Algunas Aplicaciones del Problema deRuteo de Vehıculos

Irma Delia Garcıa CalvilloCentro de Investigacion en Matematicas Aplicadas

Universidad Autonoma de Coahuila

VIII Encuentro Cuba-Mexico Metodos Numericos y OptimizacionLa Habana, Cuba

Marzo 2019I. Garcıa VRP Marzo 2019 1 / 59

Agenda

Introduccion: El problema de ruteo de vehıculos

Primer problema: transporte de personal

ProblematicaModelo matematicoResultados computacionales

Segundo problema: transportacion de pacientes a hospitales

Definicion de objetivosModelo matematicoResultados computacionales

Conclusiones

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Introduccion

En las ultimas decadas ha habido un incremento de paquetes deoptimizacion basados en tecnicas de investigacion de operaciones oprogramacion matematica, en sistemas de distribucion para el manejoefectivo de la provision de bienes o servicios.

De acuerdo a aplicaciones del mundo real se ha mostrado que unabuena planeacion de los procesos de distribucion genera ahorros del5 % al 20 % en los costos de transportacion global.

Proceso de transportacion: representa del 10 % al 20 % del costo finalde los bienes.

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Introduccion

Exito de la utilizacion de las tecnicas de IdeO en el proceso detransportacion:

Desarrollo de sistemas de computo y la integracion de sistemas deinformacion en el proceso productivo y comercial.

Desarrollo de nuevos modelos y algoritmos.

Modelos que toman en cuenta todas las caracterısticas de losproblemas de distribucion en problemas del mundo real

Algoritmos eficientes que encuentran soluciones en tiempos decomputo aceptables en instancias reales.

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El problema de ruteo de vehıculos: VRP

VRP es uno de los problemas de optimizacion combinatoria masestudiados: distribucion de bienes entre depositos y usuarios finales.

VRP se puede definir como el problema de disenar las rutas de costomınimo para la distribucion de productos desde un deposito central aun conjunto de clientes geograficamente distribuidos, sujeto arestricciones operacionales.

Problema central en la distribucion de productos y debe resolverse deforma rutinaria.

Primer artıculo por Dantzing y Ramser (”The truck dispatchingproblem”, 1959), desde entonces ha sido objeto de investigacion yaplicaciones exitosas

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VRP

Un deposito central

Clientes que requieren productos con cierta demanda

Una flotilla de vehıculos disponibles con cierta capacidad detransportacion.

Se quiere planear la entrega de productos a los clientes.

Se desea minimizar los costos de transportacion (distancia totalrecorrida, numero de vehıculos, tiempo total de transportacion).

Se requiere disenar las rutas de los vehıculos que salen y regresan aldeposito, satisfaciendo las demandas de los clientes, con ciertasrestricciones operacionales.

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VRP

La red vial se describe generalmente con un grafo, los arcosrepresentan secciones o tramos viales y los vertices corresponden a losclientes.

Cada arco tiene asociado un costo que representa la longitud otiempo de viaje.

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VRP

Cuando se cuenta con un solo vehıculo con capacidad ilimitada: problemade agente viajero (TSP). VRP mas difıcil de resolver que el TSP

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Primer problema

Transporte de personal en una empresa en Saltillo, Coahuila,Mexico

En colaboracion con:

M.C. Ernesto Terry Davila

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Descripcion del problema

Problematica real del norte de Mexico:

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Descripcion del problema

El ruteo de vehıculos, enfocadoen el personal, es un temarezagado en las empresas deSaltillo, Ciudad con industriasen el sector automotriz.

Algunos de los principalesproblemas: largos recorridos delas rutas de transporte yelevados costos en el servicio.

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Descripcion del problema

La empresa en donde sedesarrollo el proyecto perteneceal ramo automotriz

Esta ubicada en el parqueindustrial, a 8 km de la paradadel transporte de personal mascercana y 21 km de la masretirada.

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Descripcion del problema

El servicio de transporte lo provee una companıa externa a la empresa.

Esta companıa asigna las rutas con las cuales trabaja, actualmenteson 6 rutas en la ciudad de Saltillo.

La empresa contrata un servicio de taxis adicional al transporte oficialde personal en situaciones especiales. Se han elevadoconsiderablemente los costos de transportacion.

La empresa desea disminuir los costos de transportacion del personal.

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Descripcion del problema

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Descripcion del problema

Actualmente las rutas son fijas y hay poca flexibilidad de generarrutas a partir de cero, es decir es necesario partir de las existentesdebido a que son las definidas por la empresa.

El transporte oficial solo cuenta con un tipo de unidad, 42 pasajeros.

Las unidades en las rutas de transporte no viajan a su capacidadmaxima.

Propuesta: Considerar incluir una segunda opcion de transporte,conocidas como camionetas Van con capacidad de 17 pasajeros quecubriran rutas similares a las existentes.

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Descripcion del problema

Actualmente las rutas son fijas y hay poca flexibilidad de generarrutas a partir de cero, es decir es necesario partir de las existentesdebido a que son las definidas por la empresa.

El transporte oficial solo cuenta con un tipo de unidad, 42 pasajeros.

Las unidades en las rutas de transporte no viajan a su capacidadmaxima.

Propuesta: Considerar incluir una segunda opcion de transporte,conocidas como camionetas Van con capacidad de 17 pasajeros quecubriran rutas similares a las existentes.

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Formulacion matematica

Formulacion matematica para el VRP considerando el modelo SetPartitioning (Baldacci, Mingozzi, 2009).

V conjunto de nodos o paradas de transporte.

M tipos de vehıculos.

Uk cantidad de vehıculos disponibles tipo k .

Rk conjunto de rutas factibles por vehıculo tipo k ∈ M.

Total de rutasR = ∪k∈MRk

ckl costo de la ruta l ∈ Rk y vehıculo k

Rki ⊂ Rk subconjunto de rutas de vehıculo tipo k que cubre el nodo

i ∈ V .

Rkl indica el subconjunto de nodos visitados por la ruta l ∈ Rk .

xkl variable binaria, indica si la ruta l ∈ Rk pertenece a la solucion.

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Formulacion matematica

mın∑k∈M

∑l∈Rk

ckl xkl

sujeto a ∑k∈M

∑l∈Rk

i

xkl = 1 ∀i ∈ V∑l∈Rk

xkl ≤ Uk , ∀k ∈ M

xkl ∈ 0, 1, ∀l ∈ Rk , ∀k ∈ M

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Metodologıa

Los datos fueron proporcionados por una empresa de la localidad enel periodo de noviembre 2016 a enero 2017.

Se proporciono la poblacion total de usuarios de las rutas detransporte.

Rutas de transporte actualmente utilizadas, 6

38 paradas de transporte.

Se generaron 23 rutas nuevas para las camionetas tipo Van quesatisfacen las restricciones de capacidad y cubren todas las paradas.

Se dispone de 7 camiones (costo $ 555.00) y 15 camionetas Van(costo $ 311.00 ).

Con la informacion proporcionada se construyeron las rutas que seproponen en este modelo, usando los viajes que se realizaban en lostaxis como referencia para proponer recorridos.

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Metodologıa

Los datos fueron proporcionados por una empresa de la localidad enel periodo de noviembre 2016 a enero 2017.

Se proporciono la poblacion total de usuarios de las rutas detransporte.

Rutas de transporte actualmente utilizadas, 6

38 paradas de transporte.

Se generaron 23 rutas nuevas para las camionetas tipo Van quesatisfacen las restricciones de capacidad y cubren todas las paradas.

Se dispone de 7 camiones (costo $ 555.00) y 15 camionetas Van(costo $ 311.00 ).

Con la informacion proporcionada se construyeron las rutas que seproponen en este modelo, usando los viajes que se realizaban en lostaxis como referencia para proponer recorridos.

I. Garcıa VRP Marzo 2019 18 / 59

Metodologıa

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Metodologıa

Utilizando el software NEVA segraban todos los nodos en suubicacion geografica asignadapara generar la matriz dedistancias reales.

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Resultados: El modelo se resuelve utilizando Cplex

Se obtuvieron 10 rutas que cubren la demanda total de la empresa y aun costo menor al que se tiene a la fecha.

Las rutas obtenidas visitan cada nodo en el mapa y realizan solo unavisita a la vez

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Resultados

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Descripcion del problema

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Resultados

Estos costos representan tan solo la entrada de personal por un turno,durante un dıa de operaciones normal en la empresa se tienen dos otres turnos, entrada y salida, 5 dıas a la semana.

La reduccion en la distancia de recorrido significa mayores lapsos dedescanso para el trabajador.

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Excel - solucion

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Conclusiones

Se logro la disminucion de los costos de transportacion para elproblema de la empresa al considerar la polıtica de considerar otromedio de transporte de personal.

Con la nueva propuesta los trabajadores en promedio viajan menordistancia, lo cual repercute en su rendimiento laboral.

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Segundo problema

Transportacion de personas de movilidad reducida

En colaboracion con:

Yajaira Cardona - UAdeCJoaquın Pacheco - UBU

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Introduccion

Se ha tenido un gran incremento en el numero de personas conmovilidad reducida en los ultimos anos.

Satisfacer las necesidades de estas personas es un gran reto para lasautoridades.

Una de las principales necesidades es el transporte desde sus hogaresa los centros donde reciben atencion medica.

Se requieren traslados puerta a puertaSe cuenta con unidades de transporte especiales para este grupo depersonas

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Introduccion

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Introduccion

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Introduccion

Transporte colectivo adaptado para la transportacion de personas conmovilidad reducida

En particular trabajaremos con una aplicacion para transportarpacientes a centros hospitalarios.

Problema de Ruteo de Vehıculos

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Introduccion

DARP: Dial A Ride Problem

DARP generaliza Pickup and Delivery VRP y VRP-TW

DARP: VRP con perspectiva humana. Minimizar tiempo de espera,tiempo de viaje.

En este trabajo se considera un modelo para transportar personas con dosobjetivos:

Social

Economico

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Introduccion

DARP: Dial A Ride Problem

DARP generaliza Pickup and Delivery VRP y VRP-TW

DARP: VRP con perspectiva humana. Minimizar tiempo de espera,tiempo de viaje.

En este trabajo se considera un modelo para transportar personas con dosobjetivos:

Social

Economico

I. Garcıa VRP Marzo 2019 32 / 59

Objetivos

Problema. Disenar rutas factibles, esto es, respetando capacidad delvehıculo y tiempo maximo de cada ruta para atender todas las solicitudes,de forma que los usuarios de una solicitud viajen en el mismo vehıculo yque optimicen los dos objetivos simultaneamente.

Social: Minimizar la maxima diferencia, entre todos los usuarios, entreel tiempo de viaje de cada usuario y su tiempo directo de viaje

Economico: Minimimizar la distancia total de todas las rutas

Objetivos en conflicto

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Modelo propuesto

Notacion.n Numero de solicitudesqi Cantidad de personas o usuarios en la solicitud iV V = 0, 1, . . . , n, n + 1, . . . , 2n localizaciones de los usuarios

0 es el depositoP = 0, 1, . . . , n Puntos de recogidaD = n + 1, . . . , 2n Puntos de destinoUna solicitud esta definida por i ∈ P e i + n ∈ D, i+, i−.

m numero de vehıculosQ Capacidad de cada vehıculoLmax Tiempo maximo entre la primera recogida y la ultima descarga

para cada rutatij , dij Matrices de tiempo y distancia entre cada par de puntos i y j

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Modelo propuesto

Objetivo Social:

Para una solucion S formada por m rutas, se tiene

f1(S) = max∆i (S) : i ∈ P

donde ∆i (S) = Ti (S)− ti ,n+i y Ti (S) es el tiempo de viaje de la solicitudi en la solucion S .

Objetivo Economico

f2(S) =m∑

k=1

∑i∈V

∑j∈V

dijxkij

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Modelo propuesto: variables

Modelo de tres ındices basado en Cordeau(2006) para DARP.

xkij =

1 si y solo si el vertice j es visitado justo despues del vertice i

por el vehıculo k.0 en otro caso

q0 = 0, qi = −qi−n, i = n + 1, . . . , 2n

uki = tiempo en que el vehıculo k sale del vertice i .

wki = carga del vehıculo k al partir vertice i

rki = tiempo de viaje del usuario i en el vehıculo k

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Modelo propuesto: formulacion matematica

mın

α, m∑k=1

∑i∈V

∑j∈V

dijxkij

(1)

sujeto a

rki − ti ,n+i ≤ α, i ∈ P, k = 1, . . . ,m (2)

m∑k=1

∑j∈V ,j 6=i

xkij = 1, i ∈ P (3)

∑j∈V ,j 6=0

xk0j ≤ 1 k = 1, . . . ,m (4)

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Modelo propuesto: formulacion matematica

∑j∈V ,j 6=i

xkij −∑

j∈V ,j 6=i+n

xki+n,j = 0, i ∈ P, k = 1, . . . ,m (5)

∑j∈V ,j 6=i

xkji −∑

j∈V ,j 6=i

xkij = 0, i ∈ V , k = 1, . . . ,m (6)

ukj ≥ (uki + tij)− (1− xkij )M, i , j ∈ V ; j 6= 0, j 6= i ,k = 1, . . . ,m (7)

wkj ≥ (wk

i + qj)− (1− xkij )Q, i , j ∈ V ; j 6= 0, j 6= i ,k = 1, . . . ,m (8)

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Modelo propuesto: formulacion matematica

ukn+i − uki ≥ 0 i ∈ P, k = 1, . . . ,m (9)

rki ≥ ukn+i − uki i ∈ P, k = 1, . . . ,m (10)

∑i∈V−0

∑j∈V−0

j 6=i

tijxkij ≤ Lmax k = 1, . . . ,m (11)

max0, qi ≤ wki ≤ mınQ,Q + qi i ∈ V , k = 1, . . . ,m (12)

xkij ∈ 0, 1 i , j ∈ V , j 6= i , k = 1, . . . ,m (13)

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Solucion

Soluciones eficientes. Una solucion es eficiente si no existe otra que ladomina. Se busca determinar las soluciones eficientes, lo que se conocecomo Frente optimo de Pareto.

Sean dos soluciones S y S ′, se dice que S domina a S ′ si

a) f1(S) ≤ f1(S ′)

b) f2(S) ≤ f2(S ′) y

c) o bien f1(S) < f1(S ′) o bien f2(S) < f2(S ′)

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Problema Biobjetivo: Ejemplo 10 pacientes

Puntos extremos (0, 170) y (47, 97)Punto intermedio (19, 105)

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Solucion

Se resolvio el modelo utilizando Cplex con ε-Constraint

mınx∈Ω

f2(S)

sujeto af1(S) ≤ ε

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Aplicacion

Caso de traslado de pacientes de la Ciudad de Saltillo, Coahuila aMonterrey, Nuevo Leon.

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Aplicacion

IMSS envıa alededor de 300 pacientes diarios para recibir tratamientosespecializados

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Aplicacion

Clınica 25 - Oncologıa (55 %)Clınica 34 - Cardiologıa (20 %)Clınica 21 - Traumatologıa (10 %)Clınica 33 - Ginecologıa (10 %)Clınica 22 - Psiquiatrıa (5 %)

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Aplicacion

El IMSS no cuenta con la infraestructura de vehıculos necesaria paraatender los traslados, entre Saltillo y Monterrey, de todos lospacientes.

Actualmente algunos pacientes se trasladan en vehıculos particulares,otros en transporte publico (con bonos de autobus pagados por elIMSS) y otros lo hacen en vehıculos o ambulancias del IMSS

Se requiere disenar de manera eficiente el traslado de los pacientespara que acudan a su cita y reciban su tratamiento en vehıculoscompartidos adaptados.

Software NEVA para matrices de distancia y tiempos.

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Aplicacion

Localizacion y representacion de los nodos y las rutas solucion en laplataforma:NEVA - Sistema para la generacion de instancias y representacion desoluciones en modelos de rutas de transporte y logıstica

1 paciente por solicitud

2 depositos: 1 Saltillo (salen) y 1 Monterrey (estacionan y esperan)

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Aplicacion

Origen: n = 5 solicitudes, m = 2 vehıculos, (Q = 3 pasajeros)

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Aplicacion

Destino: n = 5 solicitudes, m = 2 vehıculos, (Q = 3 pasajeros)

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Frentes de Pareto

Lmax = 150 minutos

(9, 384.258), (17, 383.061), (29, 383.056)

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Frentes de Pareto

Lmax = 150 minutos

(9,384.258)R1 = P4+ → P1+ → P2+ → P1− → P4− → P2−

R2 = P5+ → P3+ → P5− → P3−

(17,383.061)R1 = P4+ → P1+ → P2+ → P2− → P4− → P1−

R2 = P5+ → P3+ → P5− → P3−

(29, 383.056)R1 = P4+ → P1+ → P2+ → P2− → P1− → P4−

R2 = P5+ → P3+ → P5− → P3−

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Frentes de Pareto

Lmax = 200 minutos

(9, 384.258), (17, 383.061), (24, 382.592), (30, 382.210)

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Frentes de Pareto

Lmax = 500 minutos

(0, 873.418), (2, 704.707), (7, 584.002)

(9, 383.311), (17, 382.114), (30, 382.033)

(59, 382.030), (205, 380.933), (209, 380.745)

(211, 380.476), (216, 378.064), (224, 378.059)

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Trabajo en proceso

El problema es NP–completo =⇒ Para instancias de mayor tamanodisenamos estrategias basadas en metaheurısticas.

El metodo de solucion esta basado en MOAMP: MultiobjectiveMetaheuristic using an Adaptive Memory Procedure.

Consiste de tres fases.

Fase I. Aproxima los extremos del frente de Pareto, esto es, lasmejores soluciones considerando cada objetivo por separado.Se aproxima el punto ideal:

y1 = mınx∈Ω

f1, y2 = mınx∈Ω

f2

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Trabajo en proceso

Fase II. Busca aproximar puntos dentro de la curva de eficiencia. Serealizan una serie de Busquedas Tabu enlazadas, usandocomo funcion objetivo la minimizacion en la distancia L∞ alpunto ideal.

Fλ(S) = max

λf1(S)− f mın

1

f max1 − f mın

1

, (1− λ)f2(S)− f mın

2

f max2 − f mın

2

λ ∈ (0, 1)

Si un punto minimiza la distancia L∞ normalizada al puntoideal, entonces es un punto eficiente.

El conjunto de puntos eficientes obtenidos de esta forma sedenomina Conjunto Compromiso.

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Trabajo en proceso

Fase III. Intensifica la busqueda alrededor de los puntos quepertenecen a SetND , explorando los vecindarios de todos lospuntos en este conjunto, buscando nuevos puntosno-dominados.

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Trabajo en proceso

Instancias de mayor tamano

Aumentar el numero de vehıculos.

Capacidad de vehıculos

Aplicaciones para traslados de personas a actividades dentro de unamisma Ciudad.

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Conclusiones

Se ha analizado un problema de transpote de personas de movilidadreducida desde sus hogares a centros de atencion

Se presenta el modelo matematico asociado con dos objetivos: socialy economico

Se trabaja desde la pespectiva biobjetivo.

Se calculan frentes de Pareto presentando diferentes opciones encuanto al maximo excedente de tiempo de traslado y la distancia totalrecorrida

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Gracias por su atencion

irma.garcia@uadec.edu.mx

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