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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
ANÁLISIS DE FLUJOS COMPRESIBLES EN
CONDUCTOS CON FRICCIÓN DE SECCIÓN CONSTANTE Y
VARIABLE.
MECÁNICA DE FLUIDOS II
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RESUMEN
El estudio del flujo compresible se caracteriza mediante el parámetro adimensional denominado número de Mach. Para lo cual en el estudio de flujo compresible en ductos con fricción es importante ya que mediante el análisis DFC obtenemos resultados de como varia el número de Mach a lo largo del recorrido del ducto; siendo la rugosidad un factor importante en los resultados obtenidos debido a llega a un punto donde nos generara una onda de choque lo cual ocasiona que el flujo pase a ser subsónico.Para la evaluación del parámetros tuvimos que desarrollarlo teóricamente lo cual no lo presentamos en este informe; del tal forma obtener resultados adecuados de temperatura, presión, densidad así como también la velocidad de salida fluido, parámetros que nos muestran como es el comportamiento del fluido a lo largo del ducto los cuales nos ayudan para un posterior diseño de tal elemento.
MECÁNICA DE FLUIDOS II
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INDICE
I. Generalidades...................................................................................................................................4
1.1 Introducción..................................................................................................................................4
1.2 Objetivos del estudio.....................................................................................................................4
II. Marco teórico................................................................................................................................5
2.1 Fundamento conceptual...............................................................................................................5
2.2 Hipótesis............................................................................................................................................8
2.3 Planteamiento y conceptualización del problema.........................................................8
2.4 Resultados de estudio.................................................................................................................10
III Análisis y discusión de resultados:......................................................................................16
IV Conclusiones.....................................................................................................................................16
V Bibliografía:.........................................................................................................................................17
MECÁNICA DE FLUIDOS II
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I. Generalidades
I.1 Introducción
El comportamiento de flujo compresible al interior de conductos es la base de una gran cantidad de situaciones de ingeniería, tal es el caso de la descarga de gases a alta presión en motores, ó el movimiento de las ondas de presión en túneles.
En los casos particulares de flujo se involucran la generación de ondas de compresión, expansión y de choque, para a través de modelos, determinar las variaciones de las propiedades del fluido cuando se somete a cambios repentinos. Dada la complejidad de los fenómenos, esos modelos comúnmente consideran el flujo unidimensional e isentrópico. La primera condición aunque limita la variación de las propiedades a la dirección de flujo, ofrece simplicidad, buenas aproximaciones y facilidad de extensión a casos multidimensionales.
El flujo isentrópico por su parte, se refiere a un flujo en el que los niveles de entropía en cualquier región son uniformes y no varían con el tiempo, lo que implica que los efectos de la transferencia de calor y la fricción son despreciables.
Además de las simplificaciones, las técnicas de solución son otro aspecto importante en el estudio de flujos compresibles, que ha dado origen a numerosas investigaciones.
1.2 Objetivos del estudio El objetivo será hallar las curvas de evolución de la presión,
temperaturas, densidades y Mach a lo largo del conducto. Pero se debe tener en cuenta que el flujo ya no se comportará totalmente como lo hace teóricamente, es decir, que en cada sección del ducto se tenga las mismas propiedades es por eso que los datos mencionados se tomarán en el punto medio de cada sección.
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II. Marco teórico.
2.1 Fundamento conceptual. Es claro que la entalpía de remanso se mantendrá constante también el gasto másico pero no la cantidad de movimiento por la fricción. Tomando el siguiente volumen e control:
Fig. #1
Ahora si se aplican las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento en x y de la energía entonces resultan las siguientes relaciones:
dρρ
+ dVV
=0
dP+4 τw dx
D+ ρVdV=0
CPdT +VdV=0
Siendo τ w el esfuerzo cortante debido a la fricción.
Pero para poder solucionar el sistema se necesita otras dos ecuaciones las cuales son la de los gases perfectos y la ecuación de fricción de Darcy, f : P= ρRT o
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dPP
=dρρ
+ dTT
Y además
τ w=18fρV 2=1
8fKPMa2
Ahora como se sabe: V 2=Ma2KRT
Con lo que se obtiene:
2dVV
=2dMaMa
+ dTT
Y combinando lo anterior con las ecuaciones obtenidas a partir de las leyes básicas se tiene que:
dPP
=−K Ma21+( k−1 ) Ma2
2(1−Ma2)fdxD
dρρ
=(k ) Ma2
2(1−Ma2)fdxD
=−dVV
d P0P0
=d ρ0ρ0
=−12
K Ma2 fdxD
dTT
=K (k−1 )Ma4
2 (1−Ma2)fdxD
dMa2
Ma2=KMa2
1+( 12) (k−1 )Ma2
(1−Ma2)fdxD
Estas ecuaciones nos indican que:
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Propiedad
Flujo subsónico
Flujo supersónico
P Decrece Aumentaρ Disminuye AumentaV Aumenta Decrece
ρ0 , P0 Disminuye DisminuyeT Decrece AumentaMa Aumenta Decrece
Entropía Aumenta Aumenta
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Es decir en flujos subsónicos los efectos son en general opuestas que en el supersónico.
Ahora por experimentación y observando la ecuación:
dMa2
Ma2=KMa2
1+( 12) (k−1 )Ma2
(1−Ma2)fdxD
Se sabe que en el flujo adiabático y con fricción en un conducto con sección constante siempre tiende a Ma=1 para satisfacer el segundo principio de la termodinámica por lo que si la ecuación anterior se integra hasta el punto sónico desde el Mach de entrada entonces se tendrá un relación que nos permitirá saber las condiciones en que sale el flujo:
Luego:
f .L∗¿D
=1−Ma2
γ .Ma2+ γ+12 γ
ln( γ+1 ) Ma2
2+(γ−1 ) Ma2¿
Se toma f o coeficiente de fricción medio a lo largo de la tubería además de despreciar las variaciones del Reynolds a lo largo de la tubería.
BLOQUEO DEBIDO A LA FRICCIÓN.
El bloqueo sucede cuando la longitud alcanzada permite que justo a la salida se de flujo sónico con Mach=1 pero que pasa si la longitud es mayor esto depende de cómo se dé la entrada:
Flujo subsónico: si L>L*(Mach) entonces el flujo se “acomoda” a la situación y se ralentiza hasta que el Mach en la entrada disminuye de manera que ahora L=L* esto, claro está disminuye el flujo másico.
Flujo supersónico: en este caso la fricción actúa de manera tal que para cualquier entrada supersónica siempre llega a la condición sónica pero en estos casos es muy usual la existencia de una onda de choque normal que provoca el cambio de la condición sónica del flujo y como se dijo líneas arriba la presión aumenta.
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2.2 Hipótesis Para tratar el flujo compresible en conductos con fricción se planteará en sistemas sin transferencia de calor ni variaciones de área pero con paredes rugosas y asumiendo las siguientes hipótesis:
Flujo adiabático estacionario unidimensional. Gas perfecto con calores específicos constantes. Conducto recto de área constante. El trabajo mecánico y el cambio de energía potencial se consideran
despreciables. El esfuerzo en la pared responde a correlaciones de coeficientes de
fricción de Darcy.2.3 Planteamiento y conceptualización del problema.
El problema consiste en determinar el comportamiento de temperaturas, presiones , densidades y del número de Mach a lo largo de dos conductos uno de sección constante y otro de sección variable, cuya geometría se da líneas abajo, y así verificar por medio del software la teoría dada en clase. Para esto se dan ciertas condiciones de frontera como:
T=Temperaturade la corriente deentrada=373K
P=Presiónde entrada=1MPa
ṁ=flujo másico a la salida= <15; 20; 25>Kg/seg
Rugosidad delmaterial=e=46μm
Con estos datos se tendrá que dar las condiciones de contorno en el modelo computacional.
Para el caso del flujo en el conducto de sección constante se puede calcular la longitud para alcanzar la longitud sónica con la ecuación dada en la teoría entonces para cada caso de la entrada se tiene que:
Esto nos dice de antemano que no se dará condición sónica a la salida y será una salida subsónica para la entrada subsónica pero con mayor Mach mientras que para la entrada supersónica se tendrá una salida también supersónica pero con menor número de Mach.
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Modelo físico computacional.
Los modelos se construyeron según las medidas dadas abajo con un grosor de pared de 0.05 m y con un volumen de control en dos dimensiones 2-D con un ancho de 0.01 m. En las figuras que siguen se dan detalles de la geometría (ver CD)
Medidas en milímetros.
Fig. # 2 Vista isométrica del conducto de sección constante.
Fig. # 3 Vista frontal del conducto de sección variable.
Fig. # 4 Vista trimétrica del volumen de control para el conducto de sección constante.
METODOLOGÍA DE ESTUDIO, PARÁMETROS Y CONSIDERACIONES.
Luego en el programa se dan todas las condiciones para la simulación además del volumen de control (Ver CD para los detalles de la simulación). Para el estudio se da los parámetros del flujo y con los goals definidos para ambos modelos (ver Archivo para los detalles) se procede
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a la simulación y ya con los datos de la temperatura, densidad, presión y Mach se procede a graficar según la posición pero con las tres primeras magnitudes normalizadas respecto a una presión, temperatura de remanso iguales a 1Mpa, 373 °K. Esto se ha tomado ya que el software no arroja las variables de condición de remanso y para el cálculo de las condiciones sónicas se tendría que buscar una posición para esta o interpolar pero como se verá esto sería demasiado impreciso debido a que en una misma sección pueden cambiar las condiciones.
2.4 Resultados de estudio
El programa arrojó las siguientes tablas (Ver CD para ver más detalles):
Resultados para una rugosidad de 1.5 micras y un flujo másico de 25 kg/s
Goal Name
Unit Value Averaged Value
Minimum Value
Maximum Value
PG Static Pressure 1
[Pa] 999999.2943
999999.4166
999999.2724
999999.6845
PG Temperature (Fluid) 1
[K] 287.7309736
287.6511042
287.4884541
287.7708115
PG Density (Fluid) 1
[kg/m^3]
12.08444357
12.0932847
12.08444357
12.1030977
PG Velocity 1
[m/s] 146.5442349
147.2545613
146.5177179
148.3572316
PG Mach Number 1
[ ] 0.431065781
0.433213634
0.430954344
0.436580812
PG Static Pressure 2
[Pa] 994637.9592
993996.3511
992380.6049
995970.0855
PG Temperature (Fluid) 2
[K] 286.9580866
286.8858697
286.6914559
287.0548183
PG Density (Fluid) 2
[kg/m^3]
12.0697854
12.06562222
12.04344873
12.09251022
PG Velocity 2
[m/s] 151.9218006
PG Mach Number 2
[ ] 0.447482593
0.449046152
0.445838061
0.452928024
PG Static Pressure 3
[Pa] 986447.5693
989032.2853
986447.5693
990764.7786
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PG Temperature (Fluid) 3
[K] 285.7996545
286.0089728
285.7835924
286.3476585
PG Density (Fluid) 3
[kg/m^3]
12.02030627
12.04297906
12.02030627
12.0667902
PG Velocity 3
[m/s] 159.5054026
158.1171917
156.0068141
159.524679
PG Mach Number 3 [ ] 0.470768896 0.46650208
3
0.460002238
0.470839053
PG Static Pressure 4
[Pa] 928975.2868 928093.661
3
926442.621
930769.4759
PG Temperature (Fluid) 4
[K] 281.4275446 281.571915
6
281.3682426
281.9080724
Diagrama del número de Mach respecto a longitud
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Length (m)
Mac
h N
umbe
r ( )
Temperatura del fluido respecto a la longitud
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3230
240
250
260
270
280
290
300
Length (m)
Tem
pera
ture
(Flu
id) (
K)
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Velocidad del fluido respecto a la longitud
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
50
100
150
200
250
300
350
Length (m)
Velo
city
(m/s
)
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Densidad del fluido respecto a la longitud
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2
4
6
8
10
12
14
Length (m)
Dens
ity (F
luid
) (kg
/m^3
)
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Presión del fluido respecto a la longitud
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
200000
400000
600000
800000
1000000
1200000
Length (m)
Pres
sure
(Pa)
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III Análisis y discusión de resultados:
Respecto a estos resultados se puede ver si es que se revisa los exels dados por el programa que si hay una convergencia como para decir que se ha obtenido resultados correctos y como muestran las gráficas la evolución de los parámetros es continua sin ningún salto brusco a excepción del final como muestra la gráfica pero al parecer es solo por la falta de puntos entre esos dos puntos si se tomaran más se notaría una evolución continua.
Estos resultados muestran una onda de choque normal bastante grande cerca a la salida del conducto lo cual provoca un cambio muy brusco de las propiedades en apenas unos 5 milímetros y se evidencia en las gráficas alrededor de la posición 1400 milímetros.
Al variar el material (rugosidad) se puede observar según los resultados obtenidos que mientras mayor sea la rugosidad mayor será la caída de presión debido a la onda de choque que se produce.
Al variar el flujo a la salida del conducto observamos que los cambios no son tan notorios.
IV Conclusiones
Respecto a los resultados del conducto de sección constante con la entrada subsónica se puede decir que como se predijo en el apartado de conceptualización de problema la longitud de este no alcanza para que se dé el bloqueo pero el comportamiento de flujo si es como se predice la presión baja gradualmente y el Mach sube.
En el conducto se sección constante se produce lo que se dijo en la teoría: una onda de choque normal, la cual desacelera el fluido y aumenta la presión en menos de 5 mm de recorrido del flujo lo cual ocasiona el brusco cambio que se produce en las gráficas alrededor de la posición de 1000 mm.
Respecto a los resultados del conducto de sección constante con entrada subsónica se puede decir que todos los valores del conducto rugoso suben ligeramente respecto al ideal a la parte de esto su comportamiento se ajusta al predicho para un flujo subsónico pasando por una tubería convergente-divergente, es decir acelera en la parte convergente y como alcanza la condición sónica sigue acelerando en la parte divergente, luego debido a la onda de choque el fluido se vuelve subsonico
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El número de Mach para el flujo del conducto de sección variable con pared rugosa es ligeramente menor que para el fluido por el mismo conducto sin rugosidad ya que la rugosidad impide la conversión de la entalpía en energía cinética.
Para cuando la entrada es supersónica en el conducto de sección variable se ve una clara diferencia entre los dos flujos, en el que no es con sección variable y esa es la onda de choque la cual se nota muy claramente alrededor de la posición 230 mm luego de esto el comportamiento del flujo es similar y de acuerdo a la teoría en ambos casos, ya que en ambos hay ondas de choque que los llevan a ser subsónicos entonces pasan por el conducto acelerándose y alcanzan la condición sónico por lo que continúan acelerando pero difieren en la salida ya que con la pared rugosa la presión tiende a subir.
V Bibliografía:
Mecánica de Fluidos. Frank M. White.6ta Edición. Pág. 621-640 Chapter 9 -Flujo compresible. ISBN 978-84-481-6603-8.
Apuntes de Mecánica de Fluidos: 2ª parte Flujo compresible- Julián Martínez de la Calle-Área de Mecánica de FluidosGijón enero 2009-Universidad de Oviedo.Pag10-14
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