x 6= 0 .
Por ejemplo, en Rn tenemos el producto interno canonico, el cual es
dado por I((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =∑n
i=1 xi yi , en este caso I se
denota simplemente por 〈 , 〉 .Un forma natural de construir otros productos internos en Rn es
considerar una matriz A = (aij)n×n simetrica, es decir, AT = A
(donde AT es la traspuesta de A ), positiva definida, es decir, 〈Ax, x〉 =∑n
i,j=1 aijxixj > 0 para todo x 6= 0 , en estas condiciones definimos
IA((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =∑n
i,j=1 xiaijxj . En general, se usa la
notacion (x1, . . . , xn)A(y1, . . . , yn)T para denotar el producto interno
IA .
Obsrvacion. Sea A = (aij)16i,j6n una matriz de orden n × n . Se
definen los menores principales Ak (1 6 k 6 n) de A como las subma-
Sergio Plaza 3
trices
Ak =
a11 · · · aik
.... . .
...
ak1 · · · akk
.
Entonces se tiene que A es positiva definida si det(Ak) > 0 para todo
1 6 k 6 n .
Por ejemplo, las siguiente matrices son positivas definidas,
A =
3 8
−2 3
y A =
2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 2
.
1.2 Norma en Espacios Vectoriales
Una norma en un espacio vectorial V es una aplicacion N : V → R
que satisface:
N1.- N(x + y) 6 N(x) + N(y) para todo x, y ∈ V ,
N2.- N(αx) = |α|N(x) para todo x ∈ V y todo α ∈ R ,
N3.- N(x) > 0 para todo x ∈ V , con x 6= 0 .
Ejemplos. En Rn tenemos las normas
1. N(x) =√〈x, x〉 , la cual es denotada, en este caso por || · || , y
es llamada norma euclideana.
2. ||x||M = max|x1|, . . . , |xn| , llamada norma del maximo.
3. ||x||S =∑n
i=1 |xi| , llamada norma de la suma.
4 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
Dado un producto interno I en V , decimos que dos vectores x, y ∈ V
son ortogonales respecto a I si I(x, y) = 0 , por ejemplo, en Rn con el
producto interno canonico se tiene que los vectores ei y ej de la base
canonica son ortogonales cuando i 6= j .
Un modo natural de obtener normas en un espacio vectorial V , dotado
de un producto interno I , es definir
NI(x) =√
I(x, x) .
En efecto, es inmediato que NI(x) > 0 cuando x 6= 0 , y que NI(αx) =
|α|NI(x) para todo x ∈ V y todo α ∈ R . Ahora, si x, y ∈ V entonces
(NI(x + y))2 = I(x + y, x + y) = (I(x, x))2 + 2I(x, y) + (I(y, y))2
para terminar la prueba, demostraremos el siguiente teorema.
Teorema 1.1 (desigualdad de Cauchy–Schwartz) Sea V un espacio
vectorial dotado producto interno I . Entonces para cada x, y ∈ V se
tiene que |I(x, y)| 6 NI(x)NI(y) . Ademas, la igualdad vale si, solo si,
uno de los vectores x, y es multiplo escalar del otro.
Demostracion. Si x = 0 o y = 0 es resultado esta probado.
Supongamos que y 6= 0 . Sean α = I(x, y)/(NI(y))2 y z = x−αy . Se
tiene I(z, y) = I(x−αy, y) = I(x, y)−αI(y, y) = I(x, y)−α(NI(y))2 =
I(x, y)−I(x, y) = 0 , luego z es ortogonal a y . Ahora, como x = z+αy
(NI(x))2 = I(z + αy, z + αz)
= I(z, z) + α2I(y, y) + 2αI(z, y)
= (NI(z))2 + α2(NI(y))2 ,
de donde
(NI(x))2 > α2(NI(y))2 =(
I(x, y)(NI(y))2
)2
(NI(y))2 =(I(x, y))2
(NI(y))2,
Sergio Plaza 5
esto es, (NI(x)NI(y))2 > (I(x, y))2 , lo cual implica que |I(x, y)| 6NI(x)NI(y) . Ahora, la igualdad se verifica si, y solo si, NI(z) = 0 , esto
es, si z = 0 , es decir, x = αy . Lo que completa la prueba.
Ejemplo. Un ejemplo interesante de norma viene dado por || ||p : Rn →R definida para p > 1 por
||(x1, . . . , xn)||p = (|x1|p + · · ·+ |xn|p)1/p .
Esta es una norma en Rn , llamada norma de Minkowski. Para p = 1
corresponde a la norma de la suma anterior y para p = 2 no es mas que
la norma euclideana.
Los axiomas N.2 y N.3 son de verificacion inmediata, para demostrar
que || ||p satisface el axioma N.1, primero probaremos el siguiente
Lema 1.1 Sean p, q numeros reales mayores que 1 tales que 1p + 1
q =
1 . Entonces para cualquier par de numeros reales a y b se tiene que
|ab| 6 |a|pp
+|b|qq
.
Demostracion. Consideremos la funcion f : [0,∞[→ R definida por
f(x) = xα + αx + α , donde α ∈ ]0, 1[ . Entonces f alcanza su valor
maximo en x = 1 . Tomando α = 1p y haciendo x = |a|p
|b|q se sigue el
resultado.
Proposicion 1.1 (desigualdad de Holder). Sean x = (x1, . . . , xn) e
y = (y1, . . . , yn) dos vectores en Rn y sean p, q numeros reales mayores
que 1 , tales que 1p + 1
q = 1 . Entonces
n∑
i=1
|xiyi| 6(
n∑
i=1
|xi|p)1/p (
n∑
i=1
|yqi
)1/q
.
6 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
Demostracion. Supongamos primero que x 6= 0 y que y 6= 0 . Ha-
gamos α = (|x1|p + · · ·+ |xn|p)1/p y β = (|y1|q + · · ·+ |yn|q)1/q . La
desigualdad a probar se escribe entonces como∣∣∣∣x1
α
y1
β
∣∣∣∣ +∣∣∣∣x2
α
y2
β
∣∣∣∣ + · · ·+∣∣∣∣xn
α
yn
β
∣∣∣∣ 6 1 .
A partir de esto la prueba es similar a la prueba de la desigualdad de
Cauchy–Schwartz. Los detalles quedan a cargo del lector.
Ahora probaremos la desigualdad triangular para || ||p , donde p > 1 .
Escribiendo esta en forma explıcita, nos queda
(n∑
i=1
|xi + yi|p)1/p
6(
n∑
i=1
|xi|p)1/p
+
(n∑
i=1
|yi|p)1/p
Para su demostracion, escribamos
n∑
i=1
|xi + yi|p 6n∑
i=1
(|xi|+ |yi|)p
=n∑
i=1
(|xi|+ |yi|)p−1 (|xi|+ |yi|)
=n∑
i=1
(|xi|+ |yi|)p−1 |xi|+n∑
i=1
(|xi|+ |yi|)p−1 |yi|
aplicamos ahora la desigualdad de Holder a cada una de las sumas an-
teriores del ultimo miembro. Para la primera suma haga ai = |xi| y
bi = (|xi| + |yi|)p−1 , y para la segunda la eleccion es completamente
analoga. Los detalles son dejados a cargo del lector.
Ejemplo. Sea M(m×n,R) el espacio vectorial de las matrices de orden
m × n con coeficientes reales. Sean N1 y N2 normas en Rm y Rn ,
Sergio Plaza 7
respectivamente. Si A ∈M(m× n,R) la escribimos como matriz filas
A =
f1
f2
...
fm
donde fi = (ai1 . . . ain) , y x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn entonces Ax =
(〈f1, x〉, . . . , 〈fm, x〉) (〈u, v〉 denota el producto interno usual en Rn ).
Usando las normas N1 y N2 definimos una N norma en M(m×n,R) ,
llamada norma asociada, como sigue
N(A) = sup
N1(Ax)N2(x)
: N2(x) 6= 0
= supN1(Ax) : N2(x) = 1 .
La verificacion que N(A) es una norma en M(m× n,R) es facil y se
deja a cargo del lector (solo hay que usar las propiedades del supremos
de subconjuntos de los numeros reales: sup(aX) = a sup(X) si a es
una constante positiva, y sup(X +Y ) = sup(X)+sup(Y ) , donde aX =
ax : x ∈ X y X + Y = x + y : x ∈ X , y ∈ Y ).
Para el caso de matrices de orden n× n , usando la norma euclidiana
en Rn , la expresion de la norma N(A) , que en este caso denotamos por
||A||2 viene dada por la formula
|A||2 =
√√√√n∑
i,j=1
a2ij
como es facil de verificar desde la definicion. Para obtener una expresion
sencilla de ||A||2 recordemos que si A ∈ M(n × n,R) entonces AT
denota la matriz transpuesta de A y si A = (aij)16i,j6n entonces el
elemento (i, j) de la matriz AT es aji . Recordemos tambien que la
traza de A es el numero traza(A) =∑n
i=1 aii . Con las notaciones
anteriores tenemos la siguiente proposicion.
8 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
Proposicion 1.2 Sea A ∈M(n×n,R) entonces ||A||2 =√
traza(AAT ) .
Demostracion. Si A, B ∈ M(n × n,R) entonces el elemento (i, k)
de la matriz A · B es∑n
j=1 aijbjk . En particular, el elemento (i, i)
del producto A · B es∑n
j=1 aijbji , luego la traza de A · B es dada
por∑n
i=1
∑nj=1 aijbji . Ahora, tomando B = AT se tiene que bji =
aij , luego traza(A · AT ) =∑n
i=1
∑nj=1 a2
ij = ||A||22 , lo que completa la
prueba.
1.3 Distancia
Sea X un conjunto no vacıo. Una distancia en X es una aplicacion
d : X ×X −→ R que satisface
d1.- d(x, y) > 0 si x 6= y ,
d2.- d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X (simetrıa),
d3.- d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z ∈ X (desigualdad
triangular).
Ejemplos
1. Sea V un espacio vectorial normado, con una norma N . Defini-
mos una distancia dN en V como
dN (x, y) = N(x− y) .
En el caso en que V = Rn y N es la norma euclideana, se tiene
que
d2((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =
√√√√n∑
i=1
(xi − yi)2 ,
Sergio Plaza 9
la cual es llamada distancia euclideana. De modo analogo, se tiene
las distancias dS(x, y) = ||x− y||S =∑n
i=1 |xi − yi| y dM (x, y) =
||x− y||M = max|xi − yi| : i = 1, . . . , n .
2. La distancia en M(n×n,R) por la norma || · ||2 anterior es dada
por
d(A,B) =√
traza((A−B)(AT −BT )) .
3. Sea X un conjunto no vacıo. Tenemos definida la aplicacion d :
X ×X → R por
d(x, y) =
1 si x 6= y
0 si x = y .
Es facil probar que esta es una distancia en X , por lo tanto en
cada conjunto no vacıo podemos definir una distancia como la de
arriba.
4. Sea C0([0, 1],R) = f : [0, 1] → R : f es continua . Es claro
que C0([0, 1],R) es un espacio vectorial con la suma de funciones
y el producto escalar de una funcion por un numero real. Tambien
podemos definir una distancia en este conjunto por
d(f, g) =(∫ 1
0(f(x)− g(x))2dx
)1/2
Definicion 1.1 Dos funciones distancias d y d′ (metricas) en un con-
junto X son equivalentes si existen constantes positivas k, k′ , tales que
k′d8x, y) 6 d′(x, y) 6 kd(x, y) para todo x, y ∈ X .
Para las distancias d2 , dS , y dM definidas en Rn tenemos el siguien-
te teorema.
10 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
Teorema 1.2 Las distancias d2 , dS , y dM definidas en Rn son
equivalentes.
Demostracion. Sean x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) vectores en
Rn . Vamos a demostrar que d2(x, y) 6 √ndM (x, y) 6 √
ndS(x, y) 6nd2(x, y) , de donde se deduce directamente el teorema.
Tenemos |xi − yi| 6 max|xj − yj | : j = 1, . . . , n = dM (x, y) , para
todo i = 1, . . . , n , luego
(d2(x, y))2 =n∑
i=1
(xi − yi)2 6n∑
i=1
(dM (x, y))2 = n (dM (x, y))2 ,
luego d2(x, y) 6 √ndM (x, y) .
Ahora, notemos que dM (x, y) = |xj−yj | para algun 1 6 j 6 n , luego
dM es uno de los terminos en la suma que define a dS(x, y) , y como
todos esos terminos son no negativos se tiene que dM (x, y) 6 dS(x, y) ,
luego√
ndM (x, y) 6 √ndS(x, y) .
Finalmente, sea wi = |xi − yi| − dS(x, y)/n . Tenemos w2i = |xi −
yi|2 − 2|xi − yi|dS(x, y)/n + (dS(x, y))2/n2 . Tenemos entonces que
n∑
i=1
w2i =
n∑
i=1
|xi − yi|2 − 2dS(x, y)
n
n∑
i=1
|xi − yi|+ (dS(x, y))2
n2
n∑
i=1
1
= (d2(x, y))2 − 2(dS(x, y))2
n+
(dS(x, y))2
n
= (d2(x, y))2 − (dS(x, y))2
n.
Como∑n
i=1 w2i > 0 , concluimos que (d2(x, y))2− (dS(x,y))2
n > 0 , luego(dS(x,y))2
n 6 (d2(x, y))2 , de donde dS(x, y) 6 √nd2(x, y) y por lo tanto
√ndS(x, y) 6 nd2(x, y) , lo que completa la prueba.
Sergio Plaza 11
1.4 Topologıa en Espacios Vectoriales Norma-
dos
A seguir introducimos las nociones basicas de topologıa, esto en el con-
texto de espacios vectoriales normados.
Sea V un espacio vectorial con una norma N . Dados a ∈ V y un
numero real r > 0 . La bola de centro en a y radio r es el conjunto
B(a, r) = x ∈ V : N(x− a) < r
de modo analogo, tenemos la bola cerrada B[a, r] = x ∈ V : N(x −a) 6 r , y la esfera S[a, r] = x ∈ V : N(x− a) = r .
Ejemplo. En R2 con las normas || || , || ||S , y || ||M , geometricamente
se tiene que las bolas unitarias son dadas por
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Observacion. En general, si a = (a1, . . . , an) ∈ Rn entonces con la
norma || ||M , se tiene que
B(a, r) = ]a1 − r, a1 + r[× · · ·× ]an − r, an + r[ ,
pues ||x − a||M < r si, y solo si, |x1 − a1| < r , . . . , |xn − an| < r . La
prueba es facil y se deja a cargo del lector.
12 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
Esta propiedad de la norma del maximo la hace conveniente en relacion
a los productos cartesianos.
1.5 Convexidad
Sean x, y ∈ V . El segmento de cerrado de recta que une x e y es el
conjunto
[x, y] = (1− t)x + ty : 0 6 t 6 1.
Definicion 1.2 Decimos que un subconjunto X ⊂ V es convexo si,
para cualquier par de puntos x, y ∈ X se tiene que [x, y] ⊂ X .
Ejemplos.
1. Todo subespacio vectorial de un espacio vectorial es un conjunto
convexo.
2. Todo subespacio afın de un espacio vectorial es convexo. Recorde-
mos que A ⊂ V es un espacio afın si, existe un subespacio vectorial
F ⊂ V y un elemento a ∈ V tal que A = a+F = a+x : x ∈ F .
3. Si W es otro espacio vectorial y E ⊂ V , F ⊂ W son conjuntos
convexos entonces E × F ⊂ V ×W es un conjunto convexo.
4. El conjunto V −0 no es un conjunto convexo, pues dado x ∈ V ,
el segmento de recta que une x con −x contiene a 0 ∈ V , luego
[x,−x] 6⊂ V .
Teorema 1.3 Sea V un espacio vectorial normado, con norma N .
Entonces toda bola (abierta o cerrada) B ⊂ V es un conjunto convexo.
Sergio Plaza 13
Demostracion. Haremos la prueba para bolas abiertas, para bolas
cerradas la prueba completamente analoga.
Sea B(a, r) ⊂ V una bola abierta. Sean x, y ∈ B(a, r) entonces
N(x−a) < r y N(y−a) < r . Sea t ∈ [0, 1] , tenemos (1−t)x+ty−a =
(1− t)(x−a)+ t(y−a) , luego N((1− t)x+ ty−a) = N((1− t)(x−a)+
t(y−a)) 6 N((1−t)(x−a))+N(t(y−a)) = (1−t)N(x−a)+tN(y−a) <
(1− t)r + tr = r . Lo que completa la prueba.
Definicion 1.3 Sea X ⊂ V . Decimos que X es acotado si, existe
r > 0 tal que X ⊂ B(0, r) (es decir, para cada x ∈ X se tiene que
N(x) < r .
Nota. En la definicion anterior, tambien podemos usar bolas cerradas
en vez de bolas abierta.
Observacion. Si existe una bola B(a, r) tal que X ⊂ B(a, r) entonces
X es acotado.
En efecto, para todo x ∈ X se tiene que N(x − a) < r . Sea s =
r + N(a) . Entonces tenemos que N(x) = N(x − a + a) 6 N(x − a) +
N(a) < r + N(a) , luego X ⊂ B(0, s) .
Por lo anterior, podemos decir que X ⊂ V es acotado si esta contenido
en alguna bola bola.
Observacion. Como las tres normas || · || , || · ||S , y || · ||M que hemos
definido en Rn satisfacen la relacion ||x||M 6 ||x|| 6 ||x||S 6 n||x||M ,
se tiene que X ⊂ Rn es acotado en relacion a una de esas normas si, y
solo si, es acotado en relacion a cualquiera de las otras dos normas.
Para cada i = 1, . . . , n, sean πi : Rn −→ R las aplicaciones dadas
por πi(x1, . . . , xn) = xi , estas son llamadas proyeccion en la i–esima
coordenada. Tenemos el siguiente teorema.
14 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
Teorema 1.4 Sea X ⊂ Rn . Entonces X es acotados si, y solo si,
cada conjunto Xi = πi(X) ⊂ R es acotado.
Demostracion. Inmediata, se deja a cargo del lector.
Definicion 1.4 Sea A ⊂ V . Decimos que A es un conjunto abierto
si, para cada x ∈ A existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ A .
Ejemplos
1. Toda bola abierta en V es un conjunto abierto.
En efecto, sea a ∈ V y sea r > 0 . Si x ∈ B(a, r) entonces
N(x − a) < r . Sea δ = r − N(x − a) . Es claro que δ > 0 .
Dado y ∈ B(x, δ) , se tiene que N(y − a) 6 N(y − x) + N(x −a) < δ + N(x − a) = r − N(x − a) + N(x − a) = r , es decir, si
y ∈ B(x, δ) entonces N(y − a) < r , luego y ∈ B(a, r) , por lo
tanto B(x, δ) ⊂ B(a, r) .
2. El conjunto vacıo, ∅ , es un conjunto abierto.
En efecto, si no, existe x ∈ ∅ (*) tal que para cada ε > 0 se tiene
que B(x, ε) no esta contenido en el conjunto vacıo. Ahora, note-
mos que (*) ya nos da una contradiccion, por lo tanto el conjunto
vacıo es abierto.
3. El espacio vectorial V es un conjunto abierto.
En efecto, dado x ∈ V basta tomar cualquier ε > 0 y se tiene
que B(x, ε) ⊂ V .
4. Sea Aλ : λ ∈ Λ una coleccion arbitraria de conjuntos abiertos
Aλ ⊂ V , entonces A = ∪λ∈ΛAλ ⊂ V es un conjunto abierto.
Sergio Plaza 15
En efecto, sea x ∈ ∪λ∈Λ entonces existe λ0 ∈ Λ tal que x ∈ Aλ0 .
Como Aλ0 es un conjunto abierto, existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂Aλ0 ⊂ ∪λ∈ΛAλ .
5. Sean A1, A2 ⊂ V conjuntos abiertos. Entonces A1 ∩ A2 es un
conjunto abierto.
En efecto, sea x ∈ A1 ∩ A2 . Como cada Ai (i = 1, 2) es un
conjunto abierto, existen εi > 0 (i = 1, 2) tales que B(x, εi) ⊂ Ai .
Sea ε = minε1, ε2 entonces se tiene que B(x, ε) ⊂ A1 ∩A2 .
Es claro que esta propiedad se extiende a un numero finito de
conjuntos.
En resumen, tenemos probado el siguiente teorema.
Teorema 1.5 Sea A = A ⊂ V : A es un conjunto abierto . En-
tonces
O1.- ∅, V ∈ A ,
O2.- si A1, A2 ∈ A entonces A1 ∩A2 ∈ A ,
O3.- si Aλ : λ ∈ Λ es una coleccion arbitraria de elementos de A ,
entonces ∪λ∈ΛAλ ∈ A .
Nota. Usamos la notacion O1, O2, y O3, por la simple razon de que O
representa la palabra open del ingles, la cual significa abierto.
Una coleccion O de subconjuntos de V que satisface las propiedades
O1, O2, y O3 del teorema, es llamada una topologıa para V , y cada
elemento O ∈ O es llamado un conjunto abierto de V .
Mas general, si X ⊂ V . Decimos que O ⊂ X es abierto en X si,
existe un conjunto abierto A ⊂ V tal que O = X ∩ A . Las siguiente
16 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
propiedades son faciles de verificar (los detalles se dejan a cargo del
lector.)
1.- ∅ y X son conjuntos abiertos en X ,
2.- si O1, O2 ⊂ X son conjuntos abiertos en X entonces O1 ∩O2 es
un conjunto abierto en X ,
3.- si Oα : α ∈ Γ es una coleccion arbitraria de conjuntos abiertos
en X , entonces ∪α∈ΓOα es un conjunto abierto en X .
Por lo tanto, la coleccion O = O ⊂ X : O es abierto en X es
una topologıa para X .
Ejemplos.
1. Sea X = R+0 = x ∈ R : x > 0 . Entonces [0, 1[ es un conjunto
abierto en R+0 , por ejemplo [0, 1[= R+
0 ∩ ] − 1, 1[ . Notemos que
[0, 1[ no es un conjunto abierto en R .
2. Si X ⊂ V y O ⊂ X es un conjunto abierto en V , entonces O es
abierto en X . La prueba es facil y se deja al lector. Note que por
el ejemplo 1 arriba, tenemos que la recıproca de esta propiedad no
es verdadera.
Definicion 1.5 Sea A ⊂ V . Decimos que x ∈ A es un punto interior
de A si, existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ A .
Ejemplos.
1. Todo x ∈ B(a, r) es un punto interior de B(a, r) , como fue
probado anteriormente.
Sergio Plaza 17
2. Sea x ∈ B[a, r] tal que N(x− a) = r , entonces x no es un punto
interior de B[a, r] . Esto es claro, pues para todo ε > 0 existe
u ∈ B(x, ε) tal que u /∈ B[a, r] .
Definicion 1.6 El interior de un conjunto A ⊂ V e el conjunto
Int(A) = x ∈ A : x es un punto interior de A .
Para todo conjunto A ⊂ V se tiene que Int(A) ⊂ A .
Ejemplos.
1. Sea A = [0, 1] ⊂ R , se tiene que Int([0, 1]) = ]0, 1[ .
2. Sea A = 1/n : n > 1 ⊂ R , entonces Int(A) = ∅ .
3. Sea Q ⊂ R el conjunto de los numero racionales. Entonces
Int(Q) = ∅ , pues dado q ∈ Q y ε > 0 se tiene que B(q, ε)
contiene puntos racionales y puntos irracionales. Mas general, se
tiene que Int(Qn) = ∅ , donde Qn = Q× · · · ×Q ⊂ Rn .
4. Int(B[a, r]) = B(a, r) .
Proposicion 1.3 Sea X ⊂ V entonces Int(X) es un conjunto abierto.
Demostracion. Si Int(X) = ∅ , no hay nada que probar.
Supongamos que Int(X) 6= ∅ . Si a ∈ Int(X) entonces existe ε > 0
tal que B(a, ε) ⊂ X . Ahora, si x ∈ B(a, ε) tomando δ = ε−N(x− a)
se tiene que δ > 0 y B(x, δ) ⊂ B(a, ε) , luego x ∈ Int(X) . Lo que
completa la prueba.
Nota. Se tiene que X ⊂ V es un conjunto abierto si, y solo si, X =
Int(X) .
18 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
Ahora, si X ⊂ V es un conjunto no vacıo, entonces puede ocurrir solo
una de las siguientes alternativas:
a) a ∈ Int(X) , o
b) a ∈ Int(V −X) , o
c) toda bola abierta de centro en a y radio positivo intersecta a X
y a V −X .
Definicion 1.7 Sea X ⊂ V . Decimos que un punto a ∈ V es un
punto frontera de X si toda bola abierta de centro en a y radio positivo
intersecta (en forma no vacıa) a X y a V −X . El conjunto de puntos
fronteras de X , es denotado por
Fr(X) = a ∈ V : a es un punto frontera de X .
Nota. Si X ⊂ V es un conjunto abierto entonces X ∩ Fr(X) = ∅ .
Definicion 1.8 Sea C ⊂ V . Decimos que C es un conjunto cerrado
en V si su complemento X = V − C es un conjunto abierto en V .
Usando las propiedades de la complementacion de conjuntos y la
definicion de conjunto cerrado, se prueba (facilmente) el siguiente
Teorema 1.6 Sea C = C ⊂ V : C es un conjunto cerrado en V .
Entonces
C1.- ∅, V ∈ C ,
C2.- si C1, C2 ∈ C entonces C1 ∪C2 ∈ C (esta propiedad se extiende a
colecciones finitas de conjuntos cerrados),
Sergio Plaza 19
C3.- si Cγ : γ ∈ Γ es una coleccion arbitraria, con Cγ ∈ C para
todo γ ∈ Γ , entonces ∩γ∈ΓCγ ∈ C .
Nota. Es claro ahora que podemos definir conjuntos cerrados en un
subconjunto X ⊂ V , y que en vez de conjuntos abierto, podemos usar
conjuntos cerrados para definir una topologıa en V (respectivamente,
en X ).
1.6 Ejercicios
1. Verifique que || · || , || · ||M , y || · ||S son normas en Rn .
2. Pruebe que para todo x ∈ Rn se tiene que
||x||M 6 ||x|| 6 ||x||S 6 n ||x||M .
3. Pruebe que X ⊂ V es un conjunto abierto si, y solo si, X =
Int(X) .
4. Si X ⊂ V es un conjunto abierto. Pruebe que X ∩ Fr(X) = ∅ .
5. Pruebe que ||x||M 6 ||x||p 6 n1/p ||x||M para todo x ∈ Rn .
6. Pruebe que ||x||M 6 ||x|| 6 ||x||S para todo x ∈ Rn .
7. Pruebe que 〈 , 〉 : R2 × R2 → R definida por 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 =
x1y1 +x1y2 +x2y1 +4x2y2 es un producto interno en R2 . Escriba
en forma explıcita la norma inducida por este producto interno
y la funcion distancia asociada. Represente graficamente la bola
unitaria en este caso.
20 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
8. Pruebe que la funcion N(A) definida en M(m × n,R) es una
norma. Si en Rm y Rn usamos la norma euclideana, exprese la
norma N(A) es este caso.
9. Sea V un espacio con producto interno I , y sea N la norma
correspondiente. Pruebe que N(x+y) ·N(x−y) 6 N(x)2+N(y)2
y 4I(x, y) = N(x + y)2 − N(x − y)2 (identidad de polarizacion)
para todo x, y ∈ V .
10. Sea N una norma en un espacio vectorial V . Pruebe que existe
un producto interno I en V tal que N(v) =√
I(v, v) para todo
v ∈ V (en este caso decimos que la norma proviene de un producto
interno) si y solo si se satisface los siguiente
N(v + w)2 + N(v − w)2 = 2N(v)2 + 2N(w)2
para todo v, w ∈ V (identidad anterior es llamada identidad del
paralelogramo)
11. Si en Rm y Rn usamos la la norma dM . Encuentre la expresion
de la norma N(A) definida en M(m× n,R) en este caso.
12. Describas las distancias en M(m×n,R) inducidas por las normas
definidas anteriormente.
13. Considere el espacio vectorial V = f : f : [0, 1] → R f continua ,
dotado de la norma ||f || = sup|f(x)| : x ∈ [0, 1] .
(a) Encuentre un par de funciones f, g ∈ V tales que ||f +g||2 +
||f − g||2 6= 2||f ||2 + 2||g||2 .
(b) Sea (fn)n∈N una sucesion en V . Pruebe que si limn→∞ ||fn|| =0 entonces limn→∞ fn(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1] .
Sergio Plaza 21
(c) Describa la bola unitaria en V con la distancia inducida por
la norma anterior.
14. Pruebe que F : R2 → R definida por F (x, y) =√
(x− y)2 + 3y2
es una norma en R2 . ¿Existe un producto interno I en R2 tal
que F = NI ? Describa la funcion distancia inducida por esta
norma.
15. Sean 〈 , 〉1 y 〈 , 〉2 productos internos en un espacio vectorial V .
Pruebe que 〈 , 〉1 + 〈 , 〉2 es tambien un producto interno en V .
Describa la norma norma y la distancia que induce este producto
interno.
16. Determine un producto interno I en R2 tal que I((1, 0), (0, 1)) =
2 . ¿Cual es la norma y la distancia inducida por este producto
interno?
17. En R3 considere la aplicacion 〈 , 〉 : R3 × R3 → R definida por
〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = 2x1y1 +x1y3 +x3y1 +x2y2 +x3y3 . De-
muestre que este es un producto interno.
18. Sea X = ]0, 1[⊂ R . Pruebe que d(x, y) = |x−1 − y−1| es una
distancia en X .
19. Sea d una distancia en X . Pruebe que la funcion d′ : X×X → R
definida por d′(x, y) = d(x, y)/(1+d(x, y)) es una distancia en X .
20. Denote por C0([0, 1],R) el conjunto de las funciones continuas de
[0, 1] en R . Pruebe que las funciones dM y d1 definidas como
sigue:
dM (f, g) = sup|f(t)− g(t)| : t ∈ [0, 1]
22 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
y
d1(f, g) =∫ 1
o|f(t)− g(t)|dt
son funciones distancias en C0([0, 1],R) .
21. ¿Cuales de las siguientes funciones son distancias en R ?
(a) d(x, y) = |x2 − y2| ,(b) d(x, y) = |x3 − y3 ,
(c) d(x, y) = |x− y|2 ,
(d) d(x, y) = e−|x−y|−1.
22. Sean di , i = 1, . . . , n , metricas en espacios vectoriales Vi (i =
1, . . . , n). Sobre V = V1 × · · · × Vn defina para x = (x1, . . . , xn)
e y = (y1, . . . , yn) las funciones siguientes
dS(x, y) =n∑
i=1
di(x, y) ,
de(x, y) =
(n∑
i=1
di(x, y)2)1/2
,
y
dM (x, y) = maxdi(x, y) : i = 1, . . . , n .
Pruebe que dS , de , y dM son funciones distancias sobre V .
Pruebe ademas que esas funciones distancias son equivalentes.
23. Estudie y represente graficamente en R2 la bola, el disco, y la
esfera unitaria para las metricas d , dM , y dS .
24. Sea M(n×n,R) = A = (aij)i,j=1,...,n aij ∈ R el espacio vectorial
de las matrices de orden n × n con coeficientes reales. Dadas
A, B ∈ M(n × n,R) , defina 〈A,B〉 =∑n
i,j=1 aijbij . Pruebe que
Sergio Plaza 23
este es un producto interno en M(n × n,R) ¿Cual es la norma y
la distancia inducida por el producto interno anterior?
25. Usando el isomorfismo natural que existe entre los espacios vecto-
riales L(Rn,Rn) = L : Rn → Rn : L lineal y M(n×n,R) in-
duzca un producto interno en L(Rn,Rn) . Describa explıcitamente
la norma y la distancia inducida por esta norma. Ademas, describa
la bola unitaria en este caso.
26. En M(n × n,R) para A,B ∈ M(n × n,R) , defina 〈A,B〉 =
traza(ABT ) , donde BT es la matriz transpuesta de B . Pruebe
que este es un producto interno en M(n×n,R) . ¿Cual es la norma
y la distancia inducida por el producto interno anterior?
27. Pruebe que H = (x1, . . . , xn) : xn > α es un subconjunto
abierto de Rn . Calcule ∂H .
28. Sea A ⊂ Rn y B(A : r) la union de las bolas de centro a ∈ A
y radio r . Probar que si A es convexo tambien lo es B(A; r) .
¿Sera cierto para la conexidad?.
29. Denotemos por S(a; r) = z ∈ Rn : ||z − a|| = r la esfera de
centro a y radio r . Sean x ∈ S(a; r) y r > 0 dados. Probar que
existen y ∈ B(a; r), z /∈ B(a; r) tal que ||y−x|| < r y ||z−x|| < r .
30. ¿Cual es la frontera de la esfera S(a; r) en Rn?
31. Probar que la frontera de la bola abierta B(a; r) es la esfera
S(a; r) , esfera de centro en a, y radio r > 0 .
32. Sea A ⊂ Rn . Probar que A es cerrado si y solo si A = A′ .
24 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
33. Probar que Int(A) , el interior de un conjunto A , es siempre un
conjunto abierto.
34. Calcule el producto interno asociado a las matrices positivas definidas
siguiente
A =
3 8
−2 3
y A =
2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 2
Calcule la norma asociada a el producto interno definido para cada
caso por esas matrices.
35. Probar que todo conjunto cerrado contiene su frontera.
36. Construya dos metricas que no sean equivalentes en Rn.
37. Grafique en R2 y R3 la bola unitaria centrada en el origen para
dos metricas dp distintas.
38. Pruebe las siguientes relaciones:
(a) Int(Int(A)) = Int(A) ,
(b) Int(A) = Rn − (Rn −A) ,
(c) Int(Rn −A) = Rn −A .
39. Sea A ∈M(n× n,R) . Decimos que A es ortogonal si AAT = I ,
donde I denota la matriz identidad n × n . Sea O(n) = A ∈M(n× n,R) : AAT = I el conjunto de las matrices ortogonales
y sea SO(n) = A ∈ O(n) : det(A) = 1 . Pruebe que O(2)
consiste de todas las matrices de rotacion y de refleccion:
rotθ =
cos(θ) − sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
Sergio Plaza 25
y
refθ =
cos(θ) sen(θ)
sen(θ) − cos(θ)
y que SO(2) consiste de todas las matrices de rotacion.
Finalmente, pruebe que SO(3) consiste de todas las matrices de
rotacion alrededor de todos los posibles ejes de rotacion pasando
a traves del origen en R3 .
26 Topologıa en Espacios Vectoriales Normados
Capıtulo 2
Sucesiones en Espacios
Vectoriales Normados
Una sucesion en un conjunto no vacıo X es una funcion x : N → X.
Es usual denotar el valor x(k) de la sucesion x en el punto k ∈ Npor xk , es decir, x(k) = xk , aquı seguimos la tradicion y adoptamos
esta notacion. El valor xk es llamado el k–esimo termino de la sucesion
x . Otra notacion usual, que tambien adoptamos es x = (xk)k∈N , o
simplemente x = (xk) , para indicar la sucesion x .
Sea x = (xk)k∈N una sucesion en X . Una subsusecion de (xk)k∈N
es la restriccion de x a un subconjunto infinito N′ ⊂ N , donde N′ =
k1, k2, . . . , kn, . . . y su elementos satisfacen k1 < k2 < · · · < kn < · · · .Usaremos la notacion N′ = k1 < k2 < · · · < kn < · · · .
La imagen de una sucesion x = (xk)k∈N en X , la denotaremos por
x(N) = xkk∈N . (No confundir la sucesion x = (xk)k∈N , la cual es una
funcion, con su conjunto imagen o conjunto de valores xkk∈N ⊂ X ).
En lo que sigue V denota un espacio vectorial normado dotado con
una norma N .
27
28 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
Definicion 2.1 Decimos que una sucesion x : N→ V es acotada si el
conjunto de valores xkk∈N es acotado, es decir, existe r > 0 tal que
N(xk) 6 r para todo k ∈ N .
Observacion. En Rn , una sucesion x = (xk)k∈N equivale a n suce-
siones de numeros reales.
En efecto, para cada k ∈ N tenemos que x(k) = (xk1, xk2, . . . , xkn) ,
donde xki = πi(xk) y πi : Rn → R es la aplicacion lineal proyeccion
en la i–esima coordenada, dada por πi(v1, . . . , vn) = vi . Las suce-
siones (xki)k∈N (i = 1, . . . , n) son llamadas sucesiones coordenadas de
la sucesion (xk)k∈N . Tenemos que una sucesion es acotada si, y solo si,
cada una se sus sucesiones coordenadas es acotada en R .
Ahora definiremos para sucesiones uno de los conceptos mas impor-
tantes en Analisis, no referimos la concepto de lımite.
Definicion 2.2 Sea x = (xk)k∈N una sucesion en V . Decimos que
(xk)k∈N es convergente a un punto a ∈ V si para cada ε > 0 dado,
existe k0 ∈ N , tal que k > k0 implica N(xk − a) < ε , es decir, para
todo k > k0 se tiene que xk ∈ B(a, ε) . En este caso, decimos que a es
el lımite de la sucesion (xk)k∈N , y denotamos esto por a = limk→∞
xk .
Observaciones
1. Desde la definicion de convergencia de sucesiones se tiene que,
limk→∞
xk = a si, y solo si, limk→∞
N(xk − a) = 0 .
2. La definicion de convergencia de sucesiones hace uso de una norma
fijada en V .
3. Desde la observacion anterior, en Rn tenemos que una sucesion
x = (xk)k∈N equivale a n sucesiones de numeros reales, pues para
Sergio Plaza 29
cada k ∈ N tenemos que x(k) = (xk1, xk2, . . . , xkn) , donde xki =
πi(xk) y πi : Rn → R es la aplicacion lineal proyeccion en la i–
esima coordenada. Luego, la sucesion x = (xk)k∈N es convergente
si y solo si las sucesiones (xki)k∈N (i = 1, . . . , n) son convergentes,
y por lo tanto, podemos aplicar todos los criterios que conocemos
de analisis en una variable para estudiar la convergencia de las
sucesiones (xki)k∈N (i = 1, . . . , n)
Proposicion 2.1 Sea (xk)k∈N una sucesion convergente en V . En-
tonces xk : k ∈ N es acotado.
Demostracion. Sea a = limk→∞
xk . Entonces existe k0 ∈ N tal que para
todo k > k0 , se tiene que xk ∈ B(a, 1) . Como el conjunto xk : 1 6k < k0 es finito, se tiene que M = maxN(xk − a) : 1 6 k < k0 es finito, por lo tanto xk : a 6 k < k0 ⊂ B(0,M) . Ahora, sea
c = maxM, ε , se tiene que xk : k ∈ N ⊂ B(a, c) . Lo que completa
la prueba.
Observacion. La recıproca de la proposicion anterior no es verdadera,
pues tomando la sucesion (xk)k∈N en R , dada por xk = (−1)k se tiene
que |xk| 6 1 , pero ella no es convergente.
Proposicion 2.2 Si (xk)k∈N es una sucesion convergente en V . En-
tonces toda subsucesion (xki)i∈N de (xk)k∈N es convergente. Ademas,
si limk→∞
xk = b entonces limi→∞
xki= b .
Demostracion. Sea b = limk→∞
xk , entonces dado ε > 0 existe k0 ∈ Ntal que k > k0 implica xk ∈ B(b, ε) . Como N′ = k1 < k2 < · · · <
kj < · · · ⊂ N , se sigue que existe un ındice, digamos j0 ∈ N tal que
kj0 > k0 . Luego, kj > k0 para todo j > j0 , y por lo tanto xkj∈ B(b, ε)
30 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
para todo j > j0 , es decir, (xkj )kj∈N′ es convergente, y limkj→∞
xkj = b ,
y la prueba esta completa.
Proposicion 2.3 Sea (xk)k∈N una sucesion en V . Si (xk)k∈N es
convergente entonces su lımite es unico.
Demostracion. Supongamos que (xk)k∈N es convergente y que posee
dos lımites, digamos a y b . Dado ε > 0 , existen k1, k2 ∈ N tales que
si k > k1 entonces N(xk−a) < ε y si k > k2 entonces N(xk− b) < ε .
Tenemos N(a − b) 6 N(a − xk) + N(xk − b) , luego tomando k0 =
maxk1, k2 se tiene que si k > k0 entonces N(a − b) 6 2ε . Como
ε > 0 es arbitrario se sigue que N(a − b) = 0 , de donde a = b , y la
prueba esta completa.
Definicion 2.3 Decimos que dos normas N1 y N2 en V son equiv-
alente si, existen constantes C1 > 0 y C2 > 0 tales que
C1N1(x) 6 N2(x) 6 C2N1(x) , para todo x ∈ V .
Observacion. Desde la definicion de convergencia de sucesiones, se
tiene que si N1 y N2 son dos normas equivalentes en V entonces una
sucesion es convergente respecto de la norma N1 si, y solo si, es conver-
gente respecto a N2 .
Proposicion 2.4 Sea V un espacio vectorial con producto interno
I . Sean (xk)k∈N e (yk)k∈N sucesiones en V , y sea (αk)k∈N una
sucesion de numeros reales. Si existen a = limk→∞
xk , b = limk→∞
yk , y
α = limk→∞
αk entonces las sucesiones (sk)k∈N , (tk)k∈N , (uk)k∈N , y
(wk)k∈N , definidas por sk = xk + yk , tk = αkxk , uk = I(xk, yk) ,
y wk = NI(xk) son convergentes. Ademas,
Sergio Plaza 31
a) limk→∞
xk + yk = a + b ,
b) limk→∞
αkxk = αa ,
c) limk→∞
I(xk, yk) = I(a, b) ,
d) limk→∞
N(xk) = N(a) .
Demostracion. Sea ε > 0 dado. Entonces existe k0 ∈ N tal que
N(xk − a) < ε , N(yk − b) < ε , y |αk − α| < ε para todo k > k0 .
a) Se tiene que N((xk + yk)− (a+ b)) 6 N(xk− a)+N(yk− b) . Luego,
si k > k0 entonces N((xk + yk) − (a + b)) 6 2ε , por lo tanto (sk)k∈N
es convergente y limk→∞
xk + yk = a + b .
b) Se tiene que N(αkxk−αa) = N(αkxk−αka+αka−αa) 6 |αk|N(xk−a) + |αk − α|N(a) . Sea M > 0 tal que |αk| 6 M para todo k ∈ N .
Ahora, si k > k0 entonces N(αkxk−αa) < Mε+εN(a) = (M+N(a))ε ,
de donde (αkxk)k∈N es convergente y limk→∞
αkxk = αa .
c) Para mostrar esta parte, vemos que desde la desigualdad de Cauchy–
Schwartz, tenemos que |I(x, y)| 6 NI(x)NI(y) . Ahora, |I(xk, yk) −I(a, b)| = |I(xk, yk) − I(xk, b) + I(xk, b) − I(a, b)| = |I(xk, yk − b) +
I(xk − a, b)| 6 NI(xk)NI(yk − b) + NI(xk − a)NI(b) . Sea M > 0
tal que NI(xk) 6 M para todo k ∈ N . Luego, si k > k0 entonces
|I(xk, yk)− I(a, b)| 6 Mε + εNI(b) = (M + NI(b))ε , de donde se sigue
el resultado.
d) Se tiene, por definicion, que NI(x) =√
I(x, x) . Luego, NI(xk) =√
I(xk, xk) y como (I(xk, xk))k∈N es una sucesion convergente de nume-
ros reales no negativos, limk→∞
√I(xk, xk) =
√lim
k→∞I(xk, xk) =
√I(a, a) =
NI(a) , como querıamos probar.
32 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
Nota. La existencia de limk→∞
xk + yk no implica la existencia de los
lımites limk→∞
xk y limk→∞
yk . Por ejemplo consideremos las sucesiones
(xk)k∈N e (yk)k∈N , cuyos terminos k–esimos son xk = (−1)k e yk =
(−1)k+1 . Es claro que ninguna de ellas tiene lımite, pero xk + yk =
0 para todo k ∈ N . Observaciones analogas se aplican a las otras
sucesiones de la proposicion anterior. La construccion de ejemplos se
deja a cargo del lector.
Teorema 2.1 (Bolzano–Weierstrass) Toda sucesion acotada en Rn
posee una subsucesion convergente.
Demostracion. Sea (xk)k∈N una sucesion acotada en Rn , y sean
(xki)k∈N (i = 1, . . . , n) las sucesiones coordenadas de (xk)k∈N . Como
(xk)k∈N es acotada, se tiene que cada sucesion coordenada es acotada.
Ahora, como el Teorema de Bolzano–Weierstrass es valido para suce-
siones de numeros reales, se tiene que (xk1)k∈N posee una subsucesion
convergente, es decir, existe un conjunto N1 ⊂ N infinito y un numero
real a1 tal que limk∈N1
xk1 = a1 (aquı, la notacion limk∈N1
xk1 significa sim-
plemente el lımite de la subsucesion (xk1)k∈N1 ). Ahora, como (xk2)k∈N
es acotada, existen un conjunto infinito N2 ⊂ N1 y un numero real
a2 tal que limk∈N2
xk2 = a2 . Repitiendo este argumento, encontramos
conjuntos infinitos Nn ⊂ Nn−1 ⊂ · · · ⊂ N2 ⊂ N1 ⊂ N y numeros
reales a1, . . . , an tales que limk∈Nj
xkj = aj para j = 1, . . . , n . Sea
a = (a1, . . . , an) . Entonces limk∈Nn
xk = a , como querıamos probar.
Definicion 2.4 Sea (xk)k∈N una sucesion en V . Decimos que un
punto a ∈ V es un punto de adherencia de xk : k ∈ N si, existe
una subsucesion convergente (xkj )j∈N de (xk)k∈N con a = lim→∞xkj .
Sergio Plaza 33
Notas.
1. El Teorema de Bolzano–Weierstrass dice que el conjunto de puntos
de adherencia de una sucesion acotada en Rn es no vacıo.
2. Sea (xk)k∈N una sucesion en V . Si (xk)k∈N es convergente en-
tonces tiene un unico punto de adherencia, y este es limk→∞
xk .
Proposicion 2.5 Sea (xk)k∈N una sucesion en V . Entonces a ∈ V
es un punto de adherencia de (xk)k∈N si, y solo si, para cada ε > 0
dado, la bola B(a, ε) contiene elementos de xk : k ∈ N con ındices
arbitrariamente grandes.
Demostracion. Si a ∈ V es un punto de adherencia de (xk)k∈N
entonces existe una subsucesion (xkj )j∈N de (xk)k∈N con a = limj→∞
xkj ,
de donde para cada ε > 0 dado, existe j0 ∈ N tal que j > j0 implica
xkj ∈ B(a, ε) .
Recıprocamente, existe k1 ∈ N tal que N(xk1−a) < 1 ; existe k2 > k1
tal que N(xk2−a) < 1/2 , y ası sucesivamente, existe kj > kj−1 tal que
N(xkj−a) < 1/j . Luego, la subsucesion (xkj )j∈N de (xk)k∈N , satisface
limj→∞
xkj = a . Esto completa la prueba.
De lo anterior, tenemos el siguiente teorema.
Teorema 2.2 Sea (xk)k∈N una sucesion acotada en Rn . Entonces
(xk)k∈N es convergente si, y solo si, tiene un unico punto de adherencia.
Demostracion. Si la sucesion es convergente entonces ella tiene un
unico punto de adherencia.
Recıprocamente, sea a ∈ Rn el unico punto de adherencia de (xk)k∈N .
Afirmamos que a = limk→∞
xk .
34 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
Si no, entonces existe ε > 0 tal que el conjunto N1 = k ∈ N :
xk /∈ B(a, ε) es infinito. Ahora, como la sucesion (xk)k∈N es aco-
tada, se sigue que la sucesion (xk)k∈N1 tambien es acotada, luego por el
Teorema de Bolzano–Weierstrass ella posee una subsucesion (xk)k∈N2
convergente (N2 ⊂ N1 infinito). Sea b = limk∈N2
xk .
Como para k ∈ N2 se tiene que N(xk−a) > ε se sigue que N(b−a) >ε . Luego, b 6= a , por lo tanto (xk)k∈N tiene dos puntos distintos de
adherencia. Esto es una contradiccion, y la prueba del teorema esta
completa.
Definicion 2.5 Sea (xk)k∈N una sucesion en V . Decimos que (xk)k∈N
es una sucesion de Cauchy si, para cada ε > 0 existe k0 ∈ N tal que si
r, ` > k0 entonces N(xr − x`) < ε .
Teorema 2.3 Toda sucesion convergente es de Cauchy.
Demostracion. Sea (xk)k∈N una sucesion convergente en V , y sea
a = limk→∞
xk . Entonces dado ε > 0 existen k1, k2 ∈ N tales que N(xk−a) < ε/2 para k > k1 y N(xk − a) < ε/2 para k > k2 . Sea k0 =
maxk1, k2 . Si r, ` > k0 entonces N(xr−x`) 6 N(xr−a)+N(x`−a) <
ε/2 + ε/2 = ε .
Nota. Si (xk)k∈N es una sucesion de Cauchy en V entonces no nece-
sariamente ella es convergente, por ejemplo considere la sucesion de
aproximaciones decimales con un, dos, tres, ..., dıgitos a√
2 . Esta
es una sucesion de numeros racionales, la cual es de Cauchy, pero no
convergente en Q .
Definicion 2.6 Decimos que un espacio vectorial normado es completo
si cada sucesion de Cauchy en V es convergente.
Sergio Plaza 35
Teorema 2.4 (completitud de Rn ) El espacio vectorial normado Rn
es completo.
Demostracion. Sea (xk)k∈N una sucesion de Cauchy en Rn , entonces
sus sucesiones coordenadas (xki)k∈N (i = 1, . . . , n) son sucesiones de
Cauchy en R . Ahora, como R es completo, se tiene que existen numeros
reales a1, . . . , an tales que limk→∞
xki = ai para i = 1, . . . , n . Sea a =
(a1, . . . , an) ∈ Rn . Es claro que limk→∞
xk = a . Lo que completa la
prueba.
2.1 Puntos de Acumulacion
Sea V un espacio vectorial normado con una norma N fijada.
Definicion 2.7 Sea X ⊂ V . Decimos que a ∈ V es un punto de
acumulacion de X si toda bola abierta de centro en a contiene puntos
de X diferentes de a , es decir, para todo ε > 0 dado, existe x ∈ X ,
con x 6= a tal que 0 < N(x− a) < ε .
Ejemplos.
1. Sea X = B(a, r) entonces todo punto de B[a, r] es punto de
acumulacion de B(a, r) .
2. Sea X = 1/n : n ∈ N ⊂ R . El unico punto de acumulacion de
X es 0.
En efecto, es claro que ningun punto 1/n de X es punto de
acumulacion de X , pues tomando ε = 12 | 1
n+1 − 1n | se tiene que
B( 1n , ε) ∩ X = 1
n . Por otra parte, para cada ε > 0 se tiene
que B(0, ε) contiene infinitos puntos, pues por la Propiedad Ar-
quimedeana de los numeros reales, existe nε ∈ N tal que nε ε > 1 ,
36 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
es decir, 1nε
< ε , y por lo tanto todo m ∈ N con m > nε , satisface1m < ε , luego B(0, ε) ∩X = 1
n : n > nε .
El conjunto de puntos de acumulacion de un conjunto X ⊂ V se
denota por X ′ , y es llamado conjunto derivado de X .
Proposicion 2.6 Sean X ⊂ V y a ∈ V . Entonces las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
1) a es un punto de acumulacion de X ,
2) existe una sucesion (xk)k∈N de puntos de X , con limk→∞
xk = a y
xk 6= a para todo k ∈ N ,
3) toda bola abierta de centro en a contiene infinitos puntos de X ,
diferentes de a .
Demostracion. 1) =⇒ 2). Como a ∈ V es un punto de acumulacion
de X , se sigue que para cada k ∈ N existe un punto xk ∈ X , con
xk 6= a , tal que 0 < N(xk − a) < 1/k . de aquı es claro que la sucesion
(xk)k∈N de puntos de X satisface limk→∞
xk = a , y xk 6= a para todo
k ∈ N .
2) =⇒ 3). Sea (xk)k∈N una sucesion, con xk ∈ X , xk 6= a para todo
k ∈ N , y a = limk→∞
xk . Entonces para cualquier k0 ∈ N el conjunto
xk : k > k0 es infinito, si no, existirıa un elemento, digamos xk
que se repitirıa infinitas veces y esto nos proporciona una subsucesion
constante, luego convergente con lımite distinto de a .
3) =⇒ 1). Inmediata.
Corolario 2.5 Si X ′ 6= ∅ entonces X es infinito.
Sergio Plaza 37
Demostracion. Inmediata.
Nota. Se sigue del Corolario que si X es finito entonces X ′ = ∅ . La
recıproca es falsa, por ejemplo consideremos el conjunto Z ⊂ R , se tiene
que Z′ = ∅ , pero claramente este conjunto no es finito.
En Rn , por el Teorema de Bolzano–Weierstrass tenemos el siguiente
teorema.
Teorema 2.6 Si X ⊂ Rn es infinito y acotado entonces X ′ 6= ∅ .
Demostracion. Como X es infinito, este contiene un conjunto nu-
merable infinito de puntos distintos x1, x2, . . . , xk , . . . . De este modo
obtenemos una sucesion (xk)k∈N , con xk ∈ X para todo k ∈ N . Ahora,
como X es acotado se sigue que la sucesion (xk)k∈N es acotada, y por
el Teorema de Bolzano–Weierstrass ella posee una subsucesion (xkj )j∈N
convergente a algun punto a ∈ Rn . Finalmente, como los terminos de la
sucesion (xkj )j∈N son distintos dos a dos, se sigue que a lo mas uno de
ellos podrıa ser igual a a , eliminando ese termino, si existe, obtenemos
una sucesion (xkj)j∈N de elementos de X todos distintos de a , con
limk→∞
xkj = a .
Definicion 2.8 Decimos que a ∈ X es un punto aislado de X si,
existe ε > 0 tal que B(a, ε) ∩ X = a , es decir, a no es punto de
acumulacion de X .
Si todo punto de X es aislado, decimos que X es discreto. Por
ejemplo, Z ⊂ R es discreto, y en consecuencia Zn ⊂ Rn es discreto.
38 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
2.2 Caracterizacion de los Conjuntos Cerrados
Hemos definido un conjunto cerrado como el complemento de un con-
junto abierto, ahora daremos una caracterizacion de los conjuntos cerra-
dos en terminos de sucesiones.
Definicion 2.9 Sea X ⊂ V . La clausura de X es el conjunto de sus
puntos adherentes, y se denota por X o clausura(X) .
Desde la definicion, tenemos que a /∈ X si, y solo si, existe ε > 0 tal
que B(a, ε) ∩X = ∅ .
Sea O ⊂ V un conjunto abierto, y sea a ∈ O entonces existe ε > 0
tal que B(a, ε) ⊂ O , y como cada bola abierta es un conjunto abierto,
tenemos:
a) a ∈ X si, y solo si, para todo conjunto abierto O ⊂ V , con
a ∈ O , se tiene que X ∩O 6= ∅ .
b) a /∈ X si, y solo si, existe un conjunto abierto O ⊂ V , con a ∈ O,
tal que X ∩O = ∅ .
Ejemplo. Sea Qn ⊂ Rn el conjunto de puntos de Rn con todas sus
coordenadas racionales, entonces Qn = Rn .
Tenemos la siguiente caracterizacion de los conjuntos cerrados.
Teorema 2.7 Sea X ⊂ V . Entonces X es cerrado si, y solo si,
X = X .
Demostracion. Si X ⊂ V es cerrado, entonces O = V − X es un
conjunto abierto. Luego, si y /∈ X entonces y ∈ O , y como O es
abierto, existe ε > 0 tal que B(y, ε) ⊂ O , por lo tanto B(y, ε) ∩X =
Sergio Plaza 39
∅ , de donde y no es un punto adherente de X . Luego, todo punto
adherente de X debe pertenecer a X , esto es, X ⊂ X , y como es claro
que X ⊂ X , se tiene que X = X .
Recıprocamente, supongamos que X = X . Sea O = V −X , entonces
para todo b ∈ O existe ε > 0 tal que B(b, ε) ∩ X = ∅ . Luego, si
x ∈ B(b, ε) se tiene que B(b, ε) es un conjunto abierto que contiene a
x , y es disjunto de X . Luego, B(b, ε) ⊂ V −X , es decir, O = V −X
es un conjunto abierto, y por lo tanto X es cerrado.
Corolario 2.8 La clausura de un conjunto cerrado es un conjunto ce-
rrado.
Demostracion. Si X ⊂ V es un conjunto cerrado entonces X = X .
Luego, X es un conjunto cerrado.
Nota. El corolario arriba nos dice que X = X .
Corolario 2.9 Sea X ⊂ V . Entonces X es cerrado si, y solo si, para
cada sucesion convergente (xk)k∈N , con xk ∈ X para todo k ∈ N , se
tiene que limk→∞
xk ∈ X .
Demostracion. Si X ⊂ V es cerrado entonces X = X . Luego,
si (xk)k∈N es una sucesion convergente de elementos de X entonces
a = limk→∞
xk es un elemento de X = X .
Recıprocamente, es claro que X ⊂ X . Ahora, si a ∈ X entonces
existe una sucesion de puntos xk ∈ X , con xk 6= a para todo k ∈ N y
a = limk→∞
xk , como por hipotesis se tiene que limk→∞
xk ∈ X , se sigue que
a ∈ X , es decir, X ⊂ X .
Nota. Es claro que si X ⊂ Y ⊂ V entonces X ⊂ Y , de esto se sigue
la siguiente proposicion.
40 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
Proposicion 2.7 Sea X ⊂ V un conjunto acotado, entonces X es
un conjunto acotado.
Demostracion. Como X es acotado, existe M > 0 tal que X ⊂B[0,M ] . Como B[0, M ] es un conjunto cerrado se sigue que X ⊂B[0,M ] = B[0,M ] , esto es, X es acotado.
Desde la definicion de punto frontera de un conjunto X ⊂ V , tenemos
que a ∈ Fr(X) si, y solo si, a es adherente a X y a V −X , es decir,
Fr(X) = X ∩ V −X . En particular, Fr(X) es un conjunto cerrado.
Del mismo modo como definimos conjunto abierto relativo a un con-
junto X ⊂ V , definimos el concepto de conjunto cerrado relativo a X ,
diciendo que C ⊂ X es cerrado en X si existe un conjunto cerrado
F ⊂ V tal que C = F ∩ X . De modo analogo al caso de conjuntos
abiertos relativos, se prueba que:
a) ∅, X son conjuntos cerrados relativos a X ,
b) si C1, C2 ⊂ X son conjuntos relativos a X , entonces C1 ∪ C2 es
un conjunto cerrado relativo a X ,
c) si Cλ : λ ∈ Λ es una coleccion de conjuntos Cλ ⊂ X , cerrados
relativos a X , entonces ∩λ∈ΛCλ es un conjunto cerrado relativo
a X .
Note que C ⊂ X es cerrado relativo a X si, y solo si, X−C es abierto
relativo a X . De esto podemos definir una topologıa para V tomando la
coleccion de los conjuntos cerrados en V , y una topologıa para X ⊂ V
considerando la coleccion de los conjuntos cerrados relativos a X .
Sean Y ⊂ X ⊂ V . Definimos la clausura de Y relativo a X como
siendo el conjunto Y ∩X , es decir, es el conjunto de puntos adherentes
de Y que pertenecen a X .
Sergio Plaza 41
Definicion 2.10 Sean Y ⊂ X ⊂ V . Decimos que Y es denso en X
si Y ∩X = X , y decimos que Y es denso en V si Y = V .
Nota. Desde la definicion, se tiene que Y ⊂ X es denso en X si, y
solo si, para cada x ∈ X y cada ε > 0 , se tiene que B(x, ε) ∩ Y 6= ∅ .
Proposicion 2.8 Todo subconjunto X ⊂ Rn contiene un subconjunto
numerable el cual es denso en X
Demostracion. Si X es finito o numerable, no hay que probar.
Supongamos que X es infinito no numerable. Sea B = B(q, r) : q ∈Qn y r ∈ Q , la coleccion de las bolas abiertas con centro en puntos con
todas sus coordenadas racionales en Rn y radio racional. Esta coleccion
es numerable, es decir, podemos escribir B = B1, B2 , . . . . Para cada
i ∈ N elijamos un punto xi ∈ Bi ∩ X , caso esta interseccion sea no
vacıa. Si Bi ∩ X = ∅ , tal xi no existira. Sea E = xi : i ∈ N el
conjunto obtenido de ese modo.
Ahora, sea x ∈ X y ε > 0 . Tenemos que existe r > 0 racional con
2r < ε . Como Qn es denso en Rn , existe q ∈ Qn tal que ||x− q|| < r .
Luego, x ∈ B(q, r) = Bi para algun i ∈ N . Por lo tanto, Bi ∩X 6= ∅y existe xi ∈ E . Como x, xi ∈ Bi = B(q, r) se tiene que ||x − xi|| 6||x− q||+ ||q − xi|| < 2r < ε . Luego, B(x, ε) ∩X 6= ∅ , de donde E es
denso en X , como querıamos probar
2.3 Conjuntos Compactos
Definicion 2.11 Sea K ⊂ V . Decimos que K es compacto si, toda
sucesion (xk)k∈N en K posee una subsucesion convergente a un punto
de K .
42 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
Nota. Desde el Teorema de Bolzano–Weierstrass, tenemos la siguiente
caracterizacion de los conjuntos compactos en Rn .
Teorema 2.10 Sea K ⊂ Rn . Entonces K es compacto si, y solo si,
K es cerrado y acotado.
Demostracion. Supongamos que K ⊂ Rn es cerrado y acotado, y sea
(xk)k∈N una sucesion de puntos en K . Entonces (xk)k∈N es acotada, y
por el Teorema de Bolzano–Weierstrass se sigue que (xk)k∈N posee una
subsucesion convergente, digamos (xkj )j∈N . Sea a = limj→∞
xkj . Como
K es cerrado y xkj∈ K para todo j ∈ N , se sigue que a ∈ K . Por lo
tanto K es compacto.
Recıprocamente, supongamos que K es compacto y que (xk)k∈N es
una sucesion de puntos en K , convergente a un punto a . Entonces
(xk)k∈N posee una subsucesion (xkj )j∈N convergente a un punto de K ,
y como limj→∞
xkj = limk→∞
xk , se sigue que a = limk→∞
xk ∈ K , por lo tanto
K es cerrado. Finalmente, si K no es acotado, entonces existe una
sucesion (xk)k∈N , con xk ∈ K para todo k ∈ N , tal que ||xk|| > k .
Esta sucesion no posee ninguna subsucesion convergente, luego K no
es compacto, esta comtradiccion completa la prueba.
Tenemos la siguiente proposicion, cuya prueba es inmediata a partir
de la definicion de conjunto compacto.
Proposicion 2.9 a) Sean K1, . . . ,K` ⊂ V conjuntos compactos,
entonces K1 ∪ . . . ∪K` es compacto.
b) Sea Kλ : λ ∈ Λ una familia de subconjuntos compactos de V ,
entonces ∩λ∈ΛKλ es un conjunto compacto.
c) Si K1 ⊂ V y K2 ⊂ W son conjuntos compactos, entonces K1 ×K2 ⊂ V ×W es un conjunto compacto.
Sergio Plaza 43
Demostracion A cargo del lector.
Teorema 2.11 (Cantor) Si Kn : n ∈ N es una sucesion decre-
cientes de conjuntos compactos no vacıos, es decir, K1 ⊃ K2 ⊃ · · · ⊃Km ⊃ · · · entonces la interseccion K = ∩n∈NKn es un conjunto com-
pacto no vacıo
Demostracion. Por la proposicion anterior K es compacto. Ahora,
para cada k ∈ N elegimos un punto xk ∈ Kk y obtenemos un sucesion
(xk)k∈N . Como K1 ⊃ K2 ⊃ · · · se sigue que (xk)k∈N es una sucesion
en K1 , por lo tanto posee una subsucesion convergente (xkj )j∈N , con
limj→∞
xkj = x ∈ K1 .
Dado n ∈ N arbitrario, tenemos que xni ∈ Kn para todo ni > n ,
luego x = limi→∞
xni ∈ Kn . Por lo tanto, el punto x ∈ Kn para todo
n ∈ N , es decir, x ∈ K = ∩n∈NKn .
Definicion 2.12 Sea X ⊂ V . Decimos que una coleccion Aα : α ∈Γ de subconjuntos de V es un cubrimiento de X si X ⊂ ∪α∈ΓAα . Si
cada Aα es un conjunto abierto (cerrado, compacto, etc.) decimos que
Aα : α ∈ Γ es un cubrimiento abierto (cerrado, compacto, etc.)
Sea Aα : α ∈ Γ un cubrimiento de X ⊂ V , un subcubrimiento
de X es una subcoleccion Aα : α ∈ Γ′ , donde Γ′ ⊂ Γ y X ⊂∪α∈Γ′Aα . Decimos que el cubrimiento Aα : α ∈ Γ es numerable
(respectivamente, finito) si Γ es numerable (respectivamente, finito).
Teorema 2.12 (Lindelof) Sea X ⊂ Rn . Entonces todo cubrimiento
abierto O = Oλ : λ ∈ Λ de X posee un subcubrimiento numerable.
Demostracion. Sea E = x1, x2, . . . ⊂ X un conjunto numerable
y denso en X . Sea B la coleccion de las bolas abiertas B(x, r) con
44 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
centro en algun x ∈ E y radio r racional, y tales que cada una de
ellas esta contenida en algun elemento de Oλ de O , para algun λ ∈ Λ .
Es claro que la coleccion B es numerable. Ahora, dado x ∈ X , existe
r > 0 racional tal que B(x, 2r) ⊂ Oλ , y como E es denso en X
existe x ∈ B(xi, r) . Sea y ∈ B(xi, r) entonces ||y − xi|| < r , luego
||x − y|| 6 ||x − xi|| + ||xi − y|| < 2r , por lo tanto y ∈ B(x, 2r) ⊂ Oλ ,
de donde concluimos que B(xi, r) ⊂ Oλ . Tomando una enumeracion
B1, B2, . . . , Bk, . . . para las bolas en B y eligiendo para cada j ∈ N un
ındice λi ∈ Λ tal que Bi ⊂ Oλise tiene que X ⊂ Oλ1 ∪ · · · ∪Oλn ∪ · · · .
Lo que completa la prueba.
Teorema 2.13 (Borel–Lebesgue) Sea K ⊂ Rn . Entonces K es com-
pacto si, y solo si, todo cubrimiento abierto O = Oλ : λ ∈ Λ de K
posee un subcubrimiento finito.
Demostracion. Por el Teorema de Lindelof obtenemos un subcubrim-
iento numerable Oλi : i ∈ N de K . Sea Ki = K ∩ (Rn − (Oλ1 ∪· · · ∪ Oλi
)) para todo i ∈ N . Esto nos da una sucesion decreciente de
conjuntos compactos K1 ⊃ K2 ⊃ · · · . Dado x ∈ K existe j ∈ N tal
que x ∈ Oλj , luego x /∈ Kj , es decir, ningun punto de K esta en todos
los Kj , de donde ∩∞j=1Kj = ∅ . Luego, por el Teorema de Cantor, algun
Ki0 = ∅ , esto significa que K ⊂ Oλ1 ∪ · · · ∪Oλi0−1 .
Recıprocamente, es inmediato que la coleccion B1 = B(x, 1) : x ∈K es un cubrimiento abierto de K , por lo tanto posee un subcubri-
miento finito, es decir, K ⊂ B(x1, 1) ∪ · · · ∪ B(xj , 1) . Luego, K esta
contenido en una union finita de conjuntos acotados, y en consecuencia
K es acotado. Ahora, si existe a ∈ K −K entonces para cada i ∈ N ,
tomamos Oi = Rn −B[a, 1/n] . Si K no es cerrado entonces para todo
x ∈ K se tiene que x 6= a , luego ||x−a|| > 1/n para algun n ∈ N , por
Sergio Plaza 45
lo tanto x ∈ On . De esto, tenemos que K ⊂ ∪∞n=1On , y existe entonces
un subcubrimiento finito, K ⊂ On1 ∪ · · · ∪ Onj . Como O1 ⊂ O2 ⊂ · · ·toda union de una coleccion de conjuntos Oi es igual al conjunto de
ındice mayor en la coleccion. Luego, K ⊂ Oi , para algun i ∈ N , esto
significa que la bola B(a, 1/i) no tiene puntos en comun con K , lo que
contradice que a ∈ K −K , y la prueba del teorema esta completa.
Observacion. Desde el Teorema de Borel–Lebesgue podemos redefinir
el concepto de conjunto compacto en Rn , diciendo que K ⊂ Rn es
compacto si, y solo si, todo cubrimiento abierto de K posee un sub-
cubrimiento finito. Esta es la deficion general de conjunto compacto en
topologıa.
2.4 Conexidad
Definicion 2.13 Sea X ⊂ V . Decimos que X es conexo si X =
A∪B , con A y B conjuntos abiertos y disjuntos implica que A = ∅ o
B = ∅ .
Si X no es conexo, decimos que X es disconexo.
Ejemplos.
1. X = R − 0 es disconexo en R , pues R − 0 = x ∈ R : x <
0 ∪ x ∈ R : x > 0 y ambos conjuntos son abiertos, disjuntos,
y no vacıos.
2. Todo conjunto discreto es disconexo.
3. Q ⊂ R es disconexo, pues existe a ∈ R−Q y tenemos Q = q ∈Q : q < a ∪ q ∈ Q : q > a , y ambos conjuntos son abiertos,
disjuntos, y no vacıos.
46 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
Para los subconjuntos conexos de R tenemos la siguiente caracteri-
zacion.
Teorema 2.14 Un subconjunto X ⊂ R es conexo si, y solo si, es un
intervalo (acotado o no).
Demostracion. Ver [12].
Teorema 2.15 La union de una familia de conjuntos conexos con un
punto en comun es un conjunto conexo.
Demostracion. Sea X = ∪λ∈ΛCλ , donde cada Cλ es conexo, y existe
a ∈ V con a ∈ Cλ para todo λ ∈ Λ . Si X = A∪B y a ∈ A , entonces
para cada λ ∈ Λ , tenemos que Xλ = X∩Cλ = (A∪B)∩Cλ = (A∩Cλ)∪(B ∩Cλ) . Como Cλ es conexo y a ∈ A , se tiene que B ∩Cλ = ∅ para
todo λ ∈ Λ . Luego, B = B ∩X = B ∩ (∪λ∈Λ) = ∪λ∈Λ(B ∩ Cλ) = ∅ .
Corolario 2.16 Sea X ⊂ V . Entonces X es conexo si, y solo si,
para cada a, b ∈ X existe un conjunto conexo Cab , con a, b ∈ Cab y
Cab ⊂ X .
Demostracion (=⇒) Obvia.
(⇐=) Fijemos a ∈ X . Entonces los conjuntos Cax , con x ∈ X son
conexo, y a ∈ Cax para todo x ∈ X . Ademas, es claro que ∪x∈XCax =
X . Luego, por la proposicion anterior, X es conexo.
2.5 Ejercicios
1. Sea G = B(a; r)− a . ¿Es G conexo?
2. Demuestre que x es un conjunto conexo.
Sergio Plaza 47
3. Demuestre que un convexo de (Rn, || · ||) es un conjunto conexo.
Concluya que las bolas en espacios normados son conjuntos conexos.
4. Pruebe que la sucesion (xk)k∈N dada por xk = (−1)k no es con-
vergente.
5. Sean N1 y N2 dos normas equivalentes en un espacio vectorial
normado V . Demuestre que una sucesion en V converge respecto
a N1 si, y solo si, converge respecto a N2 .
6. Pruebe que si X ⊂ V esta contenido en una union finita de con-
juntos acotados en V entonces X es acotado.
7. ¡Sera cierto que ∂A = A′ −A ?.
8. Sean A,B ⊂ V , dos conjuntos compactos en el espacio vectorial
normado V . Pruebe que el conjunto A+B = a+b : a ∈ A , b ∈B es un conjunto compacto.
9. Muestre con un ejemplo que A compacto no implica A compacto.
¿Vale la recıproca?
10. Encuentre una metrica para la que un conjunto es compacto si y
solo si es finito.
11. Pruebe que el conjunto K = 1n : n = 1, 2, . . .∪0 es compacto
en R .
12. Pruebe que la union finita de subconjuntos compacto es un con-
junto compacto.
13. Sea I ⊂ R un intervalo con extremos a < b . Sea c ∈ I con
a < c < b Prueba que I − c es disconexo. ¿Que ocurre si p
48 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
es un punto interior a un disco D en R2 , es decir, es D − pdisconexo?
14. Sea (xn)n∈N una sucesion de Cauchy en Rm . Pruebe que si
(xn)n∈N tiene alguna subsucesion convergente a x ∈ Rm entonces
(xn)n∈N es convegente y limn→∞xn = x .
15. Sea (xn)n∈N es una sucesion de Cauchy en Rm . Si (yn)n∈N es otra
sucesion en Rm verificando d(xn, yn) < 1/n para todo n > 1 ,
pruebe que:
(a) (yn)n∈N tambien es de Cauchy,
(b) limn→∞xn = x si, y solo si, lim
n→∞ yn = x .
16. Sea b ∈ B(a; r) tal que limk→∞
xk = b . Probar que existe k0 ∈ Ntal que xk ∈ B(a; r) para todo k > k0 .
17. Demuestre que si limn→∞xn = 0 en Rn con una norma, entonces
limn→∞xn = 0 en Rn con cualquier otra norma.
18. Calcule el interior, la adherencia y la acumulacion con la metrica
euclıdea de los conjuntos siguientes:
A = (x, y) : y = x3,B = ]0, 1]∪ ]9, 10[
C = (x, y, z)|x + y + z < 1.
19. Calcule los lımites, si existen, de las sucesiones siguientes
(i) xn = (nsen(1/n), n2+15n3+10
) .
(ii) xn = (n cos(1/n)− 1), n3+6n3+10
, 1n+1)
Capıtulo 3
Aplicaciones Continuas
Sean V y W espacios vectoriales normados, con normas N y N ,
respectivamente.
Definicion 3.1 Sea X ⊂ V . Decimos que una aplicacion f : X −→W es continua en un punto x0 ∈ X si, para cada ε > 0 dado, existe
δ > 0 (que depende de ε y de x0 ) tal que si x ∈ X , con N(x−x0) < δ ,
entonces N(f(x) − f(x0)) < ε . Ademas, decimos que f : X → W es
continua en X si es continua en cada punto x ∈ X .
En termino de bolas abiertas, la continuidad de una aplicacion f :
X → W en un punto x0 ∈ X se traduce como sigue: para cada ε > 0
dado, existe δ > 0 tal que f(B(x0, δ) ∩X) ⊂ B(f(x0), ε) .
La continuidad es un concepto local, esto es, si cada x0 ∈ X es el
centro de una bola abierta B tal que la restriccion de la aplicacion f a
esa bola, f/(X ∩B) , es continua entonces f es continua en X .
Notas.
1. Sean N1 y N2 normas equivalentes en V , y sean N1 y N2
normas equivalentes en W . Entonces una aplicacion f : X ⊂
49
50 Aplicaciones Continuas
V → W es continua en relacion a las normas N1 de V y N1 de
W si, y solo si, es continua respecto a las normas N2 de V y N2
de W .
La prueba es facil y se deja a cargo del lector.
2. Si f : X ⊂ V → W es continua. Entonces para cada Y ⊂ X se
tiene que f/Y : Y → W es continua. Esto es inmediato desde la
definicion.
3. Si x0 es un punto aislado de X ⊂ V entonces f : X → W
es continua en x0 , pues en este caso, se tiene que dado ε > 0
entonces para cualquier δ > 0 se satisface x ∈ X , N1(x−x0) < δ
implica N2(f(x)− f(x0)) = 0 < ε .
Ejemplos.
1. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x3 + y3
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
Entonces f es continua. Mostrar la continuidad de f fuera origen
es facil y se deja a cargo del lector. Ahora, sea ε > 0 dado,
usando en R2 la norma euclideana, tenemos que |x| 6 ||(x, y)|| =√
x2 + y2 y |y| 6 ||(x, y)|| =√
x2 + y2 , luego
|f(x, y)| 6 2||(x, y)||3||(x, y)||2 = 2||(x, y)|| ,
por lo tanto basta tomar δ = ε/2 y tenemos que ||(x, y)−(0, 0)|| =||(x, y)|| < δ implica |f(x, y)| 6 ε .
Sergio Plaza 51
2. Toda aplicacion f : X ⊂ V → W es continua en un punto aislado
de X .
En efecto, sea a ∈ X un punto aislado. Entonces existe δ > 0 tal
que B(a, δ) ∩ X = a . Ahora, sea ε > 0 , tomamos el numero
δ > 0 anterior tenemos que x ∈ X , con N(x − a) < δ implica
que x = a , por lo tanto N(f(x)− f(x)) = 0 < ε .
3. Aplicaciones Lipschitzianas. Sea f : X ⊂ V → W . Decimos
que f es una aplicacion Lipschitz si, existe una constante Lf > 0
(constante de Lipschitz para f ) tal que
supx,y∈X
x 6=y
N(f(x)− f(y))N(x− y)
6 Lf .
Toda aplicacion f : X ⊂ V → W Lipschitz es continua.
En efecto, sea ε > 0 dado, elegimos δ = ε/(L+1) , donde L es la
constante de Lipschitz de f , se tiene que si x ∈ X , con N(x−x0) <
δ, entonces N(f(x)− f(x0)) 6 LN(x− x0) < L εL+1 < ε.
Una clase importante de aplicaciones lipschitzianas la constituyen
las transformaciones lineales entre espacios euclideanos.
En Rm y Rn consideramos normas N1 y N2 , respectivamente.
Se define una norma N en el espacio vectorial L(Rm,Rn) = L :
Rm → Rn ; L lineal , subordinada a las norma N1 y N2 , como
N(T ) = supN2(T (v)) : v ∈ Rm , N1(v) = 1
= sup
N2(T (v))N1(v)
: v ∈ Rm , v 6= 0
.
Es facil ver que N(T ) define una norma en L(Rm,Rn) (verifi-
cacion rutinaria a cargo del lector). Desde la definicion, se sigue
52 Aplicaciones Continuas
que N2((T (v)) 6 N(T )N1(v) para todo v ∈ Rm , con v 6= 0 , y
como esta desigualdad vale trivialmente para v = 0 , se tiene que
T es una aplicacion Lipschitz con constante de Lipschitz igual a
N(T ) .
4. Aplicaciones Bilineales. Una aplicacion B : Rm × Rn → R` es
bilineal si es lineal en cada variable, es decir,
(a) B(αv1 + v2, w) = αB(v1, w) + B(v2, w) ,
(b) B(v, βw1 + w2) = βB(v, w1) + B(v, w2) .
Sea L2(Rm × Rn,R`) el conjunto de las aplicaciones bilineales
de Rm × Rn en R` . Es facil ver que L2(Rm × Rn,R`) es un
espacio vectorial. Ahora, sean N1 , N2 , y N3 normas en Rm ,
Rn , y R` , respectivamente. En Rm ×Rn consideramos la norma
N0(v, w) = maxN1(v), N2(w) . Definimos una norma N en
L2(Rm × Rn,R`) , subordinada a las normas N0 y N3 por
N(B) = supN3(B(v, w)) : (v, w) ∈ Rm × Rn ,
N1(v) = N2(w) = 1
= sup
N3(B(v, w))N0(v, w)
: (v, w) ∈ Rm × Rn ,
v 6= 0 , w 6= 0 .
Desde la definicion, tenemos que N3(B(v, w)) 6 N(B)N1(v)N2(w)
para todo (v, w) ∈ Rm × Rn .
En efecto, la desigualdad es trivial si v = 0 o w = 0 . Ahora, si
v 6= 0 y w 6= 0 , se tiene que los vectores v1 = v/N1(v) y w1 =
w/N2(w) satisfacen N1(v1) = N2(w1) = 1 , luego N0(v1, w1) 6N(B) , y de aquı se sigue que N1(B(v, w)) 6 N(B)N1(v)N2(w) .
Sergio Plaza 53
Ahora, sean (v, w), (u, z) ∈ Rm×Rn . Tenemos B(v, w)−B(u, z) =
B(v, w−z)+B(v−u, z) , luego N(B(v, w)−B(u, z)) 6 N(B(v, w−z)) + N(B(v−u, z)) 6 N(B)(N1(v)N2(w− z) + N1(v−u)N2(z)) .
Consecuentemente, dado ε > 0 tomamos δ = ε2N(B)(M+1) , donde
M = maxN1(v), N2(w) y se tiene que N0((v, w) − (u, z)) < δ
implica que N1(v − u) < δ y N2(w − z) < δ . Luego,
N(B(v, w)−B(u, z)) < N(B)(N1(v)δ + δN2(z))
= N(B)δ(N1(v) + N2(z))
6 N(B)δ2M
= N(B)2Mε
2N(B)(M + 1)< ε ,
es decir, N((v, w)−(u, z)) < δ implica N(B(v, w)−B(u, z)) < ε .
Por lo tanto, B es continua en cada punto (v, w) ∈ Rm × Rn .
Algunas consecuencias
(a) Sea λ : R × Rm → Rm la aplicacion dada por λ(α, v) = αv
(producto escalar). Claramente, λ es bilineal, por lo tanto
continua.
(b) Sea I : Rm × Rm → R un producto interno. Por definicion,
I es bilineal, por lo tanto continua.
Para los siguientes ejemplos, identificamos el espacio vecto-
rial de las aplicaciones lineales de Rm en Rn , el cual hemos
denotado por L(Rm,Rn) con el espacio vectorial Rmn .
(c) Sea eval : L(Rm,Rn) × Rm → Rn la aplicacion dada por
ev(L, x) = L(x) , evaluacion de L en x . Es claro que eval
es bilineal, por lo tanto continua.
54 Aplicaciones Continuas
(d) Sea comp : L(Rm,Rn) × L(Rp,Rm) → L(Rp,Rn) la apli-
cacion dada por comp(L, T ) = T L (composicion de aplica-
ciones lineales). Es claro que comp es bilineal, por lo tanto
continua.
(e) Sea p : R × R → R la aplicacion dada por p(x, y) = x · y ,
producto de numeros reales. Es claro que p es bilineal, por
lo tanto continua.
(f) Sea M(m×n,R) el espacio vectorial de las matrices de orden
m × n con entradas reales. Sea P : M(m × n,R) ×M(n ×p,R) →M(m×p,R) la aplicacion dada por P (A,B) = A·B ,
producto de matrices. Se tiene que P es bilineal, por lo tanto
continua.
5. Isometrıas. Decimos que una aplicacion f : X ⊂ V → W es
una isometrıa si N(f(x)− f(y)) = N(x− y) , es decir, f preserva
distancias. Es claro, desde la definicion que toda isometrıa es una
aplicacion continua. Para verlo basta tomar δ = ε en la definicion
de continuidad.
Por ejemplo, si n 6 m entonces la aplicacion i : Rn → Rm
definida por i(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0) es una isometrıa.
Nota. Toda isometrıa es una aplicacion inyectiva, pues si f(x) =
f(y) entonces 0 = N(f(x)− f(y)) = N(x− y) , luego x = y .
Sea f : X ⊂ V → W una isometrıa, y sea Y = f(X) . Entonces
f−1 : Y → X tambien es una isometrıa.
Por ejemplo, si a ∈ V es un vector fijo y Ta : V → V es dada por
Ta(v) = a + v , traslacion por a . Entonces Ta es una isometrıa y
T−1a = T−a .
Sergio Plaza 55
En Rm tenemos que T : Rm → Rm es una aplicacion lineal
entonces T es una isometrıa si, y solo si, 〈T (x), T (y)〉 = 〈x, y〉para todo x, y ∈ Rm .
6. Contracciones Debiles. Decimos que una aplicacion f : X ⊂V → W es una contraccion debil si f es Lipschitz con constante
de Lipschitz igual a 1, es decir, para cada x, y ∈ X se tiene que
N(f(x) − f(y)) 6 N(x − y) . Es inmediato que toda contraccion
debil es una aplicacion continua.
Ejemplo, sea s : V ×V → V la aplicacion dada por s(x, y) = x+y
(suma de vectores en V ). Para ver que s es una contraccion debil,
tomamos en V × V la norma NS((x, y)) = N(x) + N(y) (norma
de la suma). Sean (x, y), (u, v) ∈ V × V , se tiene N(s(x, y) −s(u, v)) = N((x−u)+(y−v)) 6 N(x−u)+N(y−v) = NS((x, y)−(u, v)) .
Ejemplo, proyecciones. Sean V1 y V2 espacios vectoriales nor-
mados, con normas N1 y N2 , respectivamente. Se definen las
aplicaciones πi : V1 × V2 → Vi (i = 1, 2) por π1(x, y) = x y
π2(x, y) = y , estas son llamadas proyecciones en la primera y se-
gunda coordenada, respectivamente. En V1 × V2 consideramos la
norma de la suma NS(x, y) = N1(x) + N2(y) . Tenemos
N1(π1(u1, v1)− π1(u2, v2)) = N1(u1 − u2)
6 N1(u1 − u2) + N2(v1 − v2)
= NS((u1 − u2, v1 − v2))
= NS((u1, v1)− (u2, v2)) .
Luego, π1 es una contraccion debil. De modo analogo se prueba
que π2 es una contraccion debil.
56 Aplicaciones Continuas
Este ejemplo se generaliza a un producto cartesiano de un numero
finito de espacios vectoriales normados. Ası, considerando Rm
como el producto cartesiano de n copias de R se tiene que las
proyecciones πi : Rn → R , definidas por πi(x1, . . . , xi, . . . , xn) =
xi (proyeccion en la i–esima coordenada) es una contraccion debil,
por lo tanto continua, para cada i = 1, . . . , n .
Teorema 3.1 Sean f : X ⊂ V → W y g : Y ⊂ W → Z aplicaciones,
con f es continua en a ∈ X y g es continua en f(a) , y f(X) ⊂ Y ,
Entonces la aplicacion g f es continua en a .
Demostracion. Sea ε > 0 dado. Como g es continua en f(a) se
tiene que existe η > 0 tal que si y ∈ Y satisface N2(y − f(a)) < η
entonces N3(g(y) − g(f(a))) < ε . Considerando el numero η > 0 se
tiene que existe δ > 0 tal que si x ∈ X y N1(x − a) < δ entonces
N2(f(x) − f(a)) < η , y por lo tanto N3(g(f(x)) − g(fa))) < ε , lo que
muestra que g f es continua en a .
Teorema 3.2 Sean f, g : X ⊂ V → W y α : X → R aplica-
ciones continuas en a ∈ X . Entonces las aplicaciones f ± g , αf ,
y I(f, g) , dadas por (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) , (αf)(x) = α(x)f(x) ,
y I(f, g)(x) = I(f(x), g(x)) ( I u producto interno en W ) son con-
tinuas en a : Ademas, la aplicacion 1α : X − α−1(0) → R , donde
α−1(0) = x ∈ X : α(x) = 0 , dada por 1α(x) = 1
α(x) es continua
en a , si α(a) 6= 0 .
Demostracion. Sean s : W ×W → W , ϕ : R ×W → W , y ξ : R −0 → R dadas por s(w1, w2) = w1 + w2 , ϕ(λ,w) = λw , y ξ(t) = 1/t .
Estas aplicaciones son continuas, pues s es una contracciıon debil, ϕ
Sergio Plaza 57
es bilineal, y para ξ es un caso conocido del calculo de una variable.
Tenemos
(f + g)(x) = (s (f, g))(x)
(αf)(x) = (ϕ (α, f))(x)
I(f, g)(x) = I (f, g)(x)(1α
)(x) = ξ α(x)
La prueba estara completa si probamos que las aplicaciones (f, g) : X →W ×W y (α, f) : X → R ×W , dadas por (f, g)(x) = (f(x), g(x)) y
(α, f)(x) = (α(x), f(x)) son continuas. Esto es facil, y se deja a cargo
del lector.
Sean V, V1, . . . , Vn espacios vectoriales normados. Denotemos por
πi (i = 1, . . . , n) la aplicacion πi : V1 × · · · × Vn → Vi dada por
πi(v1, . . . , vi, . . . , vn) = vi (proyeccion en la i–esima coordenada). Dada
f : X ⊂ V → V1 × · · · × Vn entonces f puede ser escrita como
f = (f1, . . . , fn) , donde fi = πi f (i = 1, . . . , n). Las aplicaciones
fi : X → Vi son llamadas las aplicaciones coordenadas de f . Tenemos
el siguiente teorema.
Teorema 3.3 Sea f : X ⊂ V → V1 × · · · × Vn . Entonces f es
continua en a ∈ X si, y solo si, cada aplicacion coordenada fi : X → Vi
es continua en a .
Demostracion. Si f es continua en a ∈ X se tiene que πi f =
fi (i = 1, . . . , n) es continua en a , por ser composicion de funciones
continuas.
Recıprocamente, dado ε > 0 existen δ1 > 0, . . . , δn > 0 tales que
si x ∈ X satisface N(x − a) < δi entonces Ni(f(x) − f(a)) < ε ,
58 Aplicaciones Continuas
aquı N es una norma en V y Ni (i = 1, . . . , n) es una norma en Vi .
Tomando δ = minδ1, . . . , δn se tiene que si x ∈ X y N(x − a) < δ
entonces Ni(fi(x) − fi(a)) < ε . Ahora, en V1 × · · · × Vn tomamos
la norma del maximo NM ((v1, . . . , vn)) = maxN1(v1), . . . , Nn(vn) ,
tenemos que si x ∈ X y N(x − a) < δ entonces NM (f(x) − f(a)) =
maxN1(f1(x) − f1(a)), . . . , Nn(fn(f(x) − fn(a)) < ε , por lo tanto f
es continua en a .
Corolario 3.4 Sean f : X ⊂ V1 → W1 y g : Y ⊂ V2 → W2 . Entonces
la aplicacion f × g : X × Y → W1 × W2 dada por (f × g)(u, v) =
(f(u), g(v)) es continua en (a, b) ∈ X × Y si, y solo si, f es continua
en a y g es continua en b .
Demostracion. Inmediata.
Ahora caracterizaremos la continuidad de funciones en termino de
sucesiones.
Teorema 3.5 Sea f : X ⊂ V → W . Entonces f es continua en
a ∈ X si, y solo si, para cada sucesion (xk)k∈N en X , con limk→∞
xk = a ,
se tiene que limk→∞
f(xk) = f(a) .
Demostracion. Si f es continua en a ∈ X entonces dado ε > 0 , existe
δ > 0 tal que x ∈ X y N1(x − a) < δ implica N2(f(x) − f(a)) < ε .
Ahora, sea (xk)k∈N una sucesion en X , con limk→∞
xk = a . Considerando
el numero δ > 0 anterior, se tiene que existe k0 ∈ N tal que si k > k0
entonces N1(xk − a) < δ , y por lo tanto N2(f(xk)− f(a)) < ε , lo que
muestra que limk→∞
f(xk) = f(a) .
Recıprocamente, si la condicion vale. Supongamos que f no es con-
tinua en a ∈ X , se tiene entonces que existe ε > 0 tal que para todo
Sergio Plaza 59
δ > 0 existe xδ ∈ X tal que N1(xδ − a) < δ y N2(f(xδ) − f(a)) > ε .
Tomando la sucesion δn = 1/n para n ∈ N , se tiene que para cada
n ∈ N existe xn ∈ X tal que N1(xn−a) < 1/n y N2(f(xn)−f(a)) > ε .
Por lo tanto, tenemos una sucesion (xn)n∈N en X , con limn→∞xn = a ,
pero N2(f(xn)− f(a)) > ε , esto es una contradiccion, y la prueba esta
completa.
Ejemplo. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x2y
x4 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) ,
tenemos que si x 6= 0 entonces f(x, 0) = 0 , luego para cualquier
sucesion (xn)n∈N con limn→∞xn = 0 se tiene que lim
n→∞ f(xn, 0) = 0 ,
por otra parte, tenemos que f(xn, x2n) = x4
n4x4
n= 1
2 , por lo tanto f no
puede ser continua en el origen. Fuera del origen la continuidad de f
es facil de ver y se deja a cargo del lector.
Dada f : V1 × · · · × Vn → W , la aplicacion parcial f i : Vi → W se
define como sigue: sean vi ∈ Vi (i = 1, . . . , n),
f i(x) = f(v1, . . . , vi−1, x, vi+1, . . . , vn) .
Es inmediato que si f es continua en a = (a1, . . . , an) entonces f i
es continua en ai ∈ Vi , pues cada f i es la compuesta f incli , donde
incli : Vi → V1 × · · · × Vn es la aplicacion inclusion dada por incli(x) =
(v1, . . . , vi−1, x, vi+1, . . . , vn) , y esta ultima aplicacion es claramente con-
tinua.
60 Aplicaciones Continuas
La recıproca a la afirmacion no es verdadera. Por ejemplo, considere-
mos la aplicacion f : R2 → R dada por
f(x, y) =
xy
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
Dado (a, b) ∈ R2 , denotamos f1 por fb y f2 por fa , se tiene que
fb(x) = f(x, b) =
xb
x2 + b2si b 6= 0 , x 6= 0
0 si b = 0 , x = 0
fa(y) = f(a, y) =
ay
a2 + y2si a 6= 0 , y 6= 0
0 si a = 0 , y = 0
Fijado (a, b) ∈ R2 se tiene que fa, fb : R → R son continuas en
0 , pero f no es continua en (0, 0) . Para ver esto basta considerar la
sucesion (xn, yn) = (1/n , 1/n) . Tenemos que limn→∞(xn, yn) = (0, 0) ,
pero f(xn, yn) = 1/2 para todo n ∈ N , es decir, limn→∞ f(xn, yn) =
1/2 6= 0 = f(0, 0) .
Ahora daremos una caracterizacion de la continuidad en terminos de
conjuntos abiertos (cerrados). Esta es la propiedad que se usa para
definir la continuidad cuando se tiene una topologıa en los espacios en
cuestion.
Teorema 3.6 Sea f : X ⊂ V → W . Entonces f es continua en
a ∈ X si, y solo si, para cada conjunto abierto B ⊂ W , con f(a) ∈ B
se tiene que f−1(B) es un conjunto abierto en X .
Demostracion. Sea O ⊂ W un conjunto abierto, con f(a) ∈ O , en-
tonces existe ε > 0 tal que B(f(a), ε) ⊂ O . Para este ε tenemos que
existe δ > 0 tal que x ∈ B(a, δ) ∩ X implica que f(x) ∈ B(f(a), ε) ,
Sergio Plaza 61
pues f es continua en a . Luego, tenemos que f(B(a, δ) ∩ X) ⊂B(f(a), ε) , por lo tanto B(a, δ) ∩ X ⊂ f−1(B(f(a), ε) ⊂ f−1(O) , de
donde B(a, δ) ∩ X ⊂ f−1(O) ∩ X , y en consecuencia f−1(O) es un
conjunto abierto en X .
Recıprocamente, como para todo ε > 0 se tiene que B(f(a), ε) es un
conjunto abierto en W , se sigue que f−1(B(f(a), ε))∩X es un conjunto
abierto en X , existe δ > 0 tal que f−1(B(f(a), ε))∩X = B(a, δ)∩X ,
es decir, si x ∈ B(a, δ)∩X se tiene que f(x) ∈ B(f(a), ε) , por lo tanto
f es continua en a .
Corolario 3.7 Sea f : X ⊂ V → W . Entonces f es continua si, y
solo si, para cada conjunto abierto O ⊂ W se tiene que f−1(O) es un
conjunto abierto en X .
Corolario 3.8 Sea f : X ⊂ V → W . Entonces f es continua si, y
solo si, para cada conjunto cerrado F ⊂ W se tiene que f−1(F ) es un
conjunto cerrado en X .
Ejemplos
1. Sea f : V → R una aplicacion continua. Entonces los conjuntos
f−1( ]a,∞[ ) = x ∈ V : a < f(x) y f−1( ]−∞, a[ ) = x ∈ V :
f(x) < a son conjuntos abiertos.
2. Sea det : M(n × n,R) → R la aplicacion determinante. Se tiene
que det es continua, pues es n–lineal. Luego, GL(Rn) = A ∈M(n × n,R) : det(A) 6= 0 = det−1(R − 0) es un conjunto
abierto en M(n × n,R) . Es facil ver que con el producto de ma-
trices se tiene que GL(Rn) es un grupo, es decir, I ∈ GL(Rn) , y
si A,B ∈ GL(Rn) entonces AB−1 ∈ GL(Rn) .
62 Aplicaciones Continuas
Nota. Sea A ∈ M(n × n,R) , escribimos A = (c1, c2, . . . , cn) ,
donde
ci =
ai1
ai2
...
ain
∈ Rn , (i = 1, . . . , n)
o bien escribimos
A =
f1
f2
...
fn
∈ Rn , (i = 1, . . . , n)
donde fj = (aj1, . . . , ajn) ∈ Rn , y en este sentido identificando
M(n× n,R) con Rn2, se tiene que det es n–lineal.
Ahora si T : Rn → Rn es una aplicacion lineal, se define el de-
terminante de T como siendo det(T ) = det(A) , donde A es la
matriz de T respecto a bases v1, . . . , vn y w1, . . . , wn de Rn .
(No es dıficil probar que det(T ) es independiente de la represen-
tacion matricial de T , esto es, si T tiene representaciones matri-
ciales A1 y A2 en bases de Rn (no necesariamente las mismas
bases) entonces det(A1) = det(A2) .
De lo anterior, tenemos que el conjunto de los isomorfismos de Rn ,
Isom(Rn) = T : Rn → Rn ; det(T ) 6= 0 , es un conjunto abierto
en L(Rn,Rn) . Es claro que Isom es un grupo con la composicion
de funciones, el cual es llamado grupo de isomorfismo de Rn .
Ahora, sea SL(Rn) = A ∈M(n× n,R) : det(A) = 1 . Es claro
que con el producto de matrices se tiene que SL(Rn) es un grupo,
Sergio Plaza 63
llamado grupo especial lineal. Ademas, SL(Rn) es un conjunto
cerrado, pues SL(Rn) = det−1(1) .
3. Sea f : M(n × n,R) → M(n × n,R) dada por f(A) = AT
(transpuesta de la matriz A ). Se tiene que f es continua, por
ser lineal.
4. Sean S = A ∈ M(n × n,R) : A = AT y A = A ∈ M(n ×n,R) : AT = −A , los conjuntos de las matrices simetricas y
antisimetricas, respectivamente. Es facil ver que estos conjuntos
son subespacios de M(n×n,R) . Sean S,A :M(n×n,R) →M(n×n,R) las aplicaciones dadas por S(B) = B − BT y A(B) = B +
BT , estas aplicaciones son lineales, por lo tanto continuas. Luego,
S = S−1(0) = ker(S) y A = A−1(0) = ker(A) , son conjuntos
cerrados de M(n× n,R) . Notemos que dada B ∈M(n× n,R) se
tiene que B + BT ∈ S y B −BT ∈ A , y que
B =12(B + BT ) +
12(B −BT ) ,
de donde M(n × n,R) = S + A . Ahora, como S ∩ A = 0 , se
sigue que la suma anterior, es de hecho una suma directa, es decir,
M(n× n,R) = S ⊕A .
5. Sea f :M(n×n,R) → S la aplicacion definida por f(A) = A·AT .
Es facil probar que f es continua, luego el conjunto
O(n) = A ∈M(n× n,R) : A ·AT = I = f−1(I)
es un conjunto cerrado de M(n × n,R) . De hecho se tiene que
O(n) ⊂ GL(Rn) . Como det(A) = det(AT ) se sigue que si A ∈O(n) entonces det(A) = ±1 , y podemos escribir O(n) = O+(n)∪
64 Aplicaciones Continuas
O−(n) , donde O± = O(n)∩det−1(±1) , ambos conjuntos O+(n)
y O−(n) son conjuntos cerrados en O(n) , y O+(n)∩O−(n) = ∅ ,
por lo tanto O(n) es disconexo.
Ahora escribiendo A ∈ O(n) en la forma
A = (v1, . . . , vn), donde vi =
ai1
ai2
...
ain
se tiene que AAT = (〈vi, vj〉)i,j=1,...,n , luego como AAT = I se
sigue que 〈vi, vj〉 = 0 si i 6= j y 〈vi, vi〉 = 1 , es decir, las columnas
(filas) de A forman una base ortonormal de Rn .
Tomando en M(n× n,R) la norma N dada por
N((aij)n×n) =
√√√√n∑
i,j=1
a2ij ,
se tiene que si A ∈ O(n) entonces N(A) =√
n , por lo tanto O(n)
es acotado. En resumen, O(n) es cerrado y acotado en Rn2, por lo
tanto es compacto. Es claro que O(n) con el producto de matrices
es un subgrupo de GL(Rn) .
6. Sea f : X ⊂ V → W una aplicacion continua. Entonces graf(f) =
(x, f(x)) ∈ V ×W : x ∈ X es un conjunto cerrado en X ×W ,
pues graf(f) = ϕ−1(0) , donde ϕ : X ×W → W es la aplicacion
definida por ϕ(x, y) = y − f(x) . Es claro que ϕ es continua.
7. Sea a ∈ V un vector fijo, y sea f : V → R definida por f(x) =
N(x − a) . Entonces para cada r ∈ R se tiene que el conjunto
f−1(r) es un conjunto cerrado en V . Note que si r < 0 entonces
Sergio Plaza 65
f−1(r) = ∅ , si r = 0 entonces f−1(r) = a , y si r > 0 en-
tonces f−1(r) = S[a, r] (esfera de centro en a y radio r en V .
Finalmente observemos que f−1( ] −∞, r[ ) = B(a, r) para todo
r > 0 .
8. Sean F ⊂ V y G ⊂ W conjuntos cerrados. Entonces F × G ⊂V ×W es un conjunto cerrado., pues F ×G = π−1
1 (F )∩ π−12 (G) ,
donde π1 : V ×W → V y π2 : V ×W → W son las proyecciones
π1(v, w) = v y π2(v, w) = w . Del mismo modo se demuestra que
si A ⊂ V y B ⊂ W son conjuntos abiertos entonces A×B es un
conjunto abierto en V ×W .
3.1 Continuidad Uniforme
Definicion 3.2 Sea f : X ⊂ V → W . Decimos que f es uniforme-
mente continua en X si, para cada ε > 0 dado, existe δ = δ(ε)
(solo depende de ε ) tal que si x, y ∈ X con N1(x − y) < δ entonces
N2(f(x)− f(y)) < ε .
Nota. Si f es uniformemente continua entonces f continua. La
recıproca es falsa, por ejemplo consideremos f : [0,∞[→ R dada por
f(x) =√
x , esta aplicacion es continua, pero no uniformemente con-
tinua.
Ejemplo. Si f : X ⊂ V → W es una aplicacion Lipschitz entonces f
es uniformemente continua.
En efecto, tenemos que N2(f(x) − f(y)) 6 KN1(x − y) para todo
x, y ∈ X , donde K es la constante de Lipschitz de f . Dado ε > 0
tomamos δ = ε/(K + 1) y tenemos que x, y ∈ X , con N1(x − y) < δ
implica N2(f(x)− f(y)) < ε .
66 Aplicaciones Continuas
Consecuencias
i) Toda aplicacion lineal , L : Rm → Rn es uniformemente continua.
ii) Toda aplicacion bilineal B : Rm × Rn → Rp es uniformemente
continua en cualquier subconjunto acotado X ⊂ Rm × Rn .
Proposicion 3.1 Sea f : X ⊂ V → W . Entonces f es uniforme-
mente continua en X si, y solo si, para cada par de sucesiones (xn)n∈N ,
(yn)n∈N en X , con limn→∞(xn − yn) = 0 se tiene que lim
n→∞(f(xn) −f(yn)) = 0 .
Demostracion. (=⇒) Dado ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal que x, y ∈X , con N1(x − y) < δ implica N2(f(x) − f(y)) < ε . Sean (xn)n∈N
e (yn)n∈N sucesiones en X , tales que limn→∞(xn − yx) = 0 , entonces
correspondiente a δ existe n0 ∈ N tal que si n > n0 entonces N1(xn−yn) < δ , luego N2(f(xn) − f(yn)) < ε , por lo tanto lim
n→∞(f(xn) −f(yn)) = 0 , como querıamos probar.
Recıprocamente, supongamos que f no es uniformemente continua.
Luego, existe ε > 0 tal que para cada δ > 0 existen puntos xδ, yδ ∈ X ,
con N1(xδ − yδ) < δ y N2(f(xδ) − f(yδ)) > ε . Tomando δk = 1/k ,
para k ∈ N , obtenemos elementos xk, yk ∈ X , con limk→∞
(xk − yk) =
0 y limk→∞
(f(xk) − f(yk)) 6= 0 , pues para cada k ∈ N se tiene que
N2(f(xk) − f(yk)) > ε . Esto es una contradiccion y la prueba esta
completa.
Proposicion 3.2 Sean f : X ⊂ V → W y g : Y ⊂ W → Z apli-
caciones, con f uniformemente continua en X y g uniformemente
continua en Y , y f(X) ⊂ Y . Entonces g f es uniformemente con-
tinua en X .
Sergio Plaza 67
Demostracion. Analoga a la prueba de la continuidad de la com-
posicion de aplicaciones continuas.
Proposicion 3.3 Sea f : X ⊂ V → W una aplicacion uniformemente
continua en X . Si (xk)k∈N es una sucesion de Cauchy en X entonces
(f(xk))k∈N es una sucesion de Cauchy en W .
Demostracion. Dado ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 , tal que si x, y ∈ X ,
con N1(x − y) < δ entonces N2(f(x) − f(y)) < ε . Sea (xk)k∈N una
sucesion de Cauchy en X , correspondiente a δ , existe n0 ∈ N tal que
si n, ` > n0 entonces N1(xn − x`) < δ , luego N2(f(xn) − f(x`)) < ε .
Por lo tanto (f(xk))k∈N es una sucesion de Cauchy en W .
Proposicion 3.4 Sea f : X ⊂ V → V1 × · · · × Vn . Entonces f es
uniformemente continua en X si, y solo si, cada aplicacion coordenada
fi : X → Vi (i = 1, . . . , n) de f es uniformemente continua em X .
Demostracion. Facil y se deja a cargo del lector.
3.2 Homeomorfismos
Definicion 3.3 Sean X ⊂ V e Y ⊂ W . Un homeomorfismo de X
en Y es una aplicacion biyectiva f : X → Y tal que f y f−1 son
continuas. Decimos en este caso que X es homeomorfo a Y .
Ejemplos.
1. Sa f : R → ] − 1, 1[ la aplicacion dada por f(x) = x1+|x| . Se
tiene que f es continua y biyectiva, y f−1(y) = y1−|y| tambien es
continua. Por lo tanto f es un homeomorfismo.
68 Aplicaciones Continuas
2. Sea f : ]− π2 , π
2 [→ R dada por f(x) = tang(x) . Se tiene que f es
biyectiva y continua, y f−1(y) = arctang(x) tambien es continua.
Por lo tanto f es un homeomorfismo.
3. Todo par de intervalos acotados abiertos (cerrados) de R son
homeomorfos.
En efecto, haremos la prueba para intervalos cerrados, la prueba
para intervalos abiertos es analoga.
Sean [a, b] y [c, d] intervalos cerrados. La recta que pasa por
(a, c) y (b, d) tiene por ecuacion y = d−cb−a(x − a) + c . Definimos
f(x) = d−cb−a(x − a) + c . Es claro que f es continua y biyectiva.
Un pequeno calculo muestra que f−1 tambien es continua.
4. La aplicacion f : ] − 1, 1[→ R definida por f(x) = x1−x2 es un
homeomorfismo.
En efecto, tenemos que f ′(x) = 1+x2
(1−x2)2, la cual es siempre es-
trictamente positiva, luego f(x) es estrictamente creciente, por lo
tanto f es inyectiva. Por otra parte, limx→±1
f(x) = ±∞ , de donde
concluimos que f es sobreyectiva, pues lo anterior significa que
dado y ∈ R se tiene que f(x) < y cuando x es proximo a −1 y
f(x) > y cuando x es proximo a 1 , luego por el teorema del valor
intermedio, se tiene que existe x ∈ R tal que f(x) = y . Por lo
tanto f tiene inversa, y es facil probar que la inversa es continua
(de hecho diferenciable, como se deduce inmediatamente usando
el teorema de la funcion inversa para funciones de variable real a
valores reales).
Tambien podemos argumentar en forma directa encontrando la
funcion inversa de f . Para y 6= 0 sea g(y) = −1+√
1+4y2
2y , tenemos
Sergio Plaza 69
que g : R−0 → R es continua. Usando la regla de L’Hopital se
tiene que limy→0
g(y) = 0 , y podemos definir g(0) = 0 , obteniendo
ası una funcion g : R→ R . Ahora, para y 6= 0 tenemos
1 < 1 + 4y2 < 1 + 4|y|+ 4y2 = (1 + 2|y|)2 ,
luego (tomando rız cuadrada) se tiene que 1 <√
1 + 4y2 < 1 +
2|y| . Restando 1 a la ultima desigualdad y dividiendo el resultado
por 2|y|, obtenemos
0 < |g(y)| = −1 +√
1 + 4y2
2|y| < 1 ,
luego el recorrido de g es el intervalo ]−1, 1[ . Desde la definicion
de g , se tiene que g(y) es la solucion de la ecuacion yx2 +x−y =
0 . Luego, yg(y)2 + g(y)− y = 0 , de donde y = g(y)1−g(y)2
, es decir,
y = f(g(y)) . Por otra parte,
1 + 4f(x)2 =(1− x2)2
(1− x2)2+
4x2
(1− x2)2
=1− 2x2 + x4 + 4x2
(1− x2)2
=(
1 + x2
1− x2
)2
.
Si x ∈ ]−1, 1[ tenemos que el termino entre parentesis de la ultima
igualdad es positivo, luego√
1 + 4f(x)2 = 1+x2
1−x2 , y de aquı
−1 +√
1 + 4f(x)2
2f(x)=
(−1−x2
1−x2 + 1+x2
1−x2
2x1−x2
)= x ,
es decir, g(f(x)) = x , lo cual termina la prueba.
5. Sea Sn ⊂ Rn+1 la esfera unitaria, es decir,
Sn = x ∈ Rn+1 : 〈x, x〉 = 1
=
x = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 :
n+1∑
i=1
x2i = 1
.
70 Aplicaciones Continuas
Sea pN = (0, . . . , 0, 1) ∈ Sn ( pN es llamado el polo norte de la
esfera). Entonces Sn − pN es homeomorfo a Rn .
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p•
ϕN (p)•
pN
q •........................................
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...•ϕ−1N (q)
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Sean
ϕN : UN → Rn , ϕN(x1, . . . , xn+1) =1
1− xn+1(x1, . . . , xn) ,
ϕS : US → Rn , ϕS(x1, . . . , xn+1) =1
1 + xn+1(x1, . . . , xn) .
Estas aplicaciones ϕN y ϕS son llamadas, respectivamente, proyec-
ciones estereograficas norte y sur. Sus inversas, ϕ−1N y ϕ−1
S son
dadas por
ϕ−1N (x1, . . . , xn) =
(2x1
1 + ||x||2 , . . . ,2xn
1 + ||x||2 ,||x||2 − 11 + ||x||2
)
ϕ−1S (x1, . . . , xn) =
(2x1
1 + ||x||2 , . . . ,2xn
1 + ||x||2 ,1− ||x||21 + ||x||2
)
donde ||x||2 =∑n
i=1 x2i = 〈x, x〉 , x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn.
Sergio Plaza 71
Es claro que ϕN y ϕS son homeomorfismos. Veamos como obtener
geometricamente las aplicaciones ϕN y ϕS, ası como tambien sus
inversas. Para ello, consideremos Rn ⊂ Rn+1 , donde Rn =
(x1, . . . , xn, 0) ∈ Rn+1.
En efecto, sea q ∈ Sn − pN , definimos ϕN (q) como el punto
de interseccion de la recta que pasa por pN y q . Esa recta viene
dada por LpN q = tq + (1 − t)pN : t ∈ R = (tq1, . . . , tqn+1) +
(0, . . . , 0, 1− t) : t ∈ R = (tq1, . . . , tqn, tqn+1 + 1− t) : t ∈ R .
La interseccion de esta recta con Rn × 0 se traduce en que
tqn+1 + 1− t = 0 , de donde t = 11−qn+1
. Reemplazando este valor
de t en la ecuacion de la recta e identificando (x1, . . . , xn, 0) ∈Rn × 0 con el punto (x1, . . . , xn) obtenemos que
ϕN (q1, . . . , qn, qn+1) =1
1− qn+1(q1, . . . , qn) .
del mismo modo, si x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se identifica con el
punto (x1, . . . , xn, 0) ∈ Rn×0 entonces podemos definir ϕ−1N (x)
como siendo la interseccion de la recta que pasa por (x1, . . . , xn, 0)
y por pN con la esfera. Realizando los calculos obtenemos que
ϕ−1N (x1, . . . , xn) =
(2x1
1 + ||x||2 , . . . ,2xn
1 + ||x||2 ,||x|| − 11 + ||x||2
).
Ahora es facil verificar que tanto ϕN como ϕ−1N son continuas.
De modo analogo a la construccion anterior podemos considerar el
polo sur de la esfera, pS = (0, . . . , 0,−1) , y definir el homeomor-
fismo ϕS : Sn−pS → Rn . La eleccion de los polos norte y sur de
la esfera en la construccion anterior no tiene nada de especial, de
72 Aplicaciones Continuas
hecho podemos definir homeomorfismos como los anteriores uti-
lizando cualquier punto x0 ∈ Sn . Se deja a cargo del lector la
construccion.
6. Sea f : X ⊂ V → W una aplicacion continua. Sea S = graf(f) =
(x, f(x)) ∈ X × W : x ∈ X . Entonces X y graf(f) son
homeomorfos.
En efecto, sea ϕ : X → graf(f) dada por ϕ(x) = (x, f(x)) . Es
claro que ϕ es continua. Ahora, sea π : X×W → X la proyeccion
π(x,w) = x , es claro que π es continua y que ϕ−1 = π/ graf(f)
(restriccion de π al grafico de f ).
7. Sea X = Sn − pN , pS e Y = Sn−1 × R (cilindro (n − 1)–
dimensional). Entonces X e Y son homeomorfos.
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p•f(p)•
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la figura muestra la idea basica de como construir el homeomor-
fismo. Los calculos son sencillos y se dejan a cargo del lector.
Sergio Plaza 73
8. Sea f : Sn × R → Rn+1 − 0 la aplicacion dada por f(v, t) =
etv . Tenemos que f es un homeomorfismo, lo cual se prueba
facilmente. Indicacion: la inversa de f es f−1(x) =(
x||x|| , log(||x||)
).
Observacion. Si ϕ : X ⊂ V → Y ⊂ W es una aplicacion continua y
biyectiva, no necesariamente ϕ−1 : Y → X es continua. Por ejemplo
consideremos la aplicacion ϕ : ]−1,∞[→ R2 dada por ϕ(t) = (t3−t, t2) .
Tenemos que ϕ : ] − 1,∞ [→ ϕ( ] − 1,∞[ ) es una biyeccion continua,
pero ϕ−1 : ϕ( ]− 1,∞[ ) → ]− 1,∞[ no es continua en el punto (0, 1) ∈ϕ( ] − 1,∞[ ) . Para ver esto ultimo consideramos sucesiones (un)n∈N
y (vn)n∈N en ϕ( ] − 1,∞[ ) como muestra la figura, con limn→∞un =
limn→∞ vn = (0, 1) .
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un
vn
(0, 1)
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Es claro que ϕ−1(un) → 1 y ϕ−1(vn) → −1 , luego ϕ−1 no puede ser
continua en el punto (0, 1) .
Otro ejemplo del mismo tipo anterior es considerar f : [0, 2π[→ S1 =
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 dada por f(t) = (cos(t), sen(t)) . Se tiene
que f es biyectiva y continua, pero f−1 no es continua en el punto
74 Aplicaciones Continuas
(1, 0) ∈ S1
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un
vn
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Elegimos sucesiones (un)n∈N y (vn)n∈N , con limn→∞un = lim
n→∞ vn =
(1, 0) como muestra la figura. Se tiene que f−1(un) → 0 y f−1(vn) →2π , por lo tanto f−1 no es continua en (1, 0) .
Tenemos ahora la siguiente proposicion.
Proposicion 3.5 1. Si f : X ⊂ V → Y ⊂ W y g : Y ⊂ W →Z ⊂ U son homeomorfismos entonces g f : X → Z es un
homeomorfismo.
2. Si f : X → Y es un homeomorfismo entonces f−1 : Y → X es
un homeomorfismo.
Demostracion. Inmediata, se deja a cargo del lector.
3.3 Ejercicios
1. Para cada n > 1 se tiene que Rn−0 es homeomorfa a Sn−1×R .
Un homeomorfismo es dado por f : Rn−0 −→ Sn−1×R definido
por f(x) = ( 1||x||x, log(||x||)) . Su inverso f−1 : Sn−1 × R −→
Rn − 0 es definido por f−1(y, t) = ety .
Sergio Plaza 75
2. La aplicacion h : Dp × Dq −→ Dp+q definida por
h(x, y) =
||y||√||x||2 + ||y||2 (x, y) 0 < ||x|| 6 ||y||
||x||√||x||2 + ||y||2 (x, y) 0 < ||y|| 6 ||x||
0 x = y = 0
es un homeomorfismo. El lector puede mostrar una forma geometrica
de obtener esta formula.
3. Pruebe que si f : X → Y es un homeomorfismo entonces U ⊂ X
es un conjunto abierto si y solo si f(U) ⊂ Y es un conjunto
abierto.
4. Sea f : X → Y un homeomorfismo. Pruebe que para cada A ⊂ X
se tiene
(a) A es cerrado en X si y solo si f(A) es cerrado en Y .
(b) f(clausura(A)) = clausura(f(A)) .
(c) f(int(A)) = int(f(A)) .
(d) f |A : A → f(A) es un homeomorfismo.
5. Pruebe que la inversion inversion : Rn − 0 → Rn − 0 en
relacion a la esfera de centro en 0 y radio R , la cual es definida
por inversion(x) = Rx||x||2 es un homeomorfismo. Pruebe que
inversion deja invariante a la esfera Sn−1R = x ∈ Rn : 〈x, x〉 =
R2 .
6. Pruebe que una biyeccion f : R→ R es homeomorfismo si y solo
si es una funcion monotona.
76 Aplicaciones Continuas
7. Ilustre con un ejemplo lo siguiente: existen espacios homeomorfos
X e Y y una biyeccion continua f : X → Y que no es homeo-
morfismo.
8. Pruebe que el subconjunto de la esfera Sn ⊂ Rn+1 definido por las
inecuaciones x21 + x2
2 + · · ·+ x2k < x2
k+1 + · · ·+ x2n es homeomorfo
a Rn − Rn−k .
9. Espacio de Matrices con coeficientes reales. M = M(n ×m,R), con la topologıa inducida por la biyeccion ϕ : M(n ×m,R) → Rn·m , donde ϕ((aij)) = (a11, . . . , a1m, . . . , an1, . . . , anm) .
Pruebe que ϕ es un homeomorfismo.
10. Sea C el cuerpo de los numeros complejos, z = x + iy , x, y ∈ R .
Podemos identificar C con R2 , mediante la biyeccion z = x +
iy ←→ (x, y) . Sea Cn = C× . . .× C , el producto cartesiano de n
copias de C. Entonces, ϕ : Cn → R2n dado por ϕ(x1+iy1, . . . , xn+
iyn) = (x1, y1, . . . , xn, yn) en un homeomorfismo.
11. Espacio de Matrices con coeficientes complejos. Denote-
mos por M(n×m,C) el conjunto de las matrices de orden n×m
con coeficientes en C. Definamos ϕ : M(n × m,C) → R2nm,
ϕ((zk`)) = ϕ((xk` + iyk`)) = (x11, y11, . . . , xnm, ynm). Pruebe que
ϕ es un homeomorfismo.
12. Pruebe que un intervalo en R no puede ser homeomorfo a un disco
en R2 . Indicacion: usa un argumento de conexidad. ¿Se puede
extender argumento para probar que un disco en R2 no puede ser
homeomorfo a una bola en R3 ?
13. Sean A,B ⊂ R , con A 6= R y B 6= R . Si A es cerrado y B
Sergio Plaza 77
abierto. Pruebe que A y B no pueden ser homeomorfos.
14. Dar un ejemplo de una aplicacion continua f : X → Y y un sub-
conjunto A ⊂ Y conexo, tal que f−1(A) no es conexo. (existen
muchos de tales ejemplos, construya algunos explicıtamente).
15. Pruebe que la aplicacion f : R−0 → R definida por f(x) = 1/x
es continua.
16. Sean d, g, h : R2 → R funciones continuas. Se define la funcin
f : R2 → R por
F (x, y) = h(h(x, y), g(x, y)).
Demuestre que F es continua.
17. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:
(a) f(x, y) =
x
x + ysi x + y 6= 0
1 si x + y = 0
(b) f(x, y, z) = x3 ln(x3y + z) + sen(z2 + x)
18. Sea L : Rn → Rm una aplicacion lineal
(a) Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes
i. L es continua para todo punto de Rn
ii. L es continua en 0.
iii. ||L(x)|| es acotada si x ∈ B[0, 1] (bola unitaria cerrada).
(b) Demuestre que toda aplicacion lineal de Rn en Rm es con-
tinua.
78 Aplicaciones Continuas
item Defina limx→a
f(x) = L, en espacios normados. De un ejemplo.
19. Sea f : R2 → R la funcion definida por
f(x, y) =
xy
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0),
0
¿Es f continua?
20. Sea f : Rn → R , una aplicacion continua y tal que f(0) = 0 y
lim‖x‖→∞
f(x) = ∞ . Demuestre que [0,∞) ⊂ f(Rn).
21. Sea f : A → Rn una funcion continua. Sea xkk una sucesion
tal que limk→∞
xk = a y ||f(xk)|| 6 C para todo k ∈ N . Probar
que ||f(a)|| 6 C .
22. Pruebe que la funcion
f(x, y) =
xy√22 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
es continua en el origen.
23. Sea
f(x, y) =
x3 + y3
x− ysi x 6= y
0 si x = y
¿es f continua en el origen?.
24. Hallar el conjunto de puntos de donde las siguientes funciones no
son continuas:
(a) f(x, y) = ln(√
x2 + y2)
Sergio Plaza 79
(b) f(x, y) =1
(x− y)2
(c) f(x, y, z) =1
1− x2 − y2 − z2
25. Muestre que las siguientes funciones son discontinuas en el origen:
(a)
f(x, y) =
1x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
(b)
f(x, y) =
x4 − y4
x4 + y4si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
(c)
f(x, y) =
x2y2
x4 + y4si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
(d)
f(x, y) =
x2y
x3 + y3si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
(e)
f(x, y) =
x3 + y3
x− ysi x 6= y
0 si x = y
(f)
f(x, y) =
xy3
x2 + y6si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
26. Demuestre que las siguientes funciones son continuas en el origen:
80 Aplicaciones Continuas
(a)
f(x, y) =
x2y2
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
(b)
f(x, y) =
x3y3
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
27. Estudie la continuidad de las siguientes funciones en el origen:
(a)
f(x, y) =
2xyx2 − y2
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
(b)
f(x, y) =
exp( |x− 2y|
x2 − 4xy + 4y2
)si x 6= 2y)
0 si x = 2y
28. ¿Podemos definir apropiadamente las siguientes funciones, de modo
que resulten continuas en el origen?
(a) f(x, y) = |x|y
(b) f(x, y) = sen(
xy
)
(c) f(x, y) =x3 + y3
x2 + y2
(d) f(x, y) = x2 log(x2 + y2)
Capıtulo 4
Lımite de Aplicaciones
Estudiamos ahora el concepto de lımite para aplicaciones en espacios
vectoriales normados.
Definicion 4.1 Sea X ⊂ V . Sean f : X → W y a ∈ X ′ (es decir, a
es un punto de acumulacion de X ). Decimos que b ∈ W es el lımite de
f cuando x tiende a si, para cada ε > 0 dado, existe δ = δ(a, ε) > 0
(depende de a y ε ) tal que si x ∈ X y 0 < N1(x − a) < δ entonces
N2(f(x) − b) < ε . Usamos la notacion limx→a
f(x) = b o f(x) → b
cuando x → a .
Observacion. No necesariamente se tiene que a ∈ X , de hecho, f
puede no estar definida en a .
Ejemplo. Sea f : R−0 → R dada por f(x) = x sen(1/x) . Tenemos
que 0 ∈ R es un punto de acumulacion de R− 0 (dominio de f ), y
limx→0
f(x) = 0 pues 0 6 |x sen(1/x)| 6 |x| .
Ejemplo. lim(x,y)→(0,0)
xyx2 − y2
x2 + y2= 0 . Primero notemos que (0, 0) no
esta en el dominio de la funcion a la cual queremos calcular el lımite,
81
82 Lımite de Aplicaciones
pues f(x, y) = xy x2−y2
x2+y2 esta definida en R2−(0.0) , pero es claro que
(0, 0) es un punto de acumulacion del dominio de f .
Pongamos x = r cos(θ) e y = r sen(θ) (coordenadas polares en R2−(0, 0) ). Tenemos entonces que
∣∣∣∣xyx2 − y2
x2 + y2
∣∣∣∣ = |r2 sen(θ) cos(θ) cos(2θ)|
=r2
4sen(4θ)|
6 r2
4=
x2 + y2
4< ε ,
si x2
4 < ε2 e y2
4 < ε2 o equivalentemente si, |x| < √
2ε = δ y |y| < √2ε =
δ . Luego para ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que∣∣∣xy x2−y2
x2+y2 − 0∣∣∣ < ε
cuando |x| < δ y |y| < δ , como querıamos probar.
Teorema 4.1 Sean f : X ⊂ V → W y a ∈ X ′ . Si limx→a
f(x) existe
entonces es unico.
Demostracion. Supongamos que limx→a
f(x) existe y que se tiene limx→a
f(x) =
a y limx→a
f(x) = c . Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ X y
0 < N1(x−a) < δ implica que N2(f(x)−b) < ε/2 y N2(f(x)−c) < ε/2 .
De aquı tenemos que N2(b−c) 6 N2(b−f(x))+N2(f(x)−c) < ε . Como
ε > 0 es arbitrario, se sigue que N2(b− c) = 0 , de donde b = c .
Observacion. Si a ∈ X, es un punto de acumulacion de X entonces
f es continua en a si, y solo si, limx→a
f(x) = f(a) . La prueba de esto es
inmediata desde la definicion de continuidad de f en a .
Ahora caracterizamos el lımite de aplicaciones en termino del lımite
de sucesiones.
Teorema 4.2 Sea f : X ⊂ V → W y sea a ∈ X ′ un punto de
acumulacion de X . Entonces limx→a
f(x) = b si, y solo si, para cada
Sergio Plaza 83
sucesion (xn)n∈N en X , con xn 6= a para todo n ∈ N y limn→∞xn = a ,
se tiene que limn→∞ f(xn) = b .
Demostracion. Si limx→a
f(x) = b entonces para cada ε > 0 dado, existe
δ > 0 tal que si x ∈ X y 0 < N1(x−a) < δ entonces N2(f(x)−b) < ε .
Ahora, sea (xn)n∈N una sucesion en X , con xn 6= a para todo n ∈ N y
limn→∞xn = a . Correspondiente a δ existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica
N1(xn − a) < δ , luego N2(f(xn)− b) < ε , de donde limn→∞ f(xn) = b .
Recıprocamente, si la condicion se cumple y limx→a
f(x) 6= b . Luego,
existe ε > 0 tal que para cada δ > 0 se tiene que x ∈ X , con 0 <
N1(x−a) < δ , implica N2(f(x)− b) > ε . Tomando para cada k ∈ N el
numero δk = 1/k , obtenemos una sucesion (xk)k∈N en X , con xk 6= a
para todo k ∈ N y 0 < N1(xk−a) < 1/k , luego se tiene N2(f(xk)−b) >ε , es decir, hemos construido una sucesion (xk)k∈N en X , con xk 6= a
para todo k ∈ N , tal que limk→∞
xk = a , pero N2(f(xk)−b) > ε , de donde
limk→∞
f(xk) 6= b . Esto es una contradiccion, y la prueba del teorema esta
completa.
Como corolario de la prueba de la segunda parte del teorema anterior,
tenemos la siguiente proposicion.
Proposicion 4.1 Sean f : X ⊂ V → W y a ∈ X ′ . Si para cada
sucesion (xk)k∈N en X , con xk 6= a para todo k ∈ N y limk→∞
xk = a ,
se tiene que limk→∞
f(xk) = b , y b no depende de la sucesion elegida.
Entonces limx→a
f(x) = b .
Demostracion. Directa desde la prueba de la segunda parte del teo-
rema anterior.
Teorema 4.3 Sen f : X ⊂ V → V1 × · · · × Vn y a ∈ X ′ . Entonces
84 Lımite de Aplicaciones
limx→a
f(x) = b = (b1, . . . , bn) si, y solo si, limx→a
fi(x) = bi para cada
i = 1, . . . , n (aquı fi = πi f ).
Demostracion. En V1 × · · · × Vn tomamos la norma del maximo
NM (x1, . . . , xn) = maxN1(x1), . . . , Nn(xn) .
(=⇒) Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ X y 0 < N(x − a) < δ
implica NM (f(x)−b) < ε . Ahora, f(x)−b = (f1(x)−b1, . . . , fn(x)−bn) ,
luego si NM (f(x)− b) = maxN1(f1(x)− b1), . . . , Nn(fn(x)− bn) < ε
se sigue que Ni(fi(x) − bi) < ε , es decir, limx→a
fi(x) = bi para todo
i = 1, . . . , n .
(⇐=) Ahora, para cada ε > 0 , existe δ > 0 tal que si x ∈ X y
0 < N(x − a) < δ entonces Nj(fj(x) − bj) < ε ( j = 1, . . . , n). De
aquı se sigue que NM (f(x) − b) < ε , es decir, limx→a
f(x) = b . Lo que
completa la prueba.
Teorema 4.4 Sean f : X ⊂ V → W , g : Y ⊂ W → Z , con
f(X) ⊂ Y , y sean a ∈ X ′ y b ∈ Y ′ . Entonces
i) si limx→a
f(x) = b y g es continua en b (en particular, b ∈ Y ) en-
tonces limx→a
(g f)(x) = g(b) , es decir, limx→a
g(f(x)) = g( limx→a
f(x)) ,
ii) si limx→a
f(x) = b , limy→b
g(y) = c , y x 6= a , implica que f(x) 6= b .
Entonces limx→a
g f(x) = c .
Demostracion. i) Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si y ∈ Y , con
N2(y − b) < δ entonces N3(g(y) − g(b)) < ε . Correspondiente a ese
δ , existe η > 0 tal que si x ∈ X , con 0 < N1(x − a) < η , entonces
N2(f(x)− b) < δ , luego N3(g(f(x))− g(b)) < ε , esto es, limx→a
g(f(x)) =
g(b) .
ii) Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si y ∈ Y , con 0 < N2(y − b) < δ ,
entonces N3(g(y) − c) < ε . Correspondiente a ese δ existe η > 0 tal
Sergio Plaza 85
que si x ∈ X , con 0 < N1(x − a) < η , entonces N2(f(x) − b) < δ , y
como x 6= a implica que f(x) 6= b , se tiene que 0 < N2(f(x)− b) < δ
cuando 0 < N1(x− a) < η , y por lo tanto N3(g(fx))− c) < ε , es decir,
limx→a
g(f(x)) = c . Lo que completa la prueba.
Teorema 4.5 Sean f, g : X ⊂ V → W , α : X → R , y a ∈ X ′ . Si
limx→a
f(x) = b , limx→a
g(x) = c , y limx→a
α(x) = α entonces
a) limx→a
(f(x)± g(x)) = b± c = limx→a
f(x)± limx→a
g(x) ,
b) limx→a
α(x)f(x) = αb = limx→a
α(x) limx→a
f(x) ,
c) limx→a
I(f(x), g(x)) = I(b, c) = I( limx→a
f(x), limx→a
g(x)) , donde I es
un producto interno en W . En particular, si NI(w) =√
I(w, w)
es la norma inducida por I , entonces limx→a
NI(f(x)) = NI(b) =
NI( limx→a
f(x)) .
Demostracion. a) Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ X , con
0 < N1(x − a) < δ , implica N2(f(x) − b) < ε y N2(g(x) − c) < ε .
Ahora, N2((f(x)±g(x))−(b±c)) 6 N2(f(x)−b)+N2(g(x)−c) < 2ε si
x ∈ X , con 0 < N1(x−a) < δ . Por lo tanto, limx→a
(f(x)± g(x)) = b± c .
b) Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ X , con 0 < N1(x−a) < δ , en-
tonces N2(f(x)−b) < ε y |α(x)−α| < ε . Ahora, N2(α(x)f(x)−αb) =
N2(α(x)f(x)−α(x)b+α(x)b−αb) 6 |α(x)|N2(f(x)−b)+N2(b)|α(x)−α| .Como lim
x→aα(x) existe, se sigue que existe una constante M > 0 tal que
|α(x)| 6 M para todo x ∈ X , con 0 < N1(x − a) < δ . Por lo tanto,
si x ∈ X y 0 < N1(x − a) < δ se sigue que N2(α(x)f(x) − αb) 6MN2(f(x)− b)N(b)|α(x)−α| < (M +N(b))ε , es decir, lim
x→aα(x)f(x) =
αb .
c) Se sigue de la proposicion anterior, pues I(f(x), g(x)) = I (f, g))(x) ,
e I es continua, y existe limx→a
(f(x), g(x)) = (b, c) .
86 Lımite de Aplicaciones
Esto completa la prueba del teorema.
Observaciones.
1. Si limx→a
(f(x) ± g(x)) existe, entonces no necesariamente existen
limx→a
f(x) o limx→a
g(x) . Por ejemplo consideremos f, g : R− 0 →R las aplicaciones dadas por f(x) = 1 + sen(1/x) y g(x) =
− sen(1/x) . Se tiene limx→0
f(x) y limx→0
g(x) no existen, pero f(x)+
g(x) = 1 para todo x ∈ R− 0 , por lo tanto existe limx→0
(f(x) +
g(x)) = 1 .
2. Si limx→a
α(x)f(x) existe, no necesariamente existen limx→a
f(x) o
limx→a
α(x) . Por ejemplo, consideremos las aplicaciones α : R → R
dada por α(x) = x y f : R − 0 → R2 dada por f(x) =
(sen(1/x), ex/x) . Se tiene que limx→0
f(x) no existe, y por otra parte
limx→0
α(x)f(x) = limx→0
(x sen(1/x), ex) = (0, 1) existe.
Teorema 4.6 Sean f, g : X ⊂ V → R y a ∈ X ′ . Si limx→a
f(x) = b ,
limx→a
g(x) = c , y f(x) 6 g(x) para todo x ∈ X − a , entonces b 6 c .
Demostracion. Supongamos por el contrario que c < b . Tomando
ε = (b− c)/2 se tiene que ε > 0 , y por lo tanto existe δ > 0 tal que si
x ∈ X y 0 < N1(x− a) < δ entonces |f(x) − b| < ε y |g(x) − c| < ε ,
esto es, f(x) ∈ ]b−ε, b+ε[ y g(x) ∈ ]c−ε, c+ε[ . Como c+ε = (b+c)/2
y b − ε = (b + c)/2 , se sigue que f(x) > g(x) para todo x ∈ X , con
0 < N1(x−a) < δ . Esto es una contradiccion y la prueba esta completa.
Teorema 4.7 Sea f : X ⊂ V → Rm una aplicacion uniformemente
continua. Entonces para cada a ∈ X ′ existe limx→a
f(x) .
Demostracion. Sea a ∈ X ′ entonces existe una sucesion (xk)k∈N en
X − a , con limk→∞
xk = a , por lo tanto (xk)k∈N es una sucesion de
Sergio Plaza 87
Cauchy (por ser convergente). Luego, (f(xk))k∈N es una sucesion de
Cauchy en Rm (pues siendo f uniformemente continua, la imagen por
f de sucesiones de Cauchy en X son sucesiones de Cauchy en Rm ).
Como en Rm cada sucesion de Cauchy es convergente, se sigue que
existe limk→∞
f(xk) . Sea b = limk→∞
f(xk) . Vamos a probar ahora que b
no depende de la sucesion elegida. De ser esto verdadero, tendremos que
limx→a
f(x) existe por Proposicion anterior.
Sea (yk)k∈N otra sucesion en X−a , con limk→∞
yk = a . Supongamos
que limk→∞
f(yk) = c 6= b . Definamos la sucesion (zk)k∈N en X − apor z2k = xk y z2k+1 = yk . Se tiene que lim
k→∞zk = a , y la sucesion
(f(zk))k∈N , la cual es de Cauchy en Rm , posee dos subsucesiones que
convergen a dos puntos distintos, a saber (f(z2k))k∈N = (f(xk))k∈N la
cual converge a b y (f(z2k+1))k∈N = (f(yk))k∈N la cual converge a c .
Esto es una contradiccion.
Nota. Sean f : X ⊂ V → W y a ∈ X ′ . Si limx→a
f(x) = b entonces para
cada u ∈ V , con u 6= 0 , se tiene que limt→0
f(a + tu) = b . Mas general,
si J ⊂ R es un intervalo abierto con 0 ∈ J − J , y α : J → V es
una aplicacion continua con α(t) 6= a para todo t ∈ J y limt→0
α(t) = a
entonces limt→0
f(α(t)) = b . La demostracion de esto es facil y se deja a
cargo del lector.
Una aplicacion importante de este hecho es que si, para algun u ∈ V ,
con u 6= 0 se tiene que limt→0
f(a + tu) no existe entonces limx→a
f(x) no
existe. Mas general, si J ⊂ R es un intervalo, con 0 ∈ J − J , y
α : J ⊂ R → V es una aplicacion continua, con α(t) 6= a para todo
t ∈ J y limt→0
α(t) = a . Si limt→0
f(α(t)) no existe entonces limx→a
f(x) no
existe.
88 Lımite de Aplicaciones
Tambien tenemos que si para u, v ∈ V los lımites limt→0
f(a + tu) 6=limt→0
f(a+ tv) entonces limx→a
f(x) no existe. Mas general, si J ⊂ R es un
intervalo, con 0 ∈ J−J , y α, β : J ⊂ R→ V son aplicaciones continuas,
con α(t) 6= a , β(t) 6= a para todo t ∈ J y limt→0
α(t) = limt→0
β(t) = a . Si
limt→0
f(α(t)) 6= limt→0
f(β(t)) entonces limx→a
f(x) no existe.
Ejemplo. Sea f : R2 − (0, 0) → R dada por f(x, y) = xyx2+y2 .
Entonces f no es uniformemente continua en todo conjunto X ⊂ R2
tal que (0, 0) ∈ X ′ , pues lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) no existe.
Para ver que lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) no existe usamos la observacion arriba.
Sea u = (a, a) ∈ R2 − (0, 0) . Se tiene que limt→0
f((0, 0) + t(a, a)) =
limt→0
t2a2
2t2a2=
12
, ahora tomando u = (1, 0) se tiene que limt→0
f((0, 0) +
t(1, 0)) = limt→0
f(t, 0) = limt→0
0t2 + 0
= 0 .
Teorema 4.8 Sea f : X ⊂ V → Rm una aplicacion uniformemente
continua. Entonces existe una aplicacion uniformemente continua f :
X → Rm tal que f/X = f (esto es, toda aplicacion uniformemente
continua puede ser extendida a una aplicacion uniformemente continua
definida en la clausura de su conjunto de definicion).
Demostracion. Como X = X ∪X ′ , y para cada x ∈ X ′ −X se tiene
que limx→x
f(x) existe, definimos f(x) = limx→x
f(x) . Es claro que f(x) =
f(x) para cada x ∈ X . Luego, f : X → Rm satisface f/X = f .
Ademas es claro que f esta bien definida, por unicidad del lımite.
Vamos a probar ahora que f es uniformemente continua. Como f
es uniformemente continua en X , dado ε > 0 existe δ > 0 tal que
si x, y ∈ X , con N(x − y) < δ , entonces ||f(x) − f(y)|| < ε . Sean
x, y ∈ X tales que N(x− y) < δ , entonces existen sucesiones (xk)k∈N
e (yk)k∈N en X , con limk→∞
xk = x y limk→∞
yk = y . Ahora, como N(x−
Sergio Plaza 89
y) < δ se tiene que existe k0 ∈ N tal que para cada k > k0 se tiene
que N(xk − yk) < δ , y por lo tanto ||f(xk) − f(yk)|| < ε/2 . Ahora,
||f(x) − f(y)|| = || limk→∞
f(xk) − limk→∞
f(yk)|| = limk→∞
||f(xk) − f(yk)|| 6ε/2 < ε , esto es, si x, y ∈ X son tales que N(x − y) < δ entonces
||f(x)− f(y)|| < ε , y la prueba esta completa.
Nota. Sea (a, b) ∈ R2 , supongamos que f es una funcion definida en
una vecindad de (a, b) a valores reales, entonces el lımite limy→b
f(x, y) si
existe, es una funcion de x , digamos φ(x) . Si ademas, existe limx→a
φ(x)
y es igual a α , escribimos limx→a
limy→b
f(x, y) = α , y decimos que α es el
lımite iterado de f cuando y → b y x → a . De modo analogo se define
el lımite iterado limy→b
limx→a
f(x, y) = β , cuando existe limx→a
f(x, y) = ψ(y)
y existe limy→b
ψ(y) = β . Observamos que esto puede extenderse de modo
natural a funciones de mas de dos varias variable.
Ahora, si f : X ⊂ R2 → R y (a, b) ∈ X ′ , entonces la existen-
cia de lim(x,y)→(a,b)
f(x, y) no implica la existencia de los lımites iterados
limy→b
limx→a
f(x, y) y limx→a
limy→b
f(x, y) . Observemos tambien que la existencia
de los lımites iterados, aun cuando sean iguales, no implican la existen-
cia del lımite de una funcion, como se muestra en los ejemplos a seguir.
Es claro que si los lımites iterados no existen entonces no existe el lımite
de una funcion, esto ultimo se usa para probar la no existencia de un
lımite.
Ejemplos.
1. Sea f : R2−(0, 0) → R definida por f(x, y) = xyx2+y2 . Tenemos
que limy→0
limx→0
f(x, y) = limy→0
0 = 0 y limx→0
limy→0
f(x, y) = limx→0
0 = 0 ,
pero lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) no existe, como puede ser verificado usando
caminos del tipo y = mx .
90 Lımite de Aplicaciones
2. Sea f(x, y) = y−xy+x
1+x1+y (determine el dominio de f ), entonces
limx→0
limy→0
f(x, y) = − limx→0
1 + x
1= −1 y lim
y→0limy→0
f(x, y) = limy→0
11 + y
=
1 . Como los dos lımites iterados son distintos se tiene que no existe
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) .
3. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x sen(1/y) + y sen(1/x) si xy 6= 0
0 si xy = 0 .
Tenemos que limy→0
f(x, y) y limx→0
f(x, y) no existen, como es facil
de ver, por lo tanto limx→0
limy→0
f(x, y) y limy→0
limx→0
f(x, y) no existen.
Por otra parte, afirmamos que lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0 .
En efecto, tenemos que∣∣∣∣y sen
(1y
)+ y sen
(1x
)∣∣∣∣ 6 |x|+ |y| 6 2√
x2 + y2 6 ε
cuando x2 6 ε2
4 e y2 6 ε2
4 o de otra forma |x| 6 ε2 y |y| 6 ε
2 .
Luego para ε > 0 dado, existe δ = ε2 , de modo que tenemos
|x sen(1/y) + y sen(1/x)| 6 ε cuando |x| 6 δ y |y| 6 δ , lo que
prueba que lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0
4.1 Ejercicios
1. Determine si las siguientes funciones tienen lımite en los puntos
que se indican
2. Demuestre que
(a) lim(x,y)→(0,0)
√x2y2 + 1− 1x2 + y2
= 0 ,
Sergio Plaza 91
(b) lim(x,y)→(0,0)
(1|x| +
1|y|
)= ∞ ,
(c) lim(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y2= 0 ,
(d) lim(x,y)→(0,0)
1xy
sen(x2y + xy2) = 0 .
3. Muestre que no existen los lımites en los siguientes caso:
(a) lim(x,y)→(0,0)
2xy
x2 + y2,
(b) lim(x,y)→(0,0)
xy3
x2 + y2,
(c) lim(x,y)→(0,0)
x2y2
x2y2 + (x2 − y2)2,
(d) lim(x,y)→(0,0)
x2 + y2
x− y.
4. Estudie la existencia de los lımites de las siguientes funciones en
el punto indicado.
(a) f(x, y) = 2xyx2 − y2
x2 + y2en (0, 0) ,
(b) f(x, y) =sen(x)− sen(y)
x− yen (0, 0)
(c) f(x, y) =xy2
x2 + y4en (0, 0) .
5. Calcular si es posible, los siguientes lımites
(a) lim(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)x2 + y2
(b) lim(x,y)→(0,0)
exy − 1x
(c) lim(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
(d) lim(x,y)→(0,0)
x2y
x2 + y2
92 Lımite de Aplicaciones
(e) Calcular lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) , donde f(x, y) =
1 si x 6 0 o y 6 0
0 en otro caso.
(f) lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2 + 2
(g) lim(x,y)→(0,0)
exy
x + 1
(h) lim(x,y)→(0,0)
|y|√
x2 − y2
x2 + y2
(i) lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
(j) lim(x,y)→(0,0)
xy2
(x2 + y2)√
x2 + y2
(k) lim(x,y)→(0,0)
x2 + y3
x− y
(l) lim(x,y,z)→(0,0,0)
sen(x2 + y2 + z2)x
(m) lim(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y
(n) lim(x,y)→(0,0)
x6y3
x12 + y6
(o) lim(x,y)→(0,0)
x3y3
x2 + y2
(p) lim(x,y)→(0,0)
senxy
x
6. Dada la funcion f(x, y) = (x−3)2+5(x−3)+y2
(x−3)2+y2 ¿existe lim(x,y)→(3,0)
f(x, y) ?
7. Usando de la definicion de lımite pruebe que lim(x,y)→(1,2)
(x+y2) = 5 .
8. Demuestre que que los lımites siguientes existe
(a) lim(x,y)→(0,0)
xy√x2 + y2
,
(b) lim(x,y)→(0,0)
x3y3
x2 + y2,
Sergio Plaza 93
(c) lim(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2,
(d) lim(x,y)→(0,0)
x4 + y4
x2 + y2.
9. Demuestre que:
(a) lim(x,y)→(0,0)
x sen(x2 + y2)x2 + y2
= 0 ,
(b) lim(x,y)→(2,1)
arcsen(xy − 2)arctang(3xy − 6)
=13
,
10. Demuestre que lim(x,y)→(0,1)
arctang(y
x
)no existe.
11. Pruebe que
(a) lim(x,y)→(4,π)
x2 sen(y
x
)= 8
√2 ,
(b) lim(x,y)→(0,1)
e−1/(x2(y−1)2) = 0 ,
(c) lim(x,y)→(0,1)
x + y − 1√x−√1− y
= 0 , donde x > 0 e y < 1 .
12. Sea f(x, y) =xy
x2 + y2, definida en R2 − (0, 0) . Pruebe que
limy→0
limx→0
f(x, y) = limx→0
limy→0
f(x, y) existen, pero no existe lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) .
13. Sea f(x, y) =y − x
y + x
1 + x
1 + y. Pruebe que lim
x→0limy→0
f(x, y) = −1 y
que limy→0
limx→0
f(x, y) = 1 . Deduzca de esto que no existe lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) .
14. Muestre que los lımites iterados existen en el origen y son iguales,
pero no existe el lımite para la siguiente funcion
f(x, y) =
1 si xy 6= 0
0 si xy = 0 .
94 Lımite de Aplicaciones
15. Muestre que lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) y limy→0
limx→0
f(x, y) existen, pero no
existe limx→0
limy→0
f(x, y) , donde
f(x, y) =
y + x sen(
1y
)si y 6= 0
0 si y = 0 .
16. Demuestre que los lımites iterados existen, pero no existe el lımite
cuando (x, y) → (0, 0) para las siguientes funciones:
(a) f(x, y) =x− y
x + y
(b) f(x, y) =x2y2
x4 + y4 − x2y2
(c)
f(x, y) =
x3 + y3
x− ysi x 6= y
0 si x = y
(d)
f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2si x 6= y
0 si x = y
17. Muestre que existen el lımite y los lımites iterados cuando (x, y) →(0, 0) existen para
f(x, y) =
xyx2 − y2
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
18. Muestre que lim(x,y)→(0,0)
2xy2
x2 + y4no existe.
19. Muestre que lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) no existe, donde
Sergio Plaza 95
f(x, y) =
x2y
x4 + y2si x4 + y2 6= 0
0 si (x, y) = (0, 0)
20. Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y2= 0 .
21. Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
1xy
sen(x2y + xy2) = 0 .
96 Lımite de Aplicaciones
Capıtulo 5
Propiedades Basicas de las
Aplicaciones Continuas
En este capıtulo estudiaremos algunas propiedades basicas de las apli-
caciones continuas
Teorema 5.1 Sea f : X ⊂ Rm → Rn una aplicacion continua y sea
K ⊂ X un conjunto compacto. Entonces
a) f(K) ⊂ Rn es un conjunto compacto.
b) f |K es uniformemente acotada, es decir, existe una constante
M > 0 tal que ||f(x)|| 6 M para todo x ∈ K .
c) f |K es una aplicacion cerrada, es decir, si C ⊂ K es un conjunto
cerrado en K entonces f(C) es un conjunto cerrado en f(K) .
d) Si n = 1 . Entonces f |K alcanza su maximo y su mınimo en K ,
es decir, existen x0, x1 ∈ K tales que f(x0) 6 f(x) 6 f(x1) para
todo x ∈ K .
97
98 Propiedades Basicas de las Aplicaciones Continuas
e) Si n = 1 y f(x) > 0 para todo x ∈ K entonces existe ε > 0 tal
que f(x) > ε para todo x ∈ K .
Demostracion. a) Vamos a demostrar primero que f(K) es cerra-
do. Sea y ∈ Rn un punto adherente a f(K) , entonces existe una
sucesion (yk)k∈N en f(K) , con limk→∞
yk = y . Como yk ∈ f(K) , existe
xk ∈ K tal que f(xk) = yk para todo k ∈ N . Luego, tenemos una
sucesion (xk)k∈N en K , por lo tanto existe una subsucesion (xkj )j∈N
de (xk)k∈N , con limj→∞
xkj = x , y x ∈ K . De aquı, y = limj→∞
f(xkj ) =
f( limj→∞
xkj) = f(x) , es decir, y = f(x) , con x ∈ K , por lo tanto
y ∈ f(K) , en consecuencia f(K) contiene todos sus puntos adherentes,
y por lo tanto es cerrado.
Ahora demostraremos que f(K) es acotado. Supongamos que no,
entonces existen xk ∈ K tales que ||f(xk)|| > k, para todo k ∈ N , es
decir, (f(xk))k∈N no posee subsucesiones convergentes. Ahora, como
xk ∈ K para todo k ∈ N , la sucesion (xk)k∈N posee una subsucecion
convergente, digamos (xkj )j∈N , con limj→∞
xkj = x , y x ∈ K . Por la con-
tinuidad de f se tiene que f(x) = f( limj→∞
xkj ) = limj→∞
f(xkj ) , es decir,
(f(xkj ))j∈N es una subsucesion de (f(xk))k∈N la cual es convergente.
Esto es una contradiccion, por lo tanto f(K) es acotado.
c) Sea C ⊂ K un conjunto cerrado. Como K es compacto, en particular
es acotado, por lo tanto C es acotado, es decir, C es cerrado y acotado,
por lo tanto compacto. De la parte a) se tiene que f(C) ⊂ f(K) es
compacto, por lo tanto es cerrado.
d) Si n = 1 , entonces f : X ⊂ Rm → R . Como K ⊂ X es compacto,
se tiene que f(K) ⊂ R es compacto, por lo tanto cerrado y acotado
en R . Luego, existen y0 = inff(x) : x ∈ K e y1 = supf(x) :
x ∈ K , y es claro por la definicion de ınfimo y supremo que y0 e y1
Sergio Plaza 99
son puntos adherente a f(K) , luego y0, y1 ∈ f(K) , de donde existen
x0, x1 ∈ K tales que f(x0) = y0 y f(x1) = y1 . Ademas, es claro que
f(x0) 6 f(x) 6 f(x1) para todo x ∈ K .
b) Sean πi : Rm → R las proyecciones πi(x1, . . . , xm) = xi (i =
1, . . . , n ). Estas aplicaciones son continuas. Luego, para cada i =
1, . . . , n se tiene que fi(K) = (πi f)(K) es un conjunto compacto en
R , y fi alcanza su maximo y su mınimo en K . Por lo tanto, fi(K) =
[ci min, ci max] , donde ci min = inffi(x) : x ∈ K y ci max = supfi(x) :
x ∈ K ( ci min, ci max ∈ f(K)). Sea ci ∈ R tal que [ci min, ci max] ⊂[−ci, ci] . Entonces f(K) ⊂ π−1
1 ([−c1, c1])∩· · ·∩π−1n ([−cn, cn]) . En Rn
tomamos la norma del maximo, se tiene entonces que f(K) ⊂ B[0, c] ,
donde c = maxc1, . . . , cn y como vimos anteriormente B[0, c] =
[−c, c]× · · · × [−c, c] .
e) Tenemos que f : X ⊂ Rm → R . Sea ε = inff(x) : x ∈ K .
Afirmamos que ε > 0 . Si no, existe x0 ∈ K tal que 0 = f(x0) 6 f(x)
para todo x ∈ K , esto es una contradiccion. Por lo tanto, ε > 0 , y es
claro que f(x) > ε para todo x ∈ K .
Esto completa la prueba de teorema.
Ejemplos. La parte d) del Teorema anterior es falsa si K no es com-
pacto. Por ejemplo, la aplicacion f : ]0,∞[→ ]0,∞[ dada por f(x) =
1/x , se tiene que f es continua y no alcanza ni su mınimo ni su maximo
en el dominio de definicion.
La parte e) es falsa si K no es compacto. Por ejemplo consideremos
la aplicacion f : ]0,∞[→ ]0,∞[ dada por f(x) = 1/x . Es claro f es
continua y f(x) > 0 para todo x ∈ ]0,∞[ , pero no existe ε > 0 tal que
f(x) > ε para todo x ∈ ]0,∞[ .
100 Propiedades Basicas de las Aplicaciones Continuas
Corolario 5.2 Sea K ⊂ Rm un conjunto compacto, y sea f : K →Rn una aplicacion continua e inyectiva. Entonces f−1 : f(K) → K
es continua (es decir, f : K → f(K) es un homeomorfismo desde el
conjunto compacto K en el conjunto compacto L = f(K) ).
Demostracion. Como f es inyectiva, se sigue que f : K → f(K) es
una biyeccion, por lo tanto existe f−1 : f(K) → K . Sea C ⊂ K un
conjunto cerrado, entonces como (f−1)−1(C) = f(C) , y siendo f con-
tinua se sigue que f(C) es cerrado en f(K) , por lo tanto (f−1)−1(C)
es cerrado, y en consecuencia f−1 es continua.
Corolario 5.3 Sea C ⊂ Rm un conjunto cerrado, y sea f : C → Rn
una aplicacion continua. Si F ⊂ f(C) es tal que f−1(F ) es un conjunto
cerrado en C entonces F es un conjunto cerrado.
Demostracion. Como f : C → f(C) es sobreyectiva, se sigue que
f(f−1(F )) = F es cerrado en f(C) , pues f es continua y f−1(F ) ⊂ C
cerrado implican el resultado.
Corolario 5.4 Sea K ⊂ Rm un conjunto compacto, y sea f : K →Rn una aplicacion continua. Entonces una aplicacion g : f(K) → Rp
es continua si, y solo si, la aplicacion compuesta g f : K → Rp es
continua.
Demostracion. (=⇒) Inmediata, pues f y g continuas implican que
g f es continua.
(⇐=) Sea C ⊂ Rp un conjunto cerrado. Se tiene que (g f)−1(C) ⊂ K
es un conjunto cerrado, por lo tanto compacto. Luego, f((gf)−1(C)) ⊂f(K) es un conjunto compacto, en particular, cerrado. Tenemos por
otra parte que f((g f)−1(C)) = g−1(C) , lo que finaliza la prueba.
Sergio Plaza 101
Ejemplo. Sea g : [0, 2π] → Rn una aplicacion continua, con g(0) =
g(2π) . Sea S1 = (cos(θ), sen(θ)) : 0 6 θ 6 2π la esfera unitaria en
R2 . Definamos f : S1 → Rn por f(cos(θ), sen(θ)) = g(θ) . Es claro que
f esta bien definida. Ahora, sea exp : [0, 2π] → S1 la aplicacion dada
por exp(θ) = (cos(θ), sen(θ)) . Es claro que exp es continua. Como
f exp = g se tiene que f es continua.
Teorema 5.5 Sea K ⊂ Rm un conjunto compacto, y sea f : K →Rn una aplicacion continua. Entonces f es uniformemente continua
en K .
Demostracion. Supongamos que f no es uniformemente continua
en K . Entonces existe ε > 0 tal que para cada k ∈ N existen
xk, yk ∈ K , con ||xk − yk|| < 1/k y ||f(xk) − f(yk)|| > ε . Esto
define sucesiones (xk)k∈N e (yk)k∈N en K . Tomando subsucesiones,
si es necesario, podemos suponer que existe limk→∞
yk = y0 , tenemos que
y0 ∈ K . Ahora, como para todo k ∈ N se tiene que ||xk − yk|| < 1/k ,
se sigue que limk→∞
xk = y0 . Por la continuidad de f tenemos que ε 6lim
k→∞||f(xk)−f(yk)|| = ||f( lim
k→∞xk)−f( lim
k→∞yk)|| = ||f(y0)−f(y0)|| = 0 ,
esto es una contradiccion, y la prueba esta completa.
Teorema 5.6 La imagen de un conjunto conexo S ⊂ V por una apli-
cacion continua f : V → W es un conjunto conexo.
Demostracion. Si f(S) no es conexo, existe un conjunto abierto y
cerrado B ⊂ f(S) , no vacıo y diferente de f(S) . Considerando el
conjunto A = f−1(B) ∩ S , se tiene que A es abierto y cerrado en
S , pues f es continua. Ademas, A 6= S y A 6= ∅ , pues B 6= ∅ y
f : S → f(S) es sobreyectiva. Esto contradice la conexidad de S .
102 Propiedades Basicas de las Aplicaciones Continuas
Teorema 5.7 Sea S ⊂ V un conjunto conexo, y sea f : V → R una
aplicacion continua. Entonces f(S) es un intervalo.
Demostracion. Por la proposicion anterior, tenemos que f(S) ⊂ R
es un conjunto conexo. Como los unicos conjunto conexo de R son los
intervalos, se sigue el resultado.
5.1 Caminos
Sea X ⊂ V un conjunto no vacıo. Un camino en X es una aplicacion
continua α : [0, 1] → X (de hecho podemos tomar cualquier intervalo
[a, b] en R en vez del intervalo [0, 1] , pero los resultados que vamos a
demostrar no varıan en nada). Los puntos a = α(0) y b = α(1) son
llamados los puntos extremos del camino α , a = α(0) es el punto inicial
y b = α(1) es el punto final, y decimos que α une a con b .
Definicion 5.1 Decimos que X ⊂ V es conexo por caminos si, dados
dos puntos cualquiera a, b ∈ X existe un camino α : [0, 1] → X con
α(0) = a y α(1) = b .
Ejemplos.
1. Todo espacio vectorial normado V es conexo por caminos.
En efecto, sean a, b ∈ V , entonces α : [0, 1] → V dado por
α(t) = (1− t)a+ tb es un camino que une a con b . La imagen de
este camino α , α([0, 1]) , es el segmento de recta que une a con
b .
2. Todo subconjunto convexo de un espacio vectorial normado es
conexo por caminos. En particular, toda bola (abierta o cerrada)
es un conjunto conexo por caminos.
Sergio Plaza 103
3. R − 0 no es conexo por caminos, pues dados x, y ∈ R , con
x < 0 < y , no existe ningun camino en R− 0 que los una.
4. Decimos que E ⊂ V es estrellado en p ∈ E si, para cada x ∈ E
se tiene que el segmento de recta (1− t)p + tx : t ∈ [0, 1] , que
une p y x esta contenido en E .
Afirmamos que todo conjunto estrellado es conexo por caminos.
En efecto, primero definimos el producto de caminos como sigue:
sean α, β : [0, 1] → X dos caminos, con α(1) = β(0) (es decir,
donde α termina comienza β ). El camino producto, denotado
por α ∗ β , es dado por
(α ∗ β)(t) =
α(2t) 0 6 t 6 1/2
β(2t− 1) 1/2 6 t 6 1 .
Notemos que para t = 1/2 se tiene que α(2 · 1/2) = α(1) y
β(2 · 1/2− 1) = β(0) , como α(1) = β(0) , para mostrar que α ∗ β
es continuo usamos el siguiente lema.
Lema 5.1 (Gluing Lemma) Si X = A ∪ B , con A y B, conjuntos
abiertos (respectivamente, cerrados), y f : A → W , g : B → W son
aplicaciones continuas tales que f/(A ∩ B) = g/(A ∩ B) , entonces la
aplicacion h : X → W definida por
h(x) =
f(x) si x ∈ A
g(x) si x ∈ B
es continua.
Demostracion. Sea O ⊂ W un conjunto abierto. Entonces h−1(O) =
h−1(O) ∩ (A ∪B) = (h−1(O) ∩ A) ∪ (h−1(O) ∩B) = f−1(O) ∪ g−1(O) ,
104 Propiedades Basicas de las Aplicaciones Continuas
como f y g son continuas, se sigue que f−1(O) ∩ A es un conjunto
abierto en A y g−1(O) ∩B es un conjunto abierto en B , y como A y
B son conjuntos abiertos se sigue que f−1(O) y g−1(O) son conjunto
abiertos en X , por lo tanto h−1(O) es un conjunto abierto, y la prueba
del lema esta completa en este caso. Si A y B son conjuntos cerrados,
la prueba es completamente analoga.
Nota. En el lema anterior puede ocurrir que A ∩ B sea el conjunto
vacıo.
Del lema se sigue que el camino producto es continuo.
Ahora, si E es estrellado en p ∈ E . Dados x, y ∈ E , los caminos
α(t) = (1− t)x + tp y β(t) = (1− t)p + ty une, respectivamente, x con
p , y p con y . Por lo tanto el camino producto α ∗ β une x con y .
Ejemplos de conjuntos estrellados son las bolas, estas son estrelladas
en cualquiera de sus puntos. Los conjuntos convexos son estrellados. Es
facil construir ejemplos de conjuntos estrellados, pero no convexo.
Teorema 5.8 Todo conjunto abierto y conexo es conexo por caminos.
Demostracion. Sea U ⊂ V un conjunto abierto y conexo. Sea x0 ∈U . Definamos el conjunto
A = x ∈ U : existe un camino α : [0, 1] → U , con α(0) = x0
y α(1) = x .
Como x0 ∈ A se tiene que A 6= ∅ . Afirmamos que A y U − A son
conjunto abiertos.
Primero vamos a demostrar que A es abierto. Si y ∈ A entonces
existe un camino α : [0, 1] → U tal que α(o) = x0 y α(1) = y . Ahora,
como U es abierto, existe r > 0 tal que B(y, r) ⊂ U . Como las
Sergio Plaza 105
bolas son conjuntos conexos por caminos, dado z ∈ B(y, r) existe un
camino β : [0, 1] → B(y, r) dado por β(t) = (1 − t)y + tz que une y
con z . Luego, el camino producto α ∗ β une x0 con z , por lo tanto
B(y, r) ⊂ A , y se tiene que A es abierto.
Ahora probaremos que U − A es abierto. Si y ∈ U − A entonces
como U es abierto existe δ > 0 tal que B(y, δ) ⊂ U . Afirmamos que
B(y, δ) ⊂ U − A . Si no, existe z ∈ B(y, δ) , con z ∈ A , por lo tanto
podemos unir x0 con z , y consecuentemente unimos x0 con y , esto es
una contradiccion. Por lo tanto, B(y, δ) ⊂ U − A , es decir, U − A es
un conjunto abierto.
Ahora como U es conexo y U = A∪ (U −A) , y A 6= ∅ , se sigue que
U −A = ∅ , de donde U = A como querıamos probar.
Ejemplo. Sea E ⊂ R2 el siguiente conjunto:
E = (x, sen(1/x)) : 0 < x 6 π ∪ (0, y) : −1 6 y 6 1 .
No es dıficil probar que E es conexo, pero no conexo por caminos.
5.2 Ejercicios
1. Pruebe que el producto de dos caminos continuos α, β : [0, 1] → V
es un caminos continuo.
2. Pruebe que si S ⊂ V es un conjunto conexo y f : V → R es
continua, entonces f(S) es un intervalo.
106 Propiedades Basicas de las Aplicaciones Continuas
Capıtulo 6
Calculo Diferencial en
Espacios Euclideanos
En este capıtulo estudiaremos el calculo diferencial en espacios euclideanos,
nuestro objetivo es estudiar el Teorema de la Funcion Inversa y sus Coro-
larios: Teorema de la Funcion Implıcita, Teorema de la Forma Local de
las Inmersiones y Teorema de la Forma Local de las Submersiones, y
Teorema del Rango.
6.0.1 Notaciones Basicas
En lo que sigue R denotara el cuerpo de los numeros reales, y Rn pro-
ducto cartesiano de n copias de R, esto es, Rn = x = (x1, x2, . . . , xn) :
xi ∈ R , i = 1, 2, . . . , n .
En Rn consideramos cualesquiera de las tres normas || ||, || ||S, || ||M ,
estas son las mas usuales, donde para x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn,
||x|| =√
x21 + x2
2 + · · ·+ x2n =
√〈x, x〉
( 〈 , 〉 denota el producto interno usual en Rn), y ||x||S =∑n
i=1 |xi| y
107
108 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
||x||M = max |xi| : i = 1, . . . , n .
6.1 Derivada
Antes de definir la derivada de una aplicacion f : Rn → Rm, revisaremos
este concepto en el caso de funciones reales de una variable real.
Dados a, b ∈ R , con a < b , por ] a , b [ denotamos el intervalo abierto
de extremos a y b . Si f : ] a , b [→ R . Decimos que f es diferenciable en
un punto x ∈ ] a , b [ si
limh→0
f(x + h)− f(x)h
(6.1)
existe, al valor de este lımite lo denotamos por f ′(x) y lo llamamos
derivada de f en el punto x , es decir,
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)h
. (6.2)
Observacion. Como ] a , b [ ⊂ R es un conjunto abierto, para cada
x ∈ ]a, b[ existe ε > 0 tal que si |h| < ε entonces x + h ∈ ] a , b [ y por lo
tanto f(x + h) esta definida para h ∈ ] − ε , ε [ .
Notemos que la igualdad (6.2) puede ser escrita como
limh→0
f(x + h)− f(x)− hf ′(x)h
= 0 (6.3)
de donde
f(x + h) = f(x) + hf ′(x) + r(h) , con limh→0
r(h)|h| = 0 . (6.4)
Ahora, dado a ∈ R definamos la aplicacion lineal Ta : R → R por
Ta(v) = av (homotecia de razon a , cuando a 6= 0). Tomando a = f ′(x) ,
la expresion (6.4) se transforma en
f(x + h) = f(x) + Ta(h) + r(h) , con limh→0
r(h)|h| = 0 (6.5)
Sergio Plaza 109
por lo tanto, tenemos que f : ] a , b [→ R es diferenciable en x ∈ ] a , b [
si, y solo si, existe una transformacion lineal, Tx : R→ R , tal que
f(x + h) = f(x) + Tx(h) + r(h) con limh→0
r(h)|h| = 0 . (6.6)
Geometricamente esto se expresa en la figura abajo.
..............................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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| |
−
−
Observaciones:
1. La aplicacion lineal Tx : R → R que satisface la igualdad (6.6) es
Tx(h) = hf ′(x) , donde el numero f ′(x) es dado por el lımite (6.2),
cuando este existe. Claramente, la aplicacion lineal Tx depende
del punto x ∈ ] a , b [ .
2. Denotemos por L(R , R) = L : R → R : L aplicacion lineal el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de R en R . Los
espacios vectoriales L(R , R) y R son isomorfos. En efecto, con-
sideremos la aplicacion Γ : R → L(R , R) , Γ(λ) = Lλ , donde
Lλ : R → R es la aplicacion lineal Lλ(v) = λv . Es facil ver que
Γ es lineal y Γ(λ · µ) = Lλ·µ = Lλ Lµ . Finalmente, un pequeno
trabajo muestra que Γ es un isomorfismo.
110 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Ahora sea U un subconjunto abierto de Rn y sea f : U → Rm una
aplicacion, entonces para h ∈ Rn con |h| pequeno y x ∈ U , la expresion
f(x+h)−f(x) tiene sentido, pero no podemos definir la derivada de f
en un punto x de U como en (6.1). Por otra parte, la expresion (6.1) es
equivalente a (6.4), y esta ultima tiene sentido considerar en este caso,
por lo tanto definimos la derivada de f en un punto x ∈ U como lo
hicimos en (6.4) para el caso de funciones reales de variable real.
Definicion 6.1 Sea U ⊂ Rn un subconjunto abierto. Decimos que
f : U → Rm es diferenciable o derivable en un punto x ∈ U si existe
una aplicacion lineal Tx : Rn → Rm , que depende de x , llamada la
derivada de f en el punto x , tal que
f(x + h) = f(x) + Tx(h) + r(h) , con limh→0
r(h)|h| = 0 . (6.7)
Nota. Aquı | · | denota cualquiera de la tres normas que estamos
considerando en los espacios euclideanos. Como ellas son equivalentes,
la definicion anterior no depende de cual norma que consideramos.
Observacion. Como U ⊂ Rn es un conjunto abierto, existe ε > 0 tal
que si |h| < ε entonces x + h ∈ U , es decir, la bola abierta de centro en
x y radio ε, B(x , ε) = y ∈ Rn : |x− y| < ε esta contenida en U .
La igualdad f(x+h) = f(x)+Tx(h)+ r(h) define el resto r(h) ∈ Rm ,
de donde concluimos que la diferenciabilidad de f en un punto x ∈ U
equivale al hecho que el resto r(h) es un infinitesimo de orden no mayor
que |h| , es decir, limh→0
r(h)|h| = 0 o mas formalmente, dado ε > 0 existe
δ > 0 , tal que |r(h)| < ε cuando 0 < |h| < δ .
Definamos ρ(h) = r(h)/|h| , cuando h 6= 0. Podemos escribir ahora la
igualdad (6.7) como
f(x + h) = f(x) + Tx(h) + |h| ρ(h) , con limh→0
ρ(h) = 0 . (6.8)
Sergio Plaza 111
Por lo tanto, si f es diferenciable en x y definimos ρ(0) = 0 , se tiene
que ρ(h) es continua en h = 0 .
Observemos que para definir la diferenciabilidad de f en un punto
x ∈ U exigimos la existencia de una aplicacion lineal Tx : Rn → Rm , la
cual nos permite escribir una de la igualdades equivalente (1.7) o (1.8).
La pregunta natural que surge aquı es sobre la unicidad de tal aplicacion
lineal. Para responder a esto tenemos la siguiente proposicion.
Proposicion 6.1 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U → Rm
una aplicacion diferenciable en x ∈ U . Entonces la aplicacion lineal
Tx : Rn → Rm que satisface la igualdad (6.7) (equivalentemente (6.8))
es unica.
Demostracion. Supongamos que existe otra aplicacion lineal Tx :
Rn → Rm que satisface (6.7) y que Tx 6= Tx . Consideremos la aplicacion
lineal L = Tx − Tx . Como Tx 6= Tx se tiene que L no es la aplicacion
lineal nula, consecuentemente existe y ∈ Rn con y 6= 0 , tal que |L(y)| =a 6= 0 .
Ahora, dado b ∈ R con b 6= 0 , se tiene
|L(by)||by| =
|L(y)||y| =
a
|y| 6= 0 ,
como L(h) = Tx(h)− Tx(h) = r(h)− r(h) y limh→0
(r(h)− r(h))/|h| = 0 ,
tenemos quea
|y| =|L(by)||by| =
|r(by)− r(by)||by| ,
haciendo h = by , tenemos h → 0 cuando b → 0 , y de esto
0 6= a
|y| = limh→0
|r(h)− r(h)||h| = 0 ,
lo cual es imposible. Por lo tanto L ≡ 0 , esto es, Tx ≡ Tx .
112 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Ahora cambiamos la notacion Tx por Df(x) y la dejamos estable-
cida. En general, Df(x)(h) lo denotamos por Df(x)h , con esta nueva
notacion la igualdad (6.7) se escribe como
f(x + h) = f(x) + Df(x)h + r(h) , con limh→0
r(h)|h| = 0 . (6.9)
Nota. Como toda aplicacion lineal L : Rn → Rm es continua, usando
(6.8) se sigue que si f : U ⊂ Rn → Rm es diferenciable en un punto
x ∈ U entonces f es continua en ese punto. Por ejemplo, la funcion
f : R2 → R definida por
f(x, y) =
xy
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
no es diferenciable en el origen, pues no es continua en ese punto como
puede verse facilmente tomando lımite a traves de la rectas y = mx .
Ejemplos
1. Sea f : Rn → Rm una aplicacion constante, f(x) = c para todo
x ∈ Rn. Entonces f es diferenciable y Df(x) = 0 para todo
x ∈ Rn .
2. Toda aplicacion lineal T : Rn → Rm es diferenciable en cada
x ∈ Rn y DT (x) = T . En efecto, de la linealidad de T se tiene
T (x + h) = T (x) + T (h) + r(h), donde hemos tomado r(h) = 0
para todo h .
3. Sea B : Rn × Rm → Rp una aplicacion bilineal, entonces B es
diferenciable en cada (x, y) ∈ Rn×Rm ≡ Rn+m y DB(x, y)(h, k) =
B(x, k) + B(h, y) .
Sergio Plaza 113
En efecto, de la bilinealidad de B tenemos B(x + h, y + k) =
B(x, y)+B(x, k)+B(h, y)+B(h, k) = B(x, y)+DB(x, y)(h, k)+
B(h, k), tomando r(h, k) = B(h, k) debemos probar que
lim(h,k)→(0,0)
|B(h, k)||(h, k)| = 0 .
Como B es bilineal, existe c > 0 tal que |B(u, v)| 6 c |u| |v| para
todo (u, v) ∈ Rn × Rm. Para mostrar la existencia de tal cons-
tante basta tomar c = sup|B(u, v)| : |u| 6 1 , |v| 6 1 . Ahora
en Rn × Rm ≡ Rn+m usamos la norma |(u, v)| = max |u|, |v| y
tenemos
|B(h, k)||(h, k)| 6 c|h||k|
|(h, k)| =c|h||k|
max|h|, |k| = c min|h|, |k| ,
por lo tanto
lim(h,k)→(0,0)
|B(h, k)||(h, k)| = 0 .
Casos Particulares
(a) Producto en R. Sea p : R × R → R , el producto usual
p(x, y) = x · y . Claramente p es bilineal y por lo tanto
diferenciable en cada (x, y) ∈ R × R con Dp(x, y)(h, k) =
p(x, k) + p(h, y) = x k + h y .
(b) Producto interno usual en Rn . Sea 〈 , 〉 : Rn × Rn → R , el
producto interno usual 〈x, y〉 =∑n
j=1 xj yj es bilineal, por
lo tanto diferenciable en cada (x, y) ∈ Rn × Rn ≡ Rn2con
D〈x, y〉(h, k) = 〈x, k〉+ 〈h, y〉 =∑n
j=1(xjkj + hjyj) .
En los siguientes ejemplos usamos la identificacion natural
que existe entre L(Rn , Rm) y Rmn .
114 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
(c) Composicion de aplicaciones lineales. Sea µ : L(Rm,Rp) ×L(Rn,Rm) → L(Rn,Rp) la aplicacion dada por µ(T,L) =
T L , es facil verificar que µ es bilineal y por lo tanto
diferenciable en cada (T, L) ∈ L(Rm,Rp) × L(Rn,Rm) con
Dµ(T, L)(H, K) = µ(T,K) + µ(H, L) = T K + H L .
(d) Evaluacion de aplicaciones lineales. Sea eval : L(Rn,Rm) ×Rn → Rm la aplicacion evaluacion, dada por eval(L, x) =
L(x) . Claramente eval es bilineal, por lo tanto es diferen-
ciable en cada (L, x) ∈ L(Rn,Rm) × Rn , y tenemos que
D eval(L, x)(H, k) = eval(L, k) + eval(H,x) = L(k) + H(x) .
4. Inversion de matrices. Denotemos por GL(Rn) = A ∈ M(n ×n,R) : det(A) 6= 0 el grupo multiplicativo de las matrices in-
versibles. Mediante la identificacion natural entre M(n × n,R)
y Rn2tenemos una topologıa natural en M(n × n,R) , con esta
topologıa GL(Rn) es un conjunto abierto, pues la aplicacion de-
terminante det : M(n × n,R) → R es continua y GL(Rn) =
det−1(R− 0) .
Sea inv : GL(Rn) → M(n × n,R) la apliacacion definida por
inv(X) = X−1 . Afirmamos que inv es diferenciable en cada
X ∈ GL(Rn) y que Dinv(X)H = −X−1HX−1 .
En efecto, para mostrar que la formula propuesta anteriormente
para la derivada de inv no es artificial, veamos primero el caso
n = 1 . Tenemos GL(R) = R − 0, M(1 × 1,R) = R e inv :
R − 0 → R es dada por inv(x) = x−1 = 1/x, en este caso
Dinv(x)h = −h/x2 = −x−1hx−1 , pues inv′(x) = −1/x2 .
Para n > 1 , escribamos inv(X + H) = inv(X) + Dinv(X)H +
r(H) , es decir, (X + H)−1 = X−1 − X−1HX−1 + r(H) , mul-
Sergio Plaza 115
tiplicando esta ultima igualdad por (X + H) , obtenemos I =
X−1(X + H) − X−1HX−1(X + H) + r(H) · (X + H) , donde I
denota la matriz identidad. Desarrollando el segundo miembro de
esta igualdad, tenemos I = I − X−1HX−1H + r(H) · (X + H) ,
luego r(H) · (X + H) = X−1HX−1H = (X−1H)2, de donde
r(H) = (X−1H)2 · (X + H)−1 , por lo tanto |r(H)| 6 |X−1|2 ·|H|2 · |X +H|−1 . Dividiendo esta ultima desigualdad por |H| , nos
queda|r(H)||H| 6 |X−1|2 · |H| · |X + H|−1 .
Ahora es claro que el cuociente|r(H)||H| tiende a 0 cuando H → 0 ,
lo cual termina la prueba.
5. Sea f : M(n × n,R) → M(n × n,R) la aplicacion definida por
f(X) = X2 . Entonces f es diferenciable y Df(X)H = XH +
HX , para cada H ∈M(n× n,R) .
En efecto, f(X + H) − f(X) = (X + H)2 − X2 = X2 + XH +
HX +H2−X2 = XH +HX +H2 , es decir, f(X +H) = f(X)+
Df(X)H + r(H) , donde Df(X)H = XH + HX y r(H) = H2 ,
es claro que limH→0 |r(H)|/|H| = 0 .
Sea U ⊂ Rn y sea f : U → Rm una aplicacion. Entonces f
determina y es determinada por m aplicaciones fi : U → R (i =
1, 2, . . . m) llamadas funciones coordenadas de f . Las aplicaciones fi
son dadas por la relacion f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)) . Observemos que
fi = πi f , donde πi : Rm → R es la aplicacion lineal dada por
πi(x1, x2, . . . , xm) = xi . La aplicacion πi es llamada la proyeccion en la
i–esima coordenada.
Proposicion 6.2 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto, y sea f : U →Rm . Entonces f es diferenciable en un punto x ∈ U si, y solo si, cada
116 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
aplicacion fi (i = 1, 2, . . . , m) es diferenciable en x . Ademas,
Df(x)h = (Df1(x)h, . . . , Dfm(x)h) .
Demostracion. La igualdad f(x + h) = f(x) + Df(x)h + r(h) es
equivalente a las m igualdades fi(x + h) = fi(x) + Dfi(x)h + ri(h) ,
para i = 1, . . . , m , donde Df(x)h = (Df1(x)h, . . . , Dfm(x)h) y r(h) =
(r1(h), . . . , rm(h)) . Ademas, es claro que limh→0
r(h)/|h| = 0 si, y solo si,
limh→0
ri(h)/|h| = 0 para todo i = 1, 2, . . . ,m . Luego f es diferenciable en
x ∈ U si, y solo si, cada funcion coordenada fi para cada i = 1, . . . , m
lo es, y recıprocamente. La formula para la derivada es inmediata.
En los ejemplos que hemos estudiado, propusimos una formula para
la derivada de la aplicacion en cuestion, esto sin mayores explicaciones,
consecuentemente el lector puede protestar, y con razon, por la forma en
que se suponıa el candidato a derivada y luego se comprobaba que era
el correcto. Ademas, surge la pregunta natural de ¿como encontrar tal
candidato? Los calculos que hemos realizado para obtener el candidato
a derivada estan basados en la observacion siguiente,
Observacion. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y sea f : U → Rm una
aplicacion diferenciable en un punto x ∈ U , entonces para cada v ∈ Rn
con v 6= 0 y cada t ∈ R con t 6= 0 , se tiene
Df(x)v = Df(x)(
tv
t
)=
1t
Df(x)(tv) =f(x + tv)− f(x)
t± r(tv)|tv| ·|v| (6.10)
luego,
Df(x)v = limt→0
f(x + tv)− f(x)t
, (6.11)
por lo tanto si limt→0
f(x + tv)− f(x)t
existe, este debe ser el candidato
natural a derivada de la aplicacion f en el punto x tomando Df(x)v
como el lımite anterior.
Sergio Plaza 117
Es importante resaltar que la existencia del lımite en (6.11), aun
cuando nos da una forma de calcular el candidato a derivada, no nos
garantiza que f sea diferenciable en el punto x . Por lo tanto, una vez
encontrado el candidato a derivada debemos verificar que este satisface
(6.7) o equivalentemente (6.8).
Ejemplos
1. Sea f : M(n × n,R) → M(n × n,R) dada por f(X) = X2 .
Tenemos f(X + tH)− f(X) = X2 + tXH + tHX + t2H2 −X2 =
tXH + tHX + t2H2
limt→0
f(X + tH)− f(X)t
= limt→0
tXH + tHX + t2H2
t
= limt→0
tXH + tHX + t2H2
t
= XH + HX,
y ya verificamos en un ejemplo anterior que Df(X)H = XH +
HX .
2. Sea f :M(n×n,R) →M(n×n,R) dada por f(X) = XT , donde
XT matriz denota la matriz traspuesta de la matriz X. Tenemos
limt→0
f(X + tH)− f(X)t
= limt→0
(X + tH)T −XT
t
= limt→0
tHT
t= HT .
Ahora es facil verificar que f es diferenciable y que Df(X)H =
HT . Note que f(X) = XT es una aplicacion lineal.
118 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
3. Sea f : M(n × n,R) → M(n × n,R) dada por f(X) = XXT .
Tenemos, f(X + tH) − f(X) = (X + tH)(X + tH)T − XXT =
XXT + tXHT + tHXT + t2HHT − XXT = tXHT + tHXT +
t2HHT , luego
limt→0
f(X + tH)− f(X)t
= limt→0
tXHT + tHXT + t2HHT
t
= XHT + HXT
es facil verificar que Df(X)H = XHT +HXT satisface la definicion
de derivada, por lo tanto f es diferenciable.
Como ejercicio, el lector puede verificar usando (6.11) que la expresion
de la derivada en cada uno de los restantes ejemplos anteriores viene
dada por este lımite.
Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U → Rm . Dados x ∈ U y
v ∈ Rn , con v 6= 0 , el lımite
limt→0
f(x + tv)− f(x)t
(6.12)
cuando existe, es llamado derivada direccional de f en el punto x en la
direccion v y lo denotamos por Dvf(x) o por∂f
∂v(x) .
El caso particular mas importante es cuando consideramos las direc-
ciones dadas por los vectores unitarios e1, e2, . . . , en de la base canonica
de Rn . En este caso, la derivada direccional de f en x ∈ U en la di-
reccion ei es denotada por∂f
∂xi(x) , y es llamada derivada parcial de f
en x respecto a la variable xi , es decir,
∂f
∂xi(x) = lim
t→0
f(x + tei)− f(x)t
. (6.13)
Las derivadas parciales de orden superior son definidas de modo simple
Sergio Plaza 119
sigue∂2f
∂xj∂xi(x) =
∂
∂xj
(∂f
∂xi(x)
)
∂3f
∂xk∂xj∂xi(x) =
∂
∂xk
(∂2f
∂xj∂xi(x)
)
...
cuando estas existen
Ejemplos
1. Sea f : R3 → R definida por f(x, y, z) = x2+y2+z4 . Calculemos
la derivada direccional de f en el punto (1, 1, 1) y en la direccion
v =(√
2/2 ,√
2/2 , 0). Tenemos
∂f
∂v(1, 1, 1) = lim
t→0
f((1, 1, 1) + t(√
2/2 ,√
2/2 , 0))− f(1, 1, 1)t
= limt→0
((1 + t√
2/2)2 + (1 + t√
2/2)2 + 1)− 3t
= limt→0
2t√
2 + t2
t= 2
√2 .
2. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
xy
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
Evidentemente, f no es continua en el origen, pero ∂f∂x (0, 0) =
limh→0f(h,0)−f(0,0)
h = 0 y ∂f∂y (0, 0) = limk→0
f(0,k)−f(0,0)k = 0 , es
decir, ambas derivadas parciales existen aun cuando Df(0, 0) no
existe (¿porque?)
120 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
3. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
xy(x2 − y2)x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
Para (x, y) 6= (0, 0) , tenemos
∂f
∂x(x, y) = y
(x2 − y2
x2 + y2+
4x2y2
(x2 + y2)2
)
∂f
∂y(x, y) = x
(x2 − y2
x2 + y2− 4x2y2
(x2 + y2)2
).
En particular, ∂f∂x (0, y) = −y y ∂f
∂y (x, 0) = x . Ademas,
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)h
= 0
∂f
∂y(0, 0) = lim
k→0
f(0, k)− f(0, 0)k
= 0 ,
y
∂2f
∂y∂x(0, 0) = lim
k→0
∂f∂x (0, k)− ∂f
∂x (0, 0)k
= limk→0
−k
k= −1
∂2f
∂x∂y(0, 0) = lim
h→0
∂f∂y (h, 0)− ∂f
∂y (0, 0)
h= lim
h→0
h
h= 1 .
Mostraremos mas adelante que en general, bajo hipotesis simple,
se tiene la igualdad de las segundas derivadas parciales mixtas.
4. Un ejemplo que muestra que pueden existir las derivadas direc-
cionales en todas las direcciones, sin que por ellos la aplicacion sea
Sergio Plaza 121
diferenciable en un punto es dado por la siguiente aplicacion. Sea
f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x2yx2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
No es dıificil ver que para cada v ∈ R2, con v 6= 0 , y cada (x, y) ∈R2 la derivada direccional de f en (x, y) en la direccion v existe,
pero f no es diferenciable en (0, 0) .
5. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x3 − y3
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
Tenemos que f es continua en el origen y existen ambas derivadas
parciales en (0, 0) , pero no es diferenciable en ese punto.
En efecto, usando coordenadas polares x = r cos(θ) e y = r sen(θ) ,
tenemos∣∣∣∣x3 − y3
x2 + y2
∣∣∣∣ = |r(cos3(θ)− 3sen(θ))| 6 2r = 2
√x2 + y2 < ε
si x2 6 ε8 e y2 6 ε2
8 , escribiendo esto de otra forma, tenemos
|x| 6 ε2√
2y |y| 6 ε
2√
2. Luego, |x3−y3
x2+y2 − 0| 6 ε cuando |x| 6 ε2√
2
y |y| 6 ε2√
2, donde evidentemente elegimos δ = ε
2√
2, por lo tanto
f es continua en el origen. Ahora,
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)h
= limh→0
h− 0h
= 1
∂f
∂y(0, 0) = lim
k→0
f(0, k)− f(0, 0)k
= limk→0
−k
k= −1
122 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
luego la funcion posee derivadas parciales en (0, 0) .
Ahora, si f fuese diferenciable en (0, 0) deberıamos tener que
Df(0, 0)(h, k) =∂f
∂x(0, 0)h +
∂f
∂y(0, 0)k + hφ(h, k) + kψ(h, k) ,
donde lim(h,k)→(0,0) φ(h, k) = lim(h,k)→(0,0) ψ(h, k) = 0 . Poniendo
h = ρ cos(θ) y k = ρ sen(θ) y dividiendo por ρ , obtenemos
cos3(θ)−sen3(θ) = cos(θ)−sen(θ)+φ(h, k) cos(θ)+ψ(h, k) sen(θ) .
Para θ = arctang(h/k) arbitrario, se tiene ρ → 0 implica que
(h, k) → (0, 0) , luego tomando lımite, obtenemos la identidad
trigonometrica cos3(θ) − sen3(θ) = cos(θ) − sen(θ) , de donde
cos(θ) sen(θ) (cos(θ) − sen(θ)) = 0 , lo cual es imposible para θ
arbitrario. Por lo tanto f no es diferenciable en el origen.
6. La funcion f : R2 → R definida por
f(x, y) =
xy√x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
es continua y posee derivadas parciales, pero no es diferenciable en
el origen.
En efecto, es facil ver que f es continua en todo su dominio,
y un calculo directo aplicando la definicion de derivada parcial,
muestra que ∂f∂x (0, 0) = ∂f
∂y (0, 0) = 0 . Como en el ejemplo an-
terior, si f, fuese diferenciable en (0, 0) deberıamos tener que
Df(0, 0)(h, k) = ∂f∂x (0, 0)h+ ∂f
∂y (0, 0)k+hφ(h, k)+kψ(h, k) , donde
lim(h,k)→(0,0)
φ(h, k) = lim(h,k)→(0,0)
ψ(h, k) = 0 , en este caso, desarrol-
lando lo anterior obtenemos que hk√h2+k2
= hφ(h, k) + kψ(h, k) , y
usando coordenadas polares h = r cos(θ) y k = r sen(θ) , obten-
emos cos(θ) sen(θ) = φ cos(θ) + ψ sen(θ) . Para θ arbitrario, se
Sergio Plaza 123
tiene r → 0 implica que (h, k) → (0, 0) . Luego, haciendo r → 0
nos queda cos(θ) sen(θ) = 0 , lo cual es imposible para θ arbi-
trario. Por lo tanto f no es diferenciable en el origen.
7. Sea f : R2 → R la funcion definida por
f(x, y) =
x2 sen(1/x) + y2 sen(1/y) si xy 6= 0
x2 sen(1/x) si y = 0 , x 6= 0
y2 sen(1/y) si x = 0 , y 6= 0
0 si x = y = 0 ,
Se tiene que
∂f
∂x(x, y) =
2x sen(1/x)− cos(1/x) si x 6= 0
0 si x = 0
y
∂f
∂y(x, y) =
2y sen(1/y)− cos(1/y) si y 6= 0
0 si y = 0
ambas son discontinuas en el origen, esto es, ambas derivadas par-
ciales existen en el origen, pero son discontinuas en ese punto.
Ahora, si f fuese diferenciable en el origen deberıamos tener que
f(h, k)− f(0, 0) = h2 sen(1/h) + k2 sen(1/k)
= 0h + 0k + h(h sen(1/h)) + k(k sen(1/k)) .
Ahora, ambos lımites limh→0
h sen(1/h) y limk→0
k sen(1/k) existen y
son iguales a 0, por lo tanto f, es diferenciable en el origen.
124 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
En los ejemplos anteriores muestran que la existencia de las derivadas
parciales o de las derivadas direccionales en un punto no garantiza que
f sea diferenciable en ese punto. Por otra parte, es claro que si f es
diferenciable en x ∈ U , entonces existen las derivadas direccionales de
f en todas las direcciones y vienen dadas por
∂f
∂v(x) = Df(x)v ,
donde v ∈ Rn , con v 6= 0 .
Ejemplos
1. Sea f(x, y) = e−x sen(y) . Tenemos
∂f
∂x(x, y) = −e−x sen(y) ,
∂f
∂y(x, y) = e−x cos(y) ,
de donde,
∂2f
∂y∂x(x, y) = −e−x cos(y) =
∂2f
∂x∂y(x, y) .
2. Sea f(x, y, z, w) = ez2+w2log(x2 + y2) , donde (x, y) 6= (0, 0) . Te-
nemos,
∂f
∂x(x, y, z, w) = ez2+w2 2x
x2 + y2,
∂f
∂y(x, y, z, w) = ez2+w2 2y
x2 + y2,
∂f
∂z(x, y, z, w) = 2zez2+w2
log(x2 + y2) ,
∂f
∂w(x, y, z, w) = 2wez2+w2
log(x2 + y2) .
Sergio Plaza 125
Derivando nuevamente, tenemos,
∂2f
∂y∂x(x, y, z, w) = ez2+w2 −4xy
(x2 + y2)2=
∂2f
∂x∂y(x, y, z, w)
∂2f
∂z∂x(x, y, z, w) = 2zez2+w2 2x
x2 + y2=
∂2f
∂x∂z(x, y, z, w)
...
6.1.1 Matriz Jacobiana
Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y sea f : U → Rm una aplicacion dife-
renciable en x ∈ U . Tenemos que Df(x) : Rn → Rm es una aplicacion
lineal, por lo tanto ella tiene una representacion matricial.
Ahora encontraremos la representacion matricial de Df(x) relativa a
las bases canonicas de Rn y de Rm . Denotemos por e1, . . . , en la base
canonica de Rn. Como f es diferenciable en x , tenemos que Df(x)ei =∂f(x)∂xi
. Escribiendo f en terminos de sus aplicaciones coordenadas, es
decir, f = (f1, f2, . . . , fm) , tenemos
∂f
∂xi(x) = Df(x)ei = (Df1(x)ei, Df2(x)ei, . . . , Dfm(x)ei)
=(
∂f1
∂xi(x),
∂f2
∂xi(x), . . . ,
∂fm
∂xi(x)
),
esta expresion es relativa a las bases canonicas de Rn y Rm , respectiva-
mente. Por lo tanto,
∂f
∂xi(x) = Df(x)ei =
m∑
j=1
∂fj
∂xi(x) ej
y la expresion matricial de la transformacion lineal D f(x) : Rn → Rm ,
llamada matriz jacobiana de f en x y denotada por J f(x) , tiene por
126 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
elemento (j, i) el j-esimo elemento del vector∂fj
∂xi(x) , esto es,
Jf(x) =
∂f1
∂x1(x)
∂f1
∂x2(x) · · · ∂f1
∂xn(x)
∂f2)∂x1
(x)∂f2
∂x2(x) · · · ∂f2
∂xn(x)
......
. . ....
∂fm
∂x1(x)
∂fm
∂x2(x) · · · ∂fm
∂xn(x)
m×n
(6.14)
Como ya observamos, la existencia de Jf(x), y por lo tanto de las
derivadas parciales, no garantiza que f sea diferenciable en un punto x
de U .
Ejemplos.
1. Sea U = (r, θ) ∈ R2 : r > 0 , θ ∈ R. Es claro que U
es un conjunto abierto. Definamos f : U → R2 por f(r, θ) =
(f1(, θ), f2(r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)) . Tenemos que
Jf(r, θ) =
cos(θ) −r sen(θ)
sen(θ) r cos(θ)
.
2. Sea U = (r, θ, φ) ∈ R3 : r > 0 , θ, φ ∈ R . Es claro que U
es un conjunto abierto. Sea f : U → R3 dada por f(r, θ, φ) =
Sergio Plaza 127
(r cos(θ) sen(φ), r sen(θ) sen(φ), r cos(φ)) . Tenemos
Jf(r, θ, φ) =
cos(θ) sen(φ) −r sen(θ) sen(φ) r cos(θ) cos(φ)
sen(θ) sen(φ) r cos(θ) sen(φ) r sen(θ) cos(φ)
cos(φ) 0 −r sen(φ)
.
6.2 Casos Especiales
1.- Caminos diferenciables. Estas son aplicaciones f : J → Rm,
donde J ⊂ R es un intervalos abierto.
2.- Funciones diferenciables. Estas son aplicaciones f : U ⊂ Rn → R ,
donde U es un conjunto abierto.
Ahora estudiaremos estos dos casos particulares en forma mas deta-
llada.
6.2.1 Caminos Diferenciables
Un camino es una aplicacion f : J ⊂ R → Rm , donde J ⊂ R es un
intervalo abierto.
El vector velocidad de un camino f en un punto x ∈ J se define como
vx =df
dt(x) = lim
t→0
f(x + t)− f(x)t
, (6.15)
cuando el lımite existe.
Recordemos ahora que L(R,Rm) es canonicamente isomorfo a Rm .
En efecto, definamos Γ : L(R,Rm) → Rm por Γ(L) = vL , donde el
vector vL ∈ Rm es dado por vL = L(1) . Es facil ver Γ es un isomorfismo.
128 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Dada una transformacion lineal L ∈ L(R,Rm) y dado t ∈ R , tenemos
que L(t) = L(t · 1) = t · L(1) = t · vL , en otras palabras mediante el
isomorfismo Γ el valor de L en el vector t ∈ R se transforma en el
producto escalar del vector vL por t .
Ahora, sea f : J ⊂ R → Rm un camino. Tenemos que f(x + t) =
f(x)+Df(x)t+r(t) es equivalente a f(x+ t) = f(x)+ tDf(x)1+r(t) =
f(x) + t · vT + r(t) , donde T = Df(x) , de aquı
f(x + t)− f(x)t
− vT =r(t)t
, (6.16)
de esta ultima igualdad, deducimos que f es diferenciable en un punto
x ∈ J , si y solo si, f tiene un vector velocidad vx en ese punto. Ademas,
mediante el isomorfismo Γ anterior la aplicacion lineal Df(x) se trans-
forma en el vector velocidad vx =df(x)
dt= Df(x)1 . Ahora, escribiendo
f en terminos de sus funciones coordenadas, f = (f1, f2, . . . , fm) donde
fi : J → R (i = 1, . . . ,m) tenemos
df
dt(x) =
(df1
dt(x),
df2
dt(x), . . . ,
dfm
dt(x)
). (6.17)
Por lo tanto, para calcular la derivada de un camino diferenciable
f : J ⊂ R → Rm en un punto x ∈ J basta calcular las derivadas de
cada aplicacion coordenada fi : J → R en ese punto, y tenemos
Df(x)t = t ·Df(x)1 = t · df
dt(x)
= t
(df1
dt(x),
df2
dt(x), . . . ,
dfm
dt(x)
). (6.18)
Observacion. El vector f(x) +df
dt(x) , trasladado del vector velocidad
df
dt(x) al punto f(x) , es un vector tangente a la grafica de f en el punto
Sergio Plaza 129
f(x) . La recta ` , generada pordf
dt(x) , la cual viene dada por
` =
λ · df
dt(x) : λ ∈ R
⊂ Rm ,
es un subespacio vectorial de Rm y su trasladada, f(x)+ ` , es una recta
tangente al grafico de f en el punto f(x) . En general, a la recta ` la
llamaremos la recta tangente a f en el punto f(x) .
f
....................................................
....................................................................................................................................................................................
................................................
................................................
................................................
.............................. ..............
......................................................................................................................................................................................................................] [|J
x
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
.....
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................
rrow ¡5pt¿ [0.5,1] from 7 4.2 to 7.1 4.2
dfdt (x) + f(x)
•f(x)
`dfdt (x)
rrow ¡5pt¿ [0.5,1] from 4 0.4 to 4.1 .45
6.3 Funciones Diferenciables
Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U → R una aplicacion diferen-
ciable en x ∈ U , en este caso tenemos que Df(x) ∈ L(Rn,R) = (Rn)∗ ,
dual algebraico de Rn (en este caso tambien es el dual topologico, pues
la dimension de los espacios en cuestion es finita.)
Se acostumbra a denotar Df(x) por df(x) y es llamada diferencial de
f en el punto x . Aquı tambien seguiremos esta tradicion.
Como m = 1 , la matriz jacobiana de f en x respecto a las bases
canonicas de Rn y de R , es una matriz de una fila y n columnas
Jf(x) =(
∂f
∂x1(x)
∂f
∂x2(x) · · · ∂f
∂xn(x)
)
1×n
130 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
la cual puede se identifica naturalmente con el vector(
∂f
∂x1(x) ,
∂f
∂x2(x) , · · · , ∂f
∂xn(x)
)
de Rn mediante el isomorfismo canonico Θ :M(1× n) → Rn .
Denotemos por e1, e2, . . . , en la base de (Rn)∗ , dual de la base
canonica e1, e2, . . . , en de Rn , las funciones lineales ei : Rn → R
son dadas por ei(ej) = δij , donde δij es el delta de Kronecker,
δij = 1 si i = j
0 si i 6= j .
En esta base de (Rn)∗ las coordenadas de df(x) son los numeros∂f(x)∂xi
, y tenemos
df(x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x) ei . (6.19)
Las aplicaciones lineales ei : Rn → R , usualmente son denotadas
por dxi , pues ei(v1, v2, . . . , vn) = vi = xi(v1, v2, . . . , vn) , donde xi :
Rn → R son las funciones que asignan a cada vector v ∈ Rn su i-esima
coordenada. Es claro que dxi(v) = vi y podemos escribir df(x) como
df(x) =n∑
i=1
∂f
∂xi(x)dxi (6.20)
ası,
df(x)v =n∑
i=1
∂f
∂xi(x) dxi(v) =
n∑
i=1
∂f
∂xi(x) vi . (6.21)
Ahora, como df(x) : Rn → R es una transformacion lineal, existe un
unico vector vx ∈ Rn tal que
df(x)h = 〈vx, h〉 , (6.22)
Sergio Plaza 131
para todo h ∈ Rn , el vector vx es llamado vector gradiente de la funcion
f en el punto x y lo denotamos por grad f(x) o por ∇f(x) . Podemos
reescribir lo anterior como
df(x)h = 〈grad f(x), h〉 , (6.23)
para todo h ∈ Rn . El problema que surge aquı, es ¿como calcular
las coordenadas del vector gradf(x) , por lo menos, relativas a la base
canonica de Rn?
Para esto, observemos que
∂f
∂xi(x) = df(x)ei = 〈 gradf(x), ei〉 , (6.24)
por lo tanto,
grad f(x) =(
∂f
∂x1(x) ,
∂f
∂x2(x) , . . . ,
∂f
∂xn(x)
). (6.25)
Podemos tambien identificar el vector grad f(x) con la matriz jaco-
biana Jf(x) por el isomorfismo Θ anterior.
Nota. Como ejercicio el lector puede encontrar las coordenadas del
vector grad f(x) relativo a una base arbitraria de Rn .
Ejemplos
1. Sea f : R3 → R dada por f(x, y, z) = cos(x2 + z2) ex2+y2. Es
claro que f es diferenciable, y tenemos
grad f(x, y, z) = 2 ex2+y2(x(cos(x2 + z2)− sen(x2 + z2)),
y cos(x2 + z2),−z cos(x2 + z2)) .
2. Sea f : R3 → R dada por f(x, y, z) = x2y + y3 sen(z2) . Tenemos
que f es diferenciable (de clase C∞ ) y
grad f(x, y, z) = (2xy , x2 + 3y2 sen(z2) , 2y3z cos(z2)) .
132 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Para finalizar esta seccion probaremos el siguiente Teorema.
Teorema 6.1 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y sea f : U → Rm .
Entonces Df(a) existe si todas las derivadas parciales ∂fi∂xj
(x) existen
en un conjunto abierto que contiene al punto a y cada aplicacion ∂fi
∂xj:
U → R que asocia a x la derivada parcial ∂fi
∂xj(x) es continua a .
Demostracion. Basta probar para el teorema para el caso f : U ⊂Rn → R . El caso general, f : U → Rm , se obtiene a partir de este
considerando las funciones coordenadas fi : U → R (i = 1, . . . ,m) de
f . Tenemos
f(a + h)− f(a) = f(a1 + h1, a2, . . . , an)− f(a1, . . . , an)
+ f(a1 + h1, a2 + h2, a3, . . . , an)−f(a1 + h1, a2, . . . , an)
...
+ f(a1 + h1, . . . , an + hn)
− f(a1 + h1, . . . , an−1 + hn−1, an) .
Definamos la funcion gi por
gi(t) = f(a1 + h1, . . . , ai−1 + hi−1, t, ai+1, . . . , an) .
Entonces, cada gi es una funcion real de variable real, y por el Teorema
del Valor Medio tenemos que
f(a1 + h1, a2, . . . , an)− f(a1, . . . , an) = g(a1 + h1)− g(a1)
= h1 g′(c1)
= h1∂f
∂x1(c1) ,
Sergio Plaza 133
donde c1 ∈ ]a1, a1 + h[ .
Analogamente, para el termino i-esimo tenemos que
f(a1 + h1, . . . , ai + hi, ai+1, . . . , an)−−f(a1 + h1, . . . , ai−1 + hi−1ai, . . . , an) = hig
′i(ci) = hi
∂f
∂xi(ci) ,
donde ci esta entre ai y ai + hi.
Luego
limh→0
∣∣∣f(a + h)− f(a)−∑ni=1 hi
∂f∂xi
(a)∣∣∣
|h| 6
limh→0
∑ni=1
∣∣∣ ∂f∂xi
(a1 + h1, . . . , ai−1 + hi−1, ci, ai+1, . . . , an)− ∂f∂xi
(a)∣∣∣ |hi|
|h| =
limh→0
n∑
i=1
∣∣∣∣∂f
∂xi(a1 + h1, . . . , ai−1 + hi−1, ci, ai+1, . . . , an)− ∂f
∂xi(a)
∣∣∣∣|hi||h| 6
limh→0
n∑
i=1
∣∣∣∣∂f
∂xi(a1 + h1, . . . , ai−1 + hi−1, ci, ai+1, . . . , an)− ∂f
∂xi(a)
∣∣∣∣ = 0
pues |hi|/|h| 6 1 , las funciones ∂f∂xi
(x) son continuas en ai , y ci → ai
cuando h → 0 .
6.4 Clase de Diferenciabilidad
Ahora estudiaremos uno de los conceptos mas importantes del calculo
diferencial, este es el de clase de diferenciabilidad de una funcion.
Definicion 6.2 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto. Decimos que una
aplicacion f : U → Rm es diferenciable en U si f es diferenciable en
cada punto de U .
Si f : U → Rm es diferenciable en U , definimos la aplicacion derivada
134 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Df : U → L(Rn,Rm) ≡ Rnm ≡M(m× n , R) (6.26)
que a cada x ∈ U le asocia su derivada Df(x) , la cual tambien podemos
pensar como un elemento de M(m× n,R) .
Note que la aplicacion derivada Df no es necesariamente lineal.
Ejemplo. Sea T : Rn → Rm una aplicacion lineal. Sabemos que T
es diferenciable en todo x ∈ Rn y que DT (x) = T . Luego, la apli-
cacion derivada, DT : Rn → L(Rn,Rm) asocia a cada x ∈ Rn la apli-
cacion lineal T , por lo tanto, en este caso D T es la aplicacion constante
DT (x) = T para todo x ∈ Rn .
Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto.
Definicion 6.3 Decimos que una aplicacion f : U → Rm es con-
tinuamente diferenciable o de clase C1 en U , y usamos la notacion
f ∈ C1 , si f es diferenciable en U y la aplicacion derivada Df : U →L(Rn,Rm) ≡ Rnm dada por x → Df(x) es continua.
Observacion. Escribiendo f = (f1, . . . , fm) se tiene que f es de clase
C1 si, y solo si, las derivadas parciales ∂fj
∂xiexisten para cada i =
1, . . . , n y cada j = 1, . . . , m , y son continuas en U .
Ejemplo. Sea f : R→ R la aplicacion dada por
f(x) =
x2 si x > 0
0 si x 6 0 .
Es claro que
f ′(x) = 2x si x > 0
0 si x 6 0 ,
luego f ′ es continua y por lo tanto f es de clase C1 en R .
Sergio Plaza 135
Supongamos ahora que f : U → Rm es de clase C1 en un abierto
U ⊂ Rn , nos podemos preguntar si la aplicacion derivada Df : U →L(Rn,Rm) es diferenciable en un punto x ∈ U .
Si Df : U → L(Rn,Rm) es diferenciable en un punto x ∈ U , decimos
que f es dos veces diferenciable en x y usamos la notacion D2f(x) para
indicar la derivada de la aplicacion Df en el punto x , tenemos
D2f(x) : Rn → L(Rn,Rm) ,
es una aplicacion lineal, luego D2f(x) ∈ L(Rn,L(Rn,Rm)) .
Recordemos que el espacio vectorial L(Rn,L(Rn,Rm)) es isomorfo al
espacio vectorial L2(Rn,Rm) = B : Rn×Rn → Rm ; B bilineal , de
las aplicaciones bilineales.
En efecto, sea Λ : L(Rn,L(Rn,Rm)) → L2(Rn,Rm) la aplicacion
definida como sigue: a cada aplicacion lineal T ∈ L(Rn,L(Rn,Rm))
asignamos la aplicacion bilineal T : Rn × Rn → Rm definida por
T (u, v) = Tu(v) , donde Tu : Rn → Rm es la aplicacion lineal definida
del siguiente modo, la aplicacion lineal T : Rn → L(Rn,Rm) asocia a
cada vector u ∈ Rn la aplicacion lineal Tu ∈ L(Rn,Rm) . De la lineali-
dad de T tenemos T (u+λv) = T (u)+λT (v) . Ahora, como Tu es una
aplicacion lineal T es bilineal.
Usando la identificacion entre L(Rn,L(Rn,Rm)) y L2(Rn,Rm) dada
arriba, podemos pensar el elemento D2f(x) ∈ L(Rn,L(Rn,Rm)) como
la aplicacion bilineal,
D2f(x) : Rn × Rn → Rm .
Definicion 6.4 Decimos que una aplicacion f : U → Rm es dos veces
diferenciable en U si D2f(x) existe para cada x ∈ U .
136 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Observacion. Escribiendo f = (f1, . . . , fm) . Tenemos que D2f(x)
existe si, y solo si, las derivadas parciales de segundo orden ∂2fj
∂xi∂xk
existen y son continuas en U , para cada i, k = 1, . . . , n y cada j =
1, . . . , m .
Si f : U → Rm es dos veces diferenciable en U podemos definir la
aplicacion derivada segunda
D2f : U → L2(Rn,Rm) (6.27)
que asocia a cada x ∈ U la aplicacion bilineal D2f(x) : Rn×Rn → Rm .
Definicion 6.5 Decimos que f es dos veces continuamente diferen-
ciable o de clase C2 en U , notacion f ∈ C2 , si la aplicacion derivada
segunda es continua en U .
Inductivamente, supongamos que tenemos definidas las derivadas hasta
orden k − 1 , es decir, f : U → Rm es k − 1 veces diferenciable en U .
Como antes, podemos definir la aplicacion derivada k − 1 de f
Dk−1f : U → Lk−1(Rn,Rm) ,
donde Lk−1(Rn,Rm) es el espacio de las aplicaciones (k − 1)–lineales
de Rn × · · · × Rn en Rm . Si la aplicacion Dk−1f es diferenciable en
x ∈ U , decimos que f es k veces diferenciable en x . La derivada de
Dk−1f en x es la aplicacion lineal
Dkf(x) = D(Dk−1f)(x) : Rn → Lk−1(Rn,Rm) , (6.28)
esto es, Dkf(x) ∈ L(Rn,Lk−1(Rn,Rm)) . Este ultimo espacio es iso-
morfo al espacio Lk(Rn,Rm) , de las aplicaciones k–lineales de Rn ×· · · × Rn (k–veces) en Rm .
Sergio Plaza 137
Si Dk−1f es diferenciable en U , decimos que f es k veces diferen-
ciable en U , como antes definimos la aplicacion derivada k–esima
Dkf : U → L(Rn,Lk−1(Rn,Rm)) ≡ Lk(Rn,Rm) . (6.29)
Si la aplicacion Dkf es continua en U , decimos que f es k veces
continuamente diferenciable o de clase Ck en U , usamos la notacion
f ∈ Ck .
Observacion. Como antes, escribiendo f = (f1, . . . , fm) se tiene que f
es de clase Ck en U si, y solo si, las derivadas parciales de orden menor
o igual a k de las funciones coordenadas fj (j = 1, . . . ,m) existen y son
continuas en U , es decir, para cada ` 6 k y cada coleccion de ındices
i1, . . . , i` ⊂ 1, . . . , n se tiene que
∂`f
∂xi1 · · · ∂xi`
,
existen y son funciones continuas en U .
Finalmente, si para cada k ∈ N se tiene que f ∈ Ck , decimos que f
es de clase C∞ en U . Notacion f ∈ C∞ .
Observaciones.
1. Denotando por C0 el conjunto de las aplicaciones continua, se
tiene
C∞ = C0 ∩ C1 ∩ · · · .
2. En general Ck+1 esta estrictamente contenido en Ck . Para verlo
tomamos n = m = 1 , y definimos las aplicaciones fk : R → R
por
fk(x) =
xk si x > 0
0 si x 6 0 ,
138 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
es claro que f0 es discontinua, pues
f0(x) = 1 si x > 0
0 si x 6 0 ,
la aplicacion f1 es continua, pero no diferenciable en el punto x =
0 . Para k > 2 es claro quedfk
dx(x) = k fk−1 , luego fk ∈ Ck−1
pero fk /∈ Ck .
Ejemplos.
1. Sea T : Rn → Rm una aplicacion lineal. Tenemos que DT :
Rn → L(Rn,Rm) es la aplicacion constante x → DT (x) = T ,
luego DkT = 0 para todo k > 2 . Por lo tanto T ∈ C∞ .
2. Sea B : Rn × Rm → Rp una aplicacion bilineal. Tenemos la
derivada de B es dada por DB(x, y)(h, k) = B(x, k) + B(h, y)
y DB : Rn × Rm → L(Rn × Rm,Rp) es la aplicacion dada por
(x, y) → B(x, ·) + B(·, y) , la cual es una aplicacion lineal. Por lo
tanto D2B es una aplicacion constante y DkB = 0 para todo
k > 3 , en consecuencia B ∈ C∞ .
Como ejercicio, el lector puede estudiar la derivada de una apli-
cacion k–lineal T : Rn1 × · · · × Rnk → Rp .
3. Del calculo diferencial de una variable real, tenemos que las fun-
ciones polinomiales, exponenciales, logarıtmicas, trigonometricas,
etc. son de clase C∞ .
Proposicion 6.3 Sea f : U → Rm y sean f1, . . . , fm : U → R las
funciones coordenadas de f . Entonces f es de clase Ck si, y solo si,
cada funcion coordenada fj (j = 1, . . . ,m) es de clase Ck . Ademas,
Dkf(x) =(Dkf1(x), . . . , Dkfm(x)
). (6.30)
Sergio Plaza 139
Demostracion. Inmediata.
Teorema 6.2 (Schwarz) Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto. Si f :
U → R es de clase Cr (r > 2). Entonces en cualquier punto de
U las derivadas parciales de orden k para 1 6 k 6 r , existen y su
valor es independiente del orden en que realice la derivacion, es decir,
si (j1, . . . , jk) es una permutacion de (i1, . . . , ik) entonces se tiene la
igualdad∂kf
∂xi1 · · · ∂xik
=∂kf
∂xj1 · · · ∂xjk
.
Demostracion. Vamos a hacer la demostracion para el caso n = 2 ,
el caso general es completamente analogo. Escribamos p0 = (x0, y0) ∈U . Sea φ(x) = f(x, y0 + k) − f(x, y0) , donde k es pequeno. Para
x suficientemente cercano a x0 , se tiene que φ es una funcion de la
variable x . Aplicando el Teorema del Valor Medio a φ , para h pequeno
obtenemos
φ(x0 + h)− φ(x0) = hdφ
dx(x0 + θ1h) , donde 0 < θ1 < 1 ,
es decir,
φ(x0 + h)− φ(x0) = h
(∂f
∂x(x0 + θ1h, y0 + k) − ∂f
∂x(x0 + θ1h, y0)
).
Ahora bien, para cada h apliquemos nuevamente el Teorema del Valor
Medio a la segunda variable, en la igualdad del lado derecho anterior,
φ(x0 + h)− φ(x0) = hk
(∂2f
∂y∂x(x0 + θ1h, y0 + θ2k)
)
= hk
(∂2f
∂y∂x(x0, y0) + η
),
donde η → 0 cuando h → 0 , y k → 0 de cualquier forma, pues∂2f
∂y∂xes continua. Podemos escribir la ultima expresion como
140 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
(f(x0 + h, y0 + k)− f(x0 + h, y0))− (f(x0, y0 + k)−
f(x0, y0) = hk∂2f
∂y∂x(x0, y0) + ηhk .
Dividiendo esta igualdad por k , y haciendo k → 0 se obtiene
∂f
∂y(x0 + h, y0) − f
∂y(x0, y0) = h
(∂2f
∂y∂x(x0, y0) + η
).
Finalmente, dividiendo esta igualdad por h y haciendo h → 0 , obtene-
mos
∂2f
∂x∂y(x0, y0) =
∂2f
∂y∂x(x0, y0) .
Lo que finaliza la prueba.
Ejemplo. La funcion f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x2y2
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
satisface que∂2f
∂x∂y(0, 0) =
∂2f
∂y∂x(0, 0) , aun cuando no satisface las
condiciones del teorema de Schwarz.
En efecto, tenemos
∂f
∂x(0.0) = lim
h→0
f(x, 0)− f(0, 0)h
= 0 ,
analogamente∂f
∂y(0.0) = 0 . Ahora, para (x, y) 6= (0, 0)
∂f
∂x(x, y) =
2xy4
(x2 + y2)2
∂f
∂y(x, y) =
2x4y
(x2 + y2)2
Sergio Plaza 141
Ahora,∂2f
∂y∂x(0, 0) = lim
y→0
∂f∂x (0, y)− ∂f
∂x (0, 0)y
= 0 ,
y analogamente∂2f
∂x∂y(0, 0) = 0 , luego se tiene que
∂2f
∂x∂y(0, 0) =
∂2f
∂y∂x(0, 0) = 0 . Para (x, y) 6= (0, 0) tenemos
∂2f
∂x∂y(x, y) =
∂2f
∂y∂x(x, y) =
8x3y3
(x2 + y2)2.
Finalmente, tomando rectas del tipo y = mx vemos que
lim(x,y)→(0,0)
∂2f
∂y∂x6= 0 =
∂2f
∂y∂x(0, 0) ,
de donde ∂2f∂y∂x no es continua en (0, 0) , es decir, f no satisface las
condiciones del teorema de Schwarz. Para esta funcion se tiene tambien
que ∂f∂x y ∂f
∂y no son diferenciables en el origen como puede ser verificado
facilmente.
6.5 Teoremas Fundamentales del Calculo Dife-
rencial
En esta seccion estudiaremos los Teoremas fundamentales del calculo
diferencial en espacios euclideanos, estos son: Regla de la Cadena, De-
sigualdad del Valor Medio, Teorema de la Funcion Inversa y sus corolar-
ios: Forma Local de las Inmersiones, Forma Local de la Submersiones,
Teorema de la Funcion Implıcita, y Teorema del Rango.
Teorema 6.3 (Regla de la Cadena). Sean U ⊂ Rn y V ⊂ Rm con-
juntos abiertos. Sean f : U → Rm y g : V → Rp aplicaciones tales
que f(U) ⊂ V , con f diferenciable en x ∈ U y g diferenciable en
142 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
y = f(x) ∈ V . Entonces la aplicacion compuesta, g f : U → Rp
es diferenciable en x . Ademas, D(g f)(x) = Dg(f(x)) Df(x).
Demostracion. Como f es diferenciable en x ∈ U , tenemos que f(x+
h) = f(x) + Df(x)h + ρ(h)|h|, con limh→0
ρ(h) = 0. Analogamente, como
g es diferenciable en y = f(x) ∈ V , podemos escribir g(y + k) = g(y) +
Dg(y)k + σ(k)|k|, con limk→0
σ(k) = 0.
Ahora,
(g f)(x + h) = g(f(x + h))
= g(f(x) + Df(x)h + ρ(h)|h|)= g(y + Df(x)h + ρ(h)|h|) .
Si h es pequeno, entonces k = Df(x)h + ρ(h)|h| tambien es pequeno,
pues Df(x) es una aplicacion lineal, por lo tanto continua, y sabemos
que si T : Rn → Rm es una aplicacion lineal entonces existe una con-
stante c > 0 tal que |T (h)| < c |h| (c = sup|T (v)| : |v| 6 1). Luego
|k| 6 |Df(x)h| + |ρ(h)||h| 6 (c + |ρ(h)|)|h| y como limh→0
ρ(h) = 0 , dado
ε > 0, existe δ > 0 tal que |h| < δ implica |ρ(h)| < ε. Por lo tanto,
|k| < (c + ε)δ para |h| < δ .
De lo anterior, podemos escribir
(g f)(x + h) = g(y + k)
= g(y) + Dg(y)k + σ(k)|k|= g(y) + Dg(y)(Df(x)h + ρ(h)|h|) + σ(k)|Df(x)h
+ρ(h)|h||= g(y) + Dg(y)(Df(x)h) + Dg(y)(ρ(h)|h|)
+σ(k)|Df(x)h + ρ(h)|h||
Sergio Plaza 143
= g(y) + Dg(y) Df(x)h + |h|(Dg(y)ρ(h)
+σ(k)|Df(x)h
|h| + ρ(h)|
Ahora, sea τ(h) = Dg(y)ρ(h) + σ(k)|Df(x) (h/|h|) + ρ(h)| . Tenemos,
(g f)(x + h) = g(y + k) = g(y) + Dg(y) Df(x)h + τ(h)|h| . Por lo
tanto, solo nos resta probar que limh→0
τ(h) = 0. Para ello recordemos que
|k| < (c + ε)|h| si 0 < |h| < δ, luego k → 0 cuando h → 0. Por otra
parte, como el vector h/|h| tiene norma 1, se sigue que |Df(x)h/|h|| 6 c
y en consecuencia
limh→0
τ(h) = limh→0
(Dg(y)ρ(h) + σ(k)|Df(x)(h/|h|) + ρ(h)|) = 0 .
Corolario 6.4 Sean f y g como en el Teorema anterior. Si f y g son
de clase Ck . Entonces g f es de clase Ck .
Demostracion. Tenemos D(g f)(x) = Dg(f(x)) Df(x) . Defi-
namos las aplicaciones B : L(Rm,Rp) × L(Rn,Rm) → L(Rn,Rp) y
Γ : U → L(Rm,Rp) × L(Rn,Rm) por B(T,L) = T L y Γ(x) =
(Dg(f(x)), Df(x)), respectivamente. Tenemos que Γ = (Dg f,Df) , es
claro que B es bilineal, por lo tanto de clase C∞. Ademas, D(g f) =
B Γ .
Ahora procedemos por induccion. La afirmacion es valida para k = 0,
pues si f y g son continuas entonces g f es continua, es decir, f ∈ C0
y g ∈ C0 implican g f ∈ C0.
Supongamos que la afirmacion es valida para todo ` < k, esto es, si
f, g ∈ C` entonces g f ∈ C` . De esto se sigue que Df , Dg y Dg f son
de clase C`−1. Por lo tanto, Γ = (Dg f, Df) es de clase Ck−1 y como
B ∈ C∞ , tenemos que D(g f) = B Γ es de clase Ck−1, es decir, g f
es de clase Ck.
144 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Proposicion 6.4 La aplicacion inversion de matrices, inv : GL(Rn) →GL(Rn) , inv(X) = X−1 es de clase C∞.
Demostracion. Sea E = L(L(Rn),L(Rn)), donde L(Rn) = L(Rn,Rn).
Definamos la aplicacion B : L(Rn) × L(Rn) → E , por B(L, T )H =
L H T . Es claro que B ∈ C∞, pues es bilineal.
Ya mostramos que la aplicacion inv es diferenciable y su derivada
viene dada por
Dinv(X)H = −X−1HX−1 = B(X−1, X−1)H = B(inv(X), inv(X))H .
Luego, Dinv = B (inv, inv) .
Ahora procedemos por induccion. Es claro que inv es continua. Su-
pongamos que inv ∈ Ck−1 . Como B ∈ C∞ , se sigue del Corolario
anterior y de la igualdad Dinv = B (inv, inv) que Dinv ∈ Ck−1 , es
decir, inv ∈ Ck.
Corolario 6.5 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U → Rm
una aplicacion diferenciable en x ∈ U . Supongamos que el conjunto
V = f(U) ⊂ Rm es abierto y que existe una aplicacion g : V → Rn
tal g f = IU y f g = IV (IA denota la aplicacion identidad del
conjunto A). Si g es diferenciable en el punto y = f(x) ∈ V . Entonces
Df(x) : Rn → Rm es un isomorfismo, y su isomorfismo inverso es
Dg(y) : Rm → Rn . En particular, se tiene que n = m .
Demostracion. Como D IdU(x) = IdRn y D IdV (y) = IdRm , se sigue
que D(gf)(x) = Dg(y)Df(x) = IRn y D(f g)(y) = Df(x)Dg(y) =
IdRm , y de esto el resultado es inmediato.
Ahora sean f : U ⊂ Rn → Rm y g : V ⊂ Rm → Rp como en el
Teorema de la Regla de la Cadena. Escribiendo f = (f1, f2, . . . , fm) y
g = (g1, g2, . . . , gp), vemos que para i = 1, 2, . . . , n y j = 1, 2, . . . , p ,
Sergio Plaza 145
∂(gj f)∂xi
(x) =m∑
k=1
∂gj
∂yk(f(x))
∂fk
∂xi(x) (6.31)
esta formula es la que usualmente aparece en los texto de calculo para
expresar la regla de la cadena.
Corolario 6.6 (Reglas de Derivacion)
1. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto. Si f, g : U → Rm son apli-
caciones diferenciables en x ∈ U entonces las aplicaciones f ± g
y λ f , donde λ ∈ R es una constante, son diferenciables en x .
Ademas,
D(f±g)(x) = Df(x)±Dg(x) , y D(λ f)(x) = λDf(x) . (6.32)
2. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y sea h : U → R una aplicacion
diferenciable en x ∈ U , con h(x) 6= 0 . Entonces la aplicacion1h
: U → R , definida por1h
(x) =1
h(x)es diferenciable en x .
Ademas,
D
(1h
)(x) = − 1
(h(x))2Dh(x) . (6.33)
3. Sea U ⊂ R` un conjunto abierto. Si f : U → Rn y g : U → Rm
son aplicaciones diferenciables en x ∈ U , sea B : Rn × Rm → Rp
una aplicacion bilineal. Definamos la aplicacion Θ : U → Rp
por Θ = B(f, g) , es decir, Θ(y) = B(f(y), g(y)). Entonces Θ es
diferenciable en x . Ademas,
DΘ(x)u = B (Df(x)u, g(x)) + B(f(x), Dg(x)u) . (6.34)
En particular, si m = n = 1 y B = p : R×R→ R es el producto,
146 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
p(x, y) = x y , se tiene
D(f · g)(x)u = g(x) Df(x)u + f(x) Dg(x)u (formula clasica.)
(6.35)
Demostracion. Definamos las aplicaciones s : Rm × Rm → Rm , λ∗ :
Rm → Rm , inv : R − 0 → R − 0 , y (f, g) : U → Rn × Rm , por
s(u, v) = u + v , λ∗(u) = λu , inv(t) = 1t , y (f, g)(x) = (f(x), g(x)) ,
respectivamente. Tenemos, f+g = s(f, g) , λg = λ∗g , Θ = B(f, g) ,
luego por la regla de la cadena, se sigue el resultado.
Teorema 6.7 (Valor Medio, caso real). Sea f : [a, b] → R una
aplicacion continua. Supongamos que f es diferenciable en el inter-
valo abierto ] a, b [ . Entonces existe c ∈ ] a, b [ tal que f(b) − f(a) =
f ′(c) (b− a) .
El significado geometrico de este Teorema es bien conocido y se tra-
duce en que bajo las hipotesis anteriores existe un punto c ∈ ] a, b [ , para
el cual la recta tangente al grafico de f en el punto (c, f(c)) es paralela
a la cuerda que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) .
Dados a, b ∈ Rn , definimos el segmento cerrado y el segmento abierto
de recta que une a y b, denotados por [a, b] y ] a, b [ , respectivamente,
como los conjuntos
[a, b] = a + t(b− a) : 0 6 t 6 1
] a, b [ = a + t(b− a) : 0 < t < 1 .
Usando esta notacion. Tenemos el siguiente teorema.
Teorema 6.8 ( del Valor Medio) Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto
y f : U → R una aplicacion continua. Dado a ∈ U , supongamos que
Sergio Plaza 147
para cada x ∈ U el segmento cerrado de recta [a, x] esta contenido en
U y que f es diferenciable en cada punto del segmento abierto de recta
] a, x [ . Entonces existe θ ∈ R con 0 < θ < 1 tal que
f(x)− f(a) =n∑
i=1
∂f
∂xi(a + θ(x− a))(xi − ai) . (6.36)
Demostracion. Sea α(t) = a+ t(x−a) , es decir, cada funcion compo-
nente de α es αi(t) = ai + t(xi− ai) (i = 1, . . . , n). La correspondiente
curva es un segmento de recta con α(0) = a y α(1) = x . La funcion α
es diferenciable, de hecho C∞ . Luego, f α : [0, 1] → R es diferenciable
en ]0, 1[ . Por lo tanto, por el Teorema del Valor Medio para funciones
reales de variable real, se tiene que existe θ ∈ R con 0 < θ < 1 tal que
(f α)(1)− (f α)(0) = (f α)′(θ)(x−a) , y por el Teorema de la Regla
de la Cadena se sigue el resultado.
A seguir veamos si podemos tener un Teorema de Valor Medio como
arriba para funciones f : U ⊂ Rn → Rm (m > 1).
Consideremos la aplicacion f : [0, 2π] → R2 , definida por f(t) =
(cos(t), sen(t)). Es claro que f es continua en [0, 2π] y diferenciable en
] 0, 2π [ , ydf
dt(t) = (− sen(t), cos(t)) . Como
∣∣∣∣∣∣∣∣df
dt(t)
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 para todo t,
se sigue quedf
dt(t) 6= 0 , para todo en ] 0, 2π [ . Si el Teorema del Valor
Medio fuese valido en este caso, deberıamos tener que existe c ∈ ] 0, 2π [
tal que f(2π) − f(0) = 2πdf
dt(c) , pero como f(0) = f(2π) = (1, 0)
no podemos tener la igualdad anterior. En este ejemplo vemos, que
en general, no podemos esperar una igualdad tipo valor medio para
aplicaciones f : Rn → Rm . Ademas, el ejemplo muestra que tenemos
una desigualdad de la forma ||f(2π)− f(0)|| 6∣∣∣∣∣∣∣∣df
dt(t)
∣∣∣∣∣∣∣∣ |b− a| .
Teorema 6.9 (Desigualdad del Valor Medio) Sean U ⊂ Rn un con-
junto abierto y f : U → Rm una aplicacion continua. Supongamos que
148 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
el segmento cerrado de recta [a, b] esta contenido en U y que f es dife-
renciable en cada punto del segmento abierto de recta ] a, b [ . Entonces
||f(b)− f(a)|| 6 ||b− a|| sup0<t<1
||Df((1− t)a + tb)|| . (6.37)
Demostracion. Ver [11] (Hacer la demostracion)
6.5.1 Teorema de la Funcion Inversa
Definicion 6.6 Sean U, V ⊂ Rn conjuntos abiertos y sea f : U →V . Decimos que f es un difeomorfismo, si f es un homeomorfismo
diferenciable cuyo inverso f−1 tambien es diferenciable. Si ambas, f
y f−1 son de clase Ck , decimos que f es un difeomorfismo de clase
Ck .
Observaciones.
1. Si f : U ⊂ Rn → V ⊂ Rn es un difeomorfismo, entonces para
cada x ∈ U la derivada Df(x) : Rn → Rn es un isomorfismo cuyo
inverso es (Df(x))−1 = Df−1(f(x)) . Ademas, si f−1 : V → U
es el homeomorfismo inverso de f entonces f−1 tambien es un
difeomorfismo.
2. Si f : U ⊂ Rn → V ⊂ Rn y g : V → W ⊂ Rn son difeomorfismo,
de la Regla de la Cadena, se sigue que g f es un difeomorfismo.
Ejemplos.
1. Sea f : ]− 1 1[→ R dada por f(x) = tang(xπ/2) . Entonces f es
un difeomorfismo de clase C∞ .
2. Coordenadas Polares. Dado α > 0 sea Uα = R2 − Lα , donde
Lα es el rayo de pendiente α comenzando en el origen de R2 ,
Sergio Plaza 149
con 0 ∈ Lα . Claramente Uα es un conjunto abierto. Ahora
consideremos la banda abierta Vα = (r, θ) ∈ R2 : r > 0 , α <
θ < α + 2π ⊂ R2 y definamos ψα : Vα → Uα por ψα(r, θ) =
(r cos(θ) , r sen(θ)) . Note que ψα aplica cada segmento vertical
sr = (r, θ) : α < θ < α + 2π ⊂ Vα en el cırculo agujereado
(= cırculo menos un punto) de radio r y cada recta horizontal
rθ = (r, θ) : r > 0 ⊂ Vα en el rayo partiendo desde el origen,
que forma un angulo θ con el rayo Lα .
Tenemos que ψα : Vα → Uα es una biyeccion C∞ y su inversa
tambien es de clase C∞ (se deja al lector calcular ψ−1α ). Ahora,
Jψα(r, θ) =
cos(θ) −r sen(θ)
sen(θ) r cos(θ)
es inversible para cada (r, θ) ∈ Vα . Sea ϕα = ψ−1α : Uα → Vα
el difeomorfismo inverso, ϕα es llamado sistema de coordenadas
polares en Uα .
3. coordenadas cilındricas. Sean Vα ⊂ R2 y Uα ⊂ R2 los
abiertos definidos en el ejemplo anterior. Sean Wα = Vα × Ry Zα = Uα × R , ambos conjuntos con abierto en R3 . Definamos
ϕα : Wα → Zα por ϕα(r, θ, z) = (r cos(θ), r sen(θ), z) . Tenemos
que ϕα es un difeomorfismo C∞ y la matriz de jacobiana de ϕα
es dada por
Jϕα(r, θ, z) =
cos(θ) −r sen(θ) 0
sen(θ) r cos(θ) 0
0 0 1
.
Es claro que Jϕα es inversible. El difeomorfismo ϕ−1α es llamado
sistema de coordenadas cilındricas
150 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
4. coordenadas esfericas. En R3 − 0 tambien podemos con-
siderar las coordenadas esfericas (r, θ, φ) . Para ellos sea V =
(r, φ, θ) ∈ R3 : r > 0 , 0 < φ < 2π , 0 < θ < π , claramente este
conjunto es abierto. Definamos la funcion Φ : V → R3 por
Φ(r, φ, θ) = (r cos(φ) sen(θ), r sen(φ) sen(θ), r cos(θ)) .
Tenemos que Φ es un difeomorfismo de clase C∞ sobre W =
Im(Φ) el cual es un conjunto abierto de R3 (se deja como ejercicio
al lector describir el abierto W ). El difeomorfismo inverso Φ−1
es llamado sistema de coordenadas esfericas en R3 . La matriz
jacobiana de Φ es dada por
JΦ(r, φ, θ) =
cos(φ) sen(θ) −r sen(φ) sen(θ) r cos(φ) cos(θ)
sen(φ) sen(θ) r cos(φ) sen(θ) r sen(φ) cos(θ)
cos(θ) 0 −r sen(θ)
es facil ver que esta matriz tiene inversa.
Observacion Si f : U ⊂ Rn → V ⊂ Rn es un homeomorfismo dife-
renciable, no necesariamente f es un difeomorfismo. Un ejemplo simple
para ilustrar esta situacion es dado por el homeomorfismo f : R → R
dado por f(x) = x3 el cual es C∞, pero su inverso f−1(x) = x1/3 no es
diferenciable en x = 0 .
Definicion 6.7 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y sea f : U → Rn.
Decimos que f es un difeomorfismo local en U si, para cada x ∈ U
existen vecindades abiertas Vx ⊂ U de x y Wf(x) ⊂ Rn de f(x), tales
Sergio Plaza 151
que f/Vx : Vx → Wf(x) es un difeomorfismo. Ademas, si para cada
x ∈ U se tiene que f es un difeomorfismo de clase Ck en una vecindad
de x, decimos que f es un difeomorfismo local de clase Ck.
Ejemplo. Consideremos la aplicacion f : R2 → R2 dada por f(x, y) =
(ex cos(y), ex sen(y)). Es claro que f es un difeomorfismo local C∞.
Como f no es inyectiva, no puede ser un difeomorfismo en todo R2 .
Por otra parte, si J ⊂ R es un intervalo abierto con longitud menor
que 2π , entonces f/(R × J) : R × J → R2 es un difeomorfismo sobre
su imagen, el cual es un subconjunto abierto de R2 (se deja a cargo del
lector describir Im(f) ).
Desde la definicion se sigue que todo difeomorfismo local es una apli-
cacion abierta.
Nota. Sea J ⊂ R un intervalo abierto. Si f : J → R es un difeomor-
fismo local entonces f es un difeomorfismo. La prueba es facil y se deja
al lector como ejercicio.
En Rn definimos la funcion distancia (usual) d : Rn × Rn → R dada
por
d(x, y) = ||x− y|| =√
(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2 .
Con esta distancia (y las analogas definidas usando las normas equiva-
lentes || · ||M o || · ||S) se tiene que Rn es un espacio metrico completo,
es decir, una sucesion en Rn es convergente si, y solo si, es de Cauchy.
Ademas, si C ⊂ Rn es un conjunto cerrado, entonces C con la distancia
dC inducida por la de Rn tambien es un espacio metrico completo.
Definicion 6.8 Decimos que una aplicacion f : A ⊂ Rn → Rm es una
152 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
contraccion, si
λ = Lip(f) = supx,y∈Ax6=y
d (f(x), f(y))d(x, y)
< 1 .
El numero λ es llamado el factor de contraccion de f .
Es inmediato ver que toda contraccion es una aplicacion continua,
pues se tiene que f(x), f(y)) 6 λ d(x, y) , y basta tomar δ = ε en la
definicion de continuidad.
Teorema 6.10 (de la contraccion). Si C ⊂ Rn es un conjunto cerrado
y f : C → C una contraccion entonces f tiene un unico punto fijo xf ,
esto es, f(xf ) = xf . Ademas, dado cualquier punto x0 ∈ C, la sucesion
(xk)k∈N, definida por x1 = f(x0) , x2 = f(x1) , . . . , xk = f(xk−1), . . . es
convergente y limk→∞
xk = xf .
Demostracion. Sea λ el factor de contraccion de f , entonces
dC(xk+1, xk) = dC(f(xk), f(xk−1))
6 λ dC(xk, xk−1)
6 λ2 dC(xk−1, xk−2)...
6 λk dC(x1, x0) ,
luego
dC(xk+`, xk) 6`−1∑
i=0
dC(xk+i+1, xk+i)
6`−1∑
i=0
λk+i dC(x1, x0)
Sergio Plaza 153
6 λkdC(x0, x1)∞∑
i=0
λi
6 λk
1− λdC(x1, x0) .
Como 0 < λ < 1 se tiene que limk→∞
λk = 0 , de donde se sigue que
limk→∞
dC(xk+`, xk) = 0 , esto es, la sucesion (xk)k∈N es de Cauchy en C ,
por lo tanto convergente. Sea xf = limk→∞
xk , tenemos xf ∈ C , pues C
es cerrado. Como f es continua, f(xf) = f( limk→∞
xk) = limk→∞
f(xk) =
limk→∞
xk+1 = xf , esto es, f(xf) = xf . Para mostrar la unicidad de
xf , supongamos que existe a ∈ C con f(a) = a , entonces dC(xf , a) =
dC(f(xf), f(a)) 6 λ dC(xf , a) y como 0 < λ < 1 se concluye que xf = a .
Teorema 6.11 (Perturbacion de la Identidad). Sean U ⊂ Rn un con-
junto abierto y ψ : U → Rn una contraccion. Entonces la aplicacion
f = Id + ψ : U → Rn, donde Id es la aplicacion identidad, es un home-
omorfismo desde el conjunto abierto U sobre el conjunto abierto f(U)
de Rn .
Demostracion. Sea 0 < λ < 1 el factor de contraccion de ψ . Tenemos,
||f(x) − f(y) ‖= ||x − y + ψ(x) − ψ(y)|| > ‖ x − y|| − ||ψ(x) − ψ(y) ‖> ||x − y ‖ −λ ||x − y|| = (1 − λ)||x − y||, esto es, (1 − λ) ||x − y|| 6||f(x) − f(y) ‖ . Por lo tanto, si x 6= y se sigue que f(x) 6= f(y) ,
luego f es inyectiva, y en consecuencia una biyeccion sobre su imagen.
Sea f−1 : f(U) → U la aplicacion inversa de f . La desigualdad (1 −λ) ||x−y|| 6 ||f(x)−f(y) ‖ implica que f−1 es continua, pues tomando
z = f(x) y w = f(y) ( es decir, f−1(z) = x, f−1(w) = y ), se tiene,
||f−1(z)− f−1(w)|| 6 11−λ ||z − w ‖ .
De lo anterior, f : U → f(U) es un homeomorfismo.
154 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Sea V = f(U), debemos probar que V es un conjunto abierto en Rn.
Dado a ∈ U , sea b = f(a) ∈ V . Elijamos δ > 0 tal que la bola cerrada
de centro en a y radio δ, B[a; δ] , este contenida en U . Esto lo podemos
hacer, pues como U es abierto, existe δ1 > 0 tal que la bola abierta
de centro en a y radio δ1 , B(a; δ1) , esta contenida en U , tomando
δ = δ1/2 , por ejemplo, se tiene lo pedido. Ahora sea y ∈ B(b; (1−λ)δ) ,
definamos la aplicacion ψy : U → Rn por ψy(x) = y − ψ(x). Note
que si x0 ∈ U es un punto fijo de ψy (es decir, x0 = ψy(x0) ) entonces
x0 + ψ(x0) = f(x0) = y . Luego para mostrar que y es imagen de algun
punto x ∈ U , basta ver que la aplicacion ψy tiene un punto fijo en
U . Para mostrar esta ultima afirmacion es suficiente probar las dos
afirmaciones siguientes,
a) ψy es una contraccion;
b) ψy(B[a; δ]) ⊂ B[a; δ] .
Probadas estas dos afirmaciones, por el Teorema anterior ψy tiene un
punto fijo x0 ∈ B[a; δ] , lo cual soluciona nuestro problema.
Prueba de a). Sean u, v ∈ U , entonces ||ψy(u)−ψy(v)|| = ||y−ψ(u)−y + ψ(v) ‖= ||ψ(v)− ψ(u)|| 6 λ||u− v ‖.Prueba de b). Si x ∈ B[a; δ] entonces ||ψy(x)−a|| = ||y−ψ(x)−a ‖=||y − ψ(a) + ψ(a) − ψ(x) − a ‖6 ||y − (a + ψ(a))|| + ||ψ(a) − ψ(x) ‖6||y − f(a)|| + λ||x − a|| = ||y − b|| + λ||x − a ‖6 (1 − λ)δ + δ = δ,
la ultima parte se obtiene del hecho que y ∈ B[b; (1 − λ)δ] , es decir,
||y − b|| 6 (1− λ)δ .
Con esto la prueba del Teorema esta completa.
Corolario 6.12 Suponga que f : U → Rn es de la forma f = T + ψ,
donde ψ : U → Rn es una contraccion de razon λ con 0 < λ < 1 , y
Sergio Plaza 155
T ∈ GL(Rn) es tal que λ ||T−1|| < 1 . Entonces f es un homeomorfismo
desde U sobre un conjunto abierto de Rn .
Demostracion. Aplicando el Teorema anterior a la aplicacion g =
T−1 f = Id + T−1 ψ se obtiene el resultado.
Teorema 6.13 ( de la Funcion Inversa). Sea U ⊂ Rn un conjunto
abierto y f : U → Rn una aplicacion de clase Ck, con k > 1. Supon-
gamos que en un punto x0 ∈ U la derivada Df(x0) : Rn → Rn es un
isomorfismo. Entonces f es un difeomorfismo local de clase Ck desde
una vecindad abierta V ⊂ U de x0 sobre una vecindad abierta W ⊂ Rn
de f(x0).
Demostracion. Sea v ∈ Rn con v 6= 0, tomando la traslacion Tv :
Rn → Rn dada por Tv(x) = x − v , tenemos que Tv(v) = 0 . Ahora la
aplicacion g = Tf(x0) f T−x0 : U0 → Rn , donde U0 = Tx0(U) ⊂ Rn es
un conjunto abierto con 0 ∈ U0 , satisface g(0) = 0 y Dg(0) = Df(x0) .
Luego, basta demostrar el Teorema para g y lo tenemos de inmediato
para f . En resumen, sin perdida de generalidad, podemos suponer que
x0 = 0 y f(0) = 0 .
Sea r(x) = f(x) − Df(0)x . Tenemos que r ∈ Ck, y que Dr(0) =
Df(0) −Df(0) = 0 . Ahora, elegimos λ tal que 0 < λ ||(Df(0))−1|| <
1 . Como Dr es continua y Dr(0) = 0 , existe una bola abierta V
de centro en 0, tal que para cada x ∈ V se tiene que ||Dr(x)|| < λ .
Por la Desigualdad del Valor Medio, para x, y ∈ V se tiene ||r(x) −r(y)|| < λ||x−y|| , es decir, r es una contraccion, y del corolario anterior
concluimos que f/V es un homeomorfismo desde V sobre un abierto
W ⊂ Rn , con 0 ∈ W . Como GL(Rn) ⊂ L(Rn) es un conjunto abierto, y
Df(0) ∈ GL(Rn), y la aplicacion derivada Df : U → L(Rn) es continua,
podemos elegir V de modo que Df(x) ∈ GL(Rn) , para cada x ∈ V .
156 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Sea h = f−1 : W → V el homeomorfismo inverso de f . Dado x ∈ V ,
sea y = f(x) ∈ W . Si Dh(y) existe, ella debe ser igual a (Df(x))−1.
Escribamos,
h(y + k) = h(y) + (Df(x))−1 k + σ(k) ,
debemos probar que limk→0
σ(k)|k| = 0 .
Pongamos f(x + u) = f(x) + k = y + k , esto es, y = f(x + u) − k .
Como f es continua se sigue que k → 0 cuando u → 0 . Tenemos
u = x + u− x = h(f(x + u))− h(f(x)) = h(y + k)− h(y)
= (Df(x))−1k + σ(k) = (Df(x))−1(f(x + u)− f(x)) + σ(k)
= (Df(x))−1(Df(x)u + r(u)) + σ(k) = u + (Df(x))−1r(u) + σ(k)
luego, u = u+(Df(x))−1r(u)+σ(k), de donde σ(k) = −(Df(x))−1r(u).
Por lo tanto,σ(k)|k| = −|u||k| (Df(x))−1
(r(u)|u|
).
Como la transformacion lineal L = (Df(x))−1 : Rn → Rn es continua,
se tiene que limu→0
(Df(x))−1(r(u)/|u|) = 0 , pues limu→0
r(u)||u|| = 0 . Por lo
tanto, para probar que limk→0
σ(k)|k| = 0, basta probar que el cuociente
|u||k|
permanece acotado cuando k → 0 .
Por la compacidad de la esfera unitaria Sn−1 = v ∈ Rn : ||v|| = 1tenemos que la aplicacion α : Sn−1 → R dada por α(v) = ||Df(x)v||alcanza su mınimo, digamos θ, y como Df(x) ∈ GL(Rn) se sigue que
θ > 0 . Como limu→0
r(u)|u| = 0, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que
∣∣∣∣r(u)|u|
∣∣∣∣ < ε
cuando |u| < δ . De la relacion, k = f(x + u)− f(x) = Df(x)u + r(u) y
del hecho que para cada v ∈ Rn con v 6= 0, el vectorv
|v| tiene norma 1,
tenemos que
|u||k| =
|u||f(x + u)− f(x)|
Sergio Plaza 157
=|u|
|Df(x)u + r(u)|
=1∣∣∣Df(x)
(u|u|
)+ r(u)
|u|∣∣∣
6 1∣∣∣Df(x)(
u|u|
)∣∣∣−∣∣∣ r(u)|u|
∣∣∣.
Ahora, si elegimos 0 < ε < θ tenemos que existe δ > 0 tal que |u| < δ
implica∣∣∣∣r(u)|u|
∣∣∣∣ < ε . Como∣∣∣∣Df(x)
u
|u|
∣∣∣∣ > θ, obtenemos|u||k| 6 1
θ − εsi |u| < δ . Por otra parte k → 0 cuando u → 0. De esto se tiene lo
pedido y hemos probado que h es diferenciable en y ∈ W . Como y era
arbitrario, h es diferenciable en W .
Ahora tenemos que Dh(y) = (Df(x))−1 = (Df(h(y)))−1, donde y =
f(x) . Considerando las aplicaciones h : W → V , Df : V → GL(Rn)
e inv : GL(Rn) → GL(Rn) tenemos que Dh(y) = (inv Df h)(y) , es
decir, la aplicacion derivada Dh es dada por la compuesta inv Df h .
Como inv es de clase C∞, Df ∈ Ck−1, y h ∈ C0 se sigue que Dh es
continua, por lo tanto h ∈ C1 . Para probar que h ∈ Ck si f ∈ Ck , se
procede por induccion y es dejado al lector como ejercicio al lector.
Corolario 6.14 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U → Rn una
aplicacion Cr, con r > 1. Entonces, f es un difeomorfismo local en U
si, y solo si, para cada x ∈ U se tiene que Df(x) ∈ GL(Rn), esto es, si
y solo si, para cada x ∈ U se tiene que det(Jf(x)) 6= 0 .
Corolario 6.15 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y sea f : U → Rn
una aplicacion de clase Cr , con r > 1 . Si f es inyectiva y Df(x) ∈GL(Rn) para cada x ∈ U entonces f es un difeomorfismo desde U
158 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
sobre el conjunto abierto f(U) ⊂ Rn .
La prueba de estos corolario es facil y se deja cargo del lector.
Ejemplo.
Sea f : R2 → R2 la aplicacion dada por f(x, y) = (ex cos(y), ex sen(y)) ,
es claro que f ∈ C∞ y para cada (x, y) ∈ R2 ,
detJf(x, y) = det
ex cos(y) − ex sen(y)
ex sen(y) ex cos(y)
= ex 6= 0 ,
luego f es un difeomorfismo local C∞ .
Observacion. Una manera natural de producir ejemplos es la siguiente.
Sean U ⊂ Rn, V ⊂ Rm conjuntos abiertos, y sean f : U → Rn y
g : V → Rm difeomorfismos (locales) de clase Cr con r > 1. Definamos
f × g : U × V → Rn × Rm, por (f × g)(x, y) = (f(x), g(y)) . Entonces
f × g es un difeomorfismo (local) Cr . Usando esto, construya ejemplos
de difeomorfismos (locales). La prueba se deja al lector como ejercicio.
6.5.2 Forma Local de las Submersiones
Definicion 6.9 Sea U ⊂ Rn abierto y f : U → Rm una aplicacion
diferenciable. Decimos que f es una submersion si, para cada x ∈ U
la derivada Df(x) : Rn → Rm es una aplicacion lineal sobreyectiva.
En particular, n > m, y podemos escribir n = m + p, con p > 0. (En
particular, el rango de Jf(x) es m .)
Ejemplos
(a) Sea π : Rn+m → Rm, la proyeccion en las ultimas m coordenadas,
π(x1, . . . , xn, xn+1, . . . xn+m) = (xn+1, . . . , xn+m) , π es lineal y so-
Sergio Plaza 159
breyectiva, por lo tanto, Dπ(x) = π , para todo x ∈ Rn+m , en
consecuencia π es una submersion.
Este ejemplo es el mas importante, pues el Teorema de la Forma
Local de las Submersiones establece que, localmente, toda sub-
mersion Cr con r > 1 , es equivalente a la proyeccion π en un
sentido que se expresa en el teorema mas adelante.
(b) Sea f : J ⊂ R → R, donde J intervalo abierto. Si f ′(t) 6= 0 para
todo t ∈ J , se tiene que f es una submersion.
(c) Todo difeomorfismo local f : U ⊂ Rn → Rn es una submersion.
(d) Si las aplicaciones f : U ⊂ Rn → R` y g : V ⊂ Rm → Rp
son submersiones entonces la aplicacion f × g : U × V → R` × Rp
definida por (f×g)(x, y) = (f(x), g(y)) es una submersion de clase
de diferenciabilidad el mınimo entre la clase de diferenciabilidad
de f y de g .
La verificacion en cada uno de los ejemplos anteriores es inmediata.
Nota. Si L : Rn → R es una aplicacion lineal entonces se tiene que o
bien L es la aplicacion lineal nula o bien L es sobreyectiva.
En efecto, si L no es la aplicacion nula, entonces existe v ∈ Rn tal
que L(v) = a 6= 0 . Luego, L( 1av) = 1 . Por lo tanto, dado t ∈ R
arbitrario, tenemos que L(t 1av) = t , es decir, L es sobreyectiva.
Teorema 6.16 (Forma Local de las Submersiones). Sean U ⊂ Rn
abierto y f : U → Rm una submersion Ck, con k > 1. Sea x0 ∈ U
entonces para cualquier descomposicion en suma directa Rn = E ⊕ F ,
con x0 = (v0, w0) tal que ∂2f(x0) = Df(x0)/F : F → Rm es un
isomorfismo, existe un difeomorfismo Ck, h : V × W → Z, tal que
160 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
para cada (v, w) ∈ V ×W , (f h)(v, w) = w, donde V ⊂ E ≡ Rn−m,
W ⊂ Rm , y Z ⊂ U son abiertos, con v0 ∈ V , f(x0) ∈ W , y x0 ∈ Z.
Graficamente
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...
Rm
x
U
w0
x0
v0 Rn
Rm
h g h = π2
f
Antes de dar la prueba del Teorema, observemos que siendo Df(x0) :
Rn → Rm sobreyectiva se tiene que n > m, y como una descomposicion
en suma directa de Rn = E ⊕ F , podemos elegir aquella dada por
E = ker(Df(x0)) y F = E⊥, el espacio ortogonal a E. En realidad,
podemos elegir F como cualquier subespacio de Rn que sea suplementar
a E , puesto que si L : Rn → Rm es una aplicacion lineal sobreyec-
tiva, denotando el espacio cuociente Rn/ ker(L) por F , entonces por el
Teorema del Isomorfismo, L/F : F → Rm es un isomorfismo.
Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer x0 = 0
y f(x0) = 0 . Escribiendo f en termino de sus funciones coordenadas,
f = (f1, f2, . . . , fm) y renumerando las funciones coordenadas fi’s de f y
las coordenadas (x1, x2, . . . , xn) de Rn, si es necesario, podemos suponer
que
Sergio Plaza 161
det
∂f1
∂x1(0) · · · ∂f1
∂xm(0)
∂f2
∂x1(0) · · · ∂f2
∂xm(0)
.... . .
...∂fm
∂x1(0) · · · ∂fm
∂xm(0)
m×m
6= 0 .
Ademas, podemos suponer que E = Rn−m, F = Rm y que Rn =
Rn−m × Rm .
Definamos la aplicacion Θ : U ⊂ Rn = Rn−m×Rm → Rn−m×Rm por
Θ(v, w) = (v, f(v, w)) es claro que Θ es Ck, y que para x0 = (0, 0) ∈ U
se tiene DΘ(0, 0)(h, k) = (h, ∂1f(0, 0)h+∂2f(0, 0)k), donde ∂1f(0, 0) =
Df(0, 0)/Rn−m : Rn−m → Rn−m y ∂2f(0, 0) = Df(0, 0)/Rm : Rm →Rm, esta ultima aplicacion lineal es un isomorfismo, por hipotesis. La
aplicacion lineal L : Rn−m × Rm → Rn−m × Rm, dada por L(u, v) =
(u, (∂2f(0, 0))−1(v − ∂1f(0, 0)u)) es la inversa de DΘ(0, 0) (verificacion
rutinaria). Luego por el Teorema de la Funcion Inversa, Θ es un difeo-
morfismo local Ck desde una vecindad abierta de (0, 0) en Rn−m ×Rm,
la cual podemos elegir de la forma V × W , donde V ⊂ Rn−m con
0 ∈ V y W ⊂ Rm con 0 ∈ W , y ambos V y W son conjuntos
abiertos. Pongamos Z = Θ−1(V × W ) es claro que Z ⊂ Rn es un
conjunto abierto. Definamos h : V × W → Z por h = Θ−1. Como
Θ(v, w) = (v, f(v, w)) , necesariamente h es de la forma h(u,w) =
(u, h2(u,w)) . Tenemos que (v, w) = Θ h(v, w) = Θ(v, h2(v, w)) =
(v, f(v, h2(v, w))) = (v, f h(v, w)), luego (f h)(v, w) = w = π2(v, w),
donde π2 : Rn−m×Rm → Rm es la proyeccion en la segunda coordenada.
Observacion. Del Teorema se sigue que toda submersion es una apli-
cacion abierta, pues la proyeccion π lo es.
162 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Teorema 6.17 (Funcion Implıcita). Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto
y sea f : U → Rm una aplicacion Cr, con r > 1. Supongamos que
Rn = E ⊕ F es una descomposicion en suma directa, tal que para x0 =
(v0, w0) ∈ E ⊕ F se tiene que ∂2f(x0) = Df(x0)/F : F → Rm es un
isomorfismo. Pongamos c = f(x0) . Entonces existen abiertos V ⊂ E
con v0 ∈ V y Z ⊂ U con x0 ∈ Z, con la propiedad que para cada
v ∈ V , existe ξ(v) ∈ F tal que (v, ξ(v)) ∈ Z y f(v, ξ(v)) = c. Ademas,
la aplicacion ξ : V → F , definida de este modo es de clase Cr y su
derivada viene dada por la formula siguiente
Dξ(v) = −(∂2f(v, ξ(v)))−1 ∂1f(v, ξ(v)) .
Demostracion. Como en el Teorema anterior podemos, sin perdida de
generalidad suponer que x0 = (0, 0) , f(0, 0) = 0 , E = Rn−m, y que
F = Rm . Con la notacion anterior, tomando Z = h(V ×W ) , tenemos
que h(v, w) = (v, h2(v, w)) para (v, w) ∈ V × W . Definamos ξ(v) =
h2(v, 0). Es claro que ξ : V → Rm es de clase Cr, y que f(v, ξ(v)) =
f(v, h2(v, 0)) = f h(v, 0) = π2(v, 0) = 0 .
Ademas, si (v, w) ∈ V ×W , satisface f(v, w) = 0, entonces (v, w) =
h Θ(v, w) = h(v, f(v, w)) = h(v, 0) = (v, h2(v, 0)) = (v, ξ(v)) , por lo
tanto w = ξ(v).
Para mostrar la ultima afirmacion del Corolario, derivamos la igualdad
f(v, ξ(v)) = 0 y obtenemos
∂1f(v, ξ(v)) + ∂2f(v, ξ(v))Dξ(v) = 0 ,
luego, Dξ(v) = −(∂2f(v, ξ(v)))−1 ∂1f(v, ξ(v)).
Observacion. Geometricamente, el Teorema de la Funcion Implıcita
significa que el conjunto f−1(0) ∩ Z es el grafico, relativo a la descom-
posicion Rn = Rn−m × Rm, de la aplicacion ξ : V → Rm .
Sergio Plaza 163
Ejemplos
1. Si la ecuacion F (x, y, z) = 0 define implicıtamente z como funcion
una z = f(x, y) para todo x, y ∈ U ⊂ R2 (U abierto), entonces
podemos calcular las derivadas parciales de z = f(x, y) en todos
los puntos donde ∂3F (x, y, z) 6= 0 .
En efecto, escribimos g(x, y) = F (u1(x, y), u2(x, y), u3(x, y)) , donde
u1(x, y) = x , u2(x, y) = y , y u3(x, y) = f(x, y) , la descomposion
de R3 es dada, en este caso, por R3 = R2 ⊕ R . Por la regla de la
cadena aplicada a la ecuacion F (x, y, f(x, y)) = 0 obtenemos
∂g
∂x= ∂1F
∂u1
∂x+ ∂2F
∂u2
∂x+ ∂3F
∂u3
∂x= 0
∂g
∂y= ∂1F
∂u1
∂y+ ∂2F
∂u2
∂y+ ∂3F
∂u3
∂y= 0 .
Ahora, como
∂u1
∂x= 1 ,
∂u2
∂x= 0 ,
∂u3
∂x=
∂f
∂x, y
∂g
∂x= 0 ,
la primera ecuacion se transforma en ∂1F +∂3F∂f∂x = 0 , y de aquı
nos queda∂f
∂x= −∂1F (x, y, f(x, y))
∂3F (x, y, f(x, y)),
en todos los puntos donde ∂3F (x, y, f(x, y)) 6= 0 . De modo analogo,
obtenemos∂f
∂y= −∂2F (x, y, f(x, y))
∂3F (x, y, f(x, y)).
Podemos denotar estas formulas como sigue
∂f
∂x= −∂F
∂x/∂F
∂z,
∂f
∂y= −∂F
∂y/∂F
∂z.
Por ejemplo, si F (x, y, z) = y2+xz+z2−ez−c = 0 define z como
funcion de x, y . Determinemos primero el valor de la constante
164 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
c de modo que f(0, e) = 2 y enseguida calculamos las derivadas
parciales de f .
Tenemos que para x = 0 , y = e y z = 2 nos queda F (0, e, 2) = 0
se satisface cuando c = 4 , luego F (x, y, z) = y2+xz+z2−ez−4 =
0 , y por las formulas anteriores
∂f
∂x= − z
x + 2z − ez,
∂f
∂y= − 2y
x + 2z − ez,
evaluando en los valores dados de x e y se obtiene el resultado
∂f
∂x(0, e) = − 2
2e− e2,
∂f
∂y(0, e) = − 2e
2e− e2.
2. Si las dos ecuaciones
F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0 ,
definen x e y como funcion de z , es decir, x = h1(z) e y = h2(z) ,
para todo z en un intervalo abierto ]a, b[ . Como antes, podemos
calcular las derivadas de h1(z) y de h2(z) .
En este caso usamos la descomposicion R3 = R2 ⊕ R . Definamos
las funciones f(z) = F (h1(z), h2(z), z) y g(z) = G(h1(z), h2(z), z) .
Entonces f(z) = 0 y g(z) = 0 para todo z ∈ ] a, b [ . Luego
f ′(z) = 0 y g′(z) = 0 es ese intervalo. Por otra parte,
f ′(z) =∂F
∂xh′1(z) +
∂F
∂yh′2(z) +
∂F
∂z,
g′(z) =∂G
∂xh′1(z) +
∂G
∂yh′2(z) +
∂G
∂z.
Ahora debemos resolver el sistema de ecuaciones lineales∂F
∂xh′1(z) +
∂F
∂yh′2(z) = −∂F
∂z
∂G
∂xh′1(z) +
∂G
∂yh′2(z) = −∂G
∂z
Sergio Plaza 165
respecto de h′1(z) y h′2(z) . Usando la notacion
∂(F, G)∂(u, v)
= det
∂F
∂u
∂F
∂v
∂G
∂u
∂G
∂v
,
nos queda
h′1(z) = −∂(F, G)∂(z, y)
/∂(F, G)∂(x, y)
, h′2(z) = −∂(F, G)∂(x, z)
/∂(F, G)∂(x, y)
.
6.5.3 Forma Local de las Inmersiones
Definicion 6.10 Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U → Rm
una aplicacion Cr, con r > 1. Decimos que f es una inmersion, si para
cada x ∈ U la aplicacion lineal Df(x) : Rn → Rm es inyectiva. En
particular, se tiene que n 6 m.
Nota. SeaL : R → Rn una aplicacion lineal. Entonces o bien L es la
aplicacion nula o bien L es inyectiva. Esto es facil de probar y se deja
a cargo del lector.
Ejemplos
1. Sea i : Rn → Rm = Rn × Rm−n la aplicacion inclusion dada por
i(x) = (x, 0) , es claro que i ∈ C∞ y que Di(x) = i . Por lo tanto i
es una inmersion C∞ . Este ejemplo es particularmente importante,
el Teorema de la Forma Local de las Inmersiones establece que
toda inmersion es localmente como la aplicacion i , en el sentido
del teorema mas abajo.
2. Sea f : J ⊂ R→ Rm , donde J es un intervalo abierto. Si f ∈ Ck
( k > 1) ydf(t)dt
6= 0 para todo t ∈ J , entonces f es una inmersion
Ck .
166 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
3. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto, y sea f : U → Rm una apli-
cacion de clase Cr (r > 1). Entonces la aplicacion F : U →Rn × Rm ≡ Rn+m dada por F (x) = (x, f(x)) es una inmersion
Cr , pues DF (x)v = (v,Df(x)v) , la cual claramente es inyectiva.
4. Recuerde del Algebra Lineal que si u, v ∈ R3 entonces u, v son
linealmente independientes si, y solo si, el producto vectorial u×v 6= 0 .
Ahora, sea U ⊂ R2 un conjunto abierto y sea ϕ : U → R3 una
aplicacion Cr (r > 1). Entonces ϕ es una inmersion si, y solo si,
∂ϕ
∂u× ∂ϕ
∂v6= 0 ,
en todo punto de U . Por ejemplo, sea U ⊂ R2 es un conjunto
abierto y f : U → R es una aplicacion de clase Cr (r > 1), y
F : U → R3 es definida por F (x, y) = (x, y, f(x, y)) entonces
∂F
∂x=
(1, 0,
∂f
∂x
)
∂F
∂y=
(0, 1,
∂f
∂y
)
y∂F
∂x× ∂F
∂y=
(−∂f
∂x,−∂f
∂y, 1
)6= 0 .
Ahora, sea ϕ : R2 → R3 dada por ϕ(u, v) = (u cos(v), u sen(v), u2/2),
se tiene∂ϕ
∂u= (cos(v), sen(v), u)
∂ϕ
∂v= (−u sen(v), u cos(v), 0)
Sergio Plaza 167
y si u 6= 0 entonces
∂ϕ
∂u× ∂ϕ
∂v= u(−u cos(v),−u sen(v), 1) 6= 0 .
Teorema 6.18 (Forma Local de las Inmersiones). Sea U ⊂ Rn un
conjunto abierto y f : U → Rm una aplicacion Cr , con r > 1 . Sea
x0 ∈ U , tal que Df(x0) : Rn → Rm es inyectiva. Entonces existe
un difeomorfismo Cr, h : Z → V × W , donde Z ⊂ Rm , V ⊂ U , y
W ⊂ Rm−n son conjuntos abiertos, con f(x0) ∈ Z , x0 ∈ V , y 0 ∈ W ,
tales que f(V ) ⊂ Z y h f(x) = i(x) = (x, 0) .
Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que x0 =
0 y que f(0) = 0 . Como Df(0) : Rn → Rm es inyectiva se sigue que
Df(0) : Rn → Df(0)Rn = Im(Df(0)) es un isomorfismo. Sea E =
Df(0)Rn y sea F cualquier subespacio de Rm, suplementar a E . Tene-
mos que F es isomorfo a Rm−n y que Rm = E ⊕Rm−n ≡ Rn×Rm−n .
Ahora definamos la aplicacion Θ : U×F → Rm , por Θ(x, y) = (f(x), y) ,
es claro que Θ ∈ Cr . Tenemos entonces Θ(x, 0) = (f(x), 0) ≡ f(x) ,
y la derivada DΘ(0, 0) : Rn × Rm−n → Rm = Rn × Rm−n es dada por
DΘ(0, 0) = (Df(0), Id), donde Id : Rm−n → Rm−n es la aplicacion
identidad, luego DΘ(0, 0) es un isomorfismo. Por el Teorema de la
Funcion Inversa, Θ es un difeomorfismo local Cr desde una vecindad
abierta V ×W de (0, 0) sobre una vecindad abierta Z = Θ(V ×W ), con
(0, 0) ∈ V ×W . Sea h = Θ−1, h : Z → V ×W . Es claro que h es un
difeomorfismo Cr y h f(x) = h Θ(x, 0) = (x, 0).
Geometricamente este Teorema se ve en la figura siguiente,
168 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
....................................
................................................
.............................................................................
................................................................ ..............f
..................................................................................................................................................
........................................................................................
............
...................................................................................
...............................................
..........................
..........................
............................................................
.................................
........................................
.......................................................
.............................................................................................
Z
•f(x0)
.......................................................................................................................................h
............................................................................................................................................................................................................................................................................................. ..............
h f
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
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...........
...........
...........
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...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
..........
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................0
V ×W
.................................................................................................................................................................................................................................................................( )( )
x0
V
U
Corolario 6.19 Bajo las hipotesis del Teorema anterior, existe una
vecindad abierta V de x0, tal que f : V → f(V ) es un homeomorfismo,
cuya aplicacion inversa f−1 : f(V ) → V es la restriccion a f(V ) de una
aplicacion Cr, ξ : Z → V .
Demostracion. Sea π1 : V × W → V la proyeccion en la primera
coordenada, π1(x, y) = x. Entonces (π1 h f)(x, 0) = π1(x, 0) = x y
llamando ξ = π1 h, se sigue que ξ/f(V ) = f−1 . Claramente, ξ ∈ Cr .
Recordemos que el rango de una aplicacion lineal T : Rn → Rm,
denotado por rango (T ) , es definido como sigue: rango(T ) = r si, y
solo si, la matriz de T tiene un determinante menor de orden r × r no
nulo y todo determinante menor de orden (r + 1) × (r + 1) es nulo,
equivalentemente, rango (T ) = r si, y solo si, la matriz de T tiene r filas
Sergio Plaza 169
(columnas) linealmente independientes y cualquier sistema de r +1 filas
(columnas) es linealmente dependiente.
Definicion 6.11 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto. El rango de una
aplicacion diferenciable f : U ⊂ Rn → Rm, U abierto, en un punto
x ∈ U es el rango de Df(x) . Usaremos la notacion rango(f(x)) para
indicar el rango de f en x .
Observacion. Si f tiene rango r en un punto x ∈ U , entonces existe
una vecindad abierta V ⊂ U de x, tal que para cada y ∈ V se tiene que
rango(f(y)) > r .
Teorema 6.20 (del Rango) Sean U ⊂ Rm+n un conjunto abierto y
f : U → Rm+p una aplicacion Cr , con r > 1 . Supongamos que el
rango de f es constante igual a m para cada x ∈ U . Entonces existen
difeomorfismos Cr , α desde un abierto de Rm×Rn que contiene a x, β
desde un abierto que contiene a f(x) en Rm×Rp, tales que βfα(x, y) =
(x, 0).
Este Teorema es ilustrado geometricamente en la figura siguiente.
Su demostracion es una consecuencia inmediata de los Teoremas de la
Forma local de la Inmersiones y de la Submersiones.
170 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
......................................................................................................................................................................................... ..............
..............................................................................................................................................
...........
...........
...........
...........
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...........
...........
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................
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........................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............
.................................................................................................................................................................................................................................................................
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...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
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...........
........
........................
.......................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........................................
............................
...........
.........................
........................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
(x, 0)
Rm × Rp
Rm+p
β f α
•x
f • f(x)
β
α
Rm × Rn
(x, y)
Definicion 6.12 Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U → Rm una
aplicacion diferenciable. Decimos que un punto x0 ∈ U es un punto
regular de f , si rango(f(x0)) es maximal, es decir, rango(f(x0)) =
mınn,m . Si x0 no es regular, decimos que es singular.
Los Teoremas anteriores, son llamados Teoremas de rango maximo
y el siguiente teorema los resume en uno solo. Usaremos la siguiente
notacion: si f : U ⊂ Rm → Rm entonces
det(
∂(f1, f2, . . . , fm)∂(x1, x2, . . . , xm)
)(0) = det
∂f1(0)∂x1
∂f1(0)∂x2
· · · ∂f1(0)∂xm
∂f2(0)∂x1
∂f2(0)∂x2
· · · ∂f2(0)∂xm
...... · · · ...
∂fm(0)∂x1
∂fm(0)∂x2
· · · ∂fm(0)∂xm
m×m
Sergio Plaza 171
Teorema 6.21 Sea W ⊂ Rn un conjunto abierto, con 0 ∈ W y sea
f : W → Rm una aplicacion de clase Cr, con r > 1 , con f(0) = 0.
Supongamos que 0 es un punto regular de f , tenemos
I.- Si n = m. Entonces existen conjuntos abiertos U , V ⊂ Rn ,
conteniendo a 0 , tales que f : U → V es un difeomorfismo.
II.- Si n > m. Entonces rango(f(0)) = m, y renumerando las fun-
ciones coordenadas (f1, f2, . . . , fm) de f y renumerando las coor-
denadas (x1, x2, . . . , xn) de Rn , si es necesario, podemos asumir
que
det(
∂(f1, f2, . . . , fm)∂(x1, x2, . . . , xm)
)(0) 6= 0
entonces, existen vecindades abiertas U , V de 0 en Rn , con U ⊂W y un difeomorfismo Cr, h : U → V con h(0) = 0 tal que
(f h)(x1, x2, . . . , xm, xm+1, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xm) ,
para (x1, . . . , xm, . . . , xn) ∈ U .
III.- Si n > m. Luego, rango(f(0)) = m, y renumerando las funciones
coordenadas de f y las coordenadas de Rn, si es necesario, podemos
asumir que
det
(∂(f1, . . . fm)∂(x1, . . . xm)
)(0) 6= 0 .
Entonces existen un abierto U ⊂ Rn−m , con 0 ∈ U , y una apli-
cacion Cr, g = (g1, g2, . . . , gm) : U → Rm , con g(0) = 0 , tal
que
f(g1(xm+1, . . . , xn), . . . , gm(xm+1, . . . , xn), xm+1, . . . , xn) = 0
para (xm+1, . . . , xn) en una vecindad de 0 en Rn−m.
172 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
IV.- Si n 6 m. Entonces rango(f(0)) = n , y renumerando las fun-
ciones coordenadas de f y las coordenadas de Rn, si es necesario,
podemos asumir que
det
(∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xn)
)(0) 6= 0 .
Entonces existen vecindades abiertas U , V de 0 en Rm y un difeo-
morfismo Cr, h : U → V , con h(0) = 0 tal que
(h f)(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0) .
6.6 Formulas de Taylor
La frmula de Taylor se puede presentar de varias formas, cada una de ella
extiende, a su modo, para aplicaciones Ck o solo k veces diferenciables,
una propiedad conocida para aplicaciones C1 solo diferenciable. Aquı
veremos tres formas, la primera de ellas, llamada formula de Taylor con
resto infinitesimal nos da, para aplicaciones k veces diferenciables en un
punto una aproximacion polinomial, que extiende la aproximacion lineal
dad por la definicion de derivada; la segunda, llamada formula de Taylor
con resto integral, extiende para aplicaciones de clase Ck el Teorema
Fundamental del Calculo, y la ultima, llamada formula de Taylor con
resto de Lagrange es una extension de la desigualdad del Valor Medio.
Notacion. Sea v ∈ Rm , escribimos vj = (v, . . . , v) ∈ Rm × · · · × Rm
(j factores) para indicar la j–upla de vectores iguales a v .
Si ϕ : Rm × · · · × Rm → Rn es una aplicacion j–lineal, entonces
ϕ(vj) = ϕ(v, . . . , v) .
Teorema 6.22 ( Formula de Taylor con resto infinitesimal) Sea U ⊂Rm un conjunto abierto y sea f : U → Rn una aplicacion k veces
Sergio Plaza 173
diferenciable en U . Si en un punto x0 ∈ U existe Dk+1f(x0) entonces
f(x0 + h) = f(x0) + Df(x0)h + 12! D2f(x0)h2 + · · ·+
1k! Dkf(x0)hk + 1
(k+1)! Dk+1f(x0)hk+1 + r(h) ,
donde limh→0
r(h)||h||k+1
= 0 .
Demostracion. Sea B ⊂ Rm una bola abierta centrada en 0. De-
finamos la aplicacion r : B → Rn por r(x) = f(x0 + x) − f(x0) −Df(x0)x− 1
2! D2f(x0)x2−· · ·− 1k! Dkf(x0)xk− 1
(k+1)! Dk+1f(x0)xk . Ten-
emos que r es k veces diferenciable en B y k + 1 veces diferenciable
en x = 0 . Ademas, Djr(0) = 0 para j = 0, 1, . . . , k + 1 . Queremos
probar que limx→0
r(x)||x||k+1
= 0 . La prueba a seguir es por induccion en k .
Para k = 0 es simplemente la definicion de diferenciabilidad de f en
x0 . Supongamos que vale para k . Por la Desigualdad del Valor Medio
se tiene que ||r(x)|| 6 M ||x|| , donde M = sup||Dr(y)|| : y ∈ [0, x] (recuerde que [0, x] = tx : 0 6 t 6 es el segmento de recta uniendo o
y x ). Aplicando la hipotesis de induccion a Dr , se tiene que para todo
ε > 0 existe δ > 0 , tal que si ||y|| < δ entonces ||Dr(y)|| < ε ||y||k .
Por lo tanto, si ||y|| < δ , tomando supremo en la desigualdad anterior,
tenemos que M 6 ε ||x||k , y de aquı se sigue que ||r(x)|| 6 ε ||x||k+1
para ||x|| < δ , lo que completa la prueba.
Corolario 6.23 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y sea f : U → Runa aplicacion k veces diferenciable en x ∈ U . Entonces
f(x + h) = f(x) +k∑
i=1
∑
j1+···+jn=1
i!j1!j2! · · · jn!
∂if
∂j1x1∂j2x2 · · · ∂jnxn(x)
+r(h) ,
donde limh→0
r(h)||h||k+1
= 0 .
174 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Nota. Si algun j` = 0 entonces en la expresion anterior no aparece tal
derivada parcial.
Teorema 6.24 Sea ϕ : [0, 1] → R` un camino de clase Ck+1 . En-
tonces
ϕ(1) = ϕ(0)+ϕ′(0)+12!
ϕ′′(0)+ · · ·+ 1k!
ϕ(k)(0)+∫ 1
0
(1− t)k
k!ϕ(k+1)(t)dt
Demostracion. Sea p : [0, 1] → R` el camino definido por p(t) =
ϕ(t) + (1 − t)ϕ′(t) + · · · + (1−t)k
k! ϕ(k)(t) . Como ϕ es de clase Ck+1 se
sigue que p es de clase C1 , y p′(t) = (1−t)k
k! ϕ(k+1)(t) , y el Teorema
Fundamental del Calculo nos da que p(1) = p(0) +∫ 10 p′(t)dt , lo cual al
reescriirlo nos resulta la formula buscada.
Teorema 6.25 (Formula de Taylor con resto de Lagrange). Sea U ⊂Rm un conjunto abierto y sea f : U → Rn una aplicacion de clase
Ck+1 . Si el segmento de recta x0, x0 + h] esta contenido en U y si
||Dk+1f(x)|| 6 M para cada x ∈ [x0, x0 + h] , entonces
f(x0 +h) = f(x0)+Df(x0)h+12!
Df (x0)h2 + · · ·+ 1k!
Dkf(x0)hk +r(h) ,
donde ||r(h)|| 6 M(k+1)! ||h||k+1 .
Demostracion. En el teorema anterior, hacemos
r(h) =∫ 1
0
(1− t)k
k!Dk+1f(x0 + th)hk+1 dt .
Tenemos entonces que
||r(h)|| 6∫ 1
0
(1− t)k
k!||Dk+1f(x0 + th)|| ||hk+1|| dt
Sergio Plaza 175
6 M
k!||h||k+1
∫ 1
0(1−t)k dt
=M
k!||h||k+1 1
k + 1(1− t)|10
=M
(k + 1)!||h||k+1 .
y la prueba esta completa.
6.7 Valores Extremos de Aplicaciones
Sea X ⊂ Rn un conjunto no vacıo, y sea x0 ∈ X .
Definicion 6.13 Sea f : X → R . Decimos que
a) x0 es un maximo local para f si existe una bola abierta B en
Rn con centro en x0 tal que f(x) 6 f(x0) para todo x ∈ B ∩X .
Ademas, si f(x) < f(x0) para cada x ∈ (X −x0)∩B , decimos
que x0 es un maximo local estricto para f .
b) x0 es un maximo absoluto para f si f(x) 6 f(x0) para todo
x ∈ X . Si ademas se cumple que f(x) < f(x0) para todo x ∈X − x0 , decimos x0 es un macimo absoluto estricto para f .
Invirtiendo las desigualdades anteriores se definen los conceptos de
mınimo local, mınimo local estricto, mınimo absoluto,y mınimo absoluto
estricto.
En cualquiera de esos caso, decimos que x0 es un valor extremo para
f (local, respectivamente, absoluto).
Tenemos el siguiente teorema.
176 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Teorema 6.26 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y sea f : U → R
una aplicacion diferenciable en U . Entonces una condicion necesaria
para que un punto x0 ∈ U sea un extremo para f es que Df(x0) = 0 .
Demostracion. Supongamos que x0 ∈ U es un maximo local para f
(los otros casos se prueban de forma analoga). Entonces existe una bola
abierta B con centro en x0 , con B ⊂ U (pues U es abierto) tal que
f(x) 6 f(x0) para todo x ∈ B . Como f es diferenciable en x0 , se
tiene que si x0 + h ∈ B entonces f(x0 + h) = f(x0) + Df(x0)h + r(h) ,
con limh→0
||r(h)||/||h|| = 0 . Por lo tanto, f(x+h) − f(x0) = Df(x0)h +
r(h) . Luego, Df(x0)h + r(h) 6 0 para todo h ∈ B(0, ε) , con ε
pequeno. Reemplazando h por −h se sigue que Df(x0)h = r(h) .
Luego, Df(x0) = 0 , como querıamos probar.
Notas. 1.- Geometricamente la conducion Df(x0) = 0 significa que
el plano tangente al grafico de f en el punto (x0, f(x0)) es paralelo al
subespacio Rn × 0 de Rn × R .
2.- La condicion Df(x0) = 0 no es suficiente para tener un extremo local
en x0 . Por ejemplo, consideremos la aplicacion f : R2 → R definida
por f(x, y) = x2 − y2 . Se tiene que Df(0, 0) = 0 , pero (0, 0) no es
maximo ni mınimo local para f .
Figura.
Definicion 6.14 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto, y sea f : U → R
Sergio Plaza 177
una aplicacion diferenciable en U . Si Df(x0) = 0 , con x0 ∈ U ,
decimos que x0 es un punto crıtico para f . El valor f(x0) de un
punto crıtico es llamado un valor crıtico para f .
Ejemplo. Sea f : R3 → R la aplicacion definida por f(x, y, z) =
x4 + y4− 2(x2 + z2)+ y2 . Tenemos que f es de clase C∞ , y los puntos
crıticos son dados por las soluciones de las ecuaciones
∂f
∂x(x, y, z) = 4x3 − 4x = 0
∂f
∂y(x, y, z) = 2y = 0
∂f
∂z(x, y, z) = 4z3 − 4z2 = 0 .
El conjunto solucion de estas ecuaciones es dado por los puntos (0, 0, 0) ,
(1, 0, 0) , (−1, 0, 0) , (0, 0, 1) , (0, 0,−1) , (1, 0, 1) , (−1, 0, 1) , (1, 0,−1) ,
y (−1, 0,−1) . Los correspondientes valores crıticos son 0 , −1 , −1 ,
−1 , −1 , −2 , −2 , −2 , y −2 , respectivamente.
Teorema 6.27 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto, y sea f : U → R
una aplicacion diferenciable en x0 ∈ U , con Df(x0) = 0 . Entonces una
condicion necesaria y suficiente para que x0 sea un maximo local estricto
para f es que exista una constante c > 0 tal que D2f(x0)(v, v) 6−c||v||2 para todo v ∈ Rn . Analogamente, x0 es un mınimo local
estricto para f si existe una constante d > 0 tal que Df (x0)(v, v) >d||v||2 para todo v ∈ Rn .
Demostracion. Desde el Teorema de Taylor, tenemos que f(x0 +h) =
f(x0) + 12!D
2f(x0)(v, v) + r(h) , donde limh→0
r(h)/||h||2 = 0 . Ahora, si
D2f(x0)(h, h) 6 −c||h||2 , se sigue que f(x0 + h) − f(x0) 6 − c2 ||h||2 +
178 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
r(h) , luego si h 6= 0 se tiene que f(x0+h)−f(x0)||h||2 6 − c
2 + r(h)||h||2 . Elijamos
α > 0 tal que frac|r(h)|||h||2 6 c4 para todo h ∈ B(0, α) , se sigue
entonces que f(x0 + h) − f(x0) 6 −c||h||2 para todo h ∈ B(0, α) .
Luego, f tiene un maximo local estricto en x0 , lo que completa la
prueba.
Nota. Si Df(x0), D2f(x0), . . . , D2r−1f(x0) son todas cero, entonces la
una prueba analoga a la anterior muestra que una condicion suficiente
para que x0 sea un maximo local para f es que exista una constante
c > 0 tal que D2rf(x0)(h, . . . , h) 6 −c||h||2r para todo h ∈ Rn .
Una condicion analoga vale para tener mınimo local.
Ejemplo. En el ejemplo anterior, f(x, y, z) = x4 + z4− 2(x2 + z2)+ y2
tenemos∂2f
∂x2(x, y, z) = 12x− 4
∂2f
∂y2(x, y, z) = 2
∂2f
∂z2(x, y, z) = 12z2 − 4
todas las otras derivadas parciales de segundo orden son nulas. Desde el
Teorema anterior, tenemos que un punto crıtico es un maximo (resp. un
mınimo) local para f si ∂2f∂x2 (x, y, z) , ∂2f
∂y2 (x, y, z) y ∂2f∂z2 (x, y, z) son
estrictamente negativas (resp. estrictamente positivas) en ese punto
crıtico. Evaluando esas derivadas en los puntos crıticos, vemos que
ninguno de ellos es un maximo local, mientras que los puntos crıticos
(1, 0, 1) , (−1, 0, 1) , (1, 0,−1) y (−1, 0,−1) son mınimos locales estric-
tos para f , con correspondiente valor crıtico −2 . De hecho, como f
es acotada por abajo, se sigue que −2 es el valor mınimo absoluto para
f .
Sergio Plaza 179
Sea L2(Rn,Rm) = ϕ : Rn × Rn → Rm : ϕ es bilineal . Deci-
mos que ϕ ∈ L2(Rn,Rm) es simetrica si ϕ(u, v) = ϕ(v, u) para todo
u, v ∈ Rn . Tenemos que el conjunto L2(Rn,Rm) de las aplicaciones
bilineales de Rn × Rn en Rm es un espacio vectorial, y si denotamos
por L2,s(Rn,Rm) el conjunto de las aplicaciones bilineales simetricas,
entonces L2,s(Rn,Rm) es un subespacio vectorial de L2(Rn,Rm) .
Teorema 6.28 Sea A ∈ L2,s(Rn,R) . Entonces ai , A(v, v) > 0 para
todo v ∈ Rn , con v 6= 0 , existe c > 0 tal que A(v, v) > c||v||2 para
todo v ∈ Rn .
Demostracion. Sea c = infA(v, v) : ||v||2 = 1 . Tenemos que
c > 0 , y el resto de la prueba es facil (se deja a cargo del lector).
Si A ∈ L2,s(Rn,R) , definimos la aplicacion q : Rn → R por q(x) =
A(x, x) (q es una forma cuadratica). Decimos que q es no degenerada
si q(x) = 0 si, y solo si, x = 0 . Si q(x) > 0 para todo x ∈ Rn , con
x 6= 0 , decimos que q es positiva definida. Si −q es positiva definida,
decimos que q es negativa definida.
Sea vi : i = 1, . . . , n una base de Rn , podemos definir una matriz
n × n , simetrica, (aij)i,j=1,...,n , donde aij = A(vi, vj) . Los valores
propios de esta matriz son reales, y tenemos que q(x) = A(x, x) es no
degenerada si, solo si, todos los valores propios de (aij)i,j=1,...,n son no
cero. Si todos los valores propios de (aij)i,j=1,...,n son estrictamente
positivos entonces q es positiva definida. Ademas, podemos encontrar
una base E de Rn , tal que relativa a E , q tiene la forma
q(x1, . . . , xn) =p∑
j=1
x2i −
n∑
i=p+1
x2i
para todo (x1, . . . , xn) ∈ Rn . Ahora aplicamos esto a puntos crıticos de
aplicaciones.
180 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Teorema 6.29 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y sea f : U → R .
Supongamos que
1. f ∈ C1 ,
2. x0 ∈ U es un punto crıtico de f ,
3. f es dos veces diferenciable en x0 y D2f(x0) es no degenerada.
Entonces, x0 es un maximo local estricto para f, si, y solo si, D2f(x0)
es negativa definida, x0 es un mınimo local estricto para f si, y solo
si, D2f(x0) es positiva definida.
En particular, si v1, . . . , vn es una base de Rn , x0 es un maximo
(resp. un mınimo) local estricto para f si, y solo si, todos los valores
propios de la matriz (D2f(x0)(vi, vj))i,j=1,...,n son estrictamente nega-
tivos (resp. estrictamente positivos).
Demostracion. (=⇒) Se sigue directamente del teorema anterior.
(⇐=) Supongamos que D2f(x0) es no degenerada, pero no negativa
definida. Podemos elegir una base v1, . . . , vn de Rn , tal que la ex-
pansion de Taylor de f alrededor de x0 = (x1, . . . , xn) tiene la forma
f(x1 +h1, . . . , xn +hn) = f(x1, . . . , xn)+12
p∑
i=1
h2i −
n∑
i=p+1
h2i
+r(h) ,
donde h = (h1, . . . , hn) y limh→0
r(h)||h||2 = 0 , y p es estrictamente positivo.
Denotemos por Rp el subespacio generado por las primeras p coor-
denadas de Rn . Si restringimos f a U ∩ (x0 +Rp) , vemos que x0 no
puede ser un maximo local estricto para f . Analogamente, si D2f(x0)
es no positiva, x0 no puede ser un mınimo local estricto para f . Lo
que concluye la prueba.
Ejemplos.
Sergio Plaza 181
6.8 Multiplicadores de Lagrange
En algunos problemas se pide minimizar una funcion sujeta a ciertas
restricciones.
Teorema 6.30 (Multiplicadores de Lagrange) Sea U ⊂ Rn un con-
junto abierto y sean f, g : U → R aplicaciones de clase Cr ( r > 1).
Sea x0 ∈ U , con g(x0) = c0 , sea S = g−1(c0) el conjunto de nivel
de g con valor c0 . Supongamos que grad g(x0) 6= 0 (en particular, S
es una superficie). Si f |S tiene un maximo o un mınimo local en x0 ,
entonces existe un numero real λ tal que
grad f(x0) = λ grad g(x0) .
Demostracion. Como grad g(x0) 6= 0 , sin perdida de generalidad,
podemos suponer que ∂g∂xn
(x0) 6= 0 y que c0 = 0 . Entonces por el Teo-
rema de la Funcion Implıcita, existe una funcion de clase Cr , h tal que
g(x1, . . . , xn−1, h(x1, . . . , xn−1)) = 0 , para todo (x1, . . . , xn−1) en un
conjunto abierto V ⊂ Rn−1 . Definamos una funcion k como sigue
k(x1, . . . , xn−1) = f(x1, . . . , xn−1, h(x1, . . . , xn−1)) . Queremos maxi-
mizar k . Si k tiene un maximo o un mınimo local en un punto, entonces
∂k
∂xi=
∂f
∂xi+
∂f
∂xn
∂h
∂xi= 0 .
Pero, ∂g∂xi
+ ∂g∂xn
∂h∂xi
= 0 , luego
∂f
∂xi= − ∂f
∂xn
∂h
∂xi= − ∂f
∂xn·(− ∂g
∂xi/
∂g
∂xn
)=
(∂f
∂xn/
∂g
∂xn
)∂g
∂xi,
tomando λ = ∂f∂xn
/ ∂g∂xn
, se sigue que grad f(x0) = λ grad g(x0) .
182 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Nota. Si la superficie S esta definida por varias restricciones
g1(x1, . . . , xn) = c1
g2(x1, . . . , xn) = c2
...
gk(x1, . . . , xn) = ck
y f posee un maximo o un mınimo en x0 ∈ S . Si grad g1(x0) , . . . , grad gk(x0)
son linealmente independientes, entonces existen constantes reales λ1, . . . , λk ,
tales que
grad f(x0) = λ1 grad g1(x0) + · · ·+ λk grad gk(x0) .
La demostracion se sigue directamente del Teorema de la Funcion
Implıcita, considerando la funcion g = (g1, . . . , gk) . Los detalles quedan
a cargo del lector.
Ejemplos.
6.9 Ejercicios
En los problemas asuma que las funciones tienen tanta clase de diferen-
ciabilidad como sea necesaria, salvo mencion explıcita.
1. Suponga que f : R2 → R es diferenciable. Defina F : R2 → R
por F (x, y) = f(x, xy). Calcule∂F (x, y)
∂x∂y.
2. Si f : R3 → R y g : R2 → R . Defina F (x, y) = f(x, y, g(x, y)),
Suponga que f y g son diferenciables, y exprese las derivadas
parciales de primer y segundo orden de F en termino de aquellas
de f y de g.
Sergio Plaza 183
3. Sea F = gf , donde f(x, y) = (xy, x2y) y g(s, t) = (s+t, s2−t2).
Calcule JF (s, t) =∂(F1, F2)∂(s, t)
, es decir, la matriz jacobiana de
F = (F1, F2) con respecto a las variables (s, t).
4. Sea F : U ⊂ R3 → R3 (U abierto) una aplicacion de clase Cr (r >1). Escribiendo F (x, y, x) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)) , te-
nemos que su matriz jacobiana es
JF (x, y, z) =
∂f1
∂x
∂f1
∂y
∂f1
∂z
∂f2
∂x
∂f2
∂y
∂f2
∂z
∂f3
∂x
∂f3
∂y
∂f3
∂z
.
Se define la divergencia de F , denotada por div F , como
div F =∂f1
∂x+
∂f2
∂y+
∂f3
∂z
(este concepto se extiende modo natural a Rn ), y el rotacional de
F , denotado por rotF o bien por ∇× F , por
rotF =((
∂f3
∂y− ∂f2
∂z
),
(∂f1
∂z− ∂f3
∂x
),
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y
)).
Note que div F no es otra cosa que la la traza (suma de los elemen-
tos de la diagonal) de la matriz jacobiana, y las componentes de
rotF son las diferencias de los elementos situados simetricamente
respecto de la diagonal, y un cambio de signo.
Sea U ⊂ R3 un conjunto abierto. Sea F : U → R3 y φ : U → R
de clase Cr (r suficientemente grande).
184 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
(a) Si F = gradφ = (∂φ/∂x , ∂φ/∂y , ∂φ/∂z) . Pruebe que
div F =∂2φ
∂x2+
∂2φ
∂y2+
∂2φ
∂z2.
La expresion del segundo miembro es llamada Laplaciano de
φ , y se acostumbra a denotarlo por ∇2φ . Luego la diver-
gencia de un gradiente gradφ es el laplaciano ∇2φ , es decir,
div(gradφ) = ∇2φ . A seguir pruebe que:
(b) rot(gradφ) = 0
(c) div(rotF ) = 0 .
(d) div(aF + bG) = adiv F + bdiv G y rot(aF + bG) = a rotF +
b rotG ,
(e) div(φF ) = φdiv F+ < gradφ, F > y rot(φF ) = φ rotF +
gradφ× F ,
(f) Si U = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) 6= (0, 0) , y
F (x, y, z) =(− y
x2 + y2,
x
x2 + y2, z
),
entonces div F = 0 y rotF = 0 en todo U .
5. Suponga que f(x, y) = φ(x− cy)+ψ(x+ cy), donde φ, ψ : R→ R
son aplicaciones de clase Ck (k > 2) y c es una constante. Pruebe
que f satisface la ecuacion
∂2f
∂y2= c2 ∂2f
∂x2.
6. Sea ρ(x1, x2, x3) =√
x21 + x2
2 + x23 y definamos f por
f(x1, x2, x3, x4) =(φ(ρ(x1, x2, x3)− cx4) + ψ(ρ(x1, x2, x3) + cx4))
ρ(x1, x2, x3)
con (x1, x2, x3) 6= (0, 0, 0) . Muestre que
∂2f
∂x24
=∂2f
∂x21
+∂2f
∂x22
+∂2f
∂x23
(ecuacion de la onda)
Sergio Plaza 185
7. Pruebe que g(s, t) = (cosh(s) cos(t), senh(s) sen(t)) tiene inversa
local. Encuentre un dominio sobre el cual g−1 esta definida.
8. Sea g : ]0,∞[→ R dada por g(t) = t4 +2t2. Pruebe que g−1 existe
y encuentrela explicıtamente. ¿es g−1 diferenciable?
9. Defina g : R2 → R2 por g(s, t) = (es cos(t), es sen(t)).
(a) Pruebe que g satisface las condiciones del Teorema de la
Funcion Inversa.
(b) Sea 4 = (s, t) : 0 < t < 2π , s ∈ R. Demuestre que g/4es inyectiva. Encuentre g(4) y g−1.
(c) ¿Existen otros dominios sobre los cuales g es inyectiva? Si
responde afirmativamente, determine esos dominios. Si su
respuesta es negativa, justifique.
10. Sea g(s, t) = (s + f(t), t + f(s)), donde f ∈ C1 y |f ′(u)| 6 c < 1 ,
para todo u ∈ R.
(a) Pruebe que g(R2) = R2 , y que g es inyectiva.
(b) ¿Es posible aplicar el Teorema de la Funcion Inversa a g?
Justifique.
11. Calcular las derivadas parciales de las aplicaciones definidas a
seguir, en los puntos donde existan,
(a) f(x, y, z) = xyz;
(b) f(x, y, z) = log(x2 + 2y2 − 3z2) .
186 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
12. Sea ν(r, t) = tne−r2
4t . Calcular el valor de n de nodo que ν
satisfaga la ecuacion
∂ν
∂t=
1r2
∂
∂r
(r2 ∂ν
∂r
).
13. Sean z = u(x, y)eax+by y ∂u∂x∂y = 0 . Encontrar los valores de las
constantes a y b tales que
∂2z
∂x∂y− ∂z
∂x− ∂z
∂y+ z = 0 .
14. Calcular las derivadas direccionales en los puntos y direcciones
dadas.
(a) f(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2 en (1, 1, 0) en la direccion de
e1 − e2 + 2e3 ;
(b) f(x, y, z) = (x/y)z en (1, 1, 1) en la direccion de 2e1+e2−e3 .
15. Suponga que F (x, φ(x)) = 0 y que∂F
∂y(x, φ(x)) 6= 0 para cada
x ∈ R . Calcule φ′ y φ′′ .
16. Sea F (φ(y, z), y, z) = 0. Suponga que ∂F∂x (φ(y, z), y, z) 6= 0 para
cada (y, z) ∈ R2. Encuentre ∂2φ∂x2
17. Sean φ(x1, x2, x3, x4) = x22 +x2
4− 2x1x3 y ψ(x1, x2, x3, x4) = x32 +
x34+x3
1−x33. Defina F (x1, x2, x3, x4) = (φ(x1, x2, x3, x4), ψ(x1, x2, x3, x4))
y sea x0 = (1,−1, 1, 1). Demuestre que F satisface las hipotesis
del Teorema de la Funcion Implıcita. ¿Que variable(s) puede(n)
despejar(se)? Calcule la derivada de la(s) funcion(es) dada(s) por
el Teorema de la Funcion Implicıta.
18. Sean f, g : U ⊂ Rn → R (U abierto) aplicaciones diferenciables.
Probar
Sergio Plaza 187
(a) grad f = 0 si f es constante en U ;
(b) grad(f + g) = grad f + grad g ;
(c) grad(cf) = c grad f , donde c ∈ R es una constante;
(d) graf(fg) = f grad g + g grad f ;
(e) grad(f/g) = (g grad f − f grad g)/g2 , en los puntos donde
g 6= 0 .
19. La aplicacion exponencial de matrices exp : M(n×n,R) → M(n×n,R) es definida por exp(A) = Σ∞k=0
Ak
k! . Pruebe que exp es una
aplicacion de clase C∞, y que Dexp(0) es un isomorfismo. Con-
cluya que existe una funcion C∞, que podemos llamar logaritmo de
matrices, log : U → M(n×n,R), donde U es una vecindad abierta
de la matriz identidad I en GL(n,R), tal que exp(log(X)) = X,
para todo X ∈ U .
(a) Calcule exp(I) ;
(b) si A ∈ M(n × n,R) tiene la propiedad que Ak = 0 para
algun k > 1 . Calcule exp(A) ;
(c) Si A ∈ M(2× 2,R) tiene la forma
A =
a 0
0 b
.
Calcule exp(A) .
(d) Calcule D log(I) .
20. Sea g : R2 → R4 dada por g(x, y) = (g1(x, y), g2(x, y), g3(x, y), g4(x, y)) ,
donde gi : R2 → R son dadas por
g1(x, y) = (r cos(y) + a) cos(x), g2(x, y) = (r cos(y) + a) sen(x) ,
g3(x, y) = r sen(y) cos(x/2), g4(x, y) = r sen(y) sen(x/2)) .
188 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Pruebe que g es una inmersion C∞.
21. Defina f : R→ R dada por:
f(x) =
e−1
x2 si x > 0
0 si x 6 0 .
(a) Pruebe que f ∈ C∞;
(b) pruebe que g(x) = f(x− a)f(b− x) es de clase C∞, positiva
sobre ]a, b[ , y es igual a cero en fuera del intervalo ]a, b[ ;
(c) pruebe que
h(x) =
∫ x−∞ g(t)dt∫∞−∞ g(u)du
es de clase C∞ y satisface h(x) = 0 para x 6 a , h(x) = 1
para x > b , y 0 < h(x) < 1 para x ∈ ]a, b[ , y es estrictamente
creciente en ese intervalo.
22. Pruebe que f : R→ R2 dada por
f(x) =(
ex + e−x
2,
ex − e−x
2
)
es una inmersion inyectiva. ¿Cual es la imagen de f?
23. Si f : R3 → R es dada por f(x1, x2, x3) = α(r)ex3 con r =√
x21 + x2
2 , donde α es una funcion C∞ , igual a 1 en una vecindad
de 0 , y α(1) = 0 , α′(1) 6= 0. Pruebe que f es una submersion
C∞. Dibuje los conjuntos f−1(c) para diferentes valores de c.
24. Sea f : ]0, 1[×R→ R3 dada por f(s, t) = γ(t) + (s− 12)δ(t), donde
γ(t) = (cos(t), sen(t), 0)
δ(t) = cos( t2)γ(t) + sen( t
2)(0, 0, 1) .
Pruebe que f es una inmersion C∞. ¿Cual es la imagen de f ?
Sergio Plaza 189
25. Sea f : ]−1, +∞[→ R2 dada por f(t) = (t3− t, t2). Pruebe que f
es una inmersion C∞, la cual es una biyeccion de ]−1,+∞[ sobre
su imagen, pero f−1 no es continua en todas partes. Encuentre
el (los) punto(s) de discontinuidad de f−1 .
26. Considere funciones diferenciables f, g, h : R → R y defina F :
R2 → R2 por F (x, y) = (f(x)h(y), g(y)). Suponga que f y g son
difeomorfismos de R sobre R. Pruebe que F es un difeomorfismo
si y solo si 0 /∈ h(R). Construya ejemplos especıficos (es decir, dar
explıcitamente f , g y h ).
27. Sea f : R2 → R definida por:
f(x, y) =
(x2 + y2) sen(
1√x2+y2
)si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
(a) Demostrar que f es diferenciable en todas partes
(b) Demostrar que las derivadas parciales de f son funciones
acotadas, pero discontinuas en (0, 0)
28. En R3 considere las coordenadas (α, β, ϕ) definidas por las formulas
x =c sen(α) cos(ϕ)
cosh(β)− cos(α),
y =c sen(α) sen(ϕ)
cosh(β)− cos(α),
z =csenh(β)
cosh(β)− cos(α),
donde c > 0 es una constante. Determine un abierto U ⊂ R3
donde estas coordenadas estan bien definidas.
190 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
29. Suponga que F (u, v, x, y, z) y G(u, v, x, y, z) son funciones de
clase Cr (r > 1 ) definidas en un conjunto abierto U ⊂ R5 .
Suponga ademas que u y v son funciones de x, y, z , las cuales
satisfacen las ecuaciones
F (u, v, x, y, z) = 0
G(u, v, x, y, z) = 0 .
Calcular las derivadas parciales de u y de v respecto de las vari-
ables x , y , y z .
30. Sea f : Rn → Rn una aplicacion diferenciable, con f(0) = 0 . Si
Df(0) no tiene valor propio 1, demuestre que existe un abierto
V ⊂ Rn con 0 ∈ V tal que f(x) 6= x para todo x ∈ V − 0 .
31. Sea U ⊂ Rm un conjunto abierto, y sea f : U → Rn una apli-
cacion que satisface ||f(x)−f(y)|| 6 λ||x−y|| para cada x, y ∈ U ,
donde λ es una constante. Sean a ∈ U y g : V ⊂ Rn → R` una
aplicacion diferenciable (V abierto), con f(U) ⊂ V y b = f(a) .
Si Dg(b) = 0 , demuestre que g f : U → R` es diferenciable en
a y que D(g f)(a) = 0 .
32. Sean V = R3 − (x, y, z) : y = 0 , x > 0 y f : V → R
una aplicacion diferenciable. Exprese grad f en terminos de las
coordenadas cilındricas.
33. (Metodo para construir difeomorfismos). Sea g : [0, +∞[→ R
continua, con g(t) > 0 para todo t > 0 , y sea U = (x, y) ∈ R2 :
0 < x < y . Defina f : U → R2 por
f(x, y) =( ∫ x+y
0g(t)dt ,
∫ y−x
0g(t)dt
).
Sergio Plaza 191
Pruebe que f es un difeomorfismo C∞ sobre un abierto de R2.
Construya ejemplos concretos.
34. Sea f : R→ R2 dada por
f(t) =
(t2, t2) para t > 0
(t2,−t2) para t 6 0 .
Pruebe que f es de clase C1 , pero no de clase C2 .
35. Pruebe que f : R → R2 dada por f(t) = (t3 − 4t, t2 − 4) es una
inmersion de clase C∞ no inyectiva. Dibuje la imagen de f .
36. Sea f(t) = (t3, t2), para todo t ∈ R. ¿f es una inmersion? (justi-
fique su respuesta).
37. Sea U = ]0, 2π[× ]0, 2π[ , y sea f : U → R3 la funcion definida por
f(u, v) = ((r cos(u) + a) cos(v), (r cos(u) + a) sen(v), r sen(u)) ,
con 0 < a < r. Pruebe que f es una inmersion inyectiva. ¿Cual es
la imagen de f?
38. Dadas f, g : J → R, donde J ⊂ R es un intervalo abierto. Suponga
que f(v) > 0 para todo v ∈ J . Sea F : R × J → R3 dada por
F (u, v) = (f(v) cos(u), f(v) sen(u), g(v)). Pruebe que si f, g son
de clase Ck , k > 1 , y g′(v) 6= 0 entonces F es una inmersion.
Encuentre un dominio sobre el cual F es inyectiva. Dibuje la ima-
gen de F , y de algunos ejemplos de funciones f y g que satisfacen
las condiciones anteriores. Grafique en cada caso la imagen de F .
Por ejemplo, considere f(v) = a cosh(v) y g(v) = av con a > 0.
192 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
39. Defina F : R2 → R3 por F (u, v) = (u, v, u3 − 3v2u). Pruebe que
F es una inmersion inyectiva de clase C∞. Dibuje la imagen de F .
40. Sea Π : R2 → R3 dada por
Π(u, v) =(
4u
u2 + v2 + 4,
4v
u2 + v2 + 4,
2(u2 + v2)− 1u2 + v2 + 4
).
Pruebe que Π es una inmersion de clase C∞.
41. Sea F : R→ R definida por
f(x) =
x
2+ x2 sen (1/x) si x 6= 0
0 si x = 0 .
Pruebe que f es diferenciable y que f ′(0) 6= 0, pero no existe
ningun intervalo abierto I conteniendo a 0 sobre el cual f tiene
inversa. ¿Porque esto no contradice el Teorema de la Funcion
Inversa?
42. En R2 use la metrica (distancia) dada por la norma ||(x, y)||s =
|x|+ |y|. Sea f : R2 → R2 dada por f(x, y) = (x + y, xy). Calcule
Df(a1, a2). ¿Cambia el resultado si usamos la norma ‖(x, y)‖ =√
x2 + y2?
43. Calcule las coordenadas del vector gradiente grad f(x, y) , para
f : R2 → R diferenciable, en una base arbitraria V = v1, v2 de
R2 .
Sergio Plaza 193
44. Pruebe que para la aplicacion f definida por
f(x, y) =
xy√x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
existen las derivadas parciales∂f
∂x(0, 0) y
∂f
∂y(0, 0) , pero f no es
diferenciable en (0, 0). ¿f es continua en (0, 0)?
45. Sea f : R2 → R dada por
f(x, y) =
xy
x2 + y2si x2 + y2 6= (0, 0)
0 si x = y = 0 .
Pruebe que f no es continua en (0, 0), y que∂f
∂x(0, 0) y
∂f
∂y(0, 0)
existen. ¿f es diferenciable en (0, 0)? (Justifique sin hacer calculos).
46. Pruebe que f : Rn → R dada por f(x) = ‖x‖ =√
Σni=1x
2i es
diferenciable, de hecho f es de clase C∞ en Rn − 0.
47. Sea f : R3 → R2 definida por f(x, y, z) = (xyez+x2 sen(y), sen(xyπ)).
¿Es posible aplicar el Teorema de la Funcion Implıcita a f?, ¿es f
una submersion?
48. Encuentre la derivada direccional de la aplicacion f : R3 → R
dada por f(x, y, z) = x2 + y4 + z2 en el punto (1, 1, 1) y en la
direccion(√
22 ,
√2
2 , 0).
49. Sea f : R→ R3 y g : R3 → R2 dadas por f(t) = (sen(t), et cos(t), t4)
y g(x1, x2, x3) = (ex1x2 , cos(x21 + x2)) . Calcule D2(g f)(0) .
194 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
50. Aplique el Teorema de la Funcion Implıcita a las siguientes fun-
ciones,
(a) f(x, y) = x2 cos(y) + sen(y) en (0, 0).
(b) f(x, y, z) =√
x2 + y2 + z2−sen((x+y+z)π)−√3 en (1, 1, 1).
Justifique su respuesta.
51. Considere el sistema de ecuaciones
(f(x, y))3 + x(g(x, y))2 + y = 0
(g(x, y))3 + yg(x, y) + (f(x, y))2 − x = 0
en las incognitas f(x, y) y g(x, y) . Aplique el Teorema de la
Funcion Implıcita para probar que el sistema de ecuaciones tiene
solucion.
52. Calcule∂m+nu
∂xm∂yn(x, y) , donde u(x, y) = sen(αx + βy + γ) .
53. Sea u(x, y) = eax cos(by). Calcular dn u(x, y).
54. Construya una funcion f : R → R de clase Cn , pero no de clase
Cn+1 .
Observacion. Si f : R → R es continua. Entonces la apli-
cacion h1(x) =∫ x0 f(s)ds es diferenciable (Teorema Fundamental
del Calculo) y Dh1(x) = f(x) . Ademas, como f es continua se
tiene que h1 ∈ C1 .
Indicacion: Use lo anterior para construir los ejemplos deseados.
55. Pruebe que f : ]0, 1[→ R dado por f(t) = tan( tπ2 ) es un difeomor-
fismo C∞.
Sergio Plaza 195
56. Sea exp(x) = ex. Considere la funcion φ : R→ R, dada por
φ(t) =
exp(
−1(t−a)(t−b)
)si a < t < b
0 otro caso
(a) Pruebe que φ ∈ C∞ y que φ(k)(a) = φ(k)(b) = 0, para todo
k ∈ N.
(b) Defina θ : R→ R por
θ(t) =
∫ t−∞ φ(x)dx∫∞−∞ φ(s)ds
Pruebe que θ ∈ C∞ y que θ(t) = 0 para t 6 a y θ(t) = 1 para
t > b.
(c) Defina η : R→ R por η(t) = 1− θ(t). Estudie el grafico de η
cuando a = 1 y b = (1 + δ)2, δ > 0.
(d) Defina ψ : Rn → R dada por ψ(x) = η(‖x‖2). Pruebe que
ψ ∈ C∞, y que ψ(x) = 0 cuando ‖x‖2 > (1 + δ)2 y ψ(x) = 1
para ||x|| < 1.
Dibuje el grafico de ψ. (tal funcion ψ es llamada una “funcion
cototo”).
57. Sea f : R → R, una aplicacion C1, tal que |Df(x)| 6 k < 1 para
todo x ∈ R. Defina ϕ : R2 → R2, ϕ(x, y) = (x + f(x) , y + f(y)).
Pruebe que ϕ es un difeomorfismo.
58. Sea B(r) = x ∈ Rn : ||x|| < r, donde ||x|| = (∑n
i=1 x2i )
1/2 .
Pruebe que la aplicacion f : B(r) → Rn dada por
f(x) =rx√
r2 − ||x||es un difeomorfismo C∞.
196 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Indicacion. f−1(y) =ry√
r2 + ||y|| .
59. Pruebe que,
(a) Si f y g son inmersiones entonces f × g tambien lo es.
(b) Si f y g son inmersiones, entonces g f es una inmersion.
c) Vale lo anterior si cambiamos inmersion por submersion?
d) Si f es inmersion y g es submersion (o vice versa) ¿Que
podemos decir acerca de f × g y de f g ?
60. Considere la funcion f : M(n×n,R) → M(n×n,R) definida por
f(X) = Xk , k > 1 . Demuestre que f es de clase C1 .
61. Use el Teorema de la Funcion Inversa para demostrar que f es un
difeomorfismo local alrededor de la matriz identidad. ¿Es f un
difeomorfismo global? Justifique su respuesta.
62. Calcule las derivadas φ′(x) y φ′′(x) , donde la funcion y = φ(x)
satisface la ecuacion sen(y) + x2 = 0 .
63. ¿Es posible aplicar el Teorema de la Funcion Implıcita a la funcion
f(x, y) = x2 cos(y)+sen(y) en el punto (0,0) ? ¿ Es f submersion
en el punto (0,0)?
64. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
(x2 + y2)α sen( 1x2+y2 ) (x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
Determine los valores de α para los cuales f es diferenciable en
todo R2 .
Sergio Plaza 197
65. Calcular la derivada direccional de f(x, y) = x2 + 4y2 + ex cos(y)
en el punto (0, 0) , en la direccion que forma un angulo de 30 con
el eje x .
66. Sea f : R3 → R3 dada por
f(r, θ, φ) = (r sen(φ) cos(θ), r sen(φ) sen(θ), r cos(φ)) ,
donde r > 0 . Demuestre que f es un difeomorfismo local de
clase C∞ , y encuentre un abierto U ⊂ R3 donde f/U : U →f(U) es un difeomorfismo (describa U explıcitamente). Calcule
Df−1(u, v, w) donde (u, v, w) ∈ f(U) .
67. Si u = f(x, y) es de clase Cr (r > 2 . Expresar 4u =∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2
en terminos de coordenadas polares.
68. ¿Para que valores de x e y puede resolverse la ecuacion
ex2+y2+z2 − cos(x2 + y2 + z2) = 0
para z ?
69. Hallar la derivada direccional de las funciones indicadas en punto
en cuestion y en la direccion dada:
1.- f(x, y, z) = ex cos(yz) en p0 = (0, 0, 0) y v = (3, 3,−3) .
2.- f(x, y) = (x2 − y2)/(x2 + y2) en p0 = (1, 1) y v = (1,−1) .
3.- f(x, y) = exp(−x2−y2) en p0 = (1, 1) y v = (1/√
2, 1/√
2) .
70. Demuestre que la funcion f : R2 → R dada por f(x, y) = (x2 +
y2) sen(1/(x2+y2)) admite derivadas parciales en cada punto, pero
ninguna de ellas es continua en (0, 0) .
198 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
71. Sea f : R2 → R la aplicacion definida por
f(x, y) =
x2 arctang(y/x)− y2 arctang(x/y) si xy 6= 0
0 si y = 0, x arbitrario
0 si x = 0, y arbitrario
Pruebe que existen las derivadas parciales de segundo orden en
todo punto, y que en (0, 0) ∂2f∂x∂y y ∂2f
∂y∂x son distintas. ¿Porque
ocurre esto?
72. Sea C = (x, y) ∈ R2 : xy > 0 , y sea f : C → R3 definida por
f(x, y) =(e−x2
sen(y), arctang(x/y), log(xy3))
.
Encuentre las derivadas parciales de segundo orden de f .
73. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
xy2 si y 6= 0
0 si y = 0
Pruebe que existen las derivadas parciales de segundo orden en
todo punto. Ademas, pruebe que ∂2f∂y∂x(0, 0) = ∂2f
∂x∂y (0, 0) , aun
cuando estas derivadas parciales no son continuas en (0, 0) .
74. Sea R = (x, y) ∈ R2 : y > 0 , y sea f : R → R2 por f(x, y) =
(x(y − log(y)) + 1, yey−x − 2) . Calcule detJf(1, 1) . ¿Que puede
decir acerca de la matriz Jf(1, 1)
75. Estudiar la diferenciabilidad sobre R2 de las siguientes funciones:
(a)
f(x, y) =
x2y2
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
Sergio Plaza 199
(b)
f(x, y) =
x3 − y3
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
(c)
f(x, y) =
xy3
x4 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
(d)
f(x, y) =
x3y
x4 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
(e)
f(x, y) =
x3y√x4 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
76. Para la funcion f : R2 → R , estudiar la continuidad de f la
existencia y continuidad de las derivadas parciales primeras de f ,
donde:
(a)
f(x, y) =
sen(x3)− sen(y3)x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
(b)
f(x, y) =
sen(x2) + sen(y2)√x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
200 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
(c)
f(x, y) =
x2 sen(y
x
)si x 6= 0
0 si x = 0 .
77. Estudiar si la funcion
f(x, y) =
x3y3
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
es de clase C2 sobre R2 .
78. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
y4
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
(a) Demostrar que f es de clase C1 en R2 .
(b) Demostrar que∂2f
∂y∂x(0, 0) y
∂2f
∂x∂y(0, 0) existen y son iguales.
(c) Demostrar que∂2f
∂y∂xy
∂2f
∂y∂yno son continuas en (0, 0) .
79. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
xy3
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
Demostrar que f es de clase C1 en R2 . Calcular∂2f
∂y∂xy
∂2f
∂y∂yy deducir que que f no es de clase C2 sobre R2 .
80. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x6
x2 + (y − x)2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
¿Es f de clase C1 sobre R2 ?
Sergio Plaza 201
81. Analizar si la siguiente funcion tiene derivada direccional en el
punto (0, 0) en la direccion del vector v = (cos(θ), sen(θ)) y si es
diferenciable en dicho punto
f(x, y) =
x3 + y3
sen(x2 + y2)si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
82. Suponga que un estudiante del curso de Analisis IV, realiza el
siguiente calculo: si w = f(x, y) e y = x2 entonces por la regla
de la cadena, obtenemos
∂w
∂x=
∂w
∂x
∂x
∂x+
∂w
∂y
∂y
∂x=
∂w
∂x+ 2x
∂w
∂y.
Por lo tanto, 0 = 2x∂w∂y , de donde ∂w
∂y = 0 . Este calculo es incor-
recto. Explique porque, y realice este en forma correcta. Muestre
ejemplos en que calculo falla.
83. Calculard
dtexp(f(t) · g(t))
84. Sea f una funcion diferenciable de variable real a valores reales,
y sea g : R2 → R una aplicacion definida por
g(x, y) = xyf
(x + y
xy
).
Demuestre que g satisface la ecuacion diferencial
x2 ∂g
∂x− y2 ∂g
∂y= G(x, y) · g(x, y) ,
para alguna aplicacion G , y encontrar G explicıtamente.
85. Sea f(u, v, w) = u2 + v2−w , donde u(x, y, z) = x2y , v(x, y, z) =
y2 , y w(x, y, z) = e−xz . Encuentre la derivada de f .
202 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
86. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto, y sea f : U → Rm una apli-
cacion diferenciable. Defina g(x) = sen(〈f(x), f(x)〉) . Calcule
Dg(x) .
87. Muestre que la funcion f : R2 → R , definida por
f(x, y) =
xy(x2 − y2)x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
no satisface las condiciones del teorema de Schwarz
88. Sean G1, G2 : R3 → R aplicaciones diferenciables de clase C1 al
menos. Suponga que las ecuaciones
G1(x, y, z) = 0
G2(x, y, z) = 0
definen aplicaciones y = y(x) y z = z(x) . Encuentre las derivadasdydx y dz
dx .
89. Si f(x, y) = (tang(x− 1)− ey, x2 − y2) y g(x, y) = (ex−y, x− y) .
Encuentre D(f g)(x, y)
90. Sean f : R2 → R2 definida por f(x, y) = (ex+y, ex−y) y α : R→R2 diferenciable, tal que α(0) = (0, 0) y dα
dt (0) = (2,−5) . Calcule
el vector velocidad en t = 0 de f α .
91. Demuestre la identidad
∂
∂x
∫ x
0f(x, y)dy = f(x, y) +
∫ x
0
∂f
∂x(x, y)dy .
92. Sea f : R3 → R dada por f(x, y, z) = (x2+y2+z2) log(√
x2 + y2 + z2) ,
para (x, y, z) 6= (0, 0, 0) , y sea g : R → R3 dada por g(t) =
(et, e−t, t) . Calcule grad f , dgdt , dfg
dt , y D(g f)(x, y, z) .
Sergio Plaza 203
93. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
xy√x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
¿Es f diferenciable en (0, 0) ?. Justifique su respuesta.
94. Sea z = log(r) , donde r =√
x2 + y2 . Calcule ∂2z∂x2 + ∂2z
∂y2 .
95. Si f(x, y, z) = x3 + 3x2y − 4xy2 + y3z + 2z2 + xz , encuentre la
derivada direccional de f en el punto (1, 1, 2) en la direcion del
vector v = (2, 1, 2) .
96. Si f(x, y) = (x2− 1)(y2− 1) . Encuentre los puntos crıticos de f .
Use los teoremas vistos en clases para clasificar los puntos crıticos
de f .
97. Suponga que f : R2 → R es una aplicacion suficientemente difer-
enciable que satisface la ecuacion
∂2f
∂x2(x, y) +
∂2f
∂y2(x, y) = 0 (Ecuacion de Laplace)
Pruebe que la aplicacion φ definida por
φ(x, y) = f
(x
x2 + y2,
y
x2 + y2
)para (x, y) 6= (0, 0)
tambien satisface la ecuacion de Laplace
98. Si F = (F1, F2, F3) : U ⊂ R3 → R3 es una aplicacion diferenciable,
donde U es un conjunto abierto. Se define el rotacional de F ,
notacion rotF o ∇F , y la divergencia de f , notacion div F por
rot F =(
∂F3
∂y− ∂F2
∂z,∂F1
∂z− F3
∂x,∂F2
∂x− ∂F1
∂y
),
204 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
div F =∂F1
∂x+
∂F2
∂y+
∂F3
∂z,
respectivamente. Pruebe que si F es de clase C2 entonces div rotF =
0
99. Calcule rotF y div F para F (x, y, z) = 1x2+y2+z2 (yz,−xz, xy)
100. Con las hipotesis apropiadas sobre las aplicaciones, pruebe que
(a) rot(F + G) = rotF + rotG .
(b) div(F + G) = div F + div G .
(c) rot grad f = 0 , donde f : U ⊂ R3 → R .
(d) div(grad f × grad g) = 0 , donde f, g : U ⊂ Rn → R .
101. Se define el laplaciano de una aplicacion f : U ⊂ Rn → R de clase
C2 al menos, como
∇2f =n∑
i=1
∂2f
∂x2i
.
Pruebe que ∇2(fg) = f∇2g + g∇2f + 2〈grad f, grad g〉 .
102. Mostrar que en coordenadas polares (r, θ) en R2 , la ecuacion de
Laplace para f : R2 → R se escribe como
∂2f
∂r2+
1r2
∂f
∂θ2+
1r
∂2f
∂r= 0 .
103. Mostrar que en coordenadas esfericas (ρ, θ, φ) en R3 la ecuacion
de Laplace se escribe como
∂
∂µ
((1− µ2)
∂f
∂µ
)+
11− µ2
∂2f
∂θ2+ ρ
∂2(ρf)∂ρ2
= 0 ,
donde µ = cos(θ) .
Sergio Plaza 205
104. Sea U ⊂ R3 un conjunto abierto en el cual se tiene bien definidas
las coordenadas esferica (ρ, θ, φ) . Si f : U → R y F : U → R3
son suficientemente diferenciables, encontrar formulas en coorde-
nadas esfericas para
(a) div f .
(b) grad f .
(c) rotF .
Ilustre sus calculos con al menos dos ejemplos.
105. Sea U ⊂ R3 un conjunto abierto en el cual se tiene bien definidas
las coordenadas cilındricas (r, θ, z) . Si f : U → R y F : U → R3
son suficientemente diferenciables, encontrar formulas en coorde-
nadas esfericas para
(a) div f .
(b) grad f .
(c) rotF .
Ilustre sus calculos con al menos dos ejemplos.
106. Sea f(x, y) = |xy| . Pruebe que f es diferenciable en (0, 0) , pero
no es de clase C1 .
107. Si f : U ⊂ Rn → R , U abierto, es tal que las derivadas parciales∂f∂xj
existen y son acotadas en una vecindad de a ∈ U , pruebe que
f es continua en a .
108. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto. Sea f : U → Rm . Pruebe
que si ∂f∂u(a) , existe para a ∈ U , y v = λu , donde λ ∈ R
206 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
es una constante no cero, entonces ∂f∂v (a) existe y se tiene que
∂f∂v (a) = λ∂f
∂u(a) .
109. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
xy
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
(a) ¿Para que vectores u ∈ R2 con u 6= 0 , existe ∂f∂u(0, 0) ?. En
caso de que tal derivada direccional exista, calcule esta.
(b) ¿Existen ∂f∂x (0, 0) y ∂f
∂y (0, 0) ?
(c) ¿Es f diferenciable en (0, 0) ?. Justifique su respuesta.
110. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x2y2
x2 + y2 + (y − x)2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
(a) ¿Para que vectores u ∈ R2 con u 6= 0 , existe ∂f∂u(0, 0) ?. En
caso de que tal derivada direccional exista, calcule esta.
(b) ¿Existen ∂f∂x (0, 0) y ∂f
∂y (0, 0) ?
(c) ¿Es f diferenciable en (0, 0) ?. Justifique su respuesta.
Sergio Plaza 207
111. La funcion f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x sen(1/x) + y sen(1/y) si xy 6= 0
x sen(1/x) si y = 0 , x 6= 0
y sen(1/y) si x = 0 , y 6= 0
0 si x = y = 0 ,
es continua, pero no diferenciable en el origen.
112. Sea f : R2 → R definida por f(x, y) = |x| + |y| . ¿es f diferen-
ciable en (0, 0) ? Justifique su respuesta.
113. Sea f : R3 → R2 una aplicacion diferenciable que satisface: f(0, 0, 0) =
(1, 2) y
Df(0, 0, 0) =
1 2 3
0 0 1
Sea g : R2 → R2 la aplicacion dada por g(x, y) = (x+2y+1, 3xy) .
Calcule D(g f)(0, 0, 0) .
114. Sean f : R2 → R3 y g : R3 → R definidas por, f(x, y) =
(e2x+y, 3y−cos(x), x2+y+2) y g(x, y, z) = (3x+2y+z2, x2−z+1) .
(a) Defina F (x, y) = g(f(x, y)) . Calcule DF (0, 0) .
(b) Si G(x, y, z) = f(g(x, y, z)) . Calcule DG(0, 0, 0) .
115. Sea f : R2 → R2 definida por f(x, y) = (x2 − y2, 2xy) .
(a) Muestre que f es inyectiva en el conjunto A = (x, y) ∈ R2 :
x > 0 .
208 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
(b) Describa geometricamente el conjunto imagen B = f(A) .
(c) Si g : B → A es la funcion inversa de f . Muestre que g es
diferenciable y calcule Dg(0, 1) .
116. Sea f : Rn → Rn definida por f(x) = ||x||2 x . Demuestre que
f ∈ C∞ , y que f aplica la bola unitaria con centro en el origen,
B(0, 1) en si misma de modo inyectivo. ¿La inversa de f/B(0, 1)
es diferenciable en 0?.
117. Sea g : R2 → R2 definida por g(x, y) = (2ye2x, xey) , y sea f :
R2 → R3 definida por f(x, y) = (3x− y2, 2x + y, xy + y3) .
(a) Demuestre que existe una vecindad de (0, 1) de modo que la
restriccion de g a esa vecindad es inyectiva.
(b) Encuentre D(fg−1)(2, 0) , donde la inversa g−1 este definida.
118. Sea f : R3 → R2 una aplicacion de clase C1 , escriba f en la
forma f(x, y1, y2) . Suponga que f(3,−1, 2) = 0 y que
Df(3,−1, 2) =
1 2 1
1 −1 1
(a) Muestre que existe una funcion g : B ⊂ R → R2 , g =
(g1, g2) , de clase C1 , donde B es un intervalo abierto, tal
que f(x, g1(x), g2(x)) = 0 , para x ∈ B y g(3) = (−1, 2)
(b) Calcule Dg(3) .
119. Sean f(u, v, w) = (eu−w, cos(u + v) + sen(u + v + w)) y g(x, y) =
(ex, cos(y − x), e−y) . Encuentre D(f g)(0, 0) .
Sergio Plaza 209
120. Sea
f(r, θ) =
sen(6r)6r
si r 6= 0
1 si r = 0
Encuentre limr→0
f(r, θ) . ¿Es f continua en el punto (0, 0) ?. En-
cuentre ∂f∂r (0, 0) .
121. Encuentre ∂w∂u y ∂w
∂v en (u, v) = (0, 0) , donde w = log(1 + x2)−arctang(y) y x = 2u cos(v) e y = uv .
122. Encuentre la aproximacion de Taylor de orden 2 para f(x, y) =
ex−1 cos(y) alrededor del punto (1, 0) .
123. Pruebe que la funcion f : R2 → R definida por f(x, y) =√|xy| es
continua, posee ambas derivadas parciales (calcule ellas en forma
explıcita), pero no es diferenciable en el origen.
124. Pruebe que la funcion f : R2 → R definida por
f(x, y) =
xyx2 − y2
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
en diferenciable en todo su dominio.
Pruebe ademas, que∂2f
∂x∂y(0, 0) 6= ∂2f
∂y∂x(0, 0) .
125. Sea f : R5 → R2 una aplicacion de clase C1 . Sea a = (1, 2,−1, 3, 0) .
Suponga que f(a) = 0 y que
Df(a) =
1 3 1 −1 2
0 0 1 2 4
(a) Muestre que existe una aplicacion de clase C1 , g : B → R2 ,
con g = (g1, g2) , definida en un conjunto abierto B ⊂ R3 que
210 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
contiene al punto a , tal que f(x, g1(x, u, v), g2(x, u, v), u, v) =
0 para (x, u, v) ∈ B , y g(1, 3, 0) = (2,−1)
(b) Calcule Dg(1, 3, 0) .
126. Sea F : R2 → R una aplicacion de clase C2 , que satisface:
F (0, 0) = y DF (0, 0) = (2 3)1×2 . Sea G : R3 → R la aplicacion
definida por G(x, y, z) = F (x + 2y + 3z − 1, x3 + y2 − z2) .
(a) Pruebe que podemos resolver la ecuacion G(x, y, z) = 0 para
z , digamos z = g(x, y) para (x, y) en una vecindad B de
(−2, 3) , tal que g(−2, 3) = −1
(b) Si ∂2F∂x2 (−2, 3) = 3 , ∂2F
∂x∂y (−2, 3) = −1 y ∂2F∂y2 (0, 0) = 5 , cal-
cule ∂2F∂y∂x(−2, 3) .
127. Encuentre la derivada direccional de f en el punto P en la di-
reccion del vector tangente a la curva γ en P , donde los respec-
tivos elementos son indicados en cada caso:
(a) f(x, y) = x2 + y2 , P = (1, 2) , y γ : x2 + y2 = 5 .
(b) f(x, y) = 2xy + y2 , P =√
2, 1) , y γ : x2
4 + y2
2 = 1 .
(c) f(x, y, z) = log(xy + yz + xz) , P = (0, 1, 1) y γ dada por
x(t) = cos(t)
y(t) = sen(t)
z(t) = 1
(d) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 , P = (0, R, πa/2) , y γ dada por
x(t) = R cos(t)
y(t) = R sen(t)
z(t) = at
Sergio Plaza 211
128. Pruebe que div(uF ) = udiv(F ) + 〈F, grad(u)〉 , donde F : Rn →Rn y u : Rn → R .
129. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
2xy
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
Encuentre las direcciones en R en las cuales f tiene derivada
direccional en el punto (0, 0) .
130. Sea f(x, y, z) = |x+y+z| . Encuentre las direcciones en las cuales
la derivada direccional de f en el punto (1,−1, 0) existe.
131. Sea f : U ⊂ Rn → R , donde U es abierto. Suponga que f en un
punto x0 ∈ U y en la direccion v ∈ Rn tiene derivada direccional,∂f∂v (x0) . Calcule la derivada direccional de f en x0 en la direccion
−v .
132. Sea f(x, y) = log(x2 + 2y + 1) +∫ x0 cos(t2)dt , donde y > −1/2 .
Calcule df(x, y) .
133. Calcule grad f(x) para cada una de las siguientes aplicaciones
f : Rn → R :
(a) f(x) = 〈x0, x〉 , donde x0 ∈ Rn es arbitrario.
(b) f(x) = ||x|| , x 6= 0 .
(c) f(x) = (〈x0, x〉)2 .
134. Calcule div(grad(ex sen(y))) .
212 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
135. Sea f : R→ R definida por
f(x) =
e−1/x2si x 6= 0
0 si x = 0 .
Pruebe que f ∈ C∞ y que f (k)(0) = 0 para todo k > 0 .
136. Sea f(x) = xk sen(1/x) si x 6= 0 y f(0) = 0 . Pruebe que
(a) Si k = 0 entonces f es discontinua en x = 0 .
(b) Si k = 1 entonces f es continua en x = 0 , pero no diferen-
ciable en ese punto.
(c) Si k = 2 entonces f es diferenciable en x = 0 , pero no es
de clase C1 .
(d) ¿Que puede decir para k > 3 ?
137. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
xy(x2 − y2)x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
(a) Si (x, y) 6= (0, 0) . Encuentre∂2f
∂x∂y(x, y) y
∂2f
∂y∂x(x, y) , y
verifique que ellas son iguales.
(b) Pruebe que∂f
∂x(0, 0) =
∂f
∂y(0, 0) = 0 y que f ∈ C1 .
(c) Pruebe que∂2f
∂x∂y(0, 0) y
∂2f
∂y∂x(0, 0) existen, pero no son
iguales.
138. Sea f : Rn → R es definida por f(x) = (1 + 〈x, x〉)〈x,x〉 . Calcule
Df(x) .
Sergio Plaza 213
139. Si F (x) = f(x, g(x)) donde f : U ⊂ R2 → R y g : R → R son
aplicaciones de clase C2 . Encuentre DF (x) y D2F (x) .
140. Sea f una aplicacion de clase C2 , definamos la aplicacion F (r, θ) =
f(r cos(θ), r sen(θ)) . Pruebe que
∂2f
∂x2+
∂2f
∂y2=
∂2F
∂r2+
1r2
∂2
∂θ2+
1r
∂F
∂r.
141. Si F (f(y, z), y, z) = 0 y∂f
∂x(f(y, z), y, z) 6= 0 para cada (y, z)
en un abierto U ⊂ R2 . Encuentre∂2f
∂x2.
142. Sea F (x, y, z) = (x, y, z) . Pruebe que
(a) div F = 3 .
(b) rotF = 0 .
(c) div(
F (x,y,z)||F (x,y,z)||3
)= 0 .
(d) rot(
F (x,y,z)||F (x,y,z)||3
)= 0 .
(e) grad(
1||F (x,y,z)||
)= − F (x,y,z)
||F (x,y,z)||2 .
143. Calcule grad(gf) , donde f : U ⊂ Rn → Rm y g : V ⊂ Rm → R
son aplicaciones de clase Ck (k > 1 , con U y V abiertos y
f(U) ⊂ V .
144. Sean f : R2 → R y u, v : R2 → R aplicaciones de clase Cr
(r > 1). Defina F (x, y) = f(u(x, y), v(x, y)) . Demuestre que
gradF =∂f
∂ugrad(u) +
∂f
∂vgrad(v) .
145. Encuentre y clasifique los puntos crıticos de las siguientes funciones
(a) f(x, y) = exp(x2 + y2)/2− exp(−x2 − y2)− 3(x2 + y2)/2
214 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
(b) f(x, y) = sen(x) + cos(y) + sen(x + y)
(c) f(x, y) = exp(x2+(cos(y))2)+2 exp(−x2−(cos(y))2)−3(x2+
(cos(y))2) .
146. (a) Encuentre x, y, z para la caja de maximo volumen, tal que
xy + yz + xz = 1 ,
(b) Encuentre todos los extremos de la funcion f(x, y)) = x2+y2
sujeta a la condicion x4 + y4 = 2
(c) Encuentre todos los extremos de la funcion f(x, y) = 2x +
y + 4z sujeta a la condicion x2 + y + z2 = 16 .
147. Calcule las derivadas parciales∂2f
∂x2,
∂2f
∂y2,
∂2f
∂y∂x, para las siguien-
tes funciones (en su dominio de definicion)
(a) f(x, y) =√
x2 + y2 ,
(b) f(x, y) = ex sen(y) .
148. Si x , y , z son funciones de la variable t , y si f es una funcion
de las variables x , y , z . Demuestre que
df
dt=
∂f
∂x
dx
dt+
∂f
∂y
dy
dt+
∂f
∂z
dz
dt.
149. Si y , z son funciones de x , y f es una funcion de x , y , z .
Demuestre que
df
dx=
∂f
∂x+
∂f
∂y
dy
dx+
∂f
∂z
dz
dx.
150. Si la ecuacion f(x, y, z) = 0 define a z como funcion de x e y .
Demuestre que∂z
∂x= −
∂f∂x∂f∂z
.
Sergio Plaza 215
151. Calcule la diferencial de f(x, y, z) = ez cos(x + y) .
152. Si x2 + y2 + z2 = 1 , encuentre (donde estan bien definidas) las
derivadas parciales∂z
∂xy
∂z
∂y.
153. Las tres variables x , y y z estan relacionadas por F (x, y, z) = 0 ,
donde F es diferenciable. Pruebe que
∂z
∂y· ∂y
∂x· ∂x
∂z= −1 .
154. Encuentre todos los puntos maximos y mınimos relativos y puntos
sillas (si ellos existen) para la funcion f(x, y) = x2y2 − x2 − y2 .
155. Encuentre las derivadas parciales∂2f
∂x2,
∂2f
∂y2,
∂2
∂y∂xpara las fun-
ciones
(a) f(x, y) = xy√x2+y2
,
(b) f(x, y) = sen(x− y) ,
(c) f(x, y) = senh(x) cosh(y) .
156. Demuestre que Ψ(x, z) = A sen(x− νt) satisface la ecuacion
∂2Ψ∂t‘2
= ν2 ∂2Ψ∂x2
.
157. Encuentre el desarrollo de Taylor de la funcion f(x, y) hasta orden
2 en el punto indicado, donde:
(a) f(x, y) = ln(x2y2) en p = (1, 1) ,
(b) f(x, y) = cosh(xy) en p = (0, 0) .
158. Encuentre todos los puntos maximos y mınimos relativos y puntos
sillas (si ellos existen) para la funcion
216 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
(a) f(x, y) = 2x− 2y − x2 − y2 ,
(b) f(x, y) = x2 − xy + y2 .
159. Si w = f(x(s, t), y(s, t), t2) , donde f(x, y, z) es una aplicacion
diferenciable a valores reales. Calcule ∂w∂t .
160. Estudiar los puntos crıticos de f : R2 → R definida por f(x, y) =
x3 + 3xy2 − 15x− 12y .
161. Encuentre y clasifique los puntos crıticos de f(x, y) = exy .
162. Encuentre y clasifique los puntos crıticos de f(x, y) = xx2+y2+1
.
163. Encuentre y clasifique los puntos crıticos de f(x, y) = (x + 2y +
1)xy .
164. Usando multiplicadores de Lagrange, encuentre el maximo de f(x, y) =
x + y sobre la elıpse x2
a2 + y2
b2= 1 , donde a y b son constantes
positivas.
165. Usando multiplicadores de Lagrange, encuentre el maximo de f(x, y, z) =
ax + by + cz sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 1 .
166. Sea p > 1 y suponga que 1p + 1
q = 1 . Encuentre el maximo de
la funcion f(x1, x2, y1, y2) = x1yy + x2y2 sujeto a las condiciones
xp1 + xp
2 = 1 y yq1 + yq
2 = 1 .
167. Encuentre y clasifique los puntos crıticos de la funcion f(x, y) =
x3 + y3 − 3x− 12y + 17 .
168. Usando el metodo de los multiplicadores de Lagrange encuentre el
maximo de f(x, y) = x2y sobre el cırculo x2 + y2 = 12 .
Sergio Plaza 217
169. Use el metodo de los multiplicadores de Lagrange para encontrar
el maximo de f(x, y, z) = z2 sujeto a las condiciones x+y+z = 1
y x2 + y2 = 8 .
170. Encuentre el maximo de la funcion f(x, y, z) = x+yz sujeto a las
condiciones x + z = 2y y (x, y) ∈ [3, 5]× [0, 2] .
171. Sean f(u, v, w) = (eu−w, cos(u + v) + sen(u + v + w)) y g(x, y) =
(ex, cos(y − x), e−y) . Calcule D(f g)(0, 0) .
218 Calculo Diferencial en Espacios Euclideanos
Capıtulo 7
Superficies en Espacios
Euclideanos
Para m 6 n la inclusion canonica i : Rm → Rn definida por i(x1, . . . , xm) =
(x1, . . . , xm, 0, . . . , 0) nos permite identificar el espacio Rm con el subes-
pacio Rm × 0 ⊂ Rn y podemos escribir Rn = Rm × Rn−m.
Recordemos que dado un conjunto M ⊂ Rn , podemos dotar a M
una topologıa definiendo los abiertos de M como sigue: A ⊂ M es un
abierto si existe un conjunto abierto U ⊂ Rn tal que A = M ∩ U . Es
facil ver que la coleccion de los abiertos de M definidos de este modo
forman una topologıa para M , y decimos en este caso que M tiene la
topologıa inducida por la de Rn
Definicion 7.1 Sea M ⊂ Rn, con la topologıa inducida. Decimos que
M es una superficie de clase Cr ( r > 1 ) y dimension m en Rn si,
para cada x ∈ M existe un abierto U ⊂ Rn , con x ∈ U , y existe un
difeomorfismo Cr, f : U → f(U) ⊂ Rn tal que f(M ∩ U) = f(U) ∩(Rm × 0).
219
220 Superficies en Espacios Euclideanos
El numero n−m es llamado la codimension de M en Rn.
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
........................
M
U
...........................................................................................................................
..................................................................................
................... ..............
................... ..............
Rn
• x U ∩M
f
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
.....
............................................................................................................................................................................................................................................
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
.....
......................................................................................................................................................................................................................................................................................
Rn−m
• f(x)
f(U)
............................................................................. ..............
f(U ∩M) = f(U) ∩ RmRm
....................................................... ........... ........................................................................................
................................................................................................... ........... ........... ........... .
................................
................................................................
......................
........................................................................................ ........... ........... ...........
...............................................
............................................ ........... ........... ........... ..................
El siguiente teorema caracteriza la nocion de superficie de varios mo-
dos, todos ellos equivalentes.
Teorema 7.1 Sea M ⊂ Rn, con la topologıa inducida. Entonces las
afirmaciones siguientes son equivalentes,
(i) M es una superficie de clase Cr ( r > 1 ) y dimension m en Rn ;
(ii) para cada x ∈ M existe un abierto U ⊂ Rn , con x ∈ U , y
existen n − m funciones reales de clase Cr , fi : U → R con
fi(x) = 0 , para i = 1, 2, . . . , n −m, tales que las formas lineales
dfi(x) : Rn → R son linealmente independientes y
M ∩ U =n−m⋂
i=1
f−1i (0) ,
(las n − m formas lineales dfi(x) : Rn → R son linealmente in-
dependientes si, y solo si, la matriz jacobiana de la aplicacion
f : U ⊂ Rn → Rn−m , dada por f = (f1, . . . , fn−m) ,
Jf(x) =(
∂fi(x)∂xj
)i=1,...,n−mj=1,...,n
tiene rango n−m),
Sergio Plaza 221
(iii) para cada x ∈ M existe un abierto U ⊂ Rn, con x ∈ U , y ex-
iste una submersion Cr , f : U → Rn−m , con f(x) = 0 , tal
que M ∩ U = f−1(0) (en este caso decimos que 0 es un valor
regular de f y consecuentemente toda superficie es localmente la
imagen inversa de un valor regular). (En general, sea U ⊂ Rn un
conjunto abierto y sea f : U → R` una aplicacion de clase Cr
(r > 1). Decimos que v ∈ R` es un valor regular de f si, o bien
f−1(v) = ∅ o bien si f−1(v) 6= ∅ entonces para cada x ∈ f−1(v) ,
la derivada Df(x) : Rn → R` es una aplicacion lineal sobreyec-
tiva. En particular, n > ` .)
(iv) para cada x ∈ M , existen un abierto U ⊂ Rn con x = (x1, . . . , xn) ∈U , un abierto U ′ ⊂ Rm con x′ = (x1, . . . , xm) ∈ U ′ y n −m fun-
ciones reales Cr, hi : U ′ → R, i = 1, 2, . . . , n−m tales que, salvo
una permutacion en las coordenadas, M∩U es el grafico de la apli-
cacion h = (h1, . . . , hn−m) : U ′ → Rn−m, esto es, toda superficie
es localmente el grafico de una aplicacion diferenciable;
(v) para cada x ∈ M , existen abiertos U ⊂ Rn con x ∈ U y Ω ⊂ Rm
con 0 ∈ Ω y una aplicacion Cr , ϕ : Ω → Rn , con ϕ(0) = x y
tal que ϕ es un homeomorfismo desde Ω sobre M ∩ U (M con la
topologıa inducida de Rn) y Dϕ(0) : Rm → Rn inyectiva. Una
aplicacion ϕ es llamada una parametrizacion del abierto V = M ∩U de M que contiene a x.
Demostracion.
(ii) ⇒ (iii)) Si las aplicaciones fi : U → R, i = 1, . . . n−m son como en
(ii), entonces es inmediato que la aplicacion f = (f1, . . . , fn−m) : U →Rn−m es una submersion y que M ∩ U = f−1(0).
222 Superficies en Espacios Euclideanos
(iii) ⇒ (ii)) Si f : U ⊂ Rn → Rn−m es una submersion como en (iii),
escribiendo f = (f1, . . . , fn−m) se tiene que las funciones coordenadas fi :
U → R de f satisfacen (ii), pues dfi(x) son linealmente independientes
para cada x ∈ U , y ∩n−mi=1 f−1
i (0) = f−1(0) = M ∩ U .
(iii) ⇒ (i)) Sean x ∈ M y U ⊂ Rn abierto con x ∈ U , y sea f :
U → Rn−m una submersion Cr , tal que M ∩ U = f−1(0) entonces por
el Teorema de la Forma Local de las Submersiones, existen un abierto
U ′ ⊂ Rn con x ∈ U ′ y un difeomorfismo Cr, h : U ′ → h(U ′) ⊂ Rn tal que
f/U ′ = π2 h, donde π2 : Rn = Rm×Rn−m → Rn−m es la proyeccion en
la segunda coordenada. Tenemos, M ∩ U ′ = f−1(0) = (π2 h)−1(0) =
h−1(π−12 (0)) = h−1(Rm×0), es decir, h(M ∩U ′) ⊂ Rm×0. Luego,
h(M ∩ U ′) = h(U ′) ∩ (Rm × 0) y el difeomorfismo h : U ′ → h(U ′)
satisface la definicion de superficie.
(i) ⇒ (v)) Sean x ∈ M y U ⊂ Rn un conjunto abierto, y sea f : U →f(U) ⊂ Rn un difeomorfismo Cr , con r > 1, tal que f(M ∩ U) =
f(U) ∩ (Rm × 0). Aplicando una traslacion, si es necesario, podemos
suponer que f(x) = 0 . Haciendo Ω = f(U ∩M) = f(U)∩ (Rm×0) ⊂Rm × 0 ≡ Rm, tenemos que Ω es abierto y 0 ∈ Ω. Sea i : Rm →Rn la inclusion canonica, i(y) = (y, 0), donde 0 ∈ Rn−m. Definamos
ϕ = f−1 i , entonces ϕ : Ω → Rn satisface ϕ(0) = x, ϕ ∈ Cr y es un
homeomorfismo desde Ω sobre M ∩ U . Ademas, Dϕ(0) : Rm → Rn es
inyectiva. Luego ϕ es una parametrizacion de la vecindad M ∩ U de x
en M .
(v) ⇒ (iv)) Renumerando las coordenadas de Rn, si es necesario, pode-
mos suponer que Dϕ(0)(Rm) ∩ Rn−m = 0, donde Rn = Rm × Rn−m.
Sea π1 : Rm × Rn−m → Rm la proyeccion en la primera coordenada,
π1(x, y) = x. De Dϕ(Rm)∩Rn−m = 0 , se sigue que D(π1ϕ)(0)Rm =
π1 Dϕ(0)Rm = Rm. Ahora, como ϕ : Ω ⊂ Rm → Rn y π1 : Rn → Rm,
Sergio Plaza 223
se tiene π1 ϕ : Ω ⊂ Rm → Rm y Df(0) : Rm → RM es so-
breyectiva, por lo tanto D(π1 ϕ)(0) : Rm → Rm es un isomorfismo
y por el Teorema de la Funcion Inversa, existe un abierto Ω′ ⊂ Ω,
con 0 ∈ Ω′, tal que (π1 ϕ)/Ω′ : Ω′ ⊂ Rm → (π1 ϕ)(Ω′) ⊂ Rm es
un difeomorfismo Cr. Tomamos el abierto Ω′ ⊂ Rm, con 0 ∈ Ω′, y
h1, . . . , hn−m las ultimas n−m funciones coordenadas de la aplicacion
h = ϕ (π1 ϕ)−1 , es claro que h ∈ Cr y que h(U ′) = ϕ(Ω′), donde
U ′ = (π1 ϕ)(Ω′) ⊂ Rm es abierto. Luego, h(U ′) es un abierto de M
y por definicion de topologıa inducida existe un abierto U ⊂ Rn tal que
ϕ(Ω′) = h(U ′) = M ∩ U . Ademas, M es el grafico de la aplicacion Cr,
h = (h1, . . . , hn−m) : U ′ ⊂ Rm → Rn−m.
(iv) ⇒ (iii)) Sean x ∈ M y U ⊂ Rn un abierto con x = (x1, . . . , xn) ∈U , y sea U ′ ⊂ Rm abierto, con x′ = (x1, . . . , xm) ∈ U ′ finalmente, sea
h = (h1, . . . , hn−m) : U ′ ⊂ Rm → Rn−m una aplicacion de clase Cr,
con r > 1, tal que M ∩ U = graf(h). Escribamos Rn = Rm × Rn−m
y denotamos los puntos de Rn por (u, v) con u ∈ Rm y v ∈ Rn−m.
Sea V = U ′ × Rn−m ⊂ Rn , es claro que V es abierto y que V ∩M =
U ′ ∩ M . Definamos la aplicacion Cr, F : V → Rn−m por F (u, v) =
v − h(u) , entonces F−1(0) = (u, v) ∈ V : F (u, v) = 0 = (u, v) ∈V : v = h(u) = graf(h). Ahora, dado (z, w) ∈ Rm × Rn−m se tiene
que DF (u, v)(z, w) = w−Dh(u)z, donde Dh(u) : Rm → Rn−m. Luego,
dado η ∈ Rn−m eligiendo w ∈ Rn−m como el vector η+Dh(u)z tenemos
DF (u, v)(z, w) = η + Dh(u)z −Dh(u)z = η, es decir, F : V → Rn−m es
una submersion Cr.
Otra manera de ver que F es submersion es la siguiente. Tenemos
que F : V ⊂ Rn → Rn−m es dada por F (u, v) = v − h(u) , donde
h : U ⊂ Rm → Rn−m . Luego, para u ∈ U y v ∈ Rn−m arbitrarios, la
224 Superficies en Espacios Euclideanos
matriz jacobiana de F viene dada por
JF (u, v) =
−Jh(u)(n−m)×m
I(n−m)×(n−m)
(n−m)×n
la cual evidentemente tiene rango n − m , por lo tanto DF (u, v) es
sobreyectiva.
La siguiente figura muestra superficies obtenidas como imagen in-
versa de valores regulares para la aplicacion f : R3 → R definida por
f(x, y, z) = (1− x2 − y2)ez
Observaciones.
1. Sea M ⊂ Rn una superficie de dimension m y clase Cr ( r > 1).
Para simplificar la notacion, escribiremos simplemente Mm para
indicar la superficie y el exponente m indicara su dimension.
2. En (v) las dos condiciones, inmersion y homeomorfismo, son es-
enciales. Por ejemplo, tomemos Ω = R y ϕ : R → R2 dada por
ϕ(t) = (t2, t3) , es claro que ϕ es un homeomorfismo C∞ desde R
en ϕ(R) ⊂ R2, pero no es una inmersion, puesdϕ(0)
dt= (0, 0) .
Desde la traza de ϕ en R2 se ve facilmente que ϕ(R) no es una
superficie en R2.
Sergio Plaza 225
Para otro ejemplo consideramos la aplicacion ψ : R→ R3 , ψ(t) =(cos(t
√2) (2 + cos(t
√2)) , sen(t
√2) (2 + cos(t
√2)) , sen(t)
). Es facil
ver que ψ es una inmersion de clase C∞, pero no es homeomorfismo
sobre su imagen, la cual esta contenida en el toro T2 ⊂ R3,
T2 =(cos(t) (2 + cos(s)) , sen(t) (2 + cos(s)) , sen(s)) ∈ R3 :
s, t ∈ R .
Indicacion. Pruebe que T2 ⊂ R3 es una superficie de dimension
2 y de clase C∞ de R3 , y que ψ(R) es denso en T2 .
Un ejemplo mas sencillo de una inmersion inyectiva que no es
homeomorfismo sobre su imagen es dado por la aplicacion ϕ :
]− 1,∞[→ R2 definida por ϕ(t) = (t3 − t, t2) . Claramente, ϕ, es
continua e inyectiva, por lo tanto es una biyeccion sobre su imagen
ϕ(R) (vea la figura abajo)
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un
vn
(0, 1)
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Ahora, sean (un)n∈N y (vn)n∈N sucesiones como en la figura, con
limn→∞ un = limn→∞ vn = (0, 1) . Se tiene que limn→∞ ϕ−1(un) =
1 y limn→∞ ϕ−1(vn)0 = −1 , esto muestra que ϕ−1 : ϕ(R) →]− 1,∞[ no puede ser continua.
226 Superficies en Espacios Euclideanos
7.1 Ejemplos de Superficies
1. Superficies de dimension n en Rn . Un subconjunto M de Rn es
superficie de dimension n si, y solo si, es un subconjunto abierto
de Rn .
En efecto, si M es un subconjunto abierto de Rn entonces basta
tomar una unica parametrizacion ϕ : M → M dada por ϕ = IM ,
aplicacion identidad de M . Recıprocamente, supongamos que M
es una superficie de clase al menos C1 . Sea p ∈ M , y sea ϕ : U0 ⊂Rn → U ⊂ M una parametrizacion con p = ϕ(x0) . Como para
todo x ∈ U0 la aplicacion lineal Dϕ(x) : Rn → Rn es inyectiva,
se sigue que Dϕ(x) es un isomorfismo, luego por el Teorema de
la Funcion Inversa, ϕ es un difeormorfismo local de clase C1
desde una vecindad W0 de x0 en una vecindad de p = ϕ(x0) .
Restringiendo ϕ a W0 se tiene que ϕ/W0 : W0 → ϕ(W0) es un
difeomorfismo, por lo tanto ϕ(W0) es un conjunto abierto de Rn ,
y como M es la union de las vecindades parametrizadas de sus
puntos, concluimos que M es un conjunto abierto en Rn .
Nota. Lo anterior tambien vale para superficies de clase C0 , pero
la prueba no la haremos, pues depende del Teorema de Brouwer
sobre la Invariancia de los Dominios.
2. En el otro extremo, respecto de la dimension de una superficies,
tenemos las superficies de dimension cero.
Afirmacion. Sea M ⊂ Rn . Entonces M es una superficie de
dimension cero si, y solo si, M es un conjunto de puntos aislados.
La prueba de esta afirmacion es facil y se deja al lector.
Sergio Plaza 227
3. Graficos de aplicaciones diferenciables. Sea U ⊂ Rm un con-
junto abierto, y sea f : U → Rn una aplicacion de clase Ck , su
grafico es el conjunto graf(f) = (x, f(x)) ∈ Rm × Rn : x ∈ U .
Afirmamos que M = graf(f) es una superficie de clase Ck y
dimension m contenida en Rm × Rn .
En efecto, basta considerar una unica parametrizacion ϕ : U → M
dada por ϕ(x) = (x, f(x)) , la cual es de clase Ck y Dϕ(x) =
(I, Df(x)) es inyectiva. Ahora sea π1 : Rm × Rn → Rm la
proyeccion en la primera coordenada, π1(x, y) = x . Es claro que
π1 es continua y (π1|M) ϕ(x) = x y que ϕ (π1/M)(x, f(x)) =
(x, f(x)) . Por lo tanto, ϕ es un homeomorfismo sobre su imagen,
cuya inversa es π1/M . Como ejercicio el lector puede construir
ejemplos considerando aplicaciones conocidas.
Afirmamos que f es de clase Ck si, y solo si, M = graf(f) es
una superficie de clase Ck .
En efecto, si f es de clase Ck ya mostramos que M = graf(f)
es una superficie de clase Ck .
Recıprocamente, supongamos que en M = graf(f) existe un abierto
V para el cual existe una parametrizacion ξ : U0 ⊂ Rm → V de
clase Ck+1 . Ahora sea ϕ : U ⊂ Rm → M la parametrizacion
ϕ(x) = (x, f(x)) anterior. Sea W0 = π1(V ) , es claro que W0 ⊂ U
es un conjunto abierto. Consideremos y0 ∈ U0 y x0 ∈ W0 tales
que ξ(y0) = ϕ(x0) . Tenemos que π1ξ = (π1/M)ξ : U0 → W0 es
un homeomorfismo de clase Ck+1 . Ahora, tenemos ϕ(π1ξ) = ξ
y derivando esta igualdad nos queda Dϕ(π1(ξ(u)))D(π1ξ)(u) =
Dξ(u) para cada u ∈ U0 , como las derivadas Dϕ(x) y Dξ(y) son
inyectivas, se sigue que D(π1 ξ)(u) : Rm → Rm es una aplicacion
228 Superficies en Espacios Euclideanos
lineal inyectiva, por lo tanto un isomorfismo, del Teorema de la
Funcion Inversa concluimos que π1 ξ : U0 → W0 es un difeo-
morfismo local de clase Ck+1 , esto es, existen abiertos U1 ⊂ U0
y W1 ⊂ W0 tal que π1 ξ : U1 → W1 es un difeomorfismo Ck+1 .
Como ϕ/W1 = ξ (π1 ξ)−1 , se sigue que ϕ es de clase Ck+1 en
el abierto W1 , luego ϕ(x) = (x, f(x)) es de clase Ck+1 , y por lo
tanto M = graf(f) es de clase Ck+1 , lo cual termina la prueba.
Considerando aplicaciones de clase Ck pero no de clase Ck+1
podemos construir superficies de clase Ck pero no de clase Ck+1 .
Por ejemplo, dado k > 1 sea fk : R→ R definida por
fk(x) =
xk si x > 0
0 si x 6 0 .
Es facil ver que fk es Ck−1 pero no Ck .
Otro ejemplo simple, es dado por funciones f : R → R del tipo
f(x) = x(k+1)/k , estas funciones son de clase C1 pero no son C2 .
4. Sean Mm ⊂ R` y Nn ⊂ Rp superficies de clase Cr (r > 1 ).
Entonces M ×N ⊂ R`+p es una superficie de clase Cr y dimension
m + n .
En efecto, sean ϕ : Ω1 ⊂ Rm → R` y ψ : Ω2 ⊂ Rn → Rp
parametrizaciones Cr de M y N , respectivamente, entonces la apli-
cacion ϕ×ψ : Ω1×Ω2 ⊂ Rm+n → R`+p dada por (ϕ×ψ)(x, y) =
(ϕ(x), ψ(y)) es una parametrizacion de M ×N .
Usando esta construccion y los ejemplos dados (arriba y a seguir)
se pueden construir muchos ejemplos de superficies.
5. Consideremos la esfera unitaria Sn ⊂ Rn+1, la cual es dada por
Sergio Plaza 229
Sn =
x = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 :
n+1∑
i=1
x2i = 1
.
Este ejemplo es interesante, pues podemos demostrar de varios
modos diferentes que es una superficie.
Afirmacion: Sn es una superficie de codimension 1 y clase C∞
contenida en Rn+1.
Primera forma. Consideremos la funcion f : Rn+1 → R dada por
f(x1, . . . , xn+1) = x21 + · · · + x2
n+1 − 1 , es claro que f es C∞ y
que Sn = f−1(0) . Por otra parte df(x1, . . . , xn+1) = 2x1dx1 +
. . . + 2xn+1dxn+1 6= 0 si (x1, . . . , xn+1) 6= (0, . . . , 0) ; como 0 /∈ Sn,
las formas dxi ( i = 1, . . . , n + 1) son linealmente independientes,
consecuentemente Sn ⊂ Rn+1 es una superficie de codimension 1
y clase C∞ .
Segunda forma. Vamos construir 2n + 2 parametrizaciones para
Sn .
Sean H±i = x ∈ Rn+1 : (±1)xi > 0 . Claramente los conjuntos
H±i son subconjuntos abiertos de Rn+1 . Definamos los conjun-
tos U±i = Sn ∩H±
i , estos son subconjuntos abiertos de Sn . Sea
B(0; 1) = y ∈ Rn : ||y|| < 1 la bola unitaria abierta centrada
en el origen de Rn . Ahora definimos 2n + 2 parametrizaciones
como sigue: sean ϕ±i : B(0; 1) → U±i dadas por ϕ±i (x1, . . . , xn) =
(x1, . . . , xi−1,±√
1− ||x||2, xi, . . . , xn) , esas aplicaciones ϕ±i son
de clase C∞ . Sus inversas son las restricciones a U±i de las
proyecciones πi : Rn+1 → Rn dadas por πi(x1, . . . , xi, . . . , xn+1) =
(x1, . . . , xi, . . . , xn+1) , donde ˆ significa que omitimos esa coorde-
230 Superficies en Espacios Euclideanos
nada.
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Tercera forma. Construiremos dos parametrizaciones, dadas por
las inversas de las proyecciones esterograficas.
Sean UN = Sn−pN y US = Sn−pS , donde pN = (0, . . . , 0, 1)
y pS = (0, . . . , 0,−1) , son los polos norte y sur de la esfera,
respectivamente. Definamos las aplicaciones PN : UN → Rn y
PS : US → Rn , llamadas proyecciones esterograficas norte y sur,
respectivamente, por
PN (x1, . . . , xn+1) =(
x1
1− xn+1, . . . ,
xn
1− xn+1
)
PS(x1, . . . , xn+1) =(
x1
1 + xn+1, . . . ,
xn
1 + xn+1
),
sus inversas ϕN : Rn → UN y ϕS : Rn → US son las parametriza-
ciones que buscamos, esta vienen dadas por,
ϕN (x1, . . . , xn) =(
2x1
1 + ||x||2 , . . . ,2xn
1 + ||x||2 ,||x||2 − 11 + ||x||2
)
ϕS(x1, . . . , xn) =(
2x1
1 + ||x||2 , . . . ,2xn
1 + ||x||2 ,1− ||x||21 + ||x||2
).
Haremos la construccion para ϕN , para ϕS es analoga. La apli-
cacion PN (x) esta definida por la interseccion de la recta que
pasa por los puntos pN = (0, . . . , 0, 1) y x con el plano Rn×0
Sergio Plaza 231
(≡ Rn). La ecuacion de la recta es dada por tx + (1 − t)pN ,
con t ∈ R . Desarrollando nos queda (tx1, . . . , txn+1 + 1 − t) ,
t ∈ R . Intersectar esta recta con Rn × 0 significa hacer la
ultima coordenada txn+1 + 1 − t igual a 0, despejando t obten-
emos t = 11−xn+1
, reemplazando este valor de t en la ecuacion de
la recta, y omitiendo la ultima coordenada, que es igual a cero,
obtenemos que
PN (x1, . . . , xn+1) =(
x1
1− xn+1, . . . ,
xn
1− xn+1
).
Para encontrar ϕN consideremos un punto x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
e identificamos este con el punto x = (x1, . . . , xn, 0) ∈ Rn × 0 .
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•
•xϕN (x)•ϕS(x)•.............
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La recta que pasa por x y pN viene dada por (tx1, . . . , txn, 1−t) ,
t ∈ R . Intersectando esta recta con Sn obtenemos la ecuacion
t2(x21 + · · ·+ x2
n) + (1− t)2 = 1 , desarrollando nos queda t2(x21 +
· · · + x2n + 1) − 2t = 0 , de aquı tenemos que o bien t = 0 o bien
t = 21+x2
1+···+x2n
= 21+||x||2 . El valor t = 0 se descarta pues para
este valor nos queda el polo norte pN . Reemplazando el otro valor
de t en la ecuacion anterior nos queda
ϕN (x1, . . . , xn) =(
2x1
1 + ||x||2 , . . . ,2xn
1 + ||x||2 ,||x||2 − 11 + ||x||2
).
Las restantes verificaciones son dejadas como ejercicio al lector.
232 Superficies en Espacios Euclideanos
6. Vamos a demostrar que el elipsoide E = (x, y, z) ∈ R3 : x2
b2+
y2
b2+ z2
c2= 1 es una superficie 2–dimensional de clase C∞ de
dos maneras distintas. El lector puede buscar otras formas de
demostrar esto.
Primera Forma: Valores regulares.
Sea f : R3 → R definida por f(x, y, z) = x2
a2 + y2
b2+ z2
c2− 1, es
claro que f es de clase C∞ y que f−1(0) = E . Por lo tanto, solo
debemos demostrar que 0 ∈ R es un valor regular de f . Para ver
esto, tenemos que
Jf(x, y, z) =(
2x
a2
2y
b2
2z
c2
)
Luego, Df(x, y, z) 6= 0 para todo (x, y, z) 6= 0 y como Df(x, y, z) :
R3 → R , se tiene que la aplicacion Df(x, y, z) es sobreyectiva
para todo (x, y, z) ∈ E . Luego, 0 ∈ R es un valor regular de
f y en consecuencia E es la imagen inversa de un valor regu-
lar, por lo tanto E es una superficie de clase C∞ y dimension
dimE = 3− 1 = 2 , como querıamos mostrar.
Segunda Forma: Parametrizaciones.
Para construir parametrizaciones para E , consideremos los con-
juntos
V1 = (y, z) ∈ R2 : −c
√1− y2
b2< z < c
√1− y2
b2, −b < y < b
V2 = (x, z) ∈ R2 : −c
√1− x2
a2< z < c
√1− x2
a2, −a < x < a
V3 = (x, y) ∈ R2 : −b
√1− x2
a2< y < b
√1− x2
a2, −a < x < a
Sergio Plaza 233
y sean
H+i = (x1, x2, x3) ∈ R3 : xi > 0
H−i = (x1, x2, x3) ∈ R3 : xi < 0 , i = 1, 2, 3.
Tenemos U±i = H±
i ∩ E son abiertos en E y (0, 0) ∈ Vi . Defi-
namos ϕ±1 : V1 → U±1 por ϕ±1 (y, z) =
(±a
√1− y2
b2− z2
c2, y, z
).
Tenemos que ϕ+1 (0, 0) = (a, 0, 0) ∈ U1 ⊂ M . Vamos a probar que
ϕ+1 es una parametrizacion, para lo cual debemos demostrar que
primero que ϕ+1 es un homeomorfismo desde V1 sobre U+
1 ⊂ E .
Claramente, ϕ+1 es inyectiva, y sobreyectiva sobre su imagen.
Ademas, es inmediato ver que ϕ+1 es continua, y su inversa (ϕ+
1 )−1 :
U+1 → V1 viene dada por (ϕ+
1 )−1(x1, x2, x3) = (x2, x3) , y siendo
esta aplicacion la restriccion E de una proyeccion se sigue que es
continua. Por lo tanto ϕ+1 : V1 → U+
1 es un es un homeomorfismo.
Ahora debemos demostrar que ϕ+1 es inmersion. Tenemos que
Jϕ+1 (y, z) =
−yb2· 1√
1− y2
b2− z2
c2
−zc2· 1√
1− y2
b2− z2
c2
1 0
0 1
luego, tomando la submatriz A =
(1 0
0 1
), para la cual se tiene
que det(A) 6= 0 , de donde dim ker(Dϕ+1 (0, 0)) = 2 , por lo tanto
Dϕ+1 (y, z) es inyectiva.
234 Superficies en Espacios Euclideanos
Observacion. Se puede repetir las construcciones de proyecciones
esterograficas hechas para la esfera en el caso del elipsoide. Los
detalles quedan a cargo del lector.
7. Banda de Mobius. La banda de Mobius es la superficie mostrada
en la figura las siguiente.
Para parametrizar la banda de Mobius, consideremos las aplica-
ciones δ, γ : R → R3 definidas por γ(t) = (cos(t), sen(t), 0) y
δ(t) = (cos(t/2) cos(t), cos(t/2) sen(t), sen(t/2)) . Definamos f :
]0, 1[ → R3 por f(s, t) = γ(t)+(s−1/2)δ(t) = ((1+(1−s/2) cos(t/2)) cos(t), (1+
(1−s/2) cos(t/2)) sen(t), (1−s/2) sen(t)) . La imagen M = f(]0, 1[×R) ⊂R3 es la banda de Mobius. Denotemos por J = ]0, 1[ , sea I ⊂ Rcualquier intervalo de longitud, |I| , menor que 2π . Entonces
se tiene que ϕ = f/(J × I) : J × I → ϕ(J × I) ⊂ M es una
parametrizacion de clase C∞ para la banda de Mobius. Esta
parametrizacion no cubre toda la banda de Mobius, el lector puede
encontrar las restantes parametrizaciones.
8. Toro T2 ⊂ R3. El toro T2 es construido geometricamente como
sigue. Sea T2 = (x, y, z) ∈ R3 : (x2+y2+z2−10)2+36z2 = 36 .
Sergio Plaza 235
Este conjunto es obtenido al hacer rotar sobre un cırculo de radio 3
en torno al origen en el plano xy un cırculo de radio 1 en el plano
xz . Sean ϕ1 : ]0, 2π[× ]0, 2π[→ R3 , ϕ2 : ]ε, 2π+ε[× ]0, 2π[→ R3 ,
ϕ3 : ]0, 2π[× ]ε, 2π+ε[→ R3 , y ası sucesivamente, de este modo se
definen 6 parametrizaciones (las tres restantes se dejan al lector),
donde ϕ1(φ, θ) = ((3 + cos(φ)) cos(θ), (3 + cos(φ)) sen(θ), sen(φ))
y ϕj(φ, θ) = ϕ1(φ, θ) , para j = 1, . . . , 6 . Es facil ver que las
imagenes de estas parametrizaciones cubren el toro T2 . (comple-
tar detalles esta a cargo del lector.)
9. Botella de Klein K2 ⊂ R4 .
Sean ox, oy, oz y ow los cuatro ejes coordenados en R4 . Consid-
eremos un cırculo C de radio r > 0 contenido en el plano xoz con
centro en un punto c del eje ox , situado a una distancia a > r
desde el origen.
La botella de Klein, K2 , es la superficie obtenida por la rotacion
del cırculo C , de modo que cuando C describe un angulo u
en el plano xoy el plano del cırculo C describe una rotacion de
angulo u/2 en torno a oc en el espacio oc, oz, ow . Sean U1 =
236 Superficies en Espacios Euclideanos
]0, 2π[× ]0, 2π[⊂ R2 y ϕ1 : U1 → R4 definida por
ϕ1(u, v) = ((a + r cos(v)) cos(u), (a + r cos(v)) sen(u),
r sen(v) cos(u/2), r sen(v) sen(u/2)) .
Es facil ver que ϕ1 es una parametrizacion de clase C∞ , y que
ϕ1(U1) contiene todos los puntos de la botella de Klein, excepto
aquellos sobre los cırculos u = 0 y v = 0 . Por ejemplo, vamos
a mostrar que ϕ1 es inyectiva. Supongamos primero que z 6= 0 .
Entonces v 6= 0 y cos(u/2) 6= 0 . Como 0 < u/2 < π , la expresion
w/2 = tang(u/2) determina u . Conociendo u , las ecuaciones
cos(v) =
√x2 + y2 − a
ry sen(v) =
w
r cos(u/2)
determinan v . Por otra parte, si z = 0 , se tiene que v = π o u =
π , y de nuevo se ve que ϕ1 es inyectiva. Luego ϕ1 : U1 → ϕ1(U1)
es biyectiva. Los restantes casos se dejan a cargo del lector.
La figura abajo muestra una representacion de la botella de Klein
inmersa en R3 , pues tiene autointersecciones, que la superficie
Sergio Plaza 237
original en R4 no tiene.
10. Toro Tn ⊂ R2n. Sea S1√1n
⊂ R2 el cırculo centrado en el origen
y radio 1/√
n, es decir, S1√1n
es definido por la ecuacion, x2 +
y2 = 1/n . Definimos Tn = S1√1n
× · · · × S1√1n
n-veces. Entonces,
Tn ⊂ R2n, es una superficie de dimension n y clase C∞ contenida
en R2n+2 , de hecho se tiene que Tn esta contenida en S2n−1 .
En efecto, Tn es definido por las n ecuaciones,
x21 + x2
2 =1n
, x23 + x2
4 =1n
, . . . , x22n−1 + x2
2n =1n
.
Sumando de estas n ecuaciones, tenemos
x21 + x2
2 + · · ·+ x22n−1 + x2
2n = 1 ,
luego Tn ⊂ S2n−1 y como en el ejemplo anterior se prueba la
afirmacion.
238 Superficies en Espacios Euclideanos
Si tomamos un cırculo de radio 1, S1 ⊂ R2 y definimos Tn =
S1 × · · · × S1 ( n–veces) entonces Tn ⊂ S2n−1√n
, donde S2n−1√n
es la
esfera de centro en el origen y radio√
n en R2n.
11. Grupo de las matrices inversibles. GL(Rn) = A ∈ M(n ×n,R) : det(A) 6= 0 es un conjunto abierto enM(n×n,R) ≡ Rn2
,
luego es una superficie de dimension n2 y clase C∞ en Rn2.
12. Grupo Ortogonal. Sea O(n) =A ∈M(n× n,R) : AAT = I
,
donde AT denota la transpuesta de la matriz A. Afirmamos que
O(n) es una superficie de dimension n(n − 1)/2 y clase C∞ en
Rn2 ≡M(n× n,R).
En efecto, consideremos el conjunto de las matrices simetricas
y antisimetricas, S(n) = A ∈ M(n × n,R) : A = AT y
A(n) = A ∈ M(n × n,R) : AT = −A , respectivamente. Am-
bos conjuntos son subespacios vectoriales de M(n × n,R), con
dimS(n) = (n(n + 1))/2 y dimA(n) = (n(n− 1))/2 . Dada una
matriz A ∈M(n× n,R), se tiene,
A+AT ∈ S(n) , A−AT ∈ A(n) y A =12
(A+AT )+12
(A−AT ) .
Ademas, como S(n) ∩ A(n) = 0, se sigue que M(n × n,R) =
S(n)⊕A(n) .
Definamos F :M(n×n,R) → S(n) ≡ Rn(n+1)2 por F (X) = XXT .
Tenemos que F ∈ C∞ y DF (X)H = XHT +HXT . Para mostrar
que F es una submersion, dada una matriz S ∈ S(n), tomemos la
matriz V =SX
2, entonces
DF (X)V = X
(SX
2
)T
+SX
2XT = (XXT )
S
2+
S
2(XXT ) ,
Sergio Plaza 239
luego para X ∈ O(n) se tiene DF (X)V = S, esto es, para cada
X ∈ O(n) la derivada DF (X) : Rn2 → Rn(n+1)
2 es sobreyectiva.
Por lo tanto, O(n) = F−1(I) es una superficie de dimension n(n−1)/2 y clase C∞ .
Note que O(n) es compacto. En efecto, primero que nada es claro
que O(n) es cerrado por ser la imagen inversa del conjunto cerrado
I ⊂ Rn(n+1)2 ( I matriz identidad). Ademas, O(n) esta contenido
en una esfera, pues si escribimos A ∈ O(n) como
A =
f1
f2
...
fn
donde fj = (aj1 aj2 · · · ajn ) es la fila j–esima de A . Entonces
tenemos que
f1
f2
...
fn
(f1 f2 · · · fn) = I
de donde sigue que 〈fi, fi〉 = ||fi||2 = 1 y 〈fi, fj〉 = 0 si i 6= j .
Por lo tanto, f1, . . . , fn es una base ortonormal de Rn y se tiene
en consecuencia que O(n) es acotado. De hecho, hemos probado
que O(n) ⊂ Sn−1 .
Tambien tenemos que O(n) es disconexo, pues O(n) = O+(n) ∪O−(n), donde O±(n) = A ∈ O(n) : det(A) = ±1 . Es claro que
O+(n) ∩ O−(n) = ∅, y que ambos son conjuntos cerrados.
240 Superficies en Espacios Euclideanos
Finalmente, observemos que O(n) es un subgrupo multiplicativo
del grupo multiplicativo GL(Rn) = A ∈ M(n× n,R) : det(A) 6=0 = det−1(R − 0) , esto es, si X,Y ∈ O(n) entonces X · Y y
X−1 pertenecen a O(n) .
13. Grupo especial lineal. SL(n) = A ∈ GL(Rn) : det(A) = 1 =
det−1(1) . Tenemos que SL(n) ⊂ Rn2es una superficie de di-
mension n2 − 1 y clase C∞.
En efecto, consideremos la aplicacion det : M(n × n,R) → R que
a cada matriz X asocia su determinante. Tenemos que det es n–
lineal en las filas (columnas), luego es de clase C∞ y D det(X)H =∑n
i=1 det(X1, . . . , Hi, . . . , Xn) , donde X = (X1, . . . , Xn) y H =
(H1, . . . , Hn) estan escritas en su forma por filas (columnas). Ob-
servemos que para la matriz identidad, I ∈ M(n× n,R) , se tiene
D det(I)H =∑n
i=1 det(E1, . . . , Hi, . . . , En) =∑n
i=1 hii = traza(H) ,
donde Ej es la j-esima fila (columna) de I .
Denotemos por Ers la matriz que tiene un 1 en el lugar (r, s) y
0 en los restantes lugares. Entonces el conjunto Ers : 1 6 r 6n , 1 6 s 6 n es una base para M(n × n,R) . Dada una matriz
X ∈ M(n× n,R), denotemos por Xrs la matriz (n− 1)× (n− 1)
obtenida desde X eliminando su r–esima fila y su s–esima columna.
De lo anterior,
D det(X)Ers =∂ det(X)
∂Xrs= (−1)r+s det(Xrs) .
Por lo tanto, dada una matriz A ∈ GL(Rn) existe un menor Ars
de A, con det(Ars) 6= 0, por lo tanto D det(A) 6= 0. De lo anterior
se sigue que D det(A) : Rn2 → R es sobreyectiva, para todo A ∈
Sergio Plaza 241
GL(Rn). En particular, para A ∈ SL(n) se tiene que D det(A) es
sobreyectiva y por lo tanto SL(n) = det−1(1) es una superficie de
codimension 1 y clase C∞ en Rn2.
Observacion.
(a) Hemos usado el hecho que una aplicacion lineal L : Rk → R
es la aplicacion lineal nula o es sobreyectiva.
(b) Dadas X,Y SL(n) entonces X · Y y X−1 pertenecen a
SL(n) , por lo tanto este es un subgrupo multiplicativo de
GL(Rn) .
14. Sea C una curva regular en el plano xz que no intersecta al eje
z . Supongamos que C esta parametrizada por
x = f(v)
z = g(v) ,
donde v ∈ ]a, b[ y f(v) > 0 .
Al rotar la curva C alrededor del eje z obtenemos una superficie
S . Veremos a continuacion como obtener parametrizaciones para
S .
Sea V = (u, v) ∈ R2 : 0 < u < 2π, a < v < b y definamos
ϕ : V → R3 por ϕ(u, v) = (f(v) cos(u), f(v) sen(u), g(v)) . Afir-
mamos que ϕ es una parametrizacion para S .
En efecto, primero veamos que ϕ es inyectiva. Si ϕ(u, v) =
ϕ(u, v) entonces (f(v) cos(u), f(v) sen(u), g(v)) = (f(v) cos(u), f(v) sen(u), g(v)),
de donde g(v) = g(v) , lo cual implica que v = v , pues g es
parametrizacion, por otra parte tenemos que f(v)cos(u) = f(v)cos(u) ,
lo cual implica que cos(u) = cos(u) y sen(u) = sen(u) , de donde
242 Superficies en Espacios Euclideanos
se tiene que u = u . Finalmente, como ϕ es sobreyectiva so-
bre su imagen, se tiene que ϕ es una biyeccion desde V sobre
U = 8ϕ(V ) .
Ahora mostraremos que ϕ es una inmersion. Para ellos calculemos
su jacobiano. Tenemos
Jϕ(u, v) =
−f(v) sen(u) f ′(v) cos(u)
f(v) cos(u) f ′(v) sen(u)
0 g′(v)
y tomando submatriz
A =
f(v) cos(u) f ′(v) sen(u)
0 g′(v)
se tiene que det(A) = f(v)g′(v) cos(u) , y como f(v) > 0 y g′(v) 6=0 (C curva regular, lo cual significa que g′(v) 6= 0 y f ′(v) 6= 0),
tenemos que det(A) 6= 0 , por lo tanto u 6= π
2. Si u =
π
2elegimos
la submatriz
A =
−f(v) sen(u) f ′(v) cos(u)
0 g′(v)
.
Por lo tanto, en cualquier caso se tiene que Dϕ(u, v) es una apli-
cacion lineal inyectiva. Como ϕ es continua solo nos falta probar
que ϕ−1 es continua.
Un punto en S es dado fijando un valor de z y (x, y) en el plano
xy con
x2 + y2 = f2(v)
z = g(v)
Sergio Plaza 243
determinando de manera unica el valor de u y v .
Como ϕ(u, v) = (f(v) cos(u), f(v) sen(u), g(v)) se tiene que u =
ϕ−1(x, y, z) y v = ϕ−12 (x, y, z) , y lo que nos resta por demostrar
es que la funcion ϕ−1 es continua en las variables (x, y, z) .
Si u 6= π entonces
tang(u
2
)=
sen(u
2
)
cos(u
2
) =2 sen(u/2) cos(u/2)
2 cos2(u/2)
=sen(u)
1 + cos(u)
=y/f(v)
1 + x/f(v)
=y
x +√
x2 + y2
luego u = 2 tang−1
(y
x +√
x2 + y2
)es continua.
Si u = π, en una vecindad pequena de π se obtiene
cotang(u
2
)=
cos(u
2
)
sen(u
2
)
=2 cos
(u
2
)sen
(u
2
)
2 cos2(u
2
)
=sen(u)
1− cos(u)
=y/f(v)
1− x/f(v)
244 Superficies en Espacios Euclideanos
=y√
x2 + y2 − x
luego u = 2cotang−1
(y√
x2 + y2 − x
), por lo tanto u es una
funcion continua de (x, y, z) , analogamente se tiene que v es una
funcion continua de (x, y, z) , pues v es funcion continua de z y
de√
x2 + y2, lo cual termina la prueba.
15. Sea S = A ∈ M(3 × 3,R) : rango(A) = 1 ⊂ R9 . Vamos a
demostrar que S es una superficie de dimension 5 y de C∞ .
En efecto, sean (u, v, w) las filas de A ∈ M(3 × 3,R) donde
u, v, w ∈ R3 . De este modo tenemos que S es el conjunto de
las matrices de 3 × 3 con dos filas linealmente dependientes, y
podemos escribir S = U ∪ V ∪W , donde
a) U esta formado por las matrices de 3× 3 con la primera fila
nula.
b) V esta formado por las matrices de 3× 3 con la segunda fila
no nula.
c) W esta formado por las matrices de 3× 3 con la tercera fila
no nula.
Sean U0 = R3 − 0 y V0 = U0 × R × R , definamos las aplica-
ciones ϕ : V0 → U por ϕ(v, t, α) = (v, vt, αv) , ψ : V0 → V por
ψ(v, t, α) = (tv, v, αv) , y ξ : V0 → W por ξ(v, t, α) = (tv, αv, v) .
Afirmamos que estas aplicaciones son parametrizaciones para S ,
por simplicidad solo mostraremos que ϕ es una parametrizacion,
para ψ y ξ los argumentos son analogos.
Primero mostraremos que ϕ es biyectiva. Es claro que ϕ es in-
yectiva, y como es sobreyectiva sobre su imagen, se sigue que ϕ es
Sergio Plaza 245
biyectiva. Ahora, un calculo directo muestra que ϕ−1(v, tv, αv) =
(v, t, α) , y como es claro que ϕ y ϕ−1 son continuas se sigue
que ϕ es un homeomorfismo desde V0 sobre su imagen. Ahora
mostraremos ϕ es inmersion. Tenemos
Jϕ(v1, v2, v3, t, α) =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
t 0 0 v1 0
0 t 0 v2 0
0 0 t v3 0
s 0 0 0 v1
0 s 0 0 v2
0 0 s 0 v3
luego, tomando submatriz
A =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
t 0 0 v1 0
s 0 0 0 v1
tenemos que det(A) = v21 , y como v1 6= 0 , v2 6= 0 o v3 6= 0 , sin
perdida de generalidad podemos suponer v1 6= 0 y ası tenemos que
dim((ImDϕ(v, t, α))) = 5 , de donde dim(ker(Dα(v, t, α))) = 0 ,
luego se tiene que Dϕ(v, t, α) es inyectiva, como querıamos probar.
7.2 Aplicaciones Diferenciables
Para definir el concepto de aplicacion diferenciable en superficies usa-
remos la caracterizacion (v) del Teorema 2.1, esto es, haremos uso de
246 Superficies en Espacios Euclideanos
parametrizaciones. Primero probaremos un resultado que nos permitira
definir ese concepto.
Teorema 7.2 Sean V0 ⊂ Rm un conjunto abierto y ψ : V0 → V una
parametrizacion de clase Ck de un conjunto V ⊂ Rn . Si U0 ⊂ R` es
un conjunto abierto y f : U0 → Rn es una aplicacion de clase Ck , con
f(U0) ⊂ V . Entonces la compuesta ψ−1 f : U0 ⊂ R` → V0 ⊂ Rm es
de clase Ck . Ademas, para cada x ∈ U0 y z = ψ−1 f(x) tenemos que
D(ψ−1 f)(x) = (Dψ(z))−1 Df(x)
....................................
........................................
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................................................................
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• aU
Rp
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Rn
............................................
......................................................
.....................................................................................
............................................................................................... ..............f
...........................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
• f(a) = ϕ(x0)
..........................................................................................................................................................................................................
..................................
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x0
Rm
V0
ϕ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
ϕ−1 f
Demostracion. Como ψ : V0 → V es una inmersion inyectiva Ck ,
por el Teorema de la Forma Local de las Inmersiones, para cada p ∈ V
existen un abierto Z en Rn con p ∈ Z y una aplicacion g : Z → Rm
de clase Cr , tal que g/(V ∩ Z) = ψ−1. Como f(U0) ⊂ V tenemos
ψ−1 f = g f : f−1(f(U0)∩Z) ⊂ R` → Rm , luego ψ−1 f es de clase
Ck .
Sergio Plaza 247
Ahora escribamos h = ψ−1 f , luego ψ h = f y Df(x) = D(ψ h)(x) = Dψ(h(x))Dh(x) , de donde Dh(x) = (Dψ(z))−1 Df(x) , esto
es, D(ψ−1 f)(x) = (Dψ(z))−1 Df(x) , donde z = h(x) = ψ−1 f(x) .
Corolario 7.3 Sean U0 y V0 subconjuntos abiertos de Rm . Dadas
parametrizaciones de clase Ck (k > 1), ϕ : U0 → V y ψ : V0 → V del
conjunto V ⊂ Rn , se tiene que el cambio de coordenadas ξ = ψ−1 ϕ
es un difeomorfismo de clase Ck entre abiertos de Rm .
Demostracion. Basta tomar f = ϕ en el teorema anterior, y se sigue
que ψ−1ϕ es de clase Ck . Por otra parte, como ϕ−1ψ = (ψ−1ϕ)−1
se sigue el resultado.
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ϕ−1(V ∩W ) ψ−1(V ∩W )
...................................................................................................................................
ϕ
..........................
..........................
..........................
.....................................................
ψ
....................................................................... ..............ψ−1 ϕ
...........................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
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...........
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.......
...........
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...........
...........
..
...........
...........
.......
............................................................................................................................................................................................................
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Ejemplos.
1. Cambios de coordenadas en la botella de Klein K2 ⊂ R4 . Recorde-
mos que si U1 = ]0, 2π[× ]0, 2π[⊂ R2 y ϕ1 : U1 → R4 dada por
ϕ1(u, v) = (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v), ϕ4(u, v)) , donde ϕ1(u.v) =
(a + r cos(v)) cos(u) , ϕ2(u, v) = (a + r cos(v)) sen(u) , ϕ3(u, v) =
r sen(v) cos(u/2) , y ϕ4(u, v) = r sen(v) sen(u/2)) . Entonces ϕ es
una parametrizacion de clase C∞ para la botella de Klein, y que
ϕ1(U1) contiene todos los puntos de la botella de Klein, excepto
248 Superficies en Espacios Euclideanos
aquellos sobre los cırculos u = 0 y v = 0 . Sea U2 = (u, v) ∈R2 : π
4 < u < 9π4 , 0 < v < 2π , definamos la parametrizacion
ϕ2 : U2 → R4 por ϕ2(u, v) = (−(r cos(v) + a) sen(u), (r cos(v) +
a) cos(u), r sen(v) cos( u2 + π
4 ), r sen(v) sen( u2 + π
4 )) . Geometrica-
mente, esto significa que medimos u desde el eje Oy . Vemos que
ϕ2(U2) incluye los puntos de la botella de Klein con u = 0 . (se
deja a cargo del lector verificar que ϕ2 es una parametrizacion).
Ahora, ϕ1(U1) ∩ ϕ2(U2) = W tiene dos componentes conexas
W1 = ϕ1(u, v) : π2 < u < 2π y W2 = ϕ1(u, v) : 0 < u < π
2 .
El cambio de coordenadas ϕ−12 ϕ1(u, v) = (u, v) es dado por
ϕ−12 ϕ1(u, v) =
(u− π/2 , v) en W1
(u + 3π/2 , 2π − v) en W2 .
De modo similar podemos definir una aplicacion inyectiva ϕ3 :
U3 → R4 cuya imagen cubre la botella de Klein menos el cırculo
v = 0 . Como puede verificarse facilmente los cambios de coorde-
nadas ϕ−1j ϕi (i, j = 1, 2, 3) son funciones de clase C∞ y que
Im(ϕ1) ∪ Im(ϕ2) ∪ Im(ϕ3) cubre la botella de Klein.
2. Plano Proyectivo real 2–dimensional, RP2 . El plano proyectivo
real 2–dimensional es el conjunto de todas las lıneas rectas en R3
que pasan por el origen (0, 0, 0) de R3 , es decir, es el conjunto de
las direcciones en R3 .
Vamos a mostrar que RP2 es una superficie de clase C∞ . Para
ello, definimos una relacion de equivalencia en R3 − (0, 0, 0) ,
como sigue: dos puntos (x, y, z) y (u, v, w) en R3−(0, 0, 0) son
equivalentes si existe λ ∈ R − 0 tal que (u, v, w) = λ(x, y, z) .
La clase de equivalencia de un punto (x, y, z) ∈ R3−(0, 0, 0) la
Sergio Plaza 249
denotamos por [(x, y, z)] . Definamos los conjuntos
V1 = [(x, y, z)] : x 6= 0 ,
V2 = [(x, y, z)] : y 6= 0 ,
V3 = [(x, y, z)] : z 6= 0 ,
y las aplicaciones ϕi : R2 → Vi (i = 1, 2, 3) por ϕ1(u, v) =
[(1, u, v)] , ϕ2(u, v) = [(u, 1, v)] , y ϕ3(u, v) = [(u, v, 1)] .
Se tiene que ϕ1(R2) ∪ ϕ2(R2) ∪ ϕ3(R2) = RP2 . Claramente, cada
aplicacion ϕi (i = 1, 2, 3) es inyectiva. Veamos las aplicaciones
inversas ϕ−1i : Vi → R2 ,
ϕ−11 ([(x, y, z)]) = 1
x (y, z) , [(x, y, z)] ∈ V1 (x 6= 0)
ϕ−12 ([(x, y, z)]) = 1
y (x, z) , [(x, y, z)] ∈ V2 (y 6= 0)
ϕ−13 ([(x, y, z)]) = 1
z (x, y) , [(x, y, z)] ∈ V3 (z 6= 0) .
Para describir ϕ−1i (Vi∩Vj) notamos que ϕ−1
1 (V1∩V2) = (u, v) ∈R2 , con u 6= 0 , el cual es un conjunto abierto de R2 . Ana-
logamente se ve para los restantes casos. Ahora el cambio de
coordenadas
ϕ−12 ϕ1(u, v) = ϕ−1
2 ([(1, u, v)])
= ϕ−12 ([(1/u , 1 , v/u)]) = (1/u , v/u) ,
la cual es diferenciable de clase C∞ .
Esta construccion se generaliza de modo simple a Rn+1 para
obtener el plano proyectivo n–dimensional RPn . Esta construccion
se deja a cargo del lector.
250 Superficies en Espacios Euclideanos
3. Se deja a cargo del lector, calcular los cambios de coordenadas
de la esfera, usando las parametrizaciones ϕN y ϕS , ası como
tambien las parametrizaciones ϕ±i , dadas anteriormente.
Usando este corolario podemos definir la nocion de aplicacion diferen-
ciable en superficies.
Definicion 7.2 Sean Mm ⊂ Rk y Nn ⊂ R` superficies de clase Cr .
Sea f : M → N una aplicacion. Decimos que f es diferenciable en
p ∈ M si, existen parametrizaciones ϕ : U0 → U ⊂ M con p ∈ U y ψ :
V0 → V ⊂ N tales que f(U) ⊂ V y ψ−1 f ϕ : U0 ⊂ Rm → V0 ⊂ Rn
es diferenciable en ϕ−1(p) . Decimos tambien que f es diferenciable en
M si es f es diferenciable en cada punto de M . Finalmente, decimos
que f es de clase Cr si ψ−1 f ϕ es de clase Cr , para cada par de
parametrizaciones como arriba.
En la definicion anterior tenemos la eleccion de parametrizaciones,
vamos a demostrar ahora que la diferenciabilidad de una aplicacion no
depende de la eleccion de las parametrizaciones.
Proposicion 7.1 Sea f : Mm → Nn una aplicacion diferenciable en
p ∈ M , con respecto a parametrizaciones ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ Mm y
ψ : V0 ⊂ Rn → V ⊂ Nn , con p ∈ U y f(U) ⊂ V . Dadas parametriza-
ciones ϕ1 : U1 ⊂ Rm → U ⊂ M y ψ : V1 ⊂ Rn → V ⊂ N , se tiene que
f es diferenciable con respecto a estas nuevas parametrizaciones.
Demostracion. Tenemos que ψ−11 f ϕ1 = ψ−1
1 (ψ ψ−1) f (ϕ ϕ−1) ϕ1 = (ψ−1
1 ψ) (ψ−1 f ϕ) (ϕ−1 ϕ1) . Ahora como los
cambios de coordenadas son aplicaciones diferenciables, y por hipotesis
ψ−1 f ϕ es diferenciable, se sigue el resultado.
Sergio Plaza 251
Observacion. Si N ⊂ R` es un subconjunto abierto y Mm ⊂ Rp es
una superficie. Entonces una aplicacion f : M → N es de clase Cr
si para cada parametrizacion ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M se tiene que la
aplicacion f ϕ : U0 → R` es de clase Cr . (en este caso, simplemente
usamos en N la parametrizacion ψ = I/N .)
Ejemplo. Sea O+(2) la componente conexa de O(2) que contiene a la
identidad. Tenemos que O+ es difeomorfo a S1 .
En efecto, sea X ∈ O+(2) , escribamos X =
(a b
c d
), tenemos
que XXT = I y det(X) = ad − cd = 1 . De esto se sigue que(a b
c d
)·(
a c
b d
)=
(a2 + b2 ac + bd
ac + db c2 + d2
)=
(1 0
0 1
), luego a2+b2 =
1 , c2 + d2 = 1 , ac + db = 0 , y ad − cb = 1 , de donde a = cos(α) y
b = sen(α) , c = −b , y a = d . Definamos f : S1 → O+(2) por
f(cos(α), sen(α)) =
(cos(α) sen(α)
− sen(α) cos(α)
). Ahora es facil verificar que
f es un difeomorfismo C∞ . Los detalles se dejan a cargo del lector.
El siguiente resultado es consecuencia del correspondiente en espacios
euclideanos.
Teorema 7.4 (Regla de la Cadena). Sean Mm , Nn y P ` superficies
de clase Ck , con k > 1 . Sean f : M → N y g : N → P aplicaciones
de clase Ck . Entonces la compuesta g f : M → P es una aplicacion
de clase Ck .
Demostracion. Sean ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M , ψ : V0 ⊂ Rn → V ⊂N , y ξ : W0 ⊂ R` → W ⊂ P parametrizaciones tales que f(U) ⊂ V y
g(V ) ⊂ W . Entonces ξ−1 (g f) ϕ = (ξ−1 g ψ) (ψ−1 f ϕ) , y
como ψ−1 f ϕ y ξ−1 g ψ son diferenciables, se sigue el resultado.
252 Superficies en Espacios Euclideanos
7.3 Espacio Tangente
Una propiedad importante que tienen las superficies es que poseen aprox-
imaciones lineales en cada uno de sus puntos, la cual es dada por su espa-
cio tangente, el cual es un subespacio vectorial del espacio que contiene
a la superficie, y su dimension es igual a la dimension de la superficie.
Definicion 7.3 Sea Mm ⊆ Rn superficie m–dimensional de clase Ck ,
con k > 1. Dado p ∈ M , el espacio tangente a M en p , denotado
por TpM , es el subespacio vectorial m–dimensional de Rn definido por
TpM = Dϕ(x)Rm (imagen de Dϕ(x) ), donde ϕ : U0 ⊆ Rm → U ⊂ Rn
es una parametrizacion con ϕ(x) = p .
Es claro que TpM es un subespacio vectorial m–dimensional de Rn
isomorfo a Rm , pues siendo Dϕ(x) : Rm → Rn es inyectiva, se sigue
que Dϕ(x) : Rm → Im (Dϕ(x)) = Tϕ(x)M es un isomorfismo.
Ejemplo. Si M es el grafico de una aplicacion Ck , f : U ⊂ Rm →Rn entonces para cada p = (x0, f(x0)) ∈ M tenemos que TpM =
graf(Df(x0)) = (v, Df(x0)v) : v ∈ Rm .
En la definicion de espacio tangente hemos fijado una parametrizacion
(arbitraria). Ahora vamos a demostrar que la definicion de espacio tan-
gente no depende de la eleccion de una particular parametrizacion.
Proposicion 7.2 Sea Mm ⊂ Rn una superficie de clase Ck , con k >1 , y sea p ∈ M . Dadas parametrizaciones ϕ : U0 → V y ψ : U1 → V ,
donde U0, U1 ⊂ Rm son abiertos y V ⊂ M es un abierto con p ∈ V , y
ϕ(x0) = ψ(x1) = p entonces Im(Dϕ(x0)) = Im(Dψ(x1)) = TpM .
Demostracion. Sabemos que el cambio de coordenadas ξ = ψ−1 ϕ
es un difeomorfismo de clase Ck entre abiertos de Rm y ξ(x0) = x1 ,
Sergio Plaza 253
luego Dξ(x0)Rm = Rm . Ahora, como ψξ = ϕ/ϕ−1(V ) derivando esta
igualdad, tenemos Dϕ(x0) = Dψ(ξ(x0)) Dξ(x0) , y de aquı TpM =
Dϕ(x0)Rm = Dψ(ξ(x0)) Dξ(x0)Rm = Dψ(x1)Rm .
Ahora daremos una caracterizacion mas geometrica del espacio tan-
gente a una superficie.
Proposicion 7.3 Sea Mm ⊂ Rn una superficie de clase Ck ( k > 1 ).
Dado p ∈ M , los elementos de TpM son los vectores velocidad en 0
de los caminos diferenciables contenidos en M que pasan por p para
t = 0 , esto es,
TpM = v ∈ Rn : v =dλ
dt(0) , con λ : ]− ε, ε[→ M diferenciable
y λ(0) = p .
Demostracion. Por definicion de espacio tangente, dado v ∈ TpM
existe una parametrizacion ϕ : U0 ⊂ Rm → V ⊂ M con ϕ(x) = p tal
que
v = Dϕ(x)u = limt→0
ϕ(x + tu)− ϕ(x)t
,
donde u ∈ Rm . Elegimos ε > 0 suficientemente pequeno de modo
que la imagen del camino α : ] − ε, ε[→ Rm dado por α(t) = x + tu
esta contenida en U0 . Tenemos entonces que el vector v es el vector
velocidad en t = 0 del camino λ(t) = ϕ α(t) = ϕ(x + tu) . Es claro
que λ(0) = p .
Recıprocamente, sea λ : ] − ε, ε[→ M un camino diferenciable con
λ(0) = p . Sea ϕ : U0 ⊂ Rm → V ⊂ M una parametrizacion, con p =
ϕ(x) ∈ V . Sin perdida de generalidad, podemos suponer que λ(t) ∈ V
para todo t ∈ ]−ε, ε[ . El camino ϕ−1λ : ]−ε, ε[→ U0 es diferenciable.
254 Superficies en Espacios Euclideanos
Escribiendo u =d
dt(ϕ−1 λ)(0) , tenemos u = (Dϕ(x))−1 λ′(0) , por lo
tanto λ′(0) = Dϕ(x)u . Lo que termina la prueba.
Observacion. En las ilustraciones, cuando dibujamos TpM lo que
hacemos en realidad es dibujar el subespacio afın p + TpM = p + v ∈Rn : v ∈ TpM , traslado a p del subespacio vectorial TpM de Rn .
Ejemplos.
1. Sea M = Sn la esfera unitaria. Dado p ∈ Sn se tiene que
TpSn = p⊥ = v ∈ Rn+1 : 〈p, v〉 = 0 subespacio ortogonal a p .
En efecto, sea λ : ] − ε, ε[→ Sn un camino diferenciable con
λ(0) = p , entonces λ′(0) ∈ TpSn . Como Sn = f−1(0) , donde
f : Rn+1 → R es dada por f(x1, . . . , xn+1) = x21 + · · ·+ x2
n+1 − 1 ,
tenemos que (f λ)′(0) = Df(p)λ′(0) = 0 , pues λ(t) ∈ Sn implica
que f(λ(t)) = 0 . Por lo tanto, v = λ′(0) ∈ ker(Df(p)) , esto es,
TpSn ⊂ ker(Df(p)) . Ahora, como Df(p) : Rn+1 → R es sobreyec-
tiva se sigue que dimker(Df(p)) = n , y como dimTpSn = n se
tiene que TpSn = ker(Df(p)) = p⊥ .
2. Espacio tangente a O(n) . Recordemos que O(n) = F−1(I) ,
donde F : M(n × n,R) → S(n) es la aplicacion C∞ dada por
F (X) = XXT . Como I es un valor regular de F , tenemos que
TIO(n) = kerDF (I) . Ahora como DF (X)V = XV T + V XT , se
tiene DF (I)V = V T + V y de aquı ker(DF (I)) = V ∈ M(n ×n,R) : V T = −V que es el subespacio vectorial de M(n×n,R)
de las matrices antisimetricas.
Nota. El conjunto O+(2) = A ∈ O(n) : det(A) = 1 es un
grupo canonicamente isomorfo a S1 = (cos(θ), sen(θ)) ∈ R2 :
Sergio Plaza 255
θ ∈ R. El isomorfismo es dado por Γ : S1 → O+(2) definida por
(cos(θ), sen(θ)) → cos(θ) − sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
.
3. Espacio tangentes al grupo especial lineal SL(n) . Tenemos que
SL(n) = det−1(1) , y como D det(I)H = traza(H) , se sigue que
TISL(n) = ker(D det(I)) = H ∈M(n× n,R) : traza(H) = 0 .
7.3.1 Bases en TpM
Sea Mm ⊂ Rn una superficie Ck ( k > 1 ) y sea ϕ : U0 ⊂ Rm → V ⊂ M
una parametrizacion, con ϕ(x) = p . Una base para TpM es dada por
el conjunto de vectores
Bϕ(p) =
∂ϕ
∂xj(x) : j = 1, . . . , m
,
donde∂ϕ
∂xj(x) = Dϕ(x)ej y ej es el j–esimo vector canonico de Rm .
Recordemos que ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) y ∂ϕ∂xj
(x) =(
∂ϕ1
∂xj(x), . . . , ∂ϕn
∂xj(x)
),
para j = 1, . . . , m .
Ejemplos.
1. Sea U ⊂ Rm un conjunto abierto, y sea f : U → Rn una
aplicacion de clase Ck (k > 1). Entonces M = graf(f) =
(x, f(x)) ∈ Rm+n : x ∈ U es una superficie de clase Ck
y dimension m , con una unica parametrizacion ϕ : U → M
dada por ϕ(x) = (x, f(x)) . Si escribimos f = (f1, . . . , fn) y
x = (x1, . . . , xm) , entonces
ϕ(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xm, f1(x1, . . . , xm), . . . , fn(x1, . . . , xm))
256 Superficies en Espacios Euclideanos
y∂ϕ
∂xj(x) =
(0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0,
∂f1
∂xj(x), . . . ,
∂fn
∂xj(x)
),
j = 1, . . . ,m (el 1 en el lugar j ). Luego una base para Tϕ(x) graf(f)
es dada por el conjunto de vectores
∂ϕ∂x1
(x), . . . , ϕ∂xm
(x)
.
2. Consideremos la esfera unitaria Sn ⊂ Rn+1 . Ya vimos que esta
es una superficie de clase C∞ y dimension n . Ademas, vimos
que Sn = f−1(0) , donde f : Rn+1 → R es la aplicacion de clase
C∞ dada por f(x) = 〈x, x〉 − 1 = x21 + · · · + x2
n+1 − 1 . Tambien
sabemos que si p ∈ Sn entonces
TpSn = v ∈ Rn+1 : v =dλ
dt(0) , λ : ]− ε, ε[→ Sn diferenciable,
con λ(0) = p = p⊥ .
Por lo tanto para tener una base de TpSn basta encontrar una
base de p⊥ .
3. Sea E = (x, y, z) ∈ R3 : x2
b2+ y2
b2+ z2
c2= 1 el elipsoide. Dado
p ∈ E cualesquiera, calculemos TpE . Para ellos supongamos
que p esta en la imagen de la parametrizacion ϕ+1 (construida
anteriormente), es decir, ϕ+1 (y, z) = p = (p1, p2, p3). En los otros
casos los calculos son analogos.
Tenemos que ϕ+1 (y, z) =
(a√
1− y2
b2− z2
c2, y, z
)= (p1, p2, p3) , de
donde y = p2 y z = p3 . Ahora
Jϕ+1 (p2, p3)
(u
v
)=
−p2
b2· 1√
1− p22
b2− p2
3cu2
−p3
c2· 1√
1− p22
b2−P2
3c2
1 0
0 1
(u
v
)
Sergio Plaza 257
de donde
TpE = Dϕ+1 (p2, p3)(R2)
=
⟨
−p2
b2√1− p2
2b2− p2
3c2
, 1, 0
,
p3
c2√1− p2
2b2− p2
3c2
, 0, 1)
⟩.
7.3.2 Cambio de Base en TpM
Sea Mm ⊂ Rn una superficie de clase Ck , con k > 1 . Sean p ∈ M y
ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M una parametrizacion con p = ϕ(x) . Tenemos
que Bϕ(p) =
∂ϕ
∂x1(x), . . . ,
∂ϕ
∂xm(x)
es una base de TpM , y cada v ∈
TpM se escribe en la forma v =∑m
i=1 αi∂ϕ∂xi
(x) . Ahora consideremos
otra parametrizacion ψ : V0 ⊂ Rm → U con ψ(y) = p , asociada a ella
tenemos una nueva base Bψ(p) =
∂ψ
∂y1(y), . . . ,
∂ψ
∂ym(y)
de TpM . La
pregunta natural que surge aquı es ¿Como se relacionan estas dos bases
de TpM ?
Para ver la relacion que existe entre las bases Bϕ(p) y Bψ(p) de
TpM , consideremos el cambio de coordenadas ξ = ψ−1 ϕ : ϕ−1(U) →ψ−1(U) . Tenemos que ϕ/ϕ−1(U) = ψξ , y escribiendo ξ = (ξ1, . . . , ξm)
tenemos que Dξ(x)ej = ∂ξ∂xj
(x) =(
∂ξ1∂xj
(x), . . . , ∂ξm
∂xj(x)
)=
∑mi=1
∂ξi∂xj
(x)ei .
Por lo tanto,
∂ϕ
∂xj(x) = Dϕ(x)ej = Dψ(y) Dξ(x)ej
= Dψ(y)
(m∑
i=1
∂ξi
∂xj(x) ei
)
=m∑
i=1
∂ξi
∂xj(x) Dψ(y)ei
=m∑
i=1
∂ξi
∂xj(x)
∂ψ
∂yi(y) ,
258 Superficies en Espacios Euclideanos
es decir,∂ϕ
∂xj(x) =
m∑
i=1
∂ξi
∂xj(x)
∂ψ
∂yi(y) .
Luego la matriz cambio de base de la base Bϕ(p) para la base Bψ(p)
es dada por la matriz jacobiana del cambio de coordenadas ξ en el punto
x , esto es, si v ∈ TpM entonces
v =m∑
i=1
αi∂ϕ
∂xi(x) =
m∑
i=1
βi∂ψ
∂yi(y) ,
donde βi =m∑
j=1
αj∂ξi
∂xj(x) .
Ejemplo.
Calculemos la matriz cambio de base en TpS2 con p =(
1√2, 0, 1√
2
)
cuando usamos dos parametrizaciones cuyas imagenes contienen a p .
Sean
U0 = (u, v) ∈ R2 : −√
1− u2 < v <√
1− u2,−1 < u < 1 ,
V0 = (x, y) ∈ R2 : −√
1− x2 < y <√
1− x2,−1 < x < 1 ,
U+1 = H+
1 ∩ S2 ,
U+3 = H+
3 ∩ S2 .
Claramente U+1 ∩U+
3 6= ∅ , de hecho p ∈ U+1 ∩U+
3 . Consideremos las
parametrizaciones ϕ : U0 → U+1 dada por ϕ(u, v) = (
√1− u2 − v2, u, v)
y ψ : V0 → U+3 dada por ψ(x, y) = (x, y,
√1− x2 − y2) .
Calculamos primero TpS2 usando la parametrizacion ϕ , es decir,
TpS2 = Dϕ(u0, v0)(R2) , donde ϕ(u0, v0) = p . Tenemos entonces que
Sergio Plaza 259
ϕ(u0, v0) = (√
1− u20 − v2
0, u0, v0) = ( 1√2, 0, 1√
2)) , de donde u0 = 0 y
v0 = 1√2. Ahora
Jϕ(u, v) =
−u√1− u2 − v2
−v√1− u2 − u2
1 0
0 1
luego
Jϕ
(0,
1√2
)=
0 −1
1 0
0 1
.
De lo anterior tenemos entonces que
TpS2 = Dϕ
(0,
1√2
)(R2) = (−b, a, b) : a, b ∈ R = 〈(0, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .
Ahora calculamos TpS2 usando la otra parametrizacion, es decir,
TpS2 = Dψ(x0, y0)(R)2 con ψ(x0, y0) = p . Tenemos entonces que
ψ(x0, y0) = (x0, y0,√
1− x20 − y2
0) =(
1√2, 0 1√
2
), de donde x0 = 1√
2
e y0 = 0 . Ahora,
Jψ(x, y) =
1 0
0 1
−x√1− x2 − y2
−y√1− x2 − y2
luego
Jψ
(0,
1√2
)=
1 0
0 1
−1 0
.
260 Superficies en Espacios Euclideanos
De lo anterior tenemos que
TpS2 = Dψ
(1√2, 0
)(R2)
= (a, b,−a) : a, b ∈ R= 〈(1, 0,−1), (0, 1, 0)〉 .
Calculemos ahora el cambio de coordenadas. Tenemos ξ = ψ−1 ϕ :
ϕ−1(U+1 ∩ U+
3 ) → ψ−1(U+1 ∩ U+
3 ) , donde U+1 ∩ U+
3 = (x, y, z) ∈ R3 :
x > 0, z > 0
J(ψ−1 ϕ)(u, v) =
−u√1− u2 − v2
−v√1− u2 − v2
1 0
,
de donde
J(ψ−1 ϕ)(
0,1√2
)=
0 −1
1 0
.
Luego (1, 0,−1) = 0(0, 1, 0) + (−1)(−1, 0, 1) y (0, 1, 0) = 1(0, 1, 0) +
0(−1, 0, 1) .
Otra manera de ver esto es la siguiente. Tenemos que ξ = ψ−1 ϕ ,
de donde ϕ = ψ ξ . Por lo tanto,
∂ϕ
∂u(u0, v0) = Dϕ(u0, v0)e1
= D(ψ ξ)(u0, v0)e1
= Dψ(ξ(u0, v0)Dξ(u0, v0)e1
= Dψ(ξ(u0, v0))∂ξ
∂u(u0, v0)
= Dψ(ξ(u0, v0))(
∂ξ1
∂u(u0, v0)e1 +
∂ξ2
∂u(u0, v0)e2
)
= Dψ(ξ(u0, v0))∂ξ1
∂u(u0, v0)e1 + Dψ(ξ(u0, v0))
∂ξ2
∂u(u0, v0)e2
Sergio Plaza 261
=∂ξ1
∂u(u0, v0)Dψ(ξ(u0, v0))e1 +
∂ξ2
∂u(u0, v0)Dψ(ξ(u0, v0))e2
=∂ξ1
∂u(u0, v0)
∂ψ
∂u(ξ(u0, v0)) +
∂ξ2
∂u(u0, v0)
∂ψ
∂v(ξ(u0, v0)) .
Lo cual puede ser escrito en forma resumida como
∂ϕ
∂u=
∂ξ1
∂u
∂ψ
∂u+
∂ξ2
∂u
∂ψ
∂v,
de modo analogo se tiene que
∂ϕ
∂v=
∂ξ1
∂v
∂ψ
∂u+
∂ξ2
∂v
∂ψ
∂v.
Ası
∂ϕ
∂u
(0,
1√2
)= (0, 1, 0) = 0(1, 0,−1) + 1(0, 1, 0)
∂ϕ
∂v
(0,
1√2
)= (−1, 0, 1) = −1(1, 0,−1) + 0(0, 1, 0) ,
como querıamos ver.
7.3.3 Derivada de una Aplicacion Diferenciable entre Su-
perficies
Usando la definicion de espacio tangente a una superficie, podemos
definir la derivada de una aplicacion diferenciable definida en superfi-
cies.
Sean Mm ⊂ R` y Nn ⊂ Rs superficies de clase Ck , con k > 1 .
Sea f : M → N una aplicacion diferenciable. Dado p ∈ M definimos
la derivada de f en p como sigue: sea ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M una
parametrizacion con ϕ(x) = p entonces f ϕ : U0 ⊂ Rm → Rs . Ahora,
dado v ∈ TpM se tiene que v = Dϕ(x)u , para un unico vector u ∈ Rm
y definimos Df(p)v = D(f ϕ)(x)u .
262 Superficies en Espacios Euclideanos
Notemos que si ϕ : U ⊂ Rm → V ⊂ M es una parametrizacion,
con ϕ(x) = p entonces Dϕ(x) : Rm → TpM es un isomorfismo, pues
Dϕ(x) es una aplicacion lineal inyectiva y dimTpM = m = dimRm .
Afirmamos que Df(p)v ∈ Tf(p)N y que Df(p) : TpM → Tf(p)N es
una aplicacion lineal; ademas la definicion de Df(p) no depende de la
eleccion de la parametrizacion de una vecindad de p .
En efecto, el hecho que Df(p) sea lineal es inmediato, pues f ϕ
es una aplicacion entre espacios euclideanos. Ahora, sea ϕ1 : U1 ⊂Rm → U ⊂ M otra parametrizacion, con ϕ1(y) = p y v = Dϕ1(y)u1 .
Usando el cambio de coordenadas ξ = ϕ−1 ϕ1 : ϕ−11 (U) → ϕ−1(U) , el
cual es un difeomorfismo entre abiertos de Rm , tenemos que ξ(y) = x
y Dϕ(x)u = v = Dϕ1(y)u1 = D(ϕ ξ)(y)u1 = Dϕ(x)(Dξ(y)u1) y
como Dϕ(x) es inyectiva se sigue que u = Dξ(y)u1 . Por lo tanto,
D(f ϕ1)(y)u1 = D(f ϕ ξ)(y)u1 = D(f ϕ)(x) Dξ(y)u1 = D(f ϕ)(x)u . Finalmente, veamos que para todo v ∈ TpM se tiene Df(p)v ∈Tf(p)N . Para esto recordemos que si v ∈ TpM entonces existe un
camino diferenciable λ : ]−ε, ε[→ M con λ(0) = p y λ′(0) = v . Luego,
Df(p)v = Df(λ(0))λ′(0) = (f λ)′(0) , es decir, Df(p)v es el vector
velocidad en t = 0 del camino diferenciable σ = f λ : ] − ε, ε[→ N
por lo tanto Df(p)v ∈ Tf(p)N .
Ahora la pregunta natural es ¿como calcular Df(p) ?. Consideremos
parametrizaciones ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M con ϕ(x) = p , y ψ : V0 ⊂Rn → V ⊂ N tales que f(U) ⊂ V y f(p) = ψ(y) . Tenemos el siguiente
diagrama
Sergio Plaza 263
TpM Tf(p)N
Rm Rn
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Df(p)
Dϕ(x) Dψ(y)
D(ψ−1 f ϕ)(x)
se sigue entonces que Df(p)v = Dψ(y)D(ψ−1fϕ)(x)(Dϕ(x))−1v .
Teorema 7.5 (Regla de la Cadena) Sea f : Mm → Nn diferenciable
en p ∈ M y sea g : Nn → P ` diferenciable en q = f(p) entonces
g f : M → P es diferenciable en p y D(g f)(p) = Dg(f(p))Df(p) .
Demostracion. Ya demostramos que gf es diferenciable en p . Ahora
sea v ∈ TpM . Tenemos que v = λ′(0) , donde λ : ] − ε, ε[→ M es un
camino diferenciable con λ(0) = p . Tomando µ(t) = (f λ)(t) se tiene
que µ es un camino en N con µ(0) = f(p) y µ′(0) = Df(p)λ′(0) ∈Tf(p)N . Por definicion de derivada, D(gf)(p)v = D(gf)(λ(0))λ′(0) =
((g f) λ)′(0) = (g (f λ))′(0) = Dg(f(p))µ′(0) = Dg(f(p)) Df(p)λ′(0) = Dg(f(p)) Df(p)v .
7.4 Particion de la Unidad
La nocion de particion de la unidad es una de las herramientas mas
importantes en el estudio de superficies, ellas permiten pegar resultados
locales y obtener ası resultados globales. Para mostrar la existencia de
particiones de la unidad, necesitamos construir una clase especial de
funciones, llamadas “funciones cototos” (bump functions).
264 Superficies en Espacios Euclideanos
Proposicion 7.4 (Existencia de funciones cototos en Rn). Para cada
entero n > 1 y cada numero real δ > 0 existe una aplicacion C∞,
ψ : Rn → R, que satisface ψ/B(0, 1) = 1 y ψ/(Rn −B(0, 1 + δ)) = 0.
Demostracion. Consideremos la funcion φ : R→ R definida por
φ(t) =
exp(
−1(t−a)(b−t)
)si a < t < b
0 otro caso ,
donde exp(t) = et . Es claro que φ es C∞ y que φ(k)(a) = φ(k)(b) = 0,
para todo k ∈ N.
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a b
Ahora definamos la funcion θ : R→ R por
θ(t) =
∫ t−∞ φ(x)dx∫∞−∞ φ(s)ds
es claro que θ es de clase C∞ y que θ(t) = 0 para t 6 a , y θ(t) = 1
para t > b. El grafico de θ se muestra en la figura siguiente,
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a b
Sergio Plaza 265
Ahora tomemos a = 1 y b = (1 + δ)2 , y definamos la funcion η :
R→ R por η(t) = 1− θ(t). Entonces tenemos que η es de clase C∞ y
satisface η = 0 para t > (1+ δ)2 y η = 1 para t 6 1. La siguiente figura
muestra el grafico de η ,
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1 (1 + δ)2
Finalmente, definamos la funcion ψ : Rn → R por ψ(x) = η(||x||2).Como la funcion x 7→ ||x||2 es C∞, la funcion ψ tambien lo es. Tenemos
que ψ(x) = 0 si, y solo si, ||x||2 > (1 + δ)2 , y ψ(x) = 1 si, y solo si,
||x||2 6 1. La siguiente figura muestra el grafico de ψ
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Una funcion ψ como arriba es llamada una funcion cototo. Esto com-
pleta la prueba de la proposicion.
Ahora demostraremos la existencia de funciones cototos en superficies.
Primero probaremos el siguiente lema.
Lema 7.1 Sea Mm ⊂ Rn una superficie de clase Ck ( k > 1 ). Dado
p ∈ M existe una parametrizacion ϕ : B(0, 3) ⊂ Rm → U ⊂ M , con
266 Superficies en Espacios Euclideanos
ϕ(0) = p ∈ U , donde B(0, 3) es la bola abierta de centro en 0 y radio
3 en Rm .
Demostracion. Sea ϕ1 : U0 ⊂ Rm → U1 ⊂ M una parametrizacion,
con ϕ1(x0) = p ∈ U1. Consideremos la traslacion T : Rm → Rm ,
dada por T (x) = x − x0 entonces T (x0) = 0, y tomando V0 = T (U0)
tenemos que ϕ2 = ϕ1 T−1 : V0 ⊂ Rm → U1 es parametrizacion en M
con ϕ2(0) = p . Ahora, como V0 ⊂ Rm es un abierto que contiene a 0,
existe r > 0 tal que B(0, r) ⊂ V0 . Pongamos U = ϕ2(B(0, r)) ⊂ U1.
Entonces ϕ3 = ϕ2/B(0, r) : B(0, r) → U es una parametrizacon en
M . Ahora, sea h : Rm → Rm la homotecia h(x) = 3x/r , tenemos que
h(B(0, r)) = B(0, 3) . Finalmente, definimos ϕ : B(0, 3) → U ⊂ M por
ϕ = ϕ3 h−1 , es facil ver que ϕ satisface las condiciones pedidas.
Teorema 7.6 Sea Mm una superficie de clase Ck , con k > 1. En-
tonces existe una funcion cototo definida sobre M .
Demostracion. Vamos a demostrar que dada una parametrizacion
ϕ : B(0, 3) ⊂ Rm → U ⊂ M como en el lema anterior, asociada a
ella existe una funcion cototo Ck , fϕ : M → R. Para construir fϕ ,
procedemos como sigue: sean V = ϕ(B(0, 2)) y W = ϕ(B(0, 1)) , y sea
Ψ : Rm → R una funcion cototo, tal que Ψ(x) = 1 para x ∈ B(0, 1) y
Ψ(x) = 0 para x ∈ Rm −B(0, 2) . Definamos fϕ por,
fϕ(x) =
(Ψ ϕ−1)(x) si x ∈ U ,
0 si x ∈ M − V .
Entonces fϕ satisface:
(i) 0 6 fϕ(x) 6 1, para todo x ∈ M ,
Sergio Plaza 267
(ii) fϕ/W = 1 y fϕ/(M − V ) = 0.
Lo que finaliza la prueba.
7.5 Particion de la Unidad
Sea Mm una superficie de clase Ck , con k > 1 .
Definicion 7.4 Sea f : X ⊂ Rn → R. El soporte de f es el conjunto
sop(f) = clausura x ∈ X : f(x) 6= 0.
Observacion. Dado x ∈ M , entonces x /∈ sop(f) si, y solo si, f = 0
en toda una vecindad de x.
Definicion 7.5 Sea Mm una superficie Ck ( k > 1). Una particion de
la unidad de clase Ck en M es una familia PU = (Ui, ψi) : i ∈ Λ,donde los conjuntos Ui ⊂ M son abiertos y ψi : M → R son funciones
Ck, que satisfacen las siguientes propiedades:
pu1.- ψi(x) > 0 para todo x ∈ M y todo i ∈ Λ,
pu2.- sop(ψi) esta contenido en Ui, para todo i ∈ Λ ,
pu3.- U = Ui : i ∈ I es un cubrimiento abierto localmente finito de
M , es decir, para cada x ∈ M existe una vecindad U de x tal
que U ∩ Ui = ∅ , salvo para una cantidad finita de ındices.
pu4.- para cada x ∈ M se tiene que∑
i∈Λ ψi(x) = 1.
Observacion. La suma en pu4 tiene sentido, pues para cada x ∈ M ,
solo un numero finito de los ψi(x) son no cero. Ademas, esta suma es
una funcion Ck , pues por pu3, podemos encontrar una vecindad abierta
268 Superficies en Espacios Euclideanos
U de x en M la cual intersecta solo un numero finito de los conjuntos
Ui, y por pu2 solo las funciones ψi asociadas a estas vecindades son no
cero en x .
Nota. Cuando no exista peligro de confusion denotaremos una particion
de la unidad simplemente por Ψ = ψi : i ∈ Λ , esto es, sin especificar
los abiertos Ui que contienen los soportes de las funciones ψi.
Teorema 7.7 Sea Mm una superficie Cr, con r > 1. Entonces para
cada cubrimiento abierto localmente finito U de M , existe una particion
de la unidad subordinada a U (es decir, los dominios de las funciones ψ
forman un cubrimiento de M y estan contenidos en elementos de U ).
Demostracion. Sea f : Rm → [0, 1] una funcion cototo de clase C∞,
tal que f(x) = 1 para x ∈ B(0, 1) y f(x) = 0 para x /∈ B(0, 2) . Sea
(Uk, ϕk) una parametrizacion como en el Lema 7.2 . Para cada k ∈ N ,
definimos la funcion cototo de clase Cr, θk : M → R por θk = 0 sobre
M − ϕk(B(0, 2)) y como θk = f ϕ−1k sobre Uk. Solo un numero finito
de θk(x) son no cero en para cada x ∈ M , pues x ∈ Uk solo para un
numero finito de k. Ademas, al menos una de las funciones θk es no cero
en x , pues los conjuntos ϕk(B(0, 1)) forman un cubrimiento abierto de
M . Luego la funcion θ : M → R definida por θ(x) =∑
k θk(x) esta
bien definida, es de clase Cr , y estrictamente positiva. Finalmente,
obtenemos una particion de la unidad colocando ψk = θk/θ , para cada
k , es decir, ψk es de clase Cr, toma valores en el intervalo [0, 1] y
sop(ψk) = sop(θk) ⊂ Uk , esta contenido en algun elemento V ∈ U .
Ademas, el cubrimiento Uk : k ∈ N es localmente finito y tenemos∑
k ψk = 1. Lo cual termina la prueba.
Sergio Plaza 269
7.6 Ejercicios
1. Pruebe que la aplicacion f : Sn × R → Rn+1 , dada f(x, t) = etx
es de clase C∞. ¿Es f un difeomorfismo (local)?
2. Suponga que la ecuacion fp(x, y) = 0 determina p + 1 cırculos
disjuntos en el espacio R2, donde p de esos cırculos estan con-
tenidos dentro de un disco abierto determinado por uno de ellos,
por ejemplo p = 2,
f(x, y) = (x2 + y2 − 16)((x + 2)2 + y2 − 1)((x− 2)2 + y2 − 1)
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.......................................................C3 C2 C1
2-2• •
donde C1 := (x− 2)2 + y2 − 1 = 0 , C2 := (x + 2)2 + y2 − 1 = 0 y
C3 := x2 + y2 − 16 = 0.
Defina Fp(x, y, z) = fp(x, y)+z2. Pruebe que para cada (x, y, z) ∈F−1
p (0) se tiene que DFp(x, y, z) 6= 0. Describa el conjunto Mp =
F−1p (0), para p = 1, 2, 3 . ¿Puede decir cual es el conjunto Mp,
para p > 4 ?
3. Sea f : R2 → R4 dada por
f(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v), w(u, v))
270 Superficies en Espacios Euclideanos
donde
x(u, v) = (r cos(v) + a) cos(u)
y(u, v) = (r cos(v) + a) sen(u)
z(u, v) = r cos(u2 ) sen(v)
w(u, v) = r sen(u2 ) sen(v) .
Pruebe que la imagen de f es una superficie 2–dimensional de
clase C∞ , (botella de Klein). Restringiendo adecuadamente f a
dominios de R2, construya parametrizaciones para la botella de
Klein, y calcule los cambios de coordenadas.
4. Sea f : R2 → R3, dada por
f(u, v) = ((a + b cos(v)) cos(u), (a + b cos(v)) sen(u), c sen(v))
Muestre que la imagen de f es una superficie 2–dimensional de
clase C∞ llamada toro elıptico. Caso a > b = c, se obtiene el toro
usual. Construya parametrizaciones para la imagen de f .
5. Usando la funcion f : R2 → R3 dada por
f(u, v) = (a cos(v) cos(u), b cos(v) sen(u), c sen(v)) .
Construya parametrizaciones para el elipsoide E = (x, y, z) ∈R3 : x2
a2 + y2
b2+ z2
c2= 1 .
6. Pruebe que M = (x, y, z) ∈ R2 : x4+y4+z4 = 1 es una superficie
de clase C∞, difeomorfa a la esfera S2.
Sergio Plaza 271
7. Pruebe que h : Sn × R → Rn+1 − 0 definida por h(x, t) = etx
es un difeomorfismo C∞.
Indicacion. La inversa h−1 : Rn+1 − 0 → Sn × R es dada por
h−1(x) =(
x|x| , log ||x||
), donde x = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1−0 .
8. Sea f : R3 → R dada por f(x, y, z) = z2 + (√
x2 + y2 − a)2 .
Estudie los conjuntos f−1(α), donde α ∈ R ¿para que valores de
α, el conjunto Mα = f−1(α) es una superficie?
9. Sea f : R2 → R3, f(u, v) = (u3, v3, uv) ¿es la imagen de f una
superficie?
10. Sea f : R2 → R3 dada por f(u, v) = (u, v, u3 − 3uv2). Pruebe que
la imagen de f , M = Im(f) , es una superficie 2–dimensional de
clase C∞ (llamada Silla del Mono.)
11. Pruebe que M = (x, y, z) ∈ R3 : x2y2 + x2z2 + y2z2 = 1es una superficie. ¿Cual es su dimension? ¿cual es su clase de
diferenciabilidad?
12. Sea f : R3 → R3 dada por f(x, y, z) = (x2 − y2, xy, yz). Pruebe
que la imagen de f es una superficie C∞. (Im(f) = RP2 es el
plano proyectivo real 2–dimensional.)
13. Sea f : S2 → R6 dada por
f(x, y, z) = (x2, y2, z2,√
2yz,√
2xz,√
2xy) .
Pruebe que M2 = f(S2) ⊆ R6 es una superficie 2–dimensional de
clase C∞, (M2 es llamada superficie de Veronesse).
272 Superficies en Espacios Euclideanos
14. En cada uno de los ejercicios anteriores y los vistos en clase, cal-
cule el espacio tangente en un punto arbitrario de la superficie en
cuestion.
15. Sea U ⊂ Rm un conjunto abierto, y sea f : U → Rn una funcion
Ck (k > 1). Pruebe que T(p,f(p))graf(f) = graf(Df(p)).
16. Dada A ∈ O(n). Pruebe que A : Sn−1 → Sn−1 definida por
A(x) = Ax, es un difeomorfismo de clase C∞.
17. Defina f : S1 → S1, dada por f(z) = zn , donde n ∈ Z − 0y consideramos S1 = z ∈ C : |z| = 1). Pruebe que f es
un difeomorfismo local de clase C∞ ¿Es f un difeomorfismo?.
Justifique su respuesta.
18. Dada una superficie Mm de clase Ck (k > 2) contenida en Rn.
Defina TM = (p, v) ∈ Rn × Rn : p ∈ M, v ∈ TpM. Pruebe que
TM es una superficie Ck−1 y dimTM = 2dimM .
19. Pruebe que TS1 = (p, v) : p ∈ S1 , v ∈ TpS1 es una superficie
de clase C∞ , difeomorfa a S1×R . Usando esto pruebe que TT2 =
(p, v) : p ∈ T2 , v ∈ TpT2 es una superficie difeomorfa a
T2 × R2 , donde T2 = S1 × S1 ⊂ R4 es el toro 2–dimensional.
20. Encuentre la ecuacion del plano tangente a la superficie imagen de
ϕ(u, v)) = (3u + v, u2 + v, u) en el punto (8, 6, 2) .
21. Encuentre el plano tangente a la superficie definida por la ecuacion
cos(x) cos(y)ez = 0 en el punto (π2 , 1, 0) .
22. Encuentre la ecuacion del plano tangente a la superficie definida
por x2 + xy + y2 + z2 = 37 en el punto (3, 4, 0) .
Sergio Plaza 273
23. El paraboloide z = 2x2 + 3y2 intersecta al cilindro x2 + y2 = 1
en una curva C . Encuentre un vector tangente a la curva C en
el punto (√
22 ,
√2
2 , 52) .
24. Pruebe que
G =
1 a b
0 1 c
0 0 1
: a, b, c ∈ R
es una superficie 3–dimensional de clase C∞.
25. Encuentre el plano tangente a la superficie imagen de ϕ(u, v) =
(u2 + v2, u + v, v) en el punto (13,−1, 2) .
26. Sea S la superficie imagen de ϕ(u, v) = (u, 3v, 3u2 + 8uv) . En-
cuentre el plano tangente a S en un punto arbitrario.
27. Sean Mm y Nn superficies de clase Ck , con k > 2 , y sea
f : M → N una aplicacion Ck. Defina Tf : TM → TN por
Tf(p, v) = (f(p), Df(p)v). Pruebe que Tf es de clase Ck−1. Para
el caso M = N = S1 y f(z) = z` ( ` ∈ Z ) calcule Tf(p, v) .
28. Sea M una superficie Ck (k > 1). Pruebe que cada punto de
M esta contenido en la imagen de un sistema de coordenadas ϕ :
B(0, 1) → M , donde B(0, 1) ⊂ Rm es la bola abierta unitaria de
centro en el origen.
29. Pruebe que (x2, y2, z2,√
2 yz,√
2 zx,√
2xy) ∈ R6 : x2 + y2 + z2 =
1 es una superficie C∞ contenida en R6.
Indicacion. Considere la aplicacion F : R6 − 0 → R6, definida
274 Superficies en Espacios Euclideanos
por
F (x1, x2, x3, x3, x4, x5, x6) =
y1 = 2x1x2 − x26
y2 = 2x2x3 − x24
y3 = 2x3x1 − x25
y4 = x4x5 −√
2 x3x6
y5 = x5x6 −√
2 x1x4
y6 = x4x6 −√
2 x2x5 .
30. Pruebe que el elipsoide E =
(x, y, z) ∈ R3 :x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1
es una superficie 2-dimensional de clase C∞, difeomorfa a S2.
31. Sea H =
(x, y, z) ∈ R3 :x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1
el hiperboloide de
una hoja. Pruebe que H es una superficie 2–dimensional de clase
C∞, difeomorfa a S1 × R.
32. (Teorema de la Funcion Inversa en Superficies). Sean M y N
superficies de clase Ck ( k > 1 ) y dim M = dim N . Si f :
M → N es una aplicacion Ck, tal que para x0 ∈ M la derivada
Df(x0) : Tx0M → Tf(x0)N es un isomorfismo. Pruebe que existe
un conjunto abierto U ⊂ M , con , x0 ∈ U , tal que f |U0 : U0 →f(U0) es un difeomorfismo Ck
33. Sean M y N superficies de clase Ck ( k > 1 ) y dim M = dim N .
Si f : M → N es una biyeccion Ck, tal que para cada x ∈ M la
derivada Df(x) : TxM → Tf(x)N es un isomorfismo. Pruebe que
f es un difeomorfismo Ck.
34. Enuncie y demuestre los teoremas de la Forma Local de las Inmer-
siones, Forma Local de las Submersiones, Teorema de la Funcion
Implıcita, y Teorema del Rango en superficies.
Sergio Plaza 275
35. Sea f : R3 → R, dada por f(x, y, z) = x2 + y2 − z2.
(a) Dados a, b > 0. Pruebe que para cada x ∈ f−1(a) la derivada
Df(x) : R3 → R es sobreyectiva (observe que lo mismo ocurre
para cada y ∈ f−1(b)). Pruebe ademas que las superficies
f−1(a) y f−1(b) son difeomorfas. Calcule el espacio tangente
Txf−1(a) en x ∈ f−1(a).
(b) Si c < 0, pruebe que la superficie f−1(c) no es difeomorfa a
la superficie f−1(t) , donde t > 0.
(c) ¿Es f−1(0) una superficie?
(d) Dibuje los conjuntos f−1(t), para t < 0, t = 0 , y t > 0.
36. Sea P = (x, y, z) ∈ R3 : x2 +y2− z2 = a , donde a > 0. Calcule
TpP , donde p = (√
a, 0, 0).
37. Sean M y N superficies de clase Ck, con k > 1. Pruebe que para
cada (x, y) ∈ M ×N se tiene que T(x,y)M ×N ≡ TxM × TyN ≡TxM ⊕ TyN .
38. Pruebe que f : S2 → S2 dada por
f(x, y, z) = (x cos(z)− y sen(z), x sen(z) + y cos(z), z)
es un difeomorfismo C∞. Calcule Df(x, y, z).
39. Pruebe que el conjunto Mp(R, m× n) de las matrices de rango p,
1 6 p 6 mınn, m , es una superficie de clase C∞. Calcule su
dimension.
40. Sea f : M × N → N definida por f(x, y) = x. Pruebe que
Df(x, y) : TxM×TyN → TxM es la proyeccion Df(x, y)(u, v) = u.
276 Superficies en Espacios Euclideanos
41. Sean M y N superficies de clase Ck (k > 1). Dada una aplicacion
de clase Ck , f : M → N , defina F : M → M × N por F (x) =
(x, f(x)). Pruebe que DF (x)u = (u,Df(x)u).
42. Sean M , N , M ′ , y N ′ superficies de clase Ck ( k > 1). Sean
f : M → N , g : M ′ → N ′ aplicaciones Ck, tales que en cada
punto x ∈ M y en cada punto y ∈ N las derivadas Df(x) y
Dg(y) tienen rango r y s, respectivamente. Calcule el rango de
D(f × g)(x, y) .
43. Sea T2 = S1 × S1 el toro 2–dimensional. Defina la aplicacion
π : R2 → T2 definida por π(x, y) = (exp(2πix), exp(2πiy)) =
(cos(2πx), sen(2πx), cos(2πy), sen(2πy)) . Pruebe que π es un difeo-
morfismo local C∞.
44. Sea ϕN : S2−pN → R2 la proyeccion esterografica. Sea A : R2 →R2 una transformacion lineal definida por una matriz diagonal 2×2, con elemento en la diagonal igual a λ con λ 6= 0. Defina ϕ :
S2 → S2 por ϕ(x) = ϕ−1N A ϕN(x) , cuando x ∈ S2 y x 6= pN ,
y ϕ(pN) = pN . Pruebe que ϕ es un difeomorfismo C∞.
45. Sea Vn,k el conjunto de todos los sistemas ordenados ortonormales
de k vectores en Rn . Pruebe que Vn,k es una superficie C∞ .
Calcule dimVn,k .
46. Sea f : Vn,k → Vn.s , donde s 6 k , la aplicacion que aso-
cia a cada sistema ordenado ortonormal de k vectores en Rn sus
primeros s vectores. Pruebe que para cada punto p ∈ Vn,s, la
derivada Df(x) : TxVn,k → TpVn,s es sobreyectiva, para x ∈f−1(p). Muestre ademas, que para cada p ∈ Vn,s, la imagen in-
Sergio Plaza 277
versa f−1(p) es homeomorfa a la superficie Vn−s,k−s, ¿ son estas
superficies difeomorfas?
47. Sean Mm una superficie Ck (k > 1 ) y U ⊂ M un conjunto
abierto. Una incrustacion Ck de U en una superficie Nn es una
aplicacion Ck , f : U → Nn que es un homeomorfismo sobre su
imagen y para cada x ∈ U la derivada Df(x) : TxM → Tf(x)N
es inyectiva.
a) Pruebe que existe una incrustacion C∞ desde Sn × Sm en
Rn+m+1.
b) Sea Mm ⊂ R` una superficie de clase Cr (r > 1 ). Suponga
que existe una incrustacion Cr , f : M → Rn+1 para algun
n , suponga ademas que existe una aplicacion Cr , g : V →R , donde V ⊂ Rn+1 es una vecindad de f(M) , tal que para
cada y ∈ V se tiene que grad g(y) 6= 0 y f(M) = g−1(0) .
Pruebe que M es una superficie orientable.
48. Sea M una superficie compacta de clase Ck, con k > 1. Pruebe
que cada aplicacion C1, f : M → R posee al menos dos puntos
crıticos, es decir, puntos en los cuales Df(x) = 0.
49. Sea T2 ⊂ R3 el toro 2–dimensional, como muestra la figura sigu-
iente,
278 Superficies en Espacios Euclideanos
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•• −p = A(p)p
•
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−q = A(q)
q
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...
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(a) Definamos A : T2 → T2 por A(p) = −p . Pruebe que A es
un difeomorfismo de clase C∞ .
(b) Sea f : T2 → R una aplicacion de clase Ck , con k > 1 .
Describa los puntos crıticos de f .
50. Sean M y N superficies de clase Ck , y sea f : M → una apli-
cacion Ck . Pruebe que el rango de f es independiente de la
eleccion de parametrizaciones usado para definirlo.
Nota. Recuerde que el rango de f en un punto p es el rango de
la aplicacion lineal Df(p) .
51. Sean M y N superficies de clase Ck ( k > 1), con dimM =
dimN . Sea f : M → N una inmersion Ck. Pruebe que si N es
compacta y M es conexa entonces f es sobreyectiva.
52. Sean M y N superficie de clase Ck , y sea f : M → N una
aplicacion continua. Pruebe que f es de clase Ck si, y solo si,
para cualquier funcion Ck, F : W ⊂ N → R, donde W abierto,
la funcion F f es de clase Ck en el conjunto f−1(W ).
Sergio Plaza 279
53. Dada F : R2 → T2 definida por F (x, y) = (exp(2πix), exp(2πiy)),
donde consideramos T2 = S1 × S1 . Sea G : R → R2 dada
por G(t) = (t, αt). Pruebe que F G es una inmersion. Estudie
(F G)(R) segun α sea racional o irracional.
54. Sea f : U → U una aplicacion Ck ( k > 1), donde U ⊂ Rm es un
conjunto abierto y conexo. Si f f = f , defina M = f(U). Pruebe
que si el rango de Df(x) es constante, para todo x en una vecindad
de M , entonces M es una superficie Ck ¿cual es la dimension de
M ?
55. Encuentre una inmersion de clase C∞, f : S1 × S1 → R3.
56. Sea M una superficie de clase Ck. Pruebe que la aplicacion diag :
M → M ×M , diag(x) = (x, x) es de clase Ck.
57. Sea T2 ⊂ R3 el toro 2–dimensional centrado en el origen, y sea
f : T2 → R la funcion altura respecto al plano xy. Estudie la
funcion f relativa a diferentes posiciones de T2, es decir, describa
los conjuntos de puntos crıticos, valores regulares, y los diferentes
conjuntos f−1(c) , donde c ∈ R .
58. Sea T2 ⊂ R3 el toro 2–dimensional. Sea f : T2 → S2 la aplicacion
que a cada p ∈ T2 asocia el vector normal unitario vp ∈ R3, car-
acterizado como sigue: si v1, v2 ⊂ TpT2 es la base canonica de
TpT2, entonces det(v1, v2, vp) > 0. Pruebe que f es C∞. Calcule
Df(p) para p ∈ T2.
59. Sean M , N superficies de clase Ck, con M compacta y dimM =
dimN . Dada una aplicacion de clase Ck, f : M → N , sea y0 ∈
280 Superficies en Espacios Euclideanos
N un valor regular de f . Pruebe que la imagen inversa f−1(y0)
consiste de un numero finito de puntos.
60. Sea C = (x, y, z) : x2 + y2 = 1 (cilindro circular recto) en R3 .
Sea A : C → C la aplicacion A(x, y, z) = −(x, y, z). Demuestre
que A es un difeomorfismo de clase C∞ .
61. Pruebe que la aplicacion h : R2 − (0, 0) → S1 × R dada por
h(x, y) =
(x√
x2 + y2,
y√x2 + y2
, log(√
x2 + y2))
es un difeomorfismo de clase C∞ .
62. (a) Sean M , N superficies Ck, con M compacta y N conexa.
Pruebe que si f : M → N es una submersion, entonces f es
sobreyectiva.
(b) Pruebe que no existen submersiones de superficies compactas
en espacios euclideanos.
63. Sea p un polinomio homogeneo en k variables, es decir,
p(tx1, . . . , txk) = tmp(x1, . . . , xk) ,
para algun m ∈ N.
Pruebe que el conjunto de puntos x ∈ Rk, tales que p(x) = a,
con a 6= 0, es una superficie de clase C∞ y dimension k − 1 de
Rk . Ademas, pruebe que las superficies obtenidas para a > 0 son
todas difeomorfas y lo mismo ocurre para el caso a < 0, ¿son las
superficies obtenidas para a1 < 0 y a2 > 0 difeomorfas?
Indicacion. Use la identidad de Euler para polinomios homogeneos,k∑
i=1
xi∂p(x)∂xi
= mp(x) , donde x = (x1, . . . , xk)
Sergio Plaza 281
64. Sea Sp,q ⊂ Rn el conjunto
Sp,q = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : x21 + · · ·+ x2
p− x2p+1− · · · − x2
p+q = 1 ,
donde p + q 6 n. Pruebe que Sp,q es una superficie C∞ de Rn, la
cual es difeomorfa a Sp−1 × Rn−q.
Indicacion. Considere la aplicacion f : Sp−1×Rn−q → Sp,q , dada
por
f(x1, . . . , xp, y1, . . . , yn−p) = (x1z, . . . , xpz, y1, . . . , yn−p) ,
donde z =√
1 + y21 + · · ·+ y2
q .
65. Sea f : R3 → R definida por f(x, y, z) = z2 . Demostrar que 0
no es valor regular de f , pero f−1(0) es una superficie de clase
C∞ ¿ Explique porque esto puede ocurrir?
66. Sea P = (x, y, z) ∈ R3 : x = y , y sea ϕ : U → R3 definida por
ϕ(u, v) = (u + v, u + v, uv) , donde U = (u, v) ∈ R2 : u > v .
Pruebe que ϕ(U) ⊂ P ¿Es ϕ una parametrizacion para P ?
67. Encuentre la ecuacion del plano tangente a la superficie definida
por el grafico de z = 2xex2y+y3−x+y−2 en el punto (1, 1, 2) .
68. Defina f : R3 → R por f(x, y, z) = (x + y + z − 1)2 .
(a) Encuentre el conjunto de puntos crıticos de f .
(b) ¿Para que valores de c ∈ R el conjunto M = (x, y, z) ∈R3 : f(x, y, z) = c es una superficie?
(c) Responda las misma cuestiones anteriores, pero esta vez con-
sidere la aplicacion g(x, y, z) = xyz2 .
282 Superficies en Espacios Euclideanos
69. Sea ϕ : U ⊂ R2 → V ⊂ R3 una aplicacion de clase Cr (r > 1),
donde U es abierto en R2 . Pruebe que Dϕ(u, v) : R2 → R3 es
inyectiva si, y solo si, ∂ϕ(u,v)∂u × ∂ϕ(u,v)
∂v 6= 0 , donde × es el producto
vectorial en R3 .
70. Sea S2 ⊂ R3 la esfera unitaria, y sea H = (x, y, z) ∈ R3 :
x2 +y2−z2−1 = 0 . Denote por pN = (0, 0, 1) y pS = (0, 0,−1)
los polos norte y sur de la esfera, respectivamente. Demuestre que
S2−pN , pS y H son difeomorfas. (Construya el difeomorfismo)
71. Determine los planos tangentes a la superficie M = (x, y, z) ∈R3 : x2 + y2 − z2 = 1 en los puntos (x, y, 0) y demuestre que
todos ellos son paralelos al eje z .
72. Demuestre que la ecuacion del plano afın, tangente a una superficie
que es el grafico de una aplicacion diferenciable f : U ⊂ R2 → R ,
donde U es un conjunto abierto, en un punto p0 = f(x0, y0) viene
dado por
z = f(x0, y0) +∂f(x0, y0)
∂x(x− x0) +
∂f(x0, y0)∂y
(y − y0) .
73. Demuestre que las ecuaciones
x2 + y2 + z2 = ax (a 6= 0)
x2 + y2 + z2 = by (b 6= 0)
x2 + y2 + z2 = cz (c 6= 0)
definen superficies de clase C∞ , y que todas ellas se cortan ortog-
onalmente.
Nota. Sean M y N superficies de clase Ck (k > 1) en R` .
Supongamos que M ∩ N 6= ∅ . Dado p ∈ M ∩ N , decimos que
Sergio Plaza 283
las superficies son ortogonales en p si, sus planos tangente TpM
y TpN son ortogonales.
74. Considere una superficie de clase Cr (r > 1) M ⊂ R3 . En
cada plano tangente TpM (p ∈ M) se define un producto in-
terno, denotado por 〈 〉p , como sigue: sean v, w ∈ TpM en-
tonces 〈v, w〉p = 〈v, w〉 . Defina Ip : TpM → R por Ip(v) =
〈v, v〉p . Usando una parametrizacion ϕ : U ⊂ R2 → V ⊂ M ,
con ϕ(u0, v0) = p encuentre la expresion para Ip en termino de
la base
∂ϕ(u0,v0)∂u , ∂ϕ(u0,v0)
∂v
de TpM .
75. Sea ϕ : ]0, 2π[×R→ R3 dada por ϕ(u, v) = (v cos(u), v sen(u), au)
(a 6= 0). Pruebe que Im(ϕ) es una superficie de clase C∞ . Haga
el dibujo de la superficie.
76. Sea M ⊂ R3 una superficie 2–dimensional de clase C∞ , y sea
ϕ : U0 ⊂ R2 → V ⊂ M una parametrizacion. Definimos N : V ⊂M → R3 por
N(ϕ(u, v)) =∂ϕ(u,v)
∂u × ∂ϕ(u,v)∂v∣∣∣
∣∣∣∂ϕ(u,v)∂u × ∂ϕ(u,v)
∂v
∣∣∣∣∣∣.
Dada otra parametrizacion ψ : U1 ⊂ R2 → V ⊂ M , siendo que
en U1 tenemos coordenadas (u1, v1) ¿Cual es la relacion entre
N(ψ(u1, v1)) y N(ϕ(u, v)) ?
77. Sea M = f−1(0) , donde f : U ⊂ R3 → R (U abierto) una
aplicacion de clase Cr (r > 1) y 0 es un valor regular de f .
Calcule N(x, y, z) explicıtamente.
78. Encuentre parametrizaciones para la superficie obtenida rotando
la catenaria y = a cosh(x/a) alrededor del eje x . La superficie
obtenida es llamada catenoide.
284 Superficies en Espacios Euclideanos
79. Demuestre que rotando la curva ρ(t) = (a log(tang(π4 + t
2) −a sen(t) , a cos(t)) alrededor de su asintota se obtiene una superfi-
cie 2–dimensional de clase C∞ , llamada pseudoesfera (encuentre
las parametrizaciones explicıtamente).
80. Considere las ecuaciones
x = u cos(v)
y = u sen(v)
z = a sen(2v)
¿definen estas ecuaciones una superficie?. Si la respuesta es afirma-
tiva, calcule la interseccion de esta superficie y un plano tangente
a ella en uno de sus puntos.
81. Encuentre el plano tangente y el espacio normal a la superficie
determinada por la ecuacion
x = v cos(u)
y = v sen(v)
z = ku (k > 0 constante)
Encuentre parametrizaciones para esta superficie.
82. Encuentre parametrizaciones para cada superficie definida por las
ecuaciones siguientes:
(a)
x = a cos(u) cos(v)
y = a sen(u) cos(v)
z = a sen(v)
donde a > 0 (esfera).
Sergio Plaza 285
(b)
x = a cos(u) cos(v)
y = b sen(u) cos(v)
z = c sen(v)
a, b, c > 0 (elipsoide)
(c)
x =a
2
(v +
1v
)cos(u)
y =b
2
(v +
1v
)sen(u)
z =c
2
(v +
1v
)
a, b, c > 0 (hiperboloide de una hoja)
(d)
x =a
2uv + 12v + u
y = bv − u
v + u
z = cuv − 1v + u
a, b, c > 0 (hiperboloide de una hoja)
(e)
x =a
2
(v − 1
v
)cos(u)
y =b
2
(v − 1
v
)sen(u)
z =c
2
(v − 1
v
)
286 Superficies en Espacios Euclideanos
a, b, c > 0 (hiperboloide de dos hoja)
(f)
x = v√
p cos(u)
y = v√
q sen(u)
z = v2/2
p, q > 0 (paraboloide elıptico)
(g)
x = (u + v)√
p
y = (u− v)√
q
z = 2uv
p, q > 0 (hiperboloide parabolico)
(h)
x = a cos(u)
y = b sen(u)
z = v
a, b > 0 (cilindro elıptico)
(i)
x = u cos(v)
y = u sen(v)
z = u2/2
(paraboloide de revolucion)
83. Para cada una de las superficies dadas en el ejemplo anterior, en-
cuentre el plano tangente y un vector normal unitario a este plano
en un punto arbitrario de ellas.
Sergio Plaza 287
84. Demuestre que las ecuaciones
x =12
cos(u) cos(φ)
y =12
cos(u) sen(φ)
z =∫ √
1− 14sen 2(u) du
definen una superficie 2–dimensional de clase C∞ . Determine
parametrizaciones para ella.
85. Sea ϕ : U0 ⊂ R2 → V ⊂ R3 una parametrizacion de clase Ck
(k > 1) (U0 abierto). Para cada p = ϕ(u, v) ∈ V , se define el
vector normal a V en p por
N(p) =∂ϕ(u,v)
∂u × ∂ϕ(u,v)∂v∣∣∣
∣∣∣∂ϕ(u,v)∂u × ∂ϕ(u,v)
∂v
∣∣∣∣∣∣
.
Demuestre que N : V → R3 tiene su imagen contenida en la esfera
unitaria S2 ⊂ R3 , es de clase Ck−1 , y se tiene TpV = TN(p)S2 .
86. Considere las superficies M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = 1y S2
a = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = a2 (a > 0). Encuentre
los valores de a tales que M ∩ S2a 6= ∅ , y para cada p ∈ M ∩ S2
a
se tiene que R3 = TpS2a + TpM .
87. Enuncie y pruebe los teoremas de la Funcion inversa, de la Forma
local de las Inmersiones y de la Forma local de las Submersiones
en superficies.
88. Encuentre el tangente y el plano normal a las siguientes curvas
(superficies 1–dimensionales)
288 Superficies en Espacios Euclideanos
(a) E = (a cos(t), b sen(t)) : 0 6 t 6 2π .
(b) H =(
a
2
(t +
1t
),
b
2
(t− 1
t
)): t 6= 0
89. Calcule el angulo con que se cortan las curvas definidas por las
ecuaciones x2 + y2 = 8 y y2 = 2x .
90. Encuentre el plano tangente en el punto p = (2,−1, 1) al hiper-
boloide definido por la ecuacion: x2 + y2 − 4z2 = 1 .
91. Sea M = (x, y, z) : xy = 0 , x2 + y2 + z2 = 1 , z 6= ±1 .
Demuestre que M es una superficie 1–dimensional ¿Cual es su
clase de diferenciabilidad?
92. Sea J ⊂ R un intervalo abierto, y sean f, g : J → R aplicaciones
de clase Cr (r > 1).
(a) Demuestre que el conjunto M = (x, f(x), g(x)) : x ∈ J es una superficie 1–dimensional de clase Cr . Construya al
menos dos ejemplos usando lo anterior.
(b) Sea p ∈ M . Calcule TpM .
93. Demuestre que el conjunto M = (x, y) : xy = yx , x > 0 , y >
0 , (x, y) 6= (e, e) es una superficie 1–dimensional ¿Cual es su
clase de diferenciabilidad?
94. Sea M = (x, y, z) : xy = xz = 0 ¿es M una superficie?
95. Sea M = x ∈ Rn :∑n
i,j=1 cijxixj = 1 , donde la matriz
(cij)i,j=1,...,n es una simetrica y tiene rango n .
(a) Demuestre que M es una superficie (n− 1)–dimensional de
clase C∞ .
Sergio Plaza 289
(b) Sea p ∈ M . Calcule TpM .
96. Sean C = (x, y, u, v) ∈ R4 : x2 + y2 = 1 , u2 + v2 = 1 ,
K = (x, y, u, v) ∈ R4 : x2 + y2 6 1 , u2 + v2 6 1 .
(a) Demuestre que C es una superficie 2–dimensional de clase
C∞ .
(b) Demuestre que K es una superficie de clase C∞ , con borde
¿Cual es ∂K ?
97. Sea M2 ⊂ R3 una superficie Ck ( k > 2 ). En cada punto p ∈ M
se define el producto interno 〈 , 〉p sobre TpM como sigue: para
cada v, w ∈ TpM hacemos 〈v, w〉p = 〈v, w〉 (donde 〈 , 〉 es el
producto interno usual en R3 ).
98. Usando una parametrizacion para M , encuentre la expresion local
de 〈 , 〉p .
99. Defina Ip : TpM → R por Ip(v) = 〈v, v〉p . Encuentre, usando
parametrizaciones, la expresion local de Ip . (Nota: la aplicacion
Ip es llamada primera forma fundamental de la superficie.)
100. Calcule la primera forma fundamental de las siguientes superficie,
en la parametrizacion indicada (en cada caso determine el dominio
de la parametrizacion.)
(a) Esfera de centro en el origen y radio a > 0 , con una para-
metrizacion dada por
ϕ(u, v) = (a cos(u) cos(v), a sen(u) cos(v), a sen(v)) .
(b) Elipsoide, con una parametrizacion dada por
ϕ(u, v) = (a cos(u) cos(v), b sen(u) cos(v), c sen(v)) .
290 Superficies en Espacios Euclideanos
(c) Hiperboloide de una hoja, con una parametrizacion dada por
ϕ(u, v) =(
a
2(v +
1v) cos(u),
b
2(v +
1v) sen(u),
c
2(v +
1v))
.
(d) Hiperboloide de una hoja, con una parametrizacion dada por
ϕ(u, v) =(
a
2uv + 1u + v
, bv − u
u + v, c
uv − 1u + v
).
(e) Hiperboloide de dos hojas, con una parametrizacion dada
por ϕ(u, v) =(
a
2(v − 1
v) cos(u),
b
2(v − 1
v) sen(u),
c
2(v − v
)
).
(f) Paraboloide elıptico, con una parametrizacion dada por ϕ(u, v) =
(v√
p cos(u), v√
q sen(u), v2/2) .
(g) Hiperboloide parabolico, con una parametrizacion dada por
ϕ(u, v) = ((u + v)√
p , (u− v)√
q , 2uv) .
(h) Cilindro elıptico, con una parametrizacion dada por ϕ(u, v) =
(a cos(u), b sen(u), cv) .
(i) Helicoide minimal, con una parametrizacion dada por ϕ(u, v) =
(v cos(u), v sen(u), ku) .
(j) Toro, con una parametrizacion dada por ϕ(u, v) = ((a +
b cos(v)) cos(u), (a + b cos(v)) sen(u), b sen(v)) .
(k) Grafico de una aplicacion Ck (k > 1), f : U ⊂ R2 → R ,
donde U es abierto.
En cada caso anterior visualice la superficie en cuestion usando
Maplev u otro software adecuado (por ejemplo, Mathematica, De-
rive, etc.)
101. Sea F (x, y) = ex2+2y2+2 . Encuentre el conjunto de valores c ∈ Rpara los cuales el conjunto F−1(c) es una superficie (no vacıa), y
calcule en esos casos TpF−1(c) , donde p ∈ F−1(c) es un punto
arbitrario.
Sergio Plaza 291
102. Encuentre el plano tangente a la superficie definida por la ecuacion
cos(x) cos(y) ez = 0 en el punto (π2 , 1, 0) .
103. Sea C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 el cilindro unitario en
R3 , y sea M = S2−pN , pS la esfera unitaria sin los polos norte
y sur. Para cada (0, 0, z) , con −1 < z < 1 , el rayo comenzando en
ese punto y paralelo al plano xy , intersecta a la esfera (cilindro)
en un unico punto, eso nos permite definir una aplicacion f :
S2 − pN , pS → C . Demuestre que f es un difeomorfismo C∞
sobre su imagen. Calcule Df(p) .
104. Sea C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 el cilindro unitario en
R3 , y sea M = S2−pN , pS la esfera unitaria sin los polos norte
y sur. Cada rayo comenzando en el origen intersecta a la esfera
(cilindro) en un unico punto, eso nos permite definir una aplicacion
f : S2 − pN , pS → C . Demuestre que f es un difeomorfismo
C∞ .
105. Sean f, g : I → R funciones de clase Ck (k > 1 ), donde I ⊂ Res un intervalo abierto. Suponga que g(u) > 0 para todo u ∈ I .
Demuestre que el subconjunto de R3 obtenido rotando la curva
cuya traza es el conjunto de punto (f(u), g(u)) : u ∈ I es una
superficie de clase Ck , llamada superficie de rotacion. Calcule el
espacio tangente a la superficie de rotacion en un punto arbitrario.
106. Considere la curva α : R→ R2 definida por α(u) =(
u,eu + e−u
2
).
Demuestre que la superficie de rotacion obtenida desde la traza de
α es difeomorfa a la superficie H = (x, y, z) ∈ R3 : x2+y2−z2 =
1 .
107. Describa los conjuntos de nivel de la siguientes funciones,
292 Superficies en Espacios Euclideanos
(a) g(x, y, z) = 1x2+4y2+9z2 para c = 0 , c = 1/2 , y c = 1 .
(b) h(x, y, z) = 2x2 − y2 − z2 , para c = 1 y para c = 0 .
108. Sea T (x, y, z) = x3 − zy3 . Sea c(t) la curva en R3 que satisface
c′(t) = graf T (c(t)) y c(0) = (1, 1, 0) . Demuestre que c′(0) es
perpendicular a la superficie definida por la ecuacion x3−zy3 = 1 .
109. Sea f : R3 → R una funcion que es constante sobre la esfera
de radio 1. Sea c : R → S2 curva diferenciable sobre la esfera.
Demuestre que c′(t) es ortogonal a grad f(c(t)) para todo t .
110. Encuentre los puntos en el elipsoide x2 + 2y2 + 3z2 = 1 donde el
plano tangente es paralelo al plano 3x− y + 3z = 1 .
111. Demuestre que el elipsoide 3x2 + 2y2 + z2 = 9 y la esfera x2 +
y2 + z2− 8x− 6y− 8z +24 = 0 son tangentes en el punto (1, 1, 2)
(recuerde que dos superficies S1 y S2 son tangentes en un punto
en comun, digamos p , si TpS1 = TpS2 .
112. Sea h : S2 → R la funcion altura respecto del plano horizon-
tal.Usando las parametrizaciones polo–norte y polo–sur, encuentre
los puntos donde h no es submersion y aquellos donde lo es.
113. Sea p : S2 → R2 la funcion proyeccion sobre el plano horizon-
tal.Usando las parametrizaciones polo–norte y polo–sur, encuentre
los puntos donde p no es difeomorfismo y aquellos donde lo es.
114. Sea M = A = (aij)3×3 : A de rango 1 . Demuestre que M
es una superficie 5–dimensional de clase C∞ . Calcular el espacio
tangente a M en A =
0 1 0
0 0 0
0 0 0
.
Sergio Plaza 293
115. Sea F : Rn+1 × Rn+1 → R2 la aplicacion definida por F (p, v) =
((||p||2 − 1)/2, 〈p, v〉) . Pruebe que F es de clase C∞ y que su
derivada viene dada por
DF (p, v) =
p 0
v p
.
Muestre ademas, que det(DF (p, v) (DF (p, v))T ) = ||p||2(||p||2 +
||v||2) = 1 + ||v||2 > 0 sobre el conjunto F−1(0, 0) . Concluya de
esto que el conjunto
F−1(0, 0) = (p, v) ∈ Rn+1 × Rn+1 : ||p|| = 1 , y 〈p, v〉 = 0
es una superficie de clase C∞ y dimension 2n en R2n+2 .
116. Sea F : Rn+1 × Rn+1 → R2 la aplicacion definida por F (x, y) =12 (||x||2 + ||y||2, ||x||2 − ||y||2) . Pruebe que F es de clase C∞ .
Describa el conjunto de valores crıticos R de F . Determine en
que casos los conjuntos R y F−1(1, 0) son superficies.
294 Superficies en Espacios Euclideanos
Capıtulo 8
Orientacion en superficies
En este capıtulo estudiaremos el concepto de superficie orientable. Primero
estudiamos orientacion en espacios vectoriales, enseguida extendemos
este concepto a superficies.
8.1 Orientacion en Espacios Vectoriales
Sea V un espacio vectorial real de dimension m. Una base ordenada en
V es un conjunto ordenado E = v1, . . . , vm de m vectores linealmente
independientes. Si F = w1, . . . , wm es otra base ordenada de V ,
entonces existe una unica matriz A ∈ GL(m,R), A = (aij)m×m, tal que
wk =∑m
i=1 akivi para k = 1, 2, . . . , m. La matriz A es llamada matriz
cambio de base, de la base E para la base F . Dadas dos bases ordenadas
E y F de V , decimos que ellas son equivalentes y usamos la notacion
E ≡ F , sea la matriz cambio de base tiene determinante positivo. Si
B = E : E es base ordenada de V , la equivalencia de bases es una
relacion de equivalencia en B. Como cada matriz en GL(m,R) tiene
determinante positivo o negativo, existen solo dos clases de equivalencia
295
296 Orientacion en Superficies
en B/ ≡ , y cada clase de equivalencia es llamada una orientacion en V ,
es decir, una orientacion en V es un conjunto Θ de bases ordenadas de
V con la propiedad siguiente: si E ∈ Θ y F ∈ B , entonces F ∈ Θ si,
y solo si, la matriz cambio de base de la base E para la base F tiene
determinante positivo. Dada una orientacion Θ de V la otra orientacion
la denotamos por −Θ y es llamada la orientacion opuesta de Θ.
Definicion 8.1 Un espacio vectorial orientado es un par (V,Θ), donde
V es un espacio vectorial de dimension finita y Θ es una orientacion de
V .
En lo que sigue, consideramos Rn orientado con la orientacion Θ de-
terminada por (es decir, que contiene a) la base canonica e1, . . . , en,donde ei es el i–esimo vector de la base canonica de Rn .
Ejemplo La base v1, v2 de R2 dada en la figura representa la misma
orientacion que la base canonica e1, e2 ,
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
...........
...........................................................................................................................................................................................................................................
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
..................
..............
.......................................................................................................... ..............
v2 v1
e2
e1
En un espacio vectorial orientado (V, Θ), las bases que pertenecen a
Θ son llamadas bases positivas y las otras son llamadas bases negativas.
Observacion. Tenemos que B/ ≡= Θ,−Θ . Ademas,
Sergio Plaza 297
1. Si A,B ∈ Θ entonces el determinante de a matriz cambio de base
es positivo,
2. Si F, G ∈ −Θ entonces el determinante de la matriz cambio de
base es positivo,
3. Si A ∈ Θ y F ∈ −Θ entonces el determinante del cambio de
base es negativo.
Definicion 8.2 Sean (V, Θ) y (W,Θ′) espacios vectoriales orientados,
con dimV = dim W . Decimos que un isomorfismo T : V → W es
positivo si preserva las orientaciones, es decir, T lleva bases positivas
de V en bases positivas de W . Si T no es positivo, decimos que es
negativo.
Proposicion 8.1 Sea T : Rm → Rm un isomorfismo. Entonces T es
positivo si, y solo si, la matriz de T relativa a la base canonica de Rm
tiene determinante positivo.
Demostracion. Inmediata.
Proposicion 8.2 Sean V y W espacios vectoriales, con dimV = dimW .
Sea T : V → W un isomorfismo. Si uno de los espacios vectoriales esta
orientado, entonces existe una unica orientacion en el otro que torna a
T un isomorfismo positivo.
Demostracion. Supongamos que V esta orientado y sea Θ una orien-
tacion en V . Si E = v1, . . . , vm es una base en Θ, entonces F =
T (E) = T (v1), . . . , T (vm) es una base de W , sea Θ′ la orientacion de
W determinada por F . Es claro que con estas orientaciones de V y de
W , T es un isomorfismo positivo. La unicidad de Θ′ es obvia.
298 Orientacion en Superficies
Si W esta orientado, la prueba es analoga, tomando esta vez el iso-
morfismo T−1 : W → V .
8.2 Superficies Orientables
Sean M y N superficies diferenciables de clase Ck, con k > 1 y dimM =
dimN . Para cada x ∈ M y cada y ∈ N elegimos orientaciones Θx de
TxM y Θy de TyN , respectivamente.
Definicion 8.3 Sea f : M → N un difeomorfismo local Ck. Decimos
que f es positivo, respecto a las orientaciones Θx y Θy elegidas en Tx M
y TyN , respectivamente, si para cada x ∈ M el isomorfismo Df(x) :
TxM → Tf(x)N es positivo.
Analogamente, definimos difeomorfismo local negativo.
Observacion. Existen difeomorfismos locales que no son positivos ni
negativos.
Definicion 8.4 Sea Mm una superficie de clase Ck, con k > 1. Una
orientacion en M es una correspondencia Θ que asocia a cada x ∈ M
una orientacion Θx de TxM , de modo que cada x ∈ M pertenece a la
imagen de una parametrizacion positiva ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M , es
decir, para cada x ∈ U el isomorfismo Dϕ(ϕ−1(x)) : Rm → (TxM, Θx)
preserva orientacion.
Definicion 8.5 Una superficie orientada es un par (M, Θ), donde M
es una superficie y Θ es una orientacion en M .
Definicion 8.6 Decimos que una superficie M es orientable si es posi-
ble definir una orientacion Θ en M .
Sergio Plaza 299
Si (M, Θ) es una superficie orientada y −Θ es la correspondencia
que asocia a cada x ∈ M la orientacion −Θx de TxM , opuesta de Θx ,
entonces −Θ tambien es una orientacion en M , llamada orientacion
opuesta de Θ.
Ejemplos.
1. Todo espacio vectorial es orientable, en particular Rm, es orien-
table.
2. Todo subconjunto abierto de una superficie orientable es una su-
perficie orientable.
En efecto, sea Mm una superficie orientable de clase Ck, con
k > 1 . Si A ⊂ M es un conjunto abierto, entonces A es una su-
perficie de la misma clase y la misma dimension que M . Ademas,
para cada x ∈ A , se tiene que TxA = TxM . Luego una orien-
tacion de M determina de modo natural una orientacion en A,
asociando a cada x ∈ A la orientacion Θx de TxM , donde Θ es
la orientacion de M . De este modo obtenemos una corresponden-
cia ΘA que asocia a cada x ∈ A una orientacion ΘA(x) de TxA.
Como las parametrizaciones en A son de la forma (U,ϕ) donde
ϕ : U0 ⊂ Rm → U es una parametrizacion en M , con U ⊂ A, se
sigue que cada x ∈ A pertenece a la imagen de una parametrizacion
positiva en A.
3. Sean M y N superficies Ck ( k > 1), con dimM = dimN .
Sea f : M → N un difeomorfismo local Ck. Si N es orientable,
entonces M tambien lo es.
En efecto, sea Θ una orientacion de N . Definamos una orientacion
Θ en M como sigue: para cada x ∈ M , denotemos por Θx la
300 Orientacion en Superficies
unica orientacion de TxM que hace que el isomorfismo Df(x) :
(TxM, Θx) → (Tf(x)N, Θf(x)) sea positivo. Es claro que Θ es una
orientacion en M , los detalles de las verificaciones son dejados al
lector.
Observacion. La recıproca de la propiedad anterior es falsa, es
decir, si M es orientable y f : M → N es un difeomorfismo local,
no necesariamente N es orientable, ver por ejemplo la banda de
Mobius M2 ⊂ R3.
4. Sean Mm y Nn superficies Ck, con k > 1. Si ambas super-
ficies son orientables, entonces la superficie producto M × N es
orientable.
En efecto, sean Θ y Θ orientaciones en M y N , respectivamente.
Para cada x ∈ M y cada y ∈ N sean Bx = v1(x), . . . , vm(x)y By = w1(y), . . . , wn(y) bases de TxM y TyN , determinando
las orientaciones Θx de TxM y Θy de TyN , respectivamente.
Como T(x,y)M × N es isomorfo a TxM × TyN , y por lo tanto a
TxM ⊕ TyN , definimos la base
B(x,y) = (v1(x), 0), . . . , (vm(x), 0), (0, w1(y)), . . . , (0, wn(y))
de T(x,y)M×N y denotemos por Θ(x,y) la orientacion de T(x,y)M×N determinada por esta base, esto define una correspondencia Θ
que asocia a cada (x, y) ∈ M × N una orientacion Θ(x,y) de
T(x,y)M ×N . Ahora si, ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M y ψ : V0 ⊂ Rn →V ⊂ N son parametrizaciones positivas con ϕ(x0) = x ∈ U , y
ψ(y0) = y ∈ V , entonces la parametrizacion ϕ × ψ : U0 × V0 ⊂Rm+n → U × V ⊂ M ×N es positiva.
Sergio Plaza 301
Proposicion 8.3 Sean M y N superficies Ck ( k > 1 ), con dimM =
dimN . Si f : M → N es un difeomorfismo Ck, entonces M es orien-
table, si y solo si, N lo es.
Demostracion. Inmediata desde la Proposicion 8.2.
Proposicion 8.4 Sea Mm una superficie conexa. Si M es orientable,
entonces admite exactamente dos orientaciones.
Demostracion. Es suficiente probar que el conjunto de puntos en los
cuales dos orientaciones coinciden y el conjunto de puntos donde ellas
no coinciden son conjuntos abiertos en M .
Sean Θ y Θ orientaciones de M . Dado x ∈ M , elegimos parametriza-
ciones ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M y ψ : V0 ⊂ Rm → V ⊂ M con
ϕ(x0) = ψ(y0) = x ∈ U ∩V tales que ϕ es positiva respecto de la orien-
tacion Θ y ψ es positiva respecto de la orientacion Θ. Si las orienta-
ciones Θx y Θx de TxM coinciden, el isomorfismo D(ψ−1 ϕ)(ϕ−1(x)) :
Rm → Rm preserva la orientacion de Rm, luego su determinante es po-
sitivo y por la continuidad de la funcion determinante, el difeomorfismo
ψ−1 ϕ preserva la orientacion de Rm para todo z en una vecindad
W1 ⊂ ϕ−1(U ∩ V ) de x0 = ϕ−1(x). Sea W = ϕ(W1) ⊂ U ∩ V , luego
para cada y ∈ W las orientaciones Θy y Θy de TyM coinciden. Por
lo tanto, el conjunto de puntos donde las dos orientaciones coinciden es
abierto en M .
Ahora si las orientaciones no coinciden en x , es decir, Θx 6= Θx ,
entonces det(D(ψ−1 ϕ)(ϕ−1(x)) es negativo, y por lo tanto es negativo
en toda una vecindad de x0 = ϕ−1(x), esto muestra que el conjunto
donde las orientaciones Θ y Θ de M no coinciden es tambien un conjunto
abierto en M .
Por la conexidad de M , uno de los conjuntos debe ser vacıo.
302 Orientacion en Superficies
8.3 Orientacion y Atlas
Veamos ahora como se relacionan la orientabilidad y la estructura dife-
renciable en una superficie.
Definicion 8.7 Sea M ⊂ Rn una superficie de clase Ck . Un atlas
en M es una coleccion A = (Ui, ϕi) : i ∈ Λ , donde para cada i ∈ Λ
se tiene que ϕi : Ui ⊂ Rm → Ui ⊂ M es una parametrizacion de clase
Ck , y M = ∪i∈ΛUi. Los pares (Ui, ϕi) son llamados cartas en M .
Definicion 8.8 Sea Mm una superficie de clase Ck, con k > 1. De-
cimos que dos parametrizaciones ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M y ψ : V0 ⊂Rm → V ⊂ M son compatibles, si U ∩ V = ∅ o si U ∩ V 6= ∅ entonces
det(J(ψ−1 ϕ)(ϕ−1(x))) > 0 para todo x ∈ U ∩ V .
Definicion 8.9 Sea Mm ⊂ Rn una superficie de clase Ck , con k >1 . Decimos que un atlas A de M es coherente si, cualquier par de
cartas en A son compatibles.
Ejemplos.
Proposicion 8.5 Sea Mm una superficie orientable de clase Ck, con
k > 1. Entonces el conjunto A formado por todas las parametrizaciones
positivas en M forman un atlas coherente.
Demostracion. Inmediata.
Proposicion 8.6 Sea Mm una superficie de clase Ck, con k > 1. Si
existe un atlas coherente A en M entonces M es orientable.
Sergio Plaza 303
Demostracion. Para cada x ∈ M definimos una orientacion Θx de
TxM exigiendo que para cada parametrizacion (U,ϕ) ∈ A, con x ∈ U ,
el isomorfismo Dϕ(ϕ−1(x)) : Rm → (TxM, Θx) sea positivo, es decir,
preserva la orientacion. La orientacion Θ esta bien definida, pues si
(V, ψ) ∈ A es otra parametrizacion, con x ∈ V , entonces el cambio de
coordenadas ψ−1 ϕ preserva la orientacion de Rm, esto es, el siguiente
diagrama es conmutativo,
(TxM, Θx)
Rm Rm................................................................................................................................................................................................................................................
................................
................................
................................
................................
................................
................................
..............................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............
Dϕ(ϕ−1(x)) Dψ(ψ−1(x))
D(ψ−1 ϕ)(ϕ−1(x))
Como Dϕ(ϕ−1(x)) es positiva y detD(ψ−1ϕ)(ϕ−1(x)) > 0 , se tiene
que ψ−1 ϕ preserva la orientacion, se sigue que Dψ(ψ−1(x)) preserva
orientacion.
Es claro que todo atlas coherente en una superficie M pertenece a una
unica estructura diferenciable coherente, es decir, todos los sistemas de
coordenadas en tal estructura diferenciable son compatibles.
Juntando las dos proposiciones anteriores, tenemos
Teorema 8.1 Sea Mm superficie de clase Ck, con k > 1. Entonces
M es orientable si, y solo si, existe un atlas coherente en M
Definicion 8.10 Sea Mm una superficie orientada de clase Ck, con
k > 1. Decimos que un atlas A de M es positivo si, todas las para-
metrizaciones ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M en A son positivas respecto a la
orientacion de M .
304 Orientacion en Superficies
Proposicion 8.7 Sean M y N superficies orientadas de clase Ck , con
k > 1, y dimM = dim N = m . Sea f : M → N un difeomorfismo Ck.
Entonces P = x ∈ M : Df(x) : TxM → Tf(x)N es positivo y
N = x ∈ M : Df(x) : TxM → Tf(x)N es negativo son conjuntos
abiertos en M . En particular, si M es conexa entonces o bien f es
positivo o bien es negativo.
Demostracion. Sea x ∈ M , existen parametrizaciones positivas ϕ :
U0 ⊂ Rm → U ⊂ M y ψ : V0 ⊂ Rm → V ⊂ N con x ∈ U y f(U) ⊂ V .
El isomorfismo Df(x) : TxM → Tf(x)N es positivo (negativo) si, y solo
si, el isomorfismo D(ψ−1f ϕ)(ϕ−1(x)) : Rm → Rm tiene determinante
positivo (negativo). Ahora como la aplicacion x 7→ det(J(ψ−1 f ϕ)(ϕ−1(x)) es continua, se tiene lo afirmado.
Corolario 8.2 Sea ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M una parametrizacion de
un abierto en una superficie orientada M . Si el dominio U0 de ϕ es
conexo, entonces ϕ es positivo o bien es negativo.
Como consecuencia inmediata de la Proposicion 8.7, se tiene una
prueba facil del hecho que una superficie conexa admite solo dos ori-
entaciones posibles.
En efecto, si Θ y Θ son orientaciones de M tomando el difeomorfismo
f = I : (M, Θ) → (M, Θ) , se tiene que o bien f es positivo, en cuyo
caso Θ = Θ, o bien f es negativo y en este caso Θ = −Θ.
Corolario 8.3 Si en una superficie Mm existen parametrizaciones ϕ :
U0 ⊂ Rm → U ⊂ M y ψ : V0 ⊂ Rm → V ⊂ M , con U y V conexos
y U ∩ V 6= ∅, tales que en dos puntos de ϕ−1(U ∩ V ) el cambio de
coordenadas ψ−1 ϕ : ϕ−1(U ∩ V ) → ψ−1(U ∩ V ) tiene determinante
jacobiano con signos opuestos. Entonces M no es orientable.
Sergio Plaza 305
Demostracion. Inmediata.
Note que en este caso, necesariamente U ∩ V no es conexo.
Ejemplos.
1. Banda de Mobius. La banda de Mobius es una superficie no
orientable.
En efecto, sea R = ]0, 5[× ]0, 1[⊂ R2.
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................................
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..•
•
(x, y)
(x + 4, 1− y)
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Para cada 0 6 i < j 6 5 enteros, consideremos los rectangulos
abiertos Ri,j = ]i, j[× ]0, 1[ . La banda de Mobius es el conjunto
cuociente R/ ∼ , donde ∼ es la relacion de equivalencia definida
como sigue: en el rectangulo R1,4 cada punto se identifica solo
consigo mismo, y sobre los rectangulos R0,1 y R4,5 , identificamos
el punto (x, y) ∈ R0,1 con el punto (x + 4, 1− 1) ∈ R4,5 .
Sea π : R → R/ ∼ = M2 la proyeccion canonica. En M2 = R/ ∼damos la siguiente topologıa: A ⊂ R/ ∼ es abierto si, y solo
si, π−1(A) ⊂ R es abierto. Con esta topologı se tiene que π es
continua.
Es claro que los conjuntos U = π(R0,3) y V = π(R2,5) son abier-
tos y que ϕ = π/R0,3 : R0,3 → U y ψ = π/R2,5 : R2,5 → V
306 Orientacion en Superficies
son homeomorfismos. Sus inversas son ϕ−1 = (π/R0,3)−1 : U →R0,3 ⊂ R2 y ψ−1 = (π/R2,5)−1 : V → R2,5 ⊂ R2. Tenemos
entonces que (U,ϕ) y (V, ψ) son cartas en M2 , con U ∩ V =
π(R2,3 ∪ R0,1) 6= ∅ , y U , V conexos. Claramente U ∪ V = M2 .
Ahora verifiquemos que el cambio de coordenadas es de clase C∞ .
Tenemos ϕ−1(U ∩ V ) = R0,1 ∪R2,3 y ψ−1(U ∩ V ) = R2,3 ∪R4,5 .
Sobre R2,3 , se tiene ψ−1 ϕ(x, y) = (x, y) es la aplcacion la iden-
tidad, y sobre R0,1 se tiene ψ−1 ϕ(x, y) = (x + 4, 1 − y). Por
lo tanto A = (U,ϕ), (V, ψ) es un atlas C∞ sobre la banda de
Mobius. Ahora,
det J(ψ−1 ϕ)(x, y) =
1 para (x, y) ∈ R2,3 ,
−1 para (x, y) ∈ R0,1.
Luego la banda de Mobius es no orientable.
Otra forma. Sea W = (u, v) ∈ R2 : |v| < 1 y sea f :
W → R3 definida por f(u, v) = ((2 − v sen(u/2)) cos(u), (2 −v sen(u/2)) sen(u), v cos(u/2)) . La imagen de f es la banda de
Mobius.
Sean U0 = (u, v) ∈ W : |v| < 1, 0 < u < 2π y U1 = (u, v) ∈W : |v| < 1, −π < u < π . Definamos las aplicaciones varphi =
f |U0 : U0 → V0 y ψ = f |U1 : U1 → V1 . Se tiene que ϕ y ψ, son
parametrizaciones de la banda de Mobius, y que V0 ∪ V1 = M es
la banda de Mobius.
Es claro que U0 y U1 (y por lo tanto V0 y V1 ) son conexos.
Ahora.
Sergio Plaza 307
Dibujo
Tenemos ϕ−1(V0∩V1) = D1∪D2 donde D0 = (u, v) ∈ W : |v| <1 , 0 < u < 2π y D1 = (u, v) ∈ W : |v| < 1 , 3π
2 < u < 2π, y
el cambio de coordenadas ψ−1 ϕ : ϕ−1(V0 ∩ V1) → ψ−1(V0 ∩ V1)
viene dado por
(ψ−1 ϕ)(u, v) =
(u, v) en D0
(u− 2π,−v) en D1
ası detJ(ψ−1 ϕ)(u, v) = 1 en D0 y detJ(ψ−1 ϕ)(u, v) = −1
en D1 . Luego la banda de Mobius es no orientable.
2. Botella de Klein. Consideremos el cambio de coordenadas ϕ−12
ϕ1 de las parametrizaciones dada en el capıtulo anterior para la
botella de Klein. Recordemos que el cambio de coordenadas ϕ−12
ϕ1(u, v) = (u, v) es dado por
ϕ−12 ϕ1(u, v) =
(u− π/2 , v) en W1
(u + 3π/2 , 2π − v) en W2 .
Luego,
J(ϕ2 ϕ1)(u, , v) =
1 0
0 1
en W1 y
J(ϕ2 ϕ1)(u, , v) =
1 0
0 −1
en W2 . Claramente el determinante de la matriz jacobiana tiene
diferente signo cada componente conexa de ϕ−11 (ϕ1(U1)∩ϕ2(U2)) .
Por lo tanto la botella de Klein es una superficie no orientable.
308 Orientacion en Superficies
3. Se deja a cargo del lector verificar que RP 2 es una superficie no
orientable.
Proposicion 8.8 Sean Mm y Nn superficies Ck, con k > 1. Entonces
la superficie producto M × N es orientable si, y solo si, M y N son
orientables.
Demostracion. Si M y N son orientables, ya demostramos que M ×N es orientable.
Supongamos que M × N es orientable. Sea C un atlas coherente en
M × N . Fijemos una parametrizacion ψ : V0 ⊂ Rn → V ⊂ N en N ,
con V conexo, y consideremos el siguiente atlas en M , A = (U,ϕ) :
ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ Mm es una parametrizacion tal que ϕ× ψ ∈ C .
Este atlas es coherente, pues si (U1, ϕ1) y (U2, ϕ2) pertenecen a A y
U1∩U2 6= ∅, entonces el cambio de coordenadas (ϕ2× ψ)−1 (ϕ1× ψ) es
igual a (ϕ−12 ϕ1)×I , por lo tanto detJ((ϕ−1
2 ϕ1)×I)(u, v) = detJ((ϕ2×ψ)−1 (ϕ1 × ψ))(u, v) > 0 , por otra parte detJ((ϕ−1
2 ϕ1)× I)(u, v) =
detJ(ϕ−12 ϕ1)(u) para todo (u, v) ∈ (ϕ1 × ψ)−1(U1 × V ) = ϕ−1
1 (U1)×ψ−1(V ). Luego, ϕ1 : W1 ⊂ Rm → U1 ⊂ M y ϕ2 : W2 ⊂ Rm → U2 ⊂ M
son compatibles. Por lo tanto, M es orientable.
Analogamente se muestra que N es orientable.
Ejemplos.
1. Para todo n > 1 , la esfera unitaria Sn es orientable.
En efecto, sea f : Sn×R→ Rn+1−0 definida por f(x, t) = etx ,
es claro que f es C∞ . Ademas, es facil ver que f−1 : Rn+1−0 →Sn × R es dada por f−1(y) =
(y
||y|| , log(||y||))
, la cual tambien
es C∞. Luego f es un difeomorfismo C∞. Ahora como, Rn+1−0
Sergio Plaza 309
es orientable, se sigue que Sn × R es orientable y por lo tanto Sn
lo es.
2. Sea α : Sn → Sn la aplicacion antipodal, α(x) = −x . Es claro que
α es un difeomorfismo C∞ y que α−1 = α, pues α α = α2 = I .
Dado x ∈ Sn, se tiene que TxSn = T−xSn y que Dα(x) : TxSn →T−xSn es un isomorfismo. Ahora, dado v ∈ TxSn , Dα(x)v =
−v, pues tomando el atlas A = (U±i , ϕ±i ) : i = 1, 2, . . . , n + 1.
Supongamos que x ∈ U+i , entonces
(ϕ−i )−1 α ϕ+i (x1, . . . , xn) = (ϕ−i )−1 α(x1, . . . , xi−1,
(1−n∑
j=1
x2j )
1/2, xi, . . . , xn) = (ϕ−i )−1(−x1, . . . ,−xi−1,
−(1−n∑
j=1
x2j )
1/2 , −xi, . . . ,−xn) = (−x1, . . . ,−xn) = −I(x) .
Luego, D((ϕ−i )−1 α ϕ+i )(x) = −I. Fijemos una orientacion Θ
en Sn, exigiendo que una base v1, . . . , vn de TxSn es positiva si,
y solo si, x, v1, . . . , vn es una base positiva de Rn+1, es decir,
det(x, v1, . . . , vn) > 0, donde (x, v1, . . . , vn) es la matriz (n + 1)×(n + 1) cuyas columnas son los vectores x, v1, . . . , vn ∈ Rn+1.
Es claro que Θ−x = −Θx, es decir, aun cuando los espacios vec-
toriales T−xSn y TxSn son iguales como subespacios vectoriales
de Rn+1, tienen orientaciones opuestas, y en relacion a las orien-
taciones Θx de TxSn y Θ−x de T−xSn, se tiene que Dα(x) es
positivo si, y solo si, n es impar, pues en relacion a estas orien-
taciones las parametrizaciones ϕ±i : B(0; 1) → U±i son positivo y
detJ((ϕ−i )−1 α ϕ+i )(x) = (−1)n = −1 si, y solo si, n es impar.
Ademas, α invierte orientacion si, y solo si, n es par.
310 Orientacion en Superficies
Sean M y N superficies Ck ( k > 1 ), con dimM = dim N . Vi-
mos que si N es orientable y f : M → N es un difeomorfismo local
Ck, entonces M es orientable. Consideremos la situacion recıproca,
esto es, supongamos que f es un difeomorfismo local Ck y que M es
orientable. Vimos con un ejemplo (banda de Mobius) que esto no im-
plica que N sea orientable. Nos podemos plantear el problema siguiente
¿bajo que condiciones N es orientable?. La hipotesis de ser f sobreyec-
tiva es evidentemente necesaria, pues se requiere definir una orientacion
en cada punto de N . Un calculo muestra que tambien es necesario
tener que para cada x, y ∈ M , tales que f(x) = f(y), el isomorfismo
(Df(y))−1 Df(x) : TxM → TyM sea positivo, para que ası la orienta-
cion Θz en z = f(x) = f(y), que definamos en TzN no dependa de la
eleccion del punto elegido en f−1(z).
Estas son las unicas condiciones que necesitamos para que N sea orien-
table, cuando M lo es. Para la recıproca, necesitamos que M sea conexa,
pues en este caso o bien f : M → N es positivo o bien es negativo. En
resumen tenemos el
Teorema 8.4 Sean M y N superficies Ck, con k > 1 , y dimM =
dimN . Supongamos que M es conexa y orientable. Sea f : M →N un difeomorfismo local sobreyectivo. Entonces N es orientable si,
y solo si, para cada x, y ∈ M , tales que f(x) = f(y) el isomorfismo
(Df(y))−1 Df(x) : TxM → TyM es positivo.
Demostracion. Inmediata.
Sergio Plaza 311
8.4 Ejercicios
1. Sea A ∈ M((n + 1) × (n + 1),R) , tal que AAT = I. Defina
A : Sn → Sn por A(x) = Ax . Pruebe que A es un difeomorfismo
de clase C∞ . Ademas, pruebe que A preserva la orientacion de
Sn si, y solo si, det A = 1 .
2. Sean M,N ⊂ R9 , respectivamente, los conjuntos de las matrices
de rango 1 y 2. Muestre que M y N son superficies C∞, ambas
orientables.
3. Sean M y N superficies orientables y sea f : M → N una
aplicacion de clase C1 . Si y ∈ N un valor regular de f pruebe
que f−1(y) es una superficie orientable.
Nota: recuerde que y ∈ N es un valor regular de f si para cada
x ∈ f−1(y) se tiene que la derivada Df(x) : TxM → TyN es
sobreyectiva cuando f−1(y) 6= ∅ .
4. El fibrado normal TM⊥ de una superficie Mm ⊂ Rn de clase
Ck (k > 2 ), es definido como el conjunto TM⊥ = (p, n) ∈ Rm ×Rn−m : p ∈ M y n ∈ TpM
⊥ , donde TpM⊥ = w ∈ Rn :
〈w, v〉 = 0 para cada v ∈ TpM es el subespacio de Rn ortogonal
a TpM . Pruebe TM⊥ es una superficie orientable de clase Ck−1 .
5. Sea M ⊂ Rm una superficie de clase Ck , con k > 1 . Pruebe que
el fibrado normal unitario TM1 = (p, v) ∈ R2m : p ∈ M y v ∈TpM, ||v|| = 1 es una superficie orientable de clase Ck−1 .
6. Sean M,N ⊂ Rn superficies Ck , con k > 1 , con M ∩N 6= ∅ y
tales que en cada punto x ∈ M ∩N se tiene que TxM + TxN =
Rn . Suponga que M y N son orientables, y que M ∩N es una
312 Orientacion en Superficies
superficie Ck ¿es M ∩N orientable? Pruebe que M ∩N es una
superficie Ck .
7. Construya ejemplos de superficies orientables y ejemplos de su-
perficies no orientables.
8. Sea H =
(x, y, z) ∈ R3 :x2
a2− y2
b2− z2
c2= 1
. Defina la relacion
de equivalencia ∼ sobre H como sigue: (x, y, z) , (u, v, w) ∈ H ,
entonces (x, y, z) ∼ (u, v, w) si, y solo si, x = ±u , y = ±v , z =
±w . Sea M = [(x, y, z)] : (x, y, z) ∈ H el espacio cuociente,
donde [(x, y, z)] indica la clase de equivalencia del punto (x, y, z) .
Pruebe que M es una superficie 2-dimensional no orientable.
9. Sean M1 y M2 superficies Ck , con k > 1 , y ϕ : M1 → M2 un
difeomorfismo local Ck . Si M2 es orientable, pruebe que M1 es
orientable. Si M1 es orientable ¿es M2 orientable?
10. Pruebe que toda superficie 1-dimensional conexa es orientable.
11. Demuestre que las aplicaciones
x = a sen2(u)
y = a sen(u) cos(u) , 0 6 u 6 2π
z = a cos(u)
definen una superficie y encuentre su espacio normal
12. Sea S ⊂ R3 una superficie C∞. Pruebe que S es orientable si, y
solo si, existe una aplicacion diferenciable N : S → R3, tal que
para cada p ∈ S el vector N(p) es ortogonal a TpS y ||N(p)|| = 1.
13. Probar que la banda de Mobius no es difeomorfa al cilindro S1×R.
Sergio Plaza 313
14. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto. Pruebe que el grafico de
cualquier aplicacion Ck (k > 1), f : U −→ Rm es una super-
ficie orientable.
15. Sea U ⊂ R2 un conjunto abierto. Si f : U −→ R una aplicacion
de clase Ck (k > 1), y sea M = graf(f) = (x, y, z) ∈ R3 : z =
f(x, y) , (x, y) ∈ U . Encuentre una base para T(x,y,z)M⊥ .
16. Sea Mm una superficie de clase Cr (r > 1), con borde. Suponga
que M es no orientable. ¿Es el borde M no orientable?
Si su respuesta es afirmativa, demuestrelo, si es negativa, justifique
con un ejemplo.
17. Sea f : R3 −→ R una aplicacion de clase Ck (k > 1) y sea r ∈ Run valor regular de f , con f−1(r) 6= ∅ . Encuentre T(x,y,z)f
−1(r)⊥
para cada (x, y, z) ∈ f−1(r) . Demuestre que la superficie f−1(r)
es orientable.
18. Pruebe que la banda de Mobius M ⊂ R3 (con o sin borde) no
puede ser imagen inversa de un valor regular para ninguna funcion
Cr ( r > 1 ), f : R3 → R .
19. Sea C = S1×R el cilindro 2–dimensional contenido en R3 . Defina
f : C → C por f(x, y, z) = (−x,−y, z + 1) . Es claro que f es un
difeomorfismo ¿ f preserva o invierte orientacion?
20. Incrustacion de la botella de Klein en R4. Sea G : R2 → R4 ,
definida por
G(x, y) = ((r cos(y) + a) cos(x), (r cos(y) + a) sen(x),
r sen(y) cos(x/2), r sen(y) sen(x/2)) .
314 Orientacion en Superficies
Pruebe que G induce una incrustacion de la botella de Klein en
R4.
21. Considere la esfera 2–dimensional, S2 ⊂ R3 . Dotemos a S2
con dos orientaciones distintas, Θ y Θ , en la primera una base
v1, v2 de T(0,0,1)S2 es positiva si x, v1, v2 es una base positiva
de R3 ; en la segunda una base w1, w2 de T(0,0,1)S2 es positiva
si −x,w1, w2 es una base positiva de R3 . Sea α : (S2, Θ) →(S2, Θ) la aplicacion antipodal. Usando las parametrizaciones
polo–norte y polo–sur, verifique si α preserva o invierte orientacion.
22. Encuentre una parametrizacion para la curva obtenida intersectando
el plano 2x + z = 1 con la esfera x2 + y2 + z2 = 3 ; orientada en
sentido antihorario cuando es vista desde arriba.
Capıtulo 9
Superficies con Borde
Es este capıtulo generalizamos el concepto de superficie de modo a incluir
aquellas que tienen borde, como por ejemplo la bola unitaria en espacio
euclideanos, cuyo borde es la esfera unitaria correspondiente.
Consideramos como espacio modelo el semi–espacio Hm en Rm , definido
por Hm = (x1, . . . , xm) ∈ Rm : xm > 0 . El borde de Hm es ∂Hm =
(x1, . . . , xm) ∈ Hm : xm = 0 , es claro que ∂Hm = Rm−1 × 0 .
Consideramos a Hn con la topologıa inducida por la de Rn , es decir,
A ⊂ Hm es un conjunto abierto si, existe un conjunto abierto U ⊂ Rm
tal que A = U ∩Hm .
Desde la definicion vemos que existen dos tipos de conjuntos abiertos
en Hm , aquellos para los cuales A ⊂ Hm − ∂Hm , y en este caso, estos
conjuntos son abiertos en Rm , y aquellos que intersectan a ∂Hm . Ver
la figura
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Hm
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
......................
..............
∂Hm = Rm−1 × 0
.............
................................................................. ............. .............
..A
..........................
.................................................
A
315
316 Superficies con Borde
Definicion 9.1 Sea X ⊂ Rm con la topologıa inducida. Decimos que
una aplicacion f : X → Rn es diferenciable (de clase Ck ) si existe
una aplicacion diferenciable (de clase Ck ) F : U → Rn definida en un
conjunto abierto U ⊂ Rm , con X ⊂ U , tal que F/X = f .
Observaciones
1. Si X es un conjunto abierto de Rm la actual definicion de dife-
renciabilidad y la anterior del Capıtulo 7 coinciden.
2. La diferenciabilidad de f no depende del abierto U que contiene
a X ni de la extension F de f .
Notemos que las extensiones de f : X → Rm a vecindades de X
pueden tener diferentes derivadas, por ejemplo, consideremos X = 0 y
sea f : X → R dada por f(0) = 0 . Tomemos las extensiones F1(x) = x
y F2(x) = x3 de f , ellas tienen diferentes derivadas en x = 0 . De lo
anterior vemos que, en general, no podemos definir la derivada de f
como siendo la derivada de cualquiera de sus extensiones. Para el caso
de f : Hm → Rn este problema no existe.
Lema 9.1 Existe una base de Rm formada solo por vectores de Hm .
Demostracion. Dado v ∈ Rm se tiene que o bien v ∈ Hm o bien
−v ∈ Hm . Por lo tanto dada una base de Rm , cambiando el signo a
cada vector que no esta en Hm , obtenemos una nueva base formada solo
por vectores de Hm .
Proposicion 9.1 Si A ⊂ Hm es un conjunto abierto y f : A → Rn
es diferenciable en x ∈ A entonces la derivada de f en x esta bien
definida. (Como antes denotamos la derivada por Df(x) .)
Sergio Plaza 317
Demostracion. Si A ⊂ int(Hm) = Hm − ∂Hm el resultado es inmedi-
ato.
Ahora, si x ∈ A ∩ ∂H 6= ∅ entonces existe una base v1, . . . , vm de
Rm formada solo por vectores de Hm . Luego, para cada x ∈ ∂Hm y
para t > 0 los vectores x + tv1, . . . , x + tvm pertenecen a Hm . Ahora,
como x ∈ A ∩ Hm entonces para todo t > 0 suficientemente pequeno
se tiene que x + tvi ∈ A , para i = 1, . . . , m pues A es abierto en Hm .
Ahora sea U ⊂ Rm un abierto tal que A = U∩Hm y sea F : U → Rn
una extension diferenciable de f . Tenemos que para todo v ∈ Rm el
lımite
DF (x)v = limt→0
F (x + tv)− F (x)t
existe. En particular, existe el lımite
DF (x)vi = limt→0+
F (x + tvi)− F (x)t
= limt→0+
f(x + tvi)− f(x)t
,
esto es, los valores de la transformacion lineal DF (x) : Rm → Rn en los
vectores de la base v1, . . . , vm de Hm estan bien definidos a partir de
f , en consecuencia la derivada, Df(x) , de f en x no depende de la
extension F elegida para calcularla.
Teorema 9.1 (Regla de la Cadena). Sean A ⊂ Hm y B ⊂ Hn
conjuntos abiertos, y sean f : A → Rn y g : B ⊂ Hn → R` aplicaciones
diferenciables, con f(A) ⊂ B . Entonces la aplicacion g f : A → R`
es diferenciable. Ademas, D(g f)(x) = Dg(f(x)) Df(x) .
Demostracion. Inmediata a partir del teorema anterior y Teorema de
la Regla de la Cadena en espacios euclideanos.
Sea A ⊂ Hm un conjunto abierto. El borde de A es el conjunto
∂A = A∩∂Hm . Tenemos que ∂A es una superficie de codimension uno
318 Superficies con Borde
de Rm , pues por definicion existe un conjunto abierto U ⊂ Rm tal que
A = U ∩Hm . Luego, U ∩∂Hm = U ∩ (Hm∩∂Hm) = (U ∩Hm)∩∂Hm =
A ∩ ∂Hm = ∂A .
Definicion 9.2 Un difeomorfismo de clase Ck entre conjuntos abier-
tos A ⊂ Hm y B ⊂ Hn es una biyeccion de clase Ck , f : A → B cuya
inversa tambien es de clase Ck .
De las igualdades f−1 f = IA y f f−1 = IB se sigue, usando
la Regla de la Cadena, que para y = f(x) con x ∈ A las derivadas
Df(x) : Rm → Rn y Df−1(y) : Rn → Rm son isomorfismos, uno
inverso del otro; en particular m = n .
Teorema 9.2 Sean A ⊂ Hm y B ⊂ Hm conjuntos abiertos. Si
f : A → B es un difeomorfismo de clase C1 entonces f(∂A) = ∂B .
En particular, f/∂A es un difeomorfismo entre las superficies de codi-
mension uno ∂A y ∂B .
Demostracion. Si x ∈ int(A) entonces existe un conjunto abierto
U ⊂ Rm , con x ∈ U ⊂ A . Tenemos, en este caso, que f/U es un
difeomorfismo de clase C1 , y por el Teorema de la Funcion Inversa su
imagen f(U) es un conjunto abierto de Rm . Como f(A) ⊂ B se sigue
que f(x) ∈ f(U) ⊂ f(A) ⊂ (B) es abierto, luego cada f(x) esta en
un conjunto abierto contenido en B , es decir, B es abierto, de donde
f(int(A)) ⊂ int(B) , y por lo tanto f−1(∂B) ⊂ ∂A , luego ∂B ⊂ f(∂A) .
Analogamente se prueba que f(∂A) ⊂ ∂B . Por lo tanto f(∂A) = ∂B .
Observacion. El resultado anterior tambien es valido para homeomor-
fismo, pero son necesarios otros conceptos para probarlo.
Ahora extendemos el concepto de parametrizacion a subconjuntos de
espacios euclideanos que seran nuestras superficies con borde.
Sergio Plaza 319
Definicion 9.3 Sea U ⊂ Rn . Una parametrizacion de clase Ck y
dimension m de U es un homeomorfismo de clase Ck , ϕ : U0 ⊂Hm → U definido en un conjunto abierto U0 de Hm , tal que para cada
x ∈ U0 la derivada Dϕ(x) : Rm → Rn es inyectiva.
Definicion 9.4 Un subconjunto Mm ⊂ Rn es una superficie con borde,
de dimension m y clase Ck , con k > 1 , si cada punto x ∈ M pertenece
a un abierto U ⊂ M que es imagen de una parametrizacion de clase
Ck , ϕ : U0 ⊂ Hm → U, donde U0 es un conjunto abierto en Hm.
Observaciones.
1. En la definicion de superficie con con borde podemos usar cual-
quier semi–espacio Hmj ⊂ Rm definidos por Hm
j = (x1, . . . , xm) ∈Rm : xj > 0 o bien los semi–espacio Hm
j = (x1, . . . , xm) ∈Rm : xj 6 0 . Mas general, podemos usar cualquier semi–espacio
determinado por un subespacio o un subespacio afın (m − 1)–
dimensional de Rm .
2. Si Hmj y Hm
i son semi–espacios de Rm entonces existe un difeo-
morfismo de clase C∞ que aplica uno en el otro. Por ejemplo,
si suponemos que i < j entonces Hi,j : Hmi → Hm
j definido por
Hi,j(x1, . . . , xi, . . . , xj , . . . , xm) = (x1, . . . , xj , . . . , xi, . . . , xm) , sa-
tisface lo pedido.
9.1 Cambios de Coordenadas
Sea Mm ⊂ Rn una superficie con borde, de clase Ck y dimension m .
Sean ϕ : U0 ⊂ Hm → U y ψ : V0 ⊂ Hm → V parametrizaciones
de clase Ck de conjuntos abiertos U y V de M , respectivamente,
320 Superficies con Borde
con U ∩ V 6= ∅ . Afirmamos que el cambio de coordenada ψ−1 ϕ :
ϕ−1(U ∩ V ) ⊂ Hm → ψ−1(U ∩ V ) ⊂ Hm es un difeomorfismo de clase
Ck .
En efecto, basta demostrar que ψ−1 ϕ es de clase Ck , pues como
ϕ−1 ψ = (ψ−1 ϕ)−1 este tambien sera de clase Ck .
Sea u ∈ ϕ−1(U∩V ) , y sean x = ϕ(u) , v = ψ−1(ϕ(u)) . Por definicion
de parametrizacion, tenemos que ψ se extiende a una aplicacion de
clase Ck , Ψ : W → Rn , donde W ⊂ Rm es un conjunto abierto
con v ∈ W . Como DΨ(v) es inyectiva, del Teorema de la Forma
Local de las Inmersiones, tenemos que (achicando W , si es necesario)
Ψ es un homeomorfismo desde W sobre su imagen, y el homeomorfismo
inverso es la restriccion a Ψ(W ) de una aplicacion Ck , Λ , definida en
un conjunto abierto de Rn . Luego, tomando A = ϕ−1(Ψ(W )) tenemos
que A es un conjunto abierto en Hm y u ∈ A . Ademas, (ψ−1 ϕ)/A =
(Λ ϕ)/A la cual es de clase Ck . Luego ψ−1 ϕ ∈ Ck en una vecindad
de cada punto u ∈ ϕ−1(U ∩ V ), de donde ψ−1 ϕ es de clase Ck .
El borde de M es el conjunto, ∂M , formado por los puntos x ∈ M
tales que para toda parametrizacion de clase Ck , ϕ : U0 ⊂ Hm → U ⊂M de un abierto U ⊂ M , con x = ϕ(u) se tiene que u ∈ ∂U0 .
Por el teorema anterior, y el hecho que cada parametrizacion es un
difeomorfismo, se sigue que dado x ∈ M y una parametrizacion de clase
Ck , ϕ : U0 ⊂ Hm → U ⊂ M de un abierto U de M , con x = ϕ(u) ,
donde u ∈ ∂U0 se tiene que x ∈ ∂M , es decir, si x = ϕ(u) ∈ U
para alguna parametrizacion de clase Ck , ϕ : U0 → U , definida en un
abierto U0 ⊂ Rm entonces para cualquier otra parametrizacion de clase
Ck , ψ : V0 ⊂ Hm → V ⊂ M , donde V0 es un conjunto abierto en Hm ,
si x = ψ(v) entonces necesariamente v ∈ ∂(V0) .
Sergio Plaza 321
Teorema 9.3 Sea Mm ⊂ Rn una superficie de dimension m y clase
Ck ( k > 1 ), con borde. Entonces ∂M es una superficie de clase Ck y
dimension m− 1 .
Demotracion. Las parametrizaciones de ∂M son las restricciones a
∂U0 = U0∩∂Hm de las parametrizaciones de clase Ck, ϕ : U0 ⊂ Hm →U ⊂ M , tales que el abierto U ⊂ M satisface U ∩ ∂M 6= ∅ .
Recordemos que si f : Mm → Nn es una aplicacion de clase C` ( ` >1 ), entonces r ∈ N es un valor regular de f si, f−1(r) = ∅ o en caso
contrario, para cada x ∈ f−1(r) la derivada Df(x) : TxM → Tf(x)N
es sobreyectiva. (En particular, m > n .)
Teorema 9.4 Sea Mm una superficie Ck , y sea f : M → R una
aplicacion de clase Ck . Si r ∈ R es un valor regular de f entonces el
conjunto N = x ∈ M : f(x) > r es una superficie de clase Ck y
dimension m , cuyo borde es ∂N = f−1(r) .
Demostracion. Es claro que el conjunto A = x ∈ M : f(x) > r es
un conjunto abierto de M , luego es una superficie Ck y dimension m .
Ahora debemos parametrizar las vecindades de los puntos x ∈ N para
los cuales f(x) = r . Dado x ∈ N tal que f(x) = r , sea ϕ : U0 ⊂ Rm →U ⊂ M una parametrizacion de clase Ck de U ⊂ M , con x = ϕ(u) ∈U y u = (u1, . . . , um) ∈ U0 . Como r es valor regular de f y por lo
tanto de f ϕ : U0 → R , sin perdida de generalidad, podemos suponer
que ∂(fϕ)∂um
(u) > 0 . Del Teorema de la Forma Local de las Submersiones,
existe un conjunto abierto W ⊂ Rm−1 , con (u1, . . . , um−1) ∈ W , existe
un intervalo abierto I = ]r − ε, r + ε[ , y existe un difeomorfismo de
clase Ck , ξ : W × I → Z sobre un abierto Z ⊂ U0 , tal que (f ϕ) ξ :
W × I → R satisface (f ϕ) ξ(u, t) = t . Consideremos el semi-espacio
322 Superficies con Borde
H = (v1, . . . , vm) : vm > r . Sean V0 = (W × I)∩H , ψ = (ϕ ξ)/V0
y V = ϕ ξ(V0) . Entonces ψ : V0 → V es una parametrizacion del
abierto V , con x ∈ V .
Nota. De modo analogo se prueba que N = x ∈ M : f(x) 6 r es
una superficie con borde.
Ejemplo La bola cerrada de centro en u ∈ Rm y radio r > 0 , B[u, r] ⊂Rm , es una superficie m-dimensional C∞ con borde, y ∂B[u, r] =
Sm−1(u, r) , esfera (m− 1)–dimensional de centro en u y radio r .
En efecto, consideremos la aplicacion f : Rm → R dada por f(x) =
‖x−u‖2−r , tenemos que f es de clase C∞, y el unico valor no regular
de f es r = 0 , luego para cada r > 0 se tiene que B[u, r] = f−1(x ∈Rm : f(x) 6 r2) es una superficie m–dimensional de clase C∞ con
borde.
Sea M ⊂ Rn una superficie m–dimensional de clase Ck , con borde.
Para cada x ∈ M definimos el espacio tangente a M en x , TxM ,
como fue hecho en el Capıtulo 8, es decir, elegimos una parametrizacion
de clase Ck , ϕ : U0 ⊂ Hm → U ⊂ M de en un conjunto abierto
U ⊂ M , con x = ϕ(u) ∈ U , y definimos TxM = Dϕ(u)Rm . Es
claro desde la definicion de TxM que este es un subespacio vectorial de
dimension m de Rn . Ahora, si x ∈ ∂M entonces el dominio U0 de la
parametrizacion ϕ es un abierto en Hm con u = ϕ−1(x) ∈ ∂Hm . La
imagen Dϕ(u)∂H = Tx(∂M) es un subespacio vectorial de codimension
uno de TxM que es el espacio tangente a la superficie sin borde ∂M
en el punto x .
Sergio Plaza 323
Afirmamos que la definicion de TxM no depende de la parametrizacion
ϕ : U0 ⊂ Hm → U ⊂ M , con x = ϕ(u) ∈ U , usada para definirlo. La
prueba es completamente analoga a aquella dada en el Capıtulo 8, pues
si ψ : V0 ⊂ Hm → V ⊂ M es otra parametrizacion de clase Ck , con
x = ψ(v) , entonces ξ = ψ−1 ϕ : ϕ−1(U ∩ V ) → ψ−1(U ∩ V ) es un
difeomorfismo entre conjuntos abiertos de Hm y ϕ = ψ ξ . Luego
Dϕ(u) = Dψ(v) Dξ(u) , y como Dξ(u) : Rm → Rm es un isomorfismo
se tiene que Dϕ(u)Rm = Dψ(v)Rm . Lo que completa la prueba de la
afirmacion.
Si Mm ⊂ Rn es una superficie de clase Ck , con borde, y si ϕ : U0 ⊂Hm → U ⊂ M es una parametrizacion de una vecindad de un punto
x ∈ M . Vimos que si x = ϕ(u) ∈ ∂M entonces Dϕ(u)(∂Hm) = Tx∂M
es un subespacio (m − 1)–dimensional de TxM . Esto nos permitira
definir el concepto de vector que apunta hacia afuera en una superficie
con borde. Primero definiremos este concepto para semi–espacios, para
luego traspasarlo a superficies con borde.
Definicion 9.5 Decimos que un vector w ∈ Rm apunta hacia afuera
del semi-espacio Hmj ⊂ Rm si, w /∈ Hm
j , es decir, si w = (w1, . . . , wm)
entonces wj < 0 .
Teorema 9.5 Sea f : A → B un difeomorfismo entre conjuntos
abiertos A ⊂ Hmi y B ⊂ Hm
j . Si w ∈ Rm apunta para afuera de
Hmi entonces para cada x ∈ ∂A el vector Df(x)w apunta para afuera
de Hmj .
Demostracion. Como f/∂A es un difeomorfismo entre ∂A y ∂B , y
la derivada Df(x) : Rm → Rm aplica ∂Hmi isomorficamente en ∂Hm
j ,
dado v ∈ Rm se tiene que la j–esima coordenada de Df(x)v es 0
324 Superficies con Borde
si, y solo si, la i–esima coordenada de v es 0. Si t > 0, entonces
x + tw ∈ Hmi , luego para todo t positivo y suficientemente pequeno, se
tiene x+tw ∈ A−∂A , de donde f(x+tw) ∈ B−∂B y πjf(x+tw) > 0 .
Para tales valores de t > 0 se tiene queπj(f(x + tw))− πj(f(x))
t=
πj(f(x + tw))t
> 0 . Esto completa la prueba.
Definicion 9.6 Sea Mm ⊂ Rn una superficie de dimension m y clase
Ck ( k > 1 ) con borde, y sea x ∈ ∂M . Decimos que un vector w ∈TxM apunta para fuera de M si existe una parametrizacion de clase
Ck , ϕ : U0 ⊂ Hm → U ⊂ M , tal que x = ϕ(u) ∈ U y w = Dϕ(u)w0 ,
donde w0 ∈ Rm apunta para afuera de Hm .
Observemos que este concepto no depende de la parametrizacion usa-
da, esto es, si ψ : V0 ⊂ Hm → V ⊂ M es otra parametrizacion, con
x = ψ(v) ∈ V y Dψ(v)w1 = w entonces w1 ∈ Rm es un vector que
apunta hacia afuera del semi–espacio Hm . En efecto, el cambio de
coordenadas ξ = ψ−1 ϕ satisface Dξ(u)w0 = w1 , de esto tenemos
Dψ(v)w1 = Dψ(v) Dξ(u)w0 = Dϕ(u)w0 . Lo que concluye la prueba.
Para cada x ∈ ∂M , los vectores tangentes a ∂M junto con los vec-
tores que apuntan para afuera de M forman un semi–espacio de TxM .
Entre los vectores que apuntan para afuera de M , existe un unico vector
unitario y normal a Tx∂M , el cual denotamos por n(x) . Esto define
una aplicacion n : ∂M → Rn que asocia a cada x ∈ ∂M el vector uni-
tario n(x) normal a Tx∂M , llamado campo de vectores normal a ∂M .
Si M es de clase Ck entonces la aplicacion n es de clase Ck−1 , pues
si, ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M es una parametrizacion, tomando una base
positiva v1, . . . , vm de Rm donde vm apunta hacia afuera de Hm y
Sergio Plaza 325
v1, . . . , vm−1 ⊂ ∂Hm se tiene que
n(x) =Dϕ(u)v1 × · · · ×Dϕ(u)vm−1
||Dϕ(u)v1 × · · · ×Dϕ(u)vm−1|| ,
para todo x = ϕ(u) ∈ ∂U = ∂M ∩ U .
Definicion 9.7 Decimos que una superficie de clase Ck , con borde,
Mm ⊂ Rn es orientable si existe un atlas coherente de clase Ck en M .
Tenemos ahora la siguiente proposicion.
Proposicion 9.2 Si Mm ⊂ Rn es una superficie de clase Ck , con
borde orientable. Entonces ∂M es una superficie de clase Ck , sin borde
y orientable.
Demostracion. Supongamos que M es orientable y que dimM =
m > 1 . Si m = 1 entonces ∂M es una superficie de dimension 0, por
lo tanto trivialmente orientable. Asumamos entonces que m > 1 . Sea
A el conjunto de las parametrizaciones ϕ : U0 ⊂ Hm1 → U ⊂ M de
clase Ck , tales que:
1. U0 es un conjunto abierto y conexo, contenido en el semi–espacio
Hm1 = (x1, . . . , xm) ∈ Rm : x1 > 0 ,
2. ϕ es positiva respecto de la orientacion de M .
El conjunto de las parametrizaciones de M que satisfacen 1) y 2) an-
teriores constituyen un atlas para M , pues si ψ : V0 ⊂ Hm1 → V ⊂ M es
una parametrizacion que satisface 1) y si ψ no es positiva, componiendo
con la transformacion lineal T (x1, . . . , xm) = (−x1, x2, . . . , xm) y to-
mando V1 = T−1(V0) , tenemos que ϕ = ψ T : V1 → U es una
parametrizacion que satisface 1) y 2) anteriores. Identificamos Rm−1
326 Superficies con Borde
con ∂Hm1 . Sea A1 el conjunto de las restricciones ϕ0 = ϕ/∂U0 , de
las parametrizaciones ϕ ∈ A tales que ∂U0 = U0 ∩ Hm1 6= ∅ . Es claro
que A1 es un atlas de clase Ck para ∂M . Afirmamos que A1 es un
atlas coherente para ∂M . Para verlo, consideremos parametrizaciones
ϕ0 : ∂U0 → ∂U y ψ0 : ∂V0 → ∂V en A1 , con ∂U∩∂V 6= ∅ . Entonces el
cambio de coordenadas ξ0 = ψ−10 ϕ0 es la restriccion del difeomorfismo
ξ = ψ−1 ϕ al borde de su dominio. Sea u ∈ ϕ−1(∂U ∩ ∂V ) . Como Aes un atlas coherente para M se tiene que det(Dξ(u)) > 0 , y como ξ :
ϕ−1(U∩V ) → ψ−1(U∩V ) es un difeomorfismo entre abiertos de Hm1 , se
sigue que Dξ(u)(∂Hm1 ) = ∂Hm
1 , de donde Dξ(u)ei = (0, ai2, . . . , aim) ,
para i = 2, . . . , m − 1 . Finalmente como −e1 apunta para afuera de
Hm1 tenemos que Dξ(u)(−e1) = (a11, a12, . . . .am1) apunta para afuera
de Hm1 , es decir, a11 > 0 . Luego la matriz de Dξ(u) tiene la forma
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · a2m
......
......
am1 am2 · · · amm
Sea A0 la matriz
a22 · · · a2m
......
...
am2 · · · amm
Es claro que A0 es la matriz de la derivada de ξ0 . Ahora tenemos que
det(Dξ(u)) = a11 det(A0) y como a11 > 0 se sigue que det(A0) > 0 , y
en consecuencia A1 es un atlas coherente para ∂M .
La orientacion de ∂M determinada por la orientacion de M es lla-
mada orientacion inducida.
Sergio Plaza 327
Relativa a la orientacion inducida por M en ∂M , se tiene que una
base w1, . . . , wm−1 de Tx∂M es positiva si, y solo si, para cualquier
w ∈ TxM que apunta hacia afuera de M se tiene que w,w1, . . . , wm−1es una base positiva de TxM . En particular, si n(x) ∈ TxM es el vector
unitario tangente a M y normal a ∂M en el punto x , entonces una base
w1, . . . , wm−1 de Tx∂M es positiva si, y solo si, n(x), w1, . . . , wm−1es una base positiva de TxM . En efecto, una base w1, . . . , wm−1 de
Tx∂M es positiva si, y solo si, wj =∑m−1
i=1 aij∂ϕ(u)∂ui
, para j = 1, . . . , m−1 , donde la matriz A0 = (aij)(m−1)×(m−1) tiene determinante positivo,
aquı ϕ : U0 → U es una parametrizacion definida en un conjunto abierto
U1 de Hm1 , con u ∈ ∂U0 , x = ϕ(u) ∈ M , y ϕ es positiva respecto de la
orientacion de M . Como −e1 = (−1, 0, . . . , 0) apunta hacia afuera de
Hm1 el vector ∂ϕ(u)
∂u1= Dϕ(u)(−e1) ∈ TxM apunta hacia afuera de M .
Por lo tanto, si w ∈ TxM es un vector que apunta hacia afuera de M ,
tenemos que w = a11∂ϕ(u)∂u1
+ a21∂ϕ(u)∂u2
+ · · ·+ am1∂ϕ(u)∂um
(u) , con a11 > 0 .
Para j = 2, . . . , m , tenemos wj = 0∂ϕ(u)∂u1
+ a2j∂ϕ(u)∂u2
+ · · · + amj∂ϕ(u)∂um
.
Luego la matriz cambio de base de la base Bϕ(x) = ∂ϕ(u)∂u1
, . . . , ∂ϕ(u)∂um
para la base w, w1, . . . , wm−1 tiene la forma
A =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · a2m
......
......
am1 am2 · · · amm
m×m
Luego detA = a11 det A0 , es decir, detA > 0 si, y solo si, detA0 >
0 , esto significa que cuando w ∈ TxM apunta hacia afuera de M
entonces w1, . . . , wm−1 es una base positiva de Tx∂M si, y solo si,
w, w1, . . . , wm−1 es una base positiva de TxM .
Ejemplo El intervalo cerrado [0, 1] es una superficie 1–dimensional de
328 Superficies con Borde
clase C∞ con borde, donde ∂[0, 1] = 0, 1 . En efecto, basta tomar el
atlas A = ϕ,ψ , donde ϕ : [0, 1[→ [0, 1[ y ψ : ]0, 1] → ]0, 1] son las
aplicaciones identidad correspondientes. El dominio de ϕ es un conjunto
abierto de la semi–recta [0, +∞ [ el cual es un semi–espacio de R , y
el dominio de ψ es un conjunto abierto de la semi–recta ] −∞, 0] el
cual tambien es un semi–espacio de R . El cambio de coordenadas es
la aplicacion identidad, luego A es un atlas coherente que define la
orientacion natural de [0, 1] .
Cuando M es una superficie con borde y dimM = 1 se tiene que
dim ∂M = 0 , por lo tanto es un conjunto aislado de puntos. Orientar
una superficie de dimension 0, es por definicion, asignar un signo + o un
signo − a cada uno de esos puntos. Si dimM = 1 y M esta orientada,
la orientacion de ∂M inducida por la de M es dada como sigue: en
un punto x ∈ ∂M sera +x si cada vector que forma una base positiva
de TxM apunta hacia afuera de M y sera −x en caso contrario. En
el caso de M = [0, 1] orientada por el atlas A = ϕ,ψ la orientacion
inducida en ∂[0, 1] = 0, 1 asigna el signo + a 1 y el signo − a 0,
es decir, ∂[0, 1] = +1 ∪ −0 . Analogamente para las semi–rectas
M = ] − ∞, r] y N = [t, +∞[ orientadas por el atlas con una unica
parametrizacion igual a la identidad, tenemos ∂ = +r y ∂N = −t .
Si M y N son superficies con borde, el producto cartesiano M×N no
es una superficie con borde, por ejemplo consideremos M = N = [0, 1] ,
entonces M ×N = [0, 1]× [0, 1] no es una superficie con borde.
Ahora, si solo una de las superficies M o N tiene borde (no vacıo)
entonces el producto cartesiano M×N es una superficie con borde, por
ejemplo si ∂M 6= ∅ y ∂N = ∅ entonces ∂(M × N) = (∂M) × N . En
efecto, usando parametrizaciones del tipo ϕ×ψ , donde ϕ : U0 ⊂ Hm →U ⊂ M y ψ : V0 ⊂ Hn → V ⊂ N , con U0 ⊂ Hm y V0 ⊂ Rn abiertos
Sergio Plaza 329
entonces U0 × V0 es un conjunto abierto del semi–espacio Hm × Rn y
∂(U0 × V0) = (∂U0) × V0 . Si la superficie con borde M y la superficie
sin borde N son orientables entonces la superficie con borde M ×N es
orientable, y la orientacion es definida por el atlas P formado por las
parametrizaciones ϕ×ψ , donde ϕ es positiva respecto de la orientacion
de M y ψ es positiva respecto de la orientacion de N . La coherencia
del atlas P se obtiene de la igualdad (ϕ2 × ψ2)−1 (ϕ1 × ψ1) = (ϕ−12
ϕ1)× (ψ−12 ψ1) .
9.2 Ejercicios
1. Sea M una superficie orientable, sin borde, y considere la super-
ficie con borde I ×M , donde I = [0, 1] . Estudie la orientacion
de ∂(I ×M) .
2. Pruebe que el hiperboloide solido dado por
H = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 6 a , a > 0
es una superficie orientable con borde ¿Cual es el borde de H ?
3. Encuentre los valores de a para los cuales la interseccion del hiper-
boloide solido H = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 6 a ( a 6= 0 )
y la bola unitaria S2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6 1 es una
superficie con borde (el cual puede ser vacıo)).
4. Considere el rectangulo cerrado R = [0, 5] × [0, 1] y defina una
relacion de equivalencia, ∼ , en R como sigue: en R14 = [1, 4] ×[0, 1] se identifica cada punto consigo mismo, y en R01 ∪ R45 =
[0, 1]× [o, 1]∪ [4, 5]× [0, 1] se identifica (x, y) ∈ R01, con el punto
(x + 4, 1− y) ∈ R45 . Demuestre que M = R/ ∼ es una superficie
330 Superficies con Borde
no orientable con borde, y que el borde de M = R/ ∼ es una
superficie orientable ¿Cual es la superficie borde de M ?
5. (a) Sea Mm una superficie con borde. Pruebe que ∂M es un
subconjunto cerrado de M . En particular, si M es compacta
entonces ∂M es compacta.
(b) Encuentre un ejemplo, al menos, de una superficie con borde
Mm , tal que ∂M es compacta, pero M no lo es.
6. Sea M = (x, y) ∈ R2 : y > 0 . Pruebe que para cada aplicacion
de clase C1 , g : R −→ R , la aplicacion f : M −→ R dada por
f(x, y) = y+g(x) es de clase C1 , y para cada (x, y) ∈ M se tiene
que f(x, y) = r es un valor regular de f .
Ahora, sea g : R −→ R , dada por
g(x) =
e−1/x2sen(1/x) si x 6= 0
0 si x = 0 .
Pruebe que f es de clase C∞ , y que 0 es un valor regular de f ,
pero f−1(0) no es una superficie ¿Que puede decir respecto del
Teorema de la Funcion Implıcita en este caso?
7. Sea f : [a, b] −→ R una aplicacion diferenciable. Pruebe que
graf(f) = (x, f(x)) : x ∈ [a, b] es una superficie con borde
¿Cual es el borde de graf(f) ?, ¿Es graf(f) orientable?
8. Demuestre que las superficies con borde M = (x, y, z) ∈ R3 :
x2 + y2 + z2 6 1 y N = (x, y, z) ∈ R3 : b2c2x2 + a2c2y2 +
a2b2z2 6 a2b2c2 son difeomorfas.
Sergio Plaza 331
(Indicacion: El difeomorfismo puede ser construido en forma geometrica
o en forma directa definiendolo.)
9. Demuestre que toda superficie n–dimensional compacta con borde,
M ⊂ Rn , es orientable.
10. Sea Mm ⊂ Rn una superficie con borde. Suponga que ∂M es
orientable. ¿Es M orientable?
11. Sea f : B[0, 1] ⊂ Rm → Rn una aplicacion de clase Cr ( r > 1 ),
donde B[0, 1] denota la bola cerrada de centro en 0 y radio 1 en
Rm . Sea M = graf(f) . Pruebe que M es una superficie m–
dimensional con borde y clase Cr , definiendo explıcitamente las
parametrizaciones. Tambien puede hacerlo usando valores regu-
lares.
12. (a) ¿Puede el grafico de la funcion valor absoluto | · | : R→ R ser
el borde de una superficie 2–dimensional de clase Cr , r > 1 ,
con borde ?
(b) Si M es una superficie compacta con borde ¿Puede ∂M ser
una superficie no compacta?
(c) Sea M una superficie conexa con borde. ¿Es necesariamente
∂M una superficie conexa?
(d) ¿Puede el grafico de la funcion f : R→ R dada por f(x) =
| sen(x)|1/2 ser el borde de una superficie 2–dimensional de
clase Cr , r > 1 , con borde?
332 Superficies con Borde
Capıtulo 10
Calculo Integral
En este capıtulo estudiaremos el concepto de integral, primero para fun-
ciones de variable real a valores en algun espacio euclidiano, y enseguida
para funciones de varias variables a valores reales. Los conceptos mas
importantes tratados aquı son: integral, conjuntos de medida nula, con-
juntos de contenido cero.
10.1 Integral de Caminos
Sea f : [a, b] → Rn un camino. Escribimos f = (f1, . . . , fn) , donde
fi : [a, b] → R (i = 1, . . . , n) son las funciones coordenadas de f . Como
cada funcion coordenada es una funcion real a valores reales, sabemos
como definir (y calcular, cuando es posible hacerlo en forma exacta) su
integral. Decimos que un camino f : [a, b] → Rn , f = (f1, . . . , fn) es
integrable si cada funcion coordenada fi : [a, b] → R es integrable, y
definimos la integral del camino f como el vector
∫ b
af =
(∫ b
af1, . . . ,
∫ b
afn
).
333
334 Calculo Integral
Las siguientes propiedades son faciles de demostrar (pues se reducen
al caso de funciones reales a valores reales) y se dejan a cargo del lector.
Teorema 10.1 Sean f, g : [a, b] → Rn caminos integrables. En-
tonces para cualquier numero real λ y cualquier transformacion lineal
T : Rn → Rm los caminos f ± g , λf y T f son integrables. Ademas,
1.∫ b
a(f ± g) =
∫ b
af ±
∫ b
ag ;
2.∫ b
aλf = λ
∫ b
af ;
3.∫ b
aT f = T
(∫ b
af
);
4.∣∣∣∣∣∣∣∣∫ b
af
∣∣∣∣∣∣∣∣ 6
∫ b
a‖f‖ = (b − a)‖f‖ , donde ‖f‖ denota la norma
sobre el espacio de funciones acotadas, la cual es definida por
‖f‖ = sup‖f(t)‖ : a 6 t 6 b .
Teorema 10.2 Sea f : [a, b] → Rn un camino integrable. Para todo
c ∈ [a, b] se tiene ∫ b
af =
∫ c
af +
∫ b
cf .
Teorema 10.3 Sea f : [a, b] → Rn un camino integrable. Definamos
el camino F : [a, b] → Rn por F (x) =∫ xa f(t) dt . Entonces F es
un camino continuo. Ademas, si el camino f es continuo entonces el
camino F es de clase C1 y dFdx (x) = f(x) .
Corolario 10.4 Sea U ⊂ Rm un conjunto abierto. Dada una apli-
cacion f : U → Rn de clase Cr (r > 1), supongamos que que el
segmento de recta [x, x + h] = x + th : 0 6 t 6 1 esta contenido en
U . Entonces
f(x + h)− f(x) =∫ 1
0Df(x + th)h dt .
Sergio Plaza 335
Demostracion. Consideremos el camino θ : [0, 1] → Rn dado por
θ(t) = f(x + th) . Es claro que el camino θ es de clase Cr y sa-
tisface θ(0) = f(x) , θ(1) = f(x + h) , y por la regla de la cadena
θ′(t) = Df(x + th)h , aplicando el teorema anterior el resultado se sigue
inmediatamente.
Recuerdo. Sea P = t0, . . . , tk , con t0 = a < t − 1 < · · · < tk = b ,
una particion de [a, b] . Usamos la notacion |P| = max|ti − ti−1| :
i = 1, . . . , k para denotar la norma de la particion P . Recordemos
una funcion g : [a, b] → R es rectificable si existe un numero real `(g) ,
tal que para cada ε > 0 dado, existe δ > 0 con la propiedad que si
P = t0, . . . , tk , con t0 = a < t1 < · · · < tk = b es una particion de
[a, b] entonces
|P| < δ implica
∣∣∣∣∣`(g)−k∑
i=1
|g(ti)− g(ti−1)|∣∣∣∣∣ < ε .
Podemos definir el numero
`(g,P) =k∑
i=1
|g(ti)− g(ti−1)|
y tenemos que `(g) = lim|P|→0 `(g,P) .
Ahora si g : [a, b] → R es de clase Cr (r > 1) entonces, usando el
Teorema del Valor Medio del calculo diferencial, se prueba que
`(g) =∫ b
a|g′| .
Ahora, sea f : [a, b] → Rn es un camino, f = (f1, . . . , fn) . Decimos
que f es rectificable si cada funcion coordenada fi : [a, b] → R (i =
1, . . . , n) es rectificable. Notemos que si, P es una particion de [a, b]
entonces `(f,P) = (`(f1,P), . . . , `(fn,P)) . Si f es rectificable, se define
336 Calculo Integral
su longitud como
`(f) = lim|P|→0
||`(f,P)|| =∣∣∣∣∣∣∣∣(
lim|P|→0
`(f1,P), . . . , lim|P|→0
`(fn,P)∣∣∣∣
∣∣∣∣ .
De modo analogo al caso de funciones de variable real a valores reales
se prueba, en este caso, que si f es un camino de clase Cr (r > 1)
entonces la longitud de f es dada por
`(f) =∫ b
a‖f ′(t)‖ dt =
∫ b
a
√(f ′1(t))2 + · · ·+ (f ′n(t))2 dt .
10.2 Integrales Multiples
Un rectangulo compacto en Rm es un conjunto R de la forma [a1, b1]×· · · × [am, bm] , donde [aj , bj ] es un intervalo compacto.
Definicion 10.1 Una particion de un rectangulo compacto R = [a1, b1]×· · ·× [am, bm] es una coleccion P = P1, . . . , Pm , donde Pi es una par-
ticion del intervalo compacto [ai, bi] , para i = 1, . . . ,m , .
Sea P una particion del rectangulo R ⊂ Rm . Si Pi divide al intervalo
[ai, bi] en Ni intervalos entonces P divide a R en N = N1 ·N2 · · ·Nm
subrectangulos, llamados subrectagulos de la particion
Dado un rectangulo compacto R ⊂ Rm y una particion P de R .
Sea f : R → R una funcion acotada. Para cada subrectangulo Rk de
R definimosmRk
(f) = inff(x) : x ∈ RkMRk
(f) = supf(x) : x ∈ Rk .
Si R = [a1, b1]×· · ·× [am, bm] es un rectangulo, definimos su volumen
como vol(R) = (b1 − a1) · · · (bm − am) .
Observacion. En lo que sigue, solo consideramos rectangulos com-
pactos, salvo mencion contraria explıcita.
Sergio Plaza 337
Definicion 10.2 La suma inferior y la suma superior de f correspon-
dientes a una particion P son definidas, respectivamente, por
s(f,P) =∑
S
mS(f) vol(S) y S(f,P) =∑
S
MS(f) vol(S) ,
donde la suma es tomada sobre todos los subrectangulos S de la particion
P del rectangulo R .
Desde la definicion es claro que mS(f,P) 6 MS(f,P) para todo
subrectangulo S de la particion P de R , y por lo tanto s(f,P) 6S(f,P) .
Definicion 10.3 Sean P y P ′ particiones de R . Decimos que P ′es una pariticion mas fina que P si, cada subrectangulo de P es una
union finita de subrectangulo de P ′ .
Lema 10.1 Sea R ⊂ Rm un rectangulo y sea f : R → R una funcion
acotada. Sean P ′ y P particiones de R ⊂ Rm . Si P ′ es mas fina que
P entonces s(f,P) 6 s(f,P ′) y S(f,P ′) 6 S(f,P)
Demostracion. Cada rectangulo Rj de P se divide en varios sub-
rectangulos Rj,1, . . . , Rj,α de P ′ , de modo que vol(Rj) = vol(Rj,1) +
· · · + vol(Rj,α) . Es claro que mRj (f) 6 mRj,i(f) , para cada i =
1, . . . , α , puesto que los valores f(x) para x ∈ Rj incluyen todos los
valores f(x) cuando x ∈ Rj,i , y posiblemente otros menores. Luego,
mRj (f) vol(Rj) = mRj (f) vol(Rj,1) + · · ·+ mRj (f) vol(Rj,α)
6 mRj,1(f) vol(Rj,1) + · · ·+ mRj,α(f) vol(Rj,α) ,
de donde se concluye que s(f,P) 6 s(f,P ′) . De modo analogo se prueba
que S(f,P ′) 6 S(f,P) .
338 Calculo Integral
Corolario 10.5 Sean P y P ′ particiones de un rectangulo R ⊂ Rm
y sea f : R → R una funcion acotada. Entonces s(f,P ′) 6 S(f,P) .
Demostracion. Tomemos la particion P ′′ = P ∪ P ′ de R . Tenemos
entonces que s(f,P ′) 6 s(f,P ′′) 6 S(f,P ′′) 6 S(f,P) .
Dado un rectangulo R ⊂ Rm y una funcion acotada f : R → R .
Definimos la coleccion P(R) = P : P es una particion de R de
las particiones del rectangulo R , y las colecciones Σinf(f) = s(f,P) :
P ∈ P(R) y Σsup(f) = S(f,P) : P ∈ P(R) de las sumas inferiores
y superiores, respectivamente. Tenemos que cada elemento s ∈ Σinf(f)
es menor o igual que que cada elemento S ∈ Σsup(f) , esto es, cada
elemento s ∈ Σinf(f) es una cota inferior de Σsup(f) y cada elemento
S ∈ Σsup(f) es una cota superior de Σinf(f) . Por lo tanto sup Σinf(f) 6inf Σsup(f) .
Definicion 10.4 Sea R ⊂ Rm un rectangulo compacto. Sea f : R →R es una funcion acotada. Se definen
supΣinf(f) =∫
R
f y inf Σsup(f) =∫
Rf ,
y son llamadas, respectivamente, integral inferior e integral superior de
f sobre R .
Definicion 10.5 Sea R ⊂ Rm un rectangulo y sea f : R → R una
funcion acotada. Decimos que f es integrable sobre R si supΣinf(f) =
inf Σsup(f) . El valor comun es llamado integral de f sobre R y es
denotado por∫R f o bien por
∫R f(x1, . . . , xm)dx1 · · · dxm .
Tenemos entonces que f : R → R es integrable si, y solo si,∫
Rf =
∫Rf .
Sergio Plaza 339
Como en el caso de funciones de variable real a valores reales, tenemos
el siguiente teorema, cuya prueba es facil y se deja al lector.
Teorema 10.6 Sea R ⊂ Rm un rectangulo compacto. Sean f, g :
R → R funciones acotadas e integrables entonces las funciones f + g y
λf , donde λ ∈ R es una constante, |f | , f · g , y f2 son integrables.
Ademas, se tiene∫R(f + g) =
∫R f +
∫R g ,
∫R λf = λ
∫R f ,
∣∣∫R f
∣∣ 6∫R |f | , y | ∫R f | 6 ||f || vol(R) , donde ||f || = sup|f(x)| : x ∈ R .
Teorema 10.7 Sea R ⊂ Rm un rectangulo, y sea f : R → R una
funcion acotada. Entonces f es integrable sobre R si, y solo si, para
cada ε > 0 dado existe una particion P ∈ P(R) , tal que S(f,P) −s(f,P) < ε .
Demostracion. Si la condicion vale, entonces claramente se tiene que
supΣinf(f) = inf Σsup(f) , por lo tanto f es integrable.
Recıprocamente, si f es integrable sobre R entonces sup Σinf(f) =
inf Σsup(f) . Luego para cada ε > 0 dado, existen particiones P,P ′ ∈P(R) con S(f,P)− s(f,P ′) 6 ε . Tomemos una particion P ′′ ∈ P(R)
mas fina que P y que P ′ , tenemos entonces que S(f,P ′′)− s(f,P ′′) 6S(f,P)− s(f,P ′) 6 2ε .
Ejemplos.
1. Sea f : R → R una funcion constante, f(x) = k . Entonces
para cada particion P de R y cada subrectangulo Rj de R se
tiene que mRj (f) = MRj (f) = k , de donde s(f,P) = S(f,P) =∑
Rj∈P k vol(Rj) = k vol(R) , por lo tanto f es integrable sobre
R y∫R f = k vol(R) .
340 Calculo Integral
2. Sea f : [0, 1]× [0, 1] → R definida por
f(x, y) =
0 si x es racional
1 si x es irracional .
Si P ∈ P([0, 1]×[0, 1]) entonces cada subrectangulo Rα de [0, 1]×[0, 1] contiene puntos (x1, y1) con x1 racional y puntos (x2, y2)
con x2 irracional. Por lo tanto, mR(f) = 0 y MR(f) = 1 , de
esto obtenemos que s(f,P) =∑
Rα∈P 0 vol(Rα) = 0 y S(f,P) =∑
Rα∈P 1 vol(Rα) = vol([0, 1]× [0, 1]) = 1 , esto muestra que f no
es integrable.
10.3 Conjuntos de Medida Cero y Conjuntos
de Contenido
En esta seccion introducimos los conceptos de medida y de contenido
de conjuntos, los cuales nos permitiran estudiar mas profundamente la
integral.
Definicion 10.6 Un subconjunto A ⊂ Rm tiene medida m–dimensional
cero si, para cada ε > 0, existe un cubrimiento numerable U1, U2, . . .de A por rectangulos compactos, tal que
∑i>1 vol(Ui) < ε .
Es inmediato ver que si A ⊂ Rm tiene medida m–dimensional cero y
B ⊂ A entonces B tiene medida m–dimensional cero.
Observacion. En la definicion anterior podemos usar rectangulos abier-
tos en lugar de rectangulos compactos, los resultados no varıan en nada.
Ejemplos
1. Todo conjunto finito tiene medida cero. Esto es inmediato.
Sergio Plaza 341
2. Todo conjunto numerable tiene medida cero.
En efecto, sea A ⊂ Rm un conjunto numerable. Ordenamos
los puntos de A formando una sucesion a1, a2, . . . . Para cada
ε > 0 dado, elegimos un rectangulo compacto Ui con ai ∈ Ui y
vol(Ui) < ε/2i . Tenemos entonces que∑∞
i=1 vol(Ui) 6∑∞
i=1 ε/2i =
ε , lo que prueba la afirmacion. Por ejemplo, A = x ∈ [0, 1] :
x es racional es numerable, por lo tanto tiene medida 1–dimensional
cero en R .
agregar el conjunto de Cantor tercio
Teorema 10.8 Sea A = Ai ⊂ Rm : i > 1 una coleccion numer-
able de conjuntos de medida m–dimensional cero entonces A = ∪i>1Ai
tiene medida m–dimensional cero.
Demostracion. Sea ε > 0 dado. Como cada conjunto Ai de la
coleccion A tiene medida m–dimensional cero, existe un cubrimiento
numerable Ui,1, Ui,2, . . . de Ai por rectangulos compactos tal que∑∞
j=1 vol(Ui,j) < ε/2i . La coleccion de los rectangulos compactos U =
Ui,ji,j>1 es un cubrimiento de A . Definamos un nuevo cubrimiento
V = V2, V3, . . . de A como sigue: V2 = U1,1 , V3 = U1,2 ∪ U2,1 ,
V4 = U1,3 ∪ U2,2 ∪ U3,1 , V5 = U1,4 ∪ U2,3 ∪ U2,3 ∪ U4,1 , y ası sucesiva-
mente. Tenemos que∑∞
k=2 vol(Vk) 6∑∞
i=1 ε/2i = ε .
Definicion 10.7 Sea A ⊂ Rm . Decimos que A tiene contenido m–
dimensional cero si, para cada ε > 0 dado, existe un cubrimiento
finito U1, . . . , Uk de A por rectangulos compactos (o abiertos) tal
que∑k
i=1 vol(Ui) < ε .
Observacion. Es claro que si A ⊂ Rm tiene contenido cero entonces
tiene medida cero. La recıproca es falsa, y dejamos al lector la tarea de
342 Calculo Integral
construir ejemplos.
Recordemos que un subconjunto C ⊂ Rm es compacto si, cada cubrim-
iento de C por conjuntos abiertos contiene un subcubrimiento finito, es
decir, si Oα : α ∈ Λ es un cubrimiento de C por conjuntos abiertos
entonces existe una cantidad finita de ındices, digamos α1, . . . , α` ∈ Λ ,
tal que C ⊂ ∪`i=1Oαi .
Tenemos el siguiente teorema.
Teorema 10.9 Sea A ⊂ Rm un conjunto compacto. Si A tiene me-
dida m–dimensional cero entonces tiene contenido m–dimensional cero.
Demostracion. Sea ε > 0 dado. Como A tiene medida cero, exis-
te un cubrimiento numerable U = U1, U2, . . . de A formado por
rectangulos abiertos tales que∑∞
i=1 vol(Ui) 6 ε . Como A es com-
pacto, existe un subcubrimiento finito Ui1 , . . . , Uik ⊂ U de A , y es
claro que∑k
j=1 vol(Uij ) 6 ε .
Observacion. La conclusion del teorema anterior es falsa si A no
es compacto. Por ejemplo, consideremos el conjunto A = x ∈ [0, 1] :
x es racional . Vimos que A tiene medida 1–dimensional cero. Vamos
a mostrar ahora que no tiene contenido 1–dimensional cero. Para esto
supongamos que A tiene contenido cero y que [a1, b1] , . . . , [ak, bk] es un cubrimiento de A . Entonces A esta contenido en el conjunto
compacto [a1, b1]∪ · · ·∪ [ak, bk] , por lo tanto, tomando clausura se tiene
que A = [0, 1] ⊂ [a1, b1] ∪ · · · ∪ [ak, bk] y que∑k
i=1(bi − ai) > 1 para
todo cubrimiento de este tipo, por lo tanto A no tiene contenido cero.
Otro ejemplo mas simple es considerar A = N . Se tiene que N tiene
medida 1–dimensional cero (por ser numerable), pero no tiene contenido
1–dimensional cero como es facil de verificar.
Sergio Plaza 343
Sea f : A ⊂ Rm → R una funcion acotada. Si f no es continua en un
punto x0 ∈ A , la medida de la discontinuidad de f en x0 se obtiene
como sigue: sea δ > 0 dado, definimos los numeros M(f, x0, δ) =
supf(x) : x ∈ A y ||x − x0|| < δ y m(f, x0, δ) = inff(x) : x ∈A y ||x− x0|| < δ .
Definicion 10.8 La oscilacion de f : A ⊂ Rm → R en x ∈ A ,
denotada por O(f, x) , es
O(f, x) = limδ→0
(M(f, x, δ)−m(f, x, δ)) .
Observacion. El lımite en la definicion anterior existe siempre, pues no
es dıficil probar que M(f, x, δ)−m(f, x, δ) es una funcion no creciente
y positiva de δ cuando δ → 0 .
Teorema 10.10 Sean R ⊂ Rm un rectangulo y f : R → R . En-
tonces f es continua en x0 ∈ R si, y solo si, O(f, x0) = 0 .
Demostracion. Si f es continua en x0 entonces para cada ε > 0 dado,
existe δ > 0 tal que x ∈ R y ||x−x0|| < δ implica |f(x)− f(x0)| < ε ,
es decir, −ε+f(x0) 6 f(x) 6 ε+f(x0) , por lo tanto, m(f, x0, ε) > −ε+
f(x0) y M(f, x0, ε) 6 ε + f(x0) . Luego M(f, x0, δ)−m(f, x0, δ) < 2ε ,
de donde O(f, x0) = 0 . La prueba de la recıproca es inmediata.
Teorema 10.11 Sea A ⊂ Rm un conjunto cerrado. Si f : A → R
es una funcion acotada y ε > 0 es arbitrario. Entonces el conjunto
B = x ∈ A : O(f, x) > ε es cerrado.
Demostracion. Tenemos que B es cerrado si, y solo si, su comple-
mento Rm−B es abierto. Sea x ∈ Rm−B entonces o bien x /∈ A o bien
x ∈ A y O(f, x) < ε . En el primer caso, como A es cerrado, existe un
344 Calculo Integral
rectangulo abierto O que contiene a x tal que O ⊂ Rm−A ⊂ Rm−B .
En el segundo caso, existe δ > 0 tal que M(f, x, δ)−m(f, x, δ) < ε . Sea
O un rectangulo abierto que contiene a x y tal que ||x− y|| < δ para
todo y ∈ O . Entonces, si y ∈ O existe δ1 > 0 tal que ||x − z|| < δ
para todo z tal que ||z − y|| < δ1 . Luego, M(f, z, δ)−m(f, z, δ) < ε ,
y por lo tanto O(f, z) < ε , de donde O ⊂ Rm − B . Esto termina la
prueba.
El siguiente resultado es uno de los mas importante en la teorıa de
integracion que estamos desarrollando.
Teorema 10.12 Sea R ⊂ Rm un rectangulo compacto y sea f : R →R una funcion acotada. Denotemos por D(f) el conjunto de puntos de
discontinuidad de f . Entonces f es integrable sobre R si, y solo si,
D(f) tiene medida cero.
Demostracion. Supongamos que D(f) tiene medida m–dimensional
cero. Cubrimos D(f) por una cantidad numerable de rectangulos abier-
tos int(R1), int(R2) . . . , donde cada Ri es un rectangulo compacto y∑
i>1 vol(Ri) < ε . Ahora, para cada punto x ∈ R − D(f) pode-
mos elegir un rectangulo abierto int(Rx) que contiene a x tal que
|f(y) − f(x)| < ε para y ∈ R ∩ int(Rx) , esto pues f es continua
en un tal x . Los conjuntos abiertos int(Rx) para cada x ∈ R−D(f) e
int(Ri) , para i = 1, 2, . . . cubren R . Como R es compacto, podemos
elegir una subcoleccion finita de tales conjuntos abierto que aun cubren
a R , digamos int(R1), . . . , int(Rk), int(Rx1), . . . , int(Rx`) . Denotemos,
por conveniencia, los rectangulos del tipo Rxj simplemente por R′j .
La coleccion de rectangulos R1, . . . , Rk satisface∑k
i=1 vol(Ri) < ε ,
y los rectangulos R′j satisfacen la condicion |f(x) − f(y)| < 2ε para
x, y ∈ R′j ∩R .
Sergio Plaza 345
Manteniendo la notacion, reemplazamos cada rectangulo Ri y cada
rectangulo R′j por su interseccion con R . Es claro que las nuevas colec-
ciones rectangulo Ri y R′j cubren R y satisfacen las respectivas
condiciones anteriores.
Ahora, los puntos extremos de los rectangulos R1, . . . , Rk, R′1, . . . , R
′`
nos permiten definir una particion P de R . Tenemos entonces que cada
rectangulo Ri y R′j es determinado por union de subrectangulos de P .
Dividimos la coleccion de todos los subrectangulos de R determi-
nados por P en dos subcolecciones disjuntas R y R′ , de modo que
cada rectangulo R ∈ R esta contenido en algun rectangulo Ri , y cada
rectangulo R ∈ R′ esta contenido en algun subrectangulo R′j . Luego
∑R∈R(MR(f)−mR(f)) vol(R) 6 2M
∑R∈R vol(R) y
∑R∈R′(MR(f)−
mR(f)) vol(R) 6 2ε∑
R∈R vol(R) , estas desigualdades siguen de |f(x)−f(y)| 6 2M para cada x e y en un rectangulo R ∈ R , y |f(x)−f(y)| 6ε para cada x e y en un rectangulo R ∈ R′ . Ahora,
∑
R∈Rvol(R) 6
k∑
i=1
∑
R⊂Ri
vol(R)
=
k∑
i=1
vol(Ri) < ε
y tambien∑
R∈R′vol(R) 6
∑
R⊂R′j
vol(R) = vol(Rj) .
Luego, S(f,P) − s(f,P) < (2M + 2 vol(R))ε . Lo cual termina la
prueba de esta parte.
Para la recıproca observemos que si f es continua en x0 entonces dado
ε > 0 podemos elegir δ > 0 de modo que |f(x)− f(x0)| < ε para todo
x ∈ R con ||x−x0|| < δ . De esto se sigue que, M(f, x0, δ) 6 f(x0)+ ε
y m(f, x0, δ) > f(x0) − ε , y por lo tanto O(f, x0) 6 2ε , de donde
O(f, x0) = 0 .
346 Calculo Integral
Ahora supongamos que f es integrable sobre R . Para cada entero
positivo k sea Dk = x : O(f, x) > 1/k . Entonces el conjunto de las
discontinuidades de f es ∪k>1Dk . Por lo tanto es suficiente mostrar
que cada uno de esos conjuntos Dk tiene medida m–dimensional cero.
Fijemos k > 1 . Dado ε > 0 vamos a cubrir Dk por una cantidad
numerable de rectangulos de volumen total menor que ε .
Elijamos una particion P de R tal que M(f,P)−m(f,P) < ε/(2k) .
Sea D′k el conjunto de puntos de Dk que pertenecen a ∂R para algun
subrectangulo Rj de P ; y sea D′′k el conjunto de los restantes puntos
de Dk . Cubrimos los conjuntos D′k y D′′
k por rectangulos con volumen
total menor que ε/2 .
Para D′k esto es facil de hacer, pues dado un rectangulo Q se tiene
que ∂Q tiene medida cero en Rm , luego ∪Rj∈P∂Rj tiene medida cero,
y como D′k esta contenido en esta union, se sigue que D′
k tiene medida
cero.
Ahora consideremos D′′k . Sean R1, . . . , R` aquellos rectangulos de-
terminados por P que contienen puntos de D′′k . Vamos a mostrar que
el volumen total de esos subrectangulos es menor que ε/2 . Dado i el
rectangulo Ri contiene un punto x0 de D′′k . Como x0 /∈ ∂Ri , existe
δ > 0 tal que el rectangulo de lado δ centrado en x0 esta contenido en
Ri . Entonces
1k
6 O(f, x0, δ) 6 M(f, x0, δ)−m(f, δ) 6 MRi(f)−mRi(f) .
De esto tenemos
∑
i=1
1k
vol(Ri) 6 S(f,P)− s(f,P) <ε
2k.
Esto muestra que∑`
i=1 vol(Ri) < ε/2 . Lo que finaliza la prueba del
teorema.
Sergio Plaza 347
Como consecuencia del teorema anterior tenemos el siguiente teorema
Teorema 10.13 Sea R ⊂ Rm un rectangulo compacto y sea f : R →R una funcion acotada e integrable sobre R .
(a) Si f es nula, excepto sobre un conjunto de medida cero, entonces∫R f = 0 .
(b) Si f es no negativa y∫R f = 0 , entonces f es nula, excepto,
sobre un conjunto de medida cero.
Demostracion. Tenemos definidas las integrales superior e inferior de
f sobre R como∫
Rf = inf Sumsup(f) y
∫
R
f = supSuminf(f) ,
respectivamente.
(a)) Sea E ⊂ Rm el conjunto de medida m–dimensional cero sobre el
cual f es no cero. Sea P una particion de R . Si Rα es un sub-
rectangulo determinado por P , entonces Rα no esta contenido en E ,
luego f se anula sobre un punto de Rα , de donde mRα(f) 6 0 y
MRα(f) > 0 , por lo tanto s(f,P) 6 0 y S(f,P) > 0 . Como estas
desigualdades valen para toda particion P de R , se tiene que∫
R
f 6 0 y∫
Rf > 0
Como∫R f existe, se debe tener que la integral inferior y la integral
superior de f sobre R son iguales a la integral de f sobre R , por lo
tanto∫R f = 0 .
(b)) Como f es integrable, el conjunto de discontinuidad de f tiene
medida m–dimensional cero, por lo tanto podemos suponer que f es
348 Calculo Integral
continua, excepto en un conjunto de medida nula. Sea x0 ∈ R y su-
pongamos que f es continua en x0 y que f(x0) > 0 . Sea ε = f(x0) .
Como f es continua en x0 , existe δ > 0 tal que f(x) > ε/2 para
x ∈ R con ||x− x0|| < δ .
Elijamos una particion P de R formada por rectangulos de lado δ . Si
R0 es un subrectagulo determinado por P que contiene a x0 entonces
mR0(f) > ε/2 . Por otra parte, mRα(f) > 0 para todo rectangulo Rα .
Se sigue entonces que s(f,P) =∑
RαmRα(f) vol(Rα) > (ε/2) vol(R0) .
Pero, s(f,P) 6∫R f = 0 , lo cual es una contradiccion, y obtenemos
que f es nula, excepto quiza, sobre un conjunto de medida cero. Esto
completa la prueba.
Sea C ⊂ Rm . La funcion caracterıstica o indicatriz, XC : Rm → R ,
es definida por
XC(x) =
1 si x ∈ C
0 si x /∈ C .
Si C ⊂ Rm es tal que existe un rectangulo compacto R , con C ⊂R , y f : R → R es una funcion acotada tal que XC f es integrable,
definimos∫C f como ∫
Cf =
∫
Rf · XC .
Debemos tener condiciones para saber cuando f · XC es integrable.
Tenemos ahora el siguiente teorema
Teorema 10.14 Sea R ⊂ Rm un rectangulo compacto y sea C ⊂ R .
Supongamos que el borde de C tiene medida cero entonces la funcion
caracterıstica XC : R → R es integrable.
Demostracion. Si x ∈ int(C) entonces existe un rectangulo abierto
U , con x ∈ U ⊂ C . Luego XC(y) = 1 para todo y ∈ U , y por lo tanto
Sergio Plaza 349
continua en x . Analogamente, si x ∈ int(Rm−C) , existe un rectangulo
abierto U con x ∈ U y U ⊂ Rm−C , por lo tanto XC(y) = 0 para todo
y ∈ U , luego XC es continua en x . Finalmente, si x ∈ ∂C entonces
cada rectangulo abierto U con x ∈ U contiene un punto y1 ∈ U ∩C y
un punto y2 ∈ U ∩ (Rm−C) . Ahora, como XC(y1) = 1 y XC(y2) = 0 ,
se tiene que x ∈ R : XC no es continua en x = ∂C , y el resultado
sigue del teorema anterior.
Definicion 10.9 Un conjunto es medible Jordan si, su borde tiene me-
dida m–dimensional cero. La integral∫C 1 es llamado el contenido m–
dimensional o volumen de C .
Observemos que si C ⊂ Rm es medible Jordan entonces XC es inte-
grable sobre C .
Dar Ejemplos
10.4 Calculo de Integrales
El problema de calcular integrales se resuelve, en cierta forma, usando el
Teorema de Fubini, el cual reduce el problema de calcular una integral
multiple al calculo iterativo de integrales de funciones de una variable.
Teorema 10.15 (Fubini) Sean A ⊂ Rm y B ⊂ Rn rectangulos com-
pactos, y sea f : A×B → R una funcion integrable. Para cada x ∈ A ,
sea gx : B → R definida por gx(y) = f(x, y) , y sean
L(x) =∫
B
gx =∫
B
f(x, y)dy
U(x) =∫
Bgx =
∫
Bf(x, y)dy .
350 Calculo Integral
Entonces las funciones L y U son integrables sobre A y
∫
A×Bf =
∫
AL =
∫
A
(∫
B
f(x, y)dy
)dx
∫
A×Bf =
∫
AU =
∫
A
(∫
Bf(x, y)dy
)dx
( las integrales del segundo miembro de las igualdades arribas son lla-
madas integrales iteradas de f ).
Demostracion. Sean PA y PB particiones de los rectangulos A y B ,
respectivamente. En A×B consideramos la particion P = PA×PB , la
cual es formada por subrectangulos de la forma Rα = RA ×RB , donde
RA es un subrectangulo de la particion PA y RB es un subrectangulo
de la particion PB . Tenemos que
s(f,P) =∑
Rα∈PmRα(f) vol(Rα)
=∑
RA,RB
mRA×RB(f) vol(RA ×RB)
=∑
RA
(∑
RB
mRA×RB(f) vol(RB)) vol(RA) .
Ahora, si x ∈ RA entonces mRA×RB(f) 6 mRB
(gx) . Luego, para
cada x ∈ RA tenemos
∑
RB
mRA×RB(f) vol(RB) 6
∑
RB
mRB(gx) vol(RB) 6
∫
B
gx = L(x) .
Por lo tanto,
∑
RB
mRA×RB(f) vol(RB) vol(RA) 6
∑
RB
mRB(gx) vol(RB) vol(RA)
6 mRA(L,PA) ,
Sergio Plaza 351
de donde se obtiene que
s(f,P) 6∑
RA
∑
RB
mRA×RB(f) vol(RB)
vol(RA) 6 s(L,PA) . (10.1)
De modo analogo se demuestra que S(U ,PA) 6 S(f,P) .
De lo anterior deducimos que
s(f,P) 6 s(L,P) 6 S(L,PA) 6 S(U ,PA) 6 S(f,P) .
Como f es integrable, se tiene que
supPs(f,P) = inf
PS(f,P) =
∫
A×Bf ,
donde tanto el supremo como el ınfimo son tomados sobre todas las
particiones P de A×B . Por lo tanto se tiene
sups(L,PA) = infS(L,PA) =∫
A×Bf ,
es decir, L es integrable y∫A L =
∫A×B f . Finalmente, para U , con-
siderando las desigualdades
s(f,P) 6 s(L,PA) 6 s(U ,PA) 6 S(U ,PA) 6 S(f,P)
se obtiene el resultado de modo analogo al caso anterior.
Observaciones.
1. De modo analogo se prueba que
∫
A×Bf =
∫
B
(∫
A
f(x, y)dx
)dy =
∫
B
(∫
Af(x, y)dx
)dy
esta son las integrales iteradas de f en orden inversa a las que
aparecen en el enunciado del Teorema de Fubini.
352 Calculo Integral
2. Si gx es integrable entonces se tiene (de inmediato) que∫A×B f =
∫A
(∫B f(x, y)dy
)dx , esto ocurre, por ejemplo, cuando f es con-
tinua.
3. Lo usual es que gx sea integrable, salvo para un conjunto finito
de puntos de A , en este caso la funcion L(x) =∫B f(x, y)dy esta
bien definida, salvo un numero finito de puntos. Por otra parte, si
el valor de L es alterado en un numero finito de puntos el valor
de∫A L no se altera, por lo tanto podemos como antes escribir
∫A×B f =
∫A
(∫B f(x, y)dy
)dx , siempre y cuando
∫B f(x, y)dy
se defina de modo arbitrario, por ejemplo, asignandole el valor 0
cuando no exista.
4. Existen casos en los cuales no podemos proceder como en el item
3, anterior y debemos aplicar el Teorema de Fubini tal y cual fue
establecido arriba. Por ejemplo, consideremos la funcion f [0, 1]×[0, 1] → R definida por
f(x, y) =
1 si x es irracional
1 si x es racional e y es irracional
1− 1/q si x = p/q es irreducible e y es racional
Se tiene que f es integrable sobre [0, 1]×[0, 1] y que∫[0,1]×[0,1] f =
1 . Por otra parte, tenemos que∫[0,1] f(x, y)dy = 1 si x es
racional, y no existe cuando x es racional. Por lo tanto h(x) =∫[0,1] f(x, y)dy no es integrable, aun cuando la definamos como
siendo igual a 0 cuando la integral no existe. En consecuencia,
debemos aplicar el Teorema de Fubini tal como fue establecido.
Sergio Plaza 353
5. Sea f : [0, 1]× [0, 1] → R definida por
f(x, y) =
12 si y es racional
x si y es irracional.
Entonces∫ 10 (
∫ 10 fdy)dx = 1
2 , pero∫ 10 (
∫ 10 fdx)dy no existe.
En efecto, para y racional se tiene∫ 1
0fdx =
∫ 1
0
12dx =
12
y para y irracional∫ 1
0fdx =
∫ 1
0xdx =
12
.
Por lo tanto,∫ 1
0
(∫ 1
0fdx
)dy =
∫ 1
0
12dy =
12
.
Ahora, procediendo como para funciones de una variable, podemos
mostrar, facilmente, que∫ 10 fdy no existe, por lo tanto no existe
∫ 10 (
∫ 10 fdy)dx . Por otra parte,
∫R f no existe, donde R = [0, 1]×
[0, 1] .
6. Si C ⊂ A×B , podemos utilizar el Teorema de Fubini para calcular∫C f , la cual recordemos es definida como siendo
∫A fXC .
En general, si C ⊂ A × B la mayor dificultad para deducir ex-
presiones para∫C f es determinar C ∩ (x × B) para x ∈ A o
bien C ∩ (A × y) para y ∈ B . Por ejemplo, si es mas facil
determinar esta ultima interseccion, usamos la integral iterada∫C f =
∫B
(∫A f(x, y)XC(x, y)dx
)dy .
354 Calculo Integral
Sea U ⊂ Rm es un conjunto abierto y acotado, entonces existe
un cubrimiento abierto U de U tal que cada elemento O ∈ U esta
contenido en U y es medible Jordan, es decir, ∂O tiene medida m–
dimensional cero, por ejemplo, podemos tomar U = R ⊂ U : R rectangulo abierto .
Sea U uno de tales cubrimientos y sea Φ = ϕi : i ∈ Λ una particion
de la unidad subordinada a U . Si f : U → R es tal que para cada
ϕ ∈ Φ , la funcion ϕ · f es integrable. (note que (ϕ · f)(x) = 0 para
x /∈ sop(f) ), definimos∫
Uf =
∑
ϕ∈Φ
∫
Uϕ · f .
Tenemos que demostrar que∫U f esta bien definida (esto es, la suma
del lado derecho en la igualdad arriba es convergente) y que no depende
de la particion de la unidad usada para definirla.
Teorema 10.16 Sea U ⊂ Rm un conjunto acotado. Sean U un cu-
brimiento abierto de U como arriba, y Φ una particion de la unidad
subordinada a U . Si f : U → R es una funcion acotada y el conjunto
de las discontinuidades de f tiene medida cero. Entonces
∑
ϕ∈Φ
∫
Uϕ · f
es convergente. Ademas, si V es otro cubrimiento abierto de U y Ψ
es una particion de la unidad subordinada a V entonces
∑
ϕ∈Φ
∫
Uϕ · f =
∑
ψ∈Ψ
∫
Uψ · f .
Demostracion. Como U ⊂ Rm es acotado, existe un rectangulo com-
pacto R ⊂ Rm que contiene a U y como f es acotada, existe una
constante M > 0 tal que |f(x)| 6 M para todo x ∈ U . Luego,
Sergio Plaza 355
∫U |ϕf | 6
∫U M |ϕ| . Ahora, para cualquier coleccion finita F ⊂ Φ , se
tiene∑
ϕ∈F
∣∣∣∣∫
Uϕf
∣∣∣∣ 6∑
ϕ∈F
∫
U|ϕf | 6 M
∑
ϕ∈F
∫
U|ϕ| = M
∫
U
∑
ϕ∈Fϕ .
En R se tiene que∑
ϕ∈F ϕ 6∑
ϕ∈Φ ϕ = 1 . Luego,
∑
ϕ∈F|∫
Uϕf | 6
∑
ϕ∈FM
∫
Uϕ = M
∫
U
∑
ϕ∈Fϕ 6 M
∫
R1 6 M vol(R) .
Por lo tanto∑
ϕ∈Φ |∫U ϕf | es convergente, luego
∑ϕ∈Φ
∫U ϕf es
convergente.
Ahora, si Ψ = ψj : j ∈ Γ es otra particion de la unidad subordi-
nada a V , entonces la coleccion de todas las funciones ϕ ·ψ , con ϕ ∈ Φ
y ψ ∈ Ψ tambien es una particion de la unidad para U . Tenemos que,
ϕ · f = 0 , excepto sobre un conjunto compacto C , y solo un numero
finito de funciones ψ’s son no cero sobre C . Podemos escribir,
∑
ϕ∈Φ
∫
Uϕf =
∑
ϕ∈Φ
∫
U
∑
ψ∈Ψ
ψ ϕ f
=∑
ϕ∈Φ,ψ∈Ψ
∫
U(ψ ϕ f)
=∑
ψ∈Ψ
∫
U
∑
ϕ∈Φ
ψ ϕ f
=∑
ψ∈Ψ
∫
Uψ f .
Esto completa la demostracion del Teorema.
Si U ⊂ Rn es medible Jordan y f : U → R es una funcion acotada,
tenemos dos definiciones para∫U f . Afirmamos que ellas coinciden, es
decir,∫U f =
∫R f · ξU y
∫U f =
∑ϕ∈Φ
∫ϕf .
356 Calculo Integral
En efecto, sea ε > 0 es dado, entonces existe un conjunto compacto
C ⊂ U tal que∫U−C 1 < ε (pruebe esto). Ademas, solo un numero
finito de ϕ ∈ Φ son distinto de cero en C . Sea F ⊂ Φ una coleccion
finita que contiene a las ϕ’s que son no cero en C entonces
∣∣∣∣∣∣
∫
Uf −
∑
ϕ∈F
∫
Uϕ · f
∣∣∣∣∣∣6
∫
U|f | |1−
∑
ϕ∈Fϕ|
6 M
∫
U(1−
∑
ϕ∈Fϕ)
= M
∫
U
∑
ϕ∈Φ−Fϕ
6 M
∫
U−C1 < Mε .
Por lo tanto∑
ϕ∈F∫U ϕf =
∫U f . Lo que completa la prueba de la
afirmacion.
10.5 Teorema del Cambio de Variable
Sean I = [a, b] ⊂ R y g : I → R una funcion integrable de clase C1 ,
con g′(x) 6= 0 para todo x ∈ ]a, b[ entonces el conjunto J = g(I) es un
intervalo compacto con puntos extremos g(a) y g(b) . Si f : J → R es
una funcion integrable, entonces se tiene que∫
Jf =
∫ b
a(f g)|g′| .
Este es el Teorema del Cambio de Variable en el calculo integral de
funciones a valores reales de variable real. Para el caso de funciones
reales de varias variables, tenemos.
Sergio Plaza 357
Teorema 10.17 (del Cambio de Variable). Sea U ⊂ Rn un conjunto
abierto y acotado, y sea g : U → Rn una funcion inyectiva de clase C1 ,
tal que det(Dg(x)) 6= 0 para todo x ∈ U (esto es, g es un difeomor-
fismo del abierto U sobre el abierto V = g(U) ). Si f : g(U) → R es
una funcion integrable entonces∫
g(U)f =
∫
U(f g)| det(Dg)| .
La demostaracion la haremos a traves de varios lemas.
Lema 10.2 En las hipotesis del Teorema anterior, supongamos que
existe un cubrimiento abierto U de U tal que para cada O ∈ U y cada
f integrable se tiene∫
g(O)f =
∫
O(f g)| det Dg| .
Entonces el Teorema vale para U .
Demostracion. La coleccion g(U) = g(A) : A ∈ U es un cubri-
miento abierto de g(U) . Sea Φ una particion de la unidad subordinada
al cubrimiento g(U) . Si ϕ = 0 fuera de g(A) entonces como g es
inyectiva se tiene que (ϕ · f) g = 0 fuera de A , luego la coleccion
ϕ g : ϕ ∈ Φ es una particion de la unidad subordinada a U . Por
lo tanto, ∫
g(A)ϕ · f =
∫
A((ϕ · f) g) | detDg|
puede ser escrita como∫
g(U)ϕ · f =
∫
U((ϕ · f) g) | detDg| .
Luego∫
g(U)f =
∑
ϕ∈Φ
∫
g(U)ϕ · f
358 Calculo Integral
=∑
ϕ∈Φ
∫
U((ϕ · f) g) |det Dg|
=∑
ϕ∈Φ
∫
U(ϕ g) · (f g)| detDg|
=∫
U
∑
ϕ∈Φ
(ϕ g) · (f g)| detDg|
=∫
U(f g)| detDg| .
Nota. En este lema es la unica parte de la demostracion del Teorema
donde se usa que g es inyectiva sobre todo U .
Lema 10.3 Basta probar el Teorema para f = 1 .
Demostracion. Es claro que si el Teorema vale para f = 1 , entonces
vale para toda funcion constante. Sea R ⊂ g(U) un rectangulo y sea Puna particion de R . Para cada subrectangulo Rα en P , sea fRα(x) =
mRα(f) (funcion constante). Entonces
s(f,P) =∑
Rα
mRα(f) vol(Rα)
=∑
Rα
∫
int(Rα)fRα
=∑
Rα
∫
g−1(int(Rα))(fRα g) |det Dg|
6∑
Rα
∫
g−1(int(Rα))(f g)| detDg|
Sergio Plaza 359
6∫
g−1(Rα)(f g)| detDg| .
Como∫R f = sups(f,P) , se tiene que
∫R f 6
∫g−1(R)(fg)|det Dg| .
Analogamente, si FRα(x) = MRα(f) se prueba que∫
Rf >
∫
g−1(R)(f g)| det Dg| .
Por lo tanto, ∫
Rf =
∫
g−1(R)(f g)| det Dg| .
Lo que completa la prueba del lema.
Tomando g−1 en el lema anterior, se tiene que el Teorema se deduce
suponiendo que ∫
Vf =
∫
g−1(V )(f g)| detDg| ,
donde V esta en el cubrimiento abierto de g(U) .
Lema 10.4 Si el Teorema vale para g : U → Rn y para h : V → Rn
donde g(U) ⊂ V entonces el Teorema vale para h g .
Demostracion. Tenemos que∫
hg(U)f =
∫
h(g(U))f
=∫
g(U)(f h)| det Dh|
=∫
U((f h) g)(| detDh| g) · | detDg|
=∫
U(f (h g))| detD(h g)| .
Que es lo que se deseaba probar.
360 Calculo Integral
Lema 10.5 El Teorema vale si g es una transformacion lineal.
Demostracion. Desde los Lemas 1 y 2, es suficiente probar este lema
para cada rectangulo abierto R , y en este caso se tiene
∫
g(R)1 =
∫
R| detDg| =
∫
R| det g| .
Lema 10.6 Podemos suponer que Dg(x) = I , para cada x ∈ U .
Demostracion. Si T = Dg(x) entonces D(T−1 g)(x) = I . Como el
Teorema vale para T , si vale para T−1 g entonces tambien vale para
g .
Demostracion del Teorema. La demostracion la haremos por in-
duccion sobre la dimension n de Rn .
Primero el Teorema vale para n = 1 . Esto fue probado en el calculo
de una variable.
Supongamos ahora que el Teorema vale para n− 1 .
Para cada x ∈ U basta encontrar un conjunto abierto V ⊂ U con
x ∈ V para el cual el Teorema vale. Ademas, por el Lema 5 .7 podemos
suponer que Dg(x) = I , donde g = (g1, . . . , gn−1) .
Definamos h : U → Rn por
h(x1, . . . , xn) = (g1(x1, . . . , xn), . . . , gn−1(x1, . . . , xn), xn) .
Tenemos que Dh(x1, . . . , xn) = I . Luego por el Teorema de la Funcion
Inversa, existe un abierto U1 ⊂ U con h/U1 inyectiva y det(Dh(y)) 6= 0
para todo y ∈ U1 . Sea k : h(U1) → Rn definida por k(x1, . . . , xn) =
x1, . . . , xn−1, gn(h−1(x1, . . . , xn))) , entonces es inmediato ver que g =
k h , esto es, g es la composicion de dos funciones, cada una de las
Sergio Plaza 361
cuales cambia menos de n coordenadas. Tenemos,
D(gn h−1)(h(x0)) = Dgn(h−1(h(x0))) (Dh(x0))−1
= Dgn(x0) I = Dgn(x0) .
Luego, ∂(gnh−1)∂xn
(h(x0)) = ∂gn
∂xn(x0) , de donde Dk(h(x0)) = I . Por lo
tanto, en un conjunto abierto V con h(x0) ∈ V ⊂ h(U1) , la funcion k
es inyectiva y detDk(x) 6= 0 . Pongamos W = k−1(V ) . Entonces se
tiene que g = k h , donde h : W → Rn , k : V → Rn , y h(W ) ⊂ V .
Luego, basta probar el Teorema para h y k . Haremos la demostracion
para h , para k es facil y se deja al lector.
Demostracion para h . Sea R ⊂ W un rectangulo de la forma R1 ×[an, bn] , donde R1 ⊂ Rn−1 es un rectangulo. Por el Teorema de Fubini,
∫
h(R)1 =
∫
[an,bn]
(∫
h(R1×xn)1 dx1 · · · dxn−1
)dxn .
Sea hxn : R1 → Rn−1 la funcion definida por hxn(x1, . . . , xn−1) =
(g1(x1, . . . , xn), . . . , gn−1(x1, . . . , xn)) . Tenemos que hxn es inyectiva y
det Dhxn(x1, . . . , xn−1) = detDh(x1, . . . , xn) 6= 0 . Ademas,
∫
h(R1×xn)1 dx1 · · · dxn−1 =
∫
hxn (R1)1 dx1 · · · dxn−1 .
362 Calculo Integral
Ahora, como el Teorema vale para n− 1 , tenemos
∫h(R) 1 =
∫
[an,bn]
(∫
hxn(R1)1 dx1 · · · dxn−1
)dxn
=∫
[an,bn]
(∫
R1
| det Dhxn(x1, . . . , xn−1)| dx1 · · · dxn−1
)dxn
=∫
[an,bn]
(∫
R1
| det Dh(x1, . . . , xn)| dx1 · · · dxn−1
)dxn
=∫
R| detDh| .
Esto completa la prueba del Teorema.
Nota. La condicion det(Dg(x)) 6= 0 puede ser eliminada, esto es con-
secuencia del siguiente Teorema.
Teorema 10.18 (Sard) Sea g : U ⊂ Rn → Rn una aplicacion difer-
enciable de clase C1 , con U abierto, y sea S = x ∈ U : det Dg(x) =
0 . Entonces g(S) tiene medida cero.
10.6 Ejercicios
1. Sea U ⊂ Rn un conjunto medible Jordan y sea ε > 0 dado.
Pruebe que existe un conjunto compacto C ⊂ U tal que∫U−C 1 <
ε .
2. Sea f : R→ R definida por
f(x) =
e−1/x2si x > 0
0 si x 6 0.
Sergio Plaza 363
(a) Pruebe que f es C∞.
(b) Defina g : R→ R por g(x) = f(x− a)f(b− x) . Pruebe que
g es C∞, positiva sobre el intervalo ]a, b[ , y cero fuera de
ese intervalo.
(c) Defina h : R→ R por
h(x) =
∫ x−∞ g(t)dt∫∞−∞ g(u)du
.
Pruebe que h es C∞ y que h(x) = 0 para x < a , y h(x) =
1 para x > b , y 0 < h(x) < 1 para x ∈ ]a, b[ .
(d) Use esta funcion h para construir una funcion cototo ψ :
Rn → R.
3. Calcular∫ b
ar(t) dt , donde
(a) r(t) = (et cos(t), et sen(t)) , donde a = 0 y b = 2.
(b) r(t) = (a(senh(t)− t), a(cosh(t)− 1)) , 0 6 t 6 T , y a > 0.
(c) r(t) = ( c2
a cos3(t), c2
b sen3(t)) , donde 0 6 t 6 2π , c2 =
a2 − b2 , y 0 < a < b
4. Sea f : [a, b] → R una funcion de clase C1 , y sea r(t) = (t, f(t)) .
Pruebe que∫ b
a‖r′(t)‖ dt =
∫ b
a
√1 + (f ′(t))2 dt .
5. Si una curva tiene ecuacion y2 = x3 . Encuentre la longitud del
arco que une (1,−1) a (1, 1) .
6. Si una curva tiene una ecuacion de la forma r = f(θ) , en coorde-
nadas polares, y si f es de clase C1 en un intervalo [a, b] . Probar
que la longitud de la grafica de f entre θ = a y θ = b esta dada
por∫ b
a
√(f(θ))2 + (f ′(θ))2 dθ .
364 Calculo Integral
7. Sea r(θ) = (a sen(θ), b cos(θ)) , donde 0 < b < a . Probar que
la grafica de r es una elıpse, y su longitud esta dada por L =
4a
∫ π2
0
√1− k2 sen 2(θ) dθ , donde k =
√a2−b2
a ( k es llamada
excentricidad de la elipse.)
8. Si 0 < b < 4a , sea r(t) =(a(t− sen(t)), a(1− cos(t)), b sen( t
2)).
Probar que la integral de la trayectoria descrita desde t = 0 hasta
t = 2π por r(t) es 8aE(k) , donde E(k) es una integral como la
dada en el ejercicio anterior, con k = 1− b2
16a2 .
Una integral E(k) como las anteriores es llamada Integral Elıptica.
9. Sea f : [0, 1]× [0, 1] → R dada por
f(x, y) =
0 si 0 6 x 6 12
1 si 12 6 x 6 1 .
Probar que f es integrable y que∫
[0,1]×[0,1]f =
12
.
10. Sea f : A → R integrable, donde A ⊂ Rn un rectangulo
compacto y sea g = f , excepto en un conjunto de medida n–
dimensional nula. Probar que g es integrable y que∫
Af =
∫
Ag .
11. Cambie el orden de integracion en la integral∫ 2
−2
∫ 3
y2−1f(x, y)dxdy .
12. Sean f, g : [a, b] → R funciones integrables. Pruebe que∣∣∣∣∫ b
af · g
∣∣∣∣ 6(∫ b
af
)1/2 (∫ b
ag
)1/2
¿En que caso vale la igualdad?
Sergio Plaza 365
13. Encuentre el area encerrada por la curva x2 − xy + y2 = 1 .
14. Calcule la integral∫ 1/3
0
∫ 2x
x/2(x + y)dydx aplicando el cambio de
variables u = 2x− y , y = −x + 2y .
15. Sean A ⊂ Rn un rectangulo y f, g : A → R integrables.
(a) Para cada particion P de A y cada subrectangulo S de P .
Probar que mS(f) + mS(g) 6 mS(f + g) y MS(f + g) 6MS(f)+MS(g) y por lo tanto s(f,P)+s(g,P) 6 s(f +g,P)
y S(f + g,P) 6 S(f,P) + S(g,P) .
(b) Probar que f + g es integrable y que∫
Af + g =
∫
Af +
∫
Ag .
(c) Para cada constante c ∈ R . Probar que∫
Acf = c
∫
Af .
16. Sean A ⊂ Rn rectangulo compacto, y sea f : A → R y P una
particion de A . Probar que f es integrable si, y solo si, para cada
subrectangulo S de P la funcion f/S es integrable, y en este
caso∫
Af =
∑
S∈P
∫
Sf/S .
17. Sea A ⊂ Rn un rectangulo y sean f, g : A → R integrables con
f 6 g . Probar que∫
Af 6
∫
Ag .
18. Sea A ⊂ Rn un rectangulo, sea y f : A → R integrable. Probar
que∣∣∣∣∫
Af
∣∣∣∣ 6∫
A|f | .
19. Si ai < bi , para i = 1, . . . , n. Probar que [a1, b1]× · · · × [an, bn]
no tiene contenido cero.
20.
366 Calculo Integral
(a) Probar que un conjunto no acotado no puede tener contenido
cero.
(b) Dar un ejemplo de un conjunto cerrado de medida cero que
no tenga contenido cero.
21. Pruebe que la frontera de un conjunto de contenido cero tiene
contenido cero.
22. Si A ⊂ Rn tiene medida cero. Construya ejemplos donde A y
∂A no tienen medida cero.
23. Sea f : [a, b] → R una aplicacion continua. Pruebe que graf(f) =
(x, f(x)) : x ∈ [a, b] tiene medida cero.
24. Sea U ⊂ R2 un conjunto abierto y sea f : U → R una aplicacion
de clase C2 . Sea Q un rectangulo contenido en U .
Use el Teorema de Fubini y el Teorema Fundamental del Calculo
para mostrar que ∫
Q
∂2f
∂y∂x=
∫
Q
∂2f
∂x∂y.
25. Sean f, g : S → R . Suponga que f y g son integrables sobre S .
a) Muestre que si f = g excepto sobre un conjunto de medida
nula entonces∫
Sf =
∫
Sg .
b) Si f(x) 6 g(x) para todo x ∈ S y∫
Sf =
∫
Sg . Pruebe que
f y g coinciden excepto sobre un conjunto de medida nula.
26. Sea Ω la region en el primer cuadrante acotada por las parabolas
y = x2 e y = 3x2 y por las hiperbolas xy = 2 y xy = 4 . Haga el
Sergio Plaza 367
siguiente cambio de variable
x = u−1/3v1/3
y = u1/3v2/3
y calcule la integral∫
Ωy2x−1dxdy .
27. Sea R la region del plano acotada por las parabolas y = 2x2 , y =
4x2 , x = y2 , y x = 3y2 . Use el cambio de variable x = u2/3v1/3 ,
y = u1/3v2/3 para calcular la integral∫
Rxydxdy .
28. Calcule∫
Ex2y2 +2y4zdxdydz , donde E = (x, y, z) ∈ R3 : x2 +
y2 6 4 , 0 6 z 6 1
29. Calcule∫
E
√x2 + y2 exp(−(x2+y2+z2))dV , donde E = (x, y, z) ∈
R3 : x2 + y2 + zr 6 1 .
30. Sea R la region acotada por las rectas x + y = 1 , x + y = −1 ,
x− y = −1 . Considere la transformacion u = x + y , v = x− y ,
y calcule∫
Rx2 + 2xy dxdy .
31. Sea E = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6 9 , 0 6 z 6 3 . Calcule∫
E
√x2 + y2 + z2ddxdydz y
∫
E
1√x2 + y2 + z2
dxdydz .
32. Calcule∫
Rxydxdy , donde R = [0, 1]× [0, 1]
33. Calcule∫
Rcos(x + y)dxdy , donde R = [0, π]× [0, π] .
34. Sea R = (x, y) ∈ R2 : x2
a2 + y2
b26 1 . Calcule
∫
Rx2dA .
368 Calculo Integral
35. Sea R = (x, y) ∈ R2 : x2+y2 6 a2 . Calcule∫
Rln(x2+y2)dxdy
y∫R
xy√x2+y2
dxdy .
36. Sea R = [0, 1]×[0, 1]×[0, 1] . Calcule las integrales∫
Rxyz dxdydz
y∫
Rxyz sen(x2 + y2 + z2) dxdydz .
37. Sea R = (x, y, z) ∈ R3 : x2+y2+z2 6 1 , x > 0 , y > 0 , z > 0 .
Calcule∫
Rxyz dV .
38. Sea T el tetraedro con vertices (0, 0, 0) , (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , y
(0, 0, 1) . Sea f una funcion continua sobre el intervalo [0, 1] .
Suponga que ∫ 1
0u2f(u)du = 3
Calcule ∫
Tf(x + y + z)dxdydz .
39. Calcule la integral∫ 1
3
0
∫ 2x
x2
x+ydydx usando el cambio de variable
u = 2x− y , v = −x + 2y .
40. Sea A ⊂ Rn y B ⊂ Rm rectangulos compactos. Sean Q =
A×B y f : Q → R una aplicacion acotada. Pruebe que si∫
Qf
existe entonces∫
Bf(x, y) existe para x ∈ A−D , donde D es un
conjunto de medida nula en Rn .
41. Sean S1, S2 ⊂ Rn conjuntos acotados. Sea f : S1 ∪ S2 → R
una aplicacion acotada. Pruebe que si f es integrable sobre S1 y
sobre S2 entonces f es integrable sobre S1 − S2 , y∫
S1−S2
f =∫
S1
f −∫
S2
f .
Sergio Plaza 369
42. Sea S ⊂ Rn un conjunto acotado y sea f : S → Rn una aplicacion
continua. Sea A = int(S) . Dar ejemplos donde∫
Af existe y
∫
Sf no existe.
43. Si f, g : A → R son integrables. Pruebe que f g y f2 son
integrable.
44. Pruebe que si C tiene contenido cero, entonces C ⊂ A para
algun rectangulo compacto A , y C es medible Jordan. Ademas,∫
AXC = 0.
45. Dar ejemplos de conjuntos acotados C , de medida cero tal que∫
AXC no existe.
46. Si C es un conjunto acotado de medida cero y∫
AXC existe,
pruebe que∫
AXC = 0 .
47. Si f : A → R es no negativa y∫
Af = 0. Pruebe que x ∈ A :
f(x) 6= 0 tiene medida cero.
48. Sea A ⊂ Rn un conjunto medible Jordan, y sea ε > 0. Pruebe
que existe un conjunto compacto, medible Jordan C ⊂ A , tal que∫
AXA−C = 0 .
49. Calcular∫
Wf(x, y, z)dxdydz para las funciones f y regiones W
que se indican
(a) f(x, y, z) = zex+y , W = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1];
(b) f(x, y, z) = 2x + 3y + z , W = [1, 2]× [−1, 1]× [0, 1];
(c) f(x, y, z) = e−xyy , W = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1];
370 Calculo Integral
(d) f(x, y, z) = z2y−zx2−zx4
1+x2 , W = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] .
50. Hallar∫
Dyzdxdydz, si D es la region limitada por los planos
coordenados y los planos x + y = 1 , z = 4.
51. Sea f : [a, b] → R una funcion integrable y no negativa, y sea
Af = (x, y) : a 6 x 6 b , 0 6 y 6 f(x) . Pruebe que Af es
medible Jordan y su area es∫ b
af .
52. Sea f : [a, b]× [a, b] → R una funcion integrable. Pruebe que
∫ b
a
∫ y
af(x, y) dxdy =
∫ b
a
∫ b
xf(x, y) dydx .
53. Use el Teorema de Fubini para demostrar que∂2f
∂x∂y(x, y) =
∂2f
∂y∂x(x, y) , si estas son continuas. (Indicacion. Si
∂2f
∂x∂y(x0, y0)−
∂2f
∂y∂x(x0, y0) > 0 , entonces existe un rectangulo A , con (x0, y0) ∈
A tal que∂2f
∂x∂y(x, y)− ∂2f
∂y∂x(x, y) > 0 para todo (x, y) ∈ A )
54. Usando el Teorema de Fubini, deduzca una formula para calcu-
lar el volumen de un conjunto en R3 obtenido haciendo girar un
conjunto en el plano yz alrededor del eje x .
55. Sea A ⊂ Rn un conjunto de medida cero. Pruebe que A × Rk
tiene medida cero en Rn+k .
56. Sea Mm ⊂ Rn una superficie de clase Ck , con k > 1 y con
m < n . Pruebe que M tiene medida cero.
57. Sea Mm ⊂ Rn una superficie de clase Ck , con k > 1 , Pruebe
que existe una particion de la unidad Ck en M .
Sergio Plaza 371
58. Sea Mm ⊂ Rn una superficie de clase Ck , con k > 1 . Dados
dos conjuntos cerrados disjuntos A,B de M . Pruebe que existe
una funcion de clase Ck , f : M → R , con 0 6 f(p) 6 1 para
todo p ∈ M , que satisface f/A = 0 y f/B = 1 . (Indicacion.
Considere el cubrimiento abierto de M dado por los conjuntos
F = M −A y G = M −B , y una particion de la unidad asociada
a el).
59. Sea f : [a, b] → Rn un camino tal que f ′(t) 6= 0 para todo
t ∈ [a, b] . Pruebe que existe un difeomorfismo ϕ : [c, d] → [a, b] ,
con ϕ′(s) > 0 para todo s ∈ [c, d] , tal que g = f ϕ : [c, d] → Rn
satisface ‖g′(s)‖ = 1 , para todo s ∈ [c, d] (‖·‖ norma euclideana).
Use lo anterior para reparametrizar el camino f : [0, 1] → R3 ,
dado por f(t) = (et cos(t), et sen(t), et) .
60. Sea f : [0, 1] → R2 , dado por
f(t) =
(tα sen(1/t), t) , t 6= 0
(0, 0) , t = 0 .
Pruebe que f es rectificable si, y solo si, α > 1 .
61. Sea C ⊂ Rn un conjunto cerrado. Pruebe que si C tiene medida
nula entonces Fr(C) (frontera de C ) tambien tiene medida nula.
Ilustre con un ejemplo que puede existir un conjunto C ⊂ Rn con
medida nula y tal que Fr(C) no tiene medida nula.
62. Calcule la longitud del camino f : [0, 2π] → R2 , dado por f(t) =
(a3 (2 cos(t) + cos(2t)), a
3 (2 sen(t) + sen(2t))) .
372 Calculo Integral
63. Calcular∫
Mxyzdxdydz , donde M es la region limitada por las
superficies
(a) x2 + y2 − 2x = 0 , y = z2 , z = 0;
(b) x2 + y2 − 2z = 0 , y = z2.
64. Exprese la integral∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ g(x,y)
0f(x, y, z)dzdydx
como una integral en coordenadas cilındricas.
65. Encuentre el volumen del solido V = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 6a2 , x2 + y2 > b2 , donde a > b .
66. Calcular∫
Dyzdz dydx , donde D el primer octante del solido
delimitado por el elipsoidex2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1.
67. Integrar cambiando el orden de todas las formas posibles
(a)∫ 1
0
∫ x
0
∫ y
0f(x, y, z)dzdydx
(b)∫ 1
0
∫ x
0
∫ x2+y2
0f(x, y, z)dzdydx .
68. Mediante un cambio de variable a coordenadas cilındricas, calcule
las siguientes integrales:
(a)∫
D(x2 + y2)2dxdydz , D = (x, y, z) : x2 + y2 6 2z 6 4;
(b)∫
Dz exp−(x2 + y2)dxdydz , D = (x, y, z) : 2(x2 + y2) 6
z2 6 x2 + y2 + 1, z > 0.
69. Calcular∫
Dzdxdydz , siendo D = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 6
z2, x2 + y2 + z2 6 1, z > 0 .
Sergio Plaza 373
70. Sea R ⊂ Rm un rectangulo compacto, y sea f : R → R . Se de-
finen las aplicaciones f+, f− : R → R por f+(x) = maxf(x), 0y f−(x) = max0,−f(x) , llamadas parte positiva y parte nega-
tiva de f , respectivamente. Pruebe que
(a) f = f+ − f− , |f | = f+ + f− .
(b) Si f es integrable entonces f+ y f− tambien lo son.
71. Calcular la integral∫
M
1(1 + x + y + z)
dxdydz , donde la region
M esta limitada por las superficies x + y + z = 1 , x = 0 , y = 0 ,
z = 0 .
72. Sean U ⊂ Rn un abierto, y f : U → Rm una aplicacion continua.
Pruebe que graf(f) = (x, f(x)) ∈ Rn × Rm : x ∈ U tiene
medida (n + m)–dimensional cero.
73. Calcular∫
S
1
(x2 + y2 + z2)32
dxdydz , donde S el solido compren-
dido entre las esferas x2 + y2 + z2 = a2 y x2 + y2 + z2 = b2 , con
0 < b < a .
74. Calcular el volumen del solido acotado por la superficie z = x2+y ,
y el rectangulo R = [0, 1]× [1, 2] y los lados verticales de R .
75. Hallar el volumen del solido D =
(x, y, z) : 0 6 z 6 x2
4+
y2
96 1
.
76. Calcular el volumen del solido limitado por la esfera x2+y2+z2 =
a2 y el cilindro x2 + y2 − ay = 0 .
77. Calcule la integral ∫ ∫
R(1 + xy)dxdy
374 Calculo Integral
de dos maneras distintas, siendo R = R1 ∪R2 , donde
R1 =
−1 6 x 6 0
0 6 y 6 (x + 1)2y R2 =
0 6 x 6 1
0 6 y 6 (x− 1)2 .
78. Calcular el volumen del solido de revolucion z2 > x2 + y2 encer-
rado por la superficie x2 + y2 + z2 = 1.
79. Calcular el volumen de la region acotada por las superficies z =
x2 + y2 y z = 10− x2 − 2y2 .
80. Calcular la masa del solido acotado por el cilindro x2 + y2 = 2x y
el cono z2 = x2 + y2 si la densidad es ρ =√
x2 + y2 .
81. Expresar las integrales siguientes en el orden indicado en cada
caso
(a)∫ 1
0
∫ y
0
∫ √1−y2
0f(x, y, z)dzdxdy, en el orden z , y , x;
(b)∫ 4
0
∫ 4−x2
0
∫ 12−3x−6y4
0f(x, y, z)dzdydx, en el orden y , x , z.
82. Calcular las siguientes integrales
(a)∫ 2
0
∫ 1
0(1 + 2x + 2y) dy dx
(b)∫ π
0
∫ π2
0
2sen(x) cos2(y)dy dx
(c)∫ 6
0
∫ 3
y2
(x + y) dx dy
(d)∫ 1
0
∫ √y
yx2 y2dx dy
(e)∫ a
−a
∫ √a2−x2
−√a2−x2
(x + y) dy dx
Sergio Plaza 375
(f)∫ 1
0
∫ √y
y
sen(x)x
dx dy
83. Muestre que la integral de las siguientes funciones existen sobre
R = [0, 1]× [0, 1] ,
(a)
f(x, y) =
sen(1/(x + y)) si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
(b)
f(x, y) =
0 si (x, y) = (1/m, 1/n) , para algun m,n ∈ N1 otro caso.
84. Sea D la region del primer cuadrante delimitada por las curvas
x2 + y2 = 4 , x2 + y2 = 9 , x2 − y2 = 4 , x2 − y2 = 1 . Calcular∫
Dxy dxdy .
85. Cambiando el orden de integracion (justifique porque es posible
hacer eso en cada caso), muestre que
(a)∫ 1
0
∫ x
0fdydx +
∫ 2
1
∫ 2−x
0fdydx =
∫ 1
0
∫ 2−y
yfdxdy
(b)∫ a
a2
b
∫ y
a2
y
fdxdy +∫ b
a
∫ b
yfdxdy =
∫ b
a
∫ x
a2
x
fdydx
(c)∫ 1
0
∫ x2
3
0dydx+
∫ 2
1
∫ 1−√4x−x2−3
0dydx =
∫ 1
0
∫ 2−√
2y−y2
y3/2
dxdy .
86. Sea D la region dada como el conjunto de los puntos (x, y) del
plano donde 1 6 x2 + y2 6 2 e y > 0 . Calcular∫
D(1 + xy)dV .
87. Calcular∫
Dxy dxdy , siendo D el conjunto de los puntos (x, y)
del plano que satisfacen 0 6 y 6 x + 2 , 4x2 + 9y2 6 36 .
376 Calculo Integral
88. Hallar el area comprendida entre las circunferencias x2+y2 = 2x ,
x2 + y2 = 4x y las rectas y = x , y = 0 .
89. Hallar el area de la region limitada por las graficas de f(x) =
sen(x) y g(x) = cos(x) entre x = π4 y x = 5π
4 .
90. Una piramide esta limitada por los tres planos coordenados y el
plano x+2y+3z = 6 . Representar el solido y calcular su volumen
por integracion doble.
91. Sea D el paralelogramo limitado por y = −x , y = −x + 1 ,
y = 2x, y = 2x− 3 . Calcular∫
D(x + y)2dxdy.
92. Sea B la bola de centro en el origen y radio 1. Calcular∫
B
q√2 + x2 + y2 + z2
dxdydz .
93. Dibujar la region cuya area se representa mediante la integral∫ 4
0
∫ 2
√y
dydx
A continuacion, hallar otra integral iterada usando el orden dy dx
para representar la misma area. Calcule la integral.
94. Sea D la region del plano limitado por las rectas y = 0 , y = 1 ,
x = −1 , x = y . Calcular∫
D(xy − y3)dxdy.
95. Calcular∫
D(x2− y)dxdy , siendo D la region comprendida entre
las graficas de las curvas y = x2 , y = −x2 , y las rectas x = 1 ,
x = −1 .
96. Sea D la region 0 6 y 6 x , 0 6 x 6 1 . Calcular∫
D(x + y)dxdy
haciendo el cambio x = u + v , y = u − v . Verificar la respuesta
directamente la integral mediante integrales iteradas.
Sergio Plaza 377
97. Calcular∫
Dxy dx dy , siendo D la region del primer cuadrante
encerrada por las parabolas y2 = x , y = x2.
98. Sea D la region acotada por las partes positivas de los ejes
OX, OY y la recta 3x + 4y = 10 . Calcular∫
D(x2 + y2)dV.
99. Sea D la region acotada por las partes positivas de los ejes
OX, OY y la recta 3x + 4y = 10 . Calcular∫
D(x2 + y2)dV .
100.
(a) Hallar el volumen de la region solida que esta limitada por
el paraboloide z = 4− x2 − 2y2 y el plano XY .
(b) Hallar el volumen de la region solida limitada superiormente
por el paraboloide z = 1−x2−y2 e inferiormente por el plano
z = 1− y .
(c) Hallar el volumen de la region solida limitada por z = x2 +
y2 , x2 + y2 = 4 , z = 0 .
(d) Se define el valor medio de f(x, y) en la region R por
valor medio =1A
∫
Rf(x, y) dA
siendo A el area de R. Calcule en cada caso el valor medio:
i. f(x, y) = x , siendo R el rectangulo con vertices (0,0),
(4,0), (4,2), (0,2).
ii. f(x, y) = xy , siendo R el rectangulo con vertices (0,0),
(4,0), (4,2), (0,2).
iii. f(x, y) = x2 + y2 , siendo R el cuadrado con vertices
(0,0), (2,0), (2,2), (0,2).
378 Calculo Integral
iv. f(x, y) = ex+y , siendo R el triangulo con vertices (0,0),
(0,1), (1,1).
101. Sea T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) = (4u, 2u+3v). Sea D∗ = [0, 1]×[1, 2] . Describir D = T (D∗) y calcular
(a)∫ ∫
Dxy dxdy, (b)
∫ ∫
D(x− y)dxdy,
haciendo un cambio para evaluarlas como integrales sobre D∗ .
102. Calcular las siguientes integrales.
(a)∫ 3
0
∫ 2
0
∫ 1
0(x + y + z) dx dy dz
(b)∫ 1
−1
∫ 1
−1
∫ 1
−1x2 y2 z2 dx dy dz
(c)∫ 1
0
∫ x
0
∫ xy
0x dz dy dx
(d)∫ 4
0
∫ π
0
∫ 1−x
0x sen(y) dz dy dx
(e)∫ 9
0
∫ y3
0
∫ √y2−9x2
0z dz dx dy
(f)∫ √
2
0
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ x2
0xdz dy dx
(g)∫ π
2
0
∫ y2
0
∫ 1y
0sen(y)dz dx dy
(h)∫ 4
0
∫ 4−x2
0
∫ 12−3x−6y4
0dz dy dx
103. Sea T : Rn → Rn una aplicacion lineal con det(T ) 6= 0 , y sea B
una bola con centro en el origen. Demostrar que∫
T (B)e−〈T (y),T (y)〉dy1 · · · dyn =
∫
Be−〈x,x〉| det(T−1)|dx1 · · · dxn .
Sergio Plaza 379
104. Calcular las siguientes integrales en las regiones que se indican
(a)∫
R(x2 + y2)dV , R = [0, 1]× [0, 1] ;
(b)∫
Rsen(x + y)dV , R = [0, 1]× [0, 1] ;
(c)∫
R−xex sen
(πy
2
)dV , R = [0, 2]× [−1, 0] ;
(d)∫
R|y| cos(
πx
4)dV , R = [0, 2]× [−1, 0] .
105. Se define el volumen del solido Q por
V (Q) =∫
QdV
(a) Hallar el volumen del elipsoide solido dado por 4x2 + 4y2 +
z2 = 16
(b) Hallar el volumen de las siguientes regiones solidas.
(c) La region del primer octante limitada superiormente por el
cilindro z = 1−y2 y situada entre los planos verticales x+y =
1 y x + y = 3.
(d) El hemisferio superior z =√
1− x2 − y2.
(e) z = 4− x2 , y = 4− x2 en el primer octante.
106. Pase la integral en coordenadas rectangulares a coordenadas cilındricas
y esfericas y calcule la integral mas simple.
(a)∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 4
x2+y2
x dz dy dx
(b)∫ 2
0
∫ √4−x2
0
∫ √16−x2−y2
0
√x2 + y2 dz dy dx
(c)∫ a
−a
∫ √a2−x2
−√a2−x2
∫ a+√
a2−x2−y2
axdz dy dx
380 Calculo Integral
(d)∫ 1
0
∫ √1−x2
0
∫ √1−x2−y2
0
√x2 + y2 + z2 dz dy dx
107. Cambiar el orden de integracion, describir las regiones correspon-
dientes y calcular las integrales de las dos maneras,
(a)∫ 1
0
∫ 1
xxydydx; (b)
∫ π/2
0
∫ cos θ
0cos θ dr dθ;
(c)∫ 4
0
∫ 2
y/2ex2
dx dy; (d)∫ 1
−3
∫ √9−y2
−√
9−y2
x2 dx dy.
108. Sea D el disco de centro en el origen y radio 1. Calcular Evaluar∫
Dex2+y2
dx dy haciendo un cambio de variables a coordenadas
polares.
109. Encuentre la masa del solido acotado por la esfera x2 + y2 + (z +
1)2 = 4 y el plano xy , si la funcion de densidad es 2− z
110. Encuentre la masa del solido acotado por los planos xy , yz , xz ,
x/2+y/4+z = 1 , si la funcion de densidad es dada por x2+y2+z2 .
111. Encuentre el volumen del solido acotado por la esfera x2 + y2 +
(z − 1)2 = 4 y el plano xy .
112. Mediante un cambio de variable a coordenadas polares, calcule
las siguientes integrales
(a)∫
D(1+x2+y2)−3/2dxdy , donde D es el triangulo de vertices
(0, 0) , (1, 0) , y (1, 1) .
(b)∫
D(x3 +y3) dxdy , donde D = (x, y) : x > 0 , y > 0 , x2 +
y2 6 1 , x2 + y2 − 2x > 0 .
Sergio Plaza 381
113. Calcular∫
D
(1− x2
a2− y2
b2
)dxdy , donde D es la region acotada
por la elıpsex2
a2+
y2
b2= 1 , con a, b > 0 .
114. (a) Sea R la region del plano acotada por la curva
(x
a+
y
b
)4=
x2
h2+
y2
k2
en el primer cuadrante, donde a , b , h , y k son numeros
positivos dados. Use el cambio de variable x = ar cos2(θ) ,
y = br sen2(θ) para calcular∫
Rdxdy
(b) Calcule∫
Ω
√R2 − x2 − y2 − z2 dxdydz donde Ω es el solido
delimitado por la esfera de centro en el origen y radio R > 0 .
115. Calcule el valor de la integral de f(x, y) = sen2(x2 + y2) sobre el
disco de radio 4
116. Un cono de helado es la region acotada por la semi-esfera z =√
16− x2 − y2 y el cono z =√
x2 + y2 . Encuentre su volumen.
117. Calcular∫ ∫
D(x2 + y2)3/2dxdy , donde D el disco x2 + y2 6 4.
118. Cambiar el orden de integracion en
(a)∫ 4
0
∫ 4−√16−x2
x2
8
f(x, y)dydx +∫ 4
0
∫ 8
x2
8
f(x, y)dydx
(b)∫ 4
0
∫ √8y
√8y−y2
f(x, y)dxdy.
(c)∫ 5
1
∫ log x
0xe2ydydx
382 Calculo Integral
119. Evaluar las siguientes integrales iteradas
(a)∫ 1
−1
∫ 1
0(x4y + y2)dydx; (b)
∫ 1
0
∫ 1
0xyex+ydydx;
(c)∫ 1
−1
∫ 2
1(−x ln y)dydx; (d)
∫ 1
0
∫ 1
0ln[(x + 1)(y + 1)]dxdy.
120. Evaluar las siguientes integrales iteradas y describir las regiones
determinadas por los lımites
(a)∫ 1
0
∫ x2
0dydx; (b)
∫ 1
0
∫ ex
1(x + y) dydx;
(c)∫ 2
−3
∫ y2
0(x2 + y) dxdy; (d)
∫ π/2
0
∫ cos x
0y sen x dydx;
(e)∫ 1
−1
∫ |x|
−2|x|ex+y dydx; (f)
∫ 0
−1
∫ 2(1−x2)1/2
0x dydx.
121. Cambiar el orden de integracion en cada una de las integrales si-
guientes y calcularlas
(a)∫ 1
0
∫ x2
x4
f(x, y) dydx;
(b)∫ 1
0
∫ y
−yf(x, y) dxdy;
(c)∫ 4
1
∫ 2x
xf(x, y) dydx .
122. Integrar zex2+y2sobre el cilindro x2 + y2 6 4 , 2 6 z 6 3 .
123. Calcular∫
Se(y−x)/(y+x)dxdy donde S es la region delimitada por
la recta x + y = 2 y los ejes coordenados en el primer cuadrante.
Ind. Use el cambio de variable u = y − x , v = y + x .
124. Mediante un cambio de variable a coordenadas esfericas, calculense
las siguientes integrales:
Sergio Plaza 383
(a)∫
Dxyz dxdydz , D = (x, y, z) : x > 0, y > 0, z > 0, x2 +
y2 + z2 6 1;(b)
∫
D(x2+y2+z2)dxdydz , D = (x, y, z) : 2az 6 x2+y2, x2+
y2 + z2 6 3a2.
384 Calculo Integral
Capıtulo 11
Formas Diferenciales en
Superficies
Sea Mm ⊂ Rn una superficie de clase Ck ( k > 1 ). El conjunto TM =
(p, v) ∈ Rn × Rn : p ∈ M y v ∈ TpM es una superficie de clase
Ck−1 y dimension igual a 2 dimM . En lo que sigue, para no estar
preocupados de la clase de diferenciabilidad vamos asumir que ella es lo
suficientemente grande de modo que podamos efectuar todos los calculos
que nos sean necesarios.
Definicion 11.1 Una 0–forma diferenciable de clase Cr en M es
una aplicacion f : M → R de clase Cr .
Ahora definiremos k–formas diferenciables para k > 1 .
Definicion 11.2 Una 1–forma diferenciable de clase Cr en M es
una aplicacion ω : TM → R de clase Cr , tal que para cada x ∈ M la
aplicacion ωx : TxM → R definida por ωx(v) = ω(x, v) es lineal, esto
es, para cada x ∈ M se tiene que ωx ∈ TxM∗ (espacio dual de TxM )
385
386 Formas Diferenciales en Superficies
Ejemplos.
1. ω = x2y + ez es una 0-forma en R3 .
2. ω(x, y, z) = x2+y2
z es una 0–forma en R3 − (x, y, z) : z = 0 .
3. Sea f : M → R una aplicacion de clase Cr+1 , entonces la apli-
cacion tangente Tf : TM → R definida por Tf(x, v) = Df(x)v
en una 1–forma de clase Cr en M .
Sea ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M una parametrizacion y sea x = ϕ(u) , en
TxM tenemos una base natural Bϕ(x) = ∂ϕ∂x1
(u), . . . , ∂ϕ∂xm
(u) . Asoci-
ada a esta parametrizacion definimos las 1–formas dx1, . . . , dxm por
dxj(x)(
∂ϕ
∂xi(u)
)= δij ,
donde δij = 1 si i = j y δij = 0 en otro caso.
Es claro que dx1(x), . . . , dxm(x) es una base de TxM∗ . Luego,
dada una 1–forma ω en U , podemos escribirla como ω =∑m
i=1 ωidxi ,
donde ω1, . . . , ωm : U → R son aplicaciones diferenciables de la misma
clase de diferenciabilidad que ω . Evaluando ωx en el vector ∂ϕ∂xj
(u) ∈TxM tenemos
ωx(x) =m∑
i=1
ωi(x)dxi
(∂ϕ(u)∂xj
)= ωj(x) ,
es decir, ωj(x) = ωx( ∂ϕ∂xj
(u)) . Por ejemplo, si f : U ⊂ M → R
es de clase Cr+1 , entonces Tf(x, ∂ϕ
∂xi(u)
)=
∑mi=1 Tf( ∂ϕ
∂xi)(u)dxi =
∑mi=1
∂(fϕ)∂xi
(u) dxi .
Si U ⊂ Rm es un conjunto abierto, sabemos que U es una super-
ficie de clase C∞ y dimension m , con una parametrizacion dada por
ϕ = I/U . Tenemos que una 1–forma diferenciable sobre U puede ser
escrita como ω = ω1dx1 + · · · + ωmdxm donde ω1, . . . , ωm : U → R
Sergio Plaza 387
son aplicaciones diferenciables y dxi(x)v = vi , para todo vector v =
(v1, . . . , vm) ∈ Rm . Si f : U → R es una aplicacion diferenciable, en-
tonces Tf(x, v) =∑m
i=1∂f∂xi
(x) dxi(x)v que es simplemente la diferencial
de f , como fue definida en el Capıtulo 7.
Ejemplos.
1. Si f : R→ R es una aplicacion diferenciable de clase Cr (r > 1),
entonces ω = f(x)dx es una 1–forma de clase Cr en R ,
2. Sea U ⊂ Rm un conjunto abierto, y sean fi : U → R ( 1 =
1, . . . , m) funciones de clase Cr , entonces ω =∑m
i=1 fidxi es una
1–forma de clase Cr .
3. ω = (2xy3 +4x3)dx+(3x2y2 +2y)dy es una 1–forma de clase C∞
en R2 .
4. Sea ω = −yx2+y2 dx + x
x2+y2 dy es una 1–forma de clase C∞ en
R2 − (0, 0) .
Antes de definir k–formas diferenciables para k > 2 , sobre una
superficie Mm ⊂ Rn de clase Cr ( r > 2 ), probaremos que el con-
junto TMk = (x, v1, . . . , vk) : x ∈ M , vi ∈ TxM , i = 1, . . . , k ⊂Rn × · · · × Rn , (k + 1) factores, es una superficie de clase Cr−1 y
dimension (k + 1) · dimM . En efecto, para simplificar la notacion es-
cribimos (Rn)` para indicar el producto cartesiano Rn× · · · ×Rn de `
factores de Rn . Sea Π : TMk → M la proyeccion Π(x, v1, . . . , vk) = x ,
se tiene que Π es una aplicacion continua y localmente inyectiva. Ahora,
sea ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M una parametrizacion, con x = ϕ(u) , y sea
V = Π−1(U) . Sea Tkϕ : U0 × (Rm)k → V la aplicacion definida por
Tkϕ(y, v1, . . . , vk) = (ϕ(y), Dϕ(y)v1, . . . , Dϕ(y)vk) . Es facil ver que la
388 Formas Diferenciales en Superficies
coleccion Ak = (Tkϕ,Π−1(U)) : (ϕ,U) parametrizacion de M es
un atlas de clase Cr−1 y dimension (k + 1) · dimM para TMk . Los
detalles de las verificaciones son dejadas a cargo del lector.
Definicion 11.3 Una k–forma diferenciable de clase Cr en M es
una aplicacion η : TMk → R de clase Cr , tal que para cada x ∈M la aplicacion ηx : (TxM)k → R definida por ηx(u1, . . . , uk) =
η(x, u1, . . . , uk) es una aplicacion k–multilineal alternada, es decir, ηx
es lineal en cada coordenada y
ηx(u1, . . . , ui, . . . , uj , . . . , uk) = −ηx(u1, . . . , uj , . . . , ui, . . . , uk).
Notacion. Denotamos el conjunto de las k–formas diferenciables de
clase Cr en Mm por Λk,r(M) . Notemos que dimΛm,r(M) = 1
(prueba a cargo del lector). Tambien usamos la notacion Λk(TxM) =
ω : TxM → R : ω k–lineal alternada . Note que dim Λm(TxM) = 1 .
Sean ω, γ ∈ Λk,r(M) y sea f : M → R es una funcion diferenciable.
Definimos las k–formas ω + γ y fω por
(ω + γ)x(v1, . . . , vk) = ωx(v1, . . . , vk) + γx(v1, . . . , vk)
(fω)x(v1, . . . , vk) = f(x)ωx(v1, . . . , vk) .
Por otra parte, si α ∈ Λk,r(M) y β ∈ Λ`,r(M) , no tiene sentido definir
α + β . A seguir definimos un producto, llamado producto “wedge”,
(cuna) ∧ : Λk,r(M)×Λ`,r(M) → Λk+`,r(M) que relaciona las formas α
y β .
Definicion 11.4 Sean α ∈ Λk,r(M) y β ∈ Λ`,r(M) . El producto
exterior de α por β es la (k+`)–forma diferenciable α∧β ∈ Λk+`,r(M)
Sergio Plaza 389
definida por
α ∧ β(x, u1, . . . , uk+`) = αx ∧ βx(u1, . . . , uk+`)
=1
k! `!
∑
σ∈Sk+`
sign(σ)αx(uσ(1), . . . , uσ(k)) βx(uσ(k+1), . . . , uσ(k+`)) ,
donde Sk+` es el conjunto de todas las permutaciones del conjunto
1, . . . , k + ` y sign(σ) es el signo de la permutacion σ .
Veamos ahora como se escribe localmente una k–forma diferencia-
ble. Sea ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M una parametrizacion. Para cada
x = ϕ(u) ∈ U , el conjunto Bϕ(x) = ∂ϕ∂x1
(u), . . . , ∂ϕ∂xm
(u) es una base
de TxM y el conjunto B∗ϕ(x) = dx1(x), . . . , dxm(x) es una base de
TxM∗ , dual de la base Bϕ(x) . Notemos que dxiα ∧ dxiα = 0 y que
dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi . Esto nos lleva a considerar el conjunto de
las k–formas dado por Bmk (x) = dxi1 ∧ · · · ∧ dxik(x) : 1 6 i1 <
· · · < ik 6 m . Es inmediato ver que el conjunto Bmk (x) contiene
m!k!(m−k)! elementos, y si 1 6 j1 < · · · < jk 6 m entonces dxi1(x) ∧· · · ∧ dxik(x)( ∂ϕ
∂xj1(u), . . . , ∂ϕ
∂xjk(u)) = δIJ , donde I = (i1, . . . , ik) , J =
(j1, . . . , jk) y
δIJ =
1 si J = I
0 si J 6= I .
Por otra parte, si ω es una k–forma diferenciable en U , sean x ∈ U
y u1, . . . , uk ∈ TxM , donde ui =∑m
j=1 vij∂ϕ∂xj
(u) , para 1 6 i 6 k ,
tenemos
ωx(u1, . . . , uk) =∑
I
v1i1 · · · vkik ωx
(∂ϕ
∂xi1
(u), . . . ,∂ϕ
∂xik
(u))
,
390 Formas Diferenciales en Superficies
donde I = (i1, . . . , ik) recorre todas las sucesiones de k elementos en
1, . . . ,m . Como ωx es k–lineal alternada se tiene que
ωx(u1, . . . , uk) =∑
J
∑
σ∈Sk
sign(σ)v1jσ(1)· · · vkjσ(k)
ωx
(∂ϕ
∂xj1
(u), . . . ,∂ϕ
∂xjk
(u))
aquı J recorre todas las sucesiones con k elementos de 1, . . . , m , con
1 6 j1 < · · · < jk 6 m . Pero como dxj1(x)∧ · · · ∧ dxjk(x)(u1, . . . , uk) =
∑σ∈Sk
sign(σ) v1jσ(1)· · · vkjσ(k)
, tenemos finalmente que
ω =∑
J
ωx
(∂ϕ
∂xj1
(u), . . . ,∂ϕ
∂xjk
(u))
dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk,
que es la expresion local de ω en la parametrizacion ϕ : U0 ⊂ Rm →U ⊂ M , y llamando ωJ(x) = ωx
(∂ϕ
∂xj1(u), . . . , ∂ϕ
∂xjk(u)
), tenemos que
ω =∑
J
ωJ(x) dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk,
Notacion. Si I = (i1, . . . , ik) es un arreglo de k ındices, con ij ∈1, . . . ,m y 1 6 i1 < · · · < ik 6 m , denotamos dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
simplemente por dxI .
Obsrevacion. Si Mm es una superficie m–dimensional y ω es una
m–forma de clase Cr sobre M , entonces localmente ω se escribe como
ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxm , donde f : M → R es una funcion de clase Cr .
Desde la definicion, tenemos las propiedades siguientes.
Proposicion 11.1 Sean α ∈ Λk,r(M) , β ∈ Λ`,r(M) y γ ∈ Λn,r(M)
forma diferenciables de clase Cr en M . Entonces
1. α ∧ β ∈ Λk+`,r(M) ;
2. Si ` = n entonces α∧(f β+γ) = f (α∧β)+(α∧γ) y (fβ+γ)∧α =
f(β ∧ α) + (γ ∧ α) , donde f : M → R es una aplicacion Cr ;
Sergio Plaza 391
3. (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ) ;
4. α ∧ β = (−1)k` β ∧ α .
Demostracion. Las propiedades (1), (2) y (3) se deducen inmedia-
tamente desde la definicion, y la prueba se deja deja al lector (ver
[20]). Vamos a probar la propiedad (4). Escribamos α =∑
I aIdxI ,
donde I = (i1, . . . , ik) e i1 < · · · < ik , y β =∑
J bJdxJ , donde
J = (j1, . . . , j`) y j1 < · · · < j` . Entonces
α ∧ β =∑
IJ
aIbJdxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxj`
=∑
IJ
aIbJ(−1)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1∧ dxj1 ∧ dxik ∧ · · · ∧ dxj`
...
=∑
IJ aIbJ(−1)kdxj1 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxj`.
Como J tiene ` elementos, repitiendo el argumento anterior para cada
dxjs , con js ∈ J , obtenemos finalmente que
α∧β =∑
JI
(−1)k`bjaIdxj1 ∧ · · · ∧ dxj`∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = (−1)k`β ∧α .
Observacion. Desde la propiedad 4 arriba tenemos que si α ∈ Λk,r(M)
entonces α∧α = (−1)k2α∧α , de donde (1− (−1)k2
)α∧α = 0 . Luego
si k2 es impar (lo que es equivalente a que k sea impar) nos queda
2α = 0 , de donde obtenemos que necesariamente α = 0 .
11.1 Cambio de Variable y Formas Co–inducidas
Una k–forma diferenciable de clase Cr (r > 1 ) puede ser escrita en un
abierto U , donde esta definida una parametrizacion ϕ : U0 ⊂ Rm →
392 Formas Diferenciales en Superficies
U ⊂ M como
ω =∑
J
ωJ(x) dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk
=∑
J
(ωJ ϕ) dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk,
donde J = (j1, . . . , jk) recorre todas las sucesiones crecientes de k
elementos en 1, . . . ,m . En la suma anterior ωJ : U → R es una
aplicacion Cr , para todo J . Podemos pensar que dx1, . . . , dxm es
la base dual de la base canonica de Rm , y siendo ası podemos repre-
sentar ω en U0 ⊂ Rm como∑
J(ωJ ϕ) dxJ , expresion que deno-
tamos por ϕ∗(ω) . Evidentemente, si (v1, . . . , vk) ∈ (Rm)k entonces
(ϕ∗(ω))q(v1, . . . , vk) = ωϕ(q)(Dϕ(q)v1, . . . , Dϕ(q)vk) . Mas general, si
f : M → N es un difeomorfismo de clase Cs y ω ∈ Λk,r(M) podemos
definir una k–forma diferenciable f∗(ω) ∈ Λk,`(N) , con ` = minr, s−1 por (f∗(ω))q(v1, . . . , vk) = ωf1(q)(Df−1(q)v1, . . . , Df−1(q)vk) . Ana-
logamente, si ω ∈ Λk,r(N) podemos definir una k–forma diferenciable
f∗(ω) ∈ Λk,`(M) por
(f∗(ω))p(u1, . . . , uk) = ωf(p)(Df(p)u1, . . . , Df(p)uk) .
La forma f∗(ω) es llamada forma co–inducida por f y ω . Ob-
servemos que la operacion f∗ : Λk,r(N) → Λk,`(M) puede ser definida
para cualquier f : M → N de clase Cs (s > 1), aun cuando M y
N tengan distinta dimension. Tambien observamos que la operacion
f∗ : Λk,r(M) → Λk,`(N) solo tiene sentido cuando f : M → N es un
difeomorfismo.
Ejemplos.
Sergio Plaza 393
1. Si ω : N → R es una 0–forma diferenciable de clase Cr ( r > 1 )
y sea f : M → N una aplicacion de clase Cr . Entonces f∗(ω) =
ω f .
2. Sean U ⊂ Rm y V ⊂ Rn conjuntos abiertos, y sea f : U → V
una aplicacion de clase Cr ( r > 1 ), donde f = (f1, . . . , fn) .
Dada la 1–forma dxj ∈ Λ1,∞(V ) entonces f∗(dxj) ∈ Λ1,∞(U) es
la 1–forma dada por
(f∗(dxj))p(u) = dxj(f(p))Df(p)u
= dxj(f(p))(Df1(p)u, . . . , Dfn(p)u)
= Dfj(p)u
= dfj(p)u
para todo p ∈ U y u ∈ Rm , es decir, , f ∗ (dxj) = dfj .
3. Sea ω la 1–forma en R2 − (0, 0) , dada por
ω = − y
x2 + y2dx +
x
x2 + y2dy .
Sea U el conjunto abierto en el plano (r, θ) dado por U = (r, θ) :
r > 0 , 0 < θ < 2π . Sea ϕ : U → R2 la aplicacion definida por
ϕ(r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)) . Afirmamos que ϕ∗ω = dθ .
En efecto, dx = cos(θ)dr−r sen(θ)dθ y dy = sen(θ)dr+r cos(θ)dθ .
Luego,
ϕ∗ω = −r sen(θ)r2
(cos(θ)dr − r sen(θ)dθ) +
r cos(θ)r2
(sen(θ)dr + r cos(θ)dθ)
= dθ .
Como lo afirmamos
394 Formas Diferenciales en Superficies
Sea f : M → N una aplicacion de clase Cs , y como antes sea ` =
minr, s− 1 . A seguir estudiaremos algunas propiedades del operador
f∗ : Λk,r(N) → Λk,`(M) .
Proposicion 11.2 Las siguientes propiedades valen:
1. Si f : M → N es de clase Cs y ` = minr, s − 1 , entonces
f∗ : Λk,r(N) → Λk,`(M) es lineal.
2. Si α ∈ Λk,r(N) , β ∈ Λj,r(N) y f : M → N es como en 1).
Entonces f∗(α ∧ β) = f∗(α) ∧ f∗(β) .
3. Si f : M → N y g : N → P , entonces (g f)∗ = f∗ g∗ .
4. Si I : M → M es la aplicacion identidad y ω ∈ Λk,r(M) entonces
I∗ω = ω . En particular, si f : M → N es un difeomorfismo
entonces (f−1)∗ = (f∗)−1 .
Demostracion. Es una aplicacion rutinaria de las definiciones, y por
lo tanto de dejan a cargo del lector.
Observaciones.
1. Sea J ⊂ R un intervalo abierto y sea α : J → Rn una curva difer-
enciable, α(t) = (α1(t), . . . , αn(t)) . Denotemos por i el vector
tangente a R en t ∈ J . Entonces α∗(i) = (α′1(t), . . . , α′n(t)) .
En efecto, sea t ∈ J . Definamos la curva r(s) = s + t entonces
r(0) = t , y r′(0) = 1 es una base de TxJ = R , como acordamos,
denotamos este vector simplemente por i . Desde la definicion,
tenemos α∗(i) = (α r)′(0) , pero (α r)(s) = α(s + t) y
(α r)′(0) =dα(s + t)
ds|s=0 = (α′1(t), . . . , α
′n(t))
como afirmamos.
Sergio Plaza 395
2. Sea J ⊂ R un intervalo abierto y sea α : J → Rn una curva difer-
enciable de clase C` (` > 1) y sea ω =∑n
i=1 fidxi una 1–forma
en un conjunto abierto de Rn que contiene a α(J) . Entonces
α∗ω(t) =
(n∑
i=1
fi(α(t))α′i(t)
)dt .
En efecto, como α∗ω es una 1–forma en J , se tiene que α∗ω(t) =
B(t)dt . Debemos encontrar la funcion B . Tenemos tambien que
α∗(ω)(i) = B(t)dt(1) = B(t) ,
por lo anterior α∗(i) = (α′1(t), . . . , α′n(t)) . Luego
α∗ωt(i) =n∑
j=1
fj(α(t))dxj(Dα(t)(1)) =n∑
j=1
fj(α(t))α′j(t) ,
de donde α∗ω = (∑n
j=1(fj α)α′j)dt .
3. Sea U ⊂ Rm un conjunto abierto y sea ϕ : U → V ⊂ Rn una
parametrizacion de clase Ck (k > 2). Sea ω =∑n
i=1 ωidxi una 1–
forma en V . Veamos como se escribe, explicıtamente, la 1–forma
ϕ∗ω .
Sea p = ϕ(x) ∈ V , donde x ∈ U . Escribamos u = (u1, . . . , um) y
ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) , tenemos que
ϕ∗ωx(u) =n∑
i=1
ωi(ϕ(x))dxi(Dϕ(x)u)) .
396 Formas Diferenciales en Superficies
Ahora como,
Jϕ(x)u =
∂ϕ1
∂x1(x)
∂ϕ1
∂x2(x) · · · ∂ϕ1
∂xm(x)
∂ϕ2
∂x1(x)
∂ϕ2
∂x2(x) · · · ∂ϕ2
∂xm(x)
......
......
∂ϕn
∂x1(x)
∂ϕn
∂x2(x) · · · ∂ϕn
∂xm(x)
u1
u2
...
um
= (< gradϕ1(x), u > , < gradϕ2(x), u > , . . . , < gradϕn(x), u >) ,
y Dϕ(x)u = Jϕ(x)u , respecto de las bases canonica, por lo tanto
nos queda
ϕ∗ωx(u) =∑n
i=1 ωi(ϕ(x))dxi(< gradϕ1(x), u >, . . . , < gradϕn(x), u >)
=∑n
i=1 ωi(ϕ(x)) < gradϕi(x), u > .
Por ejemplo, si ϕ : U ⊂ R2 → V ⊂ R3 dada por ϕ(u, v) =
(ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v)) es una parametrizacion y ω = A(x, y, z)dx+
+B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz es una 1–forma definida en V . En-
tonces
ϕ∗ω = A(ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v))∂ϕ1
∂u
+B(ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v))∂ϕ2
∂u
+C(ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v))∂ϕ3
∂u
Sergio Plaza 397
+A(ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v))∂ϕ1
∂v
+B(ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v))∂ϕ2
∂v
+C(ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v))∂ϕ3
∂v.
Ası, si por ejemplo ϕ(u, v) = (u2 + v, 2u − v, u + v3) y ω =
(x + y + 1)dx + (2z − y)dy + xdz , tenemos ∂ϕ1
∂u = 2u , ∂ϕ1
∂v = 1 ,∂ϕ2
∂u = 2 , ∂ϕ2
∂v = −1 , ∂ϕ3
∂u = 1 , ∂ϕ3
∂v = 3u2 , A(ϕ(u, v)) = (u+1)2 ,
B(ϕ(u, v)) = 2v3 + v , y C(ϕ(u, v)) = u2 + v . Por lo tanto,
ϕ∗ω = (2u3+4v3+5u2+2u+3v)du+(3u2v2+v3+u2+2u−v+1)dv .
El anterior es el calculo formal. Por otra parte, como x(u, v) =
u2 + v , y(u, v) = 2u − v , y z(u, v) = u + v3 , tenemos dx =
2udu + dv , dy = 2du − dv , y dz = du + 3v2dv . Ahora, como
ω = (x + y + 1)dx + (2z − 1)dy + xdz , reemplazando nos queda:
ϕ∗ω = (u2 + v + 2u− v + 1)(2udu + dv) + (2(u + v3)
−(2u− v))((2du− dv)) + (u2 + v)(du + 3v2dv)
= (2u3 + 4v3 + 5u2 + 2u + 3v)du
+(3u2v2 + v3 + u2 + 2u− v + 1)dv .
Sea ϕ(u, v) = (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v)) como arriba, y sea ω =
A(x, y, z)dy∧dz+B(x, y, z)dz∧dx+C(x, y, x)dx∧dy una 2–forma
398 Formas Diferenciales en Superficies
en V . Tenemos que
dϕ1 =∂ϕ1
∂udu +
∂ϕ1
∂vdv
dϕ2 =∂ϕ2
∂udu +
∂ϕ2
∂vdv
dϕ3 =∂ϕ3
∂udu +
∂ϕ3
∂vdv
Entonces ϕ∗ω = A(ϕ(u, v))dϕ2 ∧ dϕ3 + B(ϕ(u, v))dϕ3 ∧ dϕ1 +
C(ϕ(u, v))dϕ1 ∧ dϕ2 . En efecto, tenemos que
ϕ∗ω = ϕ∗(A(x, y, z)dy ∧ dz) + ϕ∗(B(x, y, z)dz ∧ dx)
+ϕ∗(C(x, y, z)dx ∧ dy) .
Ahora pensamos la 2–forma A(x, y, z)dy ∧ dz como el producto
exterior de las dos 1–formas A(x, y, z)dy y dz , es decir, ponemos
A(x, y, z)dy∧dz = (A(x, y, z)dy)∧dz y tenemos ϕ∗(A(x, y, z)dy∧dz) = ϕ∗(A(x, y, z)dy) ∧ ϕ∗(dz). Analogamente, ϕ∗(B(x, y, z)dz ∧dx) = ϕ∗(B(x, y, x)dz)∧ϕ∗(dx) y tambien ϕ∗(C(x, y, z)dx∧dy) =
ϕ∗(C(x, y, z)dx) ∧ ϕ∗(dy). Finalmente, como ϕ∗(A(x, y, z)dy ∧dz) = A(ϕ(u, v))dϕ2∧dϕ3 , ϕ∗(B(x, y, z)dz∧dx) = B(ϕ(u, v))dϕ3∧dϕ1 , y ϕ∗(C(x, y, z)dx ∧ dy) = C(ϕ(u, v))dϕ1 ∧ dϕ2 , lo que com-
pleta la prueba de lo afirmado.
Sean U y V conjuntos abiertos de R3 y sea ϕ : U → V un difeo-
morfismo local, ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) , y ω = A(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz es
una 3–forma en V entonces ϕ∗ω = A(ϕ(u, v, w))dϕ1 ∧dϕ2 ∧ dϕ3 ,
Sergio Plaza 399
dondedϕ1 =
∂ϕ1
∂udu +
∂ϕ1
∂vdv +
∂ϕ1
∂wdw
dϕ2 =∂ϕ2
∂udu +
∂ϕ2
∂vdv +
∂ϕ2
∂wdw
dϕ3 =∂ϕ3
∂udu +
∂ϕ3
∂vdv +
∂ϕ3
∂wdw .
Por ejemplo, si ϕ(r, u, v) = (r cos(u) sen(v), r sen(u) sen(v), r cos(v)) .
Tenemos, x = ϕ1(r, u, v) = r cos(u) sen(v) , y = ϕ2(r, u, v) =
r sen(u) sen(v) , y z = ϕ3(r, u, v) = r cos(v) . Luego
dϕ1 = cos(u) sen(v)dr − r sen(u) sen(v)du + r cos(u) cos(v)dv
dϕ2 = sen(u) sen(v)dr + r cos(u) sen(v)du + r sen(u) cos(v)dv
dϕ3 = cos(v)dr + 0du− r sen(v)dv .
Ahora si ω = (x2 + y2 + z2)dx ∧ d ∧ dz entonces, A(ϕ(r, u, v)) =
r2 cos2(u) sen2(v) + r2 sen2(u) sen2(v) + r2 cos2(v) = r2 y
ϕ∗(dx ∧ dy ∧ dz) = dϕ1 ∧ dϕ2 ∧ dϕ3
= (cos(u) sen(v)dr − r sen(u) sen(v)du
+r cos(u) cos(v)dv) ∧ (sen(u) sen(v)dr
+r cos(u) sen(v)du + r sen(u) cos(v)dv)
∧(cos(v)dr + 0du− r sen(v)dv)
= (r cos2(u) sen 2(v)dr ∧ du
+r sen(u) cos(u) sen(v) cos(v)dr ∧ dv
−r2
sen(u) sen 2(v)du ∧ dr
−r2 sen 2(u) sen(v) cos(v)du ∧ dv
+r sen(u) cos(u) sen(v) cos(v)dv ∧ dr
+r2 cos2(u) sen(v) cos(v)dv ∧ du)
400 Formas Diferenciales en Superficies
∧(cos(v)dr − r sen(v)dv)
= (r sen 2(v)dr ∧ du− r2 sen(v)
cos(v)du ∧ dv)) ∧ (cos(v)dr − r sen(v)dv)
= −r2 sen(v)dr ∧ du ∧ dv .
Luego, como ϕ∗ω = ϕ∗(A(x, y, z)dx∧dy∧dz) = (Aϕ)(r, u, v)ϕ∗(dx∧dy ∧ dz) = A(ϕ(r, u, v))dϕ1 ∧ dϕ2 ∧ dϕ3 = r2(−r2 sen(v))dr ∧ du∧dv = −r4 sen(v)dr ∧ du ∧ du .
Tenemos tambien que
Jϕ(r, u, v) =
cos(u) sen(v) −r sen(u) sen(v) r cos(u) cos(v)
sen(u) sen(v) r cos(u) sen(v) r sen(u) cos(v)
cos(v) 0 −r sen(v)
y detJϕ(r, u, v) = −r2 sen(v) . Vemos entonces que
ϕ∗ω = A(ϕ(r, u, v)) detJϕ(r, u, v)dr ∧ du ∧ dv .
Dejamos a cargo del lector probar que si ϕ : U → V , donde
U, V ⊂ Rm son conjuntos abiertos, es un difeomorfismo local
de clase Cr (r > 1) y ω = Ady1 ∧ · · · ∧ dym es una m–forma
en V entonces ϕ∗ω(x1, . . . , xm) = A(ϕ(x1, . . . , xm))dx1 ∧ · · · ∧dxm . Note que hemos usados las coordenadas (y1, . . . , ym) =
(ϕ1(x1, . . . , xm), . . . , ϕm(x1, . . . , xm)) en V .
11.2 Derivada Exterior
Definiremos ahora un operador de derivacion de formas. Primero lo hare-
mos en espacios euclideanos, y enseguida lo traspasaremos a superficies,
usando parametrizaciones y la definicion en espacios euclideanos.
Sergio Plaza 401
Consideremos el espacio euclidiano Rm o un abierto U ⊂ Rm con
la coordenadas canonicas (x1, . . . , xm) . Sea dx1, . . . , dxm la base de
(Rm)∗ , dual de la base canonica e1, . . . , em de Rm . Para mantener
la coherencia con lo anterior usaremos la notacion ∂∂xi
= ei para i =
1, . . . , m . Como ya vimos, si η es una k–forma diferenciable en Rm
existen m!k!(m−k)! funciones diferenciables ηJ , donde J = (j1, . . . , jk)
y ji ∈ 1, . . . , m ( i = 1, . . . , k ), con la propiedad que 1 6 j1 <
· · · < jk 6 m tales que η =∑
J ηJdxj1 ∧ · · · ∧ dxjk. Vamos a solicitar
que el operador derivacion que definamos sea lineal, por lo tanto basta
definirlo en formas del tipo hdxj1 ∧ · · · ∧ dxjk( 0 6 k 6 m ). Si α ∈
Λ0,r(Rm) entonces α : Rm → R y definimos dα =∑m
i=1∂α∂xi
dxi . Si
α = h dxj1∧· · ·∧dxjk, definimos dα = dh∧dxj1∧· · ·∧dxjk
. Observamos
que es natural tener que d(dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk) = 0 , pues dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk
es una k–forma diferenciable que no depende del punto en cuestion.
Exigiendo que d sea lineal este queda bien definido por las propiedades
anteriores.
Ejemplos
1. Sea ω = xyzdx+ yzdy +(x+ z)dz . Entonces dω = d(xyz)∧ dx+
d(yz) ∧ dy + d(x + z) ∧ dz = (yzdx + xzdy + xydz) ∧ dx + (zdy +
ydz)∧dy+(dx+dz)∧dz = −xzdx∧dy+(1−xy)dx∧dz−ydy∧dz .
2. Sea ϕ = xdx− ydy . Entonces dϕ = dx ∧ dx− dy ∧ dy = 0 .
3. Sea U ⊂ R3 un conjunto abierto, y sea f : U → R una funcion
de clase Cr+1 (r > 1). Consideremos la 1–forma diferenciable ω
definida en U dada por
ω =∂f
∂xdx +
∂f
∂ydy +
∂f
∂zdz .
402 Formas Diferenciales en Superficies
Claramente ω es clase Cr y se tiene que
dω = d
(∂f
∂x
)∧ dx + d
(∂f
∂y
)∧ dy + d
(∂f
∂z
)∧ dz
=(
∂2f
∂x2dx +
∂2f
∂y∂xdy +
∂2f
∂z∂xdz
)∧ dx
+(
∂2f
∂x∂ydx +
∂2f
∂y2dy +
∂2f
∂z∂ydz
)∧ dy
+(
∂2f
∂x∂zdx +
∂2f
∂y∂zdy +
∂2f
∂z2dz
)∧ dz
=(
∂2f
∂x∂y− ∂2f
∂y∂x
)dx ∧ dy +
(∂2f
∂x∂z− ∂2f
∂z∂x
)dx ∧ dz
+(
∂2f
∂y∂z− ∂2f
∂z∂y
)dy ∧ dz .
Ahora como f es de clase al menos C2 se tiene que
∂2f
∂x∂y=
∂2f
∂y∂x,
∂2f
∂x∂z=
∂2f
∂z∂x,
∂2f
∂z∂y=
∂2f
∂y∂z,
por lo tanto tenemos que dω = 0 . Este ejemplo se generaliza
facilmente a mas dimensiones.
Ahora, veamos la relacion entre el operador d que acabamos de definir
y el operador f∗ anterior.
Proposicion 11.3 Sea f : U → V un difeomorfismo entre abiertos
de Rm y sea ω una k–forma diferenciable en V . Entonces f∗(dω) =
d(f∗(ω)) .
Demostracion. Para k = 0 , tenemos d(f∗ω) = d(ωf) = dω(f)df =
f∗(dω) . Si k > 1 , considerando ω del tipo ω = h dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk,
Sergio Plaza 403
tenemos f∗(ω) = (h f) dfj1 ∧ · · · ∧ dfjk, donde f = (f1, . . . , fm) , luego
d(f∗ω) = d(h f) ∧ dfj1 ∧ · · · ∧ dfjk= f∗(dh) ∧ f∗(dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk
) =
f∗(dh ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk) = f∗(dω) . El caso general, se sigue de la
linealidad del operador d .
Ejemplo. Sea ϕ : ]0,∞[× ]0, 2π[ → R2 − (x, 0) : x > 0 dado por
ϕ(r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)) . Tenemos que ϕ es un difeomorfismo de
clase C∞ . En R2−(0, 0) consideremos la 1–forma de clase C∞ dada
por
ω = − y
x2 + y2dx +
x
x2 + y2dy .
Un calculo muestra que dω = 0 . Ahora
ϕ∗ω = ϕ∗(− y
x2 + y2
)ϕ∗(dx) + ϕ∗
(x
x2 + y2
)ϕ∗(dy)
= −sen(θ)r
(cos(θ)dr − r sen(θ)dθ)
+cos(θ)
r(sen(θ)dr + r cos(θ)dθ)
= dθ ,
es decir, ϕ∗ω = dθ . Luego, dϕ∗ω = d2θ = 0 , y como dϕ∗ω = ϕ∗(dω) ,
claramente se ve que se satisface lo anterior.
Sea ω ∈ Λk,r(M) . Definimos dω como la unica (k + 1)–forma
diferenciable de clase Cr−1 en M tal que para cada parametrizacion
ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M se tiene que ϕ∗(dω) = d(ϕ∗ω) .
Ahora, si ϕ : U0 ⊂ Rm → U ⊂ M y ψ : V0 ⊂ Rm → V ⊂ M
son parametrizaciones, con U ∩ V 6= ∅ , tenemos ϕ∗(dω) = d(ϕ∗ω) ∈Λk+1,r−1(ϕ−1(U ∩ V )) y ψ∗(dω) = d(ψ∗ω) ∈ Λk+1,r−1(ψ−1(U ∩ V )) .
404 Formas Diferenciales en Superficies
Luego, (ψ−1 ϕ)∗d(ψ∗ω) = d(ψ−1 ϕ)∗(ψ∗ω) = d(ψ (ψ−1 ϕ))∗ω =
dϕ∗ω , es decir, ϕ∗ (ψ−1)∗dψ∗ω = dϕ∗ω de donde (ψ−1)∗dψ∗ω =
(ϕ−1)∗dϕ∗ω , pero dω = (ϕ−1)∗dϕ∗ω = (ψ−1)∗dψ∗ω . Lo que termina la
prueba, y muestra que d esta bien definido.
Proposicion 11.4 La siguientes propiedades valen:
1. Si α, β ∈ Λk,r(M) y c1, c2 ∈ R entonces d(c1α + c2β) = c1dα +
c2dβ .
2. Si α ∈ Λk,r(M) ( r > 2 ). Entonces d2α = d(dα) = 0 .
3. Si α ∈ Λk,r(N) y f : M → N es de clase Cr ( r > 1 ) entonces
f∗(dα) = d(f∗(α)) .
4. Si α ∈ Λk,r(M) y β ∈ Λ`,r(M) ( r > 1 ). Entonces d(α ∧ β) =
dα ∧ β + (−1)kα ∧ dβ .
Demostracion. Rutinaria a partir de las definiciones y propiedades
anteriores, y son dejadas como ejercicio al lector.
Definicion 11.5 Decimos que una k–forma diferenciable de clase Cr
( r > 1 ) es cerrada si dω = 0 , y decimos que ω exacta si existe una
(k − 1)–forma λ tal que ω = dλ .
Ejemplos
1. Sea ω = 5x4y2z3dx + 2x5yz3dy + 3x5y2z2dz . Entonces dω =
10x4yz3dy ∧ dx + 15x4yz2dz ∧ dx + 10x4yz3dx ∧ dy + 6x5yz2dy ∧dz + 15x4y2z2dx ∧ dz + 6x5yz2dy ∧ dz = 0 . Ademas, se tiene que
ω = dλ , donde λ(x, y, z) = x5y3z2 , como se ve facilmente.
Sergio Plaza 405
2. Sea ω =−y
x2 + y2dx +
x
x2 + y2dy , es claro que ω esta definida en
R2 − 0 y es de clase C∞ . Tenemos
dω =y2 − x2
(x2 + y2)2dy ∧ dx +
y2 − x2
(x2 + y2)2dx ∧ dy
=(
y2 − x2
(x2 + y2)2− y2 − x2
(x2 + y2)2
)dx ∧ dy = 0 .
Luego, ω es cerrada. Afirmamos que ω no es exacta.
3. Sea
ω =x
(x2 + y2 + z2)3/2dy ∧ dz +
y
(x2 + y2 + z2)3/2dz ∧ dx
+z
(x2 + y2 + z2)3/2dx ∧ dy .
Un calculo muestra que dω = 0 , es decir, ω es cerrada, pero
afirmamos que ω no es exacta.
Proposicion 11.5 Cada forma exacta es cerrada.
Demostracion Sea ω ∈ Λk,r(M) una k–forma exacta, entonces ω =
dλ para alguna λ ∈ Λk−1,r+1(M) , luego dω = d(dλ) = 0 . Lo que
completa la prueba.
Definicion 11.6 Decimos que un conjunto R ⊂ Rn es conexo por ca-
minos si, para cada par de puntos p, q ∈ R existe un camino continuo
α : [0, 1] → R tal que α(0) = p y α(1) = q .
El siguiente teorema no es dıficil de probar, y se deja a cargo del lector.
Teorema 11.1 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto conexo por caminos.
Si f : U → R tiene todas sus derivadas parciales igual a cero en cada
punto de U . Entonces f es una funcion constante.
406 Formas Diferenciales en Superficies
Corolario 11.2 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto conexo por caminos,
y sea ω : U → R una 0–forma diferenciable cerrada. Entonces ω es
constante.
Demostracion. Tenemos que,
0 = dω =n∑
i=1
∂ω
∂xidxi
luego ∂ω∂xi
= 0 ( i = 1, . . . , n ) en todo U , por lo tanto ω es constante,
por la proposicion anterior.
Definicion 11.7 Decimos que un conjunto R ⊂ Rn es simplemente
conexo si, cada camino α : [0, 1] → R continuo y cerrado (es decir,
α(0) = α(1) ) puede ser deformado continuamente dentro de R a un
punto.
Teorema 11.3 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto simplemente conexo.
Entonces cada 1–forma en U es exacta.
Proposicion 11.6 1. Sean ω y β dos k–formas, con β cerrada.
Entonces d(ω + β) = dω .
2. Si α, β son dos k–formas diferenciables con dα = dβ . Entonces
β = α + γ , donde γ es una k–forma cerrada.
Demostracion. La parte a) es inmediata.
b) Tenemos que β = α + (β − α) . Sea γ = β − α . Entonces dγ =
dβ − dα = 0 , esto es, γ es cerrada.
Sergio Plaza 407
11.3 Ejercicios
1. Pruebe todas las afirmaciones dejadas sin prueba, en especial,
aquellas a cargo del lector. Pruebe tambien todas las Proposi-
ciones, Teoremas, Corolarios y Lemas no demostrados en el texto
anterior.
2. Calcule la derivada exterior de las siguientes formas diferenciales
(a) ω = z2dx ∧ dy + ((z2 + 2y)dx ∧ dy .
(b) ω = 13xdx + y2dy + xyzdz .
(c) ω = (x + 2y3)(dz ∧ dx + dy ∧ dx) .
(d) ω = xdx+ydyx2+y2 , (x, y) 6= (0, 0) .
(e) ω = ydx−xdyx2+y2 , (x, y) 6= (0, 0) .
(f) fdg , donde f, g : R → R son aplicaciones de clase Cr
(r > 1).
3. Pruebe dx1(x), . . . , dxm(x) es una base de TxM∗ .
4. Sean α = x3ydx+ydy , β = x4dx+xdy+z2dz y ρ = xyzdz∧dx .
Calcule
(a) α ∧ β ,
(b) α ∧ ρ ,
(c) β ∧ ρ ,
(d) α ∧ β ∧ ρ .
5. Calcule dF , donde la 0–forma F (x, y, z) = (x2 + y2)/z esta
definida en R3 − z = 0
408 Formas Diferenciales en Superficies
6. Sea A : U ⊂ R3 → R (U abierto) una 0–forma de clase Cr
(r > 1). Pruebe que
dA =∂A
∂xdx +
∂A
∂ydy +
∂A
∂zdz
7. Considere
ω = e(x+2y)2dx + 2e(x+2y)2dy .
Muestre que ω = df para alguna f : R2 → R
8. Sean F1, F2, F3 : U ⊂ R3 → R (U abierto) aplicaciones diferencia-
bles. de clase Ck (k > 1).
(a) Defina la 1–forma ω por ω = F1dx + F2dy + F3dz . Calcule
dω . Si consideramos F = (F1, F2, F3) : U → R3 y definimos
∇×F =(
∂F3
∂y− ∂F2
∂z,
∂F1
∂z− ∂F3
∂x,
∂F2
∂x− ∂F1
∂y
). ¿Cual
es la relacion entre dω y ∇× F ?
(b) Defina la 2-forma β por β = F1dy∧dz+F2dz∧dx+F3dx∧dy .
Pruebe que dβ =(
∂F1
∂x+
∂F2
∂y+
∂F3
∂z
)dx ∧ dy ∧ dz . Se
define la divergencia de la aplicaion F = (F1, F2, F3) : U →R3 por div F =
∂F1
∂x+
∂F2
∂y+
∂F3
∂z. Podemos entonces
escribir la igualdad anterior como dβ = div(F )dx ∧ dy ∧ dz .
9. Calcule la derivada exterior de las siguientes formas diferenciales
(a) z2dx ∧ dy + (z2 + 2y)dx ∧ dz ;
(b) 13xdx + y2dy + xyzdz ;
(c)xdx + ydy
x2 + y2, definida en R2 − (0, 0) ;
(d)ydx− xdy
x2 + y2, definida en R2 − (0, 0) ;
Sergio Plaza 409
(e) f(x2 + y2)(xdx + ydy) , donde f : R→ R es una aplicacion
de clase Cr (r > 1);
(f) fdg ( f, g son funciones )
10. Sean U, V ⊂ Rm conjuntos abiertos, y sea f : U → V una apli-
cacion diferenciable de clase Cr (r > 1), escribamos (y1, . . . , ym) =
(f1(x1, . . . , xm), . . . , fm(x1, . . . , xm)) , donde f = (f1, . . . , fm) . Sea
ω la m–forma ω = dy1∧· · ·∧dym . Pruebe que f∗ω = det(Df) dx1∧· · · ∧ dxm .
11. Para cada una de las siguientes formas diferenciales ω determine
si existe una funcion f tal que ω = df . Encuentre f cuando
exista.
(a) ω = (yzexy +2xyz2)dx+(xzexy +x2z2)dy +(exy +x2yz2)dz .
(b) ω = (cos(yz) + 2xz)dx + (2yz − xz sen(yz))dy + (y2 + x2 +
ez − xy sen(yz))dz .
410 Formas Diferenciales en Superficies
Capıtulo 12
Integracion de Formas
Diferenciables
En este capıtulo estudiaremos integracion de formas diferenciables definidas
en superficies, por ejemplo, la integral de 1–formas diferenciales sobre su-
perficies 1–dimensional es la integral de linea del calculo integral clasico,
y la integral de 0–formas diferenciales sobre superficies 2–dimensionales
contenidas en el espacio euclidiano tridimensional es la integral de su-
perficies (ver [2], capıtulos 5 y 6 o bien [8], capıtulo 13). El objetivo
final es demostrar los teoremas clasicos del calculo integral, estos son el
Teorema de Stokes, Teorema de Green, y Teorema de Gauss (tambien
llamado Teorema de la Divergencia)
12.1 Integral de k–formas
Comenzamos el estudio de la integral de formas diferenciables, definiendo
la integral de 0–formas definidas en superficies de orientadas dimension
0. Como este tipo de superficies esta formada por puntos aislados, a los
411
412 Integracion de Formas Diferenciales
cuales asignamos una orientacion, basta definirla en el caso mas simple
y que corresponde a un punto.
Definicion 12.1 Sea p un punto y sea ω una 0–forma definida en
p . La integral de ω en p es
∫
pω =
ω(p) si p es orientado con +
−ω(p) si p es orientado con − .
Para el caso general, simplemente exigimos que la integral sea lineal.
Por ejemplo, si M = +(6, 3,−1) ∪ −(1, 1, 1) y ω(x, y, z) = x2 +
y3 − 3z entonces∫M ω = ω(6, 3,−1)− ω(1, 1, 1) = (62 + 33 − 3(−1))−
(12 + 13 − 3 · 1) = 67 . Recuerde que en nuestro contexto, −(1, 1, 1)significa que el punto (1, 1, 1) tiene la orientacion − , y no es el punto
(−1,−1,−1) .
Proposicion 12.1 Sea M una superficie 0–dimensional orientada, y
sea ω : M → R una 0–forma. Si denotamos por −M la superficie M
con la orientacion opuesta. Entonces∫
−Mω = −
∫
Mω .
Demostracion. Trivial.
Ahora extenderemos nuestro concepto de integral a superficies 1–
dimensionales con borde. Sea M ⊂ Rn una superficie en de dimension
1, con borde. Entonces M es simplemente una curva. Usando el Teo-
rema del Cambio de Variable, nos es suficiente definir la integral de
1–formas diferenciables definidas sobre curvas que son imagen de una
unica parametrizacion, ϕ : [a, b] ⊂ R → Rn . Para mantener la co-
herencia, una tal superficie la denotamos por C . Orientamos C en el
Sergio Plaza 413
sentido crecientes del parametro t , es decir, ϕ′(t) es una base positiva
de Tϕ(t)C
Definicion 12.2 Sea C ⊂ Rn una curva orientada, parametrizada por
ϕ : [a, b] → Rn . Sea ω : C → R una 1–forma diferenciable de clase Cr
( r > 1 ). La integral de ω sobre C es
∫
Cω =
∫ b
aω(ϕ′(t))dt .
Sabemos que podemos escribir una 1–forma diferencial ω en Rn como
ω =∑n
i=1 ωi dxi , donde ω : C → R son funciones diferenciables (i =
1, . . . , n), luego
∫
Cω =
∫
C
n∑
i=1
ωidxi =n∑
i=1
∫
Cωidxi .
Por lo tanto, solo nos basta ver como integrar 1–formas diferencial
del tipo ωidxi . Llamemos βi = ωidxi . Tenemos que βi(ϕ′(t)) =
ωi(ϕ(t))dxi(ϕ′(t)) = ωi(ϕ(t))dxi(ϕ′1(t), . . . , ϕ′n(t)) = ωi(ϕ(t))ϕ′i(t) , de
aquı tenemos entonces que
∫
Cωidxi =
∫
Cβi =
∫
Iβi(ϕ′(t))dt =
∫ b
aωi(ϕ(t))ϕ′i(t)dt .
Por lo tanto,
∫
Cω =
n∑
i=1
ωidxi =n∑
i=1
∫ b
aωi(ϕ(t))ϕ′i(t)dt.
Definicion 12.3 Sea c : [a, b] → Rn una curva. Decimos que c es
diferenciable por partes, si c es continua y existe una particion a = t0 <
t1 < · · · < tk < tk+1 = b de [a, b] tal que la restriccion c/[tj , tj+1] = cj
es diferenciable, j = 0, . . . , k .
414 Integracion de Formas Diferenciales
Ejemplo. Sea c : [−1, 1] → R2 dada por c(t) = (t, |t|) . Claramente
c no es diferenciable en t = 0 , pero es de clase C∞ por partes, como
puede ser facilmente verificado.
Nota. En esta notas trabajaremos, en general, con curvas y superficies
diferenciables, pero es facil extender los resultados al caso de curvas
diferenciables por partes.
Observacion. En los textos de calculo se define la integral de linea de
campos vectoriales. Un campo vectorial definido en un abierto U ⊂ Rn
es una aplicacion F : U → Rn . Podemos identificar un campo vectorial
F con la 1–forma ωF definida sobre U dada por ωF = F1dx1 + · · · +Fndxn , donde F = (F1, . . . , Fn) . Si C : [a, b] → U es una curva
diferenciable por partes, se define la integral de linea del campo vectorial
F a lo largo de C por∫
CF =
∫ b
a
n∑
i=1
Fi(c(t))c′i(t) dt =∫ b
a< F (c(t)), c′(t) > dt .
la cual es obviamente igual a la integral∫C ωF como fue definida ante-
riormente.
Ejemplos.
1. Sea C ⊂ R3 la curva parametrizada por ϕ : [1, 3] → R3 , donde
ϕ(t) = (2t+1, t2, t3) , y sea ω(x, y, z) = (3x− 1)2dx+5zdy +2dz .
Tenemos x = ϕ1(t) = 2t + 1 , y = ϕ2(t) = t2 , z = ϕ3(t) = t3 ,
ω1(x, y, z) = (3x−1)2 , ω2(x, y, z) = 5z , y ω3(x, y, z) = 2 . Luego,∫C ω =
∫ 31 (ω1(ϕ(t))ϕ′1(t) + ω2(ϕ(t))ϕ′2(t) + ω3(ϕ(t))ϕ′3(t))dt =
∫ 31 10t4 + 78t2 + 48t + 8 dt = 1268 .
Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto. Si c : [a, b] → U ⊂ Rn es una curva
diferenciable por partes y a = t0 < t1 < · · · < tk < tk+1 = b es una
Sergio Plaza 415
particion de [a, b] tal que las restricciones cj = c/[tj , tj+1] (j = 0, . . . , k )
son diferenciables (obviamente suponemos que la particion es la mınima
que satisface la condicion). Sea ω una 1–forma definida en U . Entonces
en cada intervalo [tj , tj+1] tenemos la 1–forma c∗jω , la cual es dada por
c∗jω =n∑
i=1
ai(x1(t), . . . , xn(t))dxi
dtdt ,
donde c(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) . Se define entonces
∫
Cω =
k∑
j=0
∫ tj+1
tj
c∗jω =∫ b
a
(n∑
i=1
ai(t)dxi
dt
)dt .
Recordemos que un cambio de parametro de c : [a, b] → Rn es un
difeomorfismo ϕ : [c, d] → [a, b] . Decimos que ϕ preserva orientacion
si es creciente, si no decimos que invierte orientacion. Supongamos que
ϕ es creciente (si no, hay que hacer el adecuado cambio de signo), y sea
t = ϕ(τ) . Entonces∫
C=
∫ b
a
(n∑
i=1
ai(t)dxi
dt
)dt
=∫ b
a
(n∑
i=1
ai(ϕ(τ))dxi
dτ
dτ
dt
)dt
=∫ d
c
(n∑
i=1
ai(τ)dxi
dτ
)dτ
=∫
Cω ,
donde C es la curva C parametrizada por τ .
Desde las propiedades de la integral para funciones de variable real a
valores reales se sigue la siguiente proposicion
416 Integracion de Formas Diferenciales
Proposicion 12.2 Sea C ⊂ Rn una curva orientada, y sea k un
numero real, y sean ω, α : C → R dos 1–formas de clase Cr ( r > 1 ).
Entonces
1. ∫
Ckω + α = k
∫
Cω +
∫
Cα .
2. Si −C representa la curva C con la orientacion opuesta, entonces∫
−Cω = −
∫
Cω .
Demostracion. Inmediata desde la defincion.
Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto, y sea ω una 1–forma definida en
U . Recordemos que una forma ω es cerrada si dω = 0 , y que ω es
exacta si existe una funcion f : U → R tal que ω = df .
Ahora si ω es exacta en U y c : [a, b] → U es una curva diferenciable,
entonces∫
Cω =
∫
Cdf =
∫ b
ac∗(df) = f(c(b))− f(c(a)) ,
es decir, el valor de∫C ω depende solo de los puntos extremos de la
curva C . De esto se sigue que si ω es exacta en U y C es una curva
cerrada (es decir, c(a) = c(b)) en U entonces∫
Cω = 0 .
Sea ω =∑n
i=1 aidxi una 1–forma definida en un conjunto abierto
U ⊂ Rn . Tenemos la siguiente proposicion.
Proposicion 12.3 Son equivalentes:
1. ω es exacta en un subconjunto abierto conexo V ⊂ U ,
Sergio Plaza 417
2. el valor de∫C ω depende solo de la curva C , para toda curva C
contenida en V ,
3.∫C ω = 0 para toda curva cerrada C contenida en V .
Nota. Una curva C contenida en V significa que C es la imagen de
c : [a, b] → Rn tal que c(t) ∈ V para todo t ∈ [a, b] .
Demostracion. Ya hemos probado que (1) implica (2) y que (2) implica
(3).
Ahora, la prueba que (3) implica (2) es inmediata, por lo tanto solo
nos resta probar que (2) implica (1).
(2) implica (1). Fijemos un punto p ∈ V . Dado x ∈ V , sea C una
curva diferenciable por partes uniendo p y x . Definamos f : V → R
por f(x) =∫C ω . Por (2), f esta bien definida. Afirmamos que df = ω ,
lo cual terminarıa la prueba.
Como df =∑n
i=1∂f∂xi
dxi , debemos probar que ∂f∂xi
(x) = ai(x) (i =
1, . . . , n). Sea ei el i–esimo vector canonico de Rn , y consideremos la
curva ci : ]−ε, ε[→ V , dada por ci(t) = x+ tei , uniendo x con x+ tei .
Entonces
∂f
∂xi(x) = lim
t→0
f(x + tei)− f(x)t
= limt→0
1t
(∫
c+ci
ω −∫
cω
)
= limt→0
1t
∫
ci
ω
=1t
∫ t
0ai(s) ds = ai(0) = ai(x) .
Lo que termina la prueba de lo afirmado.
418 Integracion de Formas Diferenciales
Ejemplo. Consideremos la 1–forma
ω0 = − y
x+y2dx +
x
x2 + y2dy
definida en R2−(0, 0) . Tenemos que dω0 = 0 , pero ω0 no es exacta.
¿porque?
Para superficies m–dimensionales con borde, Mm , la definicion de la
integral de una m–forma diferenciable puede ser hecha primero definiendo
esta en el caso que Mm es imagen de una unica parametrizacion y des-
pues la extendemos al caso general.
Sea Mm ⊂ Rn una superficie m–dimensional con borde, imagen de
una unica parametrizacion ϕ : U0 ⊂ Rm → M . Sea ω : M → R una
m–forma diferenciable de clase Cr ( r > 1 ), entonces podemos escribir
ω = (f ϕ)(x1, . . . , xm)dx1∧· · ·∧dxm , donde f : M → R es una funcion
de clase Cr .
Definicion 12.4 La integral de ω sobre M es
∫
Mω =
∫
U0
(f ϕ)(x1, . . . , xm)dx1 · · · dxm .
Ahora demostraremos que la definicion arriba no depende de la eleccion
de la parametrizacion.
Proposicion 12.4 Sea Mm ⊂ Rn una superficie orientada. Sean ϕ :
U0 ⊂ Rm → U ⊂ M y ψ : V0 ⊂ Rm → U parametrizaciones positiva de
U , y sea ω : U → R una m–forma diferenciable de clase Cr ( r > 1 ),
ω = fdx1 ∧ · · · ∧ dxm . Entonces
∫
Uω =
∫
U0
(f ϕ)dx1 · · · dxm =∫
V0
(f ψ)dx1 · · · dxm .
Sergio Plaza 419
Demostracion. Considerando el cambio de coordenadas ξ = ψ−1 ϕ :
U0 → V0 , y escribamos xi = ξi(y1, . . . , ym) (i = 1, . . . , m), donde
tenemos las coordenadas (x1, . . . , xm) en U0 y (y1, . . . , ym) en V0 .
Denotemos por ωϕ y ωψ la representacion de ω en U0 y V0 , re-
spectivamente, es decir, ωϕ = ϕ∗ω y ωψ = ψ∗ω . Entonces ξ∗ωϕ =
(ϕ−1 ψ)∗ωϕ = ψ∗ (ϕ−1)∗ωϕ = ψ∗ (ϕ1)∗ ϕ∗ω = ψ∗ω = ωψ . Ademas
tenemos que
ωψ = det(Dξ) (f ψ) dy1 ∧ · · · ∧ dym .
Ahora, (f ψ)(y1, . . . , ym) = (f ϕ) (ϕ−1 ψ)(y1, . . . , ym) = (f ϕ)(ξ(y1, . . . , ym)) = (f ϕ)(x1, . . . , xm) , y por el Teorema del Cambio
de Variable para integrales multiples, obtenemos que∫
U0
(f ϕ) dx1 · · · dxm =∫
V0
| det(Dξ)|(f ψ) dy1 · · · dym
y como det(Dξ) > 0 , se tiene que el resultado.
12.2 Teorema de Stokes
Sea U un conjunto abierto de Rn o de una superficie M , y sea ω :
U ⊂→ R una forma diferenciable de clase Cr ( r > 1 ). El soporte de
ω es el conjunto sop(ω) = clausura p ∈ U : ω(p) 6= 0 . Es claro que
sop(ω) es un conjunto cerrado en Rn o en M , segun corresponda.
Sea ω : U → R una n–forma diferenciable entonces podemos es-
cribir ω = a(x1, . . . , xn) dx1 ∧ · · · ∧ dxn . Supongamos que sop(ω) es un
conjunto compacto y esta contenido en U . Definimos∫
Uω =
∫
sop(ω)a(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn .
Si M es una superficie, en lo que sigue, por simplicidad vamos a suponer
que M es compacta.
420 Integracion de Formas Diferenciales
Como sop(ω) ⊂ M es cerrado, se sigue que este es compacto. Suponemos
tambien que M es orientable y que tenemos fijada una orientacion en
ella.
Ahora, sea ϕ : Uα ⊂ Rn → Vα ⊂ M es una parametrixacion. Si
sop(ω) ⊂ Vα = ϕ(Uα) entonces, localmente, ω se escribe como ωα =
aα(u1, . . . , un)du1 ∧ · · · ∧ dun , y definimos∫
Mω =
∫
Vα
ωα =∫
Uα
aα(u1, . . . , un)du1 · · · dun .
Si sop(ω) ⊂ Vβ = ϕβ(Uβ) . Entonces el valor de la integral es el
mismo que cuando se calcula usando la parametrizacion ϕβ , esto es
consecuencia inmediata del Teorema del Cambio de Variable anterior.
La eleccion de la orientacion de M sirve para que no haya cambios
en el signo de la integral al trabajar con diferentes parametrizaciones.
Si sop(ω) no esta contenido en la imagen de una parametrizacion,
consideramos el cubrimiento abierto Vα : α ∈ Γ de M por vecin-
dades parametrizadas, y sea Φ = ψα una particion de la unidad
subordinada a este cubrimiento, es decir, sop(ψαω) ⊂ Vα . Definimos
entonces ∫
Mω =
k∑
α=1
∫
Mϕα · ω .
Como antes, se prueba que esta definicion no depende de la particion
de la unidad usada para calcular la integral.
Teorema 12.1 (Stokes). Sea Mm una superficie de clase Cr ( r >1 ), compacta, orientada y con borde ∂M dotado de la orientacion in-
ducida. Sea ω una (m − 1)–forma diferenciable sobre M y sea dω
su derivada exterior. Denotemos por i∗ω la restriccion de ω a ∂M ,
donde i : ∂M → M es la aplicacion inclusion. Entonces∫
∂Mi∗ω =
∫
Mdω .
Sergio Plaza 421
Demostracion. Sea K = sop(ω) . Consideremos los siguientes casos:
a) K esta contenido en un abierto V = ϕ(U) , donde ϕ : U ⊂ Rm →V ⊂ M es una parametrizacion.
En V la forma ω puede ser escrita como
ω =m∑
j=1
aj(u1, . . . , um) du1 ∧ · · · ∧ duj−1 ∧ duj+1 ∧ · · · ∧ dum ,
donde aj : U → R son funciones diferenciables ( j = 1, . . . , m ). Luego
dω =
m∑
j=1
(−1)j−1 ∂aj
∂uj
du1 ∧ · · · ∧ dum .
Si ϕ(U)∩∂M = ∅ . Entonces ω = 0 en los puntos de ∂M e i∗w = 0 ,
de donde ∫
∂Mi∗ω = 0 .
Ahora debemos probar que
∫
Mdω =
∫
U
m∑
j=1
(−1)j−1 ∂aj
∂ujdu1 · · · dum = 0
.
Para esto, extendemos las funciones aj a Hm definiendo
aj(u1, . . . , um) =
aj(u1, . . . , um) si (u1, . . . , um) ∈ U
0 si (u1, . . . , um) ∈ Hm − U
Como ϕ−1(K) ⊂ U, las funciones aj ası definidas son diferenciables
en Hm . Consideremos ahora el cubo Q ⊂ Hm dado por u1j 6 uj 6
u0j , j = 1, . . . , m y que contiene a ϕ−1(K) en su interior. Entonces
422 Integracion de Formas Diferenciales
∫
U
m∑
j=1
(−1)j−1 ∂aj
∂ujdu1 · · · dum =
m∑
j=1
(−1)j−1
∫
Q
∂aj
∂ujdu1 · · · dum
=m∑
j=1
(−1)j−1
∫
Qaj(u1, . . . , uj−1, u
0j , uj+1, . . . , um)
−aj(u1, . . . , uj−1, u1j , uj+1, . . . , um) du1 · · · duj−1 duj+1 · · · dum
= 0
pues aj(u1, . . . , u0j , . . . , um) = aj(u1, . . . , u
1j , . . . , um) = 0 para todo j =
1, . . . , m .
Si ϕ(U) ∩ ∂M 6= ∅ . Entonces la aplicacion i se escribe como
i =
u1 = 0
uj = uj , j = 2, . . . , m
y usando la orientacion inducida en el borde i∗ω = a1(0, u2, . . . , um) du2∧. . . ∧ dum , como antes extendemos las funciones aj por
aj(u1, . . . , um) =
aj(u1, . . . , um) si (u1, . . . , um) ∈ U
0 si (u1, . . . , um) ∈ Hm − U
las funciones aj ası definidas son de clase Cr en Hm . Consideremos
ahora el cubo dado por u1j 6 u1 6 0 , u1
j 6 uj 6 u0j (j = 2, . . . , m ) y
tal que la union del interior de Q con el hiperplano u1 = 0 contenga a
ϕ−1(K) . Entonces
∫
Mdω =
m∑
j=1
(−1)j−1
∫
Q
∂aj
∂ujdu1 · · · dum
Sergio Plaza 423
=∫
(a1(0, u2, . . . , um)− a1(u11, u2, . . . , um))du2 · · · dum
+m∑
j=2
(−1)j−1
∫(aj(u1, . . . , u
0j , . . . , um)
−aj(u1, . . . , u1j , . . . , um))du1 · · · duj−1duj+1 · · · dum .
Ahora, como aj(u1, . . . , u0j , . . . , um) = aj(u1, . . . , u
1j , . . . , um) = 0 , y
a1(u11, u2, . . . , um) = 0 , tenemos que
∫
Mdω =
∫
Qa1(0, u2, . . . , um)du2 · · · dum =
∫
∂Mi∗ω .
Para el caso general, sea Vα un cubrimiento abierto de M por
vecindades parametrizadas, sea ψ1, . . . , ψ` una particion de la unidad
subordinada al cubrimiento Vα . Las formas diferenciales ωj = ψjω ,
con j = 1, . . . , ` satisfacen las condiciones anteriores. Ademas, como∑`
j=1 dω = 0 , tenemos∑`
j=1 ωj = ω y∑`
j=1 dωj = dω . Luego,
∫
Mdω =
∑
j=1
∫
Mdω
=∑
j=1
∫
∂Mi∗ωj
=∫
∂M
∑
j=1
∗ω
=∫
∂Mi∗
∑
j=1
ωj
=∫
∂Mi∗ω .
Lo que termina la prueba del teorema.
424 Integracion de Formas Diferenciales
El Teorema de Stokes puede ser reformulado de la siguiente manera.
Teorema 12.2 Sea M una superficie compacta orientada con borde
∂M (posiblemente vacıo) orientado con la orientacion inducida por la
orientacion de M . Sea ω una (m − 1)–forma diferenciable de clase
Cr ( r > 1). Entonces ∫
Mdω =
∫
∂Mω .
Del teorema anterior tenemos los siguientes corolarios.
Corolario 12.3 Sea Mm una superficie orientada cerrada (es decir,
∂M = ∅ ) y sea ω : M → R una m–forma exacta. Entonces∫
Mω = 0 .
Demostracion. Como ω es exacta, se tiene que ω = dα , donde α es
una (m− 1)–forma. Entonces∫
Mω =
∫
Mdα =
∫
∂Mα = 0 .
Corolario 12.4 Sea Mm una superficie orientada, con borde, y sea
ω : M → R una m–forma cerrada (dω = 0). Entonces∫
∂Mω = 0 .
Demostracion. Tenemos que∫
∂Mω =
∫
Mdω = 0 .
12.2.1 Teorema de Green y Teorema de Gauss
En esta seccion probaremos dos resultados clasicos, que son el Teorema
de Green y el Teorema de Gauss.
Sergio Plaza 425
Teorema 12.5 (Green) Sea M ⊂ R2 un superficie 2–dimensional
con borde, y sean P,Q : M → R funciones diferenciables. Entonces∫
∂MPdx + Qdy =
∫ ∫
M
(∂Q
∂x− ∂P
∂ydx dy .
)
Nota. La superficie M es considerada con la orientacion usual y ∂M
tiene la orientacion inducida.
Demostracion. Sea ω = Pdx + Qdy . Tenemos que ω es una 1–forma
diferenciable, y por el Teorema de Stokes∫
Mdω =
∫
∂Mω .
Ahora,
dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy
=(
∂P
∂xdx +
∂P
∂ydy
)∧ dx +
(∂Q
∂xdx +
∂Q
∂ydy
)∧ dy
= (∂P
∂xdx ∧ dx +
∂P
∂ydy ∧ dx +
∂Q
∂xdx ∧ dy +
∂Q
∂ydy ∧ dy
= −∂P
∂ydx ∧ dy +
∂Q
∂xdx ∧ dy ,
esto es, dω =(
∂Q∂x − ∂P
∂y
)dx ∧ dy . Reemplazando esto en la formula
dada por el Teorema de Stokes obtenemos el resultado.
Nota. Sea V espacio vectorial real de dimension m . Denotemos por
Lk(V,R) el espacio vectorial de las aplicaciones k –lineales L : V k → R
(V k = V × · · · × V , k factores). Recordemos que T ∈ k(V,R) es al-
ternada si, T (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = −T (v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk) .
Denotemos por Λk(V ) = L ∈ Lk(V,R) : L alternada . Es facil ver
que Λk(V ) es un subespacio vectorial de Lk(V,R) y que dim Λk(V ) =
426 Integracion de Formas Diferenciales
m!k!(m−k)! . Si V es un espacio vectorial orientado, y si v1, . . . , vm es
una base ortonormal de V determinando su orientacion. Entonces exis-
te una unica ω ∈ Λk(V ) tal que ω(v1, . . . , vm) = 1 . Esta m–forma
lineal es llamado elemento de volumen de V .
Ahora, si M ⊂ Rn es una superficie m–dimensional de clase Cr
(r > 1) orientada (con o sin borde). Como Λm(TxM) tiene dimension
1, para cada x ∈ M existe una unica m–forma vol : M → R tal que
volx(v1(x), . . . , vm(x)) = 1 para cada base ortonormal v1(x), . . . , vm(x)de TxM determinando su orientacion. La forma vol es llamada forma
de volumen de M .
Si M ⊂ Rm una superficie m–dimensional compacta, y si vol es su
forma de volumen, entonces se tiene que∫
Mvol =
∫
Mdx1 · · · dxm = vol(M) .
Si dimM = 2 , la forma de volumen correspondiente es denotada por
dA , y es llamada forma de area (no es la diferencial de A , es solo una
notacion).
Sea M ⊂ R3 es una superficie 3–dimensional con borde, ∂M , y sea
n(x) el vector unitario normal a Tx∂M . Orientamos ∂M de modo que
n(x) apunte hacia afuera de M . Tenemos entonces que
dA = n1dy ∧ dz + n2dz ∧ dx + n3dx ∧ dy .
Ademas, n1dA = dy ∧ dz , n2dA = dz ∧ dx , y n3dA = dx ∧ dy .
Teorema 12.6 (Gauss) Sea M ⊂ R3 una superficie 3–dimensional
compacta con borde, orientada por su vector normal unitario, n =
(n1, n2, n3) , en ∂M . Sea F : M → R3 una aplicacion diferenciable.
Entonces ∫
Mdiv(F )dV =
∫
∂M< F, n > dA .
Sergio Plaza 427
Observacion. Esta ecuacion se escribe como sigue:∫ ∫ ∫
M
(∂F1
∂x+
∂F2
∂y+
∂F3
∂z
)dxdydz =
∫ ∫
∂M(n1F1+n2F2+n3F3)dA .
Demostracion. Definamos la 2–forma ω sobre M por ω = F1dy ∧dz + F2dz ∧ dx + F3dx ∧ dy . Tenemos que ω es diferenciable, y
dω = dF1 ∧ dy ∧ dz + dF2 ∧ dz ∧ dx + dF3 ∧ dx ∧ dy
=(
∂F1
∂xdx +
∂F1
∂ydy +
∂F1
∂zdz
)∧ dy ∧ dz
+(
∂F2
∂xdx +
∂F2
∂ydy +
∂F2
∂zdz
)∧ dz ∧ dx
+(
∂F3
∂xdx +
∂F3
∂ydy +
∂F3
∂zdz
)∧ dx ∧ dy
=∂F1
∂xdx ∧ dy ∧ dz +
∂F1
∂ydy ∧ dy ∧ dz +
∂F1
∂zdz ∧ dy ∧ dz
+∂F2
∂xdx ∧ dz ∧ dx +
∂F2
∂ydy ∧ dz ∧ dx +
∂F2
∂zdz ∧ dz ∧ dx
+∂F3
∂xdx ∧ dx ∧ dy +
∂F3
∂ydy ∧ dx ∧ dy +
∂F3
∂zdz ∧ dx ∧ dy
=∂F1
∂xdx ∧ dy ∧ dz +
∂F2
∂ydx ∧ dy ∧ dz +
∂F3
∂zdx ∧ dy ∧ dz .
Por otra parte,
n1dA = dy ∧ dz
n2dA = dz ∧ dx
n3dA = dx ∧ dy
428 Integracion de Formas Diferenciales
Ası,
< F, n > dA = F1n1dA + F2n2dA + F3n3dA
= F1dy ∧ dz + F2dz ∧ dx + F3dx ∧ dy
= ω .
Luego, por el Teorema de Stokes, reemplazando se obtiene el resul-
tado.
12.3 Ejercicios
1. Sea Mm ⊂ Rn superficie orientada con borde, y sea ω una
m–forma en M , con sop(ω) compacto. Designe por −M la su-
perficie M con la orientacion opuesta. Demuestre que∫
−Mω =
−∫
Mω .
2. (a) Sea f(x, y, z) = (2xy, 3z3, x2, 9xz2) . Calcule∫
CF ·dr , donde
C es cualquier curva comenzando en (2, 1, 1) y terminando
en (5, 0, 0) .
(b) ¿Para que valores de a y b se tiene que F (x, y, z) = (bxz +
2y, bx + 2ayz, y2 + ax2) es el gradiente de una funcion f , es
decir, F = grad f ?
(c) Calcule∫
CF ·dr , donde F (x, y) = (−y2, x2) y C es parametrizada
por r(t) = (cos(t), sen(t)) , con 0 6 t 6 2π .
(d) Calcule∫
CF · dr , donde C es la curva parametrizada por
r(t) = (et sen(t), et cos(t)) , con 0 6 t 6 π y F (x, y) = (−(3+
2xy), x2 − 3y2) .
(e) Calcule∫
Czdx + y2dy + xyzdz , donde C es parametrizada
por r(t) = (1, 2t, t2) , con 0 6 t 6 1 .
Sergio Plaza 429
3. Calcule∫
Cx4dx + xydy , donde C es la curva consistiendo de los
segmentos de linea desde (0, 0) a (1, 0) , desde (1, 0) a (0, 1) , y
desde (0, 1) a (0, 0) , directamente y usando el teorema de Green.
4. Calcule∫
Sx+y+zdS , donde S es la porcion del plano x+y = 1
en el primer octante, donde 0 6 z 6 1 .
5. Calcule∫
CF (x, y)·dr , donde F (x, y) = (2xy, x2) y C es la curva
borde del cuadrado [0, 1]×[0, 1] , directamente y usando el teorema
de Green.
6. Sea S la parte de la grafica de la funcion f(x, y) = y2 − x2 + 1 ,
para x2 + y2 6 1 . Oriente S por el vector normal unitario n que
tiene su tercera coordenada positiva.
(a) Construya una parametrizacion ϕ(u, v) para S y exprese n
en terminos de∂ϕ
∂u× ∂ϕ
∂v.
(b) Sea F (x, y, z) = (0, xz, 0) . Calcule∫
Srot(F ) · ndS .
7. Calcule∫
SF · dS , donde F (x, y, z) = (x2, y2z, z3) y S es la
superficie del cubo [1, 2] × [−1, 1] × [0, 1] y la orientacion esta
dada por el vector normal unitario que apunta hacia afuera.
8. Sea ω = (x2 + x3 − 2x1x2)dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 + (x22 + ex3 − x4)dx3 ∧
dx4 ∧ dx1 ¿Existe una forma η tal que dη = ω ? (justifique su
respuesta?
9. Calcule∫
Srot(F )·dS , donde F (x, y, z) = (z3x−y, z3y, x3y+y3x)
y S es la pare de la superficie z = 9− x2 − y2 por sobre el plano
xy .
430 Integracion de Formas Diferenciales
10. Calcule la integral
∫
C(2x− y) dx + (x + 3y) dy
sobre el camino
(a) C : eje X de x = 0 a x = 5.
(b) C : eje Y de y = 0 a y = 2.
(c) C : segmento de (0,0) a (3,0) y de (3,0) a (3,3).
(d) C : segmento de (0,0) a (0,-3) y de (0,-3) a (2,-3).
(e) C : camino parabolico x = t , y = 2t2 , de (0,0) a (2,8).
(f) C : camino elıptico x = 4 sen(t) , y = 3 cos(t) , de (0,3) a
(4,0).
11. Sea c : [a, b] → M una curva de clase C1 en una superficie
Mm . Sean c(a) = p , c(b) = q . Pruebe que si f : M → R es
diferenciable y ω = df entonces∫ b
ac∗ω = f(q)− f(p) .
12. Sea T (u, v) = (4u, 2u + 3v) . Sea D∗ el rectangulo [0, 1]× [1, 2] .
Encuentre D = T (D∗) y calcule∫
Dxydxdy .
13. Calcule∫
Ωz3dxdydz , donde Ω = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6
2az , a > 0 .
14. Calcule el area de la superficie S parametrizada por Φ : [0, 1] ×[0, v/2] → R3 , con Φ(u, v) = (eu cos(v), eu sen(v), v) .
15. Sea S el borde del paralelepıpedo [−2, 2]× [−1, 1]× [−3, 3] , y sea
G(x, y, z) = (x3, 3z, 2y) . Calcule∫
SG · dS .
Sergio Plaza 431
16. Calcule∫
S∇ × F · dS , donde F (x, y, z) = (x, y, 0) y S es la
superficie definida por la ecuacion x2 + y2 + (z − 3)2 = 1 , para
z > 3 .
17. Sea F (x, y) = (ex cos(3y), 3ex sen(3y)) .
(a) Encuentre f tal que grad f = F ,
(b) Calcule∫
CF · dr , donde r(t) = (cos(t), sen(t)) .
18. Encuentre el area de la parte de la superficie z = xy +20 que esta
sobre el disco x2 + y2 6 8 .
19. Verifique el teorema de Stokes para la superficie x2+y2+z2 = 16 ,
con z > 0 , y F (x, y, z) = (x2 + y2 − 4, 3xy, 2xz + z2 =) .
20. Sea α : [a, b] → M una curva de clase C1 . Sea f : [c, d] → [a, b]
una funcion de clase C1 , con f(c) = a y f(d) = b . Demuestre
que∫ b
aα∗ω =
∫ d
c(α f)∗ ω , donde ω es una 1–forma definida
en una vecindad de α([a, b]) .
21. Una curva cerrada sobre una superficie M , es una curva γ : S1 →M . Si ω es una 1-forma sobre M , defina la integral de ω a lo
largo de γ por∮
γω =
∫
S1
γ∗ ω .
Para el caso M = Rm o M = graf(f) , donde f : Rn → R .
Escriba∮
γω explıcitamente.
22. Sea S la superficie imagen de ϕ(u, v) = (u cos(v), u sen(v), u) .
Encuentre un dominio donde ϕ es inyectiva. Encuentre un vector
normal a la superficie en el punto (1, 0, 1) . Encuentre la ecuacion
del plano tangente a la superficie en ese punto. Finalmente encuen-
432 Integracion de Formas Diferenciales
tre el area de la porcion de la superficie determinada por 0 6 u 6 2
y 0 6 v 6 π .
23. Calcule las siguientes integrales:
(a)∫
Cxyzdy , donde C es el segmento de linea desde (1, 1, 1) a
(2, 3, 4) .
(b)∫
Cgrad(f)·dr , donde f en una funcion de clase C1 definida
en R3 y C es una curva cerrada en R3 .
24. Sea S el borde del cubo [−2, 2]×[−1, 1]×[−3, 3] y sea G(x, y, z) =
(x3, 3z, 2y) . Calcule∫
SG · dS .
25. Sea F (x, y, z) = (x, y, 0) . Calcule∫
S∇× F · dS , donde S es la
superficie en R3 definida por la ecuacion x2 + y2 + (z − 3)2 = 1
para z > 0 .
26. Sea F (x, y) = (ex cos(3y), ex sen(3y)) .
(a) Encuentre f tal que ∇f = F .
(b) Calcule∫
CF · ds , sobre el camino c(t) = (cos(t), sen(t)) ,
para 0 6 t 6 2π .
27. Verifique el Teorema de Stokes para la superficie x2 +y2 +z2 = 16
y z > 0 , donde F (x, y, z) = (x2 + y2 − 4, 3xy, 2xz + z2) .
28. Calcule∫
SzdS , donde S es la superficie dada por z = x2 + y2
para x2 + y2 6 1 .
29. Calcule la integral∫
Cxds , para cada una de las siguientes curvas
(a) C es el segmento de recta desde (0, 0) a (3, 1) .
Sergio Plaza 433
(b) C es la parte de la parabola x = y2 desde (1, 1) a (9, 3) .
30. Sea C la mitad de la cardioide r = 1− cos(θ) , donde 0 6 θ 6 π ,
esto es,
x = cos(θ)− cos2(θ)
y = sen(θ)− sen(θ) cos(θ) .
Calcule la integral ∫
Cydx− xdy .
Calcule tambien la integral
∫
C
ydx− xdy√x2 + y2
.
31. Calcule la integral∫
Cx2yds , donde C es el cuarto del astroide
dado por
x = cos3(θ)
y = sen3(θ)
con 0 6 θ 6 π/2 .
32. Parte del folium de Descarte x3+y3 = 3xy puede ser parametrizado
como
x =3t
1 + t3
y =3t2
1 + t3.
Calcule la integral∫
Cxdy , donde C es la parte del folium de
Descarte recorrida cuando t varia entre 0 y 2 en la parametrizacion
anterior.
434 Integracion de Formas Diferenciales
33. Sea Ω la region entre x = 0 y x = π acotada por el eje x y la
grafica de y = sen(x) . Sea C la curva frontera de Ω recorrida en
sentido contrario a las agujas del reloj. Use el teorema de Green
para calcular la integral de linea∫
C(xy + x3)dx + (6y + y5)dy .
34. Si F (x, y, z) = (x2y, xy2, xyz) . Calcule rot(F ) ¿Puede calcular
rapidamente div(rot(F ))?
35. Sea h : R→ S1 , dada por h(t) = (cos t, sen t) . Demuestre que si
ω es una 1-forma sobre S1 entonces∫
S1ω =
∫ 2π
0h∗ω .
36. Sea f : M → R una funcion diferenciable, donde N es una
superficie de clase Ck . Sea ω = df . Pruebe que∫
γω = 0 , para
cualquier curva cerrada γ sobre M .
37. Sobre R2−(0, 0) defina la 1-forma ω por ω(x, y) =( −y
x2 + y2
)dx+
(x
x2 + y2
)dy .
Calcule∫
Cω , donde C es un cırculo de radio r centrado en el
origen.
38. Use el Teorema de la Divergencia para calcular∫
SF ·ndS , donde
F (x, y, z) = (x3, y2, z3) y S es el cilindro cerrado dado por x2 +
z2 = 2 , 0 6 y 6 2 , y n es el vector normal unitario que apunta
para afuera de S .
39. La elıpse 4(z − 1)2 + y2 = 1 en el plano yz es rotada alrededor
del eje y para producir una superficie S en R3 . Parametrice S .
40. (a) Sea ω una k–forma, con k impar, muestre que ω ∧ ω = 0 .
Sergio Plaza 435
(b) Sea ω = x21dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 + (x1x4 − x2)dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 +
x2x4dx3 ∧ dx4 ∧ dx1 ¿Existe una forma η tal que dη = ω ?
(c) Sea ω = xzdx ∧ dy + ydx ∧ dz + z2dy ∧ dz . Calcule∫
Sω ,
donde S es la parte del cono z =√
x2 + y2 entre z = 1 y
z = 2 , orientado por el vector normal unitario que apunta
hacia afuera.
41. Calcule∫
γω , donde ω = −y
x2+y2 dx + xx2+y2 dy y γ es la elıpse
19(x − 2)2 + 1
4(y − 1)2 = 1 orientada en el sentido contrario a las
agujas del reloj.
42. Calcule∫
γω , donde ω = ydx − xdy + dz y γ(t) = (sen(t), t, t3)
con 0 6 t 6 2π .
43. Use el Teorema de Green para encontrar una integral equivalente
a la integral doble∫ 3
−3
∫ 2√
1−x2/9
−2√
1−x2/92xydxdy .
44. Calcule∫
γy2dx + ezdy + exdz , donde γ es dada por γ(t) =
(3, et, t) para 0 6 t 6 1 .
45. Calcule∫
γ(ex2
+3y)dx+2xydy , donde γ es el borde de la region
triangular en el plano xy , determinada por el triangulo de vertices
(0, 0) , (2, 0) , y (2, 4) , recorrida en el sentido antihorario.
46. Calcule∫
γ
xdy − ydx
x2 + y2, donde γ es la curva frontera de la region
determinada por el trapezoide de vertices (0, 1) , (1, 1) , (2,−1) ,
y (−1,−1) , orientada en el sentido antihorario.
47. Calcule las siguientes integrales
436 Integracion de Formas Diferenciales
(a)∫
γF ·ds , donde F (, x, y, z) = (y2, xy, xz) y γ es el segmento
de linea desde el origen a (1, 2, 3) .
(b)∫
γF · ds , donde F (x, y, z) = (2xy, x2, 3) y γ es un camino
sobre la esfera unitaria comenzando en (0, 0, 1) y finalizando
en (1, 0, 0) y realizando al menos dos vueltas completas alrede-
dor del eje z .
(c)∫
γF · ds , donde F (x, y, z) = (arctang(x2) − y2
2 , ey2 11+y2 +
x2
2 , log(3 + 4z3)) y γ(t) = (cos(t), sen(t), cos2(t)− sen2(t)) y
0 6 t 6 2π .
(d)∫
γydx + zdy − dz , donde γ(t) = (t, et, e−t) y 0 6 t 6 2π .
48. Calcular∫
Γy2dx+x2dy , donde Γ es la semi–elıpse superior reco-
rrida en el sentido positivo (antihorario).
49. Calcular∫
C(x3 − y)dx + (x + y)dy , donde C es el cırculo de
ecuacion x2 + y2 − 1 = 0 recorrido en el sentido positivo (antiho-
rario)
50. Calcular∫
Cxy2dy − yx2dx , donde C es el cırculo de ecuacion
x2 + y2 − 2y = 0 , recorrido en el sentido antihorario.
51. Sea D = (x, y) ∈ R2 : x > 0 , y > 0 , x + y 6 1 . Calcular∫
∂D(x2 + y2)dx + (x2 − y2)dy .
52. Sea D el semi–disco superior de centro en (0, 0) y radio a ( a >
0 ), y sea ∂D+ su borde superior. Calcular, de dos modos distin-
tos,∫
∂D+
x2ydx + xy(2a− y)dy .
Sergio Plaza 437
53. Calcular∫
D(x3 + y3)dxdy , donde D = (x, y) ∈ R2 : x >
0 , x2
a2 + y2
b26 1 .
54. Calcular∫
D(3x2 + y2)dxdy , donde D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6
1 , (x− 1)2 + y2 6 1 , y > 0 .
55. Sea a > 0 . Calcular∫
Γydx + zdy + xdz , donde Γ es el cırculo
definido por las ecuaciones
x + z = a
x2 + y2 + z2 = a2
orientado por el vector de coordenadas (1, 0, 1) .
56. Calcular∫
Sf(x, y, z)dS , donde S es definida por
x2 + y2 = z2
0 6 z 6 1
y f(x, y, z) = x2y2z .
57. Calcular∫
Sxz dS , donde S es la superficie parametrizada por
x = r cos(θ)
y = r sen(θ)
z = hθ ,
com (r, θ) ∈ D = [0, R]× [0, π] , r > 0 , y h > 0 .
58. Si R = [a, b] × [c, d] y C es la frontera de R (orientada en el
sentido antihorario), y P (x, y) es de clase C1 , entonces∫
R−∂P
∂ydxdy =
∫
CPdx .
438 Integracion de Formas Diferenciales
59. Si definimos
f(a, b) =∫
Cx+Cy
Pdx + Qdy ,
donde Cx = segmento de linea desde (0, 0) a (a, 0) , Cy = seg-
mento de linea desde (a, 0) a (a, b) , entonces ∂f∂y = P (x, y) .
60. Sean ω = −ydx+xdyx2+y2 , α = −(y−b)dx+(x−a)dy
(x−a)2+(y−b)2, y γ = −(y−d)dx+(x−c)dy
(x−c)2+(y−d)2
para (x, y) 6= (0, 0) . Sea C el cırculo unitario, orientado en sen-
tido antihorario. Defina k =∫
Cα .
(a) ¿Cual es el valor de k si (a, b) esta en el disco unitario?.
(Indicacion: se sabe que∫
Cω = 2π y que dω = 0 , excepto
en el origen. Finalmente, k es igual a∫
ω sobre otro cırculo
¿Porque?
(b) ¿Cual es el valor de k si (a, b) esta en el exterior del disco
unitario?
(c) ¿Cual es el valor de∫
Cα + γ si ambos (a, b) y (c, d) estan
en el interior del disco unitario?
61. Sea M una superficie de clase Ck , con k > 1 . Sea π : R ×M → M la proyeccion π(x, p) = p y sea ia : M → R × M , la
incrustacion ia(p) = (a, p) . Pruebe que dPω +Pdω = ω−π∗i∗aω .
62. Sea γ : [a, b] → Rn una curva continua. Decimos que γ es de clase
C1 por partes si, existe una particion t0 = a < t1 < · · · < tn = b
tal que γi = γ/[ti, ti+1] , i = 0, 1, . . . , n−1 , es de clase C1 , usamos
la notacion γ = γ0, . . . , γn−1 . Sea M ⊂ R2 una region, cuyo
borde γ es una curva cerrada simple C1 por partes. Demuestre
que el Teorema de Green vale para M .
Sergio Plaza 439
63. Sea M ⊂ R2 una region conexa. Decimos que M es multi-
plemente conexa si su borde, ∂M , es una union finita disjunta
de curvas cerradas simples C1 por partes. Suponga que ∂M =
γ1 ∪ · · · ∪ γn , y que γ2, . . . , γn estan contenidas al interior de γ1 ,
y que para cada i > 1 , j > 1 la curva γi esta al exterior de γj .
Pruebe la siguiente generalizacion del Teorema de Green. Sean
P, Q : M → R , funciones C1 . Entonces
∫ ∫
M
∂Q
∂x− ∂P
∂ydxdy =
∮
γ1
Pdx + Qdy −n∑
i=2
∮
γk
Pdx + Qdy .
64. Sea f : R3 → R , f(x, y, z) = xyz . Pruebe que∫
S2f = 0 . (In-
dicacion. No es necesario hacer ningun calculo. Justifique su re-
spuesta)
65. Sea F : R3 → R3 , F (x, y, z) = (x2, y2, z2) . Calcular∫ ∫
S2
F ·nds , donde n(x, y, z) es el vector normal unitario exterior de S2
en el punto (x, y, z) . (Indicacion. Usar coordenadas esfericas)
66. Sean u, v : U ⊂ R2 → R funciones de clase C1 , donde U abierto
con (0, 0) ∈ U . Suponga que U contiene el disco D2 = (x, y) ∈R2 : x2 + y2 6 1 . Definamos F (x, y, z) = (v(x, y), u(x, y)) y
G(x, y) = (∂u∂x − ∂u
∂y , ∂v∂x − ∂v
∂y ) . Calcular∫ ∫
D2
F · Gdx dy , si
se sabe que sobre la frontera de D2 se tiene que u(x, y) = 1 y
v(x, y) = y .
67. Sea S ⊂ R3 una superficie que es la imagen de una parametrizacion
ϕ : U0 ⊂ R2 → R3 , si escribimos ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) . Demuestre que
440 Integracion de Formas Diferenciales
el area de S es dada por
A(S) =∫ ∫
U0
√(∂(ϕ2, ϕ3)∂(x, y)
)2
+(
∂(ϕ3, ϕ1)∂(x, y)
)2
+(
∂(ϕ1, ϕ2)∂(x, y)
)2
dx dy ,
donde∂(f, g)∂(x, y)
= det
∂f∂x
∂f∂y
∂g∂x
∂g∂y
.
Aplique lo anterior para calcular el area de la esfera S2 = (x, y, z) ∈R3 : x2 +y2 + z2 = a2 centrada en el origen y radio a > 0 . (In-
dicacion. Use la formula anterior para el caso de parametrizacion
de un grafico)
68. Sea H el hemisferio H = (x, y, z) ∈ S2 : x2 + y2 + z2 =
1 z > 0 , y sea n(x, y, z) el vector normal unitario exterior sobre
la esfera en el punto (x, y, z) . Si F (x, y, z) = (0, 0, x2 + xy − z2) .
Calcular∫ ∫
S∇F · nds .
69. Calcular∫
Cy2dx + xdy , si C = C1 ∪ C2 esta orientada positi-
vamente, donde C1 es el segmento de recta uniendo (0, 2) con
(−5,−3) y C2 es arco de parabola x = 4− y2 con −5 6 x 6 4 .
Ademas, verifique el resultado usando el teorema de Green.
70. Resuelva la ecuacion rotF = G , si
(a) G(x, y, z) = (1, 1, 1) .
(b) G(x, y, z) = (2y, 2z, 0) .
(c) G(x, y, z) = (0, 0, ex − ey) .
71. Calcular la siguiente integral sobre la superficie indicada.∫ ∫
S(x− 2y + z) dS
Sergio Plaza 441
(a) S : z = 4− x , 0 6 x 6 4 , 0 6 y 6 4 .
(b) S : z = 10− 2x + 2y , 0 6 x 6 2 , 0 6 y 6 4 .
(c) S : z = 10 , x2 + y2 6 1 .
72. En cada caso, calcular∫ ∫
Sf(x, y, z) dS
(a) f(x, y, z) =√
x2 + y2 + z2 , S : z =√
x2 + y2 , x2 + y2 6 4 .
(b) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 , S : z = x + 2 , x2 + y2 6 1 .
(c) f(x, y, z) =√
x2 + y2 + z2 , S : z =√
x2 + y2 , (x − 1)2 +
y2 6 1 .
(d) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 , S : 9 = x2 + y2 , 0 6 x 6 3 , 0 6y 6 3 , 0 6 z 6 9.
(e) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 , S : 9 = x2 + y2 , 0 6 x 6 3 , 0 6z 6 x.
(f) f(x, y, z) = x , S : z = x2 + y , 0 6 x 6 1 , −1 6 y 6 1 .
(g) f(x, y, z) = x+ z , S es la parte situada en el primer octante
del cilindro x2 + y2 = 9 , 0 6 z 6 4 .
73. En cada caso, use el Teorema de Gauss para evaluar∫ ∫
SF ·N dS
(a) Si Q es la region solida entre el paraboloide z = 4− x2 − y2
y el plano XY para F (x, y, z) = (2z, x, y2) .
(b) Si Q es el solido limitado por el cilindro x2 +y2 = 4 , el plano
x+ z = 6 , y el plano XY para F (x, y, z) = (x2 +sen(z), xy +
cos(z), ey) .
442 Integracion de Formas Diferenciales
(c) Si Q es el solido limitado por la superficie S : cubo definido
por los planos x = 0 , x = a , y = 0 , y = a , z = 0 , z = a
para F (x, y, z) = (x2, y2, z2) .
(d) Si Q es el solido limitado por la superficie S : z =√
a2 − x2 − y2 , z =
0 , para F (x, y, z) = (x2,−2xy, xyz2) .
(e) Si Q es el solido limitado por la superficie S : x2+y2+z2 = 4
para F (x, y, z) = (x, y, z) .
(f) Si Q es el solido limitado por la superficie S : x2 + y2 =
9 , z = 0 , z = 4 , para F (x, y, z) = (x, y2,−z) .
(g) Si Q es el solido limitado por la superficie S : z = 4− y , z =
0 , x = 0 , x = 6 , y = 0 , para F (x, y, z) = (x3, x2y, x2 ey) .
74. Use el Teorema de Green para calcular la integral∫
C(y +x5)dx+
(6y+y5 +y7)dy , donde C es el cırculo (x−1)2 +y2 = 1 recorrido
en sentido contrario a las agujas del reloj.
75. Calcule la integral∫
Sz−3(x2 + y2 + z−4)−1/2dS ,
donde S es la porcion del paraboloide xyz = 1 que esta sobre el
rectangulo 1 6 x 6 2 , 1 6 y 6 3 .
76. Sea F (x, y, z) = (etang(z)y, ez tang(z)x, (4 − x2 − y2)z) . Sea Ω la
region que esta por encima del paraboloide z = x2 + y2 y por
debajo del plano z = 4 . Sea S el borde de Ω y sea n el vector
normal unitario que apunta hacia afuera de S . Use el teorema de
la divergencia para calcular la integral∫
SF · ndS .
Sergio Plaza 443
77. Sea S la superficie consistiendo de la parte del paraboloide x2 +
y2 + z = 0 , z > 0 , la cual esta dentro del cilindro x2
9 + y2
4 = 1 .
Suponga que el vector normal unitario n a S apunta afuera de
S . Use el Teorema de Stokes para calcular la integral∫
Srot(F ) · ndS ,
donde F (x, y, z) = (y, x, xy) (Ind. La curva C , borde de S puede
ser parametrizada por x = 3 cos(t , y = 2 sen(t) , y z =? se deja
como un pequeno trabajo).
78. Calcular∫
SF · ndA , donde F (x, y, z) = (1, 1, z(x2 + y2)2) y S
es el cilindro x2 + y2 = 1 con 0 6 z 6 1 .
79. Calcular∫
S(∇×F ) · dS , donde S es la superficie delimitada por
x2 + y2 + z2 = 1 y x + y + z > 1 , y F (x, y, z) = r(x, y, z) ×(e1 + e2 + e3) con r(x, y, z) = (x, y, z) y ei para i = 1, 2, 3 el
correspondiente vector canonico.
80. Calcular la integral ∫
Sz2dS ,
donde S es la parte del paraboloide z = 9− x2 − y2 la cual esta
por encima del plano z = 0 .
81. Si C la cardioide dada en coordenadas polares por r = 1+cos(θ) .
Use el Teorema de Green para calcular la integral de linea∫
Cxydx + x2dy ,
donde recorremos la cardioide en el sentido contrario a las agujas
del reloj.
444 Integracion de Formas Diferenciales
82. Calcule∫
Cx4dx + xydy , donde C es la curva formada por los
segmentos de linea desde (0, 0) a (1, 0) , desde (1, 0) a (0, 1) , y
desde (0, 1) a (0, 0) , directamente y tambien usando el Teorema
de Green.
83. Sea F (x, y) = (2xy, x2) . Muestre que la integral de linea de F a
lo largo del camino formado por el borde del cuadrado [0, 1]×[0, 1]
es 0, usando:
(a) Calculo directo;
(b) mostrando que F es el gradiente de una funcion f ;
(c) usando el Teorema de Green.
84. Sea F (x, y, z) = (yez, zez, xyez) . Sea C una curva cerrada simple
en R3 que es el borde de una superficie. Muestre que∫
CF ·ds = 0 .
85. Sea F (x, y, z) = (2xy + 3z3, x2, 9xz2) . Sea C cualquier camino
diferenciable comenzando en (2, 1, 1) y terminado en (5, 0, 0) .
Calcule∫
CF · dr .
86. ¿Para que valores de a y b la aplicacion F (x, y, z) = (bxz +
2y, bx + 2ayz, y2 + ax2) es el gradiente de una funcion f ?
87. Calcule∫
CF · dr , donde r(t) = (cos(t), sen(t)) , con 0 6 t 6 2π ,
y F (x, y) = (−y2, x2) .
88. Sea F (x, y) = (3+2xy, x2− 3y2) . Calcule∫
CF · dr , donde C es
la curva dada por r(t) = (et sen(t), et cos(t)) , con 0 6 t 6 π .
89. Calcule∫
Czdx+y2dy+xyzdz si C es dada por r(t) = (1, 2t, t2) ,
con 0 6 t 6 1 .
Sergio Plaza 445
90. Calcule las siguientes integrales
(a)∫
γ
x
x2 + y2dy − y
x2 + y2dy , donde γ es el cırculo (x− 2)2 +
(y − 3)2 = 1 orientado en sentido antihorario.
(b)∫
γxdx + y2dy + z3dz , donde γ es el segmento de recta
uniendo (−1, 0, 2) a (2, 3, 2) .
(c)∫
γ(ey+2xy cos(x2y))dx+(xey+x2 cos(x2y))dy , donde γ es la
curva frontera de la region acotada por la parabola y = x2+1
y por la recta y = x + 3 , orientada en el sentido antihorario.
(d)∫
γF · ds , donde F (x, y, z) = (x2, ey, z cos(y)) y γ(t) =
(sen(t), t2, t) , con 0 6 t 6 1 .
(e)∫
γ(3x2+x2y+y2)dx+(x3+2xy+y3)dy , donde γ es la curva
frontera de la region acotada por la parabola y = x2 + 1 y
por la recta y = x + 3 , orientada en el sentido antihorario.
91. Sea S la parte del plano x + y + z = 1 que yace sobre el disco
elıptico x2 + 2y2 6 1 . Parametrice S y calcule su area.
92. Calcule las siguientes integrales
(a)∫
γF · ds , donde F (x, y, z) = (x5, y2x + z3, 3yz2) y γ(t) =
(cos(t), sen(t), cos(2t)) , con 0 6 t 6 2π .
(b)∫
γω , donde ω =
xdy − ydx
x2 + y2y γ es el cırculo x2 +2x+y2−
2y = 1 , orientado en sentido antihorario.
(c)∫
γω , donde ω = y2dx + ezdy + exdz y γ(t) = (3, et, t) , con
0 6 t 6 1 .
93. Encuentre el area de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 la cual
esta por arriba del plano z =√
2 .
446 Integracion de Formas Diferenciales
94. Sea S la parte de la superficie x2 + y2 + z = 1 la cual yace por
encima del plano xy , orientada por el vector normal unitario que
apunta hacia arriba. Calcule∫
Sω , donde ω = zdx∧dy+ydy∧dz .
95. Sea V una region cerrada y acotada en R3 con borde ∂V una
superficie diferenciable. Muestre que
vol(V ) =13
∫
∂Vxdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy .
96. Calcular las siguientes integrales de linea
(a)∫
C(x+y)ds, donde C es el contorno del triangulo de vertices
O = (0, 0) , A = (1, 0) , B = (0, 1) ,
(b)∫
C(x2 +y2)ds, donde C es la curva x = a(cos(t)+ t sen(t)) ,
y = a(sen(t− t cos(t)) , 0 6 t 6 2π .
(c)∫
C(x2+y2+z2)ds, donde C es la helice circular x = a cos(t) ,
y = a sen(t) , z = bt , 0 6 t 6 2π .
97. Hallar las longitudes de los arcos de las curvas siguientes
(a) x = 3t , y = 3t2 , z = 2t3 , desde (0, 0, 0) hasta (3, 3, 2);
(b) x2+y2 = cz ,y
x= tang
(z
c
), desde (0, 0, 0) hasta (x0, y0, z0);
(c) x = e−t cos(t) , y = e−t sen(t) , z = e−t , 0 < t < +∞ .
98. Calcular∫
γω , donde
(a) ω =1xy
dx +1
x + ydy y γ(t) = (2t, 5t) , con 1 6 t 6 4 ,
orientado negativamente.
(b) ω = ex(cos(y)dx+sen(y)dy) y γ el contorno del cuadrado de
vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) , orientado positivamente.
Sergio Plaza 447
(c) ω = xy dx + (x2 − y2)dy y γ el camino cuya imagen es la
elipse de ecuacion x2 + 2y2 = 4 , dotado de una orientacion
cualquiera.
(d) ω = y2dx + x2dy y γ el camino cuya imagen es la elipse de
ecuacion(x
a
)2+
(y
b
)2−2
(x
a
)= 0 , dotado de la orientacion
canonica.
99. Sea F : R2 → R2 , definido por F (x, y) = (xy, x2−y2) , y sea γ la
circunferencia unitaria orientada positivamente, con punto inicial
(1, 0) . Calcular∫
γF · ds .
100. Calcular∫
γydx−xdy a lo largo de la curva cerrada γ = γ1∪γ2 ,
siendo γ1 el primer cuadrante de la elipsex2
16+
y2
9= 1 y γ2 el
segmento que une los puntos (0, 3) y (4, 0) .
101. Hallar todas las circunferencias del plano R2 tales que, con cualquier
orientacion, la integral de linea de la forma diferencial ω(x, y) =
y2dx + x2dy sea nula.
102. Calcular∫
γxdx + ydy + zdz a lo largo del arco de helice de
ecuaciones parametricas x = 4 cos(λ) , y = 4 sen(λ) , z = 3λ,
para 0 6 λ 6 2π.
103. Calcular∫
σydx+(3y3−x)dy + zdz para cada una de las trayec-
torias σ(t) = (t, tn, 0) , 0 6 t 6 1 y n ∈ N .
104. Calcular∫
γ(y2 + z2)dx + (z2 + x2)dy + (x2 + y2)dz , donde γ el
camino cuya imagen es dada por
x2 + y2 − 2pz = 0
x + y − z + p = 0
448 Integracion de Formas Diferenciales
con una orientacion cualquiera.
105. ¿La forma diferencial (exy2 + 3x2y)dx + (2yex + x3)dy admite
funcion potencial? En caso afirmativo calcularla.
106. ¿La forma diferencial 2xyzdx + (x2z + 2yez)dy + (x2y + y2ez)dz
admite funcion potencial? en caso afirmativo calcularla.
107. Sean P (x, y) =y
x2 + y2y Q(x, y) = −x
x2+y2 , y sean γ1 : x =
cos(λ) , y = sen(λ) , con 0 6 λ 6 π , y γ2 : x = − cos(µ) ,
y = sen(µ) , con π 6 µ 6 2π .
(a) Comprobar que en todo R2 , excepto en el origen de coorde-
nadas, se cumple∂Q
∂x=
∂P
∂y.
(b) Decidir si se verifica∫
γ1
Pdx + Qdy =∫
γ2
Pdx + Qdy.
(c) Calcular ambas integrales por separado.
108. Sea F (x, y, z) = (xy, y, z) . Puede existir una funcion f tal que
F = ∇f ?.
109. Sea F (x, y, z) = (z3 + 2xy, x2, 3xz2). Probar que la integral de
F a lo largo del perımetro del cuadrado con vertices en (1, 1, 5) ,
(−1, 1, 5) , (−1,−1, 5) , (1,−1, 5), es nula.
110. Sea F (x, y, z) = (ex sen(y), ex cos(y), z2). Calcular∫
σF · ds ,
donde σ(t) = (√
t, t3, e√
t) , con 0 6 t 6 1 .
111. Calcular∫
γ(6xy + y)dx + (3x2 + x)dy ,donde
(a) γ(t) = (t2, t3) , con 1 6 t 6 2 , recorrido con la orientacion
canonica.
Sergio Plaza 449
(b) γ cualquier camino de clase C1 por partes, uniendo (1, 1)
con (1, 8) .
(c) γ un camino cerrado cualquiera de clase C1 por partes.
112. Calcular la integral de linea∫
γyzdx + zxdy + xydz , donde
(a) γ(t) = (t, t2, t3) , con 0 6 t 6 1 , recorrido con la orientacion
canonica.
(b) γ(t) = (cos(t), sen(t), tang(t)) , con 0 6 t 6 π
4, recorrido
con la orientacion canonica.
(c) γ cualquier camino de clase C1 por partes, uniendo (1,−1, 2)
con (−2,−1, 1) .
(d) γ un camino cerrado cualquiera de clase C1 por partes.
113. Sea D un dominio simplemente conexo de R2 , y sea f una
funcion de clase C2 en D . Probar que la condicion de que f sea
armonica en D (es decir, satisface∂2f
∂x2+
∂2f
∂y2= 0 ) es suficiente
para que∫
γ
∂f
∂xdy− ∂f
∂ydx = 0 cualquiera que sea la curva simple,
cerrada y rectificable γ contenida en D .
114. Sean γ, γ∗ dos curvas simples cerradas del plano, disjuntas entre
sı, positivamente orientadas, y tales que γ∗ esta contenida en la
region encerrada por γ . Sean P (x, y), Q(x, y) dos funciones de
clase C1 en un abierto A que contenga a ambas curvas y a la
region entre ellas, satisfaciendo∂Q
∂x=
∂P
∂y. Probar que se verifica
∫
γPdx + Qdy =
∫
γ∗Pdx + Qdy.
450 Integracion de Formas Diferenciales
115. Calcular∫
γ
y
x2 + y2dx− x
x2 + y2dy , donde γ la elipse de ecuacion
parametrica x = 4 cos(λ) , y = 3 sen(λ) , con 0 6 λ 6 2π .
116. Usar el teorema de Green para calcular∫
C+
(y2 + x3)dx + x4dy,
donde C+ es el perımetro de [0, 1]×[0, 1] en direccion antihoraria.
117. Usar el teorema de Green para calcular el area encerrada por la
elipsex2
a2+
y2
b2= 1 .
118. Usando el teorema de Green, calcular el area de la region interior
a la cardioide ρ = 1 + cos(θ) , con 0 6 θ 6 2π) .
119. Calcular el trabajo de W (x, y) =(
11 + y
,− 11 + x
)a lo largo
del camino γ(t) = (t, t2) , 0 6 t 6 1 , dotado de la orientacion
canonica.
120. Calcular el trabajo de W = (x, y, z) = (2y, x, z) a lo largo del
camino γ(t) = (t1/2, t−1/2, t) , 1 6 t 6 2, dotado de la orientacion
canonica.
121. Se considera el campo de fuerzas F (x, y) = (y, x) . Calcular el
trabajo de F a lo largo de las curvas
(a) γ1 : y = x , entre los puntos (0, 0) y (1, 1) .
(b) γ2 : y = x2 , entre los puntos (0, 0) y (1, 1) .
(c) γ3 : y = x3 , entre los puntos (0, 0) y (1, 1).
(d) γ4 : y = x3(x−1) log(x+2) , entre los puntos (0, 0) y (1, 1) .
122. Calcular el trabajo realizado por una partıcula sometida al campo
de fuerzas F (x, y) = (ex − y3, cos(y) + x3) que recorre la circun-
ferencia unitaria en el sentido antihorario.
Sergio Plaza 451
123. Se consideran el campo vectorial F (x, y, z) =(
y
x2 + y2,− x
x2 + y2, 3z2
)
y la curva γ de ecuacion x = λ , y = λ3 +λ2−1 , z = λ+3 . Cal-
cular el trabajo necesario para llevar una masa unidad a lo largo
de γ desde el punto (−1,−1, 2) al punto (1, 1, 4) .
124. Se dice que una funcion f(x, y) es armonica si∂2f
∂x2+
∂2f
∂y2= 0 .
Demostrar que si f es armonica y C es una curva cerrada suave
por partes del plano, entonces∫
C
∂f
∂ydx− ∂f
∂xdy = 0 .
125. Calcule∫
SF ·NdS , donde F (x, y, z) = (xy, z, x + y) y S ⊂ R3
es la superficie acotada por los planos y = 4 , z = 4 − x , y los
planos coordenados.
126. Calcular el volumen del solido limitado inferiormente por el paraboloide
x2 + y2 + z = 4R2 y superiormente por el cilindro x2 +(y−R)2 =
R2 , donde R > 0 y z 6 4R2 .
127. Calcular la integral∫
∂SF · dr , directamente y usando el teorema
de Stokes, donde F (x, y, z) = (2z, x, y2) y S ⊂ R3 es la superficie
del paraboloide z = 4− x2 − y2 con z > 0 .
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